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2017年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答
案选出来，每小题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达
477万平方米，各项指标均居全省前列．477万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106
4．（3分）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m＝a2m B．（2a）3＝2a3
C．a3•a﹣5＝a﹣15 D．a3÷a﹣5＝a﹣2
6．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
7．（3分）下列函数中，对于任意实数x ，x ，当x ＞x 时，满足y ＜y 的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y＝﹣3x+2 B．y＝2x+1 C．y＝2x2+1 D．y＝﹣
第1页（共21页）8．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
9．（3分）公式L＝L +KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 代表弹簧
0 0
的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用
厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L＝10+0.5P B．L＝10+5P C．L＝80+0.5P D．L＝80+5P
10．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元
在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买
了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝4 B． ﹣ ＝4
C． ﹣ ＝4 D． ﹣ ＝4
11．（3分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞
b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至
△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论： ∠MAD＝∠AND； CP
① ②
＝b﹣ ； △ABM≌△NGF； S四边形AMFN ＝a2+b2； A，M，P，D四点共圆，其中正确
③ ④ ⑤
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三
角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，
…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
第2页（共21页）A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题（本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）化简： ﹣ ＝ ．
14．（4分）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由
是 ．
15．（4分）方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的根为 ．
16．（4分）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能
考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的
概率是 ．
17．（4分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角
线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两
个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据
设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为
．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣3，其中a＝ ．
第3页（共21页）19．（8分）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为
了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；
E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到图表（部
分信息未给出）：
选项 频数 频率
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并
根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
20．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的 O交AB于点
E． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AE：EB＝⊙1：2，BC＝6，求AE的长．
21．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在
距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝
第4页（共21页）30°，∠C＝45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：
≈1.7， ≈1.4）
22．（10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央
新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
23．（10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD
上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
①若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
②
24．（12分）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y
＝ x与y＝ （k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝ x与y＝ ，当k＞0时的图象性质进行了探究．
第5页（共21页）下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y＝ x与y＝ 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），
则B点的坐标为 ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM＝PN．
①
证明过程如下：设P（m， ），直线PA的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
则 ，
解得
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
②
第6页（共21页）2017 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答
案选出来，每小题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分）
1．【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数．
2．【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形
沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原
图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：477万用科学记数法表示4.77×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且
第7页（共21页）圆位于矩形的中心位置，
故选：B．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式＝8a3，故B不正确；
（C）原式＝a﹣2，故C不正确；
（D）原式＝a8，故D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题
型．
6．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一
组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．【分析】A、由k＝﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k＝2可得知y随x值的增大而增
大；C、由a＝2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增
大；D、由k＝﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而
增大．此题得解．
【解答】解：A、y＝﹣3x+2中k＝﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y＝2x+1中k＝2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y＝2x2+1中a＝2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D、y＝﹣ 中k＝﹣1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
第8页（共21页）∴D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次
（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键．
8．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，
解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．【分析】A和B中，L ＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
0
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L ＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，
0
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，比较L 和K的值，找出短而硬的弹簧是解题的关键．
0
10．【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比
第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得： ﹣ ＝4．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
11．【分析】 根据正方形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，根据旋转的性质得到
∠NAD＝∠①BAM，∠AND＝∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD＝
∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，等量代换得到∠DAM＝∠AND，故 正确；
①
根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP＝b﹣ ；故 正确；
② ②
第9页（共21页）根据旋转的性质得到GN＝ME，等量代换得到AB＝ME＝NG，根据全等三角形的判定
③定理得到△ABM≌△NGF；故 正确；
由旋转的性质得到AM＝AN③，NF＝MF，根据全等三角形的性质得到AM＝NF，推出四
④边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM＝90°，推出四边形AMFN是正方形，于
是得到S四边形AMFN ＝AM2＝a2+b2；故 正确；
根据正方形的性质得到∠AMP＝90④°，∠ADP＝90°，得到∠ABP+∠ADP＝180°，于是推
⑤出A，M，P，D四点共圆，故 正确．
【解答】解： ∵四边形ABC⑤D是正方形，
∴∠BAD＝∠A①DC＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠DAM＝90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，
∴∠DAM＝∠AND，故 正确；
∵四边形CEFG是正①方形，
②∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴ ，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，
∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，
∴ ，
∴CP＝b﹣ ；故 正确；
②
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
③∴GN＝ME，
∵AB＝a，ME＝a，
∴AB＝ME＝NG，
在△ABM与△NGF中， ，
∴△ABM≌△NGF；故 正确；
第10页（共21页）
③∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
④∴AM＝AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF＝MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM＝NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM＝∠NAD，
∴∠BAM+DAM＝∠NAD+∠DAN＝90°，
∴∠NAM＝90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a2+b2＝AM2，
∴S四边形AMFN ＝AM2＝a2+b2；故 正确；
∵四边形AMFN是正方形，④
⑤∴∠AMP＝90°，
∵∠ADP＝90°，
∴∠AMP+∠ADP＝180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故 正确．
故选：D． ⑤
【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方
形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
第11页（共21页）12．【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成
最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不
变是解答此题的关键．
14．【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁
内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截
直线平行．
15．【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）＝0，推出方程x﹣1＝0，3x﹣2＝0，求出方程
的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
即（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0，3x﹣2＝0，
解方程得：x ＝1，x ＝ ．
1 2
第12页（共21页）故答案为：x＝1或x＝ ．
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解
和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同时抽到物理
的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为1，
所以他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
17．【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的
面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．
【解答】解：设 O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，⊙则M、O、E共线，
由题意得：∠MOG＝∠EOF＝45°，
∴∠FOG＝90°，且OF＝OG＝1，
∴S透明区域 ＝ +2× ×1×1＝ +1，
过O作ON⊥AD于N，
∴ON＝ FG＝ ，
∴AB＝2ON＝2× ＝ ，
∴S矩形 ＝2× ＝2 ，
∴ ＝ ＝ ．
第13页（共21页）故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部分化分为几个
熟知图形的面积是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
【解答】解： ÷ ﹣3
＝
＝a﹣3，
当a＝ 时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）从C可看出5÷0.1＝50人，
答：次被调查的学生有50人；
（2）m＝ ＝0.2，n＝0.2×50＝10，p＝0.4×50＝20，
，
第14页（共21页）（3）800×（0.1+0.4）＝800×0.5＝400人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．【分析】（1）求出∠OED＝∠BCA＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是 O的直径，
∴∠AEC⊙＝∠BEC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴ED＝DC＝BD，
∴∠1＝∠2，
∵OE＝OC，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠OED＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：由（1）知：∠BEC＝90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴ ＝ ，
∴BC2＝BE•BA，
∵AE：EB＝1：2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，
第15页（共21页）∵BC＝6，
∴62＝2x•3x，
解得：x＝ ，
即AE＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED＝∠BCA和
△BEC∽△BCA是解此题的关键．
21．【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴AD＝CD＝10m，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴tan30°＝ ，
∴BD＝ AD＝10 m，
∴BC＝BD+DC＝（10+10 ）m．
（2）结论：这辆汽车超速．
理由：∵BC＝10+10 27m，
∴汽车速度＝ ＝30m/s＝108km/h，
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直
线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，
0）得出方程组，解方程组即可，
第16页（共21页）（2）求出当x＝1时，y＝ 即可．
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，
水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y＝a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+ ；
即y＝﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），
根据对称性可知：抛物线的解析式也可以为：y＝﹣ x2﹣ x+2（﹣3≤x≤0），
（2）y＝﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），
当x＝1时，y＝ ，
即水柱的最大高度为 m．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用
顶点式求出解析式是解题关键．
23．【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出
∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出
结论；
第17页（共21页）（2） 由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质
得出①CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝
1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝ cm即可；
当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，
②点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形①，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD①＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在Rt△CDE中，DE＝ ＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝ cm，
∴菱形BFEP的边长为 cm；
当点Q与点C重合时，如图2：
②点E离点A最近，由 知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时①，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
第18页（共21页）∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的
性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
（2） 设P（m， ），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一
①
次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标
可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角
形的三线合一即可证出PM＝PN；
根据 结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两
②种情况，①利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），
∴B点的坐标为（k，1）．
故答案为：（k，1）．
（2） 证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
①
则 ，
解得： ，
第19页（共21页）∴直线PA的解析式为y＝ x+ ﹣1．
当y＝0时，x＝m﹣k，
∴M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为（m， ），
∴H点的坐标为（m，0），
∴MH＝x ﹣x ＝m﹣（m﹣k）＝k．
H M
同理可得：HN＝k．
∴MH＝HN，
∴PM＝PN．
故答案为： ；y＝ x+ ﹣1．
由 可知，在△PMN中，PM＝PN，
②∴△P①MN为等腰三角形，且MH＝HN＝k．
当P点坐标为（1，k）时，PH＝k，
∴MH＝HN＝PH，
∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°，
∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图1，
S△PAB ＝S△PMN ﹣S△OBN +S△OAM ，
＝ MN•PH﹣ ON•y + OM•|y |，
B A
＝ ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，
＝k2﹣1；
当0＜k＜1时，如图2，
S△PAB ＝S△OBN ﹣S△PMN +S△OAM ，
＝ ON•y ﹣k2+ OM•|y |，
B A
第20页（共21页）＝ （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，
＝1﹣k2．
【点评】本题考查了正（反）比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图
象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反
比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；（2） 利用等腰三角形的三线合一证出
PM＝PN； 分k＞1和0＜k＜1两种情况求出△PAB的①面积．
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