文档内容
2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，数轴上的两个点分别表示数 和 ，则 可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】．C
【解析】由数轴上点的位置可知 ，
∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．
2．2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用
科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：505000这个数用科学记数法表示为 ，故选：C．
3．如图，是由五块相同的小正方体搭成的几何体，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有
发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】观察图形可知，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是①．故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，在 中，若 ， ，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图知， 平分 ， 垂直平分
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∴ ， ，
中，
∴
∴ ，故B项正确，不符合题意；∵ ，
∴
∴ ，故C项正确，不符合题意；
∴
∴ ，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
6．如图，四边形 内接于 ，过点B作 于点H，若 ， ，则 的长度
为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7．计算 ．
【答案】5
【解析】 ．
故答案为：5．8．把多项式 分解因式的结果是 ．
【答案】
【解析】 ，
故答案为： ．
9．化简： ．
【答案】
【解析】原式
．
故答案为： ．
10．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值是 ．
【答案】
【解析】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
11．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人
步．问人与车各几何?其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数
各多少?设共有车x辆，可求得x的值为 ．
【答案】15
【解析】根据题意得： ，解得： ， 的值为15．
故答案为：15．
12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度 为 时，所成的像 的高度为 ．
【答案】
【解析】由题意得， ，
∴ ，
∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字
白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是
度．
【答案】135
【解析】正八边形的内角和为： ，
正八边形一个内角为： ，
故答案为：135．14．在 中； ．将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点为点 ，点 的对
应点为点 ，点 在 内，当 时，过点 作 于点 ．若 ， ，则
的长为 ．
【答案】
【解析】由旋转可得 ， ， ， ， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，即 ，
解得： ，即 ，
，
， ，
，
，即 ，解得： ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【解析】 ，
将 代入原式
16．（5分）2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以
“同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑
造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一
张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均
相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
(1)若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必
然”）．
(2)若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用
画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽
的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为 、 ）
【答案】(1)随机(2)
【解析】（1）解：“抽到卡片上的图案是会徽”可能发生也可能不发生，是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画出树状图如图：
由图知，共有9种等可能的结果，其中小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的结果有4种，
∴ ．17．（5分）如图， ， ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
求证： ．
【答案】见解析
【解析】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
18．（5分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的
到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为
，比返回时大巴车行驶的路程多 ，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多 ，乘
坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为 ．
【解析】解：设大巴车的平均速度为 ，
由题意，得 ，解得 ，经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度为 ．
19．（7分）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均
为1，线段 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形
的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，以 为腰画一个等腰直角三角形 ；
(2)在图②中，作线段 （画一条即可）；
(3)在图③中，画线段 ，使 与 的夹角为 （画一条即可）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【解析】（1）解：如图①， 即为所求；
（2）如图②，线段 即为所求（答案不唯一）；
（3）如图③，线段 即为所求（答案不唯一）．
20．（7分）如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 和 ，点
在反比例函数 的图象上．(1)求反比例函数的解析式和点 的坐标．
(2)直接写出不等式 的解集．
(3)连接 ，直接写出 的面积．
【答案】(1) ， (2) 或 (3)
【解析】（1）解：把点 和 代入 得， ， ，
， ，
点 ， ，
反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 和 ，
，
反比例函数的解析式为 ，
点 在反比例函数的图象上．
，
；
（2）由图象可知：不等式 的解集 或 ；
（3）如图：过点 作 轴的垂线 ，交 于点 ，则 ，，
，
．
21．（7分）九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班
50名同学对两人进行民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图，并求得了五位评委对甲
同学才艺表演所打分数的平均分和中位数： （分）；中位数是91分．
五位评委的打分表
A B C D E
8 9
甲 91 93 86
9 4
8 9
乙 87 90 92
8 8
(1)求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；
(2) ________，并补全条形统计图；
(3)为了从甲、乙二人中选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔综合分最高的同
学参加艺术节演出，其中：才艺分 五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；
测评分 “好”票数 分 “较好”票数 分 “一般”票数 分；综合分 才艺分 测评分（ ）；当 时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？
【答案】（1)平均数是91分；中位数是90分；(2)8，见解析
(3)应选拔甲同学去参加艺术节演出，计算见解析
【解析】（1） （分）；中位数是90分．
（2） ，补全条形统计图如图．
（3）甲的才艺分 （分），
甲的测评分 （分），
甲的综合分 （分）；
乙的才艺分 （分）
乙的测评分 （分），
乙的综合分 （分）．
∵甲的综合分 乙的综合分，
∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．
22．（7分）如图①是一台电脑支架，图②是其侧面示意图， 、 可分别绕 、 转动，测量知
， ，当 、 转动到 ， 时，求点 到 的距离 的长
（参考数据： ， ， ）．
【答案】点 到 的距离 的长为【解析】解：过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，
， ， ，
四边形 是矩形， ，
， ，
，
在 中，
，
，
在 中， ，
，
，
，
答：点 到 的距离 的长为 ．
23．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为 的柜子
里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜
子里．【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据
如下表：
碗的个数 （个） 1 2 3 4 5
这摞碗的总高度 （厘 1
5.5 7 8.5 11.5
米） 0
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求 与 的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【答案】[图见解析]；（1）这些点在一条直线上
（2）当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米
[结论应用]：一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里
【解析】[建立模型]
（1）如图，
这些点在一条直线上．
（2）设 与 之间的函数关系式为 ．将点 、 代入，得
解得
与 之间的函数关系式为 ．
时， ．
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
[结论应用]
时， ，
所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
24．（8分）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示， 是 的平分线，
P是 上任一点，作 ， ，垂足分别为点D和点E．将 沿 对折，我们发现
与 完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示， 是 的平分线，点P是 上的任意一点， ， ，垂足分别为
点D和点E．
求证： ．
分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，已知 是 的平分线，点P是 上的任意一点，点D、E分别在边 上，连
结 ， ．若 ， ，则 的长为______．
（3）如图③，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点E，连结 ，将 绕点E旋转，当点C的对应点F落在边 上时，若 ，则四边形 的面积为______．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）
【解析】（1）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）作 ，垂足分别为点M和点N，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：5；
（3）作 ，垂足分别为点M和点N，
由于 绕点E旋转，点C的对应点F落在边 上，即 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的面积 ，
故答案为： ．
25．（10分）如图，在 中， ， ， ，点M为边 的中点．点Q从点A出
发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度
先沿 运动到点B，再沿 向终点A运动，以 为邻边构造 ，设点Q运动的时间为t秒．
(1)当点E落在 边上时，求t的值；
(2)当点P在边 上运动时，设 的面积为 ，求S与t之间的函数关系式；
(3)连接 ，直接写出 将 分成的两部分图形面积相等时t的值．
【答案】(1) ；(2)当 时， ；当 时，
(3)当点E落在线段 上时， 将 分成的两部分图形面积相等．有两种情形： 秒，
秒【解析】（1）当点E落在 边上时， ，
， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）①如图1，当 时，作 于N，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴
②如图2，
当 时，同法可得 ；
（3）当点E落在直线 上时， 将 分成的两部分面积相等，有两种情况：
①当点E在 上，且点P在 上时，如图，过点E作 于G，过点M作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
当点P在 上时，此时点E在 上符合题意，作 于F，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
综上：当点E落在线段 上时， 将 分成的两部分图形面积相等．
有两种情形： 秒， 秒．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点 ，点P、点
Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、 ，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点
Q）．连接 ，以 为对角线作矩形 ，且矩形 的各边均与坐标轴平行或垂直．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当 时，该二次函数的最大值是______，最小值是______；
(3)当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当矩形 的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值．【答案】(1) ；(2) ， ；(3) 或 ；(4) 或
【解析】（1）将点 代入 可得 ，解得： ，
所以此抛物线的解析式 ．
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∵ ，
∴当 时，有最小值 ，
∵ ，
∴当 时，有最大值 ．
故答案为： ， ．
（3）解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、 ，
∴ ， ，
∴ , ，
∵抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
∴ ，或
解得： 或 ；
（4）解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、 ，
∴ ， ，∴ , ，
∵矩形 的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，
①当矩形 的面积被x轴平分，则 ，
∴点P、点Q的纵坐标互为相反数，
∴ ，解得： （不符合题意）或 ，
②当矩形 的面积被y轴平分，则 ，
∴点P、点Q的横坐标互为相反数，
∴ ，解得：
∴当 或 时，矩形 的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点．
