2024 年中考第一次模拟考试（黑龙江哈尔滨卷）
数学· 全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. |−2|=±2 B. (−√3) 2=−3
C. (√3) 2=6 D. |−2|=2
【答案】D
【解析】∵|−2|=2所以A错， (−√3) 2=3所以B错，(√3) 2=3所以C错。
故选：D．
2．方方正正的汉字具有东方艺术的独特魅力，如果把既是中心对称又是轴对称的汉字称为最优美汉字，
则下列选项中哪一选项是最优美汉字（ ）
申
A． B．
甲 由
C． D．
【答案】A
【解析】只有A选项的汉字既是中心对称又是轴对称。
故选：A．
3. 据统计，2024年元旦假期期间，哈尔滨冰雪大世界接待游客16.32万人次，收入4618万元人民币其中
4618万元用科学计数法表示为（ ）
A. 4.618×107 B. 0.4618×108 C. 4.618×108 D. 46.18×106
【答案】A
【解析】46180000=4.618×107，
故选：A．4. 按一定规律排列的一列数0,1,1,2,3,5,8,13,21，⋯⋯第15个数是（ ）
A. 264 B. 318 C.420 D. 377
【答案】D
【解析】从第二项开始后一项等于前两项的和0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377。
【答案】D
2 3
5. 方程 = 的解为（ ）
x x+1
A. x=1 B. x=−1 C. D. x=−2
【答案】C
2 3
【解析】 = 方程两边同时乘以 得，2(x+1)=3x
x x+1
解得：
经检验， 是原方程的解，故选：C．
6. 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，
且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A. 5m B. 70m C. 5m或70m D. 10m
【答案】A
【解析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形的面积，
依题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
解得：x =5，x =70（不合题意，舍去），
1 2
∴小路宽为5m．故选A．
7．已知a>−5，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a有( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】D
【解析】解不等式x+1<a，得x<a−1，
解不等式2x−1≥x+2，解得x≥3，
∵关于x的不等式组无解，
∴a－1≤3，解得a≤4，
又a>−5，且a为整数，
∴−5<a≤4且为整数，
∴a的值为－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，共9个．8. 如图，将左图的正方体纸盒切去一角得到右图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是(
)
【答案】C
【解析】根据正方体的展开图的特征可知，
A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，故A选项正确；
B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，故B选项正确；
C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，故C选项不正确；
D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，故D选项正确．
9. 从3名男同学和2名女同学中任选两名同学参加冰雪大世界志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1
名男同学的概率为（ ）
7 1 2 9
A. B. C. D.
10 10 10 10
【答案】D
【解析】列表得：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1）
由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机抽出两名同学，至少有1名男同学的情况有18种，∴至
18 9 9
少有1名男同学的概率是 = ，故答案为： ．
20 10 10
10．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1 cm/s的速
度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】C
【解析】根据题意可知，△ADE的最大面积是6 cm2，此时点D与点C重合，
如图，
在Rt ADE中，∠A＝30°，设DE＝x，则AE＝x，
√3 √3
△
∴S ＝AE·DE＝·x·x＝ x2，∴ x2＝6，解得x＝2(负值舍去)，
ADE 2 2
△
∴DE＝2 cm，
∴AD＝AC＝2DE＝4 cm，
AC √3 4√3 √3
在Rt ABC中，∠A＝30°，∴cos 30°＝ ＝ ，∴ ＝ ，
AB 2 AB 2
△
∴AB＝8(cm)．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
2
11. 在函数y= 中自变量x的取值范围是_________．
√x−8
【答案】x>8
【解析】∵分式中分母不能为0，分母不能小于0.
∴x−8>0，
∴x>8，
故答案为：x>8．
12. 分解因式x2y−2x=____________．
【答案】x(xy−2)
【解析】x2y−2x=x(xy−2)
故答案为：x(xy−2)
13. 在正方体ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上的一点连接DF，若BE=AF，则∠FDA= _______度.
【答案】22.5度
A D
F
B C
E
{BE=AF
【解析】∵在正方体ABCD中， ，∠DAF=∠ABE，
AD=AB
∴∆DAF≅∆ABE，∠BAE=∠FAD.
又∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=22.5°，∠FAD=22.5° .
14. 扇形的半径为3cm，圆心角为60°则弧长是__________．
【答案】πcm
nπr 60×3π
【解析】l= = =π
180 180
答案为：πcm
15. 已知y＞2且满足x＋＝2，y＋＝3，则－xy＝________.
【答案】－2
【解析】∵x＋＝2，∴x＝2－＝，
∵y＋＝3，
∴y＋＝3，解得y＝，
∵y＞2，
∴y＝，
∵x＋＝2，
∴xy＝2y－1＝3＋－1＝2＋，
∴－xy
＝－(2＋)
＝2－－(2＋)
＝－2.
16. 计算(π−2) 0+4cos45°−√8+|−4|= __________．
【答案】5
√2
【解析】原式=1+4× −2√2+4=5 .
2所以答案是5.
k
17. 若A(x ,2)，B(x ,5)在反比例函数y= (k>0)的图像上，则x _______（填
1 2 x 1
“>”、“=”或“<”）x
.
2
【答案】x >x
1 2
k k
【解析】∵y = =2，y = =5，k>0
1 x 2 x
1 2
k k k k
∴
x = = ，x = =
1 y 2 2 y 5
1 2
∴x >x
1 2
{x+2>7−4x
18. 不等式组 15+x 的解集是_________________．
2x<
3
【答案】1<x<3
{ x+2>7−4x ①
【解析】 15+x ，
2x< ②
3
解①得：x>1
解②得：x<3
故该不等式组的解集为：1<x<3
故答案为：1<x<3．
19. 如图，CD为△ABC的中线，点E在DC的延长线上，连接 ，且 ，过点B作BH⊥CD于
点 ，连接AH，若CE=BH，S =18，则DH的长为_____．
△ABH
【答案】3
【解析】如图，过点A作AF⊥EF于点F∵CD为△ABC的中线，BH⊥CD
∴AD=BD，
又∵∠ADF=∠BDH
∴△ADF≌△BDH(AAS)
∴AF=BH，FD=HD
∵在Rt△CAF和Rt△EBH中
{AF=BH
AC=BE
∴Rt△CAF≌Rt△EBH（HL）
，即EC=HF
∵BH=EC， ，HD=DF
∵CD为△ABC的中线，BH⊥CD
1 1
∴S = S = ×18=9
△BHD 2 △ABH 2
1 1
又∵S = HDHB= HD×2HD
△BHD 2 2
∴
解得：DH=3
故答案为：3．
20. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O，半圆O，…，半圆O 与直线l相切．设半圆O，半圆
1 2 n 1
O，…，半圆O 的半径分别是r，r，…，r，则当直线l与x轴所成锐角为α，tan α＝，且r＝1时，
2 n 1 2 n 1
r 的值是________．
2 024
【答案】32 023
【解析】设半圆O，半圆O，半圆O 与直线l分别相切于点A，B，C，
1 2 3连接OA，OB，OC，如图所示，
1 2 3
∴∠OAO ＝∠OBO ＝∠OCO ＝90°，
1 2 3
∵tan α＝，
∴∠AOO ＝α＝30°，
1
在Rt OAO 中，OA＝r＝1＝30，
1 1 1
∴OO ＝2OA＝2r＝2，
△1 1 1
在Rt OBO 中，OO ＝2OB，
2 2 2
∴2＋1＋r＝2r，
△ 2 2
∴r＝3＝31，
2
在Rt OCO 中，OO ＝2OC，
3 3 3
∴2＋1＋3＋3＋r＝2r，
△ 3 3
∴r＝9＝32，
3
…
∴r ＝32 023.
2 024
三、解答题（满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. （本小题满分7分）
x2 1
先化简，再求值：（ +x﹣1）÷ ，其中x满足x2﹣x﹣5＝0．
x−1 1−x
【解析】：原式＝﹣ •（x﹣1） ………………（1分）
＝﹣2x2+2x﹣1 ………………（2分）
＝﹣2（x2﹣x）﹣1， ………………（3分）
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，………………（5分）
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11． ………………（7分）
22. （本小题满分7分）
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,1)，B(1,−2)，C(3,−3)．（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A B C ，请画出△A B C ．
1 1 1 1 1 1
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ．
2 2 2
（3）将△A B C 绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，求线段A C 在旋转过程中扫过的面积
2 2 2 3 3 3 2 2
（结果保留π）．
【解析】（1）如图所示，△A B C 即为所求；………………（2分）
1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求；………………（4分）
2 2 2
（3）将△A B C 着原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，
2 2 2 3 3 3
⏜
设A A 所在圆交OC 3 于点D，交OC 2 于点E，
2 3
∵OA =OA ，OC =OC ，∴C E=C D，
2 3 2 3 2 3
∵∠A OA =90°，∠C OC =90°，∴∠A OD=∠A OE，
3 2 2 3 3 2
⏜ ⏜
∴A D=A E，
3 2
∴S =S ，OC =3√2，OD=OA =√5，………………（5分）
曲边△A 3 C 3 D 曲边△A 2 C 2 E 3 2
90°π(OC ) 2 90°π(OD) 2 90°π(3√2) 2 90°π(√5) 2 13π
∴S =S =S −S = 3 − = − =
C 3 A 3 A 2 C 2 C 3 DEC 2 扇C 2 OC 3 扇DOE 360° 360° 360° 360° 4
………………（6分）
13π
故线段A C 在旋转过程中扫过的面积为 ．………………（7分）
2 2 4
23.（本小题满分8分）
在抗击“新型冠状病毒”期间，某车间接受到一种零件的加工任务，该任务由甲、乙两人来完成，甲每
天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，现两人各加工300个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有1500个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么
甲至少加工了多少天？
【解析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
依题意得： ，………………（2分）
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=30．………………（4分）
答：甲每天加工30个零件，乙每天加工20个零件；………………（5分）
（2）设甲加工了y天，则乙加工了 天，
依题意得： ，
解得：y≥40．………………（7分）
答：甲至少加工了40天．………………（8分）
24.（本小题满分8分）
某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校
团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：
不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________°；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
【解析】：（1）12÷30%=40人，………………（1分）
∴这次学校抽查的学生人数是40人，………………（2分）
故答案为：40；………………（3分）
（2）由（1）得C：合格的人数为40−12−14−4=10人，
补全统计图如下所示：………………（5分）10
（3）360°× =90°，
40
∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是90°，
故答案为：90；………………（6分）
4
（4）2200× =220人，………………（7分）
40
∴估计该校不合格的人数为220人．………………（8分）
25.（本小题满分10分）
如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系
是___；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与
BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝√5，AE＝1，求线段
DG的长.
【解析】：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），………………（1分）
∴BE＝DG；………………（2分）
②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB＋∠ABE＝90°，
∴∠AQB＋∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，………………（3分）
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；………………（4分）
（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
AB AE 1
∴ = = ，
AD AG 2
∴△ABE∽△ADG，………………（5分）
BE 1
∴∠ABE＝∠ADG， = ，
DG 2
即：DG＝2 BE，
∵∠AIB＋∠ABE＝90°，
∴∠AIB＋∠ADG＝90°，
∵∠AIB＝∠DIH，
∴∠DIH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；………………（6分）（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
EG与AD的交点记作M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
△
根据勾股定理得，EG＝√5，………………（7分）
∵AB＝√5，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt ABE中，根据勾股定理得，BE＝√AB2−AE2＝2，………………（8分）
由（2△）知，△ABE∽△ADG，BE AB 1
∴ = = ，
DG AD 2
2 1
∴ = ，………………（9分）
DG 2
∴DG＝4．………………（10分）
26.（本小题满分10分）
如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，
且∠BAC=∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）BC=2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若 ，
求AE⋅AP的值．
【解析】（1）连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，………………（1分）
又∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BAC=∠OAD，
∴∠BAC+∠OAC=90°，………………（2分）
即∠BAO=90°，
，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；………………（3分）
（2）∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，………………（4分）AC BC
∴ = ，
AD AB
设半径OC=OA=r，
∵BC=2OC，
，OB=3r，
在Rt∆BAO中，
AB=√OB2−OA2=√(3r) 2−r2=2√2r，………………（5分）
AC BC 2r √2
在Rt∆CAD中，tan∠ADB= = = = ；………………（6分）
AD AB 2√2r 2
（3）在（2）的条件下，AB=2√2r=2√6，
∴r=√3，
∴CD=2√3，………………（7分）
在Rt∆CAD中，
AC √2
= ，AC2+AD2=CD2，
AD 2
解得AC=2，AD=2√2，………………（8分）
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，………………（9分）
AC AP
∴ = ，
AE AD
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2√2=4√2．………………（10分）
27.（本小题满分10分）
1
如图，抛物线y= x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
2
D，已知A(−4,0)，C(0,−2)．
（1）求抛物线和直线AC的函数解析式；
（2）若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最
大面积；（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P
的坐标．
1
【解析】（1）把点A(−4,0)，C(0,−2)代入抛物线y= x2+mx+n，
2
1
∵抛物线y= x2+mx+n过点A(−4,0)，C(0,−2)，
2
{1 ×(−4) 2−4m+n=0 { m= 3
∴ 2 ，解得 2 ，………………（1分）
n=−2 n=−2
∴抛物线的函数解析式为 ，………………（2分）
设直线AC的函数解析式为
∵直线AC过A(−4,0)，C(0,−2)，
{ 1
{−4k+b=0 k=−
∴ ，解得 2，
b=−2
b=−2
1
∴直线AC的函数解析式为y=− x−2．………………（3分）
2
（2）如图，EF与x轴交于点M，
设点E的横坐标为m(−4≤m≤0)，
∵EF⊥x轴，点E在直线AC上，点F在抛物线 上，
∴E ( m,− 1 m−2 ) ，F ( m, 1 m2+ 3 m−2 ) ，
2 2 2
∴EF= ( − 1 m−2 ) − (1 m2+ 3 m−2 ) =− 1 m2−2m，
2 2 2 2
∵A(−4,0)，
∴AO=4，AM+OM=AO=4，
∴S =S +S = 1 EF⋅AM+ 1 EF⋅OM= 1 EF⋅AO= 1( − 1 m2−2m ) ×4=−m2−4m；
△ACF △AEF △CEF 2 2 2 2 2………………（1分）
3
∵抛物线 的对称轴为x=−
2
( 3 )
∴点D的坐标为 − ,0
2
∵A(−4,0)，C(0,−2)，
5
∴AD= ，CO=2
2
1 1 5 5
∴S = AD⋅CO= × ×2= ，………………（6分）
△ACD 2 2 2 2
5 13
∴S =S +S =−m2−4m+ =−(m+2) 2+ ，
四 边 形CDA△FACF △ACD 2 2
13
∴当m=−2时，四边形CDAF的面积有最大值，为 ；………………（7分）
2
（3）∵∠ADP=∠AOC=90°，A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，
AD DP AD DP
∴分两种情况讨论：① = 或② = ，
AO OC CO OA
5
AD DP
①若 = ，则2 DP，
AO OC =
4 2
5
∴DP= ，
4
( 3 5) ( 3 5)
∴点P的坐标为 − , 或 − ,− ；………………（8分）
2 4 2 4
5
AD DP
②若 = ，则2 DP，
CO OA =
2 4
∴DP=5，
( 3 ) ( 3 )
∴点P的坐标为 − ,5 或 − ,−5 ………………（9分）
2 2
( 3 5) ( 3 5) ( 3 ) ( 3 )
综上所述，点P的坐标为 − , 或 − ,− 或 − ,5 或 − ,−5 ．……………（10分）
2 4 2 4 2 2
