专项训练三 与角平分线有关的几何问题
1.(2023·达州)如图,AE∥CD,CA平分∠BCD,∠2=35°,∠D=60°,则∠B=( )
A.52° B.50° C.45° D.25°
2.(2024·青海)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2023·长春)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是 (
)
A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交 AB,AC于点M和
1
N,再分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点
2
D,则△ACD与△ACB的周长之比为 ( )
A.1∶3 B.√3∶3C.1∶2 D.1∶2√3
5.(2024·常州)如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平
分线上,则 ( )
A.d 与d 一定相等
1 2
B.d 与d 一定不相等
1 2
C.l 与l 一定相等
1 2
D.l 与l 一定不相等
1 2
6.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,
则S ∶S ∶S 等于 ( )
△ABO △BCO △CAO
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
7.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,连接OB,OC,若∠BOC=120°,则∠A的度数是 (
)
A.30° B.60° C.45° D.70°
8.如图,在平面直角坐标系中,根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点 P(2a-1,3-a),则a的值为
.9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点,连接 DE,若
AB=24,CD=6,则△DBE的面积为 .
10.图1是一个平分角的仪器,其中OD=OE,FD=FE.
图1 图2 图3
(1)如图2,将仪器放置在△ABC上,使点O与顶点A重合,D,E分别在边AB,AC上,沿AF画一条射
线AP,交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗?请判断并说明理由.
(2)如图3,在(1)的条件下,过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=6,AC=9,△ABC的面积是60,求AB的
长.
1.如图,在△ABC中,∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF,
则下列结论中正确的个数有( )①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S =S +S .
△PAC △MAP △NCP
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC<90°,尺规作图痕迹如下.
结论Ⅰ:点O一定为△ABC的内心;
结论Ⅱ:连接OC,MN,则 MN<OC.
对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 ( )
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对,Ⅱ对 D.Ⅰ对,Ⅱ不对
3.(2023·永州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,BC于点
1
M,N,再分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D,
2
过点D作DE⊥AB,垂足为E,则下列结论不正确的是( )
A.BC=BE
B.CD=DE
C.BD=AD
D.BD一定经过△ABC的内心【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:∵AE∥CD,∴∠1=∠2=35°.∵CA平分∠BCD,∴∠BCD=2∠1=70°.∵∠D=60°,∴∠B=180°-∠BCD-
∠D=50°. 故选B.
2.C 解析:如图,过点P作PE⊥AO于点E,
∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,
∴PE=PD=2,∴点P到OA的距离是2.故选C.
3.B 解析:由题图,得AD=AE,DF=EF,AF平分∠MAN.∴AF⊥DE.故A,C,D正确,B不一定正确.故选B.
4.B 解析:设CD=x.由作图,得AD平分∠BAC.
∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴AD=2CD=2x,∴AC=√3x,AB=2√3x,BC=3x,
x+2x+√3x 3+√3 √3
∴△ACD与△ACB的周长之比为 = = .故选B.
3x+√3x+2√3x 3+3√3 3
5.A 解析:根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知:当点P在∠AOB的平分线上时,d 与d 一定
1 2
相等,故选A.
6.C 解析:如图,过点O作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,
∵点O是三条角平分线的交点,
∴OE=OF=OD,
∴ (1 ) (1 ) (1 )=AB∶BC∶AC=2∶3∶4.故
S ∶S ∶S = AB·OE ∶ BC·OF ∶ AC·OD
△ABO △BCO △CAO 2 2 2
选C.
7.B 解析:∵点O在△ABC内,且到三边的距离相等,
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∵∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-120°=60°,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°.故选B.
8.-2 解析:如图,作射线OP.
由作图可知OP平分∠MON,
∵P(2a-1,3-a),
∴2a-1+3-a=0,
∴a=-2.
9.36 解析:如图,过点D作DH⊥AB于点H,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴DH=CD=6,
∵AB=24,
1 1
∴△ABD的面积= AB·DH= ×24×6=72,
2 2
∵点E为AB的中点,
1
∴△DBE的面积= ×72=36.
2
10.解:(1)AP是∠BAC的平分线,理由如下:
{AD=AE,
在△ADF和△AEF中, FD=FE,
AF=AF,
∴△ADF≌△AEF(SSS).
∴∠DAF=∠EAF,
∴AP平分∠BAC.
(2)如图,过点P作PG⊥AC于点G.∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
∴PG=PQ=6.
1 1
∵S =S +S = AB·PQ+ AC·PG,
△ABC △ABP △APC 2 2
1 1
∴ AB×6+ ×9×6=60.
2 2
∴AB=11.
能力提升
1.D 解析:①如图,过点P作PD⊥AC于点D,如图,
∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,
∴PM=PN,PM=PD,
∴PN=PD,
∵PN⊥BF,PD⊥AC,
∴点P在∠ACF的平分线上,故①正确;
②∵PM⊥AB,PN⊥BC,
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,
∴∠ABC+∠MPN=180°,
{ PA=PA,
在Rt△PAM和Rt△PAD中,
PM=PD,
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),
∴∠APM=∠APD,
同理:Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),
∴∠CPD=∠CPN,
∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确;
③∵AP平分∠EAC,BP平分∠ABC,
1
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM= ∠ABC+∠APB,
2
∴∠ACB=2∠APB,故③正确;
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,
∴S =S ,S =S ,
△APD △APM △CPD △CPN
∴S +S =S ,故④正确.故选D.
△APM △CPN △APC
2.C 解 析 : 如 图 , 连 接 OC,MN,OA, 由 尺 规 作 图 痕 迹 , 得 BN 平 分 ∠ ABC,OM 垂 直 平 分
BC.∴OB=OC.∵AB=CB,∴BN垂直平分AC,∴AN=CN,OA=OC.∴OA=OC=OB.∴点O为△ABC的外心,不一定
为 △ ABC 的 内 心 .∴ 结 论 Ⅰ 不 正 确 .∵ MN 为 Rt△ BCN 的 斜 边 BC 的 中 线 ,
∴MN=BM=CM.∵OC>CM,∴OC>MN.∴结论Ⅱ正确.故选C.
3.C 解析:根据作图可得BP是∠CBA的平分线,点D在BP上,∠C=90°,DE⊥AB,∴DC=DE,故B选项正确;在
{BD=BD,
Rt△BCD和Rt△BED中, ∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE,故A选项正确;∵BP是∠CBA的
CD=ED,
平分线,三角形的内心是三条角平分线的交点,∴BD一定经过△ABC的内心,故D选项正确;若BD=AD,则
∠DBA=∠A,∵∠DBC=∠DBA,∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°,∴∠A=30°,而题目没有给出这个条件,故C选项不
一定正确.故选C.
