2024 年中考第一次模拟考试（重庆卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．−3的相反数是（ ）
1 1
A．−3 B．3 C．− D．
3 3
【答案】B
【分析】本题考查相反数，符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解析】−3的相反数是3，故选：B．
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解析】A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对
称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图
形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．x3 ⋅x3=x9 B．2x3+3x3=5x6
C．(2x2) 3 =6x6 D．(2+3x)(2−3x)=4−9x2
【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可
求解．
【解析】A. x3 ⋅x3=x6，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2x3+3x3=5x3，故该选项不正确，不符合题意；
C. (2x2) 3 =8x6，故该选项不正确，不符合题意；
D. (2+3x)(2−3x)=4−9x2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以
上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
4．如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为点O，且OC:OF=3:2，则△ABC的周长与△≝¿周长之
比为（ ）
A．3:2 B．3:5 C．9:4 D．9:5
【答案】A
【分析】本题考查了相似的性质，位似变换∶如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相
交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必
须是相似图形；通过相似的性质即可求解．
【解析】∵△ABC与△≝¿位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△≝¿，
∵OC:OF=3:2，
∴△ABC与△≝¿相似比为3:2，
故△ABC的周长与△≝¿周长之比为3:2．
故选：A．
5．估计√2×√24−√3的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【解析】√2×√24−√3
=√2×2√6−√3
=4√3−√3，
=3√3
∵25<27<36，
∴5<√27<6，即5<3√3<6，
∴√2×√24−√3的值应在5和6之间，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出√27的范围是解此题的关键．
6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则
下列方程正确的是（ ）
A．60(1+x) 2=48.6 B．48.6(1+x) 2=60
C．60(1−x) 2=48.6 D．48.6(1−x) 2=60
【答案】C
【分析】根据降价后的价格=原价×（1－降价率），列出方程；
【解析】第一次降价后价格为：60×（1－x），
第二次降价后价格为：60×（1－x）（1－x）=48.6，
即60(1−x) 2=48.6，
故选：C；
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，根据降价计算方
式列出等量关系．
7．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（ ）
A．71 B．78 C．85 D．89
【答案】D【分析】先得出前几个图形中小正方形个数，总结出变化规律，即可解答．
【解析】根据题意可得：
第1个图形中小正方形的个数：22+1=5（个），
第2个图形中小正方形的个数：32+2=11（个），
第3个图形中小正方形的个数：42+3=19（个），
……
第n个图形中小正方形的个数：(n+1) 2+n（个），
∴第8个图形中小正方形的个数：92+8=89（个），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的规律探索，解题的关键是根据图形，总结出变化规律．
8．如图，⊙O的半径为8，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，F为弦BC的中点，连接OF，若
OF=3，则sin∠ACD的值为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
4 5 8 16
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，求角的正弦值．连接OB,OC，推出∠A=∠BOF，等角的余角相等，
OF
得到∠OBF=∠ACD，得到sin∠ACD=sin∠OBF= ，即可得出结果．
OB
【解析】连接OB,OC，则：∠BOC=2∠A，OB=OC=8，
∵F为弦BC的中点，
1
∴OF⊥BC,∠BOF= ∠BOC=∠A，
2∴∠OBF+∠BOF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠OBF=∠ACD，
OF 3
∴sin∠ACD=sin∠OBF= = ；
OB 8
故选C．
9．如图，正方形ABCD中，E为正方形内一点，连接CE，使CE=CB，再连接AE，将AE绕点A逆时针
旋转90°得到AF，连接DF，若∠DCE=α，则∠ADF的度数为（ ）
α α
A．α B．90°−2α C．45°+ D．45°−
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，连接BE由等腰三角形的性
质可得∠ABE，由旋转的性质可证明△DAF≌△BAE，即可求解．
【解析】连接BE如图：
∵ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，
∵CE=CB，∠DCE=α，
∴∠CEB=∠CBE，∠BCE=90°−α，
180°−∠BCE 180°−90°+α 90°+α
∴∠CBE= = = ，
2 2 2
90°−α α
∴∠ABE=90°−∠CBE= =45°− ，
2 2由AE绕点A逆时针旋转90°得到AF，
得∠EAF=90°，AE=AF，
∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∠EAF=∠DAF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵AD=AB，
∴△DAF≌△BAE，
α
∴∠ADF=∠ABE=45°− ．
2
故选：D．
10．学习数学离不开计算，我们已经学过加、减、乘、除四则运算．已知实数a、b，若a+b、a−b、ab、
a
是四个数中有三个数相同，则称a为b的“关联数”．下列说法：
b
①若a为b的关联数，则b一定为−1；
1
②若a为b的关联数，则a一定为− ；
2
③若a为b的关联数，则a+b为b的关联数
④若a为b的关联数，则ab为b的关联数．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据整式的加减的运算法进行判断即可．
【解析】假设a+b=a−b得b=0，
a
由 可知b≠0，可得：a+b≠a−b；
b
a
假设a+b= =ab，
b
1 a
∴a= ，b=−1，a−b= =ab，
2 b
1 1 a 1
∴a+b=− ，ab=− ， =− ，故①正确，②错误；
2 2 b 2
3 1 a+b 1 1
验证③：a+b+b=− ，(a+b)−b= ， = ，(a+b)·b= ，
2 2 b 2 2
∴a+b是b的关联数，故③正确；
3 1 1 ab 1
验证④：ab+b=− ，ab−b= ，ab·b= ， = ，
2 2 2 b 2∴ab是b的关联数，故④正确；
∴正确的有34个，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的加减，正确进行计算是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．计算：(√3−1) 0+
(1) −2
=
3
【答案】10
1
【分析】本题考查零次幂、负整数次幂，根据任何非0数的零次幂等于1，a−b=
进行计算即可．
ab
【解析】(√3−1)
0+
(1) −2
3
1
=1+
(1) 2
3
=1+9
=10，
故答案为：10．
12．方程x2=3x的解为 ．
【答案】x =0,x =3
1 2
【分析】此题考查了解一元二次方程，将一次项移到等式左边，利用因式分解法解方程，由此得到一
元二次方程的解，正确确定一元二次方程的解法是解题的关键．
【解析】x2=3x
x2−3x=0
x(x−3)=0
∴x =0,x =3，
1 2
故答案为：x =0,x =3．
1 2
13．现有四张正面分别标有数字−2，−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面
朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后
两次抽取的数字之和为正数的概率为 ．5
【答案】 /0.625
8
【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之和为正数的
概率．
【解析】列树状图可得：
10 5
由树状图可得共有16种等可能结果，其中两次数字之和为正数的有10种，故概率为： = ，
16 8
5
故答案为： ．
8
k
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上有A、B两点，它们的横坐标分
x
别为2和4，△ABO的面积为6，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据反比函数的性质可得
( k) ( k) 1
A 2, ,B 4, ，S =S = ，从而得到S =S =6，即可求解．
2 4 △AOC △BOD 2 △AOB 梯形ACDB
【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A、B两点的横坐标分别为2和4，( k) ( k) 1
∴A 2, ,B 4, ，S =S = ，
2 4 △AOC △BOD 2
∵S =S +S −S ，
△AOB △AOC 梯形ACDB △BOD
∴S =S =6，
△AOB 梯形ACDB
1(k k)
∴ + ×(4−2)=6 ，
2 2 4
解得：k=8 ．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．如图，矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧
恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π−4
【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出△ABO的等腰直角三角形，进而求出OA，
∠AOB=45°，OB=1，证得Rt△ABO≌Rt△DCO，求得进而求得∠AOD=90°，根据阴影部分
的面积=S −S 即可求出结论．
扇形OAD △OAD
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=∠C=90°，AB=CD，
∴∠DAO=∠BOA，
∵OA是∠BAD的平分线，
∴∠BAO=∠DAO，
∴∠BAO=∠BOA，
∴AB=OB=2，
180°−90°
∴∠BAO=∠BOA= =45°，
2
在Rt△ABO中，OA=√AB2+OB2=√22+22=2√2，
在Rt△ABO和Rt△DCO中，
¿，∴Rt△ABO≌Rt△DCO(HL)，
∴∠DOC=∠AOB=45°，OC=OB=2，
∴BC=AD=4，
∴∠AOD=180°−45°−45°=90°，
1
∴△OAD的面积为 AD⋅AB=4，
2
2
90⋅π⋅(2√2)
则阴影部分的面积为：S −S = −4=2π−4，
扇形OAD △OAD
360
故答案为：2π−4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行
线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．
16．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°．CD是中线，过点A作AE⊥CD，垂足为点F，与BC相交于
点E，若AC=3，BC=4，则CE的长是 ．
9
【答案】
4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边
1
上中线的性质得出CD=BD=AD= AB，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAF，
2
进而求得∠CAF=∠BCD=∠B，即∠B=∠CAF，然后证得△ACE∽△BCA，根据相似三角形的
性质即可得出CE的长．
【解析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
1
∴CD=BD=AD= AB，
2
∵CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，∴∠CAF+∠ACF=90°，
又∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠BCD=∠B，
又∠ACE=∠BCA=90°，
∴△ACE∽△BCA，
CE AC
∴ = ，
AC BC
AC2
∴CE= ，
BC
∵AC=3，BC=4，
9
∴CE= ，
4
9
故答案为： ．
4
y a
17．若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≥3，且关于y的分式方程 + =−1有正整数解，
y−2 2−y
则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，首先根据不等式组的已知解
集求出a的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出a的取值范围，最后结合两个条件得出答案．
【解析】不等式组¿解得¿，
∵关于x的一元一次不等式组¿的解集x≥3，
a+1
∴ <3，
3
∴a<8，
y a
∵分式方程 + =−1，
y−2 2−y
a+2
∴y= ，
2
此方程有正整数解，
∴a+2>0，
a+2
但是y= ≠2，
2∴a≠2
∴a>−2，
∴−2<a<8，
∴a的整数解且使y有正整数解有a=0或4或6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是10．
故答案为：10．
18．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调
得到一个新数n'，把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把
第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为F(n)，例如：n=13时，
1331−3113
n'=31,F(13)= =−18．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+ y(
99
1≤b<a≤9,1≤x,y≤9，且a,b,x,y为整数)．若F(s)能被5整除，则a−b的值为 ，在此条件
下，若F(s)+9ky=kF(t)，其中k为整数，则此s与t乘积的最大值为 ．
【答案】 5 9118
【分析】本题考查了整式的乘法运算，二元一次方程的整数解，理解整除的意义是解题的关键．根据
题意列式表示，并根据整除的意义求解．
【解析】∵s=10a+b，
(1000a+100b+10b+a)−(1000b+100a+10a+b)
∴F(s)= =9(a−b)，
99
∵F(s)能被5整除，1≤b<a≤9，
∴a−b=5；
∵t=10x+ y，
∴同理可得：F(t)=9(x−y)，
∵F(s)+9ky=kF(t)，
∴9(a−b)+9ky=k⋅[9(x−y)]，
∵a−b=5，
∴9×5+9ky=k⋅[9(x−y)]，
5
∴k= ，
x−2y
∵k为整数，∴x−2y=±1或±5，
∴x−2y是奇数，2y是偶数，
∴x是奇数，
又∵1≤x，y≤9，要使s与t乘积的最大值，s与t都要取最大值，t=10x+ y
∴x的最大值是9，
将x=9代入x−2y=±1或±5中得：9−2y=±1或±5，
解得：y=4或5或2或7，
∴x=9，y=7时，当t =10x+ y=97，
max
∵a−b=5，1≤b<a≤9，
∴s的值为：94或83或72或61，
∴st的最大值为：94×97=9118，
故答案为：5，9118．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）(a−3b)(a+b)−2a(2a−b)；
( m ) m2−4m+4
（2） 1− ÷ ．
m+2 m2−4
【解析】（1）原式=a2+ab−3ab−3b2−4a2+2ab
=−3a2−3b2；
(m+2−m) (m−2) 2
（2）原式= ÷
m+2 (m+2)(m−2)
2 m+2
= ×
m+2 m−2
2
= ．
m−2
20．（10分）如图，在▱ABCD中，CE⊥BC分别交AD，BD于点E，F．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保
留作图痕迹，不写作法和结论）(2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD， ① ，
∴∠ABG=∠CDF．
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴∠AHB=∠ECB= ② 度，
∴AG∥CF，
∴∠BGA=∠EFB．
又∵ ③ ，
∴∠BGA=∠DFC，
在 ABG和 CDF中，
¿，△ △
∴ΔABG≌ΔCDF(AAS)．
∴ ④ ，
又∵AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【解析】（1）：如图所示
（2）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD， AB//CD ，
∴∠ABG=∠CDF．
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴∠AHB=∠ECB= 90 度，
∴AG∥CF，
∴∠BGA=∠EFB．
又∵ ∠ EFB= ∠ DFC ，∴∠BGA=∠DFC，
在 ABG和 CDF中，
△¿， △
∴ΔABG≌ΔCDF(AAS)．
∴ AG//CF ，
又∵AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
故答案为：AB∥CD，90，∠EFB=∠DFC，AG=CF.
21．（10分）某校为选拔教师参加市教育局举办的主题教育竞赛，特细组织该校七、八年级的教师进行初
赛，并从两个年级中各随机抽取了20名教师的成绩，将抽取的成绩进行整理，成绩得分用x（单位：
分，x为整数）表示，其分成A：90≤x<100；B：80≤x<90；C：70≤x<80；D：60≤x<70四个
等级，并规定成绩不低于90分为优秀．部分信息如下：
七年级20名教师的初赛成绩如下：
70，70，70，75，75，75，80，80，80，85，85，90，90，90，90，95，95，95，100，100．
八年级20名教师的初赛成绩为B等级的成绩分别为80，80，85，85，85．
通过分析数据，列表如下：
平均 中位
年级 众数 方差 优秀率
数 数
七年级 84.5 a 85 94.75 45%
八年级 84.5 85 b 95.25 c%
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______．
(2)学校欲选派成绩较好的年级教师参加市级竞赛，应选择哪个年级的教师？请说明理由．
(3)若该校七、八年级参加本次初赛的教师各有60人，请估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有多少人．
【答案】(1)90，85，30
(2)应选择七年级的教师，理由见解析
(3)45人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，根据优秀率等于优秀的人数除以对应的总人
数即可求出c；
（2）根据两个年级平均数和中位数相同，但是七年级众数高，方差小，优秀率高进行求解即可；
（3）用教师总人数乘以样本中两个年级的优秀人数占比即可得到答案．
【解析】（1）解：∵七年级中得分为90分的人数有4人，人数最多，
∴七年级的众数为90分，即a=90；
将八年级老师的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为85分，85分，
85+85
∴八年级的中位数为 =85分，即b=85；
2
∵八年级得分不低于90分的人数有6人，
6
∴八年级的优秀率为 ×100%=30%，即c=30，
20
故答案为：90，85，30；
（2）解：应选择七年级的教师，理由如下：
从平均数和中位数来看，两个年级的老师成绩的平均数和中位数都相同，但是七年级老师的众数比八
年级老师的高且方差比八年级老师的小，并且优秀率七年级也比八年级的高，
∴应选择七年级的教师；
9+6
（3）解：60×2× =45人，
20+20
∴估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有45人．
【点睛】本题主要考查了中位数，众数，方差，用样本估计总体和平均数等等，灵活运用所学知识是
解题的关键．
22．（10分）随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款
儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．
(1)梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两
款玩具销售单价分别是多少元？
(2)已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？
【解析】（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元；
（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，
1920 1440
由题意得： + =180，
2a 3a
解得：a=8，
经检验，a=8是原方程的解，且符合题意，
1440 1440
∴ = =60（套)，
3a 3×8
答：去年5月购进B款玩具60套．
23．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C
出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．
连接AE，设运动时间为t秒，△ACE的面积为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出△ACE的面积为3时t的值．
【解析】（1）解：当0≤t≤4时，E未到达B点，
此时CE=t，2t
∴y= =t；
2
当4<t≤6时，E到达B点，开始返回C点，
此时CE=4−2(t−4)=12−2t，
2(12−2t)
∴y= =12−2t，
2
综上所述，可得y=¿；
（2）解：函数解析式，如图所示：
函数的性质：函数有最大值，最大值为4．
（3）解：当0≤t≤4，y=3时，
3=t，即t=3；
当4<t≤6，y=3时，
9
3=12−2t，解得t=
2
9
∴ t=3或 ．
2
24．（10分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明
在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬
长为400√3米的山坡BD到达点D，BD的坡度为√3:1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点
E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在
同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求山顶C到
AB的距离（结果保留整数）；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分
（小红在山坡
BD、山坡
EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【解析】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．
由题意得，DH=KM，CK⊥EK，
∵BD的坡度为√3:1，
∴∠B=60°，
DH √3
在Rt△DBH中，sinB= = ，BD=400√3米，
BD 2
√3
∴DH=BD⋅sinB=400√3× =600米，
2
在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800米，
√2
∴CK=sin∠CEK⋅EC= EC=900√2米，
2
∴CM=KM+CK=DH+CK=600+900√2≈1873（米）
答：山顶C到AB的距离约为1873米．
（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：
由题意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°，
∴AC=2CM=1200+1800√2米，
1200+1800√2
∴小明到达山顶所需时间为： ≈53.5（分），小红到达山顶所需时间为：
70
400√3+1800 900
+ ≈51.5（分），
60 90
∵53.5>51.5，
∴小红先到达山顶C处．
25．（10分）如下图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
1
(2)在抛物线上是否存在一点M，使得S = S ？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；
△MBC 2 △ABC
若不存在，说明理由．
(3)如图，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、
BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值．
【解析】（1）解：∵A(−1,0)，
∴OA=1，
∵OB=OC=3OA，
∴BO=OC=3，
∴B(3,0)，C(0,−3)，
将点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
∴ ¿，
解得¿，
∴ y=x2−2x−3；
1
（2）存在一点M，使得S = S ，理由如下：
△MBC 2 △ABC
连接AC，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
1 3
∴AC的中点为(− ,− )，
2 2
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ¿，
∴ ¿，
∴y=x−3，∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y=x−1，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
(3+√17 1+√17) (3−√17 1−√17)
∴ M , 或 , ；
2 2 2 2
又∵直线y=x−1关于直线BC对称的直线为y=x−5，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
∴M(1,−4)或(2,−3)；
(3+√17 1+√17) (3−√17 1−√17)
综上所述：M点坐标为(1,−4)或(2,−3)或 , 或 , ；
2 2 2 2
（3）∵ y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴D(1,−4)，
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 √2，BD=2 √5，CD= √2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
√2 1
∴tan∠CBD= = ，
3√2 3
过点P作PQ⊥x轴交于Q，∵∠PBA=∠CBD，
PQ 1
∴ = ，
AB 3
∵点P(m,n)在第二象限内，
∴ 3(m2−2m−3)=3−m，
4
解得m=3(舍)或m=− ．
3
26．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E分别为BC上两动点，BD=CE．
(1)如图1，若EH⊥AD于H交AB于K，求证：AE=EK；
(2)如图2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG=GF，求证：AD+EF=√2CG；
1
(3)如图3，若AB=4，将AE绕点E顺时针旋转90°得EM，N为BM中点，当AN+ AM取得最小值
2
时，请直接写出△ACD的面积．
【解析】（1）解：证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
180°−90°
∴∠ABD=∠ACE= =45°，
2
在△ABD和△ACE中，
¿，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=90°，EH⊥AD于H交AB于K，
∴∠AKE=90°−∠BAD，∠KAE=90°−∠CAE，
∴∠AKE=∠KAE，
∴AE=EK；
（2）证明：如图，过点C作CH⊥AC，交FE的延长线于点P，
∴∠PCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠PCE=∠ABC=45°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠ADB=∠FEC，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=PC=AC，
∴AD+EF=PE+EF=PF，
过G作QG⊥GC，使GC=GQ，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴ CQ=√2CG，
连接FQ，CQ，
∵GF⊥AG，GF=AG，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴△GAC≌△GFQ，
∴AC=FQ，∠GAC=∠GFQ=45°，
∴∠AFQ=∠AFG+∠GFQ=90°，
∴∠QFC=∠PCF=90°，∴PC∥FQ，
∵AC=PC=FQ，
∴四边形FPCQ是平行四边形，
∴PF=CQ，
∵PF=AD+EF，
∴AD+EF=√2CG；
（3）如图，过点A作AG⊥BC于G，过点M作MP⊥BC延长线于P，连接MC，连接GN交AM于
H，过点N作NF∥AM交AB于F，
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠GAE+∠GEA=∠PEM+∠GEA=90°，
∴∠GAE=∠PEM，
在△GAE和△PEM中，
¿，
∴△GAE≌△PEM(AAS)，
∴AG=EP，¿=PM，
又∵AG=GC，
∴GC=EP，
∴GC−EC=EP−EC，
∴≥=CP，
∴PM=CP，
∴∠MCP=45°
∵G为BC中点，N为BM中点，
∴GN∥CM，
∴∠NGC=45°，
∵N为BM中点，FN∥AM，
∴FN是△BAM的中位线，1
∴F是AB的中点，FN= AM，
2
在△AGN和△CGN中，
¿，
∴△GNA≌△CGN(SAS)，
∴AN=CN，
1
∴AN+ AM=CN+NF，
2
∴如图，当C、N、F三点共线时，CN+NF的值最小（两点之间，线段最短），
1
此时AN+ AM取得最小值，
2
∵∠MCP=∠ABC=45°，
∴MC∥AF，
又∵NF∥AM，
∴四边形AFCM是平行四边形，
1
∴MC=FA= AB=2，
2
CM AB
∴MP=EG= =√2，AG=BG=CG= =2√2，
√2 √2
∴BD=CE=2√2，CD=2√2+2√2=3√2，
1 1
∴S = ⋅CD⋅AG= −×3√2×2√2=6．
△ACD 2 2
