文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（苏州卷）
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
【详解】解； 的相反数是 ，
故选：B．
2． 年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于 年 月 日至 月 日在法国巴黎举
行．下面 年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的
关键．【详解】 、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选： ．
3．下面是王丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，直接根据平行线的判定定理即可得出答案．
【详解】解：
（内错角相等，两直线平行）
故选D．
4．《九章算术》中“堑堵”的立体图形如图所示，它的左视图为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：它的左视图为
故选D．5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点，灵活
运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点逐项判断即可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故选D．
6．2023年11月1日，中国邮政发行《科技创新（四）》纪念邮票一套5枚，将我国取得的5项重大科技
成果的创新点和要素浓缩在小小的方寸之间某中学开展“科技节”活动，要从如图所示的5个主题中随机
选择两个进行宣讲，则选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到
“A”和“D”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：5个主题分别用A、B、C、D、E表示，
画树状图如下：共20种等可能的结果数，其中恰好选到“A”和“D”有2种，
∴选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率为 ．
故选：B．
7．如图，矩形 中， ， ，P是边 上一个动点，连接 ，在 上取一点E，满足
，则 长度的最小值为（ ）
A．6.4 B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析 ，得证 ，得出 ，再结合圆周角定理，得出点E 的
运动轨迹为以 的中点为圆心O， 为半径，且在矩形 内，再运用勾股定理列式计算，即可作
答．
【详解】∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
即点E 的运动轨迹为以 的中点为圆心O， 为半径，且在矩形 内，如图：
当E在线段 上时，则此时 取最小值，
，
则 ，
∴ 长度的最小值为 ，
故选：C
8．如图，已知，正方形 边长为1，以 为直径在正方形 内部作半圆，点P是 边的中点，
与半圆交于点Q，连接 ．下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、正确.连接 ， 易证四边形 是平行四边形，从而可得 结合 ，
可证到 ，从而证到 ，则有 ；
B、正确.连接 ，根据勾股定理可求出 ，易证 ，运用相似三角形的性质可求出 ，
从而求出 的值，就可得到 的值；C、正确过点 作 于 ， 易证 ，运用相似三角形的性质可求出 ，从而可求出
的值；
D、错误.过点 作 于 ， 易得 ，根据平行线分线段成比例可得 ，
把 代入，即可求出 ，然后在 中运用三角函数的定义，就可求出 的值.
【详解】连接 ， 如图 .
∵正方形 的边长为 ，以 为直径作半圆， 点 是 中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ .
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ .
故 正确；
连接 ， 如图 .
∵正方形 的边长为 ， 点 是 中点，
，
，
∵ 为直径，
，
，
，
，
即 ，
，
则 ，
故 正确；
过点 作 于 ， 如图 .，
即 ，
，
，
故 正确；
过点 作 于 ， 如图 .
，
，
，
解得： ，
，，
故 错误.
故选D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．若a是方程 的根，则代数式 的值是 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到 是解题的关键；根据一元
二次方程的根的概念，可得 ，变形可得 ，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵a是方程 的根，
，
当 时， 不成立，
，
，即 ，
∴ ，
故答案为：2023．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．方程 的解为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．等号两边同时乘以
，将分式方程转化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案．
【详解】解： ，
等号两边同时乘以 ，可得 ，
解得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
∴方程 的解为 ．
故答案为： ．
12．已知一粒米的质量约是 ，将 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13．小王家今年 月份的用电量情况如图所示，则 月到 月之间月用电量的增长率为 ．
【答案】【分析】由图表得到 月、 月的用电量，根据增长率公式，即可求解，
本题考查了，折线统计图，解题的关键是：从折现统计图中提取信息．
【详解】解：由图可知， 月用电量为100， 月用电量为110，
则用电量的增长率为： ，
故答案为： ．
14．已知一次函数 的图象经过点 ，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的一
次函数解析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题以结论开放的形式考查一次函数的图象与性质，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的
创新意识和创新能力.
【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ，
，
y随x的增大而减小，
，
令 ，则 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ．
故答案为： ．
15．如图，将半径为4，圆心角为 的扇形 绕弧 的中点 逆时针旋转 ，点 ， 的对应点
分别为点 ，点 落在 上，点 落在 上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设 与 的交点为 ，连接、 、 ，过点 作 于点 ，由 可得 ，再证
， 是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出 ， ，代入计算即可．
【详解】如图，设 与 的交点为 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，
扇形 绕点 逆时针旋转 得到扇形 ，
，扇形 中空白部分的面积 ，
．
，
是等腰三角形，
，
， 为弧 的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
．
故答案为： ．
16．如图，在 中， ， ， 是 上一点， ， 交 于点
， 是直线 上一动点，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 至线段 ，连结 ．当点 ，
， 共线时， ．
【答案】 或
【分析】点 在线段 上，过点 作 于点 ，过点 作 ， ，易得四边形
为矩形， ，证明 ，得到 ，设 ，则： ，
设 ，得到 ，证明 ，列出比例式，求出 ，进而求出
，即可得出结果，当点 在线段 上，同法求出结果即可．
【详解】解：①当点 在线段 上时：
过点 作 于点 ，过点 作 ， ，则：四边形 为矩形， ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 至线段 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， ， 共线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ，
∴ ；
②当点 在线段 上时，如图：
设 ，则： ， ，设 ，则： ，
同法可得： ， ，
∴ ；
综上： 或 ；
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简算术平方根、负整数指数幂，正弦值，再算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
18．（4分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等
式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到即可确定一元一次不等
式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将
代入求值即可．
【详解】解：，
将 代入，得：
原式 ．
20．（8分）如图， ，点P在 的内部，且满足 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的
关键；
（1）直接利用 证明两个三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，
；
（2） ，，
∴点P在等腰 顶角的角平分线上，
．
21．（8分）如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始
时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3
点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，
再进行同样的操作．
(1)从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 _______．
(2)在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法求概率：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，3，4，5，6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是： ．
故答案为： ．
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
第2次
1 2 3 4 5 6
第1次
12
3
4
5
6
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为： ．
22．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动.
“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校 名学生中随机
抽取 名学生，并对 名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
第一项各
说明：A表示科普
类图书借
阅量统计
数据的收
集、整理
与描述
类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
图书借阅量/本 …
第二项学
生个人借
人数/名 …
阅量统计
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：(1)求被调查的 名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为 本及以上的学生有多少名．
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取 名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.
但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．
【答案】(1) 本，见解析
(2) 名
(3)见解析
【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择，即
可．
（1）根据扇形统计图和条形统计图得， 类书籍占总体书籍的 ，即可求出总体书籍；并补全条形统
计图；
（2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为 本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可；
（3）根据抽样调查选择样本，即可．
【详解】（1）借阅图书的总数量为： （本）；
∴ 类书籍的借阅量为： （本），
类书籍的借阅量为： （本），
类书籍的借阅量为： （本），
补全统计图如下：
答：被调查的 名学生在本次活动中借阅图书的总数量为 本．
（2） （名）
答：估计该校图书借阅数量为 本及以上的学生有 名．
（3）小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是
在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
23．（8分）作为永远冲锋在前、向险而行的“最美逆行者”，可敬可爱的消防员奋战在民众最需要的地方，以勇敢、强大、迎难而上的决心和行动，在应对灾害事故中保障人民群众生命财产安全起到了重要作
用．如图所示是消防员攀爬消防专用梯的场景，已知 ， ， ， ，
，在点 处测得点 的仰角为 ，求楼 的高度．（结果保留整数．参考数据：
， ， ）
【答案】11米
【分析】延长 交 于点F，结合 ， ， ，得到矩形 ，利用正弦函数计
算即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
【详解】延长 交 于点F，
∵ ， ， ，
∴矩形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ．
答：楼 的高度约为11米．
24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系 中，等腰 的边 与反比例函数 的图象
交于点 ，其中 ，点A在x轴的正半轴上，点 的坐标为 ，过点C作 轴于点H．(1)已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
(2)若点P是线段 上的一点，满足 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，记 的面积
为 ，设
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①过点B作 ，根据等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，得到
，设 ，易得 ，解
，求出 的长，进而求出 ， 的长，解 ，求出 的长，即可得解；②利
用二次函数的性质，求出 点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，把 ，代入，得：
，
∴ ，
∴ ．
（2）①过点B作 ，则： ， ，∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，∴当 时， 取得最小值，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（8分）如图， 是 的直径，点C为 上一点，连接 ，过点O作 的垂线交 于点F，
交 于点 与 交于点 是 的切线，交 延长线于D，连接 ，CE．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为10
【分析】（1）根据 是 的切线， 是 的直径，得出 ，证出 ，再结合
，即可证明；
（2）证明 ，得出 ，在 中，根据 ，得出 ，
再运用勾股定理列方程即可求出 ，即可求解；
【详解】（1）解：证明： 是 的切线， 是 的直径，
，
又 ，
，
又 ，
；
（2） ，
垂直平分 ，，
，
又 ，
，
，
又 为 的直径，
，
在 中， ，
，
，
，
或 （舍），
，
，
，
的半径为10．
26．（8分）在平面直角坐标系 中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以 为直径的
圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”
(1)点A的坐标为 ，则在点 ， ， 中，O关于点A的“联络点”是 （填字
母）；
(2)直线 与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足 ，
求点P的坐标；
(3) 的圆心在y轴上，半径为 ，点M为y轴上的动点，点N的坐标为 ，在 上存在点M关于点
N的“联络点”P，且 为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围．【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当 或者点O与点P或者点A重合
时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可；
（2）先求出 ，则 ，解直角三角形得到 ， ；根据定义
得到 ，解直角三角形得到 ，则 ；设直线 与y轴交于
点G，先证明 ，再证明 ，得到 ，则 ，
可得 ，求出直线 解析式为 ，设 ，则 ，
解方程即可得到答案；
（3）根据等腰得到 或点M与点P重合，再由 为等腰三角形，得到 ，
；当点M在x轴上方时，过点P作 轴于点Q，证明 ，得到
，设 ，则 ，进而得到 ，则点
P在直线 上；设直线 与y轴交于点S，则 ，依题意可知，P在 上，则直线
与 要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线 与 相切于点H时，连接 ，
证明 是等腰直角三角形，得到 ，由切线的性质可得 ，则 是等腰直角
三角形，可得 ，则 ；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为 ，故当
时，直线 与 有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可
得到答案．【详解】（1）解：根据新定义可知，当点O在以 为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络
点”，
∴ 或者点O与点P或者点A重合；
∵点A的坐标为 ，点 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是O关于点A的“联络点”；
同理可得 是O关于点A的“联络点”；
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是O关于点A的“联络点”；故答案为： ， ；
（2）解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是点C关于点D的“联络点”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，设直线 与y轴交于点G，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：∵点P是M关于N的“联络点”，
∴ 或点M与点P重合，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作 轴于点Q，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P在直线 上，
设直线 与y轴交于点S，则 ，
依题意可知，P在 上，
∴直线 与 要有交点，
如图所示，当点T在点S上方，且直线 与 相切于点H时，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
由切线的性质可得 ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为 ，
∴当 时，直线 与 有交点，即此时符合题意；
如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当 时，符合题意；
综上所述， 或 ．
27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线 分别交x轴于A、B两点（A在B左
边），交y轴于点C，连接 ，且 ．
(1)如图1，求a的值；(2)如图2，点Q是第四象限内抛物线上的一点，过点Q作 轴于D，连接 ，点E在 上，过E
点作 轴于F，点H在 上，纵坐标为 ，连接 ，若 ，点Q的横坐标
为t， 的长为d，求d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交抛物线于点G，连接 延长至点M，过点M作x轴的垂线，交
抛物线于点N，点P为抛物线顶点，连接 并延长交y轴于点K，连接 并延长分别交 、 的延
长线于点R、T，连接 ，若 ，求点K的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 ，当 时，得到 ， ，在 中，由三角
函数得到 ，代入 ，即可求解，
（2）设 ，表示出 ， ，代入 ，结合 ，
即可求解，
（3）将 化为标准式和顶点式，得到 ， ，在 中，表示出
，代入 ，求出 ，进而得到 ， ， ， 轴，作
， ，设 ，则 ， ， ，由， ，解出 ，得到 ， ，由
，得到 ，结合 ，得到等腰直角 ，依次求出 ， ，
， ，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，三角函数，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解
题的关键是：根据已知条件，列出等量关系式．
【详解】（1）解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，代入 中，解得： ，
故答案为： ，
（2）解：由（1）得 ，
设 ，则： ， ，
∴ ，（ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
故答案为： ，（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵
∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ，
∴ ， ， ，
∴ 轴，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即： ，整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
