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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中，绝对值最大的是（ ）
A． B．0 C．π D．
【答案】C
【分析】此题考查了实数比较大小，分别求出各数的绝对值，进行比较即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴绝对值最大的是 ．
故选：C
2． （ ）
A．7 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方的定义及计算方法是求解的关键．这里先计算出乘方，
根据负数的偶数次方为正、奇数次方为负，去括号求解即可.
【详解】解： ，
故选：C．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．
【详解】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：D．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉圆锥的三视图．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据积的乘方和单项式乘以单项
式法则、同底数幂相乘法则、负整指数幂运算法则计算并判定C；根据用平方差公式因式分解计算并判定
D．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，单项式乘以单项式法则，积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负整指
数幂的运算法则，用平方差公式进行因式分解．熟练掌握幂的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解
题的关键．
5．在平面直角坐标系中，将直线 沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直
线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，求出新的解析式，求出新直线与y轴
的交点坐标即可．
【详解】解：将直线 沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，
该直线的解析式为： ；
∴当 时， ，
∴该新直线与y轴的交点坐标是 ；
故选C
6．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．有下列说法：① ；②
③ (t为任意实数)；④若图象上存在点 和点 ，当
时，满足 ，则 的取值范围为 ．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①， 对
应函数值小于0判断②，利用最值判断③，利用对称性判断④即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点为 与 之
间，根据对称性可得另一个交点在 和 之间，
∴抛物线与y轴交点位于正半轴，
∴ ，∴ ，
故①正确；
由图象可知， ，根据对称轴，得 ，
∴
∴ ，
故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴抛物线的最小值为 ，
当 时，其函数值为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③不正确；
∵ 和点 满足 ，
∴ 和点 关于对称轴对称，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
解得 ，
故④正确；
故选C．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
8．要使二次根式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
9．2024年3月12日的《政府工作报告》中指出，在过去的一年我国经济总体回升向好，其中2023年城镇
新增就业1244万人，请将数字 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，正
确确定a、n的值是解题的关键．
将 写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： ．
故答案为 ．
10．某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设
该种水果打折前的价格为 元/斤，根据题意可列方程为
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．设该种水果打折前的价格为 元/斤，根据等量关系“对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可
以比打折前多买2斤”列出方程即可．
【详解】解：设该种水果打折前的价格为 元/斤，
依题意得： ．
故答案为： ．
11．若两个不同的实数m、n满足 ， ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是
关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算
即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．
【详解】解：由题可得： ， ，
∴m、n是关于x的一元二次方程 的两个不等实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
12．如图，在 中，已知 ， ， ，点P为 边上一动点，若 为直角
三角形，则 的长为 ．
【答案】2或4或10
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．分情况讨论，当 时，
为直角三角形，由 ，设 ，则 ，利用勾股定理求得 ， ；当 时， 为直角三角形，作 于点 ，求得 ，利用正切函
数的定义列式求解即可．
【详解】解：当 时， 为直角三角形，
∵ ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ；
当 时， 为直角三角形，作 于点 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 或 ，经检验 或 都是方程的解，∴ 或 ，
∴ 或 ，此时点 与点 重合，
综上， 的长为2或4或10，
故答案为：2或4或10．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1）5；（2）
【分析】本题考查实数混合运算，解不等式组．
（1）先计算负整数指数幂，并把特殊角的三角函数值代入，化简绝对值，再合并即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集即
可．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
解①得： ，
解②得： ，
∴ ．14．如图，点 、 、 、 在一条直线上， 且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌
握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得 ，再根据 ，等量交换得
，结合已知条件 ，根据全等三角形判定（边角边），得 ，即可得
；
（2）根据（1）得 ，由全等三角形的性质得 ， ，根据平行线的判
定“内错角相等，两直线平行”得 ，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形”，即可证得结论．
【详解】（1）证明： ，
，
又 ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得 ，， ，
，
四边形 是平行四边形．
15．如图，已知 ， ， 均在 上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中，若 ，作一个 的角；
(2)在图②中，若 ， 分别是 边的中点，作 的内心 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 ，进而即可得 ．
（2）延长 分别交 于D、E,则根据垂径定理得到 ，连接 相交于P点,
根据圆周角定理得到 ， ，则点P为 的内角平分线的交点, 所以点P为
的内心．
【详解】（1）解：在 上找一点D，连接 ，如图，
则 是直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 即为所求；
（2）解：延长 分别交 于 、 ，根据垂径定理得到 ，连接 相交于
点, 根据圆周角定理得到 ， ，则点 为 的内角平分线的交点，所以
点 为 的内心；
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，涉及到圆周角的性质，垂径定理等，灵活运用所学知识是关键．
16．“江西风景独好”是江西文旅的宣传标语．小明、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西四个
景点（ ．武功山； ．鄱阳湖； ．滕王阁； ．葛仙村）中的一个景点游玩，四支签分别标有 ， ，
， ．
(1)小明抽一次签，他恰好抽到 景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小明、小红抽到同一景
点的概率．
【答案】(1)随机
(2)
【分析】本题考查树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步
以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，（1）根据随机事件的定义求解；（2）
画出树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明、小红抽到同一景点的结果数，然后根据概率公式
求解．
【详解】（1）解：根据随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中
具有某种规律性的事件叫做随机事件，即可判断，
故答案为：随机；
（2）解：画树状图如下：由树状图可知，共16种等可能的结果，其中小明、小红抽到同一景点的结果有4种，
∴小明、小红抽到同一景点的概率为 ．
17．先化简，再求值，其中x是满足条件 的合适的非负整数．以下是某同学化简分
的部分运算过程：
解：原式 ①
②
③…
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见详解
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
（2）解：原式＝
＝ ．
∵x是满足条件 的非负整数
∴ ，
∵由于分母不为0，
∴ ，
∴
∴原式 或 ．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18． 年 月 日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．
为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了 名学生
的竞赛成绩（满分 分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组： ． ， ． ，
． ， ． ．E． ）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在 组和 组的分别为： ．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
平均
年级 中位数 众数
数七年级
八年级
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，上述表中 ________， ________，八年级学生成绩 组在扇形统计图中所
占扇形的圆心角为___________度；
(2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
(3)如果该校七年级有 名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于 分的学生人数．
【答案】(1)补图见解析， ， ， ；
(2)七年级学生成绩好，理由见解析；
(3) 名．
【分析】（ ）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出
的值，求出八年级学生成绩在 组的人数，用 乘以其占比即可求解；
（ ）根据平均数、中位数、众数判定即可；
（ ）用 乘以七年级竞赛成绩不低于 分的学生人数的占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：七年级抽取的 名学生的竞赛成绩在 组的人数为： 名，
∴补全频数分布直方图如图：
八年级在 组的学生有 名，
∵八年级学生竞赛成绩在 组和 组的分别为： ，
∴第 名和第 名学生的竞赛成绩为 ，∴ ，
∵七年级中抽取的 名学生的竞赛成绩中 分的最多，
∴ ，
∵八年级学生成绩在 组的学生数为 名，
∴八年级学生成绩 组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
（3）解： ，
答：估计七年级竞赛成绩不低于 分的学生人数为 名．
19．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点 ， ， ， 在同一直线上，
支杆 可绕点 活动， 是可伸缩横杆．已知 ， ， ．
(1)求活动宣传栏板与地面的夹角 的度数；
(2)如图3，小明站在活动宣传栏板前的点 处看宣传栏时（点 ， ， 在同一直线上），若视线 垂
直宣传栏板于点 ，此时测得 ，求小明的眼睛 离地面的距离．（参考数据： ，
， ， ， ， ，结果精确到0.1）
【答案】(1) ；
(2)小明的眼睛 离地面的距离约 ．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作 交 于点 ，交 于点 ，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求解即可；
（2）作 交 于点 ，证明四边形 为矩形，分别求得 和 的长，利用解直角三角形
的方法求解即可．
【详解】（1）解：作 交 于点 ，交 于点 ，∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作 交 于点 ，
∴四边形 为矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵视线 垂直宣传栏板，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：小明的眼睛 离地面的距离约 ．
20．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ， ，
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接 、 ，当 面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为： ，一次函数的表达式为：
(2) 或
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，
利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由 面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入双曲线 ，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ，
将点 代入 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，
，
解得 ，
∴直线解析式为 ；
（2）解：观察函数图象知，不等式 的解集为： 或 ；
（3）解：设直线 交 轴于点 ，设点 ，
由直线 的表达式知，点 ，则 面积 ，
解得： ，
即点 的坐标为： ．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．课本改编
（1）如图1，四边形 为 的内接四边形， 为 的直径，则 度，
度．
（2）如果 的内接四边形 的对角线 不是 的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互
补．
知识运用
（3）如图3，等腰三角形 的腰 是 的直径，底边和另一条腰分别与 交于点 D，E，F 是线
段 的中点，连接 ，求证： 是 的切线．
【答案】（1）90，180；（2）见解析；（3）见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、切线的判定、圆内接四边形性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的
判定是解题的关键.
（1）利用圆周角定理及四边形内角和进行解答即可；
（2）连接 并延长，交 于点E，连接 根据（1）的 结论进行证明即可；
（3）证明 ，由四边形 是圆内接四边形，进一步得到 ， ，又由 是
的半径，即可证明结论．
【详解】（1）∵四边形 为 的内接四边形， 为 的直径，
∴ 度，
∵
∴
故答案为：90，180
(2)证明：如图，连接 并延长，交 于点E，连接由(1)可知， ， ，
，
，
即圆内接四边形的对角互补
（3）证明:连接 ，如图所示.
，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
是线段 的中点，
是 的半径，
是 的切线22．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方
式摆放．其中 ， ， ．
【问题探究】小昕同学将三角板 绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边 上时，延长 交 于点F，求 的长；
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线 的距离；
（3）如图4，连接 ， 为 的中点，则在三角板 旋转过程中，点G到直线 的距离的最大值
是 ．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）在 中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点E在 上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取 的中点O，连接 ，从而求出 ，得出点G在以O为圆心， 为半径的圆上，过
O作 于H，当G在 的反向延长线上时， 最大，即点G到直线 的距离的最大，在
中求出 ，进而可求 ．
【详解】解：由题意得∶ ，
在 中， ，
；
（2）当点E在 上方时，
如图，过点D作 于点H，
∵ ，，
，
∵ ， ，
，
∵点C、E、D在同一条直线上，且 ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点E在 下方时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 于点M，
∵ ，∴ ，
综上所述，点到直线 为 或 ；
（3）如图，取 的中点O，连接 ，则 ．
∴点G在以O为圆心， 为半径的圆上，
如图，过点过O作 于H，当G在 的反向延长线上时， 最大，即点G到直线 的距离的
最大，
在 中， ，
∴即点G到直线 的距离的最大值为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等知识，综合性强，难度大，属于压轴题，分
点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）的关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 、点 ，M是抛物线上第一
象限内的点，过点M作直线 轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；(2)当直线 是抛物线的对称轴时，求四边形 的面积
(3)求 的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使
以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)5
(3)最大值为 ， .
(4)存在， 或 或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点M、N的坐标，然后利用 求出面积即可；
（3）设点M的坐标是 ，则点 ，表示 ，然后利用二次函数的配方法求最
值即可；
（4）分 是对角线、 是对角线和 是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【详解】（1）由题意得： .解得：
∴抛物线的函数解析式是： .
（2）∵ .
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是 ，点 .
连接BN.
则 ；（3）设点M的坐标是 ，则点 .
∴ ， .
∴ .
∴当 时， 有最大值 ，
这时点 .
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线 ，点 .
设点 ， .
分三种情况讨论：
①当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .
②当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .
③当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .综上所述，存 或 或 ，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
