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2024 年中考第二次模拟考试（黑龙江哈尔滨卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴最大的数是 ．
故选：D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，积的乘方，分式的性质，完全平方公式；根据以上知识逐项分析判断，
即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．下列图形既是轴对称图形，又是正方体的平面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的展开图和轴对称的性质等知识点，由正方体的展开图和轴对称的性质的特征
解题即可，熟练掌握几何体的展开图和轴对称的性质是解决此题的关键．
【详解】A、 是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意；
B、是正方体的展开图也是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形但不是正方体的展开图，不符合题意；
D、是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
4．2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成
一片红色的海洋驰聘在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力，图①是此次
全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】
解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：A．
5．如图，反比例函数 （ ，且k为常数）的图象与直线 （ ，且a为常数）交于、B两点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数的对称性可知点 A和点B关于原点对称，据
此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数 （ ，且k为常数）的图象与直线 （ ，且a为常数）交于
、B两点，
∴由反比例函数的对称性可知，点B的坐标为 ，
故选：D．
6．关于x的方程： 的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】B
【分析】方程去分母化为整式方程，求得 ，再根据方程的解是负数，可得 ，且 ，即
可求解．
【详解】解：去分母得， ，
∴ ，
∵方程的解是负数，且 ，
∴ ，且 ，
∴a的取值范围是 且 ．故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据．
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票
房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增
长率为 ，则第二天的票房为 ，第三天的票房为 ，然后根据三天后累计票房收入达达 18
亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为 ，则第二天的票房为 ，第三天的票房为 ，由题可得：
，
故选：D．
8．如图，菱形 的对角线交于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的长为
（ ）
A．12 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解直角三角形求出 是解决本题的关键．
由菱形的性质得出 ，根据余弦求出 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
9．如图， 是 的直径， 切 于点A， 切 于点B，且 ， ，则点O到弦
的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切线长定理结合已知条件得出 为等边三角形，得出 ， ，求出
，过点 作 ，垂足为H，根据垂径定理和 即可求出结
果．
【详解】解：∵ ， 分别与 相切于点A，点C，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，过点 作 ，垂足为H，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，
直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理．
10．如图1，矩形 中，点 为 的中点，动点 从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点
时停止运动，连接 、 ，设 为 ， 为 ，且 关于 的函数图象如图2所示，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函
数图象中找到当 时， ，得出 ，进而得到 ，再利用图象的拐点得出 ，
由图象知 到达 时得最长，由勾股定理即可求出其值．
【详解】解：由图知，当 时， ，即当 在 点时 ，
点 为 的中点，，
，
当 在 上运动时， 慢慢增大， 到 点时，从图中的拐点可知，此时 ，，
当 在 上运动时， 先减小再增大，直到 到达 点时，此时 最长
，
，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．中国空间站未来将单独发射一个光学舱，内设巡天望远镜，其分辨率与哈勃相当，视场角是哈勃的
300多倍．在轨10年，可以对 以上的天区，约17500平方度天区进行观测．将17500用科学记数表示
为 （精确到1000）．
【答案】
【分析】先把百位上的数字进行四舍五入，然后用科学记数法表示即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了近似数和科学记数法：经过四舍五入得到的数为近似数．科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．如果式子 有意义，那么 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元
一次不等式的方法是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列不等式组求解即可得
出答案．
【详解】解：∵ 有意义，∴
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在同一平面内，已知 ，直线 平分 ，过点 作 于点 ，若
，则 ．
【答案】 /55度
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据对顶角，结合同旁内角互补，求出
的度数，根据垂直的定义结合角平分线的定义和对顶角相等，求出 的度数，再用 ，
计算即可．
【详解】解：∵直线 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
14．代数式 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为 ，
再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．【详解】解：
，
故答案为： ．
15．已知不等式组 ，有四个整数解，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求出参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集得到
关于 的不等式组，求解即可．
【详解】解：解 ，得： ，
∵不等式组有四个整数解，
∴ ，
∴不等式组的整数解为 ，
∴ ；
故答案为： ．
16．如图， ， ， ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，先利用勾股定理求出 ，再证明，得到 ，即 ，则 ．
【详解】解：在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3
的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，
将其数字记为b．则a，b能使关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根的概率为
．
【答案】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判
定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
△，
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
的结果有5种，
能使关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根的概率为 ，
故答案为： ．
18．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数．
设 ， ，则 ，记 ， ， ，…，则
．
【答案】2024
【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关
键．根据异分母分式加法法则分别求出 、 、 ⋯ 、 的值，发现结果均为1，依此解答即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∴ ．
故答案为：2024
19．如图，F是矩形ABCD内一点， ，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若 ，则AB的长为 ．
【答案】
【分析】连接EF、EG、EC，由等腰三角形的性质得出EF⊥AB，得出EF是梯形ABGD的中位线，得出
，设BG=x，则CG=6-x， ，证出EF=CG，得出 ，解得
x=3，则BG=3，EG=CG=6，由勾股定理求出BE，即可得出答案．
【详解】解：连接EF、EG、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，
∵AF=BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，
∴EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABGD的中位线，∠EFG=∠CGF，
∴
设BG=x，则CG=6-x， ；
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴EG=CG，∠CGF=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴EF=CG，
∴
解得：x=2，∴BG=2，EG=CG=4，
∴
∴AB=2BE= ；
故答案为：
、
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线定理、轴对称的性质、勾股定理
等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，等边三角形 的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交 ， 边于D，E，再以点
C为圆心， 长为半径作圆交 边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为： ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的
关键．
过A作 于M， 于N，根据等边三角形的性质和解直角三角形求得 ，求得
，根据阴影部分的面积
即可求解．【详解】解：过A作 于M， 于N，
∵等边三角形 的边长为2，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本小题满分7分）先化简，再求值：
，其中 ， .解：
，.............................................................................................................................................................3分
∵ ， ，........................................................................................................................5分
∴原式 ．...........................................................................................................................................7分
22．（本小题满分7分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
(1)在图中画出 关于 轴对称的 ；
(2)将 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的 ；
(3)在 中有一点 ，则经过以上两次变换后点 的对应点 的坐标为______．
（1）解：如图， 即为所求；.............................................................................................................2分
（2）如图， 即为所求；.....................................................................................................................4分（3）点 关于 轴的对称点为 ，再将 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位
长度，得到： ；
故 ；
故答案为： ．..............................................................................................................................7分
23．（本小题满分8分）在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实
践活动．某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取 50户居民，获得了他们 1月份的用电量 （单位：
kW·h），分别将两个小区居民用电量的数据分成 5 组： ， ， ，
， ，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息：
信息一：
信息二：乙小区居民1月份用电量在 这一组的数据是
106 118 120 122 123 125 125 127 128 130 130
131 133 133 133 134 137 140 142 143 149信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下．
甲 小
乙小区
区
平均数/kW· h 120 130
中位数/kW·h 118
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： __________， ___________．
(2)在扇形统计图中，“ ”所在扇形圆心角的度数为__________°．
(3)若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150 kW·h的
总户数．
(4)请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议．
【详解】（1） ．
根据题意可知乙小区第25,26个数在 之间，这两个数是125，125，则 ．
故答案为：16，125；........................................................................................................................................2分
（2）根据题意可知 ，
所以“ ”所在扇形圆心角的度数为 ．
故答案为： ；..............................................................................................................................................4分
（3）甲小区用电量大于 的百分比为 ，乙小区用电量大于 的百分比为 ，所
以这两个小区1月份用电量大于 的总户数为 ；.....................6分
（4）拔掉家中一切不用的电源.（答案不唯一，合理即可）．..................................................................8分
24．（本小题满分8分）某公司准备购进 ， 两种原料生产甲、乙两种产品，已知 千克 原料比 千克
原料少 元，且购进 原料 千克和 原料 千克共需 元，生产 件甲产品和 件乙产品所需 ，
原料数量及每件产品可获得的利润如表：
产品种类 原料 千克 原料 千克 每件产品可获得的利润 元
甲
乙
(1)求 ， 两种原料每千克各多少元？
(2)现该公司购进 原料 千克， 原料 千克，计划生产甲、乙两种产品共 件，请利用函数的性质说明哪种生产方案获得的总利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）
设 种原料每千克是 元， 种原料每千克是 元，依题意有：...............................................................1分
，解得 ．.....................................................................................................................3分
故A种原料每千克是 元， 种原料每千克是 元；..............................................................................4分
（2）
设生产甲产品 件，则生产乙产品 件，依题意有：......................................................................5分
，
解得 ，..............................................................................................................................................7分
设利润是 元，
则利润为： ，
，
时，即生产甲产品 件，生产乙产品 件时，获得的总利润最大，最大利润是 元．8分
25．（本小题满分10分）如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，
点 为 中点，连接 、 ．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的度数．
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形；............................................................................................1分
理由如下： 四边形 是矩形，
， ， ，
平分 ， ， ，...............................................2分
， ，，
，
又 ，
是等腰直角三角形；............................................................................................................................4分
（2） 四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
， ，
，...........................................................................................................................6分
，
，
在 和 中，
，
，...................................................................................................................................8分
， ，
，
又 ，
．..............................................................................................................................................10分
26．（本小题满分10分）如图， ， 是 的两条直径，且 ，点E是 上一动点（不与
点B，D重合），连接 并延长交 的延长线于点F，点P在 上，且 ，连接 ，
分别交 ， 于点M，N，连接 ，设 的半径为r．(1)求证： 是 的切线；
(2)当 时，求证： ；
(3)在点E的移动过程中，判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，..........................................................................................................................................1分
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；........................................................................................................................................3分
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，......................................................................................................................................5分
则 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ；..................................................................................................................................................6分
（3） 是定值， ，理由如下：
连接 ，
∵ ，且 、 是 的直径，
∴ ，
则 ， ，..........................................7分
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，............................................................................................................................................8分
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
即： ．................................................................................................................................10分
27．（本小题满分10分）在平面直角坐标系，抛物线 与x轴分别交于A，B两点（A在B左
侧），与y轴交于点 ，已知顶点M的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标；
(2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且 ，当 取最小值时，
求点P的坐标；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴于F， 的外接圆与 相交于点
E．问：线段 的长是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
【详解】（1） 抛物线与y轴交于点 ，已知顶点M的坐标为（1，4）．
设抛物线解析式为 ，...........................................................................................................1分
将 代入，得： ，
解得： ，...................................................................................................................................................2分
，
令 ，得 ，解得： ，
，
该抛物线解析式为 ， ．.............................................................................3分
（2）如图1，将点 沿 轴向下平移1个单位得 ，连接 交抛物线对称轴 于点 ，
过点 作 ，交对称轴于点 ，连接 ，、 关于直线 对称，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
此时， 、 、 三点共线， 的值最小，.................................................................................4分
由于 ，即此时 的值最小，
设直线 的函数关系式为 ，将 两点坐标代入得：
，解得： ，
直线 的函数关系式为 ，.....................................................................................................5分
二次函数对称轴为 ，点 在对称轴上，
，
，
；........................................................................................................................................................6分
（3）线段 的长为定值1．
如图2，连接 ，设 ，且 ，
轴，
，
，
， ，......................................................................................................7分
四边形 是圆内接四边形，
，
，
，
，
，..................................................................................................................................................9分
，
，
，
线段 的长为定值1．...............................................................................................................................10分
