文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（泰州卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、
考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知， 的相反数是 ，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用乘法公式以及多项式乘多项式、单项式乘多项式分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A、 ，故此选项不合题意；
B． ，故此选项不合题意；
C． ，故此选项符合题意；
D． ，故此选项不合题意；
故选：C．
3．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，
凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，
进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示．
【详解】
解：由题意，得：“卯”的俯视图为： ．
故选A．
4．黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算 的值
应该在（ ）
A． 和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的大小，估算出 的值是解题的关键．先估算出 的值，再估算出 的值在1和2之间，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
5．开学季，小明同学购买了一套艺术书签（外包装完全相同），分别为“逢考必过”、“金榜题名”、
“步步高升”和“诸事顺利”四种不同的主题．小明从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），
再从中随机抽取一个，恰好抽到书签“逢考必过”和“金榜题名”的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求
情况数与总情况数之比，注意是不放回问题．
【详解】解：根据题意，设A为逢考必过，B为金榜题名，C为步步高升，D为诸事顺利，画树状图或列
表把所有等可能结果表示出来，
A B C D
A -------- A，B A，C A，D
B B，A -------- B，C B，D
C C，A C，B -------- C，D
D D，A D，B D，C --------共有12种等可能结果，恰好抽到书签“ 逢考必过”和“ 金榜题名”的结果有 种，
∴ ，
∴恰好抽到书签“ 逢考必过”和“ 金榜题名”的概率为 ，
故选：D．
6．将正六边形 折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图
2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕 ，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些性
质．过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据题意得：每个被剪掉的小三角形（如
）的面积占大三角形（如 ）面积的 ，设 ，可得 ，
，由 ，可推出 ，根据三角形的面积关系求出 ，进而求出 、
，最后根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由折叠的性质知，被剪掉的 个小三角形完全相同，
剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的 ，
每个被剪掉的小三角形（如 ）的面积占大三角形（如 ）面积的 ，
设 ，
则 ， ，
， ，
，
， ，
，
或 （舍去），
， ，
， ，
由勾股定理得： ，即 ，
，
，
故选：A．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
7．我国基本医疗保险的参保人数由 亿增加到 亿，参保率稳定在 ，将数据 亿用科学记数法
表示为 的形式，则 的值是 (备注： )
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
∴ ，
故答案为： ．
8．要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．根据分母不为零列不等式求
解即可．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
9．分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．
【详解】解：
解得：
经检验 是原方程的解，
故答案为： ．10．已知等式 成立，则 的值为
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，由 成立可得
，进而得到 ，即可得到 ，进而求解，掌握二次根式有意义
的条件是解题的关键．
【详解】解：∵ 成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后，D、C分别落在 的位置上， 与 交于G点，
若 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到 ，再由
折叠的性质得到 ，据此可利用平角的定义求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，故答案为： ．
12．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是120°，则该圆锥的母线长为
【答案】6
【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为 ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到 ，然后解方
程求出 即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
即圆锥的母线长为6，
故答案为：6．
13．我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项
综合专业索质 普通话 才艺展示
目
测试成
86 90 90
绩
根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2 的比例确定最终
成绩，则甲候选人的最终成绩为 分．
【答案】
【分析】本题主要考查加权平均数，一般的，若 个数 ， ， ， 的权分别为 ， ， ， ，则
， 是这 个数的加权平均数，据此计算甲的最终成绩即可得出答案．
【详解】解：
（分）．
甲候选人的最终成绩为 ，
故答案为： ．
14．如图， 是 的直径，C，D是 上的两个点，将 沿弦 折叠，圆弧 恰好与弦 ，
分别相切于点E，A．若 ，则 的面积为 ．【答案】
【分析】此题重点考查切线的性质定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识．设 所在的圆的圆心
为Q，连接 、 、 ，四边形 是正方形，推出 ，利用勾股定理求得
的长，利用三角形的面积公式，计算得到问题的答案．
【详解】解：设 所在的圆的圆心为Q，连接 、 、 ，
∵ 恰好与弦 ， 分别相切于点E，A，
∴ ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
15．喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段 ，先将线段 绕点M逆
时针旋转 ，再绕点N顺时针旋转 ，我们称点P为线段 的“双旋点”．如图，已知直线
与x轴和y轴分别相交于点A，则线段 的“双旋点”P的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据直线 与x轴和y轴分别相交于点A，点B，得到 ，从而得到
，根据题意，得 ，继而得
到 ，过点P作 于点G，继而得到 ，过点B作
交 于点Q，过点A作 于点D，解直角三角形计算即可．
【详解】解：∵直线 与x轴和y轴分别相交于点A，点B，
∴ ，
∴ ，
根据题意，得 ，
∴ ，
∴ ，
过点P作 于点G，过点B作 交 于点Q，
∴ ，∴ ，
∴ ，
过点A作 于点D，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ．
16．如图，分别经过原点 和点 的直线 ， 夹角 ，点 是 中点，连接 ，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由根据已知条件可得： 得出B的轨迹是圆，取点 ，则 是 的中位线，
则求得 的正弦的最大值即可求解，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，据此即可求
解．
【详解】解：如图：以 为边向上作等边 ，过点C作 轴于点E，则 ，则C
的横坐标为2，纵坐标为 ，
∴ ，
取点 ，则 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴点B在半径为4的 上运动，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，
在 中， ，
过点B作 轴，过点C作 于点F，过点D作 于点G， 则 ，
，∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
设 ， ,则 ,
∴ ,
∴
∴ ，解得：
∴ ,
∴ 的最大值为 ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式组： ；（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组．
（1）先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，求出不等式组的解集；
（2)先计算除法，然后计算加法即可．
【详解】（1）解不等式 ，可得 ，
解不等式 ，可得 ，
∴不等式组的解集为 ；
（2）原式
．
18．如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，过点B作 于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作 的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；（2）根据平行四边形的性质得出 ， ．再由垂直的定义及平行线的判定确定 ，
根据全等三角形的判定和性质得出 ，利用平行四边形的判定即可证明．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）证明： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
．
．
∴ ．
在 和 中， ，
．
∴ ．
， ．
∴四边形 是平行四边形．
19．某农村苹果合作社借助线上销售（电商平台） 和线下（现场采摘） 批发苹果，种植户甲线上销售
，线下批发 苹果共获得 元；种植户乙线上销售 和线下批发 苹果共获得 元；
甲乙种植户线上销售和线下批发的价格均相同．
(1)求线上销售和线下批发苹果的单价分别为每千克多少元？
(2)该产地某种植大户某月线上销售和线下批发共销售苹果 ，若总销售额不低于 元，则线上销
售量至少应达到多少千克？
【答案】(1)线上销售和线下批发苹果的单价分别为每千克40元，30元
(2)线上销售量至少应达到1000千克
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设线上销售和线下批发苹果的单价分别为每千克x元，y元，根据种植户甲线上销售 ，线下批发
苹果共获得 元；种植户乙线上销售 和线下批发 苹果共获得 元列出方程组求解即
可；
（2）设线上销售量为m千克，则线下批发 千克，根据总销售额不低于 元列出不等式求解
即可．
【详解】（1）解：设线上销售和线下批发苹果的单价分别为每千克x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：线上销售和线下批发苹果的单价分别为每千克40元，30元；
（2）解；设线上销售量为m千克，则线下批发 千克
由题意得， ，
解得 ，
∴线上销售量至少应达到1000千克．
20．二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．
为了了解学生掌握中华传统节气知识的情况，增强学生民族自豪感，某校在春分这天举行了以“春趣盎然，
莫负春分好时光”为主题的知识竞赛活动（全校学生均参加），并从中随机抽取了50名学生的竞赛成绩
（分数为整数，满分10分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：(1)请补全条形统计图；
(2)求所抽取学生此次竞赛成绩的平均数、中位数与众数；
(3)已知该校共有1500名学生，估计此次竞赛成绩不低于9分的学生人数．
【答案】(1)见解析
(2)平均数是7.66分，中位数是8分，众数是8分
(3)估计此次竞赛成绩不低于9分的学生约有510人．
【分析】本题考查了条形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图，
并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
（1）根据条形统计图，先算出8分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于9分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【详解】（1）解：8分学生的人数有 （人），
补全条形统计图如下：
（2）解： （分），
所抽取学生此次竞赛成绩的平均数是7.66分，
按从小到大排列，排在最中间的两个数都是8分，
中位数是8分，
出现次数最多的是8，
众数是8分；
（3）解： （人），
估计此次竞赛成绩不低于9分的学生有510人．
21．数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，
D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，
讲述卡片上数学家的故事．(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
(2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚
邮票图案的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【详解】（1）解：∵共有 张卡片，
∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 ，
故答案为： ．
（2）解：根据题意，画树状图如图，
由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有 种，
∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为
22．如图， 中， ，点 分别在边 上，连接 ，恰好
，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且交边 于点 ．(1)设 ，用含 的代数式表示 为______；
(2)求证： ；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据直角三角形的两锐角互余，即可求解；
（2）根据 ，可得 ，再由 ，即可求证；
（3）过点C作 ，过点B作 交 于点M，延长 交 于点P，连接 ，过点P作
于点N，则 ，可得四边形 是正方形，证明 ，可得
，再由四边形 是矩形，可证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
中，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点C作 ，过点B作 交 于点M，延长 交 于点P，连接 ，
过点P作 于点N，则 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， 可分别绕点 转动，测得
．(1)在图2中，过点 作 ，垂足为 ．求 的长度（结果保留根号）；
(2)在（1）的条件下，求点 到 的距离．（结果保留一位小数，参考数据： ，
【答案】(1)
(2)点C到AD的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）在 中，利用锐角三角函数，即可求出 的长；
（2）过点C作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，则 ， ，在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：
在 中， ，
∴ ；
（2）解：过点C作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，则 ， ，∵ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C到AD的距离为 ．
24．根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿
梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水
呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为
，水柱最高点离地面 ．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图． 为喷水管， 为水的落地点，记 长度为喷泉跨度．
如图4，安全通道 在线段 上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入 上方的矩形区域，则
称这个矩形区域 为安全区域．
(1)在图2中，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
(2)若喷泉跨度 的最小值为 ，求喷水管 高度的最大值；(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 ，直接写出此时安全通道 的宽
度？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为 ．
(2)喷水管 的高度最大值为 ；
(3)此时安全通道 的宽度为 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为
，代入 即可求解；
（2）设抛物线解析式为： ，代入 时， ，即可求抛物线解析式，从而求 的值；
（3）求出当 时，点 落在 上，点 落在 上时两个点的横坐标即
可求解．
【详解】（1）解： 点 坐标为 ，点 坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线的最高点为3，
顶点坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为 过点 ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解： 喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，
设喷泉跨度 的最小值为 时，抛物线的函数表达式为 ， ，
当 时， ，得 ，解得： 或 （舍去），则 ，
由 ，得 ，
即：喷水管 的高度最大值为 ；
（3）解：由题意得：当点 落在 上，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
当点 落在 上时，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
则， ．
即：此时安全通道 的宽度为 ．
25．在 中， 是 的直径，弦 与 交于点E，且 ，点F是弧 的中点，连接 、
， 与 交于点M．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ，过点O作 交 于点G，连接 ，交 于点N，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理，垂径定理得出 ，从而得出 ，利用等量代
换即可证明；
（2）根据 ，得出 ，从而 ，设 ，则 ，
算出 ， ，即可得结论；
（3）连接 ，根据 是 的直径，得出 ，通过等量代换得出 ，从而
，再根据 ，得出 ，设 ，则 ，利用勾股定理求出
， ，过点G作 于点T，证明出 ，从而得出 ，
， ，利用 ，求出 ，过点F作 于点
K，证明出 ，在 中，利用勾股定理建立等式求解即可解得 ．
【详解】（1）证明：∵点F是 的中点，∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）证明：∵ ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：如答图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
设 ，则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，过点G作 于点T，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
， （舍），
过点F作 于点K，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，在 中， ， ，
解得： ．
26．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等
腰三角形”、如图，在 与 中， ，且 ．所以称 与
为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为a，连接 ，则称 为“关联比”．
下面是小颖探究“关联比”与a之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当 与 为“关联等腰三角形”，且 时，
①在图1中，若点E落在 上，则“关联比” ____________；②在图2中，探究 与 的关系，并求出“关联比” 值．
(2)如图3，当 与 为“关联等腰三角形”，且 时，“关联比” =______________；
[迁移运用]
(3)如图4， 与 为“关联等腰三角形”．若 ， ，点P为 边上一
点，且 ，点E为 上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．
【答案】(1)① ；②
(2)(3)自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为 ．
【分析】（1）①可证得 ，从而得出 ；
②可得 ，从而 ；
（2）可证得 ，从而得出 ；
（3）可证得 ，从而 ，从而得出即点D所经过的路径是线段 ，进一步得出
结果．
【详解】（1）解：①∵ 与 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图1，
作 于F，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：如图2，
同理可得： ，
∴ ，
∴点D所经过的路径是线段 ，
此时 ， ，
∴ ，
∴自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为 ．
