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2015 年西藏中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50 000
000 000千克，将50 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×1011 B．5×1010 C．5×109 D．50×109
3．（3分）如图是由5个大小相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是（
）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．x2•x3=x6 C．（a3）2=a6 D．（ab）3=ab3
5．（3分）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷
2张，臧文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷
的概率是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共24页）6．（3分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）2015年4月25日尼泊尔发生了里氏8.1级强烈地震，地震波及我区某
县．我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部
加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程y与行进时间x的函数关系的
大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则
线段OA的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）2015年5月拉萨市某酒店入住人数是1500人，随着旅游旺季的到来，
该酒店7月预计入住人数为2160人，求该酒店6月、7月预计入住人数的月平
均增长率．设预计月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．1500（1+x）2=2160 B．2160（1+x）2=1500
C．1500（1﹣x）2=2160 D．2160（1﹣x）2=1500
第2页（共24页）10．（3分）已知⊙O 与⊙O 相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm，则圆心距
1 2
O O 可能是（ ）
1 2
A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．如果a＞b，那么ac＞bc
C．一组数据4，2，3，5，7的中位数是3
D．有一个角是直角的菱形是正方形
12．（3分）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方
形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的
边时的点为P ，第二次碰到正方形的边时的点为P …第n次碰到正方形的边时
1 2
的点为P ，则P 的坐标是（ ）
n 2015
A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x= ．
14．（3分）如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2= °．
15．（3分）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．
登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，用函数解析
式表示y与x的关系为 ．
16．（3分）已知﹣2am﹣2b4与3abn+2是同类项，则（n﹣m）m= ．
第3页（共24页）17．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底
面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=90°，则该圆锥的母线l长为 cm．
18．（3分）规定sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则sin15°= ．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．（5分）计算： ．
20．（5分）解分式方程： + =2．
21．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，且
AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
22．（6分）某校为了解学生孝敬父母的情况，在全校范围内随机抽取了若干名学
生进行调查，调查的内容包括：A．帮父母做家务；B．给父母买礼物；C．陪父母
聊天、散步；D．其他．调查结果如图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）该校共调查了 名学生；
（2）请把条形统计图补充完整；
第4页（共24页）（3）若该校有2000名学生，估计该校全体学生中选择C选项的有多少人？
23．（6分）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C
的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角
为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF
的高度（结果保留根号）．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，过点B作
直线BE∥DC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AB=5，AC=3，求BD的长．
25．（10分）如图，抛物线y= x2+nx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛
物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是直角三角形？如果存在，请直
接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，
当点M移动到什么位置时，四边形CDBN的面积最大？求出四边形CDBN的
最大面积及此时M点的坐标．
第5页（共24页）第6页（共24页）2015 年西藏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|=2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50 000
000 000千克，将50 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×1011 B．5×1010 C．5×109 D．50×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将50 000 000 000用科学记数法表示为5×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图是由5个大小相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是（
）
第7页（共24页）A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】主视图是从正面观察得到的图形．
【解答】解：所给图形的主视图是
．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意掌握主视图、俯视图、左视图的观
察方向．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．x2•x3=x6 C．（a3）2=a6 D．（ab）3=ab3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则进行
逐一计算即可．
【解答】A、不是合并同类项不能合并；故错误；
B、x2•x3=x5，故错误；
C、（a3）2=a6，故正确；
D、（ab）3=a3b3，故错误；
第8页（共24页）故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握性质和法则
是解题的关键．
5．（3分）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷
2张，臧文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，臧文试卷3张，英语试卷1张，
可得一共有6种等可能的结果，又由语文试卷2张，根据概率公式即可求得答
案．
【解答】解：∵卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，臧文试卷3张，英语试卷1
张，
∴一共有2+3+1=6种等可能的结果，
∵恰好是语文试卷的有2种情况，
∴恰好是语文试卷的概率是 = ．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．明确概率=所求情况数与总情况数之比是解
题的关键．
6．（3分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．
第9页（共24页）【解答】解：A．当长方形如A所示对折时，其重叠部分两角的和中，一个顶点处小
于90°，另一顶点处大于90°，故A错误；
B．当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故B错误；
C．当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平
分线，故C错误；
D．当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平
分线，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质
是解答此题的关键．
7．（3分）2015年4月25日尼泊尔发生了里氏8.1级强烈地震，地震波及我区某
县．我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部
加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程y与行进时间x的函数关系的
大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】我解放军某部行驶状态是：匀速行进﹣中途停下﹣加快速度、匀速行进；
路程的增加量：平缓增加﹣不增加﹣快速增加，图象由三条线段组成，即：平缓
平，陡．
【解答】解：依题意，行驶速度为：匀速行进﹣中途停下，速度为0，加快速度、匀速
行进；时间与路程的函数图象应为三条线段组成，即：平缓，平，陡．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象．应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际
第10页（共24页）情况采用排除法求解．
8．（3分）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则
线段OA的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】由垂径定理得出AB= BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理求出OA即可．
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴AB= BC=12，∠OAB=90°，
由勾股定理得：OA= = =5；
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出
OA是解题的关键．
9．（3分）2015年5月拉萨市某酒店入住人数是1500人，随着旅游旺季的到来，
该酒店7月预计入住人数为2160人，求该酒店6月、7月预计入住人数的月平
均增长率．设预计月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．1500（1+x）2=2160 B．2160（1+x）2=1500
C．1500（1﹣x）2=2160 D．2160（1﹣x）2=1500
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
第11页（共24页）【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据题意可
得1500（1+x）2=2160．
【解答】解：设预计月平均增长率为x，由题意得：
1500（1+x）2=2160．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变
化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两
次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．（3分）已知⊙O 与⊙O 相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm，则圆心距
1 2
O O 可能是（ ）
1 2
A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R
﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：两圆半径差为1，半径和为5，
两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，
所以，1＜O O ＜5．符合条件的数只有B．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆相交的位置关系，由数量关系及两圆位置关系确定圆
心距范围内的数的方法．
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．如果a＞b，那么ac＞bc
C．一组数据4，2，3，5，7的中位数是3
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定，即可解答．
【解答】解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和，故错误；
B、如果a＞b，那么ac＞bc，没有明确a的正负，故错误；
C、一组数据4，2，3，5，7的中位数是4，故错误；
第12页（共24页）D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定，解决本题的
关键是水机外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定．
12．（3分）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方
形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的
边时的点为P ，第二次碰到正方形的边时的点为P …第n次碰到正方形的边时
1 2
的点为P ，则P 的坐标是（ ）
n 2015
A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）
【考点】D2：规律型：点的坐标．
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【分析】根据所给出的图形，得出小球第一次碰到正方形的边时的点为P 的坐标，
1
小球第二次碰到正方形的边时的点为P 的坐标，找出规律，得出第三次、第四
2
的坐标，从而得出规律，每四次一个循环，即可得出答案．
【解答】解：∵小球第一次碰到正方形的边时的点为P 的坐标是（5，3），
1
小球第二次碰到正方形的边时的点为P 的坐标是（3，5），
2
小球第三次碰到正方形的边时的点为P 的坐标是（0，2），
3
小球第四次碰到正方形的边时的点为P 的坐标是（2，0），
4
∴每四次一个循环，则2015÷4=503…3，
∴P 的坐标是（0，2）；
2015
故选：C．
【点评】此题考查了点的坐标，关键是根据所给出的图形，找出小球碰到正方形边
的规律，得出每四次一个循环．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x= x （ x﹣3 ） 2 ．
第13页（共24页）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
=x（x2﹣6x+9），
=x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于
需要进行二次分解因式．
14．（3分）如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2= 12 5 °．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质求出∠2的度
数即可．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣55°=125°．
故答案为：125．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
15．（3分）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．
登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，用函数解析
式表示y与x的关系为 y=5﹣6 x ．
【考点】FG：根据实际问题列一次函数关系式．
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第14页（共24页）【分析】登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在地的气温为y℃，根据登山
队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的
关系式．
【解答】解：根据题意得：y=5﹣6x．
故答案为：y=5﹣6x．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处
的气温=地面的气温﹣降低的气温．
16．（3分）已知﹣2am﹣2b4与3abn+2是同类项，则（n﹣m）m= ﹣ 1 ．
【考点】34：同类项．
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【分析】根据同类项定义可得m﹣2=1，n+2=4，计算出m、n的值，再代入求出（n﹣
m）m的值即可．
【解答】解：由题意得：m﹣2=1，n+2=4，
解得：m=3，n=2，
（n﹣m）m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了同类项，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数
也相同，这样的项叫做同类项．
17．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底
面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=90°，则该圆锥的母线l长为 8 cm．
【考点】MP：圆锥的计算．
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【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长
计算公式求得扇形的半径，也就是圆锥的母线l．
【解答】解：扇形的弧长=2×2π=4πcm，
=4π
解得：l=8cm．
第15页（共24页）故答案为：8．
【点评】此题考查了圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理
来分析、判断、推理或解答．
18．（3分）规定sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则sin15°= ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】令α=45°，β=30°，然后代入即可得出答案．
【解答】解：令α=45°，β=30°，
则sin15°= × ﹣ ×
= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，题目比较新颖，解答本题的关键是正确的
给α和β赋值，注意掌握赋值法的应用．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．（5分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】先化简二次根式、计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值，然后计算加减
法．
【解答】解：原式=2 ﹣1﹣3﹣ ，
= ﹣4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值
等考点的运算．
20．（5分）解分式方程： + =2．
【考点】B3：解分式方程．
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第16页（共24页）【分析】方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，解得整式方程的根，
再代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3），得：
x+3+（2x﹣1）（x﹣3）=2（x+3）（x﹣3），
整理得：﹣6x=﹣24，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
因此，原方程的解为：x=4．
【点评】本题考查了分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，通过去分母把分
式方程化成整式方程是解决问题的关键，注意检验．
21．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，且
AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】由AB∥CD，AO=CO，利用ASA，可判定△AOB≌△COD，则可证得AB=CD，
然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行
四边形．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意证得
第17页（共24页）△AOB≌△COD是关键．
22．（6分）某校为了解学生孝敬父母的情况，在全校范围内随机抽取了若干名学
生进行调查，调查的内容包括：A．帮父母做家务；B．给父母买礼物；C．陪父母
聊天、散步；D．其他．调查结果如图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）该校共调查了 24 0 名学生；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，估计该校全体学生中选择C选项的有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）用D类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先计算出B类人数，然后补全条形统计图；
（3）用样本中C类人数所占的百分比表示全校选择C类的百分比，然后用2000乘
以这个百分比可估计出该校全体学生中选择C选项的人数．
【解答】解：（1）该校调查的学生总数=48÷20%=240（人）；
故答案为240；
（2）B类人数=240×25%=60（人），
如图，
第18页（共24页）（3）2000× =800（人）．
所以估计该校全体学生中选择C选项的有800人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的
多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．（2）特点：从
条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体．
23．（6分）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C
的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角
为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF
的高度（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后
在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BA=BC=10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=sin60°= ，
∴ = ，
解得：CD=5 ，
∴CF=CD+DF=CD+AE=5 +1．
答：建筑物CF的高度为（5 +1）m．
第19页（共24页）【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角形的外角、特殊角
的三角函数值、等腰三角形的性质，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解
直角三角形．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，过点B作
直线BE∥DC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AB=5，AC=3，求BD的长．
【考点】MD：切线的判定．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由CD与AB垂直，得到∠ADC为直角，再由BE与DC平行，得到∠ABE
为直角，再由B在圆O上，即可得证；
（2）由AB为直径，得到三角形ACB为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，由
CD与AB垂直，得到一个角为直角，利用两个角相等的三角形相似得到三角形
ABC与CBD相似，由相似得比例求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵BE∥DC，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵点B在圆O上，
∴BE是圆O的切线；
（2）解：如图，连接BC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=4，
第20页（共24页）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ = ，即 = ，
解得：BD= ．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定
方法是解本题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y= x2+nx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛
物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是直角三角形？如果存在，请直
接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，
当点M移动到什么位置时，四边形CDBN的面积最大？求出四边形CDBN的
最大面积及此时M点的坐标．
第21页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）将点A代入抛物线解析式，可得n的值，继而可得抛物线的表达式；
（2）因为 P 在抛物线对称轴上，则可分两种情况讨论，①∠CPD=90°，
②∠PCD=90°，分别求出点P坐标即可；
（3）先确定直线BC解析式，设出点M坐标，继而得出点N坐标表示出MN的长度，
再由S =S +S +S ，结合二次函数的最值，即可确定点M的坐标
四边形CDBN △CDB △BMN △CMN
及最大面积．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入y= x2+nx﹣2得，n=﹣ ，
即抛物线的表达式为：y= x2﹣ x﹣2．
（2）存在．
∵y= x2﹣ x﹣2，
∴抛物线对称轴为：x= ，
①当∠CPD=90°时，很显然点P坐标为（ ，﹣2）；
②当∠PCD=90°时，如图①所示：
第22页（共24页）CD= = ，
∵cos∠CDP= =cos∠DCO= = ，
∴PD= ，
则点P坐标为（ ，﹣ ）．
综上可得：存在点P，使△PCD是直角三角形，点P坐标为（ ，﹣2）或（ ，﹣ ）．
（3）过线段BC上一点M作MN⊥x轴，垂足为F，与抛物线交于点N，过点C作
CE⊥MN，垂足为E，如图②所示：
由二次函数解析式可得点B（4，0），点C（0，﹣2），
设BC解析式为y=kx+b，
则 ，
第23页（共24页）解得： ，
则直线BC解析式为y= x﹣2，
设点M的坐标为（m， m﹣2），则点N的坐标为（m， m2﹣ m﹣2），
MN=（ m﹣2）﹣（ m2﹣ m﹣2）=﹣ m2+2m，
∴S =S +S +S
四边形CDBN △CDB △BMN △CMN
= BD×OC+ MN×BF+ MN×CE
= （4﹣ ）×2+ MN（BF+CE）
= + （﹣ m2+2m）×4
=﹣m2+4m+
=﹣（m﹣2）2+ ，
当m=2时，S 有最大值，最大值为 ，此时点M的坐标为（2，﹣1）．
四边形CDBN
【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、二次
函数的最值、三角形的面积，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想
的运用，难度较大．
第24页（共24页）
