文档内容
2012年广西南宁市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）4的倒数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣ D．
2．（3分）如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学
记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣6千克 B．0.201×10﹣5千克
C．20.1×10﹣7千克 D．2.01×10﹣7千克
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列调查：
调查一批灯泡的使用寿命；
①调查全班同学的身高；
②
第1页（共39页）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；
③企业招聘，对应聘人员进行面试．
④其中符合用抽样调查的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分①）如②图，在平行四边形①AB③CD中，AB＝3cm，BC②＝④5cm，对角线AC，BD②相③交于点O，则
OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
7．（3分）若点A（2，4）在函数y＝kx﹣2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2＝m2﹣n2 B．（2ab3）2＝2a2b6
C．2xy+3xy＝5xy D． ＝2a
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列
关系不正确的是（ ）
A．k＝n B．h＝m C．k＜n D．h＜0，k＜0
10．（3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安
排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半
第2页（共39页）圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则 O的半径为（ ）
⊙
A．8 B．6 C．5 D．4
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+1，一次函数y＝k（x﹣1）﹣ ，若它们的图象对于任意
的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位
置关系为 ．
14．（3分）在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是 ＝
1.5， ＝2.5，那么身高更整齐的是 队（填“甲”或“乙”）．
15．（3分）分解因式：ax2﹣4ax+4a＝ ．
16．（3分）如图，点B，A，C，D在 O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝ °．
⊙
17．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组
的解是 ．
第3页（共39页）18．（3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的
顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．
如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长
是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯
形的周长是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣6|+ ﹣4sin45°+（﹣1）2012．
20．（6分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，
赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在 范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选
手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或
“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一
种颜色的概率．
第4页（共39页）22．（8分）如图所示，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的
中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
23．（8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，山坡的坡
角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1
米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
24．（10分）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计
划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变
量x的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总
产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各
是多少万斤？
第5页（共39页）25．（10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的
点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
26．（10分）已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF＝1．线段EF在x
轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
第6页（共39页）2012 年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）4的倒数是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣ D．
【考点】17：倒数．
菁优网版权所有
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数，即可求解．
【解答】解：4的倒数是 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键．
2．（3分）如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有2个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．考查了学生们
的空间想象能力．
第7页（共39页）3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学
记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣6千克 B．0.201×10﹣5千克
C．20.1×10﹣7千克 D．2.01×10﹣7千克
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 002 01＝2.01×10﹣6；
故选：A．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
5．（3分）下列调查：
调查一批灯泡的使用寿命；
①
第8页（共39页）调查全班同学的身高；
②调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；
③企业招聘，对应聘人员进行面试．
④其中符合用抽样调查的是（ ）
A． B． C． D．
【考①点②】V2：全面调查与抽①样③调查． ②④ ②③
菁优网版权所有
【分析】本题需要根据具体情况正确选择普查或抽样调查等方法，并理解有些调查是不适
合使用普查方法的．
【解答】解： 调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查；
调查全班同①学的身高，适合全面调查；
②调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，适合抽样调查；
③企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查；
④故选：B．
【点评】本题主要考查了全面调查和抽样调查，在解题时选择普查还是抽样调查要根据所
要考查的对象的特征灵活选用是本题的关键．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则
OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
【考点】K6：三角形三边关系；L5：平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【分析】由在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，根据平行四边形对角线互相平分
与三角形三边关系，即可求得OA＝OC＝ AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴OA＝OC＝ AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合
第9页（共39页）思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
7．（3分）若点A（2，4）在函数y＝kx﹣2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】将点A（2，4）代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验
即可．
【解答】解：∵点A（2，4）在函数y＝kx﹣2的图象上，
∴2k﹣2＝4，解得k＝3，
∴此函数的解析式为：y＝3x﹣2，
A、∵3×1﹣2＝1，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
B、∵3×（﹣1）﹣2＝﹣5≠1，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；
C、∵3×（﹣2）﹣2＝﹣7≠﹣2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；
D、∵3×2﹣2＝4≠﹣2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2＝m2﹣n2 B．（2ab3）2＝2a2b6
C．2xy+3xy＝5xy D． ＝2a
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；73：二次根式的性
质与化简．
菁优网版权所有
【分析】根据完全平方公式即可判断A；根据积的乘方和幂的乘方，求出式子的结果，即可
判断B；根据合并同类项法则求出后即可判断C；根据二次根式的性质求出后即可判断
D．
【解答】解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误；
B、（2ab3）2＝4a2b6，故本选项错误；
C、2xy+3xy＝5xy，故本选项正确；
D、 ＝ ，故本选项错误；
第10页（共39页）故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式的
应用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．主要考查学生的辨析能力和计算能
力．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列
关系不正确的是（ ）
A．k＝n B．h＝m C．k＜n D．h＜0，k＜0
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．
【解答】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），
因为点（h，k）在点（m，n）的下方，所以k＝n不正确．
故选：A．
【点评】本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．能直接根据函数的解析式说出其顶
点坐标是解决此题的关键．
10．（3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安
排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
【考点】AD：一元二次方程的应用．
菁优网版权所有
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球
队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划
安排10场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝10，
第11页（共39页）即 ＝10，
∴x2﹣x﹣20＝0，
∴x＝5或x＝﹣4（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的
列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半
圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则 O的半径为（ ）
⊙
A．8 B．6 C．5 D．4
【考点】KW：等腰直角三角形；MC：切线的性质．
菁优网版权所有
【分析】首先连接OD，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而
求得OD的长．
【解答】解：连接OD，OA，
∵AB与 O相切，
∴OD⊥⊙AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD＝ AC＝4．
故选：D．
第12页（共39页）【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注
意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+1，一次函数y＝k（x﹣1）﹣ ，若它们的图象对于任意
的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【考点】AA：根的判别式；H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据题意由y＝ax2+bx+1 ，y＝k（x﹣1）﹣ ，组成的方程组只有一组解，消
① ②
去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+ ＝0，则△＝（b﹣k）2﹣4a（1+k+ ）＝0，整理得到（1
﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a＝0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1﹣a＝0，2a+b＝
0，b2﹣4a＝0，求出a，b即可．
【解答】解：根据题意得，
y＝ax2+bx+1 ，
①
y＝k（x﹣1）﹣ ，
②
解由 组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+ ＝0，
①②
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两个相等的值，
即△＝（b﹣k）2﹣4a（1+k+ ）＝0，
∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a＝0，
由于对于非零实数k都成立，所以有1﹣a＝0，2a+b＝0，
∴b2﹣4a＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式．二次函数的一般式：y＝ax2+bx+c
（a≠0）；也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题，而方程组的解的情
况转化为一元二次方程根的情况．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
第13页（共39页）13．（3分）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位
置关系为 平行 ．
【考点】J9：平行线的判定．
菁优网版权所有
【分析】根据同位角相等，两直线平行判断．
【解答】解：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，
所以∠1＝∠2，
所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
【点评】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题
的关键．
14．（3分）在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是 ＝
1.5， ＝2.5，那么身高更整齐的是 甲 队（填“甲”或“乙”）．
【考点】W7：方差．
菁优网版权所有
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断．
【解答】解：由于S甲 2＜S乙 2，则甲队中身高更整齐．
∴两队中身高更整齐的是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3分）分解因式：ax2﹣4ax+4a＝ a （ x ﹣ 2 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
第14页（共39页）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意要分解彻底．
16．（3分）如图，点B，A，C，D在 O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝ 2 5 °．
⊙
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
菁优网版权所有
【分析】由OA⊥BC，利用垂径定理，即可求得 ＝ ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝ ∠AOB＝ ×50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与平分弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的两条弧定理的应用．
17．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组
的解是 ．
第15页（共39页）【考点】FE：一次函数与二元一次方程（组）．
菁优网版权所有
【分析】先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．
【解答】解：∵由图象可知：函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象的交点P的坐标是（1，﹣
1），
又∵由y＝x﹣2，移项后得出x﹣y＝2，
由y＝﹣2x+1，移项后得出2x+y＝1，
∴方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力
和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．
18．（3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的
顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．
如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长
是 2 0 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形
的周长是 3 n + 5 或 3 n + 4 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【分析】第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加
了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此
规律可知：
纸张张数为1，图片周长为8＝3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4＝3×3+5；纸张
①张数为5，图片周长为8+2+4+2+4＝3×5+5；…；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯
形的周长为3n+5；
第16页（共39页）纸张张数为2，图片周长为8+2＝3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2＝3×4+4；
②纸张张数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2＝3×6+4；…；当n为偶数时，组成的大平行四边
形或梯形的周长为3n+4．
【解答】解：从图形可推断：
纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4＝3×5+5＝20；
当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4＝3n+5；
当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2＝3n+4．
综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4．
故答案为：20，3n+5或3n+4．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进
行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣6|+ ﹣4sin45°+（﹣1）2012．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】分别运算绝对值、二次根式的化简，然后代入sin45°的值，继而合并运算即可．
【解答】解：原式＝6+2 ﹣4× +1＝7．
【点评】此题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值，属于基础题，特殊角的三角函数
值是需要我们熟练记忆的内容．
20．（6分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C2：不等式的性质；C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：
解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞﹣1，
解不等式 ①得：x≤2，
∴不等式②组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集
第17页（共39页）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，题型较好，难度适中．
21．（8分）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，
赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在 8 5 ～ 9 0 范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选
手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或
“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一
种颜色的概率．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；
（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；
（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率．
【解答】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，
故答案为：85～90；
（2）全校参加比赛的人数＝5+10+6+3＝24人；
（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，
共有9种搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种，
上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为： ＝ ．
第18页（共39页）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）如图所示，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的
中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，
△AOC≌△BOD；
（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA＝OB，利用等腰三角形中：等边对等角即可证得
OE⊥AB．
【解答】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；
（2）OE⊥AB．理由如下：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠DAB＝∠CBA，
∴OA＝OB，
∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三线合一定理，正确证明
△ABC≌△BAD是关键．
23．（8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，山坡的坡
角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1
米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
第19页（共39页）（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角
问题．
菁优网版权所有
【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，
然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
【解答】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC＝BC•cos30°＝6 • ＝9米，
∵CF＝1米，
∴DF＝9+1＝10米，
∴GE＝10米，
∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝10米，
在直角三角形BGE中，
BG＝GE•tan20°＝10×0.36＝3.6米，
∴AB＝AG﹣BG＝10﹣3.6＝6.4米，
答：树高约为6.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图
形利用三角函数解直角三角形．
24．（10分）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计
划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变
量x的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总
产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各
第20页（共39页）是多少万斤？
【考点】GA：反比例函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；
（2）根据题意列出 后求解即可．
【解答】解：（1）由题意知：xy＝36，
故y＝ （ ≤x≤ ）
（2）根据题意得：
解得：x＝0.3
经检验x＝0.3是原方程的根．
1.5x＝0.45
答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例
函数模型，并利用其解决实际问题．
25．（10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的
点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
【考点】L9：菱形的判定；PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG＝GE，∠AGF＝∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG
＝∠AGF，从而判断出EF＝AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG＝GE，可
得出结论．
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，继而可得出结论．
第21页（共39页）（3）作OM⊥AD，设DE＝x，则MO＝ x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理
可解出x，继而可得出折痕FG的长度．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得，GA＝GE，∠AGF＝∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF＝AG），
又∵AG＝GE，
∴四边形AGEF是菱形．
（2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点
N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．
（3）作OM⊥AD，
第22页（共39页）设DE＝x，则MO＝ x，
在矩形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，
故AE为△AED的外接圆的直径．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∵四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝4，
∴ON＝MN﹣MO＝4﹣ x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE＝ON＝4﹣ x，AE＝8﹣x，
在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，
∴22+x2＝（8﹣x）2，
得x＝DE＝ ，OE＝4﹣ x＝ ，
∵△FEO∽△AED，
∴ ＝ ，
解得：FO＝ ，
∴FG＝2FO＝ ．
故折痕FG的长是 ．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定，难点在第三问，关键在于得出
ON、OE均是△AED的外接圆的半径，难度较大．
第23页（共39页）26．（10分）已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF＝1．线段EF在x
轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
【考点】FI：一次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边
成比例即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）先运用配方法将y＝﹣ x2+ x+ 写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；
（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为
此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，
使AA′＝1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线
段EF＝1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y
＝0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．
在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD＝∠CAE＝90°﹣∠ACE，∠BDC＝∠CEA＝90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE＝CD：AE，
∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，
∴y：（3﹣x）＝（x+1）：4，
第24页（共39页）∴y＝﹣ x2+ x+ （﹣1＜x＜3）；
（2）y有最大值．理由如下：
∵y＝﹣ x2+ x+ ＝﹣ （x2﹣2x）+ ＝﹣ （x﹣1）2+1，
又∵﹣1＜x＜3，
∴当x＝1时，y有最大值1；
（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′＝1，作
点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF＝1，则此
时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．
设直线A′B′的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ．
∴直线A′B′的解析式为y＝ x+ ，
当y＝0时， x+ ＝0，解得x＝﹣ ．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（﹣ ，
0）．
第25页（共39页）【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称
﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅助线证明△BCD∽△CAE是
解题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．
第26页（共39页）考点卡片
1．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a• ＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
（2）方法指引：
倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数
①一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
②
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n
＜10
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
第27页（共39页）1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系
①数的代数项；字母和字母指数；
明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会
②减少，达到化简多项式的目的；
“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母
③和字母的指数不变．
5．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化
规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意： 幂的乘方的底数指的是幂的底数； 性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
的指数相①乘，这里注意与同底数幂的乘法中“②指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意： 因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； 运用时数字因数的乘方应根据乘
方的意①义，计算出最后的结果． ②
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
第28页（共39页）（2）完全平方公式有以下几个特征： 左边是两个数的和的平方； 右边是一个三项式，其
中首末两项分别是两项的平方，都为①正，中间一项是两项积的2倍②；其符号与左边的运算符
号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意： 公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； 对形如
两数和（或差）的平方的计算，都可以①用这个公式； 对于三项的可以把其中的两项②看做一项
后，也可以用完全平方公式． ③
8．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
9．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质： a≥0； a≥0（双重非负性）． （a）2＝a （a≥0）（任何一个非负
数都可以写成一个数的平方①的形式）． a2＝a（a≥0）②（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简： 利用二次根式的③基本性质进行化简； 利用积的算术平方根的性质
和商的算术平方根的性①质进行化简．ab＝a•b ab＝ab②
（3）化简二次根式的步骤： 把被开方数分解因式； 利用积的算术平方根的性质，把被开
方数中能开得尽方的因数（①或因式）都开出来； 化简②后的二次根式中的被开方数中每一个
因数（或因式）的指数都小于根指数2． ③
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
②当△＜0时，方程无实数根．
③上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方
第29页（共39页）程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，
则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题： 利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 利用三角形、矩
形、菱形、梯形和①圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方②程． 利用相似三
角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元③二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构
成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，
①即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
②
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
③
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形： 两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，
但移项要变号； 两①边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】 ②
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要
第30页（共39页）改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大
于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
13．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，
若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次
在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
14．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤： 去分母； 去括号； 移项；
合并同类项； 化系数为1． ① ② ③
④以上步骤中，只有⑤ 去分母和 化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都
不会改变不等号方①向． ⑤
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与
等号合写形式．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．
解集的规律：①同大取大；同小取小；大小小大中间找②；大大小小找不到．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣ ，
0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
第31页（共39页）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为
常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应
的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元
一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． 注意在自变量和函数
①值的取值上的实际意义． 问题中出现的不等关系转化成相等的关系②来解，然后在作答中说
明． ③
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化
思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
第32页（共39页）正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
20．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞
①
﹣ 时，y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低
点．
当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞
②
﹣ 时，y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高
点．
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单
③
位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
21．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同
位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内
错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：
同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只
要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
第33页（共39页）（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的
定时炸弹，容易忽略．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直
角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，
等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角
形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相
等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝ +1，所以r：R＝1：
+1．
25．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
边：平行四边形的对边相等．
①角：平行四边形的对角相等．
②对角线：平行四边形的对角线互相平分．
③（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
①同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
②26．菱形的判定
菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
①四条边都相等的四边形是菱形．
②几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
第34页（共39页）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
③几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
27．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
28．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件： 顶点在圆上． 角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中①，同弧或等弧所对②的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧
一定要掌握．
（4）注意： 圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的
顶点和底角①的关系进行转化． 圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转
化． 定理成立的条件是“同一②条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，
把不③同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
29．切线的性质
（1）切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
③（2）切线的性质可总结如下：
第35页（共39页）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：
直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直．
①（3）切线性质的②运用 ③
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切
点，连半径，见垂直．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两
部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无
数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是
指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
第36页（共39页）平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐
减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，
在解直角三角形中应用较多．
34．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的
陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题中α，一般通过作高构成直角三角α 形，坡角即是一锐角，坡度实α 际就
是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域： 测量领域； 航空领域 航海领域： 工程领域等．
35．解直角①三角形的应用-②仰角俯角问题③ ④
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中
没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给
出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
36．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个
平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
第37页（共39页）俯、左：宽相等．
37．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点： 全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗
时长，而且某些调查不宜用全面调查①． 抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是
否具有代表性，直接关系到对总体估计②的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可
靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有
限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程
带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用
于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进
行普查．
38．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一
般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12
组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注： 频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方
形面积的①大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比
值，即小长方形面积＝组距×频数组距＝频率． 各组频率的和等于1，即所有长方形面积的
和等于1． 频率分布表在数量表示上比较确切②，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的
总体态势．③ 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得
不出原始的④数据内容．
39．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝1n[（x ﹣x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
1 2 n
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
第38页（共39页）40．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所
有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B
的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个
事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，
最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/22 19:53:14；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第39页（共39页）
