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微专题 39 实际应用题
类型一 方程（组）与不等式的实际应用（6年5考）
1. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.书中
记载了这样一个问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，
不足一尺，问木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5
尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？请解答上述问题.
2. （2024佛山模拟）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1 100元经费购买
围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元.所购买围棋的套数能否是所
购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数；若不能，请
说明理由.
3. 为了提高道路的通行效率，广东某市对一拥堵路段实行了灯控路口智能化
改进，优化了交通信号灯配时，驾驶员只需要控制好车速，便可达到“一路绿
灯”的效果.据了解该路段总长约6公里，改进后通过该路段的车辆的行驶速度
平均提高了50％，行驶时间平均减少3分钟，求该路段改进前，通过该路段的
车辆平均每小时行驶的路程.
4. （2024顺德区二模）某单位为响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走
向“无纸化”办公.据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1 000张，到了4
月份A4纸的用纸量降到了640张.
（1）求该单位A4纸的用纸量月平均降低率；
（2）根据（1）的结果，估算5月份该单位A4纸的用纸量.
第 1 页 共 19 页5. （2024贵州）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学
生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生种植甲、乙两种作物.
如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作
物需要22名学生.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作
物多少亩？
6. （2024梅州一模）周末，小明和他的爸爸来到如图所示的环形运动场进行跑
步锻炼，绕环形运动场一圈的路程为400米.
（1）若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起
点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面追上小明，问小明和他的爸爸
的速度各为多少？
（2）假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒.两人进行400米赛跑，
同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒.按此继续比赛，
小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；
如果不能，请说明理由.
第 2 页 共 19 页第6题图
类型二 函数的实际应用（6年4考）
1. （2024东莞模拟）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距
离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小
孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若火焰的像高为3 cm，求小孔到蜡烛的距离.
第1题图
2. 比叶面积是指叶片的单叶面积与单叶干重之比，可作为叶片遮荫度的指数
使用.通过对某种温带森林植物的研究，发现某种植物的比叶面积y（m2/kg）与
年均降水量x（mm）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下表：
年均降水量x（mm） … 400 430 500 570 600 …
比叶面积y（m2/kg） … 22.62 23.82 26.62 29.42 30.62 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）当年均降水量为530 mm时，这种植物的比叶面积是多少？
第 3 页 共 19 页3. （2024中山模拟）随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多
的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及
充电时间（如图①）.某公司用两种充电桩对目前电量为20％的新能源汽车充电.
经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电时间x
（单位：小时）的函数图象分别为图②中的线段AB，AC.根据以上信息，回答
下列问题：
（1）求线段AB和线段AC所代表的函数表达式（写出取值范围）；
（2）在某次出行之前，李梅要对余电10％的电车充电，先用快速充电桩充电，
再用普通充电桩充电，要求用2.5小时完成充电，请你设计一个合理的充电方
案.
第3题图
4. （2024珠海模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物
为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元
收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2
kg和B原料4 kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价
是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.
第 4 页 共 19 页（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
5. 毽球俗称“毽子”，也称为“燕子”，并有诗句“踢碎香风抛玉燕”的描
述，是一项传统的民间体育活动.某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划
组织毽球比赛，并购买一批毽球作为奖品，现有甲、乙两种品牌的毽球可供选
择.已知乙品牌毽球单价比甲品牌贵1元，且用130元购买甲品牌毽球个数是用
70元购买乙品牌毽球个数的两倍.
（1）这两种品牌毽球的单价各是多少？
（2）若购买两种品牌的毽球共150个，且购买甲品牌毽球的个数不能超过乙品
牌的一半，求购买的最低费用.
6. （2024东莞模拟）综合与实践：
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低
度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可
近似的用如图所示的图象表示.国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20
（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.
第 5 页 共 19 页【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度
白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由.
第6题图
类型三 解直角三角形的实际应用（6年2考：2024，2023.18）
1. （2024佛山一模）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非
物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘下
来的过程称为“采青”.舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到“生菜”的位置之
间的距离称为“采摘距离”.如图，舞狮者站在梅花桩AB上，AB与“生菜”放
置点D的水平距离BC为1.1米，∠D＝53°.已知该舞狮者采摘距离为1.43米，
请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由.（参考数据：sin
53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）
第1题图
第 6 页 共 19 页2. （2024甘肃省卷）甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成
员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一
个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如
图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝
1.6 m，点C与点E相距182 m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得
筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒
4 3 4
AH的高度.（参考数据：sin 53°≈ ，cos 53°≈ ，tan 53°≈ .）
5 5 3
第2题图
3. 如图①，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采
桑工具——桑梯，其简单示意图如图②，已知AB＝AC＝1.8 m，AD＝1.6 m，
AC与AB的夹角∠BAC为α.为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹
角α调整为42°，并用铁链锁定B，C两点，此时农夫站在离顶端D处0.6 m
的E处时可以高效且安全地采桑.求此时农夫所在的E处到地面的高度.（结果
精确到0.1 m，参考数据：sin 21°≈0.36，cos 21°≈0.93，tan
21°≈0.38）
第 7 页 共 19 页第3题图
4. 定滑轮的工作原理是改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向.
某班“综合与实践”小组的同学发现校园内，工人师傅利用定滑轮运输物体，
于是把“测量定滑轮距地面的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践
报告，并完成了如下活动报告.
课题 测量定滑轮距地面的高度
测量工具 测角仪、皮尺等
说明：小组成员站在A处，拉动绳子，使得
测量示意
物体移动，且点A，B，B'，C，C'，O均在
图
同一竖直平面内.
第4题图
绳子与水平面的夹角
物体移动后绳
物体移动前 物体移动后 物体的高度BC
测量数据 子收回的长度
37° 53° 0.5 m 4.5 m
…
请根据活动报告，求定滑轮O距地面的高度.（结果精确到1 m，参考数据：sin
37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 53°≈0.80，cos
53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
第 8 页 共 19 页5. 为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式
建造.如图，某小区有前后两栋楼分别是高层AB和小高层CD，两栋楼的楼间距
BD为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角
为45°，测得对面小高层楼底D点的俯角为58°，已知小高层CD每层高为3
米.（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，结果精确
到1米）
第5题图
（1）求该小区高层AB的高度；
（2）求该小区小高层有多少层？
6. （2024江西）图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体
建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图②，
“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知
AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一
条直线上.经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝
152°.（结果精确到0.1 m）
第 9 页 共 19 页（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长.
（参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88）
第6题图
第 10 页 共 19 页类型一 方程(组)与不等式(组)的实际应用
1. 解：设木条长x尺，绳子长y尺，
{ x+4.5= y
根据题意可得方程组 ，
x－1=0.5 y
{x=6.5
解得 ，
y=11
答：木条长6.5尺.
2. 解：能.
设购买象棋x套，则购买围棋2x套，
根据题意，得40×2x＋30x＝1 100，
解得x＝10，
∴2x＝20(套)，
答：能恰好用1 100元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象
棋套数的2倍，则购买了象棋10套，围棋20套.
3. 解：设改进前车辆平均每小时行驶x公里，则改进后平均每小时行驶(1＋
50％)x公里，
6 6 3
根据题意，得 － ＝ ，
x (1+50%)x 60
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的根，且符合题意.
答：该路段改进前，通过该路段的车辆平均每小时行驶的路程为40公里.
4. 解：(1)设该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，
根据题意，得1 000(1－x)2＝640，
解得x ＝0.2＝20％，x ＝1.8(不符合题意，舍去).
1 2
答：该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20％；
(2)根据题意，得640×(1－20％)＝512(张).
答：估算5月份该单位A4纸的用纸量为512张.
5. 解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生，
第 11 页 共 19 页{3x+2y=27
根据题意，得 ，
2x+2y=22
{x=5
解得 ，
y=6
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生；
(2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩，
根据题意，得5m＋6(10－m)≤55，
解得m≥5.
答：至少种植甲作物5亩.
6. 解：(1)设小明的速度为x米/秒，他的爸爸的速度为y米/秒，
{ 36x+36 y=400
由题意，得 ，
180 y－180x=400
40
{x＝
9
解得 ，
20
y＝
3
40 20
答：小明的速度为 米/秒，他的爸爸的速度为 米/秒；
9 3
(2)能.
∵小明到400米终点需要的时间为400÷5＝80(秒)，他的爸爸到400米终点需要
200 200 250
的时间为 ＋ ＝ (秒)，
6 4 3
240 250
∵80＝ ＜ ，
3 3
∴小明能在400米终点前追上爸爸，
设小明追上爸爸需要的时间为m秒，则追上时距离终点还有(400－5m)米，
200
由题意，得5m＝200＋4(m－ )，
6
200
解得m＝ ，
3
200 200
∴400－5m＝400－5× ＝ (米)，
3 3
200
答：小明能在400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有 米.
3
第 12 页 共 19 页类型二 函数的实际应用
k
1. 解：(1)由题意设y＝ (k≠0)，
x
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
12
∴y关于x的函数表达式为y＝ ；
x
12
(2)把y＝3代入y＝ 中，得x＝4，
x
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
2. 解：(1)设y与x之间的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，
将(400，22.62)，(500，26.62)分别代入，
{400k＋b=22.62
得 ，
500k＋b=26.62
{k=0.04
解得 ，
b=6.62
∴y与x之间的函数表达式为y＝0.04x＋6.62；
(2)将x＝530代入y＝0.04x＋6.62中，
得y＝0.04×530＋6.62＝27.82，
∴当年均降水量为530 mm时，这种植物的比叶面积是27.82 m2/kg.
3. 解：(1)设线段AB所代表的表达式为y＝kx＋20％(k≠0)，把(1，100％)代入
得，
100％＝k＋20％，
解得k＝80％，
∴线段AB所代表的函数表达式为y＝80％x＋20％(0≤x≤1)；
设线段AC所代表的表达式为y＝k'x＋20％(k≠0)，把(6，100％)代入
得，100％＝6k'＋20％，
2
解得k'＝ ，
15
2
∴线段AC所代表的表达式为y＝ x＋20％(0≤x≤6)；
15
(2)设快速充电m小时，则普通充电(2.5－m)小时，
第 13 页 共 19 页2
根据题意得，80％m＋ (2.5－m)＝100％－10％，
15
解得m＝0.85，
∴2.5－m＝2.5－0.85＝1.65，
答：快速充电0.85小时，普通充电1.65小时可完成充电.
4. 解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
900 900
根据题意，得 － ＝100，
m 1.5m
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，且符合题意，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是4.5×2＋3×4＋9＝30(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1 400x－33 000＝－10(x
－70)2＋16 000，
∵－10＜0，
∴当x＝70时，每天的利润最大，最大利润为16 000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16 000元.
5. 解：(1)设甲品牌毽球的单价是x元，则乙品牌毽球的单价是(x＋1)元，
130 70
由题意，得 ＝ ×2，解得x＝13，
x x+1
经检验，x＝13是原分式方程的解，且符合实际，
∴x＋1＝14(元).
答：甲品牌毽球的单价是13元，乙品牌毽球的单价是14元；
(2)设购买费用为w元，购买甲品牌毽球a个，则购买乙品牌毽球(150－a)个，
由题意，得w＝13a＋14(150－a)＝13a＋2 100－14a＝－a＋2 100，
∵购买甲品牌毽球的个数不能超过乙品牌的一半，
第 14 页 共 19 页150－a
∴a≤ ，解得a≤50.
2
∵－1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝50时，w有最小值，最小值为－50＋2 100＝2 050(元).
答：购买的最低费用为2 050元.
6. 解：(1)设OA的函数表达式为y＝kx(k≠0)，根据题图得
1
k＝20，
3
∴k＝60，
3
∴OA的函数表达式为y＝60x(0≤x≤ )，
2
3
∴当x＝ 时，y＝90，
2
m
设部分双曲线BC的函数表达式为y＝ (m≠0)，
x
由图象可知，当x＝3时，y＝90，
∴m＝270，
270
∴部分双曲线BC的函数表达式为y＝ (x≥3)；
x
(2)不能驾车出行，理由如下：
270
在y＝ 中，令y＜20，
x
270
可得 ＜20，
x
解得x＞13.5，
∵晚上20：00到第二天早上9：00的时间间隔为9＋4＝13时，13时＜13.5时，
∴某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00时体内的
酒精含量仍高于20(毫克/百毫升)，不能驾车出行.
类型三 解直角三角形的实际应用
1. 解：该舞狮者能“采青”成功，
理由：如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
第 15 页 共 19 页由题意，得AE＝BC＝1.1(米)，
在Rt△AED中，∠D＝53°，
AE 1.1
∴AD＝ ≈ ＝1.375(米)，
sin53° 0.8
∵1.375米＜1.43米，
∴该舞狮者能“采青”成功.
第1题解图
2. 解：如解图，连接DF，交AH于点G.
由题意可得，DF∥CE，AH⊥CE，∴AH⊥DF，GH＝DC＝FE＝1.6 m，
∴∠AGD＝∠AGF＝90°.
在Rt△AGD中，∵∠ADG＝45°，
∴DG＝AG.
在Rt△AGF中，∵∠AFG＝53°，
AG
AG AG 3
∴GF＝ ＝ ≈ 4 ＝ AG.
tan∠AFG tan53° 4
3
∵DG＋GF＝DF＝CE＝182，
3
∴AG＋ AG＝182.
4
∴AG＝104.∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6(m)，
∴风电塔筒AH的高度约为105.6(m).
第2题解图
3. 解：如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，
由题意可知AE＝AD－DE＝1.6－0.6＝1 m，AB＝AC＝1.8(m)，
第 16 页 共 19 页∴CE＝AE＋AC＝1＋1.8＝2.8(m)，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1
∴∠BAF＝∠CAF＝ ∠BAC＝21°，
2
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴∠CEG＝∠CAF＝21°，
在Rt△EGC中，EG＝CE·cos 21°≈2.8×0.93≈2.6(m)，
答：此时农夫所在的E处到地面的高度约为2.6 m.
第3题解图
4. 解：如解图，过点O作OD⊥CC'交CC'的延长线于点D，连接BB'并延长交
OD于点E.
根据题意，得BC＝B'C'＝DE＝0.5 m，CD＝BE，
在Rt△BEO中，∠EBO＝37°，
OE OE
sin∠EBO＝ ，∴OB＝ ，
OB sin37°
在Rt△B'EO中，∵∠EB'O＝53°，
OE OE
sin∠EB'O＝ ，即OB'＝ .
OB' sin53°
∵绳子收回的长度为4.5(m)，
OE OE
∴OB－OB'＝ － ＝4.5，
sin37° sin53°
OE OE
即 － ≈4.5，解得OE＝10.80，
0.60 0.80
∴OD＝OE＋DE＝10.80＋0.5≈11，
答：定滑轮O距地面的高度约为11 m.
第 17 页 共 19 页第4题解图
5. 解：(1)根据题意，易得∠ADB＝58°，AB⊥BD，
在Rt△ABD中，AB＝BD·tan 58°≈40×1.60＝64(米)，
∴该小区高层AB的高度约为64米；
(2)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意，易得四边形CDBE为矩形，∠ACE＝45°，
∴CE＝BD＝40(米)，CD＝BE，△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝40(米)，
由(1)知，AB＝64(米)，
∴BE＝AB－AE＝24(米)，
∴CD＝BE＝24(米)，
∵小高层CD每层高为3米，
∴24÷3＝8(层)，
∴该小区小高层有8层.
第5题解图
6. 解：(1)∵AD∥EF，且AM⊥MN，DN⊥MN，
∴四边形AMND为矩形，
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)；
(2)如解图，过点B作BG⊥AM于点G，
则易得四边形GMEB为矩形，
∴∠GBE＝90°，BG＝ME，GM＝BE，
第 18 页 共 19 页∴∠ABG＝∠ABE－∠GBE＝152°－90°＝62°，
AG
∵tan∠ABG＝ ，BG＝ME，
BG
∴AG＝BG·tan 62°＝ME·tan 62°≈20×1.88＝37.6(m)，
∴AM＝AG＋GM＝AG＋BE＝37.6＋2.4＝40.0(m).
第6题解图
第 19 页 共 19 页
