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2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算（﹣9）﹣14的结果是（ ）
A．5 B．23 C．﹣5 D．﹣23
【考点】有理数的减法．
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【分析】应用有理数减法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣9）+（﹣14）＝﹣（9+14）＝﹣23．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则进行求解是解决本题的关键．
2．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】左视图就是从几何体的左侧看，所得到的图形，实际上就是从左面“正投影”所得到的图形，
【解答】解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的
轮廓线用虚线表示，
因此，选项D的图形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查几何体的三视图，理解三视图的意义是正确判断的前提，在画视图时注意“看得见的
轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线表示”．3．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．130° D．140°
【考点】角的计算．
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【分析】根据图形和题目中的条件，可以求得∠AOB的度数和∠COD的度数，从而可以求得∠AOD的
度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝40°；
同理可得，∠COD＝40°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°+40°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查角的计算，解答本题的关键是明确角之间的关系，利用数形结合的思想解答．
4．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴k+b＝2+（﹣1）＝1；
当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣1，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
，解得： ，
∴k+b＝（﹣2）+3＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是分两种情况来讨论．
5．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则
AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．
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【分析】由勾股定理求出BC的长，再由割补法求出△ABC的面积，然后由三角形面积公式求出AD的
长即可．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝ ＝ ，
∵S△ABC ＝3×3﹣ ×2×1﹣ ×2×3﹣ ×1×3＝ ，
又∵S△ABC ＝ BC•AD＝ ，
∴BC•AD＝7，
∴AD＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、割补法以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，由割补法求出
△ABC的面积是解题的关键．
6．如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边BC上一点，且∠FAE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，
则AF的长为（ ）A．10 B． C．12 D．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
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【分析】延长AE、BC交于G，由矩形的性质推出BC＝AD，AD∥BC，得到∠DAE＝∠G，由AAS判定
△ADE≌△GCE（AAS），得到CG＝AD，求出BC＝8+2＝10，得到CG＝AD＝10，求出FG＝CG+FC
＝10+2＝12，而∠FAE＝∠EAD，大的∠FAE＝∠G，推出AF＝FG＝12．
【解答】解：延长AE、BC交于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴∠DAE＝∠G，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵∠AED＝∠CEG，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AD，
∵BF＝8，FC＝2，
∴BC＝8+2＝10，
∴CG＝AD＝10，
∴FG＝CG+FC＝10+2＝12，
∵∠FAE＝∠EAD，
∴∠FAE＝∠G，
∴AF＝FG＝12．
故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由矩形的性质推出
△ADE≌△GCE（AAS）．
7．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8， ．则BE的长为（
） ⊙
A． B． C．2 D．
【考点】圆周角定理．
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【分析】连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝ ∠BOC，则∠BOC＝∠BOD，所以 ＝ ，
再根据垂径定理得到AB⊥CD，CE＝DE＝ CD＝4，设 O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，利用勾
股定理得42+（8﹣r）2＝r2，解方程求出r，然后计算AB⊙﹣AE即可．
【解答】解：连接OC，如图
∵∠BAC＝ ∠BOC，
而∠BAC＝ ∠BOD，
∴∠BOC＝∠BOD，
∴ ＝ ，
∴AB⊥CD，
∴CE＝DE＝ CD＝4，设 O的半径为r，则OC＝r，OE＝8﹣r，
在⊙Rt△OCE中，42+（8﹣r）2＝r2，
解得r＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝2×5﹣8＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径
定理．
8．抛物线L：y＝ax2+bx+c经过A（4，3），B（0，1）两点，且抛物线L不经过第四象限，则下列点坐标
可能在抛物线L上的是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，3） D．（﹣1，1）
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】由二次函数经过A（4，3），B（0，1）两点，且不经过第四象限，所以抛物线开口向上，开
口向上，函数和x轴有一个交点或没有交点的情况下，函数图象只过一二象限；开口向上，函数两根均
小于零的情况下，函数只过一二三象限，不过第四象限；根据题意求将各点坐标代入求出函数解析式，
即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线L：y＝ax2+bx+c经过A（4，3），B（0，1）两点，抛物线L不经过第四象限，
当Δ≤0，a＞0，函数不过第四象限时，
函数图象只过一二象限，点B（﹣2，﹣1）不可能在抛物线上，
当a＞0， ， 时函数只过一二三象限，不过第四象限，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
将点A、B、C、D分别代入解析式中解得，当点B（﹣2，﹣1）代入，
解得 ，不符合题意，∴点B（﹣2，﹣1）不可能在抛物线上，
∵对称轴不能在第一象限，所以AC均不能在抛物线上，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，关键是二次函数图象上点的坐标的应用．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．在实数 ，﹣0.3， ， ，0.1010010001， 中，无理数的个数是 3 ．
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
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【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数，结合所给
数据进行判断即可． π
【解答】解：在实数 ，﹣0.3， ， ，0.1010010001， 中，是无理数的有： ， ， ，
∴是无理数的有3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
10．已知正六边形的边心距为 ，则它的外接圆半径为 2 ．
【考点】正多边形和圆．
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【分析】根据正六边形的性质，正三角形以及直角三角形的边角关系求出OA即可．
【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的边心距OG＝ ，
由正六边形的性质可知，△AOB是正三角形，
在Rt△AOG中，OG＝ ，∠OAG＝60°，
∵sin60°＝ ，
∴OA＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形以及直角三角形的边角关系是解决问
题的关键．
11．大自然是美的设计师，一个盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点 B为AC的黄金分割点
（AB＞BC），若AB＝50cm，则BC的长是 （ 2 5 ﹣ 2 5 ） cm．
【考点】黄金分割．
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【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AB＝50cm，
∴ ＝ ，
∴BC＝ AB＝（25 ﹣25）cm，
∴BC的长是（25 ﹣25）cm，
故答案为：（25 ﹣25）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12．如图，点A，B分别在反比例函数 和 图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成
的阴影部分的面积为5，则k的值为 7 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据点A，B分别在反比例函数 和 图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，BF⊥x轴，
BE⊥y轴，由反比例函数比例系数的几何意义，得S矩形ACOD＝12 ，S矩形BEOF ＝k，然后根据图中阴影部分
的面积为5，得S矩形ACOD ﹣S矩形BEOF ＝5，则12﹣k＝5，由此解出k即可．
【解答】解：如图所示：
∵点A，B分别在反比例函数 和 图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，BF⊥x轴，BE⊥y轴，
∴四边形ACOD和四边形BEOF均为矩形，
∵点A，B在第一象限，
∴k＞0，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：S矩形ACOD ＝12，S矩形BEOF ＝k，
∵图中阴影部分的面积为5，
∴S矩形ACOD ﹣S矩形BEOF ＝5，
∴12﹣k＝5，
解得：k＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．
13．如图，正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG与FH的夹角为45°，
AB＝2， ，则EG的长度为 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【分析】可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到
△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的长可在RT△ABM中根据AB
和AM（即HF的长）求出．如果设DN＝x，那么NM＝PM＝BM+x，MC＝BC﹣BM＝2﹣BM，因此可
在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在Rt△AND中求出AN即EG的长．
【解答】解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB＝2，AM＝FH＝ ，
在Rt△ABM中，BM＝ ＝1，将△AND绕点A旋转到△APB，
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠MAB＝45
即∠PAM＝∠MAN＝45°，
∵AM＝AM，AP＝AN，
∴△APM≌△ANM（SAS），
∴PM＝NM，
设DN＝x，则NC＝2﹣x，NM＝PM＝1+x
在Rt△CMN中，（1+x）2＝1+（2﹣x）2，
解得x＝ ，∴EG＝AN＝ ＝ ，
答：EG的长为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、图形的
旋转变换等知识．通过辅助线或图形的旋转将所求的线段与已知的线段构建到一对全等或相似的三角形
中是本题的基本思路．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．计算： ．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
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【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2 +2﹣（2﹣ ）
＝﹣2 +2﹣2+
＝﹣ ．
【点评】本题考查实数的运算及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．解不等式组： ．
【考点】解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣ ＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．解方程： ．
【考点】解一元一次方程．
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【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，
从而得到方程的解．
【解答】解：去分母得，2（x+1）﹣6＝5x﹣1，
去括号得，2x+2﹣6＝5x﹣1，
移项、合并同类项得，﹣3x＝3，
系数化为1得，x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不
要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
17．如图，AB，AC是 O的两条弦，利用尺规作图法在 上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等
⊙
（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；垂径定理．
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【分析】过点O作OD⊥BC交 一点D，点D即为所求．
【解答】解：如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题
意，正确作出图形．18．已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：
△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
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【分析】由D是AB中点可得AD＝BD，再证明Rt△ACD≌Rt△BCD可得∠A＝∠B，然后根据等角对等
边可得AC＝BC即可证明结论．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得
Rt△ACD≌Rt△BCD是解答本题的关键．
19．我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，
盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，
则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
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【分析】设有x人，根据题意得，8x﹣3＝7x+4，解出即可．【解答】解：设有x人，
根据题意得，8x﹣3＝7x+4，
解得x＝7，
物价：7×7+4＝53（元），
答：有7人，物品的价值是53钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是
解题的关键．
20．某学校甲、乙两班共有7名学生报名参加市内举办的青少年歌唱大赛，其中甲班2名男生，2名女生；
乙班1名男生，2名女生．
（1）若从报名的7名学生中随机选出1名，求选出的学生是男生的概率；
（2）现从甲、乙两班各选出1名学生以组合形式参加比赛，请用画树状图或列表法求2名学生性别相
同的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）先画出树状图，再计算概率即可．
【解答】解：（1）由题意可知7名学生中共有3名男生，4名女生，
故选出的学生是男生的概率为 ；
（2）表格如下：
乙班 甲班 男 女 女
男 （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （女，女） （女，女）
女 （男，女） （女，女） （女，女）
有表格可知，共有12种组合形式，其中性别相同的组合形式由6种，
故概率为： ．
【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件
的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即 ．
21．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和
普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC．根据以上信息，回答下列问题：（1）求线段AC对应的函数表达式；
（2）先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单
位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式；
（2）根据一共用时3h，列方程求出a的值，再画出图象即可．
【解答】解：（1）设线段AC对应的函数表达式为y＝kx+b，将（0，20），（6，100）代入得：
，
解得 ，
∴线段AC对应的函数表达式为y＝ x+20，（0≤x≤2）；
（2）根据题意得： a+ （3﹣a）+20＝100，
解得a＝1.5，
画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
22．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡
度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26m，在
距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、
点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（结果精确
到整数）（数据sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】如图，根据已知条件得到 ＝1：2.4＝ ，设CF＝5k m，AF＝12k m，根据勾股定理得到
AC＝ ＝13k＝26m，求得AF＝24m，CF＝10m，得到EF＝6+24＝30m，根据三角函数的定
义即可得到结论．
【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，
∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，
∴令CF＝k m，则AF＝2.4k m，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，
∴k2+（2.4k）2＝262，
解得k＝10，
∴AF＝24m，CF＝10m，
∴EF＝30m，
在Rt△DEF中，tanE＝ ，
∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m），
∴CD＝DF﹣CF＝23.3m≈23m，
因此，古树CD的高度约为23米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角
三角形解决问题．
23．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，
将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生
调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的m＝ 2 5 ，本次调查数据的中位数是 3 h，本次调查数据的众数是 3 h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
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【分析】（1）用劳动时间为1小时的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用劳动时间为 4
小时的人数除以总人数得出m的值，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
【解答】解：（1）4÷10%＝40人，
∴参与调查的学生人数为40人，
∴ ，
∴m＝25，
∵参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第 20名和第21名的劳动
时间分别为3h，3h
∴中位数为 ，
由条形统计图可知，劳动时间为3h的人数最多，
∴众数为3h，
故答案为：25，3，3；
（2）解： （人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图
直接反映部分占总体的百分比大小．
24如图，在△ABC中，AB＝BC，以边AB为直径的 O交BC于点D，点E在 O上，连接AD，DE，满
足∠C＝∠ADE，连接BE． ⊙ ⊙（1）求证：AC∥BE．
（2）若tanC＝2，AB＝5，求DE的长．
【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
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【分析】（1）由AB＝BC，得到∠BAC＝∠C，进而得到∠ABE＝∠BAC即可求证；
（2）连接AE，设AC与 O交于F，连接BF，通过圆周角定理得到∠AFB＝90°，∠ADB＝90°，进而
得出BF＝2AF，求出AF，⊙再证明△ADE∽△ACB即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠C＝∠ADE，
∴∠BAC＝∠ADE，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴AC∥BE．
（2）解：连接AE，设AC与 O交于F，连接BF，如图：
⊙
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，∠ADB＝90°，
∵tanC＝2，
∴tan∠BAC＝tanC＝2，
即 ，
∴BF＝2AF，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴AF2+BF2＝AB2，即AF2+（2AF）2＝52，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∵AB＝BC＝5，∠BFA＝90°即BF⊥AC，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AD＝4，
∵∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点评】本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题
的关键是学会添加辅助线，构造基本图形解决问题．
25．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽P为12
米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
（2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点
B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
【考点】二次函数的应用．
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【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）设点A的坐标为 ，用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关于m的二次函
数，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意可设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴36a+6＝0，
解得a＝﹣ ，
∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣ （x﹣6）2+6；
（2）设点A的坐标为 ，
则OB＝m，AB＝DC＝﹣ +2m，
根据抛物线的轴对称，可得：OB＝m＝CP，BC＝12﹣2m，AD＝12﹣2m，
令L＝AB+AD+DC
＝﹣ +2m+12﹣2m
＝﹣ +2m+12
＝﹣ +15，
∵﹣ ＜0，开口向下，
∴当m＝3时，最大值为15，
∴当OB＝3米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
26．问题发现
（1）如图①，在正方形ABCD中， ，点E、F分别在AD、BC边，且∠EFC＝60°，则EF的
长为 4 ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中， ，BC＝6，点E、F分别在AD、BC边上运动，且EF始终保持与对角线AC的夹角∠EOC＝75°，求当AF+EF+CE最小时线段AE的长；
问题解决
（3）某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个点的运动程序：在平面直角坐标系xOy中，已知点M
（a，b），N．对于点P给出如下运动法则：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，
再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点
Q为点P的“对应点”．
利用上面的运动程序解决下面的问题：已知A（0，4），B（4，0），若点M（3，4），点N为直线
OM上一个动点，点P为平面直角坐标系内任意一点，且 Q为点P的“对应点”，连接PQ与直线OM
相交于点E，试求AE+EN+BN的最小值及此时点N的坐标．
【考点】四边形综合题．
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【分析】（1）如图所示，过点E作EG⊥BC于G，证明四边形ABGE是矩形，得到EG＝AB＝2 ．
再解Rt△EFG即可求出EF＝4；
（2）如图所示，过点 E作EH⊥BC于H，先证明四边形 ABHE是矩形，得到 EH＝AB＝2 ；解
Rt△ABC求出∠ACB＝30°，进而求出∠EFC＝5°，即可求出EF＝ ；过点C作CC'∥EF且使得
CC'＝EF，过点C'作C'M⊥BC于M，连接AC交BC于F'，则四边形EF'C'C是平行四边形，可得CE＝
C'F，即可得到当A、F、C三点共线时，AF+C'F的值最小，即AF+EF+CE的值最小，即点F与点F'重
合 ， 再 解 直 角 三 角 形 得 到 CM ＝ ， CM ＝ ， 证 明 △ ABF'≌ △ C'MF' （ AAS ） ，Rt△CDE≌Rt△C'MF'（HL），得到DE＝MF'＝BF'＝3﹣ ，则4E＝AD﹣AE＝3+ ；
（3）由题意得PP'∥OM，PP'＝OM＝5，则△QEN∽△QPP'，推出NE＝ PP'＝ ；将AE沿EN的方
向平移 个单位长度得到A'N，即将点A向右平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到A'（
，6），故当A'、B、N三点共线时，A'N+BN最小，即AE+EN+BN最小，最小值为A'B+ ，利用勾股定
理求出A'B＝ ，则AE+EN+BN的最小值为9；求出直线A B的解析式为y＝ ，同理可得直
线OM的解析式为y＝ ，联立两解析式即可求出N（ ， ）．
【解答】解：（1）如图所示，过点E作EG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵EG⊥BC，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝2 ，
在Rt△EFG中，∠EFG＝60°，
∴EF＝ ＝4，
故答案为：4；
（2）如图所示，过点E作EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴EH⊥BC，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝2 ；
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴∠ACB＝30°，
∵∠EOC＝75°，
∴∠EFC＝∠EOC﹣∠OCF＝45°，
∴EF＝ ；
过点C作CC'∥EF且使得CC'＝EF，过点C'作C'M⊥BC于M，连接AC'交BC于F'，
∴四边形EFC'C是平行四边形，
∴CE＝C'F，
∴AF+EF+CE＝AF+C'F+ ，
∴当A、F、C三点共线时，AF+C'F的值最小，即AF+EF+CE的值最小，即点F与点F’重合，
∵C'M⊥BC，∠BCC'＝∠EFC＝45°，
∴CM＝CC'．cos∠MCC'＝2 ，C'M＝CC'•sin∠MCC'＝2 ，
∵CD＝C'M＝AB＝2 ，CE＝C'F'，∠AF'B＝∠CF'M，∠D＝∠B＝∠C'MF'＝90°，
∴△ABF'≌△C'MF'（AAS），Rt△CDE≌Rt△C'MF'（HL），
∴DE＝MF'＝BF'，
∴DE＝MF'＝BF'＝ ，
∴AE＝AD﹣DE＝3+ ；（3）∵点p'是点P向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，且M是点O右平移3个
单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，
∴PP'∥OM，PP'＝OM＝ ＝5，
∴△QEN∽△QPP'，
∴ ，
∴NE＝ PP'＝ ；
将AE沿EN的方向平移 个单位长度得到A'N，即将点向右平移 个单位长度，再向上平移2个单位长
度得到A'（ ，6），
∴AE+EN+BN＝A'N+BN+ ，
∴当A、B、N三点共线时，A'N+BN最小，即AE+EN+BN最小，最小值为A'B+ ，
∵B（4，0），
∴AB＝ ，
∴AE+EN+BN的最小值为 ＝9；
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝ ，
同理可得直线OM的解析式为y＝ x，
联立 ，
解得 ，
∴N（ ， ），
综上所述，当N（ ， ）时，AE+EN+BN的最小值为9．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的
性质，正方形的性质，一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助
线是解题的关键．
