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2016年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确
的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．（3分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．a+2a＝3a B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a5 D．a6÷a3＝a2
3．（3分）2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空
气质量生态补偿资金408万元，408万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．408×104 B．4.08×104 C．4.08×105 D．4.08×106
4．（3分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长
为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为
（ ）
第1页（共22页）A．65° B．60° C．55° D．45°
7．（3分）化简 ﹣ 等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．（3分）某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计它们
假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数
所在的范围是（ ）
A．4﹣6小时 B．6﹣8小时 C．8﹣10小时 D．不能确定
9．（3分）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，
Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距
变换的是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
10．（3分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝3x﹣1 C．y＝ D．y＝x2
11．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，
股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，
股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”
（ ）
第2页（共22页）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
12．（3分）在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点
与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）
于点M，N，设∠AEM＝ （0°＜ ＜90°），给出下列四个结论：
AM＝CN； α α
①∠AME＝∠BNE；
②BN﹣AM＝2；
③
S△EMN ＝ ．
④
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．（4分）化简 的结果是 ．
14．（4分）正六边形的每个外角是 度．
15．（4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x ，x ，则x 2+x 2＝ ．
1 2 1 2
16．（4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心
O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l ，l ，过点
1 2
（1，0）作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂线
1 1 1 2 2 2
交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的坐标为
1 3 3 2 4 2017
第3页（共22页）．
三、解答题：本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
18．（6分）解不等式组： ．
19．（8分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两
人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，86，82，85，83
乙：88，79，90，81，72．
回答下列问题：
（1）甲成绩的平均数是 ，乙成绩的平均数是 ；
（2）经计算知S甲 2＝6，S乙 2＝42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；
（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成
绩都大于80分的概率．
20．（8分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗
新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地
面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角
为45.5°
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？
（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，
cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）
第4页（共22页）21．（10分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工
作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销
情况如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x 150 200 250 300
（元/双）
销售量y 40 30 24 20
（双）
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
22．（10分）如图， O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交 O于点E，交BC于点D，过点
E作直线l∥BC⊙． ⊙
（1）判断直线l与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平⊙分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；
（3）在（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
23．（10分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边
形．
第5页（共22页）（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点
四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点
E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的
猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形
EFGH的形状．（不必证明）
24．（12分）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝
x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐
标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交
抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为 个单位长度，设点P的横坐标为t，
△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
第6页（共22页）2016 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确
的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算
方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a+2a＝3a，
∴选项A不符合题意；
∵（a2）3＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a2•a3＝a5，
∴选项C不符合题意；
∵a6÷a3＝a3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的
乘方的运算方法，要熟练掌握．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于408万有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：408万用科学记数法表示正确的是4.08×106．
故选：D．
第7页（共22页）【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．【分析】利用俯视图可淘汰C、D选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰B，从而判断A选
项正确．
【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正
前方，于是可判定A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据
主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整
体形状．由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、
宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．
5．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断相应事
件的类型解答．
【解答】解：为了审核书稿中的错别字，应选择全面调查，A错误；
为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，B错误；
“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，C正确；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝
∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
第8页（共22页）【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平
分线的性质是解题关键．
7．【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ + ＝ + ＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．【分析】100个数据的中间的两个数为第50个数和第51个数，利用统计图得到第50个数
和第51个数都落在第三组，于是根据中位数的定义可对各选项进行判断．
【解答】解：100个数据，中间的两个数为第50个数和第51个数，
而第50个数和第51个数都落在第三组，
所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为6﹣8（小时）．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数
据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
9．【分析】根据平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质进行判断即可．
【解答】解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新
图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；
旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；
轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；
位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，
故选：D．
【点评】本题考查的是平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换，理解“等距变换”的定义、
掌握平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质是解题的关键．
10．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性，由此即可得
出结论．
【解答】解：A、在y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0，
∴y的值随x的值增大而减小；
B、在y＝3x﹣1中，k＝3＞0，
∴y的值随x的值增大而增大；
C、在y＝ 中，k＝1＞0，
第9页（共22页）∴y的值随x的值增大而减小；
D、二次函数y＝x2，
当x＜0时，y的值随x的值增大而减小；
当x＞0时，y的值随x的值增大而增大．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质，解题的关
键是根据函数的性质考虑其单调性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟
悉各类函数的性质及其图象是解题的关键．
11．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为 ＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝ ＝3（步），即直径为6步，
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆
半径r＝ ．
12．【分析】 作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM＝FN，
所以BM①与CN的长度相等．
由 Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；
②经①过简单的计算得到BN﹣AM＝BC﹣CN﹣AM＝BC﹣BM﹣AM＝BC﹣（BM+AM）＝
③BC﹣AB＝4﹣2＝2，
方法一：用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．方法二：先判断出△EMN是等腰
④直角三角形，再用面积公式即可．
【解答】解： 如图，
①
在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，
第10页（共22页）作EF⊥BC于点F，则有AB＝AE＝EF＝FC，
∵∠AEM+∠DEN＝90°，∠FEN+∠DEN＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM＝FN，
∴MB＝CN．
∵AM不一定等于CN，
∴ 错误，
①由 有Rt△AME≌Rt△FNE，
②∴∠A①ME＝∠BNE，
∴ 正确，
②由 得，BM＝CN，
③∵AD①＝2AB＝4，
∴BC＝4，AB＝2
∴BN﹣AM＝BC﹣CN﹣AM＝BC﹣BM﹣AM＝BC﹣（BM+AM）＝BC﹣AB＝4﹣2＝2，
∴ 正确，
③方法一：如图，
④
由 得，CN＝CF﹣FN＝2﹣AM，AE＝ AD＝2，AM＝FN
①
∵tan ＝ ，
α
∴AM＝AEtan
α
第11页（共22页）∵cos ＝ ＝ ，
α
∴cos2 ＝ ，
α
∴ ＝1+ ＝1+（ ）2＝1+tan2 ，
α
∴ ＝2（1+tan2 ）
α
∴S△EMN ＝S四边形ABNE ﹣S△AME ﹣S△MBN
＝ （AE+BN）×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM
＝ （AE+BC﹣CN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣CN）×CN
＝ （AE+BC﹣CF+FN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣2+AM）（2﹣AM）
＝AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ （2+AM）（2﹣AM）
＝AE+AM﹣ AE×AM+ AM2
＝AE+AEtan ﹣ AE2tan + AE2tan2
α α α
＝2+2tan ﹣2tan +2tan2
＝2（1+tαan2 ） α α
α
＝ ．
方法二，∵E是AD的中点，
∴AE＝ AD＝2，
在Rt△AEM，cos ＝ ，
α
∴EM＝ ＝ ，
由（1）知，Rt△AME≌Rt△FNE，
第12页（共22页）∴EM＝EN，∠AEM＝∠FEN，
∵∠AEF＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∴△MEN是等腰直角三角形，
∴S△MEN ＝ EM2＝ ．
∴ 正确．
故④选：C．
【点评】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形
面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN ．
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．【分析】先把分子分母都乘以 ，然后约分即可．
【解答】解：原式＝
＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．
14．【分析】正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，据此即可求解．
【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，理解外角和是360度，且每个外角都相等是关
键．
15．【分析】根据根与系数的关系得出“x +x ＝﹣ ＝ ，x •x ＝ ＝﹣ ”，再利用完全平
1 2 1 2
方公式将x 2+x 2转化成 ﹣2x •x ，代入数据即可得出结论．
1 2 1 2
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣ ＝ ，x •x ＝ ＝﹣ ，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝ ﹣2x •x ＝ ﹣2×（﹣ ）＝ ．
1 2 1 2
故答案为： ．
第13页（共22页）【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x +x ＝ ，
1 2
x •x ＝﹣ ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出
1 2
两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积
的代数式是关键．
16．【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC＝MC＝ ，继而
求出∠AOC＝60°、AB＝2AC＝ ，然后根据S弓形ABM ＝S扇形OAB ﹣S△AOB 、S阴影 ＝S半圆 ﹣2S
计算可得答案．
弓形ABM
【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝ ，
在RT△AOC中，∵OA＝1，OC＝ ，
∴cos∠AOC＝ ＝ ，AC＝ ＝
∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝ ，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，
则S弓形ABM ＝S扇形OAB ﹣S△AOB
＝ ﹣ × ×
＝ ﹣ ，
S阴影 ＝S半圆 ﹣2S弓形ABM
＝ ×12﹣2（ ﹣ ）
π
＝ ﹣ ．
第14页（共22页）故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面
积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
17．【分析】写出部分A 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A （（﹣2）n，2（﹣2）n）
n 2n+1
（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察，发现规律：A（1，2），A（﹣2，2），A（﹣2，﹣4），A（4，﹣4），A（4，
1 2 3 4 5
8），…，
∴A （（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．
2n+1
∵2017＝1008×2+1，
∴A 的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）＝（21008，21009）．
2017
故答案为：（21008，21009）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键
是找出变化规律“A （（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，
2n+1
解决该题型题目时，写出部分A 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
n
三、解答题：本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x+2≥3（x﹣1），得：x≥﹣ ，
解不等式1﹣ ＞x﹣2，得：x＜ ，
故不等式组的解集为：﹣ ≤x＜ ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）根据平均数的定义可列式计算；
（2）由平均数所表示的平均水平及方差所衡量的成绩稳定性判断可知；
（3）列表表示出所有等可能的结果，找到能使该事件发生的结果数，根据概率公式计算可
得．
【解答】解：（1） ＝ ＝83（分），
第15页（共22页）＝ ＝82（分）；
（2）选拔甲参加比赛更合适，理由如下：
∵ ＞ ，且S甲 2＜S乙 2，
∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定，
故选拔甲参加比赛更合适．
（3）列表如下：
79 86 82 85 83
88 88，79 88，86 88，82 88，85 88，83
79 79，79 79，86 79，82 79，85 79，83
90 90，79 90，86 90，82 90，85 90，83
81 81，79 81，86 81，82 81，85 81，83
72 72，79 72，86 72，82 72，85 72，83
由表格可知，所有等可能结果共有25种，其中两个人的成绩都大于80分有12种，
∴抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为 ．
故答案为：（1）83，82．
【点评】本题主要考查平均数、方差即列表或画树状图求概率，根据题意列出所有等可能
结果及由表格确定使事件发生的结果数是解题的关键．
20．【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR＝AR•cos∠ARL求出答案即可；
（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出 BL＝LR•tan∠BRL，再利用 AL＝
ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，
由cos∠ARL＝ ，得LR＝AR•cos∠ARL＝6×cos42.4°≈4.44（km）．
答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；
（2）在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，
由tan∠BRL＝ ，得BL＝LR•tan∠BRL＝4.44×tan45.5°≈4.44×1.02＝4.5288（km），
第16页（共22页）又∵sin∠ARL＝ ，得AL＝ARsin∠ARL＝6×sin42.4°≈4.02（km），
∴AB＝BL﹣AL＝4.5288﹣4.02＝0.5088≈0.51（km）．
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
21．【分析】（1）由表中数据得出xy＝6000，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
【解答】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝ ，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为y＝ ；
（2）由题意得：（x﹣120）y＝3000，
把y＝ 代入得：（x﹣120）• ＝3000，
解得：x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点评】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式
和列出方程是解决问题的关键．
22．【分析】（1）连接OE．由题意可证明 ，于是得到∠BOE＝∠COE，由等腰三角形三
线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与 O相切；
（2）先由角平分线的定义可知∠ABF＝∠CBF，然后再证明∠CBE＝∠BA⊙F，于是可得到
∠EBF＝∠EFB，最后依据等角对等边证明BE＝EF即可；
（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于
是可得到AF的长．
第17页（共22页）【解答】解：（1）直线l与 O相切．
理由：如图1所示：连接OE⊙．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
∴ ．
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与 O相切．
（2）∵BF⊙平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF＝∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB＝∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF＝∠EFB．
∴BE＝EF．
（3）由（2）得BE＝EF＝DE+DF＝7．
∵∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴ ，即 ，解得；AE＝ ．
∴AF＝AE﹣EF＝ ﹣7＝ ．
【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角
形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF＝∠EFB是解题的关键．
23．【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即
可．
第18页（共22页）（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝
∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝ BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝ AC，FG＝ BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
第19页（共22页）∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性
质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常
用辅助线，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
从而得到结论；
（3）先求出QF＝1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
【解答】解（1）∵x2+4x+3＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m＝﹣1，n＝﹣3，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴ ，
第20页（共22页）∴ ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴C（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB＝OC＝3，
∴BE＝DE＝1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
第21页（共22页）∵PQ＝ ，
∴QF＝1，
当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，
PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S＝ PM×QF＝ （﹣t2﹣3t）＝﹣ t2+ t，
如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，
PM＝t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），
∴S＝ PM×QF＝ （t2﹣3t）＝ t2﹣ t
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解
析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD是直角三角形．
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