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微专题 42 几何最值问题
类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题
方法解读
类型 一定一动型 一定两动型
P是直线l外的定点，H是直线l M是∠BAC内部的定点，N，P分
条件
上的动点 别是AB，AC上的动点
图示
线段PH是点P到直线l的最短距
结论 PM＋PN的最小值为M'N的长
离
1. （人教八上练习改编）如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D是BC边上的动
点，则线段AD的最小值是 .
第1题图
2. （2024东莞模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，
将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，
则DQ的最小值是 .
第2题图
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝35°，D是边AC上一点，E，F分别是射线
BA，BC上异于点B的动点，连接DB，DE，EF，若∠CBD＝10°，BD＝6，则
DE＋EF的最小值为 .
第 1 页 共 22 页第3题图
4. （2024中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为
AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则
四边形ACGH周长的最小值是 .
第4题图
5. （2024梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋6的图象与
x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO
周长的最小值为 .
第5题图
6. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边
BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，则∠PQR
＋∠PRQ的度数为 .
第6题图
类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题
第 2 页 共 22 页方法解读
类型 两定点＋一动点型 一定点＋两动点型 两定点＋定长型
异侧 同侧 P是∠AOB内部的
A，B是定点，M，N分
定点，M，N分别
条件 A，B是定点，P是直线l 别是l ，l 上的动点，
1 2
是OA，OB上的动
上的动点 且MN⊥l
1
点
图示
PA＋PB的 PA＋PB的
△PMN周长的最小 AM＋MN＋BN的最小
结论 最小值为 最小值为
值为P'P″的长 值为A'B＋MN的长
AB的长 AB'的长
1. （北师九上随堂练习改编）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AB
上一点，且AE＝1，F为对角线BD上一动点，连接EF，CF，则EF＋CF的最
小值为 .
第1题图
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，AC＝3，BC的垂直平分线DE分别交
AB，BC边于点D，E，F为AC边的中点，P为线段DE上一动点，若△ABC的
面积是9，则PC＋PF的最小值为 .
第2题图
第 3 页 共 22 页3
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点A，
4
B（4，0），与y轴交于点C（0，－3）.点P是抛物线对称轴上一点，连接
AP、CP，当AP＋CP的值最小时，点P的坐标为 .
第3题图
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别是AB，CD上的动点，
EF∥BC，则AF＋EF＋CE的最小值为 .
第4题图
4
5. （2024香洲区二模）如图，点A（1，m）和B（n，2）在反比例函数y＝
x
的图象上，点C，D分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，连接AB，BC，
CD，DA，则四边形ABCD周长的最小值为 .
第5题图
类型三 与圆有关的最值问题（6年5考）
考向1 点圆、线圆最值问题
方法一 点圆最值问题
方法解读
第 4 页 共 22 页条件：如图，平面内一定点D和☉O，E是☉O上的动点，连接DE.
结论：当圆心O在线段DE上时，DE取得最大值（图①），当圆心O在DE的
延长线上时，DE取得最小值（图②）.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，☉O的半径为1，若圆心O在矩
形ABCD的边上运动，则点C到☉O上的点的距离的最大值为 .
第1题图
2. （2024珠海模拟）如图，☉M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P
是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点.若点
A，点B关于原点O对称，则当AB取最小值时，点A的坐标为 .
第2题图
1
3. （2024东莞一模）如图，抛物线y＝ x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点
4
C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，连接PA，点Q是线段PA的中点，
连接OQ，则线段OQ的最大值是 .
第3题图
方法二 线圆最值问题
第 5 页 共 22 页方法解读
条件：如图，☉O与直线l相离，设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为
d，P是☉O上的动点.
结论：点P到直线l的最小距离为d－r（图①），最大距离为d＋r（图②）.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心，1为半径作圆，
P是☉B上一动点，Q是对角线AC上一动点，则PQ的最小值为 .
第4题图
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以点D
为圆心，1为半径作☉D，P为☉D上的一个动点，连接AP，OP，OA，则△AOP
面积的最大值为 .
第5题图
6. 如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，半径为1的☉O在
斜边AC上滚动，点D是☉O上一点，则四边形ABCD的最大面积为 .
第6题图
考向2 利用辅助圆求最值（6年4考）
第 6 页 共 22 页方法一 定点定长作圆（2021.10）
方法解读
原理：圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.
情形：在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定.
动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分.
1. （2020广东17题4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫
紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、
猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N
分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点
D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小
值为 .
第1题图
2. （2024烟台）如图，在 ABCD 中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10.E为边
▱
CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF 沿EF翻折得△D'EF， 连接AD'，
BD'.则△ABD'面积的最小值为 .
第2题图
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，E为BC上一动点，连接
DE，作点C关于直线DE的对称点F，连接BF，则BF的最小值为 .
第 7 页 共 22 页第3题图
方法二 定弦定角作圆（6年2考：2021.10、17）
方法解读
情形：如图，在△ABC中，∠C（α）为定角，所对的弦AB长度固定.
⏜
动点轨迹：（1）当0＜α＜90°时，点C的轨迹如图①所示，即 ；（2）当α
ACB
＝90°时，点C的轨迹如图②所示，即☉O（不含A，B两点）；（3）当90°
⏜
＜α＜180°时，点C的轨迹如图③所示，即 .
AB
第4题图
4. （2024梅州市一模）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点P
是△ABC内一点，满足∠CBP＝∠ACP，则PA的最小值为 .
5. （2021广东17题4分）在△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D
为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 .
6. （2021广东10题改编）设O为坐标原点，点A，B为抛物线y＝x2上的两个
动点，且OA⊥OB.连接点A，B，过点O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离
的最大值为 .
方法三 四点共圆（6年2考：2024.22，2023.23）
第 8 页 共 22 页方法解读
情况二（异侧型）：如图③，
情况一（同侧型）：如图①②，线段AB
由点A，B，C，D构成的四边
条件 长度为定值，点C，D为AB同侧两动
形中，∠ADC＋∠ABC＝
点，且∠ACB＝∠ADB
180°
类型
图① 图② 图③
结论 A，B，C，D四点共圆
7. （人教八上练习改编）如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝
45°，AC＝6，则AD的最大值为 .
第7题图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是斜边AB上一动点，
连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE，O是DE
的中点，连接OC，OA，则AO的最小值为 .
第8题图
9. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点E，F分别是边BC，
AB上的点，且AF＝BE，连接CF与AE交于点G，连接DG，则DG的最大值为
.
第9题图
第 9 页 共 22 页类型四 利用二次函数性质解决最值问题
[6年2考：2022.23（2），2021.9]
方法解读
要求y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值，可将解析式化为顶点式，确定其对称轴是
否在自变量x的取值范围内，再画出图象，利用数形结合思想及所给端点与对
称轴的距离，依据二次函数增减性求最值.
1. （2021广东9题3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边
求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形
a＋b＋c
的三边长分别为a，b，c， 记p＝ ，则其面积S＝
2
√p（p－a)(p－b)(p－c）.这个公式也被称为海伦－秦九韶公式.若p＝5，c＝
4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. √5 B. 4 C. 2√5 D. 5
1 3
2. 如图，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
2 2
于点C，且D（m，n）是第二象限内抛物线上一点，则四边形OCDA的面积的
最大值为 .
第2题图
3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC的中点，点E是
AB上一动点，点F是BC上一动点，且点E不与端点重合，∠DEF＝45°，则
BF的最大值为 .
第3题图
第 10 页 共 22 页类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题
1. 2√3 【解析】如解图，过点A作AD'⊥BC于点D'，根据垂线段最短可知，
当点D与点D'重合时，AD的值最小.∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝4，
1
∴BD'＝CD'＝ BC＝2，∴AD'＝√AB2－BD'2＝2√3，∴线段AD的最小值是2√3.
2
第1题解图
3√3
2. 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝
2
6，如解图，过点D作DQ'⊥CQ于点Q'，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，∴
点Q为射线CQ上的动点，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是
1
AC边的中点，∴CD＝ AC＝3，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，点Q与
2
1 3 3√3
Q'重合，∠CDQ'＝30°，∴CQ'＝ CD＝ ，∴DQ'＝√DC2－CQ'＝ ，∴DQ
2 2 2
3√3
的最小值是 .
2
第2题解图
3. 3√3 【解析】如解图，作点D关于BA的对称点D'，连接DD'，BD'，过点
D'作BC的垂线交BA于点E，交BC于点F，由对称的性质得D'E＝DE，∴DE
＋EF＝D'E＋EF＝D'F，此时DE＋EF的值最小，最小值为线段D'F的长.
∵∠ABC＝35°，∠CBD＝10°，BD＝6，∴∠DBA＝∠D'BA＝∠ABC－∠CBD
第 11 页 共 22 页＝25°，BD'＝BD＝6，∴∠CBD'＝35＋25°＝60°，∴D'F＝BD'·sin 60°＝
√3
6× ＝3√3，∴DE＋EF的最小值为3√3.
2
第3题解图
4. 22 【解析】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝
{ ∠B＝∠MCG
CM，在△BMH和△CMG中， BM＝CM ，∴△BMH≌△CMG(ASA)，∴HM
∠BMH＝∠CMG
＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC＋CG＋GH
＋AH＝AB＋AC＋GH＝14＋GH，如解图，当GH最小时，即GH⊥AB时，四边
形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，GH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形
ACGH为矩形，∴GH＝AC＝8，∴四边形ACGH周长的最小值为14＋8＝22.
第4题解图
5. 3√2＋6 【解析】由直线y＝x＋6的解析式得，当x＝0时，y＝x＋6＝6，当
y＝0时，x＋6＝0，解得x＝－6，∵一次函数y＝x＋6的图象与x轴交于点A，
与y轴交于点B，∴A(－6，0)，B(0，6)，则OA＝OB＝6，∴△ABO是等腰直角
三角形，由题意，可设点P的坐标为(a，a＋6)(－6＜a＜0)，∵PC⊥x轴，∴OC
＝－a，PC＝a＋6，∴△PCO的周长为OC＋PC＋OP＝－a＋a＋6＋OP＝6＋
OP，则求△PCO周长的最小值只要求出OP的最小值即可，如解图，过点O作
OD⊥AB于点D，则OP的最小值为OD的长，即此时点P与点D重合，
1 1
∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴OD＝ AB＝ ×√62＋62＝3√2，∴△PCO周长的最小
2 2
值为6＋OD＝3√2＋6.
第 12 页 共 22 页第5题解图
6. 90° 【解析】如解图，作点P关于AB的对称点P'，关于AC的对称点
P″，连接P'P″，分别交AB，AC于点Q，R，连接AP'，AP″.则P'Q＝PQ，P″R
＝PR，AP＝AP'＝AP″，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P″AR＝∠PAR，∴C ＝PQ＋QR
△PQR
＋PR＝P'Q＋QR＋P″R＝P'P″，∠P'AP″＝∠P'AQ＋∠PAQ＋∠P″AR＋∠PAR＝
2∠BAC＝2×45°＝90°，∴△AP'P″为等腰直角三角形，AP＝AP'＝AP″，
∴P'P″＝√2AP，当AP⊥BC时，AP最短，即△PQR周长最小，此时∠AP'Q＝
∠APQ＝45°，∠AP″R＝∠APR＝45°，∴∠QPR＝90°，∴∠PQR＋∠PRQ
＝90°.
第6题解图
类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题
1. 5 【解析】如解图，连接CE交BD于点F'，∴EF＋CF≥CE，∴当点F与
点F'重合，即C，F，E三点共线时，EF＋CF有最小值，最小值为CE的长.∵
四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∵AE＝1，∴BE＝3，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝√BE2＋BC2＝5，∴EF＋CF的最小值为5.
第1题解图
2. 6 【解析】如解图，连接BP.∵DE是线段BC的垂直平分线，∴点B与C
关于DE对称，BP＝CP，∴PC＋PF＝BP＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时，
第 13 页 共 22 页1
PC＋PF最小.∵F为AC边的中点，AB＝BC，∴BF⊥AC，∴S ＝ AC·BF＝
△ABC 2
9.∵AC＝3，∴BF＝6，∴PC＋PF的最小值为6.
第2题解图
3 15
3. ( ，－ ) 【解析】如解图，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时AP＋
2 8
{12+4b＋c=0
CP的值最小，∵抛物线过(4，0)，(0，－3)两点，∴ ，解得
c＝－3
{ 9
b＝－ 3 9 3
4，∴抛物线表达式为y＝ x2－ x－3，∴抛物线对称轴为直线x＝ ，设
4 4 2
c＝－3
直线BC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)，将B(4，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n中，
{ 3
{ n＝－3 m＝ 3 3
得 ，解得 4 ，∴直线BC的表达式为y＝ x－3，当x＝ 时，y＝
4m＋n=0 4 2
n＝－3
15 3 15
－ .∴点P的坐标为( ，－ ).
8 2 8
第3题解图
4. 7 【解析】由题意知EF＝BC＝AD＝2，如解图，过点F作FG∥CE，交BC
延长线于点G，连接AG，∵EF∥BC，∴四边形EFGC为平行四边形，∴CE＝
GF，CG＝EF＝2，则AF＋CE＝AF＋FG≥AG，∴当A，F，G三点共线时，AF
＋CE取得最小值，最小值为AG的长，∵BG＝BC＋CG＝4，∴在Rt△ABG中，
AG＝√AB2＋BG2＝5，∴AG＋EF＝7，∴AF＋EF＋CE的最小值为7.
第 14 页 共 22 页第4题解图
4
5. 4√5 【解析】∵点A(1，m)和B(n，2)在反比例函数y＝ 的图象上，∴m＝
x
4，n＝2，∴A(1，4)，B(2，2)，∴AB＝√5，如解图，分别作点A关于y轴的对
称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交y轴于点D，交x轴于点C，
此时四边形ABCD的周长最小，最小值为A'B'＋AB的值.根据对称的性质，得
A'(－1，4)，B'(2，－2)，∴A'B'＝3√5，∴四边形ABCD周长的最小值为3√5＋√5
＝4√5.
第5题解图
类型三 与圆有关的最值问题
考向1 点圆、线圆最值问题
1. 6 【解析】如解图，在☉O上任取一点E'，连接OE'、CE'，则CE'≤CO＋
OE'，当C、O、E'三点共线时，CE'取得最大值，即当点E与E'重合时，CE取
最大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.连接AC，∵CO≤AC，∴当点
O与点A重合时，CO取得最大值时.在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝
5，∴OC ＝5，∴CE ＝OC ＋OE＝6.∴点C到☉O上的点的距离的最大
最大 最大 最大
值为6.
第1题解图
第 15 页 共 22 页2. (－6，0) 【解析】如解图，连接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵点
A、点B关于原点O对称，∴AO＝BO＝PO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小
值，则PO需取得最小值，连接OM交☉M于点P'，当点P位于P'位置时，OP
取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，∵M(6，8)，则OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，又∵MP'＝r＝4，∴OP'＝MO－MP'＝10－4＝6，∴OA＝OP'＝6，
∴点A坐标为(－6，0).
第2题解图
7 1
3. 【解析】如解图，连接BP，当y＝0时， x2－4＝0，解得x ＝4，x ＝－
2 4 1 2
4，则A(－4，0)，B(4，0)，∴OB＝4，∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP
1
的中位线，∴OQ＝ BP，当BP最大时，OQ最大，当BP过圆心C时，PB最大，
2
1
如解图，当点P运动到P'位置时，BP最大，此时，OQ取得最大值，最大值为
2
BP'，∵C(0，3)，∴OC＝3，∴BC＝√OB2＋OC2＝5，∴BP'＝5＋2＝7，∴线段
7
OQ的最大值是 .
2
第3题解图
7
4. 【解析】如解图，过点B作BQ⊥AC于点Q，交☉B于点P，此时PQ的
5
值最小.∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，☉B的半径为1，∴AC＝
AB BQ 4 12
√AB2＋BC2＝√42＋32＝5，BP＝1，∴sin∠ACB＝ ＝ ＝ ，解得BQ＝
AC BC 5 5
12 7 7
.∴PQ＝BQ－BP＝ －1＝ .∴PQ的最小值为 .
5 5 5
第 16 页 共 22 页第4题解图
17
5. 【解析】如解图，连接OC，当点P到AC的距离最大时，△AOP的面积
4
最大，过点D作AC的垂线，与☉D在矩形ABCD外交于点P，交AC于点M，
此时△AOP的面积最大.∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝√AB2＋BC2
5 1 1 12
＝5，AD＝4，∴OA＝ ，∵ AD·DC＝ AC·DM，∴DM＝ ，∴PM＝PD＋DM
2 2 2 5
12 17 1 1 5 17 17
＝1＋ ＝ ，∴△AOP面积的最大值为 OA·PM＝ × × ＝ .
5 5 2 2 2 5 4
第5题解图
6. 4＋2√5 【解析】∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝√AB2＋BC2＝2
1
√5.∵S ＝S ＋S ，S ＝ AB·BC＝4，∴当S 取得最大值时，S
四边形ABCD △ABC △ACD △ABC 2 △ACD
有最大值.如解图，过点D作DE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AC于点
四边形ABCD
F，连接OD，∵DE≤OD＋OF，∴当D，O，F三点共线，即当点E与点F重
合时，DE取得最大值，最大值即为OD＋OF的值.∵☉O在AC上滚动，∴OF
1 1
＝1，∴DE ＝OD＋OF＝2，∴S ＝ AC·DE ＝ ×2√5×2＝2√5，∴S
最大 △ACD最大 2 最大 2
＝S ＋S ＝4＋2√5.
四边形ABCD最大 △ABC △ACD最大
第6题解图
考向2 利用辅助圆求最值
第 17 页 共 22 页1. 2√5－2 【解析】如解图，连接BE，BD.由题意得BD＝√22＋42＝2√5，
1
∵∠MBN＝90°，MN＝4，E为MN的中点，∴BE＝ MN＝2，∴点E的运动轨
2
迹是以点B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2√5－2.
第1题解图
2. 20√3－16 【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，过点E作
EG⊥AB交BA的延长线于点G，交☉E于点D'，此时△ABD'的面积最小，∵在
ABCD中，∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BC＝10，易得AB与CD间的距
▱
1
离为5√3，∴EG＝5√3，∵E为边CD的中点，∴DE＝D'E＝ CD＝4，∴GD'＝5
2
1
√3－4，∴S 的最小值为 ×8×(5√3－4)＝20√3－16.
△ABD' 2
第2题解图
3. 6√3－6 【解析】如解图，连接DF，根据对称性质可知DF＝CD，∵四边
形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝DF＝6，∴点F的运动轨迹为以点D为圆
⏜ ⏜
心，CD长为半径的 ，连接BD交 于点G，当B，F，D三点共线，即点F
AC AC
与点G重合时，BF的值最小，最小值为BG的长，过点A作AM⊥BD于点M，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，在Rt△ABM中，BM＝
AB·cos 30°＝3√3，∴BD＝6√3，∵DG＝AD＝6，∴BG＝BD－DG＝6√3－6，
即BF的最小值为6√3－6.
第3题解图
第 18 页 共 22 页4. 2 【解析】如解图，取BC的中点O，以BC为直径作☉O，与AB交于点
E，连接OP，AO，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＋∠BCP＝90°，∵∠CBP＝
∠ACP，∴∠CBP＋∠BCP＝90°，∴∠CPB＝90°，∴点P在以BC为直径的
圆弧CE上运动，AP≥AO－OP，∴当点P，A，O三点共线时，PA有最小值，
1
∵点O是BC的中点，BC＝6，∠BPC＝90°，∴PO＝CO＝ BC＝3，在
2
Rt△ACO中，∵AC＝4，∴AO＝√OC2＋AC2＝√32＋42＝5，∴PA的最小值＝5－3
＝2.
第4题解图
5. √5－√2 【解析】如解图，根据定弦定角，确定△ABD的外接圆☉O，点D
⏜
在☉O的优弧 上运动，连接AO，BO，DO，CD，OC，过点O作OF⊥BC于
ADB
点F，∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝2，∴△OAB是等
√2
腰直角三角形，∴OA＝OB＝ AB＝√2，∠ABO＝45°，∴∠OBF＝∠ABC－
2
√2
∠ABO＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OF＝BF＝ OB＝1，∵BC＝
2
3，∴FC＝BC－BF＝2，∴OC＝√OF2＋FC2＝√5，∵OD＋CD≥OC，∴当点D
运动到OC与☉O的交点E时，CD的值最小，最小值为OC－OE，即√5－√2.
第5题解图
1
6. 【解析】设A(a，a2)，B(b，b2)，则直线OA的解析式为y＝ax，
2
1 1
∵OA⊥OB，∴k ·k ＝－1，∴k ＝－ ，∴直线OB的解析式为y＝－ x，将
OA OB OB a a
1 1 1 1 1
点B(b，b2)代入y＝－ x中，得b2＝－ ·b，∴b＝－ ，∴B(－ ， )，设直线
a a a a a2
第 19 页 共 22 页{ a2＝ma＋n { 1
m＝a－
AB的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，∴ 1 1 ，解得 a，∴直线
＝m·(− )＋n
a2 a n=1
1
AB的解析式为y＝(a－ )x＋1，如解图，设AB与y轴交于点D，当x＝0时，y
a
＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∵OC⊥AB，∴点C在以OD为直径的圆上，当点
C在半圆OD的中点处时，点C到y轴的距离最大，此时OC＝CD，过点C作
1 1
CE⊥OD于点E，∵OD是直径，∴∠OCD＝90°，∴CE＝DE＝ OD＝ .
2 2
第6题解图
7. 6√2 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，B，C，D四点共圆，AC为
☉O的弦，如解图，当AD为☉O的直径时，AD取得最大值，此时∠ACD＝
90°，∵AC＝6，∠ADC＝45°，∴AD＝√2AC＝6√2.
第7题解图
8. 2√2 【解析】如解图，过点C作CO'⊥AB于点O'，连接OO'，则∠AO'C＝
90°，∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∴AB＝4√2，∴AO'＝BO'＝2√2，∵CE是
由CD绕点C逆时针旋转90°得到，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CDO＝
45°，∵O为DE的中点，∴∠COD＝90°＝∠DO'C，∴C，D，O'，O四点共
圆，∴∠CO'O＝∠CDO＝45°，∴点O在∠BO'C的平分线上运动，
∵AO≥AO'，∴AO的最小值为2√2.
第8题解图
第 20 页 共 22 页9. 4√3 【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，∴AB＝BC＝AC，∵BE＝AF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，
∴∠AEB＝∠CFA.∵∠BAE＋∠AEB＝120°，∴∠FAG＋∠AFG＝120°，
∴∠AGC＝120°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠AGC＋∠ADC＝180°，
⏜
∴A，G，C，D四点共圆，点H是圆心，记点G在 上，连接AH，CH，GH，
AC
DH，∵AB＝AC＝6，DH＝AH＝CH，易得☉H的半径为2√3，∴HG＝HD＝2√3
，∴当D，H，G三点共线时，DG最大，DG的最大值为4√3.
第9题解图
类型四 利用二次函数性质解决最值问题
a＋b＋c a＋b+4
1. C 【解析】∵p＝ ，p＝5，c＝4，∴5＝ ，∴a＋b＝6，∴a
2 2
＝6－b，∴S＝√p(p－a)(p－b)(p－c)＝√5(5－a)(5－b)(5－4)＝
√5(5－a)(5－b)＝√－5b2+30b－25＝√－5(b－3)2+20，令y＝－5(b－3)2＋20，∵
－5＜0，∴函数有最大值，当b＝3时，y＝20，∴函数最大值为20，∴当b＝3
时，S有最大值为√20＝2√5.
1 3
2. 8 【解析】如解图，连接OD，∵点D在抛物线上，∴D(m，－ m2－ m＋
2 2
1 3
2)，把x＝0代入到y＝－ x2－ x＋2中，得y＝2，∴C(0，2)，把y＝0代入到y
2 2
1 3
＝－ x2－ x＋2中，解得x ＝－4，x ＝1，∴A(－4，0)，B(1，0).∵S
2 2 1 2 四边形OCDA
1 1 3 1
＝S ＋S ＝ ×4×(－ m2－ m＋2)＋ ×2×(－m)＝－m2－3m＋4－m＝－
△OAD △OCD 2 2 2 2
(m＋2)2＋8，∴当m＝－2时，四边形OCDA的面积最大，最大值为8.
第2题解图
第 21 页 共 22 页3. 4 【解析】设AE＝x，BF＝y，∵AC＝CB＝4，∠C＝90°，∴∠CAB＝
∠CBA＝45°，AB＝4√2，∵D是AC中点，∴AD＝DC＝2，∵∠AED＋∠FEB
＝180°－∠DEF＝180°－45°＝135°，∠FEB＋∠EFB＝180°－∠B＝180°
AD
－45°＝135°，∴∠AED＝∠EFB，∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF，∴ ＝
BE
AE 2 x 1 1 1
，∴ ＝ ，∴y＝－ x2＋2√2x，∵y＝－ x2＋2√2x＝－ (x－2√2)2＋4，
BF 4√2－x y 2 2 2
1
∵－ ＜0，∴当x＝2√2时，y有最大值4，∴BF的最大值为4.
2
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