1991考研数学一真题及答案解析(1)公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 设 则 =__________. (2) 由方程 所确定的函数 在点 处的全微分 =__________. (3) 已知两条直线的方程是 ； ,则过 且平 行于 的平面方程是__________. (4) 已知当 时, 与 是等价无穷小,则常数 =__________. (5) 设4阶方阵 ,则 的逆阵 =__________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线 ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数 满足关系式 ,则 等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 已知级数 , ,则级数 等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9Born to win (4) 设 是 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, 是 在第一象 限的部分,则 等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 (5) 设 阶方阵 、 、 满足关系式 ,其中 是 阶单位阵,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分15分,每小题5分.) (1) 求 . (2) 设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量,求函数 在点 处沿方向 的方向导数. (3) ,其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围成的立体. 四、(本题满分6分) 在过点 和 的曲线族 中,求一条曲线 ,使沿该曲线从 到 的积分 的值最小. 五、(本题满分8分.) 将函数 展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数 的和. 六、(本题满分7分.) 设函数 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 ,证明在(0,1)内存在 一点 ,使 .Born to win 七、(本题满分8分.) 已知 , , , ,及 . (1) 、 为何值时, 不能表示成 的线性组合？ (2) 、 为何值时, 有 的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、(本题满分6分) 设 为 阶正定阵, 是 阶单位阵,证明 的行列式大于1. 九、(本题满分8分) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 处的曲率等于此曲线在该点的法 线段 长度的倒数( 是法线与 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 轴平行. 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 若随机变量 服从均值为2,方差为 的正态分布,且 ,则 =_______. (2) 随机地向半圆 ( 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_______. 十一、(本题满分6分) 设二维随机变量 的概率密度为 , 求随机变量 的分布函数.Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 , 则 . 所以 , 再对 求导,由复合函数求导法则得 . (2)【答案】 【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点 的含义是 . 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得 , 再由全微分四则运算法则得 , 令 ,得 ,即 . (3)【答案】Born to win 【解析】所求平面 过直线 ,因而过 上的点 ； 因为 过 平行于 ,于是 平行于 和 的方向向量,即 平行于向量 和向量 ,且两向量不共线,于是平面 的方程 , 即 . (4)【答案】 【解析】因为当 时, , 当 时 ,所以有 所以 . 因为当 时, 与 是等价无穷小,所以 ,故 . (5)【答案】 . 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.Born to win 注意： , . 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律： ,则求 的伴随矩阵 . 如果 ,这样 . 再利用分块矩阵求逆的法则： ,易见 . 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为 ,所以函数的间断点为 , ,所以 为铅直渐近线, ,所以 为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 在其间断点 处有 ,则 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.Born to win (2)【答案】(B) 【解析】令 ,则 ,所以 , 两边对 求导,得 ,这是一个变量可分离的微分方程,即 .解 之得 ,其中 是常数. 又因为 ,代入 ,得 ,得 ,即 . (3)【答案】(C) 【解析】因为 (收敛级数的结合律与线性性质), 所以 . 而 , 故应选(C). (4)【答案】(A) 【解析】如图,将区域 分为 四个子区域.Born to win 显然, 关于 轴对称, 关于 轴对称. 令 , 由于 对 及对 都是奇函数,所以 . 而 对 是偶函数,对 是奇函数,故有 , 所以 , 故选(A). (5)【答案】(D) 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换. 由于 、 、 均为 阶矩阵,且 ,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式 ,得到 、 、 ,知 、 、 均可逆,那么,对于 , 先左乘 再右乘 有 ,故应选(D). 其实,对于 先右乘 再左乘 ,有 . 三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是 型未定式求极限. 令 ,则 时 ,所以 , 所以 . 因为当 时, ,所以Born to win , 故 . (2)【解析】先求方向 的方向余弦,再求 ,最后按方向导数的计算公式 求出方向导数. 曲面 在点 处的法向量为 , 在点 处指向外侧,取正号,并单位化得 又 , 所以方向导数 .Born to win (3)【解析】由曲线 绕 轴旋转一周而围成的旋转面方程是 . 于是, 是由旋转抛物面 与平面 所围成.曲面与平面的交线是 . 选用柱坐标变换,令 ,于是 , 因此 . 四、(本题满分6分) 【解析】曲线 ,则 ,所以Born to win . 对关于 的函数 两边对 求导数,其中 ,并令 得 . 所以 , 且 . 故 为函数 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 . 五、(本题满分8分.) 【解析】按傅式级数公式,先求 的傅式系数 与 .因 为偶函数,所以 , , . 因为 在区间 上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以Born to win . 令 ,有 ,所以, . 又 , 所以, ,即 . 六、(本题满分7分.) 【解析】由定积分中值定理可知,对于 ,在区间 上存在一点 使得 , 即 . 由罗尔定理可知,在区间 内存在一点 ,使得 . 七、(本题满分8分) 【解析】设 ,按分量写出,则有 . 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 第一行分别乘以有 、 加到第三行和第四行上,再第二行乘以 、 加到第三 行和第四行上,有Born to win , 所以,当 时, ,方程组无解.即是不存在 使得 成立, 不能表示成 的线性组合； 当 时, 方程组有唯一解 , 故 有唯一表达式,且 . 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出, 亦等同于 与 是等价向量组). 设 是 矩阵,线性方程组 ,则 (1) 有唯一解 (2) 有无穷多解 (3) 无解 不能由 的列向量 线表出. 八、(本题满分6分) 【解析】方法1：因为 为 阶正定阵,故存在正交矩阵 ,使 ,Born to win 其中 , 是 的特征值. 因此 两端取行列式得 , 从而 . 方法2：设 的 个特征值是 由于 为 阶正定阵,故特征值全大于0. 由 为 的特征值可知,存在非零向量 使 ,两端同时加上 , 得 .按特征值定义知 是 的特征值.因为 的特征值是 它们全大于1,根据 ,知 . 【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列向 量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向量. 九、(本题满分8分) 【解析】曲线 在点 处的法线方程为 (当 时), 它与 轴的交点是 ,从而 . 当 时,有 ,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程 , 即 .这是可降阶的高阶微分方程,且当 时, . 令 ,则 ,二阶方程降为一阶方程 ,即 .Born to win 即 , 为常数. 因为当 时, ,所以 ,即 , 所以 .分离变量得 . 令 ,并积分,则上式左端变为 . 因曲线在上半平面,所以 ,即 . 故 . 当 时, 当 前取+时, , , ； 当 前取 时, , , ； 所以 . 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的 两个参数 和 ,否则应先根据题设条件求出 , ,再计算有关事件的概率,本题可从 ,通过查 表求出 ,但是注意到所求概率 即是 与Born to win 之间的关系,可以直接由 的值计算出 . 因为 ,所以可标准化得 , 由标准正态分布函数概率的计算公式,有 , . 由正态分布函数的对称性可得到 . (2)【解析】设事件 =“掷的点和原点的连线与 轴的夹角小于 ”, y 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式 ,而 , C D , x O A B 故 . 十一、(本题满分6分) 【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有 . y 当 时, . 因为 在直线 的下方 与 (即第一象限)没有公共区域, D x z 所以 . O x2y  0 当 时, 在直线Born to win 的上方与第一象限相交成一个三角形区域 ,此即为积分区间. . 所以 的分布函数