2018年考研数学二试题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2018年考研数学二真题及解析

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 （1）若lim(ex ax2 bx)x2 1,则（ ） x0 1 1 1 1 (A)a  ，b1 (B)a  ,b1 (C)a ,b1 (D)a ,b1 2 2 2 2 【答案】（B） exax2bx1 ex2axb lim lim 原式=ex0 x2 ex0 2x 【解析】 因为分母的极限是为0，要使此极限等于常数1，则分子的极限比为0，则b1 ex12ax ex2a lim lim 则原式=ex0 2x ex0 2 1 1 所以a  . 2 （2）下列函数中，在x 0处不可导的是（ ） (A) f  x  x sin x (B) f  x  x sin x (C) f  x cos x (D) f  x cos x 【答案】（D） 【解析】根据导数的定义： x sin x x  x lim lim 0,可导； （A） x0 x x0 x x sin x x  x lim lim 0,可导； （B）x0 x x0 x 1  x 2 cos x 1 lim lim 2 0,可导； （C）x0 x x0 x 1 2 1  x  x cos x 1 lim lim 2 lim 2 ,极限不存在， （D）x0 x x0 x x0 x 故选D。 2ax,x1 1,x0  （3）设函数f(x) ,g(x)x,1 x0 ,若f(x)g(x)在R上连续，则 （ ） 1,x0   xb,x0 (A)a 3,b 1 (B) a 3,b  2 (C) a 3,b1 (D) a  3,b  2 【答案】（D） 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化12ax x1  令F(x) f(x)g(x) 1x 1 x0  xb1 x0 F(1)1a F(0)1b lim F(x) 2 lim F(x) 1 【解析】 x1 x0 因为函数连续，故极限值等于函数值 1+a=-2 a=-3 1-b=-1 b=2 1 （4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且 f(x)dx0,则（ ） 0 1 1 (A)当f(x)0时, f( )0 (B) 当f(x)0时, f( )0 2 2 1 1 (C) 当f(x)0时, f( )0 (D) 当f(x)0时, f( )0 2 2 【答案】（D） 1 1 1 f() 1 1 f(x) f( ) f( )(x ) (x )2,介于 ，x之间，故 【解析】 2 2 2 2! 2 2 1 1 1 1 1 1 f() 1 1 1 f() 1 0= f(x)dx f( ) f( )(x )dx (x )2dx f( ) (x )2dx 0 2 0 2 2 0 2! 2 2 0 2! 2 1 f() 1 1 由于f(x)0  (x )2dx0,所以，f( )0.应选D. 0 2! 2 2   1x 2  1x    （5）设M  2 dx,N  2 dx,K  2 1 cosx dx,则（ ）   1x2   ex   2 2 2 (A)M  N  K (B)M K  N (C)K M  N (D)K  N M 【答案】（C）  (1x)2  1x2 2x  2x M=2 dx2 dx2 (1 )dx. 【解析】   1x2   1x2   1x2 2 2 2 1x  1x  1xex(x0) 1 N 2 dx2 1dxM e2   ex   2 2   K=2（1 cosx)dx2 1dxM     2 2 故K M  N,应选 C。 0 2x2 1 2x2 （6） dx (1xy)dy dx (1xy)dy （ ） 1 x 0 x 5 5 7 7 (A) (B) (C) (D) 3 6 3 6 【答案】（C） 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化y xy x x 【解析】因为积分区域关于 轴对称，考虑被积函数中 是关于 的奇函数，1是关于 的偶函数，利用二重积分 的奇偶性化简得： 原积分= 1 xy  dxdy  1dxdy  2   1 dx 2x2 dx   7 .    0 x  3 D D 1 1 0   （7）下列矩阵中与矩阵 0 1 1 相似的为（ ）     0 0 1 1 1 1 1 0 1     (A) 0 1 1 (B) 0 1 1         0 0 1  0 0 1  1 1 1 1 0 1     (C) 0 1 0 (D) 0 1 0         0 0 1  0 0 1  【答案】（A） 1 1 0 1 1 0   令J  0 1 1 ，则特征值EJ  0 1 1 （-1）3=0，   【解析】   0 0 1 0 0 1 则特征值为===1. 1 2 3 0 1 0    当=1时，EJ  0 0 1 ，可知（r EJ) 2.     0 0 0  1 1 1 1 1 1   A选项，令A= 0 1 1 ，则由E A  0 1 1  1 30解得===1.   1 2 3   0 0 1  0 0 1 0 1 1    此时当=1时，EA= 0 0 1 ，可知e  EA 2.     0 0 0  1 0 1   B选项，令B= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵B所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E B) 1.     0 0 1  1 0 1   C选项，令C= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵C所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E C) 1.     0 0 1  1 0 1   D选项，令D= 0 1 1 ，则同理显然可知矩阵D所有的特征值为1,1,1.当=1时，r（E D) 1.     0 0 1  淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化由于矩阵相似，则相关矩阵EA与EJ也相似，则r(E-A)=r(E-J). 可知答案选A。 （8）设A,B为n阶矩阵，记r  X 为矩阵X的秩， X,Y 表示分块矩阵，则（ ） (A) r  A,AB r  A  (B) r  A,BA r  A  (C) r  A,B max  r  A  ,r  B  (D) r  A,B r  ATBT  【答案】（A） 设C  AB，则可知C的列向量可以由A的列向量线性表示，则r(A,C)r(A,AB)r(A). 【解析】 二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9） lim x2[arctan(x1)arctanx] x 【答案】1 【解析】 lim x2  arctan  x1 arctanx  x arctan  x1 arctanx = lim x 1 x2 1 1  1 1x 2 1x2  lim x 1  x3 x3  1 1  = lim    x 2 1x2 1 1x 2     1 1x 2   1x2  x3 1    lim 2x  1x2  1 1x 2   1 x32x4  lim 2x 1x2  1 1x 2   1 2 1 x  lim 2x 1   1  1 2  1  1    x2  x2  x  1  2 2 1 （10）曲线y  x2 2lnx在其拐点处的切线方程是 【答案】 y4x3 2 【解析】 y2x x 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化2 y2 =0 x2 1,x1,(x1舍) x2 拐点 1,1  y(1)224 切线方程：y14(x1),即y 4x3  1 （11） dx 5 x2 4x3 1 【答案】 ln2 2  1  1 1  1 1 【解析】 dx  dx  ( ) (  )dx 5 x2 4x3 5 (x1)(x3) 2 5 x1 x3   1 1 x1 =( )  ln(x1)ln(x3)  ( )(ln ) 2 2 x3 5 5 1 4 1 ( )(0ln ) ln2 2 2 2 xcos3t  （12）曲线 ，在t  对应点处的曲率为 y sin3t 4 2 【答案】 3 dy dy 1 1 sint 【解析】  3sin2tcost  tant dx dt dx 3cos2t(sint) cost dt d dy ( ) d2y  d ( dy ) dt dx sec2tcost 1  sec2t  1 dx2 dx dx dx 3cos2t (sint) 3cos2t sint 3cos4t sint dt  dy d2y 1 1 8 8 2 4 2 t  时， 1,      4 dx t  dx2 t  3( 2 )4 2 3 2  1 3 2 6 3 4 4 2 2 2 4 4 2 y 3 4 2 1 2 K      (1 y2) 3 2 (1(1)2) 3 2 3 2 2 3 z （13）设函数z  x,y 由方程lnzez1 xy确定,则 1  x (2, ) 2 1 【答案】 4 1 【解析】将x2,y  代入lnzez1 xy,得到z 1 2 两边对求x偏导，得到 1 z z  ez1  y z x x 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化z 1 整理得到  x 1 4 (2, ) 2 （14）设A为3阶矩阵,,,是线性无关的向量组,若A 2  ,A  2,A  , 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 3 则A的实特征值为 . 2 0 0    【解析】由A(,,)(,,) 1 1 1 ，令P(,,)可知矩阵P可逆，令系数矩阵 1 2 3 1 2 3   1 2 3   1 2 1  2 0 0    B= 1 1 1 ，可知矩阵A和B相似，则它们有相同的特征值.     1 2 1  2 0 0 由EB  1 1 1 (2)(223)0,解得实特征值为=2. 1 2 1 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 求不定积分e2xarctan ex 1dx. 1  1 1 e2x 【解析】原式=arctan ex 1d e2x   e2xarctan ex 1  dx 2  2 4 ex 1 再用整体代换去根号：  2  e2x dxt  ex 1 t2 1 2t dt = 2 t3 2tC  2 ex1  3 22 ex1C   ex 1 t t2 1 3 3 即原式= 1 e2xarctan ex 1 1  ex 1  3 2  1 ex 1C 2 6 2 （16）（本题满分10分） x x 已知连续函数f(x)满足 f(t)dt tf(xt)dt ax2 0 0 （I）求f(x)； （II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值. x x x 原式转化为 f(x)dxx f(u)du uf(u)du ax2. 0 0 0 x 等式两边关于x求导得：f(x)2ax f(u)du.且f(0)0 【解析】（I） 0 等式两边再关于x求导得：f(x)2a f(x). 解微分方程得：f(x)2a2aex.  1 f  x  dx e （II）根据平均值的定义可知：0 1,将f(x)2a2aex,代入上式得：a  . 10 2 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化（17）（本题满分10分） xtsint, 设平面区域D由曲线  (0t 2)与x轴围成,计算二重积分(x2y)d. y1cost D 【解析】先用形心公式化简，再用先y后x化二重积分为累次积分，最后用题上给出的变量替换计算定积分：  x2y  dxdy xS  D 2ydxdy 2 ydx2 2 dx yx ydy 0 0 0 d D  2  1cost 2 dt2 21 y2 x  dx 2  1cost 2 dt 2  1cost  3 dt 0 0 2 0 0  531  32 16 sin6udu 32 32  32 5 0 642 2 （18）（本题满分10分） 已知常数k ln21.证明：(x1)(xln2 x2klnx1)0. 【解析】设F  x  xln2x2klnx1,x 0则 2lnx 2k x2lnx2k F x 1   x x x 2 令G  x  x2lnx2k,则G x 1 , x 当0 x x时，G x 0,又G  2  =0， 所以G  x 0F x 0G  x 单调递增 当x2时，G x 0,又G  2  =0， 所以G  x 0F x 0G  x 单调递增 综上所述：F  x 在x 0时单调递增，又因为F 1  =0，所以 0 x1时，F  x 0;x1时，F  x  0 即 x1  F  x 0,原不等式得证. （19）（本题满分10分） 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？ 若存在，求出最小值. 【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y，正三角形的边长为z，则2x4y3z 2,其面积和 3 3 S(x,y,z) x2 y2  z3,即是求S(x,y,z) x2 y2  z3在约束条件24y3z 2下的最小值是否存在. 4 4 3 设L(x,y,z,) x2y2 z2(2x4y3z2), 4  1  L 2x20 x x   x43 3 L 2y40   y  2  3 ,解得y  (唯一驻点).由实际问题可知，最小值一定存在，  L  z30  43 3 z 2   2 3 L 2x4y3z20 z  x  43 3 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化1 2 2 3 1 且在（ ， ， ）取得最小值，且最小值为 . 43 3 43 3 43 3 43 3 （20）（本题满分11分） 4 已知曲线L: y  x2(x0),点O  0,0  ,点A  0,1  .设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L 9 所围成图形的面积，若P运动到点 3,4 时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.  4  【解析】所求面积为梯形减去曲边三角形的面积，令Px, x2  ，则该面积为  9  1 4  x4 2 1 S= x x2 1  t2dt  x3  x 2 9  0 9 27 2 dS dS dx 2 1 而   4 x2  10 dt dx dt 9 2 x3 x3 x3 （21）（本题满分11分） 设数列 x 满足：x 0,x ex n1 ex n 1(n 1,2,),证明 x 收敛，并求limx . n 1 n n n n 【解析】x 0,假设x 0, 1 k ex k 1 由x0,ex 1 x0可知x 1n 1n10. k1 x k 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化故数列 x 有下界. n ex n 1 ex n 1 x x 1n x 1n n1 n x n x ex n n n 令f  x  xex   ex 1  ,则f  x  xex  0,故f  x 单调增加. ex 1 当x0时，f  x  f  0 0,故0 1,所以x x 0 xex n1 n 数列 x 单调减少 n 所以limx 存在，设为A，则limx ex n1 lim  ex n 1  n n n n n AeA eA 1,解得A=0，即limx =0. n n （22）（本题满分11分） 设实二次型f(x ,x ,x ) (x ,x x )2(x x )2(x ax )2,其中a是参数. 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 (I) 求f(x ,x ,x )0的解； 1 2 3 (II) 求f(x ,x ,x )的规范形. 1 2 3 由f(x ,x ,x )=(x x x )2(x x )2(x ax )2 0,则应有 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 x x x =0 1 1 1 x  1 2 3 1       x x =0 .令A= 0 1 1 ,x  x . 2 3    2        x ax =0 1 0 a x  1 3 3 即Ax 0. 1 1 1 1 1 1  1 1 1  【解析】(I)       由A= 0 1 1  0 1 1  0 1 1 .             1 0 a 0 1 a1 0 0 a2 2   可知当a 2时，方程组有非零解xk 1 ,其中k为任意常数.      1  当a  2时，方程组只有零解. 当a  2时，此时显然可知二次型正定，则此时对应的规范形为： f(y ,y ,y )  y2 y2 y2. 1 2 3 1 2 3 当a 2时，  2 1 3   (II) 方法一：（正交变换法）令二次型对应的实对称矩阵为B= 1 2 0 ，则由      3 0 6 2 1 3 EB  1 2 0 (21018)0, 3 0 6 解得=5 7，=5 7，=0. 1 2 3 则可知规范形为：f(z ,z ,z ) z2 z2. 1 2 3 1 2 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化方法二：（配方法）由于 1 3 3 f(x ,x ,x ) 2(x2x x 3x x )22x26x2 2(x  x  x )2 (x x )2. 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 2 2 3  1 3 z  2(x  x  x )  1 1 2 2 2 3   3 令 z  (x x ) ,得规范形为f (z ,z ,z ) z2z2. 2 2 2 3 1 2 3 1 2   z  x 3 3   （23）（本题满分11分） 1 2 a   1 a 2     已知a是常数，且矩阵A= 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .         2 7 a  1 1 1 (I) 求a; (II) 求满足AP  B的可逆矩阵P. 1 2 a 1 a 2 【解析】(I) 由于 A  1 3 0 0,则可知B  0 1 1 1a210,a 2. 2 7 a 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2       由(AB)  1 3 0 0 1 1    0 1 2 0 1 1    0 1 2 0 1 1  .       2 7 2 1 1 1 0 3 6 0 3 3 0 0 0 0 0 0       6  3  6  4  6  4              (II) 解得p k 2  1 ,p k 2  1 ,p k 2  1 . 1 1    2 2    3 3                 1   0   1   0   1   0   36k 46k 46k  1 2 3   故解得可逆矩阵P= 12k 12k 12k ,其中k k .  1 2 3 2 3    k k k  1 2 3 淘宝店铺：https://shop249445206.taobao.com/ 掌柜旺旺：新一文化