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2017年考研数学三真题及解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．若函数 在 处连续，则
（A） （B） （C） （D）
【详解】 ， ，要使函数在 处连续，必
须满足 ．所以应该选（A）
2．二元函数 的极值点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】 ， ，
解方程组 ，得四个驻点．对每个驻点验证 ，发现只有在点 处满足
，且 ，所以 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 是可导函数，且满足 ，则
（A） （B） （C） （D）
【详解】设 ，则 ，也就是 是单调增加函数．也就得到
，所以应该选（C）
4． 若级数 收敛，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
1【详解】iv 时
显然当且仅当 ，也就是 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择
（C）．
5．设 为 单位列向量， 为 阶单位矩阵，则
（A） 不可逆 （B） 不可逆
（C） 不可逆 （D） 不可逆
【详解】矩阵 的特征值为 和 个 ，从而 的特征值分别
为 ； ； ； ．显然只有 存在零特征值，所以不可逆，应该选
（A）．
6．已知矩阵 ， ， ，则
（A） 相似， 相似 （B） 相似， 不相似
（C） 不相似， 相似 （D） 不相似， 不相似
【详解】矩阵 的特征值都是 ．是否可对解化，只需要关心 的情况．
对于矩阵 ， ，秩等于1 ，也就是矩阵 属于特征值 存在两个线性无关的特
征向量，也就是可以对角化，也就是 ．
对于矩阵 ， ，秩等于2 ，也就是矩阵 属于特征值 只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然 不相似故选择（B）．
7．设 ， 是三个随机事件，且 相互独立， 相互独立，则 与 相互独立的充分必要条件
是（ ）
（A） 相互独立 （B） 互不相容
（C） 相互独立 （D） 互不相容
【详解】
2显然， 与 相互独立的充分必要条件是 ，所以选择（C ）．
8．设 为来自正态总体 的简单随机样本，若 ，则下列结论中不正
确的是（ ）
（A） 服从 分布 （B） 服从 分布
（C） 服从 分布 （D） 服从 分布
解：（1）显然 且相互独立，所以 服从
分布，也就是（A）结论是正确的；
（2） ，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意 ，所以（D）结论也是正确的；
（4）对于选项（B）： ，所以（B）结论是
错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
解：由对称性知 ．
10．差分方程 的通解为 ．
【详解】齐次差分方程 的通解为 ；
设 的特解为 ，代入方程，得 ；
所以差分方程 的通解为
11．设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为 .
3【详解】答案为 ．
平均成本 ，则总成本为 ，从而边际成本为
12．设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知 ， ，则
【详解】 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ．
13．设矩阵 ， 为线性无关的三维列向量，则向量组 的秩为
．
【详解】对矩阵进行初等变换 ，知矩阵A的秩为2，由于
为线性无关，所以向量组 的秩为2．
14．设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若 ，则
．
【详解】显然由概率分布的性质，知
，解得
， ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限
【详解】令 ，则 ，
416．（本题满分10分）
计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界区域．
【详解】
17．（本题满分10分）
求
【详解】由定积分的定义
18．（本题满分10分）
已知方程 在区间 内有实根，确定常数 的取值范围．
【详解】设 ，则
令 ，则
，所以 在 上单调减少，
由于 ，所以当 时， ，也就是 在 上单调减少，当
时， ，进一步得到当 时， ，也就是 在 上单调减少．
， ，也就是得到 ．
519．（本题满分10分）
设 ， 为幂级数 的和函数
（1）证明 的收敛半径不小于 ．
（2）证明 ，并求出和函数的表达式．
【详解】（1）由条件
也就得到 ，也就得到
也就得到
，所以收敛半径
（2）所以对于幂级数 ， 由和函数的性质，可得 ，所以
也就是有 ．
解微分方程 ，得 ，由于 ，得
所以 ．
620．（本题满分11分）
设三阶矩阵 有三个不同的特征值，且
（1）证明： ；
（2）若 ，求方程组 的通解．
【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 是非零矩阵，也就是 ．
假若 时，则 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 ，又因为 ，
也就是 线性相关， ，也就只有 ．
（2）因为 ，所以 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于 ，所以
基础解系为 ；
又由 ，得非齐次方程组 的特解可取为 ；
方程组 的通解为 ，其中 为任意常数．
21．（本题满分11分）
设 二 次 型 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为
，求 的值及一个正交矩阵 ．
【详解】二次型矩阵
因为二次型的标准形为 ．也就说明矩阵 有零特征值，所以 ，故
令 得矩阵的特征值为 ．
7通过分别解方程组 得矩阵的属于特征值 的特征向量 ，属于特征值特
征值 的特征向量 ， 的特征向量 ，
所以 为所求正交矩阵．
22．（本题满分11分）
设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密度为
．
（1）求概率 ；
（2）求 的概率密度．
【详解】（1）
所以
（2） 的分布函数为
故 的概率密度为
23．（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 次测量，该物体的质量 是已知的，设
8次测量结果 相互独立且均服从正态分布 该工程师记录的是 次测量的绝对误差
，利用 估计参数 ．
（1）求 的概率密度；
（2）利用一阶矩求 的矩估计量；
（3）求参数 最大似然估计量．
【详解】（1）先求 的分布函数为
当 时，显然 ；
当 时， ；
所以 的概率密度为 ．
（2）数学期望 ，
令 ，解得 的矩估计量 ．
（3）设 的观测值为 ．当 时
似然函数为 ，
取对数得：
令 ，得参数 最大似然估计量为 ．
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