文档内容
2015 年甘肃省庆阳市中考数学试卷
一、选择题（本题包括12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合
题意）
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）（2015•庆阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•庆阳）2015羊年春晚在某网站取得了同时在线人数超14 000 000
的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则14 000 000用科学记数法可表
示为（ ）
A．0.14×108 B．1.4×107 C．1.4×108 D．14×106
4．（3分）（2015•庆阳）下列说法属于不可能事件的是（ ）
A．四边形的内角和为360° B．梯形的对角线不相等
C．内错角相等 D．存在实数x满足x2+1=0
5．（3分）（2015•庆阳）某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它
的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）（2015•庆阳）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，则a
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
7．（3分）（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则
∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
8．（3分）（2015•庆阳）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说
的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•庆阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，
0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
10．（3分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S ：
△DOE
S =（ ）
△DCE
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3
11．（3分）（2015•庆阳）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函
数y=bx+c和反比例函数y= 在同一坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．
12．（3分）（2015•庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的
1 1
等边三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1
关于点B 成中心对称，如此作下去，则△B A B （n是正整数）的顶点A 的
2 2n 2n+1 2n+1 2n+1
坐标是（ ）
A．（4n﹣1， ）B．（2n﹣1， ）
C．（4n+1， ）D．（2n+1， ）
二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2015•庆阳）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）（2015•庆阳） 的平方根是 ．
15．（3分）（2015•庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC
绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 （结果保留π）．16．（3分）（2015•庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是
．
17．（3分）（2015•庆阳）有六张完全相同的卡片，其正面分别标有数字：﹣2， ，
π，0， ，3. ，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数
字为无理数的概率是 ．
18．（3分）（2015•庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y=x上运动，当线段
AB最短时，点B的坐标为 ．
19．（3分）（2015•庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命
题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
20．（3分）（2015•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无
弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．
（结果保留π）
三、解答题（本题包括9小题，共90分）
21．（8分）（2015•庆阳）计算：（ ﹣2）0+（ ）﹣1+4cos30°﹣| ﹣ |22．（8分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）；
（2）求证：BD平分∠CBA．
23．（8分）（2015•庆阳）已知关于x的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0有两个相
等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
24．（10分）（2015•庆阳）现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日
渐减退，某市为了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生
统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折
线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．
解答下列问题：
（1）图中D所在扇形的圆心角度数为 54 ° ；（2）若2015年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约
有多少名？
（3）根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？
25．（10分）（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF
交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．
（1）当AB=2时，求△GEC的面积；
（2）求证：AE=EF．
26．（10分）（2015•庆阳）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为
355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划
用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的
一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
27．（12分）（2015•庆阳）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，
max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．
（1）max{ ，3}= 3 ；
（2）已知y = 和y =k x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k x+b}=
1 2 2 2
，结合图象，直接写出x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．28．（12分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于
点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6， = 时，求DE的长．
29．（12分）（2015•庆阳）如图，在平面直角坐标系中．顶点为（﹣4，﹣1）的抛物线
交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么
位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积．
（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和
抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．2015 年甘肃省庆阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合
题意）
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
考点： 相反数．.
分析： 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答： 解：﹣ 的相反数是 ，
故选C
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．
2．（3分）（2015•庆阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．.
分析： 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分
完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答： 解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．
点评： 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2015•庆阳）2015羊年春晚在某网站取得了同时在线人数超14 000 000
的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则14 000 000用科学记数法可表
示为（ ）
A．0.14×108 B．1.4×107 C．1.4×108 D．14×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定
n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：14000000=1.4×107，
故选B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2015•庆阳）下列说法属于不可能事件的是（ ）
A．四边形的内角和为360° B．梯形的对角线不相等
C．内错角相等 D．存在实数x满足x2+1=0
考点： 随机事件．.
分析： 不可能事件就是一定不会发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答： 解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是随机事件，故选项错误；
D、不可能事件，故选项正确；
故选D．点评： 考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事
件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条
件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生
也可能不发生的事件．
5．（3分）（2015•庆阳）某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它
的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 由三视图判断几何体．.
专题： 数形结合．
分析： 先由俯视图可得最底层有3个小正方体，然后根据主视图得到第二列由
两层，于是可判断上面第二列至少有1个小正方体，从而得到几何体所需要最少
小正方体的个数．
解答： 解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得上面一层至少有
1个小正方体，所以至少需要4个这样的小正方体．
故选B．
点评： 本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应
分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然
后综合起来考虑整体形状．
6．（3分）（2015•庆阳）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，则a
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；关于原点对称的点
的坐标．.
分析： 首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号
（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，﹣ +1＞0，然后解出a的范围即可．
解答： 解：∵P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，
∴P点在第二象限，
∴a+1＜0，﹣ +1＞0，
解得：m＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ．
故选：C．
点评： 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标
符号，关键是判断出P点所在象限．
7．（3分）（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则
∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．.
分析： 根据非负数的性质得出cosA= ，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可
求得∠C的度数．
解答： 解：由题意得，cosA= ，tanB=1，
则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选D．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
8．（3分）（2015•庆阳）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说
的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．.
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机
抽取2本都是小说的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：设三本小说分别为红、红、红、两本散文分别为白、白，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，从中随机抽取2本都是6种情况，
∴从中随机抽取2本都是小说的概率= ，
故选A．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）（2015•庆阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，
0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
考点： 二次函数图象与系数的关系．.
分析： 根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线
开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断
根据抛物线的对称性是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线
与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．
解答： 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的
图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣ ；抛物线与y轴的
交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物
线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．10．（3分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S ：
△DOE
S =（ ）
△DCE
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．.
分析： 先根据题意判断出DE是△ABC的中位线，故可得出△ODE∽△OCB，由此
可得出 = ，进而可得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，
∴DE是△ABC的中位线，
∴△ODE∽△OCB，
∴ = ，
∴ = ，
∵△DOE与△DCE等高，
∴S ：S =OD：CD=1：3．
△DOE △DCE
故选B．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意得出DE是△ABC的
中位线是解答此题的关键．
11．（3分）（2015•庆阳）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函
数y=bx+c和反比例函数y= 在同一坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．.
分析： 根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次
函数和反比例函数的性质即可做出判断．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线经过原点，所以c=0．
∵b＜0，c=0，
∴直线y=bx+c经过二、四象限和坐标原点．
∵b＜0，
∴反比例函数的图象，位于二、四象限．
故选：A．
点评： 本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关
性质是解题的关键．
12．（3分）（2015•庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的
1 1
等边三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1
关于点B 成中心对称，如此作下去，则△B A B （n是正整数）的顶点A 的
2 2n 2n+1 2n+1 2n+1
坐标是（ ）A．（4n﹣1， ）B．（2n﹣1， ）
C．（4n+1， ）D．（2n+1， ）
考点： 坐标与图形变化-旋转．.
专题： 规律型．
分析： 首先根据△OA B 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为（1， ），B
1 1 1 1
的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A 、A 、A 的坐标各是多
2 3 4
少；最后总结出A 的坐标的规律，求出A 的坐标是多少即可．
n 2n+1
解答： 解：∵△OA B 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ，
∴点A 的坐标是（3，﹣ ），
2
∵△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣ ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ，
∴点A 的坐标是（7，﹣ ），
4
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴A 的横坐标是2n﹣1，A 的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
n 2n+1
∵当n为奇数时，A 的纵坐标是 ，当n为偶数时，A 的纵坐标是﹣ ，
n n∴顶点A 的纵坐标是 ，
2n+1
∴△B A B （n是正整数）的顶点A 的坐标是（4n+1， ）．
2n 2n+1 2n+1 2n+1
故选：C．
点评： 此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的
关键是分别判断出A 的横坐标、纵坐标各是多少．
n
二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2015•庆阳）函数y= 的自变量x的取值范围是 x ≤ 且 x≠0 ．
考点： 函数自变量的取值范围．.
专题： 计算题．
分析： 根据分母不为零和被开方数不小于零得到x≠0且1﹣2x≥0，然后求出两不
等式的公共解即可．
解答： 解：根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，
所以x≤ 且x≠0．
故答案为
点评： 本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变
量的表达式都有意义，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不
为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于
零．
14．（3分）（2015•庆阳） 的平方根是 ± 2 ．
考点： 平方根；算术平方根．.
分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x
就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答： 解： 的平方根是±2．
故答案为：±2点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反
数；0的平方根是0；负数没有平方根．
15．（3分）（2015•庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC
绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 8 π （ 结果保留π）．
考点： 圆锥的计算；点、线、面、体．.
分析： 首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解．
解答： 解：过点C作CD⊥AB于点D，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= AC=4，
∴CD=2，
以CD为半径的圆的周长是：4π．
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2× ×4π×2 =8 π．
故答案为：8 π．
点评： 此题主要考查了圆锥的有关计算，正确确定旋转后的图形得出以CD为
半径的圆的弧长是解题的关键．
16．（3分）（2015•庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是
2 ．考点： 立方根；合并同类项；解二元一次方程组．.
专题： 计算题．
分析： 根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m﹣3n的立方根．
解答： 解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴ ，
解方程得： ．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解体的关键是根据定义求
出对应m、n的值．
17．（3分）（2015•庆阳）有六张完全相同的卡片，其正面分别标有数字：﹣2， ，
π，0， ，3. ，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数
字为无理数的概率是 ．
考点： 概率公式；无理数．.
专题： 计算题．
分析： 判断六张卡片中无理数的个数，即可得到结果．
解答： 解：在﹣2， ，π，0， ，3. 中，无理数有 ，π共2个，
则从中随机抽取一张卡片，则其正面的数字为无理数的概率是 = ．
故答案为：
点评： 此题考查了概率公式，以及无理数，熟练掌握无理数的定义是解本题的
关键．18．（3分）（2015•庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y=x上运动，当线段
AB最短时，点B的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．.
分析： 过A作AD⊥直线y=x，过D作DE⊥x轴于E，即当B点和D点重合时，线段
AB的长最短，求出∠DOA=∠OAD=∠EDO=∠EDA=45°，OA=2，求出OE=DE=1，求出D
的坐标即可．
解答： 解：过A作AD⊥直线y=x，过D作DE⊥x轴于E，
则∠DOA=∠OAD=∠EDO=∠EDA=45°，
∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
∴OE=DE=1，
∴D的坐标为（﹣1，﹣1），
即动点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
点评： 本题考查了等腰直角三角形，垂线段最短，坐标与图形性质的应用，解此
题的关键求出符合条件的点的位置．
19．（3分）（2015•庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命
题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是 ①②④ ．（填写所有真命题的序号）
考点： 命题与定理；平行线的判定与性质．.
专题： 推理填空题．
分析： 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排
除法得出答案．
解答： 解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．
故答案为：①②④．
点评： 本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫
做假命题，难度适中．
20．（3分）（2015•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无
弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
考点： 平面展开-最短路径问题．.
分析： 根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且
AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
解答： 解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，
∴展开后AB=2πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC= = cm．
故答案为： ．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图
形是解此题的关键，用了数形结合思想．
三、解答题（本题包括9小题，共90分）
21．（8分）（2015•庆阳）计算：（ ﹣2）0+（ ）﹣1+4cos30°﹣| ﹣ |
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第
三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算
即可得到结果．
解答： 解：原式=1+3+4× ﹣2
=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）；
（2）求证：BD平分∠CBA．考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．.
分析：（1）分别以A、B两点为圆心，以大于 AB长度为半径画弧，在AB两边分
别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．
解答： 解：（1）如图1所示：
（2）连接BD，如图2所示：
∵∠C=60°，∠A=40°，
∴∠CBA=80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠A=∠DBA=40°，
∴∠DBA= ∠CBA，
∴BD平分∠CBA．
点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解
题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．23．（8分）（2015•庆阳）已知关于x的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0有两个相
等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
考点： 根的判别式．.
分析： （1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；
（2）利用直接开平方法解方程．
解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程 mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=m2﹣4× m×（m﹣1）=0，且m≠0，
解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，
即（x+1）2=0，
解得x =x =﹣1．
1 2
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．
24．（10分）（2015•庆阳）现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日
渐减退，某市为了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生
统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折
线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．解答下列问题：
（1）图中D所在扇形的圆心角度数为 54 ° ；
（2）若2015年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约
有多少名？
（3）根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？
考点： 折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.
专题： 计算题．
分析： （1）根据扇形统计图中的数据求出D占的百分比，乘以360即可得到结
果；
（2）根据样本中视力在4.9以下的人数占的百分比，乘以30000即可得到结果；
（3）由扇形统计图中影响视力的因素，提出合理化建议即可．
解答： 解：（1）根据题意得：360°×（1﹣40%﹣25%﹣20%）=54°；
故答案为：54°；
（2）根据题意得：30000× =16000（名），
则估计视力在4.9以下的学生约有16000名；
（3）建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力．
点评： 此题考查了折线统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中统
计图中的数据是解本题的关键．
25．（10分）（2015•庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF
交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．
（1）当AB=2时，求△GEC的面积；
（2）求证：AE=EF．考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.
分析：（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC= 即可求得
S ；
△GEC
（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定
△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；
解答： 解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，
∴BE=EC=1，
∵AE⊥EF，
∴△ABE∽△ECG，
∴AB：EC=BE：GC，
即：2：1=1：GC，
解得：GC= ，
∴S = •EC•CG= ×1× = ；
△GEC
（2）证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；
点评： 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键
是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．
26．（10分）（2015•庆阳）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为
355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划
用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的
一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.
分析： （1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得到
方程组；即可解得结果；
（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
解答： 解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；
（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，
根据题意得： ，解得： ≤m≤35，
∴m=34或m=35，
∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．
点评： 本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量
关系是解题的关键．
27．（12分）（2015•庆阳）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，
max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．
（1）max{ ，3}= 3 ；
（2）已知y = 和y =k x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k x+b}=
1 2 2 2
，结合图象，直接写出x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题： 新定义．
分析： （1）根据3＞ 和已知求出即可；
（2）根据题意得出 ≥k x+b，结合图象求出即可；
2
（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．
解答： 解：（1）max{ ，3}=3．
故答案为：3；
（2）∵max{ ，k x+b}= ，
2∴ ≥k x+b，
2
∴从图象可知：x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥2；
（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，
当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解
此题的关键．
28．（12分）（2015•庆阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于
点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6， = 时，求DE的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．.
分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等
腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性
质证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案．
解答： （1）证明：连接AD、OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵ = ，
∴ = ，
∵OD∥AB，
∴ = = ，又EF=6，
∴DE=9．
点评： 本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂
直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
29．（12分）（2015•庆阳）如图，在平面直角坐标系中．顶点为（﹣4，﹣1）的抛物线
交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么
位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积．
（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和
抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．考点： 二次函数综合题．.
分析： （1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由题意可知当P点移动到抛物线的顶点是△PBC的面积最大，根据四边形
ABPC的面积的最大值为：S +S 求得即可；
△ABC △PBC
（3）已知∠ABD是直角，若连接圆心和切点（暂定为E），不难看出Rt△OAB、
Rt△EBC相似，可据此求出⊙C的半径，再将该半径与点C到对称轴l的距离进行
比较即可．
解答： 解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+4）2﹣1，
把点A（0，3）代入得：3=16a﹣1，
解得a= ，
所以此抛物线的解析式为y= （x+4）2﹣1；
（2）令y=0，则0= （x+4）2﹣1；
解得x =﹣2，x =﹣6，
1 2
∴B（﹣2，0），C（﹣6，0），
∴BC=4，
∵S =S +S ，S = BC•OA= ×4×3=6，
四边形ABPC △ABC △PBC △ABC
∴要使四边形ABPC的面积最大，则△PBC的面积最大，
∴当P点移动到抛物线的顶点是△PBC的面积最大，
∴四边形ABPC的面积的最大值为：S +S =6+ ×4×1=6+2=8；
△ABC △PBC
（3）如图，设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=∠AOB=90°．∵A（0，3）、B（﹣2，0）、C（﹣6，0），
∴OA=3，OB=2，OC=6，BC=4；
∴AB= = ，
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴△OAB∽△EBC，
∴ = ，即 =
∴EC= ．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵抛物线的对称轴x=﹣4，
∴CF=2≠ ，
∴不存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆．
点评： 此题是二次函数的综合题，主要考查的是利用待定系数法确定函数解析
式、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知
识点．
