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2018年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．（4分）3的相反数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的
平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是（ ）
A．1.496×107 B．14.96×108 C．0.1496×108 D．1.496×108
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（﹣a2）3＝a6
C．a7÷a5＝a2 D．﹣2mn﹣mn＝﹣mn
5．（4分）已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．（4分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠ 与∠ 互余的是（ ）
α β
A．图 B．图 C．图 D．图
7．（4分）①如图，函数y＝ax2﹣2x+②1和y＝ax﹣a（a是常数③，且a≠0）在同一平面④直角坐标系的
图象可能是（ ）
A． B．
第1页（共22页）C． D．
8．（4分）分式方程 ﹣1＝ 的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．无解
9．（4分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面
积为（ ）
A． 2 B． C． m2 D．2 m2
π π
10．（4分）给出下列函数： y＝﹣3x+2； y＝ ； y＝2x2； y＝3x，上述函数中符合条
① ② ③ ④
件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分①）③我国南宋数学家杨辉③所④著的《详解九章算术②》④一书中，用如图的三②角③形解释二项式
（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
12．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O
第2页（共22页）旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论： OD＝
①
OE； S△ODE ＝S△BDE ； 四边形ODBE的面积始终等于 ； △BDE周长的最小值
② ③ ④
为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）计算：|﹣2+3|＝ ．
14．（4分）若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x +x +x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
15．（4分）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距
离为 ．
16．（4分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在
格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
第3页（共22页）17．（4分）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝ ，例如4◆3，因为4＞
3．所以4◆3＝ ＝5．若x，y满足方程组 ，则x◆y＝ ．
18．（4分）如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为
（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P
的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8 分）先化简，再求值 ÷ ﹣（ +1），其中 x 是不等式组
的整数解．
20．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏曲），
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计
图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？
第4页（共22页）（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
21．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角 为53°，从A
α
点测得D点的俯角 为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，
β
tan37°≈ ，sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．
22．（12分）如图，AB是 O的直径，直线CD与 O相切于点C，且与AB的延长线交于点
E，点C是 的中点．⊙ ⊙
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD＝30°， O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣ 爬回至点
B，求蚂蚁爬过的路程⊙（ ≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数）．
π
23．（12分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型
高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销
售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：
台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的
年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
第5页（共22页）24．（12分）再读教材：
宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的
美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下
面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图 的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图 ，把这个正方形折①成两个相等的矩形，再把纸片展平．
②
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图 中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥③ND，则图 中就会出现黄金矩形．
④
问题解决：
（1）图 中AB＝ （保留根号）；
（2）如③图 ，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写③出图 中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
实际操作 ④
（4）结合图 ，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出
来，并写出④它的长和宽．
25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两
点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直
线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时
P点的坐标；
第6页（共22页）（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与
△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共22页）2018 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：C．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出
结论．
【解答】解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D
既不是轴对称图形又不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是
解题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底
数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同
类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行计算即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故原题计算错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故原题计算错误；
C、a7÷a5＝a2，故原题计算正确；
D、﹣2mn﹣mn＝﹣3mn，故原题计算错误；
故选：C．
第8页（共22页）【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法
则．
5．【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得6+2+8+x+7＝6×5，
解得：x＝7，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，
则中位数为7．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组
数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组
数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6．【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析
判断即可得解．
【解答】解：图 ，∠ +∠ ＝180°﹣90°＝90°，互余；
图 ，根据同角①的余角α相等，β ∠ ＝∠ ；
图②，根据等角的补角相等∠ ＝α∠ ；β
图③，∠ +∠ ＝180°，互补．α β
故④选：A．α β
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
7．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判
断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图
象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口
向上，对称轴x＝﹣ ＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口
向上，对称轴x＝﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口
第9页（共22页）向上，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a
在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点
坐标等．
8．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
9．【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形
面积公式求出即可．
【解答】解：
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝ m，
∴阴影部分的面积是 ＝ （m2），
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关
键．
10．【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解： y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
①
第10页（共22页）y＝ ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
②
y＝2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项正确；
③y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项正确；
④故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握
相关性质是解题关键．
11．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4＝3+1；
（a+b）5的第四项系数为10＝6+4；
（a+b）6的第四项系数为20＝10+10；
（a+b）7的第四项系数为35＝15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35＝56．
故选：B．
【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的
规律解决问题的能力．
12．【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再
证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对 进
①
行判断；利用S△BOD ＝S△COE 得到四边形ODBE的面积＝ S△ABC ＝ ，则可对 进行
③
判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE ＝ OE2，利用S△ODE 随OE的变化
而变化和四边形ODBE的面积为定值可对 进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝
4+DE＝4+ OE，根据垂线段最短，当OE⊥②BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出
此时OE的长则可对 进行判断．
【解答】解：连接O④B、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°
第11页（共22页）∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中
，
∴△BOD≌△COE，
∴BD＝CE，OD＝OE，所以 正确；
∴S△BOD ＝S△COE ， ①
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC ＝ S△ABC ＝ × ×42＝ ，所以 正确；
③
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝ OE，HE＝ OH＝ OE，
∴DE＝ OE，
∴S△ODE ＝ • OE• OE＝ OE2，
即S△ODE 随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE ≠S△BDE ；所以 错误；
∵BD＝CE， ②
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+ OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ ，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以 正确．
故选：C． ④
第12页（共22页）【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角
形的判定与性质．
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．【分析】根据有理数的加法解答即可．
【解答】解：|﹣2+3|＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据法则计算．
14．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x +x ＝﹣1，x x ＝﹣2
1 2 1 2
∴x +x +x x ＝﹣3
1 2 1 2
故答案为：﹣3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基
础题型．
15．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的
两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．
【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM＝CF，
∵OC＝5，OM＝4，
∴CM＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
第13页（共22页）【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．
16．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得
出结论．
【解答】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则sin∠BAC＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果
两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的
关键．
17．【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知： ，
解得：
∵x＜y，
∴原式＝5×12＝60
故答案为：60
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法
以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
18．【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为
对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点
第14页（共22页）的坐标．
【解答】解：由题意得 ，解得 或 ，
∵反比例函数y＝ 与一次函数y＝x﹣2在第三象限交于点A，
∴A（﹣1，﹣3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，
设P点坐标为（x，y），
则 ＝﹣2， ＝﹣1.5，
解得x＝﹣4，y＝﹣3，
∴P（﹣4，﹣3）．
当OB为对角线时，
由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣ ，0），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得 ＝﹣ ， ＝0，解得x＝﹣2，y＝3，
∴P（﹣2，3）；
当以OA为对角线时，
由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣ ，﹣ ），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得 ＝﹣ ， ＝﹣ ，解得x＝2，y＝﹣3，
∴P（2，﹣3）（舍去）．
综上所述，P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐
标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第15页（共22页）19．【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求
出值．
【解答】解：原式＝ • ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x＝4，
则原式＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50人；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10人，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500× ＝540人；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
第16页（共22页）所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，在Rt△ABC中，求出AB，在Rt△ADE
中求出AE即可解决问题；
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，
在Rt△ABC中，tan53°＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝80（m），
在Rt△ADE中，tan37°＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝45（m），
∴BE＝CD＝AB﹣AE＝35（m），
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造
出直角三角形是解答此题的关键．
22．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质
证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE＝60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
第17页（共22页）【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线CD与 O相切，
∴OC⊥CD，⊙
∵点C是 的中点，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝∠CAD＝30°，
由圆周角定理得，∠COE＝60°，
∴OE＝2OC＝6，EC＝ OC＝3 ， ＝ ＝ ，
π
∴蚂蚁爬过的路程＝3+3 + ≈11.3．
π
【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧
长公式是解题的关键．
23．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关
系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣
10x+1000）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之
取其小于70的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
第18页（共22页），解得： ，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣
10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x ＝50，x ＝80．
1 2
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键
是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一
元二次方程．
24．【分析】（1）理由勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的判定方法即可判断；
（3）根据黄金矩形的定义即可判断；
（4）如图 ﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边
形BGHE④为所求是黄金矩形；
【解答】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝ ，
故答案为 ．
（2）结论：四边形BADQ是菱形．
理由：如图 中，
③
∵四边形ACBF是矩形，
第19页（共22页）∴BQ∥AD，
∵AB∥DQ，
∴四边形ABQD是平行四边形，
由翻折可知：AB＝AD，
∴四边形ABQD是菱形．
（3）如图 中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．
④
∵AD＝ ．AN＝AC＝1，
CD＝AD﹣AC＝ ﹣1，
∵BC＝2，
∴ ＝ ，
∴矩形BCDE是黄金矩形．
∵ ＝ ＝ ，
∴矩形MNDE是黄金矩形．
（4）如图 ﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边
形BGHE④为所求是黄金矩形．
长GH＝ ﹣1，宽HE＝3﹣ ．
【点评】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
25．【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代
第20页（共22页）入二次函数解析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半
表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐
标即可．
【解答】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y＝x﹣1得：m＝1，n＝3，
∴A（1，0），B（4，3），
∵y＝﹣x2+bx+c经过点A与点B，
∴ ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，
∴∠APM＝∠DPN＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△MPN为直角三角形，
令﹣x2+6x﹣5＝0，得到x＝1或x＝5，
∴D（5，0），即DA＝5﹣1＝4，
设AP＝m，则有DP＝4﹣m，
∴PM＝ m，PN＝ （4﹣m），
∴S△MPN ＝ PM•PN＝ × m× （4﹣m）＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣2）2+1，
∴当m＝2，即AP＝2时，S△MPN 最大，此时OP＝3，即P（3，0）；
（3）存在，
易得直线CD解析式为y＝x﹣5，设Q（x，x﹣5），
由题意得：∠BAD＝∠ADC＝45°，
当△ABD∽△DAQ时， ＝ ，即 ＝ ，
解得：AQ＝ ，
第21页（共22页）由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2＝ ，
解得：x＝ 或x＝ ，此时Q（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）（舍去）；
当△ABD∽△DQA时， ＝1，即AQ＝ ，
∴（x﹣1）2+（x﹣5）2＝10，
解得：x＝2或x＝4，此时Q（2，﹣3）或（4，﹣1）（舍去），
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的
图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解本
题的关键．
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日期：2019/10/23 19:58:24；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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