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利用“将军饮马”解决线段最值问题
方法突破练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)， B(−3,2),在x轴上找一点 P，使. PA+PB的值最小，求此
时点P的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,4),在直线 x=3上找一点 P，使得 |PA−PB|的值最大，求
|PA−PB|的最大值.
3.如图，在平面直角坐标系中， A(−2,0),B(1,3),，已知点 C是直线l:y=x上一动点,当 y=x AC+BC取得
最小值时，求点 C的坐标.4.如图，已知直线 y=−x+4与y轴、x轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).点 D,E分别是线段OB,AB
上的动点,求 △CDE周长的最小值.
5.如图，在平面直角坐标系中， A(−3,−1),B(−1,−3),,若D 是x轴上一动点，C 是y轴上一动点，求四边
形 ABCD 周长的最小值.设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²+4x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，顶点为点
D，点 C关于直线l的对称点为点 E.
(1)如图①，若点P是y轴上一动点，当. BP+PE取得最小值时，求点P的坐标；
(2)如图②,连接CD,点Q是x轴上一动点,连接CQ,DQ,求 △CDQ周长的最小值；
(3)如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形 DENM 周长的最小值.综合强化练
1.如图，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B(3,0)两点(点A 在点B的左侧),且. AB=4,与y轴交于点
C，抛物线的顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证: BC⊥CD;
(3)若点M为OB上一动点，点N为DB上一动点，是否存在点M，N使得 △CMN的周长最小?若存在，请求
出点M，N的坐标及. △CMN周长的最小值；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区2.如图①,抛物线
y=ax2+bx−√3(a≠0)与x轴交于点A,B(1,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C，抛物线
的顶点为D，且 OA=√3OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,连接AC,BC,点M为 △ABC内一点，连接MA，MC，分别以AM，AC为边，在它们的上方作等边
△AME,等边 △ACF,连接EF,求证: EF=CM;
(3)在直线 BC上是否存在一点 P，使得 PA+PD的值最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由.
作图区 答题区考向3 利用“将军饮马”解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：作图，确定线段和最小时动点的位置，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A',连接 BA'交 x 轴于点P,点
P 即为所求,连接AP.
∵ 点 A 与点 A'关于x轴对称,
∴AP=A'P,
∴PA+PB=PA'+PB=A'B.
此时 PA+PB 的值最小.
利用直线解析式求坐标.
∵A(2,1),∴A'(2,-1).
3 1 3 1 1
∵ B(-3,2),∴直线 BA'的解析式为 y=− x+ .当y=0时,则 0=− x+ ,解得 x= .
5 5 5 5 3
1
∴当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为(( ,0).
3
2.解：作图，确定线段差最大时动点的位置.如解图，连接 AB 并延长与直线x=3交于点P，点 P即为所求，
此时|PA-PB|的值最大,最大值为AB的长，
利用勾股定理求线段的长.
∵A(1,1),B(2,4),
∴AB=√(1−2) 2+(1−4) 2=√10.
∴ |PA-PB|的最大值为 √10.
3.解：如解图，作点 A 关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点 C',连接A'C,则
AC+BC=A'C+BC≥A'B,∴
当 A',C,B 三点共线时,AC+BC的值最小，最小值为A'B 的 长,
此时点 C 与点 C'重合.
∵ 点 A 与点 A'关于直线 l:y=x对称,A(-2,0),
∴A'(0,-2).
∵ B(1,3),∴直线A'B的解析式为y=5x-2.
1
{ x=
{y=5x−2 2
,
联立 解得
y=x 1
y=
2
(1 1)
∴当AC+BC取得最小值时，点C的坐标为 , .
2 24. 解:如解图,作点C关于AB,OB的对称点C',C",连接AC',C'E,C"D,C'C",C'C"分别交AB,OB 于点E',D',
则CE=C'E,CD=C"D,△CDE 的周长为 CE+CD+
DE=C'E+C''D+DE≥C'C''
∴当C',E,D,C''四点共线时,△CDE 的周长取得最小值,此时点 E 与点 E'重合,点 D 与点 D'重合,
∴△CDE周长的最小值即为C'C"的长.
∵ 直线y=-x+4,点 C(0,1),
∴AO=4,OC=1,∠OAB=45°,
∴AC=3,
∵ 点 C 关于 AB 的对称点为点C',
∴∠C'AB=45°,AC'=AC=3,
∴∠CAC'=90°,
∵ 点 C 关于 OB 的对称点为点 C",
∴CC"=2,
∴AC"=5,
∴ 在 Rt△C'AC"中, C'C''=√(AC') 2 +(AC'') 2 =√34.
∴△CDE周长的最小值为 √34.
5.解：如解图，分别作点A关于x轴的对称点E、点B关于y轴的对称点 F，连接EF 交x轴于点 D'，交y轴
于点 C',连接AD',BC'.在x轴,y轴上分别任取一点D,C,连接AD,BC,CD,则AD'=D'E,BC'=C'F,∴ AB + BC + CD +
AD ≥
AB+BC'+C'D'+AD'=AB+ C'F+C'D'+D'E=AB+EF,∴
当点 D,C 分 别 与 点D',C'重合时,四边形
ABCD的周长有最小值，最小值为AB+EF,
∵A(-3,-1),B(-1,-3),
∴E(-3,1),F(1,-3),
∴AB=2√2,EF=4√2,
∴AB+EF=6√2,
∴ 四边形ABCD 周长的最小值为6 √2.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)如解图①，作点E关于y轴的对称点 E'，连接E'B 与 y 轴交于点 P,此时 BP+PE 取得最小值,为
BE'的长,
根据题意,令x=0,则y=2,
∴C(0,2),令y=0,
解得 x=2+√6或 x=2−√6,
∴B(2+√6,0),
4
x=− =2,
∵抛物线的对称轴为直线 点 C 与点 E 关于抛物线对称轴对称，
2×(−1)
∴E(4,2),∴E'(-4,2),
−6+√6 6+4√6 6+4√6
∴直线BE'的解析式为 y= x+ ,当x=0时, y= ,
15 15 15
6+4√6
∴当BP+PE 取得最小值时,点 P 的坐标为(0, );
15【一题多解】如解图②，作点 B关于y轴的对称点B',连接B'E 与y轴交于点 P,此时BP+PE 取得最小值,为
B'E 的长,根据题意,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,解得. x=2+√6或 x=2−√6, ∴B(2+√6,0),∵ 抛物线的对称轴
4
− =2,
为直线 x = 点 C 与点 E 关于抛物线对称轴对称,∴E(4,2),∵ 点 B 与点 B'关于 y 轴对称,
2×(−1)
6−√6 6+4√6 6+4√6
∴B'(−2−√6,0),∴ 直线 B' E 的解析式为 y = x+ ,当x=0时. y= ,：当 BP+PE取得最
15 15 15
( 6+4√6)
小值时，点P的坐标为 0, .
15
(2)∵CD长为定值,
∴当CQ+DQ 的值最小时,△CDQ的周长最小.
如解图③，作点 C 关于x轴的对称点 C'，连接C'D交x轴于点Q,连接CQ,此时CQ+DQ 的值最小,为C'D 的
长,过点 D 作 DF⊥y轴于点 F.
由抛物线解析式可知顶点D(2，6)，
∴CF=4,DF=2,∴CD=√CF2+DF2=2√5.
∵点 C 与点 C'关于x轴对称,∴CQ=C'Q.
∴CQ+DQ=C'Q+DQ=C'D,
∵C(0,2),∴C'(0,-2),∴C'F=8.
∴C'D=√C'F2+DF2=2√17,
∴△CDQ周长的最小值为 2√5+2√17;
【一题多解】∵ CD 长为定值,∴当CQ+DQ 的值最小时，△CDQ的周长最小.如解图④，作点 D关于x轴的对
称点 D',连接 CD'交 x 轴于点 Q,连接DQ,此时,CQ+DQ 的值最小,为CD'的长,过点C作CH⊥DD'于点 H，由抛物
线解析式可知顶点D(2,6),∴ D'(2,-6),∴CH=2,HD'=8,∴ CD'=√ CH2+(H D') 2 =2√17,CD=√CH2+DH2=2
√5,∴△CDQ 周长的最小值为 2√5+2√17.
(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),
如解图⑤，作点E关于x轴的对称点 E'，作点 D 关于y轴的对称点 D',连接D'E'交y轴于点 M',交x轴于 N',
连接 DM',EN',则 DM' = D'M',EN'=E'N',∴D'(-2,6),E'(4,-2),
∵四边形 DENM 的周长= DM+MN+NE+DE≥
DM'+M'N'+N'E+DE=D'M'+M'N'+N'E'+DE,
∴ 当点 M 在 M',点 N 在 N'时四边形 DENM 的周长取得 最 小 值,最 小 值 为
D'E'+DE的长，
∵D'E'=10,DE=√(2−4) 2+(6−2) 2=2√5,
∴四边形 DENM 周长的最小值为 10+2√5.
三阶 综合强化练
1. (1)解:∵ 抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于B(3,0),AB=4,∴A(-1,0),
∴将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式，
{ a−b+3=0 {a=−1
, ,
得 解得
9a+3b+3=0 b=2
∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)证明：由(1)得抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
2
∴ 抛物线的对称轴为直线
x=− =1,C(0,3),
2×(−1)
∴抛物线顶点 D 的坐标为(1,4),
∴CD=√(1−0) 2+(4−3) 2=√2,
BC=√(3−0) 2+(0−3) 2=3√2,
BD=√(1−3) 2+(4−0) 2=2√5,
∴CD²+BC²=BD²,△BCD为直角三角形，
∴∠BCD=90°,∴BC⊥CD;
(3)解:存在.
如解图，作点 C关于x轴的对称点 C'，点 C 关于 BD的对称点 C",CC"交 BD 于点 E,连接 C'C",分别交OB,BD
于点M,N,
此时△CMN 周长最小,最小值为 CN+MN+MC=
C''N+MN+C'M=C'C'',
由(2)得C(0,3),D(1,4),
∵B(3,0),
∴直线 BD的解析式为y=-2x+6①,
1
∴ 直线 CC"的解析式为 y= x+32˚ ,
2
1
联立①②,得
−2x+6= x+3,
2
6 18
解得 x= ,∴y= ,
5 5
∴E
(6
,
18)
,∴C''
(12
,
21)
,
5 5 5 5
∵ 点 C 与点 C'关于x轴对称,
∴C'(0,−3),∴C'C''= √ (12) 2 + (21 +3 ) 2 = 12√10 ,直线 C'C"的解析式为y=3x-3③,令y=0,解得
5 5 5
x=1,∴M(1,0).
9 12 (9 12)
联立①③得,-2x+6=3x-3,解得 x= ,∴y= , ∴N , .
5 5 5 5
9 1 12√10
综上所述,当M(1,0),,N⁽ ,)时,此时△CMN的周长最小，最小值为 .
5 5 5
2. (1)解:∵抛物线
y=ax2+bx−√3(a≠0),
∴令x=0,解得 y=−√3,∴C(0,−√3),OC=√3,
∵OA= √3OC,∴OA=3,∴A(-3,0),
∵B(1,0),∴将A，B 两点的坐标代入抛物线解析式，
{ √3
a=
{9a−3b−√3=0 3
,
得 解得
a+b−√3=0 2√3
b=
3
√3 2√3
∴抛物线的解析式为 y= x2+ x−√3;
3 3
(2)证明:∵△AME 和△ACF为等边三角形,
∴AE=AM,AF=AC,∠EAM=∠FAC=60°,
∴∠EAM-∠FAM=∠FAC-∠FAM,
∴∠EAF=∠MAC,∴△AEF≌△AMC,
∴EF=CM;
(3)解:存在.
如解图，作点 A 关于直线 BC的对称点A'，连接A'D，与直线BC 交于点 P,点 P 即为所求,连接PA,此时
PA+PD 取得最小值，最小值为A'D 的长.
在Rt△AOC中,( OC=√3,OA=3,∴∠ACO=60°,
在 Rt△BOC中,OC= √3,OB=1,
∴∠BCO=30°,
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°,
∴点A 和点 A'关于点 C对称,∴A'(3,-2 √3).
∵B(1,0),C(0,- √3),
∴直线 BC的解析式为 y=√3x−√3,
√3 2√3 √3 4√3
∵y= x2+ x−√3= (x+1) 2− ,
3 3 3 3
( 4√3)
∴ 点 D 的坐标为 −1,− ,
3
√3 3√3
∴ 直线A'D 的解析式为 y=− x− ,
6 2
3
{ √3 3√3 { x=−
y=− x− , 7
联立 6 2 解得
10√3
y=√3x−√3 y=
7
( 3 10√3)
∴点P 的坐标为 − , .
7 7
