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2024 年中考第一次模拟考试（黑龙江哈尔滨卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A A D C A D C D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．x>8 12．x(xy−2)
13．22.5度 14．πcm
15．－2 16．5
17．x >x 18．1<x<3
1 2
19．3 20．32 023
三、解答题（满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. （本小题满分7分）
【解析】：原式＝﹣ •（x﹣1） ………………（1分）
＝﹣2x2+2x﹣1 ………………（2分）
＝﹣2（x2﹣x）﹣1， ………………（3分）
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，………………（5分）
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11． ………………（7分）
22. （本小题满分7分）
【解析】（1）如图所示，△A B C 即为所求；………………（2分）
1 1 1（2）如图所示，△A B C 即为所求；………………（4分）
2 2 2
（3）将△A B C 着原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，
2 2 2 3 3 3
⏜
设A A 所在圆交OC 3 于点D，交OC 2 于点E，
2 3
∵OA =OA ，OC =OC ，∴C E=C D，
2 3 2 3 2 3
∵∠A OA =90°，∠C OC =90°，∴∠A OD=∠A OE，
3 2 2 3 3 2
⏜ ⏜
∴A D=A E，
3 2
∴S =S ，OC =3√2，OD=OA =√5，………………（5分）
曲边△A 3 C 3 D 曲边△A 2 C 2 E 3 2
90°π(OC ) 2 90°π(OD) 2 90°π(3√2) 2 90°π(√5) 2 13π
∴S =S =S −S = 3 − = − =
C 3 A 3 A 2 C 2 C 3 DEC 2 扇C 2 OC 3 扇DOE 360° 360° 360° 360° 4
………………（6分）
13π
故线段A C 在旋转过程中扫过的面积为 ．………………（7分）
2 2 4
23.（本小题满分8分）
【解析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
依题意得： ，………………（2分）
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=30．………………（4分）
答：甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；………………（5分）
（2）设甲加工了y天，则乙加工了 天，
依题意得： ，
解得：y≥40．………………（7分）
答：甲至少加工了40天．………………（8分）
24.（本小题满分8分）
【解析】：（1）12÷30%=40人，………………（1分）∴这次学校抽查的学生人数是40人，………………（2分）
故答案为：40；………………（3分）
（2）由（1）得C：合格的人数为40−12−14−4=10人，
补全统计图如下所示：………………（5分）
10
（3）360°× =90°，
40
∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是90°，
故答案为：90；………………（6分）
4
（4）2200× =220人，………………（7分）
40
∴估计该校不合格的人数为220人．………………（8分）
25.（本小题满分10分）
【解析】：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），………………（1分）
∴BE＝DG；………………（2分）
②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB＋∠ABE＝90°，
∴∠AQB＋∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，………………（3分）
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；………………（4分）
（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
AB AE 1
∴ = = ，
AD AG 2
∴△ABE∽△ADG，………………（5分）
BE 1
∴∠ABE＝∠ADG， = ，
DG 2
即：DG＝2 BE，
∵∠AIB＋∠ABE＝90°，
∴∠AIB＋∠ADG＝90°，
∵∠AIB＝∠DIH，
∴∠DIH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；………………（6分）
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
EG与AD的交点记作M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt AEG中，AE＝1，
△∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝√5，………………（7分）
∵AB＝√5，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt ABE中，根据勾股定理得，BE＝√AB2−AE2＝2，………………（8分）
由（2△）知，△ABE∽△ADG，
BE AB 1
∴ = = ，
DG AD 2
2 1
∴ = ，………………（9分）
DG 2
∴DG＝4．………………（10分）
26.（本小题满分10分）
【解析】（1）连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，………………（1分）
又∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BAC=∠OAD，∴∠BAC+∠OAC=90°，………………（2分）
即∠BAO=90°，
，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；………………（3分）
（2）∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，………………（4分）
AC BC
∴ = ，
AD AB
设半径OC=OA=r，
∵BC=2OC，
，OB=3r，
在Rt∆BAO中，
AB=√OB2−OA2=√(3r) 2−r2=2√2r，………………（5分）
AC BC 2r √2
在Rt∆CAD中，tan∠ADB= = = = ；………………（6分）
AD AB 2√2r 2
（3）在（2）的条件下，AB=2√2r=2√6，
∴r=√3，
∴CD=2√3，………………（7分）
在Rt∆CAD中，
AC √2
= ，AC2+AD2=CD2，
AD 2
解得AC=2，AD=2√2，………………（8分）
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，………………（9分）
AC AP
∴ = ，
AE AD
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2√2=4√2．………………（10分）
27.（本小题满分10分）
1
【解析】（1）把点A(−4,0)，C(0,−2)代入抛物线y= x2+mx+n，
2
1
∵抛物线y= x2+mx+n过点A(−4,0)，C(0,−2)，
2{1 ×(−4) 2−4m+n=0 { m= 3
∴ 2 ，解得 2 ，………………（1分）
n=−2 n=−2
∴抛物线的函数解析式为 ，………………（2分）
设直线AC的函数解析式为
∵直线AC过A(−4,0)，C(0,−2)，
{ 1
{−4k+b=0 k=−
∴ ，解得 2，
b=−2
b=−2
1
∴直线AC的函数解析式为y=− x−2．………………（3分）
2
（2）如图，EF与x轴交于点M，
设点E的横坐标为m(−4≤m≤0)，
∵EF⊥x轴，点E在直线AC上，点F在抛物线 上，
∴E ( m,− 1 m−2 ) ，F ( m, 1 m2+ 3 m−2 ) ，
2 2 2
∴EF= ( − 1 m−2 ) − (1 m2+ 3 m−2 ) =− 1 m2−2m，
2 2 2 2
∵A(−4,0)，
∴AO=4，AM+OM=AO=4，
∴S =S +S = 1 EF⋅AM+ 1 EF⋅OM= 1 EF⋅AO= 1( − 1 m2−2m ) ×4=−m2−4m；
△ACF △AEF △CEF 2 2 2 2 2
………………（1分）
3
∵抛物线 的对称轴为x=−
2
( 3 )
∴点D的坐标为 − ,0
2∵A(−4,0)，C(0,−2)，
5
∴AD= ，CO=2
2
1 1 5 5
∴S = AD⋅CO= × ×2= ，………………（6分）
△ACD 2 2 2 2
5 13
∴S =S +S =−m2−4m+ =−(m+2) 2+ ，
四 边 形CDA△FACF △ACD 2 2
13
∴当m=−2时，四边形CDAF的面积有最大值，为 ；………………（7分）
2
（3）∵∠ADP=∠AOC=90°，A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，
AD DP AD DP
∴分两种情况讨论：① = 或② = ，
AO OC CO OA
5
AD DP
①若 = ，则2 DP，
AO OC =
4 2
5
∴DP= ，
4
( 3 5) ( 3 5)
∴点P的坐标为 − , 或 − ,− ；………………（8分）
2 4 2 4
5
AD DP
②若 = ，则2 DP，
CO OA =
2 4
∴DP=5，
( 3 ) ( 3 )
∴点P的坐标为 − ,5 或 − ,−5 ………………（9分）
2 2
( 3 5) ( 3 5) ( 3 ) ( 3 )
综上所述，点P的坐标为 − , 或 − ,− 或 − ,5 或 − ,−5 ．……………（10分）
2 4 2 4 2 2
