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专项训练四 常考全等模型
1.(2024·云南)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
2.如图,点B,F,C,E在一条直线上,OA=OD,AC∥FD,AD交BE于O.
(1)求证:△ACO≌△DFO.
(2)若BF=CE,求证:AB∥DE.
3.(2023·福建)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
4.如图,AC⊥CE,AB⊥BD,ED⊥BD,BC=DE.求证:AB=CD.
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5.(2023·宜宾)如图,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
6.(2024·宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点
F.求证:AD=BE.
1.如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=∠AED=∠C.
(1)求证:∠EAD=∠EDA.
(2)若∠C=60°,DE=4时,求△AED的面积.
2.(2023·临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.
(1)写出AB与BD的数量关系.
(2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到点F,使CF=DC,连接EF.求证:EF⊥AB.
(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H.求证:AH=FH.
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【详解答案】
基础夯实
1.证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD,
{
AB=AE,
在△ABC和△AED中, ∠BAC=∠EAD,
AC=AD,
∴△ABC≌△AED(SAS).
2.证明:(1)∵AC∥FD,
∴∠CAO=∠FDO.
{∠CAO=∠FDO,
在△ACO和△DFO中, OA=OD,
∠AOC=∠DOF,
∴△ACO≌△DFO(ASA).
(2)∵△ACO≌△DFO,
∴OF=OC.
∵BF=CE,
∴BO=EO.
{
BO=EO,
在△ABO和△DEO中, ∠AOB=∠DOE,
OA=OD,
∴△ABO≌△DEO(SAS),
∴∠B=∠E,
∴AB∥DE.
3.证明:∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
{
OA=OC,
在△AOB和△COD中, ∠AOB=∠COD,
OB=OD,
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴AB=CD.
4.证明:∵ AC⊥CE,∴∠ACE=90°.
∴∠ACB+∠ECD=90°.
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又∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∴∠ECD=∠A.
{∠A=∠ECD,
在△ABC和△CDE中, ∠B=∠D,
BC= DE,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
∴AB=CD.
5.证明:∵AB∥DE,
∴∠A=∠D.
∵AF=DC,∴AC=DF.
{
AB=DE,
在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠B=∠E.
6.证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC,
{
AB=BC,
在△ABD和△BCE中, ∠ABD=∠C,
BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
能力提升
1.解:(1)证明:∵∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,
∴∠BAE=∠CED,
{∠BAE=∠CED,
在△ABE和△ECD中, ∠B=∠C,
BE=CD,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
(2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
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∴△AED为等边三角形,
∴AE=AD=ED=4,
如图,过点A作AF⊥ED于点F,
1
∴EF= ED=2,
2
∴AF= =2 ,
√AE2-EF2=√42-22 √3
1 1
∴S = ED·AF= ×4×2√3=4√3.
△AED 2 2
2.解:(1)∵∠A=90°,AB=AC,
∴BC=√2AB.
∵BC=AB+BD,
∴√2AB=AB+BD.
∴(√2-1)AB=BD.
(2)证明:如图1,
图1
∴∠A=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°.
∵BD⊥AB,
∴∠DBC=45°.
∵BC=EC,∠1=∠2,DC=FC,
∴△CBD≌△CEF(SAS).
∴∠DBC=∠E=45°.
∴EF∥BD.
∴EF⊥AB.
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(3)证明:如图2,延长BA,EF交于点M,连接CM,延长CH交ME于点G.
图2
∵EF⊥AB,∠BAC=90°,
∴ME∥AC.
∴∠CGE=∠ACG.
∵CH是∠ACE的平分线,
∴∠ACG=∠ECG.
∴∠CGE=∠ECG.
∴EG=EC.
∵△CBD≌△CEF,
∴BD=EF,CB=CE.
∴EG=CB.
又∵BC=AB+BD,
∴EG=AB+BD=AC+EF=FG+EF.
∴AC=FG.
∵AC∥FG,∴∠HAC=∠HFG.
{∠HAC=∠HFG,
在△AHC和△FHG中, ∠AHC=∠FHG,
AC=FG,
∴△AHC≌△FHG(AAS).
∴AH=FH.
7
