文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D A A A C A D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． /
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．
【详解】解：
．
18．
【详解】当 时，
原式 ．
19．
【详解】（1）解：如图，由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴B点与支撑柱 的距离为 ；
（2）如图，过 作 交 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，过 作
于 ，
则 ，四边形 ，四边形 为矩形，∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴路灯C离地面的距离为 ．
20．
【详解】（1）解：抽取的总人数 （人），
，
故答案为： ；
（2）如图；（3）因为50个数的中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数在B组，
所以小明书面作业完成时间在 范围内；
（4）所画树状图如图所示，
总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，所以抽取的2名
学生恰好是一名男生和一名女生的概率 ．
21．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 ．
22．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格为 元，乙种树苗每棵的价格为 元，购买甲、乙两种树苗的费
用为元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种树苗每棵的价格为 元，乙种树苗每棵的价格为 元．
（2）设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买甲、乙两种树苗的费用为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
购买甲、乙两种树苗需要花费： ，
∵
∴ 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，此时 （元），
则 （棵），
答：购买甲、乙两种树苗至少要花费 元钱，此时购买甲种树苗 棵，乙种树苗 棵．
23．【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ， ，
由（1）知： ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵点 是线段 上的一个动点，
由（2）知：当点 恰好落在对角线 上时， ，
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，设 的延长线交 于点 ，如图3，
∵由 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，由（1）可知： ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
24．
【详解】（1）解：若平行四边形 是“奇妙四边形”，则四边形 是正方形．
理由∶
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径 ，分别连接 ， ， ， ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）解：连接 交 于E，设 的长度为a， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
整理得 ，
∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴a有最小值2，
即 的长度最小值为2，
∴ ，
解得∶ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．【详解】（1）解：当 时，则： ，
∵ ，在第一象限内 随 的增大而减小，
∴ 时， ，
∴ ，
∴反比例函数 是 上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当 时， ，
∵ ，
当 时， 随着 的增大而增大，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
综上： 或 ；
（3）∵抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ，
， ，
，
抛物线 在 上是递增的，
当 时，取最小值，，解得， ，
抛物线的函数表达式为 ，
抛物线与直线 相交于 、 两点，设 ， ，
假设 点在 点的左侧，即 ，
，解得， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ，
，解得， ，
，
在 中 ， 根 据 内 心 的 性 质 ， 设 内 心 到 各 边 距 离 为 ， 得
，
，
∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线，内心 在 轴上，
，
，
．
