文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．浙江省博物馆之江馆区（如图）位于浙江省之江文化中心，是首批被确定的国家一级博物馆和中央地
方共建国家级博物馆，建筑面积逾10万平方米．突出了浙江历史的高光亮点，体现浙江人文和科技发展对
中华文明的贡献．其中，数据10万用科学记数法可表示为（ ）
A．1×104 B．1×105 C．10×104 D．0.1×106
【答案】B
【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中
， 为整数，且 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】
解：10万 ．
故选：B．
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查了合并同类项，去括号，解题的关键是熟练掌握合并同类项和去括号法则，根据运算法则进
行判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项运算正确，符合题意；
B、 ，故本选项运算错误，不符合题意；
C、 ，故本选项运算错误，不符合题意；
D、 与 不是同类项，故本选项运算错误，不符合题意．
故选：A．
4．一组7个数据分别为 ， ， ， ， ， ， ．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是
（ ）
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变【答案】D
【分析】
本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差、极差的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概
念即可阶段．
【详解】
解：一组7个数据分别为 、 、 、 、 、 、 的平均数为3，则去掉的数据为3；新的这组数据为 、
、 、 、 、 ；
原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为 ；
新数据的中位数为 ，众数为2，极差为3，方差为 ；
综上，两组数据的众数和极差都不变．
故选：D．
5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人
步．问人与车各几何？”其大意为：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数
和车数各多少？设车 辆，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，注意正确理解题意即可．
【详解】解：∵每车坐3人，两车空出来
∴总人数为
∵每车坐2人，多出9人无车坐
∴总人数为
故可列方程 ，
故选：A．
6．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出 Cobb角 的大面小，需将 转化为与它相等的角，则图中与 相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据直角三角形的性质可知： 与 互余， 与 互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】
由示意图可知： 和 都是直角三角形，
， ，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7．如图，一个钟摆的摆长 的长为 ，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角 为 ，点 是 的
中点， 与 交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用．由点 是 的中点， 为 ，可得 的度数，已
知 的长为 ，用余弦公式可表示 ， ，可得 的长．
【详解】解： 点 是 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
故选：D．
8．关于 的二次函数 ，甲同认为：若 ，则当 时， 随 的增大而增
大，乙同学认为：若该二次函数的图象在 轴上截得的线段长为3，则 的值是1或 ，以下对两位同
学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确 C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确
【答案】B
【分析】根据解析式 ，得到对称轴为直线 ，当 时，
抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且 ，判断 在对称轴的
左侧，可判断甲的判断正确，设 的两个根为 ，根据截长为3，构造方程解答即可，
本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】∵解析式 ，
∴对称轴为直线 ，
当 时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且 ，∴ 在对称轴的左侧，
故甲的判断正确，
设 的两个根为 ，
则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
整理得， ，
解得 ，
经检验， 都是原方程的根，
故乙的说法是正确的，
故选B．
9．已知线段 ，按如下步骤作图：
①取线段 中点C；
②过点C作直线l，使 ；
③以点C为圆心， 长为半径作弧，交l于点D；
④作 的平分线，交l于点E．则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
本题主要考查了求角的正切值，角平分线的性质，勾股定理等等，先利用勾股定理求出 ，由角
平分线的性质和定义得到 ， ．再利用等面积法求出 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作 于F，
由题意得， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
10．若函数图象上存在点 满足 （ ，且 为常数），则称点 为这个函数的“ 优和点”．例如：函数图象上存在点 ，因为 ，所以我们称点 为这个函数的“1优和点”．
若二次函数 的“ 优和点”有且仅有一个，则 的取值范围为( )
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“ 优和点”，再联立新方程是解本题
的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“ 优和点” 坐标为 ，将点 坐标代入二
次函数，根据题意分类讨论，再求 的范围即可．
【详解】解：设这个二次函数的“ 优和点” 坐标为 ，将点 坐标代入可得：
；
整理得： ，
令 ，
二次函数 的“ 优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是 与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且 ，解得： ，且 ，
；
第二种情况是 与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且 ，
解得 ，
综上， 的取值范围为 或 ．
故选：C第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 有意义，写出一个满足条件的 的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数不小于0，
根据被开方数不小于0解答即可；
【详解】解： 二次根式 有意义，
，
解得 ，
（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）
12．有 个外形相同的蔬菜盲盒，其中 盒装着西兰花， 盒装着菠菜， 盒装着豆角， 盒装着土豆，随
机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是 ．
【答案】 /
【分析】
本题考查概率公式计算概率，用所求的情况数除以总情况数即可．
【详解】
解： 有 个外形相同的蔬菜盲盒，其中 盒装着西兰花， 盒装着菠菜， 盒装着豆角， 盒装着土豆．
随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是 ，
故答案为： ．
13．如图所示，若“兵”的位置是 ，“炮”的位置是 ，则“将”的位置可以表示为 ．【答案】
【分析】直接利用“兵”、“炮”的位置确定列、行代表的意义，进而得出答案．
【详解】解：由题意可知：
以“兵”所在列为第1列，则“兵”的位置 表示第1列，第2行，
“炮”的位置 表示第8列，第3行，
则“将”在第2列，第5行，
故“将”的位置可以表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有序数对；解题的关键是明确列和行的意义．
14．如图1，宁波城区最大摩天轮“芯动北仑”已成为北仑地标性建筑．已知“芯动北仑”摩天轮半径约
为26米，每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，如图2所示，则相邻轿厢之间的弧长为 米．
（结果保留 ）【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式： （l是弧长，n
是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【详解】解：∵每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，
∴相邻轿厢之间的弧所对的圆心角为 ，
∴相邻轿厢之间的弧长为 ；
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，将 向右平移到
的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点， ，若反比例函数 的图
象经过点C和点F，则k的值是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线构造
出矩形是解决本题的关键．根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【详解】解：过点F作 轴于点G， 轴于点H，过点D作 轴于点Q，如图所示，根据题意可知， ， ， ，
设 ，
∴四边形 的面积为 ，
∵ 轴， 轴，
，
∴ ，
，
， ，则 ，
∴四边形 的面积为 ，
解得：
∴ ．
故答案为：16．
16．如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图， 、 为连
接杆 上两个定点，通过按压点B，连接杆 绕点E旋转，从而带动连接杆 上升，带动连接杆
与 绕点G旋转，致使牙签托盘 向外推出．在取牙签过程中固定杆 位置不变且 与 始
终平行，牙签托盘 始终保持水平，现测得 ， ， ，
与 ，杆长与杆长之间角度大小不变．已知，牙签盒在初始状态，D、H、F三点共线，在刚好取到牙签时，E、H、G三点共线，且点C落在线段 上．（参考数据： ）
（1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘 在水平方向被向外推出 ；
（2）鸟嘴 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解
题的关键．
（1）利用三角函数求得边长，再利用三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，再利用三角函数建立方程求得 即可．
【详解】
解：（1）如图2，牙签盒在初始状态， ， ， 三点共线， ，杆长与杆长之间角度大小不
变， ，
连接 ，过 作 于 ，
， ，
，设 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）如图3，延长 交于 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，杆长与杆长之间角度大小不变， ，
，
过 作 于 ，
， ，
，
设 ，则 ，
，，
， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算： ．
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）【分析】
题目主要考查特殊角的三角函数的运算、实数的混合运算及分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先将二次根式化简、特殊角的三角函数代入、零次幂运算，然后计算加减法即可；
（2）根据分式加减法计算，然后约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．（6分）小汪解答“解分式方程： ”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序
号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得： …①，
去括号得： …②，
移项得： …③，
合并同类项得： …④，
系数化为1得： …⑤，
∴ 是原分式方程的解．
【答案】错误步骤的序号为①，解法见详解．
【分析】
本 题 考 查 检 查 解 分 式 方 程 ； 错 误 步 骤 的 序 号 为 ① ， 解 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ，，进而解这个整式方程，最后检验，即可求解．
【详解】解：错误步骤的序号为①，
去分母得：
去括号得：
移项得： …③，
合并同类项得： …④，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
19．（8分）如图，在 和 中，已知 ， 以及可以选择的条件① ；②
；③ ．
(1)选择________条件（选一个，填序号）使得 ，并给出证明；
(2)若边 与 交于点 ， ， ．求 的长．
【答案】(1)③，见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）选择③ （答案不唯一），由 证得 即可；选② ，由 证得
即可；
（2）由 ，得出 ，则 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：选择③ ，理由：在 和 中， ，
，
故答案为：③；
选② ，理由：
，
在 和 中， ，
；
故答案为：②；
（2）解： ，
，
，
．
20．（8分）在学校组织的“学习强国”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 ， ， ，
四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分和70分． 八年级的李老师将801班和
802班的成绩进行整理并绘制成如下的统计图
(1)在本次竞赛中，802班 级的人数有多少？
(2)结合下面的统计量：成绩 平均数
中位数（分） 众数（分） 级及以上人数
班级 （分）
801班 90 90 18
802班 80 100 12
请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（写出两条）．
【答案】(1)9人
(2)见解析
【分析】
本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）先求出801班总人数，再求802班成绩在C级的人数即可；
（2）只要答案符合题意即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解： 人，
∴在本次竞赛中，802班 级的人数有9人；
（2）解①从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看801班比802班的成绩好；所以801班成绩
好．②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看802班比801班的成绩好，所以802班成绩好．
(答案不唯一)
21．（10分）如图，在 中， ， ， 交 于点 ， 为 的直径，
．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求 的度数；
(3)若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)(3)
【分析】（1）根据圆周角，弦，弧的关系证明即可．
（2）运用圆的内接四边形的性质，得到 ，结合 ， ，继而得到
，结合 为 的直径，得到 ， ；根据
，结合三角形的外角性质，计算即可．
（3）连接 ，证明出 是等边三角形，求出 ，根据 ，
计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴
解得 ．
（3）∵ ， ，
∴ ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式．解题的关键是掌握以
上知识点．
22．（10分）小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．
如图2是其光路简图： 表示小孔， 的长为物距， 的长为像距， ， ， 三点在同一条直线上，
物 于 ，像 于 ．
(1)求证： ；
(2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想
估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为 ，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为 ．如
果要估测太阳的直径，还需要测量______，用 表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用
含有 ， ， 的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)树叶缝隙到光斑中心的距离，
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知 ，证明 ， ，则 ， ，进而结论得证；
（2）由（1）中 可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而
可得太阳的直径可表示为 ．
【详解】（1）证明：∵ 于 ， 于 ，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：由（1）中 可知，记光斑的直径为 ，太阳的直径可表示为 ，地球到太阳的距
离为 ，
∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离 ，
∴ ，太阳的直径可表示为 ，
故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离， ．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴相交于
， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2) 为第一象限内抛物线上的一个点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，当线
段 时，求点 的坐标；
(3)以原点 为圆心， 长为半径作 ，点 为 上的一点，连接 ， ，求 的最小
值．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)点M的坐标为(3) 的最小值为
【分析】（1）由 ，解得 ，然后代入解析式求解；
（2）当线段 时，则点C在 的中垂线上，即 时，即可求解；
（3）先证明 ，然后利用当B、P、G三点共线时， 最小，最小值为 即可求
解．
【详解】（1）∵对称轴是直线 ，
故 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的顶点为 ；
（2）
对于 ，令 ，
解得 或 ，令 ，则 ，
故点A、B、C的坐标分别为 ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
故直线 的表达式 ，
设点M的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
当线段 时，则点C在 的中垂线上，即 ，
即 ，解得 （舍去）或2，
故点M的坐标为 ；
（3）
在 上取点G，使 ，即 ，则 ，则点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故 ，
则 ，
故当B、P、G三点共线时， 最小，最小值为 ，
则 的最小值 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思
想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．.
24．（12分）如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发沿 向终点 运动，
过点 作 边的垂线，交 其他边于点 ，在 的右上方作正方形 ．(1)如图 ，点 为 中点时，求正方形 的面积．
(2)如图 ，点 从 点运动到 点的过程中，点 为该正方形对角线 的中点．
①设 ， 的面积为 ，求上述运动过程中 关于 的函数表达式．
②当 有一个内角为 时，求 的长．
【答案】(1)
(2)① ；② 或 或 或
【分析】（1）解直角三角形 求出 ，进而求得结果；
（2）①分两种情况：当 点在 、 之间时，即 时，作 于 点，连接 ；当
时， 、 在直线 上， 、 在直线 边上，作 于 ，作 于 ；分
别求出表达式即可；②分四种情况：当点 在 上，当 时；当点 在 上，当
；当点 在 上，当 时；当点 在 上，当 时；分别得出关于
的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点 为 中点， ，
，
， ，
， ，
；
（2）解：①如图，当 点在 、 之间时，即 时，作 于 点，连接 ，
，
， ， ，， ，
四边形 是正方形，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
为 的中线，
，
如图，当 时， 、 在直线 上， 、 在直线 边上，作 于 ，作
于 ，
， ，
， ，
，
；
②如图，当点 在 上，当 时，设 交 于 ，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
如图，当点 在 上，当 ，作 于 ，
， ，
，
，
，
，
由 得，
，，
如图，当点 在 上，当 时，作 于 ，作 于 ，
由②知： ， ，
，
，
，
，
如图，当点 在 上，当 时，作 ，交 的延长线于 ，
，
由 得， ，
，综上所述： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、解直角三角形等知识点，解决问题的关键是采用
分类讨论的思想解决问题．
