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2015年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不得分）
1．（4分）单项式2a的系数是（ ）
A．2 B．2a C．1 D．a
2．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解九（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查台州《600全民新闻》栏目的收视率
4．（4分）若反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．（4分）若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（4分）把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣8） B．2（x﹣2）2
C．2（x+2）（x﹣2） D．2x（x﹣ ）
7．（4分）设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐
标可能是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4）
8．（4分）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（
）
A．8cm B．5 cm C．5.5cm D．1cm
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作
第1页（共19页）EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形
AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
10．（4分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”
乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命
题的是（ ）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）不等式2x﹣4≥0的解集是 ．
12．（5分）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现
把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率
是 ．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB
的距离是 ．
14．（5分）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立
直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位
置．
则椒江区B处的坐标是 ．
第2页（共19页）15．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论： 当m＝0时，方程只有一个实
数解； 当m≠0时，方程有两个不等的实数解； 无论m①取何值，方程都有一个负数解，
其中正②确的是 （填序号）． ③
16．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形
EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括
正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24
题14，共80分）
17．（8分）计算：6÷（﹣3）+|﹣1|﹣20150．
18．（8分）先简化，再求值： ﹣ ，其中a＝ ﹣1．
19．（8分）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的
距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点
A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．（8分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x
（min）之间的关系如图2所示．
（1）根据图2填表：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） …
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
第3页（共19页）（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
21．（10分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的
课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方
图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
22．（12分）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数⊙；
（2）求证：∠1＝∠2．
第4页（共19页）23．（12分）如图，在多边形ABCDE中，∠A＝∠AED＝∠D＝90°，AB＝5，AE＝2，ED＝3，过
点E作EF∥CB交AB于点F，FB＝1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折
线BCD于点Q，设AP＝x，PO•OQ＝y．
（1） 延长BC交ED于点M，则MD＝ ，DC＝ ；
求y①关于x的函数解析式；
②（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
24．（14分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边
的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞
DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D
是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和
△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探
究S△AMF ，S△BEN 和S四边形MNHG 的数量关系，并说明理由．
第5页（共19页）第6页（共19页）2015年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不得分）
1．【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【解答】解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．
故选：A．
【点评】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
2．【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选：D．
【点评】主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．
3．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解九（1）班学生校服的尺码情况，适合普查，故B符合题意；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查；
D、调查台州《600全民新闻》栏目的收视率调查范围广，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即
可作出判断．
【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝ （k≠0），（1）k＞0，反比例函
数图象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
第7页（共19页）5．【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：∵这组数据的众数为6，
∴x＝6，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，
中位数为：5．
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将
一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
6．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因
式是解题关键．
7．【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x＝3，点M在直线l上则点M的横
坐标一定为3，从而选出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x＝3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k的
顶点坐标为（h，k），对称轴是x＝h．
8．【分析】根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
【解答】解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为： ＝
≈7.8，故折痕长不可能为8cm．
故选：A．
【点评】考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
9．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，
第8页（共19页）得出AF＝FO＝OE＝AE和OH＝CH＝GC＝GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四
边形CGOH是菱形，再解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，
∵AE＝AF，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
∵AE＝AF，
∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，
解得：AE＝5.5，
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH
是菱形．
10．【分析】分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】先移项，再把x的系数化为1即可．
【解答】解：移项得，2x≥4，
x的系数化为1得，x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题
第9页（共19页）的关键．
12．【分析】由有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，
直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，
4，
∴从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
13．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DC即可得解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵DC＝3，
∴DE＝3，
即点D到AB的距离DE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题
的关键．
14．【分析】根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC的长，
根据勾股定理，BC的长．
【解答】解：如图： 连接AB，作BC⊥x轴于C点，
第10页（共19页）由题意，得AB＝16，∠ABC＝30°，
AC＝8，BC＝8 ．
OC＝OA+AC＝10，
B（10，8 ）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用
了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．
15．【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解， 正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，△＝①1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝
（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解， 错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx②﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根， 正确；
故答案为： ． ③
【点评】本题①主③要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌
握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
16．【分析】当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形的
边长相等就可解决问题．
【解答】解：当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形
的边长相等，
AE的最小值为 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六
边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小．
三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24
题14，共80分）
17．【分析】原式第一项利用除法法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利
用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣1
＝﹣2．
第11页（共19页）【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先对题目中的式子化简，再将a的值代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
当a＝ 时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
19．【分析】作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB＝OA﹣OB求得即可．
【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，
作A′B⊥AO于B，
∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6，
∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．
答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
【解答】解：（1）填表如下：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） 5 70 5 54 5 …
第12页（共19页）（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
21．【分析】（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减
去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分比，
再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）数据总数为：21÷21%＝100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4＝25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m＝40÷100×100＝40；
“E”组对应的圆心角度数为：360°× ＝14.4°；
（3）3000×（25%+ ）＝870（人）．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
【点评】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能
力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．也考查了利用样本估计总体．
第13页（共19页）22．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC＝DC得到∠CBD＝∠CDB＝39°，再根据圆周
角定理得∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，所以∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝
78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC＝BC得∠CEB＝∠CBE，再利用三角形外角性质得
∠CEB＝∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，加上∠BAE＝∠CBD，所以∠1＝∠2．
【解答】（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
23．【分析】（1） 根据两组对边平行得到四边形OFBQ，四边形EMBF是平行四边形，求出
EM＝BF＝1，①得到DM＝2，通过△DMC∽△AEF，列比例式求得CD＝1； 根据
△EPO∽△EAF，列比例式即可求得y关于x的函数解析式； ②
（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，y随x的增大而减小，于是得到4﹣2× ＝9a，4﹣
2a＝6b，解得结果即可．
（3） 当0≤x≤1时，1≤4﹣2x≤3，得到 ≤x≤1， 当1≤x≤2时，y＝﹣4x2﹣10x﹣4的
① ②
对称轴为x＝ ，ymax＝ ，当x＝1时，y＝2满足要求，当y＝1，x＝ ，而5+ ＜
2，得到1≤x≤ ，于是得到结论．
【解答】解：（1） ∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四边形OFBQ是平①行四边形，
第14页（共19页）∴OQ＝BF＝1，
∵∠A＝∠AED＝90°，
∴DE∥AB，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EM＝BF＝1，
∵DE＝3，
∴DM＝2，
∵∠D＝∠A＝90°，∠DMC＝∠B＝∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴ ，
∵AF＝AB﹣BF＝4，
∴ ，
∴CD＝1；
故答案为：2，1；
∵AP＝x，EP＝2﹣x，
②在RT△AEF中，tan∠AEF＝ ＝ ＝2，
∴PO＝PE•tan∠AEF＝2×（2﹣x）＝﹣2x+4．
当0＜x≤1时，
∵OQ＝FB＝1，
∴y＝PO•OQ＝（﹣2x+4）×1＝﹣2x+4；
当1＜x≤2时，
∵PQ＝3，∴OQ＝3﹣OP，
∵PO•OQ＝y，
∴y＝PO（3﹣PO）＝（﹣2x+4）（3+2x﹣4）＝﹣4x2+10x﹣4，
∴y＝ ；
第15页（共19页）（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，
∵y＝﹣2x+4，
∴y随x的增大而减小，
∴4﹣2× ＝9a，4﹣2a＝6b，
解得：a＝ ，b＝ ；
（3）图象如图所示，
当0＜x≤1时，1≤4﹣2x≤3，
①
∴ ≤x≤ ，
∴ ≤x≤1，
当1＜x≤2时，y＝﹣4x2+10x﹣4的对称轴为x＝ ，y ＝ ，
max
②
当y＝1，x＝ ，而 ＜2，
∴1≤x≤ ，
综上所述：当1≤y≤3时，x的取值范围为 ≤x≤ ．
第16页（共19页）【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解不等式组，求
一次函数的解析式，根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键．
24．【分析】（1） 当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN； 当BN为最大线段时，由勾
股定理求出B①N即可； ②
（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，求出
EC2＝BD2+DE2，得出NG2＝FM2+MN2，即可得出结论；
（3）在AB上截取CE＝CA；作AE点垂直平分线，截取CF＝CA；作BF的垂直平分线，交
AB于D即可；
（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG＝EN＝b，MG＝c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出
比例式，得出c2＝2ab﹣ac+bc，证出c2＝a2+b2，得出a＝b，证出△DGH≌△CAF，得出
S△DGH ＝S△CAF ，证出S△DMN ＝S△ACM +S△ENB ，即可得出结论．
【解答】（1）解： 当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段A①B的勾股分割点，
∴BN＝ ＝ ＝ ；
当BN为最大线段时，
②∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
综上所述：BN＝ 或 ；
（2）证明：∵FG是△ABC的中位线，
第17页（共19页）∴FG∥BC，
∴ ＝ ＝ ＝1，
∴点M、N分别是AD、AE的中点，
∴BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，
∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
∴EC2＝BD2+DE2，
∴（2NG）2＝（2FM）2+（2MN）2，
∴NG2＝FM2+MN2，
∴点M、N是线段FG的勾股分割点；
（3）解：作法： 在AB上截取CE＝CA；
作AE的垂直平①分线，并截取CF＝CA；
②连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
③点D即为所求；如图所示：
（4）解：S四边形MNHG ＝S△AMF +S△BEN ，理由如下：
设AM＝a，BN＝b，MN＝c，
∵H是DN的中点，
∴DH＝HN＝ c，
∵△MND、△BNE均为等边三角形，
∴∠D＝∠DNE＝60°，
在△DGH和△NEH中，
，
∴△DGH≌△NEH（ASA），
∴DG＝EN＝b，
∴MG＝c﹣b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴ ，
∴c2＝2ab﹣ac+bc，
第18页（共19页）∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴c2＝a2+b2，
∴（a﹣b）2＝（b﹣a）c，
又∵b﹣a≠c，
∴a＝b，
在△DGH和△CAF中，
，
∴△DGH≌△CAF（ASA），
∴S△DGH ＝S△CAF ，
∵c2＝a2+b2，
∴ c2＝ a2+ b2，
∴S△DMN ＝S△ACM +S△ENB ，
∵S△DMN ＝S△DGH +S四边形MNHG ，S△ACM ＝S△CAF +S△AMF ，
∴S四边形MNHG ＝S△AMF +S△BEN ．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线
定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形
和四边形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要两次证明三角
形全等和三角形相似才能得出结论．
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日期：2020/2/19 9:43:22；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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