文档内容
2012年湖南省永州市中考数学试卷
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣（﹣2012）＝ ．
2．（3分）2012年4月27日国家统计局发布经济统计数据，我国2011年国内生产总值
（GDP）约为7298000000000美元，世界排位第二．请将7298000000000用科学记数法表示
为 ．
3．（3分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边
形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对
称图形的概率是 ．
4．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝45°，则∠2＝ 度．
5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过第 象限．
6．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC
于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
7．（3分）如图，已知圆O的半径为4，∠A＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完
全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
第1页（共16页）8．（3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，
如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，
它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称
这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组
成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，
33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是
．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3 分）若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键
的结果为（ ）
A．16 B．33 C．37 D．36
10．（3分）如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）永州市5月下旬11天中日最高气温统计如下表：
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
最高气温（℃） 22 22 20 23 22 25 27 30 26 24 27
则这11天永州市日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．22，25 B．22，24 C．23，24 D．23，25
12．（3分）已知a为实数，则下列四个数中一定为非负实数的是（ ）
第2页（共16页）A．a B．﹣a C．|﹣a| D．﹣|﹣a|
13．（3分）下面是四位同学解方程 过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）
A．2+x＝x﹣1 B．2﹣x＝1 C．2+x＝1﹣x D．2﹣x＝x﹣1
14．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．
B．a3•a﹣2＝a（a≠0）
C．不等式2﹣x＞1的解集为x＞1
D．当x＞0时，反比例函数y＝ 的函数值y随自变量x取值的增大而减小
15．（3分）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其
中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之
一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后
步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（
）
A．朝阳岩
B．柳子庙
C．迴龙塔
D．朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置
16．（3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步
依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动
到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚
棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
第3页（共16页）A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：6tan30°﹣|﹣ |+（﹣1）2012+ ．
18．（6分）解方程：（x﹣3）2﹣9＝0．
19．（6分）先化简，再求代数式 的值，其中a＝2．
20．（8分）为保证学生上学安全，学校打算在今年下期采购一批校车，为此，学校安排学生会
在全校300名走读学生中对购买校车的态度进行了一次抽样调查，并根据抽样调查情况
绘制了如图统计图．
走读学生对购买校车的四种态度如下：
A．非常希望，决定以后就坐校车上学
B．希望，以后也可能坐校车上学
C．随便，反正不会坐校车上学
D．反对，因家离学校近不会坐校车上学
（1）由图 知A所占的百分比为 ，本次抽样调查共调查了 名走读学生，并
完成图 ①；
（2）请你②估计学校走读学生中至少会有多少名学生乘坐校车上学（即A态度的学生人数）．
21．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE
＝GF＝GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
第4页（共16页）22．（8分）某公司计划2012年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙
两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．该公司的广告总费用为9万
元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万
元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计
甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？
23．（10分）如图，AC是 O的直径，PA是 O的切线，A为切点，连接PC交 O于点B，连
接AB，且PC＝10，P⊙A＝6． ⊙ ⊙
求：（1） O的半径；
（2）cos∠⊙BAC的值．
24．（10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为
y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1， ）是函数图象
上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；
（2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．
25．（10分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l
为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作
PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
第5页（共16页）（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m＝0，m＝2和m＝4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想
一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说
明理由．
第6页（共16页）2012年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义，得﹣2012的相反数是2012．故答案为2012．
【点评】本题主要考查相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣
a．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于7298000000000有13位，所以可以确定n＝13﹣1＝12．
【解答】解：7 298 000 000 000＝7.298×1012．
故答案为：7.298×1012．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的
比值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，即B、C，所以摸出的图形是
中心对称图形的纸牌的概率是： ＝ ．
故答案： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
4．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝45°，
∴∠1＝∠3＝45°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．
第7页（共16页）【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．【分析】先根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣1，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得
出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，
函数图象经过一、二、四象限．
6．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即
可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后
根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四
边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC＝10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2
（DE+EC+CD）＝2×10＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌
握数形结合思想与转化思想的应用．
7．【分析】首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底
面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°
第8页（共16页）∴扇形BOC的弧长为 ＝2 ，
π
设圆锥的底面半径为r，则2 r＝2
解得r＝1， π π
故答案为1．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关
元素之间的转化．
8．【分析】由于3﹣1＝2，7﹣3＝4，13﹣7＝6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后
一个数比13大8．
【解答】解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，
则x﹣13＝8，解得x＝21，即第五个数为21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定等差数列的公差为2．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】利用科学记算器按照按键顺序进行计算即可．
【解答】解：按照5、x2、+、2、yx、3的按键顺序计算后显示结果为33，
故选：B．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能，会用科学记
算器进行计算．
10．【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．
【解答】解：A、圆柱的俯视图为矩形，故本选项正确；
B、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误；
C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；
D、三棱锥的俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．
11．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平
均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：将图表中的数据按从小到大排列：20，22，22，22，23，24，25，26，27，27，30，
其中数据22出现了三次，出现的次数最多，为众数；24处在第6位，为中位数．
所以这组数据的众数是22，中位数是24．
第9页（共16页）故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对
这些概念掌握不清楚而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根
据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶
数个则找中间两位数的平均数．
12．【分析】根据绝对值非负数的性质解答．
【解答】解：根据绝对值的性质，为非负实数的是|﹣a|．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值非负数的性质，是基础题，熟记绝对值非负数是解题的关
键．
13．【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转
化为整式方程．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
2﹣x＝x﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的
项．
14．【分析】分别根据二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函数的
性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、当a＜0，b＜0时， ＝ • ，故本选项错误；
B、符合同底数幂的乘法法则，故选项正确；
C、不等式2﹣x＞1的解集为x＜1，故本选项错误；
D、当x＞0时，反比例函数y＝ 的函数值y随自变量x取值的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函
数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
15．【分析】设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝
阳岩的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．
【解答】解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距
离朝阳岩的路程为13，
第10页（共16页）A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13＝18；
B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8＝13；
C、当旅游车停在迴龙塔时，总路程为13+8＝21；
D、当旅游车停在朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．
故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，
故选：B．
【点评】本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．
16．【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝ k（k+1），然后根据题目中
所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝ k（k+1），应停在第 k
（k +1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式
求解．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．【分析】分别进行绝对值、零指数幂，然后代入tan30°的值，继而合并运算即可．
【解答】解：原式＝6× ﹣2 +1+1
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握各部
分的运算法则是关键．
18．【分析】这个式子先移项，变成（x﹣3）2＝9，从而把问题转化为求9的平方根．
第11页（共16页）【解答】解：移项得：（x﹣3）2＝9，
开平方得：x﹣3＝±3，
则x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得：x ＝6，x ＝0．
1 2
【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，运用整体思想，会把被开方数看成整
体．
19．【分析】将第一个因式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，约分化为最简分式，
然后通分并利用同分母分式的加法法则计算，第二个因式的分子利用完全平方公式分解
因式，约分后得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：（ +1）•
＝[ +1]•
＝（ + ）•
＝ •
＝a﹣1，
当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出
现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
20．【分析】（1）用1减去B、C、D的百分比，得出A所占的百分比，用A的人数÷A的百分比，
得出调查的走读生数；
（2）用300×A所占的百分比，得出学校走读学生中乘坐校车上学的人数．
【解答】解：（1）A所占的百分比为1﹣30%﹣20%﹣10%＝40%，
调查的走读生数为20÷40%＝50人，
其中态度B为50﹣20﹣10﹣5＝15，
故答案为：40%，50；
（2）估计学校走读学生中乘坐校车上学的人数至少为：300×40%＝120人．
第12页（共16页）【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B＝∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C＝
∠GFC，所以∠B＝∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE＝GF即可得出结论．
【解答】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B＝∠C，
∵GF＝GC，
∴∠GFC＝∠C，
∴∠GFC＝∠B，
∴AB∥GF，
又∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB∥GF
是解答此题的关键．
22．【分析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则根据广告
总时长及总费用可得出x和y的值，继而代入也可得出总收益．
【解答】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，
由题意得， ，
解得： ，
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告．
此时公司收益为100×0.3+200×0.2＝70万元．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，甲、乙两电视台
第13页（共16页）2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来70万元的总收益．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，关键是仔细审题，得出题意中的
两个等量关系，然后运用方程的思想进行解题．
23．【分析】（1）由AC是 O的直径，PA是 O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC＝
90°，又由PC＝10，PA＝⊙6，利用勾股定理⊙即可求得AC的值，继而求得 O的半径；
（2）由AC是 O的直径，PA是 O的切线，根据圆周角定理与切线的性质⊙，即可得∠ABC
＝∠PAC＝90⊙°，又由同角的余角⊙相等，可得∠BAC＝∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P
的值，即可得cos∠BAC的值．
【解答】解：（1）∵AC是 O的直径，PA是 O的切线，
∴CA⊥PA， ⊙ ⊙
即∠PAC＝90°，
∵PC＝10，PA＝6，
∴AC＝ ＝8，
∴OA＝ AC＝4，
∴ O的半径为4；
⊙
（2）∵AC是 O的直径，PA是 O的切线，
∴∠ABC＝∠P⊙AC＝90°， ⊙
∴∠P+∠C＝90°，∠BAC+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P＝ ＝ ＝ ，
∴cos∠BAC＝ ．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适
中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
24．【分析】（1）当x取0时，y的值即是AB的长度，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值．
（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）＝1，AH＝ ，在RT△ABH中，可得出∠B的度数．
（3）分两种情况进行讨论， ∠APB为钝角， ∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0①时，y的值即是AB②的长度，故AB＝2；
第14页（共16页）图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH＝ ；
（2）在RT△ABH中，AH＝ ，BH＝1，tan∠B＝ ，
故∠B＝60°．
（3） 当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜1；
当∠①BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB，
②
则BP＝ ＝4，
即当4＜x≤6时，∠BAP为钝角．
综上可得0＜x＜1或4＜x≤6时△ABP为钝角三角形．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函
数图象得出AB、AH的长度，第三问需要分类讨论，注意不要漏解．
25．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数
法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）令y＝ax2+bx﹣1＝0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）分别求出当m＝0，m＝2和m＝4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再
进行证明；
（4）由（3）知OP＝PH，只要OH＝OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和
n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴ ，
解得a＝ ，b＝0，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣1；
（2）令y＝ x2﹣1＝0，
解得x＝﹣2或x＝2，
第15页（共16页）由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0；
（3）当m＝0时，|PO|2＝1，|PH|2＝1；
当m＝2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2＝4，|PH|2＝4，
当m＝4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2＝25，|PH|2＝25，
由此发现|PO|2＝|PH|2，
设P点坐标为（m，n），即n＝ m2﹣1
|OP|＝ ，
|PH|2＝n2+4n+4＝n2+m2，
故对于任意实数m，|PO|2＝|PH|2；
（4）由（3）知OP＝PH，只要OH＝OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为（m，n），|OP|＝ ，
|OH|＝ ，
|OP|＝|OH|，即n2＝4，解得n＝±2，
当n＝﹣2时，n＝ m2﹣1不符合条件，
故n＝2，m＝±2 时可使△POH为正三角形．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特
征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般．
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