文档内容
2024 年中考第三次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．－5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （ ） C. D. （ ）
4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之
中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）
A. B. C. D.
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 9
6. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10
到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）
A. B. C. 20 D.
7. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每
3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球
第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比
增长速度 ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的
是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
9. 如图， 是 的切线，A为切点，连接 ﹐点C在 上， ，连接 并延长，交
于点D，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点 B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧， ，
， ，连接DE，设 ， ， ，给出下面三个结论：
① ；② ；③ ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．
12. 在函数 中，自变量x的取值范围是_________．
13. 把多项式 分解因式的结果是_____．
14. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得
了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
15. 已知圆锥的母线长 ，侧面积 ，则这个圆锥的高是__________ ．
16. 在 中， ，点 是斜边 的中点，把 绕点 顺时针旋转，
得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ， ，在旋转的过程中，
面积的最大值是__________．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
18. 解方程： ．
19．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：
在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的
身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学
生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均
数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
21. 如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为弧EB的中点，过点C作 ，交 的延
长线于点D，延长 交 的延长线于点F．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
22. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班
的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A，B两款文化衫，每件A款文化衫
比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几
种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现
（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
23．问题提出：
将一根长度是lcm（l≥4的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折n次（n≥1），然后从重叠的细绳
的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪m刀（m≥1的整数），最后
得到一些长1cm和长2cm的细绳．如果长1cm的细绳有222根，那么原来的细绳的长度l是多少cm？
问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：
对折1次，可以看成有21根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长1cm的细
绳，右端出现了21-1=1根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+1×2=4cm；如果剪2刀（如图②），
左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×21=2根长1cm的细绳，右端仍有21-1=1根长2cm的细绳，
所以原绳长为(2+2)×1+1×2=6cm；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有
2×21=4根长1cm的细绳，右端仍有21-1=1根长2cm的细绳，所以原绳长为(2+4)×1+1×2=8cm；
以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有(m-1)×21=2(m-1)根长1cm细绳，右
端仍有21-1=1根长2cm的细绳，所以，原绳长为
[2+(m-1)×21 ]×1+(21-1)×2=(2m+2)=2(m+1)cm．
探究二：
对折2次，可以看成有22根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长1cm的细
绳，两端共出现了22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+3×2=8cm；如果剪2刀（如图⑤），
左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×22=4根长1cm的细绳，两端仍有22-1=3根长2cm的细绳，所
以原绳长为(2+4)×1+3×2=12cm；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有
2×22=8根长1cm的细绳，两端共有22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为(2+8)×1+3×2=16cm；
以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有(m-1)×22=(4m-4)=4(m-1)根长
1cm的细绳，两端仍有22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为
[2+(m-1)×22 ]×1+3×2=(4m+4)=4(m+1)cm．
探究三：
对折3次（如图⑦），可以看成有23根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有2根长1cm的细绳，中间有(m-1)×23=(8m-8)=8(m-1)根长1cm的细绳，两端有23-1=7根长2cm的细绳，所以原绳
长为[2+(m-1)×23 ]×1+7×2=(8m+8)=8(m+1)cm．
（1）总结规律：
对折n次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪m刀，左端有 根长1cm的细
绳，中间会有 根长1cm的细绳，两端会有 根长2cm的细绳，所以原
绳长为 cm．
（2）问题解决：
如果长1cm的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪
了 刀，原来的细绳的长度l是 cm．
（3）拓展应用：
如果长1cm的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度l是 cm．
24．如图，在平面直角坐标系中，点 、 在 轴上，点 、 在 轴上，且 ， ，
抛物线 经过 三点，直线 与抛物线交于另一点 ．
(1)求这条抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)点 是直线 上一动点，点 为抛物线上直线 下方一动点，当线段 的长度最大时，请求出点
的坐标和 面积的最大值．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 轴，交y轴的正半轴于点 ，且 ，点B是y轴右侧
直线l上的一动点，连接 ．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足 ，点C为 的中点， 点为线段 上一动点，连接 ．在
平面内，将 沿 翻折，点B的对应点为点P， 与 相交于点Q，当 时，求线段
的长；
（3）如图3，若动点B满足 ， 为 的中位线，将 绕点B在平面内逆时针旋转，
当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4， 平分 交 于点 ， 于点 ，交 于点 ， 为 的一
条中线．设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．试探究：在B点的运动过程中，当
时，请直接写出点B的坐标．
