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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）
第 I 卷 选择题（共 40 分）
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1， 集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
2，在等比数列 中， ，公比 .若 ，则
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合
体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图
所示，则该几何体的俯视图为
正（主）视 侧（左）视
图 图
（ A （ B
）
）
（ C （ D
） ）
4，8名学
生和 2 位
老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为
（A） （B） （C） （D）
5，极坐标方程 表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
6， 为非零向量，“ ”是“函数 为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7，设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数 的图象上存在区域
D上的点，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第1页 | 共10页8，如图，正方体 的棱长为
2，动点E，F在棱 上，动点P，Q分别在
B
A
棱 上 ， 若 1 1
（ 大 于
D Q C
P
零），则四面体 的体积
（A） 与 都有关 B
A
（B） 与 有关，与 无关
（C）与 有关，与 无关
（D） 与 有关，与 无关
第 II 卷 （共 110 分）
二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______
10 ， 在 中 ， 若 ， 则
11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可
知 .若要从身高在
三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活
动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为
________.
12，如图， 的弦 的延长线交于点A，若
，则
13，已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐
近线方程为_______.
14，如图放置的边长为 1的正方形 沿x轴滚动，设
顶点 的轨迹方程是 ，则函数 的最小
正周期为_____； 在其两个相邻零点间的图象与 x
轴所围区域的面积为_______.
说明：“正方形 沿x轴滚动”包括沿 轴正方向和
沿 轴负方向滚动.沿 轴正方向滚动指的是先以顶点A为
中心顺时针旋转，当顶点 落在 轴上时，再以顶点B为
第2页 | 共10页中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 沿x轴负方向滚动.
三、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程。
15，（本小题共13分）
已知函数
（I） 求 的值；
（II） 求 的最大值和最小值.
16，（本小题共14分）
如图，正方形 和四边形 所在的平面互相垂直， ， ∥ ，
(1) 求证： ∥平面 ；
(2) 求证： 平面 ；
(3) 求二面角 的大小.
第3页 | 共10页17，（本小题共13分）
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 ，第二、第
三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，
记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
0 1 2 3
P a b
(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2) 求 的值；
(3) 求数学期望 .
18，（本小题共13分）
已知函数 .
(1) 当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 求 的单调区间.
第4页 | 共10页19，（本小题共14分）
在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动点，且直线
与 的斜率之积等于 .
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 设直线 和 分别与直线 交于点 ，问：是否存在点 使得 与
的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20，（本小题共13分）
已知集合 .对于，定义 与 的差
为：
Aa,a ,...,a ,Bb,b ,...,b S
1 2 n 1 2 n n
A与B之间的距离为 .
(1) 证明： ，有 ，且 ；
(2) 证明： ， 三个数中至少有一个是偶数；
设 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间距离的平均值为 .证明：
第5页 | 共10页参考答案
一， 选择题
B C． C． A．C．B．A．D．
二、填空题
9，（-1，1）.
2 7
10 ， 1。
11 ， 1 0.030， 3
12，5，
13， ，
14， 4，
三、解答题
15（I）
（2）
因为 所以当 时， 取最大值6；当 时，取最小值
。
16
证明：（I）设 AC 与 BD 交于点 G，因为 EF∥AG，且
EF=1，AG= AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以
AF∥EG。因为EG P平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥
平面BDE。
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以
C 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz。则 C（0， 0，
0），A（ ， ，0），D（ ，0， 0），E（0，
第6页 | 共10页0， 1），F（ ， ，1）。所以 =（ ， ，1）， =（0，－ ，１），
＝（－ ，0，１）。所以 · = 0-1+1=0， · =－１＋０＋１＝０。所以
CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知， =（ ， ，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的
法向量 =（x,y,z）,则 · =0， · =0。
即
所以x=0，且z= y。令y=1，则z= 。所以n=（ ），从而cos（ ， ）=
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为 。
17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ ”是对立的，所以该
生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
（II）由题意可知，
整理得pq= 。
（III）由题意知，
第7页 | 共10页18解：（I）当 时，
由于 所以曲线 处的切线方程为
。即
（II） 当 时，
因此在区间 上， ；在区间 上， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，得 ;
因此，在区间 和 上， ；在区间 上， ；
即函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， . 的递增区间为
；
当 时，由
，得
因此，在区间 和 上， ，在区间 上， ；
即函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。
第8页 | 共10页设P点坐标为 ，则 ，由题意得 ，
化简得： 。即P点轨迹为：
（2）因 ，可得 ，
又 ，
若 ，则有 ， 即
设 P 点坐标为 ，则有： 解得： ，又因 ，解得
。
故存在点P使得 与 的面积相等，此时P点坐标为 或
20,解：（1）设
因 ，故 ，
即
又
当 时，有 ；
当 时，有
故
（2）设
记
记 ，由第一问可知：
第9页 | 共10页即 中1的个数为k， 中1的个数为l，
设t是使 成立的i的个数，则有 ，
三个数中至少有一个是偶数。
由此可知， 不可能全为奇数，即
（3）显然P中会产生 个距离，也就是说 ，其中
表示P中每两个元素距离的总和。
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了 个1， 那么自然有 个
0，因此在这个位置上所产生的距离总和为 ，
那么n个位置的总和
即
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