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微专题 45 二次函数综合题
类型一 二次函数与线段有关问题
1. 综合与探究
1 3
如图，抛物线y＝ x2－ x－4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
4 2
y轴交于点C（0，－4），作直线AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一动点.
（1）求A，B两点的坐标，并求出直线AC，BC的函数表达式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T，当P为线段
TQ的中点时，求此时点P的坐标.
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与抛物线y＝ax2＋c
（a≠0）交于A（8，6），B两点，点B的横坐标为－2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB
交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m.若点P在x轴下方，求△POC周长的
最大值，并求此时m的值.
第 1 页 共 38 页第2题图
3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A（－3，0），B（4，0）两点，与
y轴交于点C，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，过点P作PD∥AC，交BC于点D，求线段PD的最大值.
第3题图
4. 如图，抛物线y＝a（x－1）2＋2的对称轴交x轴于点A，且抛物线分别交y
轴于点B（0，1），交直线AB于点C，顶点为D，P是对称轴右侧抛物线上一
动点.
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）如图①，连接OP，OP与直线BC交于点M，当OM＝ MP时，求点P的
2
坐标；
EF
（3）如图②，过点P作PE∥x轴，PF∥y轴，分别交直线CD于点E，F.若
CD
3
＝ ，求点P的坐标.
16
第 2 页 共 38 页类型二 二次函数与面积有关问题
[2022.23（2）]
1. （2024扬州）如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－
2，0），B（1，0）两点.
（1）求b，c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
第1题图
第 3 页 共 38 页2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与
y轴的正半轴交于点C，且OC＝3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，P为抛物线上一点，当S ＝2S 时，求点P的坐标.
△ABC △PBC
第2题图
3. （2022广东23题12分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点
为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，
过P作PQ∥BC交AC于点Q.
（1）求该抛物线的解析式；
第 4 页 共 38 页（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.
第3题图
4. 如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，连接AC.
（1）求点A，B的坐标及直线AC的函数解析式；
（2）过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，连接OP交AC于点D，连接AP，
求△PAD的面积.
第4题图
第 5 页 共 38 页3
5. 如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于A（－1，0），B两点（点A在点
2
B的左侧），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物线上异于点A的一个动点，
直线AD与直线BC交于点E.
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）在点D运动的过程中，当∠AEC＝45°时，求△ABE的面积；
（3）当点D在第一象限抛物线上运动时，连接BD，设△BDE的面积为S ，
1
S
△ABE的面积为S ，求 1的最大值.
2 S
2
第5题图
第 6 页 共 38 页类型三 二次函数与特殊图形存在性有关问题
一阶 设问突破
方法解读
二次函数中等腰三角形的存在性问题：
1. 找点：两圆一线
①若AD＝AC，以点A为圆心，AC长为半径画圆；
②若CD＝AC，以点C为圆心，AC长为半径画圆；
③若AD＝CD，作AC的垂直平分线；
2. 求点：设出点D的坐标，根据点A，C，D的坐标，表示出线段AC，CD，
AD的长度，由等量关系分别列方程求解即可.
1
例 如图，已知抛物线y＝ x2－x－4与x轴交于点A，B（点A在点B的左
2
侧），与y轴交于点C.
（1）如图①，连接AC，若点D为x轴上的动点，当△ACD是等腰三角形时，求
点D的坐标；
例题图①
方法解读
二次函数中的角度问题：
第 7 页 共 38 页1. 角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问题转化为线段
问题；
2. 角度固定值：常见的角度有15°，30°，45°，60°，90°，常放在特殊三
角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；
3. 角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性质求解.
（2）如图②，连接BC，若点P为抛物线上的动点，当∠PAB＝∠ABC时，求
点P的坐标；
例题图②
方法解读
二次函数中平行四边形的存在性问题：
1. 找点：分情况讨论：
①当BC为平行四边形的边；
②当BC为平行四边形的对角线，根据平行四边形一组对边平行且相等确定点的
位置；
2. 求点：①通过点的平移，构造全等三角形求点坐标；
②由中点坐标公式求顶点坐标.
第 8 页 共 38 页（3）如图③，连接BC，若E，F分别为抛物线和x轴上的动点，是否存在点
F，使以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐
标；若不存在，请说明理由；
例题图③
方法解读
二次函数中直角三角形的存在性问题：
1. 找点：两线一圆
①若∠MBC＝90°，过点B作BC的垂线；
②若∠MCB＝90°，过点C作BC的垂线；
③若∠BMC＝90°，以BC为直径作圆；
2. 求点
方法一：代数法：设出点M的坐标，根据点B，C，M的坐标，表示出线段
BC，BM，CM的长度，再根据对应情况，由勾股定理分别列方程求解即可；
第 9 页 共 38 页方法二：几何法：作垂线，构造一线三垂直模型，表示出线段长用勾股定理或
相似建立等量关系.
（4）连接BC，若点M在抛物线的对称轴上.
①如图④，是否存在点M，使以点B，C，M为顶点的三角形为直角三角形？若
存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
例题图④
方法解读
二次函数中全等三角形存在性问题：
1. 找等角（边）：根据相对应的字母找到已存在隐含的等角（边）；
2. 表示边长：明确全等后需相等的对应边，直接或间接设出所求点的坐标，再
表示线段长；
3. 建立关系式并计算：利用全等三角形对应边相等列等式，其中对于对应关系
不确定的三角形全等，需分情况讨论.
②如图⑤，若点M为对称轴与x轴的交点，连接CM，点Q是坐标平面内的点
（不与点M重合），是否存在点Q，使得△BCQ与△BCM全等，若存在，求出
所有满足条件的点Q，若不存在，请说明理由.
第 10 页 共 38 页例题图⑤
方法解读
二次函数中相似三角形的存在性问题：
1. 找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；
2. 表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；
3. 建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两
边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.
③如图⑥，若点M为对称轴与BC的交点，连接AC，点N为x轴上的动点，是
否存在点N，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请
说明理由.
第 11 页 共 38 页例题图⑥
二阶 综合训练
1. （2024梅州市一模）如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点
A（5，0），B（－1，0），C（0，－5）.
（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）直线x＝t（0＜t＜5）交二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象于点P，交直线AC
于点Q，是否存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，若存在，请求出这样的t值；
若不存在，请说明理由.
第1题图
2. （2021广东25题10分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（－1，
0），且对任意实数x，都有4x－12≤ax2＋bx＋c≤2x2－8x＋6.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C，点M
是（1）中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，
第 12 页 共 38 页M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；
若不存在，请说明理由.
3. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为x轴上一动点，当点P以每秒3个单位长度的速度从点O出发，
沿x轴正方向匀速运动，连接CP，设点P运动的时间为t，当以C，O，P为顶
点的三角形与△AOC相似时（不包含全等），求t的值；
（3）若点Q是直线BC上一动点，试判断是否存在点Q，使得以C，D，Q为顶
点的三角形是直角三角形.若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
第 13 页 共 38 页第3题图
第 14 页 共 38 页类型一 二次函数与线段有关问题
1 3
1. 解：(1)当y＝0时， x2－ x－4＝0，解得x ＝－2，x ＝8.
4 2 1 2
∵点A在点B的左侧，
∴A(－2，0)，B(8，0)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
{ b＝－4
将A(－2，0)，C(0，－4)分别代入得 ，
－2k＋b=0
{b＝－4
解得 ，
k＝－2
∴直线AC的函数表达式为y＝－2x－4，
∵B(8，0)，C(0，－4)，
1
∴同理可得直线BC的函数表达式为y＝ x－4；
2
1 3
(2)设P(m， m2－ m－4)，
4 2
∵QT∥y轴，
1
∴Q(m， m－4)，T(m，－2m－4)，
2
1 1 3 1
∴PQ＝ m－4－( m2－ m－4)＝－ m2＋2m，
2 4 2 4
1 3 1 1
PT＝ m2－ m－4－(－2m－4)＝ m2＋ m，
4 2 4 2
∵P为线段TQ的中点，
∴PQ＝PT，
1 1 1
∴－ m2＋2m＝ m2＋ m.
4 4 2
解得m ＝0(舍去)，m ＝3，
1 2
25
∴P(3，－ ).
4
3
2. 解：(1)将A(8，6)代入y＝kx，得8k＝6，解得k＝ ，
4
3
∴直线AB的解析式为y＝ x，
4
第 15 页 共 38 页3 3
当x＝－2时，y＝ ×(－2)＝－ ，
4 2
3
∴B(－2，－ ).
2
3
将A(8，6)，B(－2，－ )分别代入y＝ax2＋c(a≠0)，
2
{ 64a＋c=6 { 1
a＝
得 3，解得 8 ，
4a＋c＝－
2 c＝－2
1
∴抛物线的解析式为y＝ x2－2；
8
1
(2)设P(m，n)，则 m2－2＝n，
8
当点P在x轴下方时，－2＜m＜4，n＜0，
4
∵C( n，n)，
3
5 √ 1 1
∴OC＝－ n，OP＝√m2＋n2＝ m2＋( m2－2)2＝ m2＋2，
3 8 8
4 1
∵PC＝m－ n， m2－2＝n，
3 8
1 4 5
∴OP＋PC＋OC＝ m2＋2＋m－ n－ n
8 3 3
1
＝ m2＋m－3n＋2
8
1 1
＝ m2＋m－3( m2－2)＋2
8 8
1
＝－ (m－2)2＋9，
4
1
∵－ ＜0，∴当m＝2时，△POC的周长最大，最大值为9.
4
3. 解：(1)将A(－3，0)，B(4，0)分别代入y＝ax2＋bx－4中，
1
{ a＝
{9a－3b－4=0 3
得 ，解得 ，
16a+4b－4=0 1
b＝－
3
1 1
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－4；
3 3
第 16 页 共 38 页1 1
(2)在y＝ x2－ x－4中，令x＝0，得y＝－4，
3 3
∴C(0，－4).
∵A(－3，0)，B(4，0)，
∴OA＝3，OB＝OC＝4，AB＝7，
∴AC＝5.
如解图，过点P作x轴的平行线，交BC于点M，
∵PM∥AB，
∴∠PMD＝∠ABC.
∵PD∥AC，
∴∠PDM＝∠ACB，
∴△PMD∽△ABC，
PM PD PM PD
∴ ＝ ，即 ＝ ，
AB AC 7 5
5
∴PD＝ PM.
7
设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
将B(4，0)，C(0，－4)分别代入，
{4k＋d=0 { k=1
得 ，解得 ，
d＝－4 d＝－4
∴直线BC的解析式为y＝x－4.
1 1
设点P的坐标为(m， m2－ m－4)，0＜m＜4，
3 3
1 1 1 1
∴M( m2－ m， m2－ m－4)，
3 3 3 3
1 1 1 4
∴PM＝m－( m2－ m)＝－ m2＋ m，
3 3 3 3
5 1 4 5 20
∴PD＝ ×(－ m2＋ m)＝－ (m－2)2＋ ，
7 3 3 21 21
5
∵－ ＜0，
21
20
∴当m＝2时，线段PD有最大值，最大值为 .
21
第 17 页 共 38 页第3题解图
4. 解：(1)∵抛物线y＝a(x－1)2＋2交y轴于点B(0，1)，
∴将点B(0，1)代入y＝a(x－1)2＋2中，得1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋2＝－x2＋2x＋1；
(2)如解图①，过点M，P分别作MN⊥x轴于点N，PQ⊥x轴于点Q，则
MN∥PQ，
由(1)得A(1，0)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
{k＋b=0
将点A(1，0)，B(0，1)分别代入y＝kx＋b中，得 ，
b=1
{k＝－1
解得 ，
b=1
∴直线AB的解析式为y＝－x＋1，
∵MN∥PQ，∴△MNO∽△PQO，
MN ON OM
∴ ＝ ＝ ，
PQ OQ OP
1 1
∵OM＝ MP，∴OM＝ OP，
2 3
MN ON OM 1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
PQ OQ OP 3
1 1
∴MN＝ PQ，ON＝ OQ，
3 3
第4题解图①
第 18 页 共 38 页p p
设P(p，－p2＋2p＋1)(p＞1)，则M( ，－ ＋1)
3 3
p
∴PQ＝－p2＋2p＋1，MN＝－ ＋1，
3
p 1
∴－ ＋1＝ (－p2＋2p＋1)，
3 3
整理，得p2－3p＋2＝0，解得p ＝1(舍去)，p ＝2，
1 2
∴－p2＋2p＋1＝1，
∴点P的坐标为(2，1)；
(3)【思路点拨】一般遇到线段成比例，可考虑三角形相似，求出线段长，利用
平行关系得到点坐标之间的关系，通过点在直线或抛物线上确定点坐标.
如解图②，③过点C作CG⊥AD，交DA延长线于点G.
{ y＝－x+1
联立 ，
y＝－x2+2x+1
{ x =3 {x =0
解得 1 或 2 ，
y ＝－2 y =1
1 2
∴B(0，1)，C(3，－2)，
∴CG＝3－1＝2，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF＝∠GCD，∠PFE＝∠GDC，
∴△PEF∽△GCD，
PE EF PE 3
∴ ＝ ，即 ＝ ，
GC CD 2 16
3
∴PE＝ .
8
∵y＝－(x－1)2＋2，
∴D(1，2)，
设直线CD的解析式为y＝k x＋b (k ≠0)，
1 1 1
{－2=3k ＋b
将C(3，－2)，D(1，2)分别代入y＝k x＋b (k ≠0)中，得 1 1，解得
1 1 1 2=k ＋b
1 1
{k ＝－2
1 ，
b =4
1
第 19 页 共 38 页∴直线CD的解析式为y＝－2x＋4.
设P(t，－t2＋2t＋1)，
①如解图②，当点P在点E的右侧时，
3
则E(t－ ，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3.
8
∵点E在直线CD上，
3
∴－t2＋2t＋1＝－2(t－ )＋4，
8
整理，得4t2－16t＋15＝0，
3 5
解得t ＝ ，t ＝ ，
1 2 2 2
3 7 5 1
∴点P的坐标为( ， )或( ，－ )；
2 4 2 4
图②
图③
第4题解图
②如解图③，当点P在点E的左侧时，
3
则E(t＋ ，－t2＋2t＋1)，t＞3.
8
∵点E在直线CD上，
3
∴－t2＋2t＋1＝－2(t＋ )＋4，整理，得4t2－16t＋9＝0，
8
4+√7 4－√7
解得t ＝ ，t ＝ (舍去)，
3 2 4 2
第 20 页 共 38 页4+√7 3+4√7
∴点P的坐标为( ，－ )，
2 4
3 7 5 1 4+√7 3+4√7
综上所述，点P的坐标为( ， )或( ，－ )或( ，－ ).
2 4 2 4 2 4
类型二 二次函数与面积有关问题
1. 解：(1)将点A(－2，0)，B(1，0)分别代入y＝－x2＋bx＋c，
{－4－2b＋c=0 {b＝－1
得 ，解得 ，
－1+b＋c=0 c=2
∴b的值为－1，c的值为2；
(2)由(1)可知，二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2，
设P(m，n)，
∵点P在二次函数的图象上，
∴n＝－m2－m＋2.
∵A(－2，0)，B(1，0)，
∴AB＝3，
又∵△PAB的面积为6，
1
∴ ×AB×｜n｜＝6，解得n＝±4，
2
当n＝4时，即－m2－m＋2＝4，化简得m2＋m＋2＝0，该方程无实数解，不符
合题意；
当n＝－4时，即－m2－m＋2＝－4，化简得m2＋m－6＝0，解得m ＝2，m ＝－
1 2
3，
综上所述，点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4).
2. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
∵OC＝3，∴C(0，3)，
将点C(0，3)代入y＝a(x＋1)(x－3)中，得－3a＝3，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；
(2)∵A(－1，0)，B(3，0)，
第 21 页 共 38 页∴AB＝3－(－1)＝4，
1 1
∴S ＝ AB·OC＝ ×4×3＝6，
△ABC 2 2
∵S ＝2S ＝6，∴S ＝3，
△ABC △PBC △PBC
由B(3，0)，C(0，3)可得BC所在直线的解析式为y＝－x＋3，
①如解图①，当点P位于BC上方时，过点P作PM∥BC交y轴于点M，
CM×3
∴S ＝S ＝3＝ ，
△PBC △MBC 2
∴CM＝2，M(0，5)，
∴直线PM的解析式为y＝－x＋5，
{ y＝－x+5
联立 ，
y＝－x2+2x+3
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
∴点P(1，4)或(2，3)；
第2题解图
②如解图②，当点P在BC下方时，
同理可得，M(0，1)，
∴直线PM的解析式为y＝－x＋1，
{ y＝－x+1
联立 ，
y＝－x2+2x+3
3－√17 3+√17
解得x ＝ ，x ＝ ，
1 2 2 2
3－√17 √17－1 3+√17 －√17－1
∴点P( ， )或( ， )，
2 2 2 2
3－√17 √17－1 3+√17
综上所述，点P的坐标为(1，4)或(2，3)或( ， )或( ，
2 2 2
－√17－1
).
2
第 22 页 共 38 页3. 解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0).
{ 1+b＋c=0
将点A(1，0)，B(－3，0)分别代入y＝x2＋bx＋c中，得 ，
9－3b＋c=0
{ b=2
解得 ，
c＝－3
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；
(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴C(－1，－4).
设直线BC的解析式为y＝k x＋m (k ≠0)，
1 1 1
{ －3k ＋m =0
将点B(－3，0)，C(－1，－4)分别代入y＝k x＋m 中，得 1 1 ，
1 1 －k ＋m ＝－4
1 1
{k ＝－2
解得 1 ，
m ＝－6
1
∴直线BC的解析式为y＝－2x－6，
设直线AC的解析式为y＝k x＋m (k ≠0)，
2 2 2
{ k ＋m =0
将点A(1，0)，C(－1，－4)代入y＝k x＋m 中，得 2 2 ，
2 2 －k ＋m ＝－4
2 2
{ k =2
解得 2 ，
m ＝－2
2
∴直线AC的解析式为y＝2x－2.
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，
n
令y＝0，得x＝ ，
2
n
∴P( ，0)，
2
{ y=2x－2
联立直线AC与直线PQ的解析式，得 ，
y＝－2x＋n
第 23 页 共 38 页n+2
{x＝
4
解得 ，
n－2
y＝
2
n+2 n－2
∴Q( ， )，
4 2
∵点P在线段AB上，
n
∴－3≤ ≤1，
2
即－6≤n≤2，
1 n 1 n n－2 1
∴S ＝S －S ＝ ×(1－ )×4－ ×(1－ )×(－ )＝－ (n＋2)2＋2，
△CPQ △CPA △QPA 2 2 2 2 2 8
1
∵－ ＜0，－6≤n≤2，
8
∴当n＝－2时，S 取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为(－1，0).
△CPQ
4. 解：(1)令y＝－x2－4x＋5中y＝0，得－x2－4x＋5＝0，
解得x ＝－5，x ＝1，
1 2
∴A(－5，0)，B(1，0).
令x＝0，得y＝5，
∴C(0，5)，
设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－5，0)，C(0，5)的坐标代入，
{0=－5k＋b {k=1
得 ，解得 ，
5=b b=5
∴直线AC的函数解析式为y＝x＋5；
(2)设点P的坐标为(m，－m2－4m＋5)，
∵A(－5，0)，C(0，5)，
∴AC2＝50，CP2＝(m－0)2＋(－m2－4m＋5－5)2＝m2＋(－m2－4m)2，AP2＝(m＋
5)2＋(－m2－4m＋5)2.
∵PC⊥AC，
∴∠PCA＝90°，∴AC2＋CP2＝AP2，
∴50＋m2＋(－m2－4m)2＝(m＋5)2＋(－m2－4m＋5)2，解得m＝－3或m＝0(舍去)，
第 24 页 共 38 页∴P(－3，8).
设直线OP的解析式为y＝k x(k ≠0)，将P(－3，8)的坐标代入，
1 1
8
得8＝－3k ，∴k ＝－ ，
1 1 3
8
∴直线OP的解析式为y＝－ x.
3
8 15
令－ x＝x＋5，解得x＝－ ，
3 11
15 40
∴D(－ ， )，
11 11
1 40 120
∴S ＝S －S ＝ ×5×(8－ )＝ .
△PAD △PAO △DAO 2 11 11
3
5. (1)∵抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，
2
2)，
3
∴将点A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线y＝ax2＋ x＋c中，
2
{ 3 { 1
a－ ＋c=0 a＝－
得 2 ，解得 2，
c=2 c=2
1 3
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋2，
2 2
令y＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴点B的坐标为(4，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B，C的坐标代入，
{ 1
{4k＋b=0 k＝－
得 ，解得 2，
b=2
b=2
1
∴直线BC的函数解析式为y＝－ x＋2；
2
(2)如解图，连接AC，
∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5，
第 25 页 共 38 页∴在Rt△OAC中，AC＝√OA2＋OC2＝√12＋22＝√5，在Rt△OCB中，BC＝
√OB2＋OC2＝√42＋22＝2√5，
∴AC2＋BC2＝(√5)2＋(2√5)2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
又∵∠AEC＝45°，
∴CE＝AC＝√5，
1 1 1 1 5
∴S ＝ AB·OC＝ ×5×2＝5，S ＝ AC·CE＝ ×√5×√5＝ ，
△ABC 2 2 △ACE 2 2 2
①如解图①，当点E在线段BC上时，
5 5
S ＝S －S ＝5－ ＝ ；
△ABE △ABC △ACE 2 2
②如解图②，当点E在线段BC的延长线上时，
5 15
S ＝S ＋S ＝5＋ ＝ ，
△ABE △ABC △ACE 2 2
5 15
∴△ABE的面积为 或 ；
2 2
图①
图②
第5题解图
(3)如解图③，过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DI∥y轴，交直线BC于点
I，过点A作AH∥y轴，交直线BC于点H，则DI∥AH，
DE DI
∴△EDI∽△EAH，∴ ＝ ，
AE AH
∵A(－1，0)，
第 26 页 共 38 页1 1 5
将x＝－1代入y＝－ x＋2中，得y＝－ ×(－1)＋2＝ ，
2 2 2
5
∴点H的坐标为(－1， )，
2
5
∴AH＝ ，
2
∵点D在第一象限的抛物线上，
1 3 1
∴设D(m，－ m2＋ m＋2)，则I(m，－ m＋2)(0＜m＜4)，
2 2 2
1 3 1 1
∴DI＝(－ m2＋ m＋2)－(－ m＋2)＝－ m2＋2m，
2 2 2 2
1 1
DE·BG － m2+2m
S 2 DE DI 2 1 4 1 4
∴ 1＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ m2＋ m＝－ (m－2)2＋ ，
S 1 AE AH 5 5 5 5 5
2 AE·BG
2 2
1
∵－ ＜0，
5
S 4
∴当m＝2时， 1的最大值为 .
S 5
2
第5题解图③
类型三 二次函数与特殊图形存在性有关问题
一阶 设问突破
1
例 解：(1)∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4，
2
1
∴当y＝0时， x2－x－4＝0，解得x ＝－2，x ＝4，
2 1 2
∵点A在点B的左侧，
∴A(－2，0)，B(4，0)，
当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4).
∴OA＝2，OC＝4，
∴由勾股定理得AC＝√AO2＋OC2＝2√5.
第 27 页 共 38 页∴当△ACD是等腰三角形时，分以下三种情况：
①当AD＝AC时，如解图①，点D位于点D 或D 处，此时AD＝AC＝2√5，
1 2
∴点D 的坐标为(－2－2√5，0)，点D 的坐标为(2√5－2，0)；
1 2
②当CD＝AC时，如解图①，点D位于点D 处，
3
∵OC⊥AD ，∴OA＝OD ＝2，
3 3
∴点D 的坐标为(2，0)；
3
③当AD＝CD时，如解图①，点D位于点D 处，
4
设点D 的坐标为(a，0)，则AD ＝a＋2，CD ＝√a2＋42，
4 4 4
∴a＋2＝√a2＋42，解得a＝3，
∴点D 的坐标为(3，0).
4
综上所述，点D的坐标为(－2－2√5，0)或(2√5－2，0)或(2，0)或(3，0)；
例题解图①
(2)由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，
∴OA＝2，OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
1
设点P的坐标为(n， n2－n－4)，
2
当∠PAB＝∠ABC时，分以下两种情况：
①当点P在x轴上方时，如解图②，过点A作AP ∥BC交抛物线于点P ，过点
1 1
P 作P Q ⊥x轴于点Q ，
1 1 1 1
∴∠P AB＝∠ABC＝45°，此时点P位于点P 处，
1 1
∴P Q ＝AQ ，
1 1 1
1
∵AQ ＝OA＋OQ ＝2＋n，P Q ＝ n2－n－4，
1 1 1 1 2
1
∴ n2－n－4＝2＋n，解得n＝－2(舍去)或n＝6，
2
第 28 页 共 38 页1
当n＝6时， n2－n－4＝8，
2
∴点P 的坐标为(6，8)；
1
②当点P在x轴下方时，如解图②，过点A作AP ⊥BC交抛物线于点P ，过点
2 2
P 作P Q ⊥x轴于点Q ，
2 2 2 2
1
同理可得AQ ＝2＋n，P Q ＝－( n2－n－4)，
2 2 2 2
∵∠P AB＝∠ABC＝45°，
2
∴AQ ＝P Q ，
2 2 2
1
∴2＋n＝－( n2－n－4)，解得n＝－2(舍去)或n＝2，
2
1
当n＝2时， n2－n－4＝－4，
2
∴点P 的坐标为(2，－4).
2
综上所述，点P的坐标为(6，8)或(2，－4)；
例题解图②
(3)存在.
由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，
∴OC＝4，
以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，分以下两种情况：
①当BC为平行四边形的边时，如解图③，点E位于点E 或E 或E 处，点F相
1 2 3
应的位于点F 或F 或F 处，
1 2 3
∵四边形BCF E 为平行四边形，
1 1
∴BC∥E F ，BC＝E F ，
1 1 1 1
∵点F 在x轴上，
1
第 29 页 共 38 页∴点E 到x轴的距离为4，
1
1
令y＝4，即 x2－x－4＝4，
2
解得x ＝1＋√17(舍去)，x ＝1－√17，
1 2
∴点E 的坐标为(1－√17，4)，
1
同理可得点E 的坐标为(1＋√17，4)，
2
∵B(4，0)，C(0，－4)，
∴由平移的性质得点F 的坐标为(－3－√17，0)，点F 的坐标为(√17－3，0)；
1 2
∵四边形BCE F 为平行四边形，
3 3
∴BF ∥CE ，BF ＝CE ，
3 3 3 3
－1
∴点E 与点C关于直线x＝－ 1＝1对称，
3 2×
2
0+x
∴ E＝1，解得x ＝2，
2 E
∴点E 的坐标为(2，－4)，
3
∴CE ＝2，
3
∴OF ＝OB＋CE ＝6，
3 3
∴点F 的坐标为(6，0)；
3
②当BC为平行四边形的对角线时，如解图③，点E位于点E 处，点F相应的
4
位于点F 处，连接E F 交BC于点G，
4 4 4
∵四边形BE CF 为平行四边形，
4 4
∴点G为BC，E F 的中点，
4 4
0+4 0－4
∴ ＝2， ＝－2，
2 2
∴点G的坐标为(2，－2)，
∵BF ∥CE ，∴点E 与点E 重合，
4 4 4 3
∴E (2，－4)，
4
2+x
∴ F＝2，解得x ＝2，
2 F
第 30 页 共 38 页∵点F在x轴上，∴点F 的坐标为(2，0).
4
综上所述，点F的坐标为(－3－√17，0)或(√17－3，0)或(6，0)或(2，0)；
例题解图③
(4)①存在.
1 1 9
∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4＝ (x－1)2－ ，
2 2 2
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设点M(1，t)，则BM2＝(1－4)2＋(t－0)2＝t2＋9，CM2＝(1－0)2＋(t＋4)2＝t2＋8t
＋17，BC2＝(4－0)2＋(0－4)2＝32，
以点B，C，M为顶点的三角形为直角三角形时，分以下三种情况：
(i)当∠MBC＝90°时，如解图④，点M位于点M 处，
1
由勾股定理得BC2＋BM2＝CM2，即32＋t2＋9＝t2＋8t＋17，解得t＝3，∴点M
1
的坐标为(1，3)；
(ii)当∠MCB＝90°时，如解图④，点M位于点M 处，
2
由勾股定理得BC2＋CM2＝BM2，即32＋t2＋8t＋17＝t2＋9，解得t＝－5，
∴点M 的坐标为(1，－5)；
2
(iii)当∠BMC＝90°时，如解图⑤，点M位于点M 或点M 处，
3 4
由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，即t2＋9＋t2＋8t＋17＝32，解得t ＝－2－√7，t
1 2
＝√7－2，
∴点M 的坐标为(1，√7－2)，点M 的坐标为(1，－2－√7).
3 4
综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，－5)或(1，√7－2)或(1，－2－√7)；
第 31 页 共 38 页图④
图⑤
例题解图
②存在.
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴M(1，0)，
由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，
∴BM2＝(4－1)2＝9，CM2＝(1－0)2＋(0＋4)2＝17，
设点Q的坐标为(m，n)，
则BQ2＝(4－m)2＋n2，
CQ2＝m2＋(－4－n)2，
当△BCQ与△BCM全等时，
分两种情况：
(i)当BM＝BQ，CM＝CQ，即△BCM≌△BCQ时，
BM2＝BQ2，即9＝(4－m)2＋n2，
CM2＝CQ2，即17＝m2＋(－4－n)2，解得m＝1－n，
代入9＝(4－m)2＋n2得，n ＝0，n ＝－3，
1 2
∴m ＝1，m ＝4，
1 2
∵点Q不与点M重合，
∴点Q的坐标为(4，－3)；
(ii)当BM＝CQ，CM＝BQ，即△BCM≌△CBQ时，
BM2＝CQ2，即9＝m2＋(－4－n)2，
CM2＝BQ2，即17＝(4－m)2＋n2，解得m＝－n－1，
代入17＝(4－m)2＋n2得，n ＝－1，n ＝－4，
3 4
第 32 页 共 38 页∴m ＝0，m ＝3，
3 4
∴点Q的坐标为(0，－1)或(3，－4).
综上所述，点Q的坐标为(4，－3)或(0，－1)或(3，－4)；
③存在.
由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，AC＝2√5，
设BC所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(4，0)，C(0，－4)分别代入，
{4k＋b=0 { k=1
得 ，解得 ，
b＝－4 b＝－4
∴BC所在直线的解析式为y＝x－4，
当x＝1时，y＝－3，
∴点M的坐标为(1，－3)，
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4√2，
同理易得BM＝3√2，
当△BMN与△ABC相似时，
分以下两种情况：
(i)当△BMN∽△BCA时，如解图⑥，点N位于点N 处，
1
BM BN
∴ ＝ 1，
BC BA
∵BA＝OA＋OB＝6，
3√2 BN 9
∴ ＝ 1，解得BN ＝ ，
4√2 6 1 2
1
∴ON ＝BN －OB＝ ，
1 1 2
1
∴点N 的坐标为(－ ，0)；
1 2
(ii)当△BMN∽△BAC时，如解图⑥，点N位于点N 处，
2
BM BN
∴ ＝ 2，
BA BC
3√2 BN
∴ ＝ 2，解得BN ＝4，
6 4√2 2
第 33 页 共 38 页∴BN ＝OB，此时点N 与点O重合，
2 2
∴点N 的坐标为(0，0).
2
1
综上所述，点N的坐标为(－ ，0)或(0，0).
2
例题解图⑥
二阶 综合训练
1. 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(5，0)，B(－1，0)，
∴二次函数的解析式可设为y＝a(x－5)(x＋1)＝a(x2－4x－5)，
将点C(0，－5)代入，
得－5a＝－5，解得a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x－5；
(2)存在.
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
{5k＋b=0 { k=1
将点A，C代入，得 ，解得 ，
b＝－5 b＝－5
∴直线AC的解析式为y＝x－5，
设点P(t，t2－4t－5)，则点Q(t，t－5)，
∴PQ2＝(－t2＋5t)2，PC2＝t2＋(t2－4t)2，CQ2＝2t2，
当PQ＝CQ时，△CPQ为等腰三角形，
PQ2＝CQ2，即(－t2＋5t)2＝2t2，解得t＝0(舍去)或5－√2或5＋√2(舍去)；
当PQ＝PC或PC＝CQ时，△CPQ为等腰三角形，
PQ2＝PC2，即(－t2＋5t)2＝t2＋(t2－4t)2，解得t＝0(舍去)或t＝4，PC2＝CQ2，
t2＋(t2－4t)2＝2t2，
解得t＝0(舍去)或t＝3或t＝5(舍去).
综上所述，存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，t的值为5－√2或3或4.
第 34 页 共 38 页2. 解：(1)令4x－12＝2x2－8x＋6，解得x ＝x ＝3，
1 2
∴当x＝3时，4x－12＝2x2－8x＋6＝0，
∴y＝ax2＋bx＋c的图象必过点(3，0)，
又∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1，0)，
{ a－b＋c=0，
∴
9a+3b＋c=0，
{b＝－2a，
解得
c＝－3a，
∴y＝ax2－2ax－3a，
又∵4x－12≤ax2＋bx＋c，
∴ax2－2ax－3a≥4x－12，即ax2－2ax－4x＋12－3a≥0，
∴a＞0且b2－4ac≤0，∴(2a＋4)2－4a(12－3a)≤0，
∴(a－1)2≤0，∵(a－1)2≥0，
∴a＝1，
∴b＝－2，c＝－3，
∴二次函数的解析式y＝x2－2x－3；
(2)存在.
由(1)可知A(3，0)，C(0，－3)，设M(m，m2－2m－3)，N(n，0)，
分情况讨论：
①如解图①，当AC为对角线时，
{x ＋x ＝x ＋x
此时 A C M N ，
y ＋y ＝y ＋y
A C M N
{ 3+0=m＋n，
即
0+(−3)＝m2－2m－3+0，
解得m ＝0(舍)，m ＝2，
1 2
∴n＝3－m＝1，即N (1，0)；
1
②如解图②，当AM为对角线时，
{x ＋x ＝x ＋x
此时 A M C N ，
y ＋y ＝y ＋y
A M C N
第 35 页 共 38 页{ 3+m=0+n，
即
0+m2－2m－3=－3+0，
解得m ＝0(舍)，m ＝2，
3 4
∴n＝5，即N (5，0)；
2
③如解图③，当AN为对角线时，
{x ＋x ＝x ＋x
此时 A N C M ，
y ＋y ＝y ＋y
A N C M
{ 3+n=0+m，
即
0+0=－3+m2－2m－3，
解得m ＝1＋√7，m ＝1－√7，
5 6
∴n＝√7－2或n＝－2－√7，
∴N (√7－2，0)，N (－2－√7，0).
3 4
综上所述，满足条件的点N的坐标为(1，0)或(5，0)或(√7－2，0)或(－2－√7，
0).
图①
图②
图③
第2题解图
3. 解：(1)∵抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，
第 36 页 共 38 页令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x ＝－1，x ＝3，
1 2
∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)，
令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；
(2)如解图①，∵∠AOC＝∠COP＝90°，
∴当以C，O，P为顶点的三角形与△AOC相似时，分两种情况：
①当∠ACO＝∠P CO时，
1
∵OC＝OC，∴△ACO≌△P CO，故不符合题意；
1
AO CO
②当∠ACO＝∠CP O时，△ACO∽△CP O，此时 ＝ ，
2 2 CO P O
2
∵A(－1，0)，∴AO＝1，
1 3
∵C(0，3)，∴CO＝3，∴ ＝ ，
3 P O
2
解得P O＝9，∴t的值为3；
2
第3题解图①
(3)存在.
设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
{3k＋n=0 {k＝－1
将B(3，0)，C(0，3)分别代入得 ，解得 ，
n=3 n=3
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
∵点Q是直线BC上一点，
∴设点Q的坐标为(m，－m＋3).
∵点D是抛物线对称轴与x轴的交点，
2
∴点D的横坐标为x＝－ ＝1，
2×(−1)
∴D(1，0)，
第 37 页 共 38 页∴CD2＝10，CQ2＝m2＋[3－(－m＋3)]2＝2m2，DQ2＝(m－1)2＋(－m＋3)2＝2m2
－8m＋10.
∵∠DCQ≠90°，∴要使以C，D，Q为顶点的三角形是直角三角形，分两种情
况讨论：
①当∠CQD＝90°时，如解图②，由勾股定理可得，CQ2＋DQ2＝CD2，
即2m2＋2m2－8m＋10＝10，整理得m2－2m＝0，解得m ＝0(舍去)，m ＝2，
1 2
∴－m＋3＝1，∴Q(2，1)；
②当∠CDQ＝90°时，如解图③，由勾股定理可得，CD2＋DQ2＝CQ2，
5
即10＋2m2－8m＋10＝2m2，整理得5－2m＝0，解得m＝ ，
2
1 5 1
∴－m＋3＝ ，∴Q( ， ).
2 2 2
综上所述，存在点Q使得以C，D，Q为顶点的三角形是直角三角形，点Q的坐
5 1
标为(2，1)或( ， ).
2 2
第3题解图
第 38 页 共 38 页
