文档内容
2013年潍坊市初中学业水平考试
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，
选错、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1.实数0.5的算术平方根等于（ ）.
A.2 B. C. D.
2.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
3.2012年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标.其中在促进义务教育均衡发展方面，安排义
务教育教育经费保障教育机制改革资金达865.4亿元.数据“865.4亿元”用科学技术法可表示为（ ）元.
A. B. C. D.
4.如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯视图正确的是（ ）.
5.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自
己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）.
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
6.设点 和 是反比例函数 图象上的两个点，当 ＜ ＜ 时， ＜ ，则一次函数
的图象不经过的象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）.
8.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.
A. B. C. D.
9.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船
1后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处
恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.
A. 海里/小时
B. 30海里/小时
C. 海里/小时
D. 海里/小时
10.已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）.
A.当 时，方程无解
B.当 时，方程有一个实数解
C.当 时，方程有两个相等的实数解
D.当 时，方程总有两个不相等的实数解
11.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺
癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这
10000人中，吸烟者患肺癌的人数为 ，不吸烟者患肺癌的人数为 ，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
12.对于实数 ，我们规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ，若
，则 的取值可以是（ ）.
A.40 B.45 C.51 D.56
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13.方程 的根是_________________.
14.如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD,请你添加一个适当的条件
____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）
15.分解因式： _________________.
16.一次函数 中，当 时， ＜1；当 时， ＞0则 的取值范围是
_____________.
17.当白色小正方形个数 等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小
正方形组成的图形分别如图所示.则第 个图形中白色小正方形和黑
色小正方形的个数总和等于_____________.（用 表示， 是正整数）
18.如图，直角三角形 中， ， ， ，
在线段 上取一点 ，作 交 于点 .现将
沿 折叠，使点 落在线段 上，对应点记为 ；
的中点 的对 应点记为 .若 ∽ ，则
=__________.
三、解答题（本大题共6小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分10分）
2如图，四边形 是平行四边形，以对角线 为直径作⊙ ，分别于 、 相交于点 、 .
（1）求证四边形 为矩形.
（2）若 试判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由.
320.（本题满分10分）
为增强市民的节能意识，我市试行阶梯电价.从2013年开始，
按照每户每年的用电量分三个档次计费，具体规定见右图.小明统计
了自己2013年前5个月的实际用电量为1300度，请帮助小明分析
下面问题.
（1）若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520度，则6
至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保留整数）
（2）若小明家2013年6月至12月份平均每月用电量等于前5
个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多少元？
21.（本题满分10分）
随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻.某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所
示：
4（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整；
（2）求15个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）；
（3）规定： ，比如：北京的堵车率=
=36.8%；沈阳的堵车率= =54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中
任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率.
22.（本题满分11分）
如图1所示，将一个边长为2的正方形 和一个长为2、宽为1的长方形 拼在一起，构成一个大的长方
形 .现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ,旋转角为 .
（1）当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值；
（2）如图2， 为 ，且0°＜ ＜90°，求证： ；
（3）小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角 的
值；若不能，说明理由.
523.（本题满分12分）
为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ 内修建矩形水
池 ，使顶点 在斜边 上， 分别在直角边 上；又分别以 为直
径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中 ，
.设 米， 米.
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）当 为何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 为何值时，矩形 的面积等于两弯新月面积的 ？
6724.（本题满分13分）
如图，抛物线 关于直线 对称，与坐标轴交于 三点，且 ,点
在抛物线上，直线 是一次函数 的图象，点 是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 平分四边形 的面积，求 的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线 交于 两点，问在 轴正半轴上是否
存在一定点 ，使得不论 取何值，直线 与 总是关于 轴对称？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
82013年潍坊市初中学业水平考试数学试题
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小
题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1.实数0.5的算术平方根等于（ ）.
A.2 B. C. D.
答案：C．
考点：算术平方根。
点评：理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.
2.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
答案：A．
考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。
点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别。．
3.2012年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标.其中在促进义务教育均衡发
展方面，安排义务教育教育经费保障教育机制改革资金达865.4亿元.数据“865.4亿元”用科学记数法可表
示为（ ）元.
A. B. C. D.
答案：C．
考点: 科学记数法的表示。
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯视图正确的是（ ）.
答案：B.
考点:根据实物原型画出三视图。
点评:本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．
5.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生
想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）.
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
答案：D．
9考点:统计量数的含义.
点评:本题要求学生结合具体情境辨析不同的集中量数各自的意义和作用,从而选择恰当的统计量为给定的
题意提供所需的集中量数,进而为现实问题的解决提供理论支撑.与单纯考查统计量数的计算相比较,这样更
能考查出学生对统计量数的意义的认识程度.
6.设点 和 是反比例函数 图象上的两个点，当 ＜ ＜ 时， ＜ ，则一
次函数 的图象不经过的象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：A．
考点:反比例函数的性质与一次函数的位置.
点评：由反比例函数y随x增大而增大，可知k＜0，而一次函数在k＜0，b＜0时，经过二三四象限，从而可得
答案.
7.用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象
是（ ）.
答案：C．
考点:变量间的关系，函数及其图象.
点评：容器上粗下细，杯子里水面的高度上升应是先快后慢。
8.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.
A. B. C. D.
答案：D．
考点:垂径定理与勾股定理.
点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.
9.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于
A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20
分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.
A. 海里/小时 B. 30海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
答案：D．
考点:方向角，直角三角形的判定和勾股定理.
点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键.
10.已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）.
A.当 时，方程无解
B.当 时，方程有一个实数解
C.当 时，方程有两个相等的实数解
D.当 时，方程总有两个不相等的实数解
答案：C．
10考点:分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况.
点评：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定.
11.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸
烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌
的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为 ，不吸烟者患肺癌的人数为 ，根据题意，下
面列出的方程组正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
21世纪教育网
答案B．
考点:二元一次方程组的应用.
点评：弄清题意，找出相等关系是解决本题的关键.
12.对于实数 ，我们规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ，若
，则 的取值可以是（ ）.
A.40 B.45 C.51 D.56
答案：C．
考点:新定义问题.
点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，
解决问题的能力.
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13.方程 的根是_________________.
[来源:21世纪教育网]
答案：x=0
考点:分式方程与一元二次方程的解法.
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，
把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个
适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）
答案：OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等
考点：菱形的判别方法.
点评：此题属于开放题型，答案不唯一.主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
15.分解因式： _________________.
答案：(a-1)(a+4)
考点：因式分解-十字相乘法等．
点评：本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本题的关键．
16.一次函数 中，当 时， ＜1；当 时， ＞0则 的取值范围是____.
答案：-2﹤b﹤3
考点：一次函数与不等式的关系和不等式组的解法.
点评：把 和 代入，然后根据题意再列出不等式组
是解决问题的关键.
17.当白色小正方形个数 等于1,2，3…时，由白色小正方形和
11和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等
于_____________.（用 表示， 是正整数）
答案：n2+4n
考点：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力．
点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方
式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有 的代数式进行表示．
18.如图，直角三角形 中， ， ， ，在线
段 上取一点 ，作 交 于点 .现将 沿 折叠，
使点 落在线段 上，对应点记为 ； 的中点 的对应点记为
.若 ∽ ，则 =__________.
答案：3.2
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8，设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A，点E的对应点为E，
1 1
∴AE=DE=DE=AE=x，
1 1 1
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ，
即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，
在Rt△DEF中，EF2= DF2+DE2 = 3.25 x 2 ，
1 1 1
又∵BE=AB-AE=10-3x，△EFA∽△EBF，∴EF:AE =BE :EF ，∴EF2=AE•BE，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2．
考点：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换，折叠，勾股定理，相似三角形的对应边成比例.
点评：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE=AE=x，然后求出BE，再利用相似三角形
1 1 1 1
对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出EF，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解
1
得到x的值，从而可得AD的值．
三、解答题（本大题共6小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分10分）
如图，四边形 是平行四边形，以对角线 为直径作⊙ ，分别于 、 相交于点 、 .
（1）求证四边形 为矩形.
（2）若 试判断直线 与⊙ 的位置关系，并说
明理由.
答案：
考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知
识的综合运用.
12点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法.
20.（本题满分10分）
为增强市民的节能意识，我市试行阶梯电价.从2013年开始，
按照每户每年的用电量分三个档次计费，具体规定见右图.
小明统计了自己2013年前5个月的实际用电量为1300度，
请帮助小明分析下面问题.
（1）若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520 度，
则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保
留整数）
（2）若小明家2013年6月至12月份平均每月用电量等于前
5个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多
少元？
[来源:21世纪教育网]
答案：（1）设小明家6月至12月份平均每月用电量为x度，
根据题意的：
1300+7x≤2520,解得x≤ ≈174.3
所以小明家6至12月份平均每月用电量最多为174度.
（2）小明家前5个月平均每月用电量为1300÷5=260（度）.
全年用电量为260×12=3120（度）.
因为2520﹤3120﹤4800.
所以总电费为2520×0.55+（3120-2520）×0.6=1386+360=1746（元）.
所以小明家2013年应交总电费为1746元.
考点：不等式的应用与分段计费问题
点评：根据题意弄清关系，列出不等式，求出整数解是解第一小题的关键．解决第二小题则需要找出正确的
计量电费的档位，分段算出全年应缴总电费.
21.（本题满分10分）
随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻.某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的
数据如下表所示：
13（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整；
（2）求15个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）；
（3）规定： ，比如：北京的堵车率=
=36.8%；沈阳的堵车率= =54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个
城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率.
答案：（1）补全的统计图如图所示
（2）平均上班堵车时间=（14+12×4+11×2+7×2+6×2+5×3+0）÷15≈8.3（分钟）.
（3）上海的堵车率=11÷（47-11）=30.6％，温州的堵车率=5÷（25-5）=25％，
堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海.
从四个城市中选两个的方法共有6种（北京，沈阳），（北京，上海），（北京，温州），（沈阳，上海），（沈阳，温
州），（上海，温州）.
其中两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：（北京，沈阳），（北京，上海），（沈阳，上海）
所以选取的两个城市堵车率都超过30%的概率 .
考点：频数分布表、频数分布直方图、平均数、概率.
点评：从统计图表得到正确信息是解题关键，第三问先确定堵车率超过30﹪的城市，再根据概率的意义，用
列表或树形图表示出所有可能出现的结果，找出关注的结果，从而求出它的概率．
22.（本题满分11分）
如图1所示，将一个边长为2的正方形 和一个长为2、宽为1的长方形 拼在一起，构成一
个大的长方形 .现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ,旋转角为 .
（1）当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值；
（2）如图2， 为 的中点，且0°＜ ＜90°，求证： ；
14（3）小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出
旋转角 的值；若不能，说明理由.
答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα= ,∴α=30°
(2) ∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,
∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D
(3) 能. α=135°或α=315°
考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定
点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计
算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、
推理和探究能力．
23.（本题满分12分）
为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ 内
修建矩形水池 ，使顶点 在斜边 上， 分别在直角边 上；又分别以
为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地
铺设地砖.其中 ， .设 米， 米.
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）当 为何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 为何值时，矩形 的面积等于两弯新月面积的
？
答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC= 米，BC=36米，∠ABC=30°,
所以
又AD+DE+BE=AB,
15所以 （0＜x＜8）.
(2)矩形DEFG的面积
所以当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为 平方米.
（3）记AC为直径的半圆\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S、S、S3，两弯新月面积为S，则
1 2
由AC2+BC2=AB2可知S+S=S，∴S+S-S=S-S ,故S=S
1 2 3 1 2 3 △ABC △ABC
所以两弯新月的面积S= (平方米)
由 ， 即 ,解得 ，符合题意，
所以当 米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的 .
考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应
用其相关性质加以解答．
24.（本题满分13分）
如图，抛物线 关于直线 对称，与坐标轴交于 三点，且 ,点
在抛物线上，直线 是一次函数 的图象，点 是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 平分四边形 的面积，求 的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线 交于 两点，问在 轴正
半轴上是否存在一定点 ，使得不论 取何值，直线 与 总是关于 轴对称？若存在，求出 点坐标
若不存在，请说明理由.
答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),
由点D(2，1.5)在抛物线上，所以 ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又 ，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以 .
16（2）由（1）知 ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F( )，
令kx-2=0，得l与x轴的交点E( )，
根据S =S 得：OE+CF=DF+BE,
四边形OEFC 四边形EBDF
即：
（3）由（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM、
1
NN 垂足分别为M、N，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM∽Rt△NPN,
1， 1 1 1 1
所以 ,………………(1)
不妨设M(x ,y )在点N(x ,y )的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
M M N N
则（1）式变为 ,又y =k x -2, y =k x -2,
M M N N
所以（t+2）(x +x )=2k x x (2)
M N M N,……
把y=kx-2(k≠0)代入 中，整理得x2+2kx-4=0,
所以x +x =-2k, x x =-4,代入（2）得t=2,符合条件，
M N M N
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图
形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、
分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设
计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
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