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2013 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，
其中只有一个是正确的。
1．（4分）（2013•重庆）在3，0，6，﹣2这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．6 C．﹣2 D．3
2．（4分）（2013•重庆）计算（2x3y）2的结果是（ ）
A．4x6y2 B．8x6y2 C．4x5y2 D．8x5y2
3．（4分）（2013•重庆）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．115° D．95°
4．（4分）（2013•重庆）分式方程 ﹣ =0的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
5．（4分）（2013•重庆） 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（ ）
A．40° B．35° C．50° D．45°
6．（4分）（2013•重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
7．（4分）（2013•重庆）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，
在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差
是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同 D．无法确定谁的成绩更稳定
8．（4分）（2013•重庆） 如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
9．（4分）（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若
AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
10．（4分）（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）
个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为（ ）
A．196cm2 B．200cm2 C．216cm2 D．256cm2
11．（4分）（2013•重庆）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速
度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺
水航行返回万州．若该轮船从万州出发后所用的时间为x（小时），轮船距万州的距离为y（千米），则下列各图形中，
能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= （k≠0）在同一直角坐标系中的
图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（ ）
A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分共24分）
13．（4分）（2013•重庆）实数6的相反数是 ________ _ ．
14．（4分）（2013•重庆）不等式2x﹣3≥x的解集是 ________ _ ．
15．（4分）（2013•重庆）某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其
统计数据如表：
时间（单位：小时） 4 3 2 1 0人数 2 4 2 1 1
则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 ________ _ 小时．
16．（4分）（2013•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴
影部分的面积为 ________ _ ．（结果保留π）
17．（4分）（2013•重庆）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的方程
（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 ________ _ ．
18．（4分）（2013•重庆）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，
OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′
和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为 ________ _ ．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
19．（7分）（2013•重庆）计算：（ ﹣3）0﹣ ﹣（﹣1）2013﹣|﹣2|+（﹣ ）﹣2．
20．（7分）（2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为
A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A B C ，其中，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ；
1 1 1 1 1 1
（2）写出点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．（10分）（2013•重庆）先化简，再求值： ÷（ ﹣a﹣2b）﹣ ，其中a，b满足 ．
22．（10分）（2013•重庆）减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措．某中学“阅读与演讲社团”为
了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”、“2小
时～3小时”、“3小时～4小时”和“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制了如图所
示的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人
去参加学校的知识抢答赛．用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同小组的概率．
23．（10分）（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该
火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两
队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，
拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多
施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
24．（10分）（2013•重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线
AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2 ，求AB的长．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分共24分）
25．（12分）（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的
坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S =4S ．求点P的坐标；
△POC △BOC
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
26．（12分）（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边
形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A E D ，当A D 与BC重合时停止移动，设运
0 0 0 0 0
动时间为t秒，△A E D 与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
0 0 0
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋
转过程中，B的对应点为B ，E的对应点为E ，设直线B E 与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样
1 1 1 1
的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．2013 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，
其中只有一个是正确的。
1．（4分）（2013•重庆）在3，0，6，﹣2这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．6 C．﹣2 D．3
考点： 有理数大小比较．
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分析： 根据有理数的大小比较法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．
解答： 解：3，0，6，﹣2这四个数中，最大的数是6．
故选B．
点评： 本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，掌握有理数的大小比较法则是关键．
2．（4分）（2013•重庆）计算（2x3y）2的结果是（ ）
A．4x6y2 B．8x6y2 C．4x5y2 D．8x5y2
考点： 幂的乘方与积的乘方．
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分析： 根据积的乘方的知识求解即可求得答案．
解答： 解：（2x3y）2=4x6y2．
故选：A．
点评： 本题考查了积的乘方，一定要记准法则才能做题．
3．（4分）（2013•重庆）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．115° D．95°
考点： 余角和补角．
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分析： 根据互补两角之和为180°求解即可．
解答： 解：∵∠A=65°，
∴∠A的补角=180°﹣65°=115°．
故选C．
点评： 本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补两角之和为180°是关键．
4．（4分）（2013•重庆）分式方程 ﹣ =0的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
考点： 解分式方程．
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专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：2x﹣x+2=0，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解．
故选D
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式
方程一定注意要验根．
5．（4分）（2013•重庆） 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（ ）A．40° B．35° C．50° D．45°
考点： 平行线的性质．
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分析： 根据角平分线定义求出∠BAC，根据平行线性质得出∠ACD+∠BAC=180°，代入求出即可．
解答： 解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，
∴∠BAC=2∠BAD=140°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，
故选A．
点评： 本题考查了角平分线定义和平行线的性质的应用，关键是求出∠BAC的度数和得出∠ACD+∠BAC=180°．
6．（4分）（2013•重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
考点： 特殊角的三角函数值．
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分析： 将特殊角的三角函数值代入计算即可．
解答：
解：原式=6×1﹣2× =5．
故选D．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数值．
7．（4分）（2013•重庆）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，
在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差
是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同 D．无法确定谁的成绩更稳定
考点： 方差．
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分析： 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集
中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答： 解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲 2＞S乙 2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选B．
点评： 本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即
波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越
小，数据越稳定．
8．（4分）（2013•重庆） 如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
考点： 切线的性质；勾股定理．
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分析： 如图，连接OA，根据切线的性质证得△AOP是直角三角形，由勾股定理求得OA的长度，然后利用圆的周长公式来求⊙O的周长．
解答： 解：如图，连接OA．
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．
又∵PO=26cm，PA=24cm，
∴根据勾股定理，得
OA= = =10，
∴⊙O的周长为：2π•OA=2π×10=20π（cm）．
故选C．
点评： 本题考查了切线的性质和勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，
利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
9．（4分）（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若
AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
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分析： 由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，
求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE=AF：CD，
∵AE=2ED，CD=3cm，
∴AF=2CD=6cm．
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应
用．
10．（4分）（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）
个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为（ ）
A．196cm2 B．200cm2 C．216cm2 D．256cm2
考点： 规律型：图形的变化类．
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分析： 根据已知图形面积得出数字之间的规律，进而得出答案．
解答： 解：∵第一个图形面积为：2=1×2（cm2），
第二个图形面积为：8=22×2（cm2），第三个图形面积为：18=32×2（cm2）…
∴第（10）个图形的面积为：102×2=200（cm2）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出面积的变化规律是解题关键．
11．（4分）（2013•重庆）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速
度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺
水航行返回万州．若该轮船从万州出发后所用的时间为x（小时），轮船距万州的距离为y（千米），则下列各图形中，
能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
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分析： 分三段考虑，①逆水行驶；②静止不动；③顺水行驶，结合图象判断即可．
解答： 解：①逆水行驶，y随x的增大而缓慢增大；
②静止不动，y随x的增加，不变；
③顺水行驶，y随x的增减快速减小．
结合图象，可得C正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数的图象，解答本题的关键是仔细审题，将实际与函数图象结合起来，分段看图象．
12．（4分）（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= （k≠0）在同一直角坐标系中的
图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（ ）
A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
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分析： 根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点
A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得a=2b，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
解答： 解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
∴b＞0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0
∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．
故本选项错误；
B、∵b=2a，
∴a=﹣k，则k＜﹣k．
∴k＜0．
这与k＞0相矛盾，∴a=b+k不成立．
故本选项错误；
C、∵a＞0，b=2a，
∴b＞a＞0．
故本选项错误；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= （k≠0）图象知，当x=﹣ =﹣ =﹣1时，y=﹣k＞﹣ =﹣
=﹣a，即k＜a，
∵a＞0，k＞0，
∴a＞k＞0．
故本选项正确；
故选D．
点评： 本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分共24分）
13．（4分）（2013•重庆）实数6的相反数是 ﹣ 6 ．
考点： 相反数．
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分析： 根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可直接得到答案．
解答： 解：6的相反数是﹣6，
故答案为：﹣6．
点评： 此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的概念．
14．（4分）（2013•重庆）不等式2x﹣3≥x的解集是 x≥ 3 ．
考点： 解一元一次不等式．
750511
分析： 根据解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，即可得出答案．
解答： 解：2x﹣3≥x，
2x﹣x≥3，
x≥3；
故答案为：x≥3．
点评： 此题考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤，先移项，再合并同类项．
15．（4分）（2013•重庆）某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其
统计数据如表：
时间（单位：小时） 4 3 2 1 0
人数 2 4 2 1 1
则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 2. 5 小时．
考点： 加权平均数．
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分析： 平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．本题利用加权平均数的公式即可求解．
解答： 解：由题意，可得这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是：
（4×2+3×4+2×2+1×1+0×1）=2.5（小时）．
故答案为2.5．
点评： 本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求4，3，2，1，0这五个数的平均数，对平均数的理解不正确．
16．（4分）（2013•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴
影部分的面积为 10﹣ π ．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算；正方形的性质．
750511
分析： 设AB的中点是O，连接OE．求得弓形AE的面积，△ADC的面积与弓形AE的面积的差就是阴影部分的面
积．
解答： 解：设AB的中点是O，连接OE．
S = AD•CD= ×4×4=8，
△ADC
S扇形OAE = π×22=π，
S = ×2×2=2，
△AOE
则S弓形AE =π﹣2，
∴阴影部分的面积为8﹣（π﹣2）=10﹣π．
故答案是：10﹣π．
点评： 本题考查了图形的面积的计算，不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差计算．
17．（4分）（2013•重庆）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的方程
（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 ．
考点： 概率公式；根的判别式；一次函数图象与系数的关系．
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专题： 计算题．
分析： 根据函数的图象经过第一、三象限，舍去不符合题意的数值，再将符合题意的数值代入验证即可．
解答： 解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
∴m2＜5，
∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，
将m=0代入（m+1）x2+mx+1=0中得，x2+x+1=0，△=1﹣4＜0，无解；
将m=﹣1代入（m+1）x2+mx+1=0中得，﹣x+1=0，x=1，有解；
将m=﹣2代入（m+1）x2+mx+1=0中得，x2+2x﹣1=0，△=4+4=8＞0，有解．
∴方程有实数根的概率为 ．
故答案为 ．
点评： 本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A的概率P（A）= ．18．（4分）（2013•重庆）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，
OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′
和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为 y=﹣ ．
考点： 反比例函数综合题．
750511
分析： 连接AC，求出△BAC是等边三角形，推出AC=AB，求出△DC′B′是等边三角形，推出C′D=B′D，得出
CB=BD=B′C′，推出A和D重合，连接BB′交x轴于E，求出AB′=AB=2，∠B′AE=60°，求出B′的坐标是（3，﹣
），设经过点B′反比例函数的解析式是y= ，代入求出即可．
解答：
解：
连接AC，
∵四边形OABC是菱形，
∴CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC=AB，
∵将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，
∴BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，
∵∠B′DC′=60°，
∴∠DC′B′=60°，
∴△DC′B′是等边三角形，
∴C′D=B′D，
∴CB=BD=B′C′，
即A和D重合，
连接BB′交x轴于E，
则AB′=AB=2，∠B′AE=180°﹣（180°﹣60°）=60°，
在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，
∴AE=1，B′E= ，OE=2+1=3，
即B′的坐标是（3，﹣ ），
设经过点B′反比例函数的解析式是y= ，
代入得：k=﹣3 ，
即y=﹣ ，
故答案为：y=﹣ ．
点评： 本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，
有一定的难度．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）19．（7分）（2013•重庆）计算：（ ﹣3）0﹣ ﹣（﹣1）2013﹣|﹣2|+（﹣ ）﹣2．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
750511
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用平方根的定义化简，第三项表示2013个﹣1的乘积，第四项
利用负数的绝对值等于它的相反数计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=1﹣3+1﹣2+9
=6．
点评： 此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，平方根的定义，绝对值的代数意义，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
20．（7分）（2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为
A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A B C ，其中，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ；
1 1 1 1 1 1
（2）写出点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
考点： 作图-轴对称变换．
750511
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）根据平面直角坐标系写出点A 、B 、C 的坐标即可．
1 1 1
解答： 解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）A （0，1），B （2，5），C （3，2）．
1 1 1
点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）
21．（10分）（2013•重庆）先化简，再求值： ÷（ ﹣a﹣2b）﹣ ，其中a，b满足 ．考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组．
750511
专题： 探究型．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式= ÷ ﹣
= × ﹣
= ﹣
=﹣ ，
∵ ，
∴ ，
∴原式=﹣ =﹣ ．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．（10分）（2013•重庆）减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措．某中学“阅读与演讲社团”为
了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”、“2小
时～3小时”、“3小时～4小时”和“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制了如图所
示的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人
去参加学校的知识抢答赛．用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同小组的概率．
考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
750511
分析：（1）利用100%减去A、C、D所占百分比，即可算出X的值；再利用A中的人数÷所占百分比=总人数，再利用
总人数各乘以B、C所占百分比即可算出人数，再补全图形即可；
（2）根据已知画出树状图，进而利用概率公式求出即可．
解答： 解：（1）x%=1﹣45%﹣10%﹣15%=30%，故x=30，
总人数是：180÷45%=400（人），
B等级的人数是：400×30%=120（人），
C等级的人数是：400×10%=40（人）；
（2）设两组分别为A，B，其中4个人分别为：A ，A ，B ，B ，
1 2 1 2
根据题意画树状图得出：，
则选出的2人来自不同小组的情况有8种，
故选出的2人来自不同小组的概率为： = ．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及概率求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体
的百分比大小．
23．（10分）（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该
火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两
队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，
拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多
施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
750511
分析：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；
（2）设甲队施工x个月，则乙队施工 x个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式
求最大值即可．
解答： 解：（1）设甲队单独完成需要x天，则乙队单独完成需要x﹣5天，
由题意得，x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得x=15或x=2（不合题意，舍去），
则x﹣5=10，
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；
（2）设甲队施工y个月，则乙队施工 y个月，
由题意得，100y+（100+50） ≤1500，
解不等式得，y≤8.57，
∵施工时间按月取整数，
∴y≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数
列出方程及不等式求解．
24．（10分）（2013•重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线
AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2 ，求AB的长．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
750511
分析：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角
边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等
角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三
角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
解答： （1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
根据矩形的性质，OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=2 ，
∴AC=2BC=4 ，
∴AB= = =6．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直
角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分共24分）
25．（12分）（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的
坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S =4S ．求点P的坐标；
△POC △BOC
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．考点： 二次函数综合题．
分析：（1）由抛物线y=ax
7520511
+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二
次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x
﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S =4S 列出关于x的方程，解方程求出x
△POC △BOC
的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，
x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，
∴ =﹣1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3．
则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S =4S ，
△POC △BOC
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．
所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得 ，解得 ，
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，
∴当x=﹣ 时，QD有最大值 ．点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此
题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
26．（12分）（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边
形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A E D ，当A D 与BC重合时停止移动，设运
0 0 0 0 0
动时间为t秒，△A E D 与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
0 0 0
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋
转过程中，B的对应点为B ，E的对应点为E ，设直线B E 与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样
1 1 1 1
的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
考点： 几何变换综合题．
750511
分析： （1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、
答图5所示．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3 ，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3 +3=9+3 ．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D NK．
0
∵DD =2t，∴ND =DD •sin30°=t，NK=ND •tan30°= t，
0 0 0 0∴S=S = ND •NK= t• t= t2；
△D0NK 0
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D E KN．
0 0
∵AA =2t，∴A B=AB﹣AA =12﹣2t，
0 0 0
∴A N= A B=6﹣t，NK=A N•tan30°= （6﹣t）．
0 0 0
∴S=S四边形D0E0KN =S
△ADE
﹣S
△A0NK
= ×3×3 ﹣ ×（6﹣t）× （6﹣t）= t2+ t﹣ ；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D IJKN．
0
∵AA =2t，∴A B=AB﹣AA =12﹣2t=D C，
0 0 0 0
∴A N= A B=6﹣t，D N=6﹣（6﹣t）=t，BN=A B•cos30°= （6﹣t）；
0 0 0 0
易知CI=BJ=A B=D C=12﹣2t，∴BI=BC﹣CI=2t﹣6，
0 0
S=S梯形BND0I ﹣S
△BKJ
= [t+（2t﹣6）• （6﹣t）﹣ •（12﹣2t）• （12﹣2t）= t2+ t﹣ ．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
]
S= ．
（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B QC，
1
故当△BPQ为等腰三角形时，△B QC也为等腰三角形．
1
（I）当QB=QP时（如答图4），
则QB
1
=QC，∴∠B
1
CQ=∠B
1
=30°，
即∠BCB =30°，
1
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B Q=B C，
1 1
若点Q在线段B E 的延长线上时（如答图5），
1 1∵∠B
1
=30°，∴∠B
1
CQ=∠B
1
QC=75°，
即∠BCB =75°，
1
∴α=75°．
点评： 本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的
运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的
旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；其三，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．
