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2007年考研数学（三）真题
一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目
要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当 时，与 等价的无穷小量是（ ）
.
（2） 设函数 在 处连续，下列命题错误的是： ( )
.若 存在，则 若 存在，则
.若 存在，则 存在 若 存在，则 存在
（3） 如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间
上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（ ）
.
（4） 设函数 连续，则二次积分 等于（ ）
（5） 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的
绝对值等于1，则商品的价格是（ ）
10 20 30 40
（6） 曲线 渐近线的条数为（ ）
0 1 2 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是( )
（A） (B)
（C） (D)
1（8）设矩阵 ， 则A与B （ ）
（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概
率为 ( )
(10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示X, Y的概率密度，则
在 条件下， 的条件概率密度 为( )
（A） (B)
(C) (D)
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11） .
（12）设函数 ，则 .
（13）设 是二元可微函数， 则 ________.
（14）微分方程 满足 的特解为__________.
（15）设距阵 则 的秩为_______.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为________.
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）附近的凹凸性.
2（18）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分 其中
（19）（本题满分11分）
设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ＝ ， ＝ ，证
明：
（Ⅰ）存在 使得 ；
（Ⅱ）存在 使得
（20）（本题满分10分）
将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间.
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值 是A的属于 的一个特征向量.记
，其中E为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量 的概率密度为
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的概率密度 .
3（24）（本题满分11分）
设总体 的概率密度为
.
其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值.
（Ⅰ）求参数 的矩估计量 ；
（Ⅱ）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由.
42007年考研数学（三）真题
一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当 时，与 等价的无穷小量是（B）
.
（2） 设函数 在 处连续，下列命题错误的是： (D)
.若 存在，则 若 存在，则
.若 存在，则 存在 若 存在，则 存在
（3） 如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间
上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（C ）
.
（4） 设函数 连续，则二次积分 等于（B）
（5） 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的
绝对值等于1，则商品的价格是（D）
10 20 30 40
（6） 曲线 渐近线的条数为（D）
0 1 2 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是 (A)
（A） (B)
(C) (D)
（8）设矩阵 ， 则A与B （B）
5（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概
率为 (C)
(10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示X, Y的概率密度，则
在 条件下， 的条件概率密度 为 (A)
（A） (B)
(C) (D)
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11） .
（12）设函数 ，则 .
（13）设 是二元可微函数， 则 .
（14）微分方程 满足 的特解为 .
（15）设距阵 则 的秩为＿＿1＿＿＿.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为＿ ＿.
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）附近的凹凸性.
【详解】：
6（18）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分 其中
【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设 是D在第一象限中的部分，即
利用被积函数 无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得
设 ，其中
于是
由于 ，故
为计算 上的二重积分，可引入极坐标 满足 .在极坐标系 中 的
方程是 的方程是， ，因而
7，故
令 作换元，则 ，于是 且
，代入即得
综合以上计算结果可知
（19）（本题满分11分）
设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ＝ ， ＝ ，证
明：
（Ⅰ）存在 使得 ；
（Ⅱ）存在 使得
【详解】：证明：(1)设 在 内某点 同时取得最大值，则 ，此时的c就是所
求点 .若两个函数取得最大值的点不同则有设 故
有 ，由介值定理，在 内肯定存在
(2)由(1)和罗尔定理在区间 内分别存在一点 ＝0在区间 内再
用罗尔定理，即 .
（20）（本题满分10分）
8将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间.
【详解】：
【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解.
即距阵 方程组(3)有解的充要条件为 .
当 时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为
此时的公共解为：
9当 时，方程组(3)的系数距阵为 此时方程组(3)的解为
，即公共解为：
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值 是A的属于 的一个特征向量.记
，其中E为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
【详解】：
（Ⅰ）可以很容易验证 ，于是
于是 是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
，
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得 为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设 B
的属于1的特征向量为 ，所以有方程如下：
于是求得B的属于1的特征向量为
因而，矩阵B属于 的特征向量是是 ，其中 是不为零的任意常数.
矩阵B属于 的特征向量是是 ，其中 是不为零的任意常数.
（Ⅱ）由 有
令矩阵 ，
则 ，所以
10那么
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量 的概率密度为
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的概率密度 .
【详解】：
（Ⅰ） ，其中D为 中 的那部分区域；
求此二重积分可得
（Ⅱ）
当 时， ；
当 时， ；
当 时，
当 时，
于是
（24）（本题满分11分）
设总体 的概率密度为
11.
其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值.
（Ⅰ）求参数 的矩估计量 ；
（Ⅱ）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由.
【详解】：
（Ⅰ）记 ，则
，
解出 ，因此参数 的矩估计量为 ；
（Ⅱ）只须验证 是否为 即可，而
，而
， ，
，
于是
因此 不是为 的无偏估计量.
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