文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C C C B A D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．7人
15．2
16．3.12
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）0，（2）
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
；
（2）解： ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∴不等式组解集为 ．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
18．345米
【分析】作 于E，根据坡度，得到 ，推出 ，进而求出
的长，利用 ，求出 的长，再在直角三角形 中，求出 的长，再根据
，即可得解．
【详解】解：如图，作 于E，由题意，可知：四边形 为矩形，
∴ 米， ，
∵ 的坡度为 ，即：
∴ ，
又∵ 米，则 （米）， （米），
∴ （米）
在 中， ，
则 （米），
∴ （米），
∴ （米）
答：无人机离地面的高度约为345米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造
直角三角形．
19．(1)82
(2)小航是七年级的学生，理由见解析
(3)本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人
(4)见解析
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）用400乘以样本中90分及以上的人数所占比例即可；
（4）根据两个年级的平均数、中位数解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，把七年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，82
分，
故 ，
故答案为：82；
（2）小航是七年级的学生，理由如下：
因为83大于82，他的成绩超过了被抽取的七年级学生成绩的中位数；
（3） （人），
答：本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人；
（4）八年级学生成绩的平均数比七年级学生成绩的平均数大，八年级学生成绩的中位数比七年级学生成
绩的中位数大，所以八年级学生的成绩要比七年级学生的成绩好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数以及加权平均数，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
20．(1)菱形，证明见解析；
(2) ．
【分析】( )根据 为 的中点，可得出四边形 为平行四边形，根据 、 即可
得出 的长度，再结合 即可得出 ，从而得出 ，进而可证出四边形 是菱形；
( )设 ，则 ， ， ，根据勾股定理可得出 的长度，结合 即
可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出结论；
本题考查了菱形的判定、勾股定理以及逆定理、解一元二次方程，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）四边形 是菱形．
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 是菱形；
（2）设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
又∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴ ．21．(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查反比例函数的图象，运用函数图象经过点求函数解析式是解答本题的关键．
根据反比例函数图象经过线段 的中点 以及知道点 坐标用待定系数法求解即可．
（2）本题主要考查动点在反比例函数图象上求面积问题，解答本题关键在于用合理设出点的坐标，用坐
标之差表示出三角形边长．根据反比例函数解析式已知，合理设出点 与 的坐标，用坐标表示出三角形
的边长再求面积．动点不与点D重合，需要分情况考虑动点在D的上方和下方．
【详解】（1）解：∵ ，点 在 轴上，且反比例函数 经过 的中点 ，将点 代入
反比例函数解析式得 ，
解得： ，
；
（2）①当P在线段 的上方时如图1，此时 ，
∵点P在反比例函数的图象上运动，
∴设 ，
∴ ；
②当P在线段 下方运动时，此时 ，如图2，同理
综上
22．(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意
找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的
增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得 ，
根据 ，推出 ，再结合m、n均为正整数，得出当 时，n取得最大值，此时
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，，
∵ ，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴ ，
解得 ，
∵x为整数，
∴当 时，w取得最大值，此时 ， ，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴当 时，n取得最大值，此时 ，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 是 的直径，可得 ，即 ，根据同弧所对的圆周角
相等，以及已知条件可得 ，等量代换后即可得 ，进而得证；
（2）连接 ，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，由垂径定理可得 ，进而可得 ，即可求解．
（3）过点 作 ，根据平行线分线段成比例，求得 ，设 的半径为 ，则
，证明 ，可得 ，在 中， ，勾股定理建立方
程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线，
（2）如图，连接 ，平分 ，
，
∴
，
，
，
，
是 的直径，
， ，
即 ，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，
解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3) 是为定值，该定值为2
【分析】（1）当 时， ，根据当 时，
，解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
即可得到 的长度；
（2）当 ， 时， ，求出的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，则 ，连接 ， 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，则
，证明 ， 得到的坐标是 ，求出
的解析式为 ，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，由 得到
，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，则 ，由 ，则 ，由 得到 ，则
，进一步得到 ，设直线 的解析式为 ，与二次函数联立得到
，得到 ，由 得到 ，解得 ，
则 ，即 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，∴ ，
即 的长度为4；
（2）当 ， 时， ，
当 时， ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
当 时， ，
∴点C的坐标是 ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，使得 ，延长线段 交抛物线于点P，过点D作 轴于点E，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴∴点D的坐标是 ，
设直线 的解析式为 ，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
∴点P的坐标是 ；
（3）当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
联立 ，，
∴ ，∴ ，
∴ ，
过点D作 轴于点H，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
代入 得到， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，联立 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和
性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
