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金指咛代
数学历年真题
全精解析•提高篇
编著◎李永乐E式安武忠祥宋浩姜晓『 硕哥（薛威）刘喜波
竟纪民 陈默中亚男' 毕生明朱杰I"鸣吴紫云
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2009-2023年的考试真题，逐题逐步解析
历年考题题型分类全汇总，解锁命题“套路”
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数学历年真题
全精解析•提高篇鼻仙
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓千硕哥（薛威）刘喜波
章纪民陈默申亚男毕生明朱杰王一鸣吴紫云
%中国农业出版社
—CHINAAGRICULTURE PRESS
•北京•目录
Contents
第一篇最新真题
2023年全国硕士研究生招生考试数学（三）参考答案..................................1
第二篇真题分类解析
第一部分 微积分.................................................................11
第一章 函数、极限、连续........................................................11
第二章一元函数微分学 ........................................................45
第三章一元函数积分学 ........................................................81
第四章多元函数的微分学......................................................106
第五章二重积分...............................................................123
第六章无穷级数...............................................................139
第七章常微分方程与差分方程................................................. 153
第二部分线性代数...............................................................161
第一章行列式........................... 161
第二章矩阵...................................................................170
第三章向量...................................................................182
第四章线性方程组............................................................ 191
第五章特征值与特征向量......................................................207第六章二次型.................................................................226
第三部分概率论与数理统计................................... 242
第一章随机事件和概率........................................................242
第二章随机变量及其分布......................................................247
第三章多维随机变量的分布....................................................250
第四章随机变量的数字特征....................................................260
第五章大数定律和中心极限定理...............................................273
第六章数理统计的基本概念....................................................274
第七章参数估计...............................................................277
• 2 •最真题
2023年全国硕士研究生招生考试
数学（三）参考答案
一、选择题
（1）【答案】A.
【解析】由偏导数的定义,
咨| =临△丑,二/(°，以=]imln(l+lzsinl |)=临皿血1,极限不存在.
ox X X X
I (0,1) L0 x*0- or—0
咨 I = lim £(_32二普 1)= 1血队=1.
oy I(0,1) y—i y — 1 I y — 1
答案选(A).
【评注】计算偏导数也可用如下方法，如
3f I = <1，(0点)I = din y I
dy I(o,i) dj/ I >=i dy I >=i
(2)【答案】D.
,朝士g \ f( Jln(z+ Jl +了2)+G , zWO,
【解析】 f(z)dz = S
J [ (+ 1) sin x + cos x + C2,工 > 0.
由原函数的连续性知G = 1 + G,令Ci= o,G = 1,则
f ln(j? + + I?)+ 1, z < 0,
F(x)=
[(x + 1) sin x + cos x, x > 0.
答案选（D）.
（3）【答案1 C.
【解析】 微分方程的特征方程为/+办+〃 = 0,特征根为九2 = — a 士.归二实
2
若a2-4i>>0,则特征方程有两个实根且万#A2.
微分方程的解为、=Ge"+Ge妃在（一8,+8）上无界.
若 a2 —46 = 0,则 Ai =义2 =— 告.
微分方程的解为y = （Q + C2j：）e~^在（一8, + 8）上无界.
若 a2-46<0,则品=二^^=^.
・1► 数学历年真题全精解析• 数学三）
微分方程的解为v = e-打（Gcos Vib~a\ + C2sin乩）.
如果此解在（一8, 4-oo）上有界，则a — 0,进而b> 0.
因此答案选（C）.
【评注】本题还可从选项出发，验证只有（C）符合条件.
（4） 【答案】A.
【解析】由题意知，正项级数虫。“一a.）收敛，当然绝对收敛.
n=
1
当a,绝对收敛时，
”=1
OO OC OO
、们=£ 、，
Q” +
n—
”=1 n= 1 1
8
两个绝对收敛的级数之和绝对收敛，所以绝对收敛，
n=l
当史们绝对收敛时，
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n=
1
、 2bn — 2（bn— aQ ,
Q" =
n= n= n—
8 1 1 1
习a,,也绝对收敛.
n= 1
答案选（A）.
（5） 【答案】B.
【解析】（方法一）分别令（A）（B）（C）（D）选项中的矩阵为L，】2，L,L.
A矿 A HIJ A 1 B* -B A* - •| A | A*B
.O B. 11 = .O bJI O |B| A*. ___ . • . _
~4 E1 *
不能保证I A\AB- =| A | | B | E,所以L不是 石D ，选项（A）不正确.同理，选项（D）也
不正确.
A £- A '1 B 1 A* -B A* '
I3 =
.O B. _O bJl O 1 A I B* .
f E]j _ A E~ 「| B | A* — A* B* ~ '\A\\B\E -\ A \ B' A \ B' '
Lo bM
.O B.
L
O \ A \ B' . . O \ A\ \ B \ E .
_「| A | | B | E O -
~ L
O \A\\B\E.
选项（B）是正确的.
-i
~A EV _ A E 「A E- ■A-1 -A'B1'
（方法二） =1 A 1 1 B |
-O B. O B LO B 一 -O B' -
"I A || B | A-1 -1 A | | B | A-i矿】" 「1 B | A
- O \ A\ \ B \ B~｝」一 L O I A | B* -
【评注】 本题用到分块矩阵的逆或伴随，设A„m ,Bm
• 2 •#2023年全国硕士研究生招生考试数学（三）参考答案 <
*
A C A Cl FA C~ 'A-1 -A'CB1' ■|B| A*
=1A | | B I
.O B. O B\ LO B_ .O B~l O 1 A | B•-
*
A O~ A O\ 「A O' 'A-1 O _ '1 B | A* O
=1A | | B |
_C B. C B 1 LC B. .-B'CA-1 B1. ・一B*CV
C A'
*
C A I rc
a-
B1
-B O- B O\
Lb
0.
=(-1)™ | A | | B |
-A-'CB1
. 0 I A | B--
=(—/
-\b\a -A'CB' .
»
O A- O A 「0 A- —B-1C4-1 B-1'
(一 1广 I A I I B |
.B C_ B C\ LB C_ 一 A」】 O 一
r-B'CA' I A | B-'
O .
（6）【答案】B.
【解析】（方法一）配方法
（X1 +x2）2 + （而 +工3） —4(xz — x3 )2
=if + 2xi x2 + 蒙 + 药 + 2xi x3 +x| — 4xf + 8x2x3 — 4x|
=— — Sxl + 2x\Xi + 2xix3 + 8x2x3
=2 [(Z1 + + §13 ) — ~^X2 — — ]— 3x! — 3xl + 8x2x3
=2 心- , r 1 ~ ^x2十 . T 1 X3 \ ) 2 %玖 ~ %玖 + 7x2x3
2(Z1 + + -^-JC3 2 _护7(
尸
2 13
正确答案为（B）.
（方法二） 合同变换法
~2 1 1 ■
二次型对应的对称矩阵A= 1 -3 4
_1 4 -3_
-2 0 0 一 r 1 0 0 -
-2 0 0 1
-2 1 1 [ 0 7 7_ 7 0 -1 0
2 2 0 0
1 -3 4 2 0 0 0
~A~ 1 4 -3 0 7_ _7_ 0 0 0 _1_ 72
— ~2 ~~2 -1
\_Ej 1 0 0 72 277
1 1 1 -1
0 1 0 1 ~~2 一万 2 72
Lo 0 1 J 0 1 0 0 1 1 0 1
1 J
L0 0
Lo 0 1 _ _0 0 1 一
] V2 _
V2 2^7
0咚1 x = Fy,则 f = yl —展.
V7
0 0 1
-3 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
（方法三） 特征值
'2 1 1 _
二次型对应的对称矩阵A = 1 -3 4
1 4 -3_
A-2 -1 -1.
由 | AE — A | = -1 A + ： -4 =A(A + 7)(A-3) = 0,得 A 的特征值为 3, -7,0,
-1 -4 A + 3
故正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选（B）.
（方法四） 可逆线性变换
Z1 =工 + 了
1 2 ,
令＜ 初= *1 + 工 3 ，则 f — Z1 + Z2 — 4（Z1 — z2y =— 3z? — 3X2 + 8ziZ2.
,z3 =工
3 ,
再由配方法、合同变化法或特征值.
--3 4 0-
二次型对应的矩阵A= 4-3 0 ,A的特征值为1,—7,0,正惯性指数为1,负惯性指数
.0 0 0.
为1,故选（B）.
（7）【答案】D.
【解析】 设 r = XiOi +x2a2 = x3fl1 ,gp
+ x2a2 — a"】 —x4p2 = 0. (*)
下面求解该方程组：
rl 2 -2 -In 「1 0 0 3 -|
仃仞寺尖映
[a】, A,阪]=2 1 5 0 -------------► 0 1 0 1（仃最简形），
L3 1 -9 - 1J Lo 0 1 1 J
X\ =— 3x4，
方程组（* ）同解于〈^2 = 了4 ,
=— x4.
_ 3、
1 c
通解为x = =n - 口4 e R.
飞3 — 1
x4 1 >
fl] [2]
y = + x2a2 =— 3x4 2 + e 1
laj
[-3] pi ri
=— 6 +e 1 = A5 =— £ R.
l-9j llj [8
正确答案为(D).
(8)【答案】C.
【解析】 由 X 〜P(1),F{X = k} = = o,i,2,...),EX = 1.
E(| X-EX |) = E(| X-l I) =1 0-1 | P{X = 0} + 2 繇一1 | P{X = k}
k=l
・4・冒心腕蹈能:或"网：2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)参考答案 《
=-+ £ 以一1)P{X = k}
=—+ 占以一1)P{X = k}- (O — 1)F{X = 0}
e k=o
1 1 9
=- + E(X-1) + -=
e e e
答案选(C).
(9)【答案】D.
(n-l)S| 如 _*]) —1)岛
【解析】由 X2(m-1),且相互独立，得
2<72
(n-l)Sf
n — 1
卷 〜F(n-l,m-l).
(.m — DSf S2
m — 1
答案选(D).
(10)【答案】A.
【解析】X】与X2独立，服从的分布均为NQz/),记Y = X】一X?,则Y〜N(0,2/),?=
a I Y I.由 * = a,即
•+~ 1 -Jil 「+ 1
8
E(a | Y |)= a y I --------- e 4ff d v = 2 ay — e 4a dy
扁序 Jo 2而
2a _
a • —p. = (T?
V7t
解得a =季.答案选(A).
二、填空题
9
(11)【答案】 y.
[解析]]imj?(2 — zsin§ — cos§
工―8 \ JL. JL
(12)【答案】f.
【解析】 由题意知裂=一 兰—｝，孕=?[:
dx X2 + y dy X + y
孕=2二2两端对y积分得
dy -v y
t
= arctan — +(p(jc),
进而
_ 3L
3f = 7 +，(工)= ：y + (p (z),
dx y_ x2+y2
1 +
X
-5 -► 数学历年真题全精解析■（数学三）
则妒(z) = 0,有(p(x) = C,所以 = arctan — + C.
由 /（1,1）=.，得 C = 0.因此 f （姬,3） = arctan4
（13）【答案】 土方.，二
了 n
2 3
【解析】(方法 ~) e^ = l+.+ - + - +
----------------------- 2! 3!
一工 x2
e = 1 1 一工I +瓦 —的+I ." +I —(— ~l) nXn + 1 …，
n !
两式相加，得
ex + e =2 + 2 •云+ 2 •方+・・・+ 2 —|— • • •
(2〃)！〒
b + M
所以 S (2n)!
2-•
s x2n
（方法二）令S（i）= (2Q!'则
n — 0
8 .
S"）= £（2〃X 2—n—1l ）! 00 x2n~2
*)=、(2n-2)! "希=sq
n = 2
解二阶常系数微分方程
S'（工）一S（了） 0,
满足初始条件S（0） = 1,S'（O）= 0,
S&) = Cl e-x + C2 ex ,可得 G = C2 = y
所以力 eJ + e
(2n)! 2
n = 0
实际上本题是双曲余弦函数ch * — e' ±-e'
【评注】
2
（14）【答案】2e（ -2t-2.
【解析】由题设知 ----------= 3_t,则
— t2.
该式两端对£求导得
即f'(t) — f(t) = 2j解此线性方程得
/(i) = e"'(c + “ 指—&&) =
Ce' — 2t — 2 y
由 /(0) = 0 得 C = 2,故 f(t) = 2e' — 2t — 2,
(15)【答案】8.
【解析】 已知题中方程组有解，所以r(A) = r(B),
a 0 r a 0 1 r
1 Q 1 1 a 1 0
其中 A = ,B =
1 2 Q 1 2 a 0
a b 0 a b 0 2
• 6 •2023年全国硕士研究生招生考试数学（三）参考答案
a 0 1
又因为 1 a 1 =4 乂 0,所以 r(A) = 3,从而 r(B) = 3, | B | = 0.
1 2 a
a 0 1 1
1 Q 1 Q 0 1
1 a 1 0 按4列展开
B 1 2 a + 2 lai
1 2 a 0
a b 0 1 2 a
a b 0 2
1 a 1
8- 1 2 a =0.
a b 0
1 a 1
所以 1 2 a =8.
a b 0
1
（16）【答案】
史
Cov(X + Y,X — y)
【解析】(X + Y)与(X —Y)相关系数为.=1 ,、, 床,
JZXX + Y) VD(X-Y)
因为 X 〜B(l,p),DX = p(l-p),Y - B(2,p),DY = 2p(l-p),且 X,V 独立，
D(X + Y) = D(X-Y) = DX +DY = p(l - p) + 2p(l - p) = 3p(l -/>),
Cov(X + V,X — Y) = Cov(X,X)+Cov(X,—Y)+Cov(Y,X)+Cov(Y,—Y) = DX - DY
=p(l — p) — 2p(l — p) =— p(l 一 ？)，
乏八= CCoovv((XX ++ YY,X,X —-Yy)) =—》(1—力)=_
心 JD(X + Y) JZXX —Y) 3力(l-p) 3 '
三、解答题
(17)【解】(I )等式aex + J + v —• ln(l +工)cos y + 3 = 0两端对x求导得
ae1 + 2yy' y' — 丁 + ln(l + Qjsin y = G.
1 + x
将工=0,j = 0,/(0) = 0代入以上两式得
a-\- b = 0,q — 1 = 0,
由此可得a = l,b =— 1.
（口）等式 ex + 2yyf y ~ & + 就1 +=）j/sin y = 0 两端对 x 求导得
1十x
e，+2W' + 2/+,〃+"+ 代
+ [ln(l +z)j/sin y]' = 0.
将x = G,y = 0,j/（0）=。代入以上式得
1 + /（0） + 1 0,
则v"（0）=— 2 < 0,故了 = 0为了（工）的极大值点.
（18）［解】（I）所求面积为
s
-7 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
（U）所求旋转体体积为
,4-00 dz ,4-00 1
V =
7T J72 ( 1 + J72 ) TC 1+x2
1
—— M* + arctanz)|「=中一于).
【评注】 第1问的积分计算还有其他方法.
________ 「 J ■ 1 十 _ 1
4-8 4-00 __
方法一 令 t = + 1 ,S = ~2----- = -yin = ln(V2 + 1).
JV2 r — 1 2 Z + 1 yf
S =「8 1—dr=i=^= [ -^A_dz =
方法二 esc tdt
J 1 z Jl+l J f tan Zsec t
=—In | esc t + cot 2 | | ： = In(妨 + 1).
(19)【解】如图，
设 Di = {(],’)I 二2 W 1,(] — 1)2 +了2 W 1},
D2 = { (x,y) I + J/2 > 1 , O — 1)2 + jy2 W 1 },
则
JJ I + y2 — 1 I d^dy
D
=jj( 1 — + — )dxAy + jj( y/x2 + y2 — 1)dzdjy
D1 D2
而
Cf fl fv f2cos ff
』寸 +)dzd;y = 2 d。 (1 — r)rdr + 2 d。 (1—r)rdr
Jo Jo J y Jo
=言+ 2「^2cos2ff— -|-cos3^^d0
=如专 + sin 20| ；—孕(sin 0 — §*)|si ；
4 .3x^3 32
—7T ~r"-----
9 2
0
jj( \/x2 y2 — 1) dxdy = 2「d。 l2cos
(r —l)rdr
D2 0
=2£3 (音5 - 2cos纽+ § )d° =— % + 言
所以J | y/x2 + y2 — 1 | dxdy = 3 足一言—普.
D
【评注】还可计算］［（石
2
* 丁
2
_ 1 )dzd» 「( Jj? + J— i)didy —JJ( jc2 y2 - 1) dzdy
D D]
°2
（2。）【证明】（I）由泰勒公式可知
f（H）=/（0）+广（0）了 + 乌=，（o）z +乌3*2,1 其中"介于 0 与* 之间.
乙！ 乙！
f（a） = /'（0）& +』择）口 ,（0 < 中 < a）,
则 2 ①
-8 -嫁2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)参考答案
/(— Q)=— f (0)Q +，涕。 q2 , (_ q V % VO)， ②
乙！
2
①+②得/(«)+ /(-«)=守 LT (小)+广(弥)]. ③
又f (工)在顷2,少]上连续，则必有最小值m和最大值M.而
由介值定理知，存在££
[w，v
」
U
(~a,a),使得，(Q = (小)+/'(宓)].
代入③式得 /($)= 4[r(a) + /(- a)].
a
(H)设 3 在& € (~a,a)取得极值，则f (工。)=0,由泰勒公式可知
/*&) = /(XO) +，&0)(了 一 Zo) + (Z —二0)2
=/(J?O)+专？ & — 了 0)2 , 其中《介于了 0 与x之间，
则 f(— a) = /(JTO)+)(― Q — 10)2 , (― & V & < Zo),
乙!
f(a) = f{xQ) H-----(a — Zo 尸，Go V & V Q),
| /(a) - /(- Q)I =V)(Q — Xo )2 - (a + J：o)2
Z! 乙！
< /乒”(a —3+ /乒)|(a + 五)、
Ll Li
又|广(z) |在[&，&]上连续，则必有最大值M.
故存在 (―q,q),使得 |f(/| = M.
I /(a) — f(— a) | V 竽[(。—Zo)2 + (• + )=侦-七声.
总之 fy(y') = (1 + yY " ' 2 0’
0, 其他.
(方法二)公式法
y = ex在(一8, +8)上单调上升，值域为(0, +8),反函数为x = In jz,
My) = j/Gn ^011 =(r£'">)2 - 7 =(T*T77
o, 其他.
(HI)ey= 广 心积分不收敛，故丫的期望不存在.
(].十
J 0 V)
・10・峪 真题分类解析
第一部分微积分
第一章函数、极筷、连姨
•、复合函数及函数的几种特性
/解题加速电
1.•【答宓|
[解析fW
/(—x) = \ (—x)sin(— x) | ecos<-x>
=| zsin | ecosx = /(x),
t
则，&)为偶函数，故应选(D).
2.【解】 由 /(x) = exZ = 1 — x,知
W- = If,
(x) = ln(l — 0),
则 g) = Jln(l—z),其定义域为(一 8,0].
3.【答案】B.
【解析】 先求/[/(x)L由于当| x |< 1时,/&) = 1,即| 心 |。则/[/(x)] = 1;
当 | z |>1 时,/(x) =0,此时 | f(x) IV1,则 /[/(x)] = 1,从而对一切的 x,/L/(x)] = 1,
故 /{/C/U)]} = 1.应选(B).
:、极限的概念与性质
(](2010,4题)【答案】C.
【解析】 求解本题的依据是极限的保序性:设F&) > 0,G&) > 0,
.11数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
若lim另* = a V 1,则当工充分大时，岑* V 1,从而F&) < G(z).
l+8 Cr(«r) Cr(z)
若lim另* = a > 1,则*充分当大时 ，另=> 1,从而F(x) >G&).
l+8 (Xz) G(z)
当z > 1时,/(J7)= ln10x,g(x) = z与A(J7)=：航都为正值函数，且
lim =lim - = 10 lim - — — = 10X9 lim =…=(10!) lim — = 0 < 1»
—+8 g(z) x*+-°o JC >r—+8 JC x*4--oo JQ 工_►+8 工
则当X充分大时f(jc) < g(z).
又 lim = lim — = - lim e春=+ 8 > ],
+8 g ( ) x-»4-OO JC 1 0 Hf+8
则当JC充分大时h(jc) > g(z)，故应选(C).
^=^- = - = - = - = ^=-- = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = = = = = = = =_^
' 【评注】本题本质上是无穷大量阶的比较.当工―+8时，基函数丁（a>0）,对数函数11
II II
"In匕，指数函数ac（a > 1）都趋向无穷，且 ■>
II II
|| In z《z。《 q* （a>0,Q>l）,
ii ii
"其中In z《表示当z — + 8时，是比In z更高阶的无穷大，即lim =+ 8,从而11
11 工一+8 In x 11
n当z充分大时In jc < ,本题利用以上结论立刻得到正确选项. ii
IL- _ = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ J|
0（2014,1题）【答案】A.
【解析】（方法一）直接法：
由lima” = q,且
q
尹0,知lim \an\ = | a | > 0,则当〃充分大时有
n-»oo "-»8
01〉也，
故应选（A）.
（方法二）排除法：
若取a, = 2+旦，显然a = 2,则（B）和（D）都不正确；
n
若取an = 2 ——,显然。=2,则(C)不正确.
n
故应选(A).
Q(2015,1题)【答案】D.
【解析】 若 X3„ = 1 + 件1 = 1 + 7.,X3«+2 = 2 + 9 ' 灵则
3〃 3〃 十 1 3〃 + 2
lim% = 1, limj：3n+i = 1,但 1血孔并2 = 2,故limz” 手 1.
”一》 n ”一》
n—»CO 8 —* OO OO
日(2022,2题)【答案】A.
【解析】 由于lima„ = lim^T— lim -—— =1,又
”一* n—-°O 8 fl
8
Q1 = 2 > 1 ,a2 = V2 — y < 1,
则存在N>0,当n> N时,
-12第一章函数、极限、连续
Q2 V an V Q1，
而,a2，-,aN为有限个数，则必有最小数m和最大数M,且
a/2-------= a2 2 = ai ,
则a“有最小值也有最大值，故选（A）.
/解题加速%
1•【答
【解析拉早醇要考查考生对数列极限的e - N定义的理解.其定义是“对任意给定的e > 0,总存在
正整数N,当 患 N时，恒有| x„-a |Ve”.显然，若I x„-a |Ve,则必有I弓一a |<在,但反之也成立,
这是由于e的任意性，对于任意给定的& > 0,取I w —a | V 2e中的e =号测有| z” 一a | V次=细 V
且，即对任意给定的正数巳>0,总存在正整数N,当n>N时，恒有| % —a |V&,故应选（C）.
p== = = = = =r = ir-T：'=-：r!=' = = = = = T = ^,'= = = = ^ — ^ = =, = = = = = = = = = = = = ==j|
【评注】 到目前为止，考研试卷中还没考过利用极限定义证明lima” = a,或lim/Xz） 11
i' 工f 工
II 8 0 "
II "
I- = A的试题，但从本题可看出，考研要求考生理解极限的定义. J
2.【答案】D.
【解析】（方法一）由于limb' = 1供0,limc„ = 8,则limb”c” = 8,即该极限不存在，
n—^oo
n—»oo ”—8
故应选（D）.
（方法二）数列极限描述的是”无限增大时数列的变化趋势，其极限不一定存在；如果极限存
在，极限值等于多少也与数列的前有限项无关.数列极限的保号性及其推论（保序性）只是从某个
充分大的N项以后成立.
虽然有lima, < lim6„ < lime,,但这只能得到存在充分大的N,当n>N时，恒有
”一》 ”一
OO ”-AOO >00
an
m
8
a” =
q
尹0, I
||
I
II "
"limb” =8,则 lima„6n = 8. :
II 8 ”—8
L=== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
3.【答案】B.
【解析】 因为a„>0（n = 1,2,-）,所以数列｛&｝是单调增加的.
. 13 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
如果｛S“｝有界,则由单调有界准则知｛&｝的极限存在，记为limS = S.由此可得
n—8
lima” = limS” 一 limSi = S —S = 0,
8 8 n—»oo
即数列修。收敛.
反之，当修”｝收敛时，｛S,｝却未必有界.例如，取= 1（〃 = 1,2,…），显然有｛□”｝收敛,
但S” = 〃无界.可见｛£｝有界是数列｛⑶｝收敛的充分非必要条件.
4 .【答案】D.
【解析】（方法一）直接法
由于当一号于n W身时,0于cos z” V 1,而sin z在［0,1］内单调且连续，则由limsin（cos xn）
,1OO
存在可知
limcos
Hf8
存在，但lim工，未必存在，如
n*o-o
7T n为奇数,
2
4 =
7C 〃为偶数,
2
则limcos xn = 0,limsin(cos x„) = 0,但limz” 不存在，故应选(D).
8 Tt—8
n—8
(方法二)排除法
n_
n为奇数,
~2
令 z” = V
7T 〃为偶数,
~2
贝!jlimcos(sin z”)= limcos[(— 1)”] = cos 1,
n—*oo 8
limsin(cos x„) = limsin(0) = 0,
n—8 ”一*8
但linrr”不存在,limsin 也不存在，故排除(A)(B)(C),应选(D).
n—8 n—8
三、求函数的极限
（2009,9题）【答案】普.
【解析】（方法一）lim蛀二艾— =lim — eCOSJsin z （洛必达法则）
J1 + 充 一 1
=4 lime。。"(1+”2)号=穿.
Z x*o- Z
X—0
（方法二） 当£ — 0时，学讦m-1〜捉，则
「
p — cos -r e — ecos
lim ； , ---- = lim （等价无穷小代换）
工-。yi+j：2 — i z - 1 - JC2
3
・14・. 《 第一章 函数、极限、连续 #
_cos X 1 __
=lim (洛必达法则)
H*0~ Z
--T
3
3e
=-- A
2*
(方法三)由于当z-0时有
ex — 1 〜1,1 — cos z 〜a, (1 + xY — 1 〜or ,
所以 e — e00，，= ecosx (e1-cosx — 1)〜e(l — cos x)〜-|-j;2 , ^/1 x2 — 1 〜-^x2,
p — qCOS X 2 3e
贝lim % . ------- = lim —
i。Jl + I? 一 1 1。
= = = = - = = •= = = = = = = = = = != = - = ■=- = = = = = = = = = = ；： = - = = = = = = - qj
i„i 【评注】本题是一个音n 型极限，主要是利用等价无穷小代换求解. „ii
II II
" 常用的等价无穷小：当* — 0时 "
II . II
n
x 〜sin x 〜tan x 〜ln( 1 + z)〜arcsin x 〜arctan 二 〜e” 一 1,
h
* ii I ii
ii 1 — cos 工〜方=2 ； (1 + ])a — 1 〜皿；b — 1 〜zln q(q > 0 尹 1). n
n Z ii
:还有若 a&) f 0,则 a(z) +o(a(Q) ~ a(z). :
L 注意：在乘除法中可用等价无穷小代换，而在加减法中不能用等价无穷小代换. j
0(2010,15题)【分析】 由于lim招=lim ，而lim 叵^ = lim — = 0,则本题是一个
工―+8 JC 了―+8 JC
Z—+8 x-»4-OO
“0°”型极限，通常是改写成指数形式或取对数后用洛必达法则.
X
、
■【 解■】 1 l, im /( z—三 一11)砧1 =Jl. im eIn―(x1砧 —1) ,
丁―+8
X*4--OO
又lim In苹.二.L)= 1血■(.社匚/【 (洛必达法则)
in x l+8 &三一1)/ %
x—4-oo
lim --- 1 .- - — jI—n _ r- I - n - - x --- lim 1 f 了 e I ~ n j -1 n x
i+r (e丁 一 1) .Tf+8 In x
=—1.
则原式=e-1 =
e
0(2011,15 题)
lim / +件£一手二1 = ]im Vl + 2sinx-x^l (等价无穷小代换)
【解】(方法一)
x*o- xln(l + X) x工-―o x
0
・15・数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 1
COS Z _ ]
_ hm+ 2sin z
（洛必达法则）
H—0
—【lim cos z — Jl + 2*nsi z
（极限为非零常数的因子极限先求）
2 x*0- X
COS X
—sin x------------------
【lim JI + 2sin :c
（洛必达法则）
2 x—0 1
1
万・
(方法二)lim」」+2sin z — z — 1 ]im+ 2sin z — z — 1
（等价无穷小代换）
zln(l + x) x2
x*0-
lim】 + 2sinz—(z+1)
（分子有理化）
2"
x*0-
1 2sin x — jc1, — 2x
X
—m sm z —
职 x2
1
希
7
【评注】 当z -► 0时,sin x — x是z的3阶无穷小，则lim 迎寻~~— = 0. it
x*0- X it
（2012,9题）【答案】邰、
【解析】这是一个“1°°，，型极限，由于
(tan ) cos in =[1 + (tan j;—1)]或
tan x 一 1 tan x — 1 i • — 1 nz
lim =lim -------—-----------r = lim------- =_寸2,
* cos — sin x cos z(l — tan x) n cos x
jc 工r
故lim(tan %)«>5-血
Q(2012,15 题)
一 x x
p-r2 p2-2cos x —2+2 cos __ I
【解】（方法一） 1 n
x*0
•
-
m - c -- ----------x--- c -- -------------- l
x*0
i
-
m e2-2™81 •
H
li
—
m
0 jr4
]J—2 + 2cosh
（等价无穷小代换）
■r—0
lim2x-2sinx
（洛必达法则）
x—0
1
--T2
1 — cos x 1 v 2 1
------------ = k hm ——x—
3/2------6 x—o x2 12,
（方法二）职土 2 —e_ _2—_2_ co_s x 行/—2+2cosh _ I
lime2~2cosx ■ lim ---------5-------
]4 X—0 H—0 x
-16・第一章函数、极限、连续 ◄
衣一2 + 2cos 工
lim （等价无穷小代换）
x—0
x2 — 2 + 2(1 —芸 + * + o(x4))
=lim-------------- 一孕一公---------(泰勒公式)
X
x*0-
(方法三)lim # 一 fg： = lim e'(? 一七'2cos工) (拉格朗日中值定理)
JC 3C
■r—0 h—0
V x2 — 2 + 2cos x
=lim-----------
X4-------------------
X-0
（洛必达法则）
(jc — sin x — -7-x3)
b
=_1_
一 12,
0Q](2O14,15 题)
f [/(e+— 1) — [ [*^(e — 1)—日dr
[解](方法一) 临 七------——亦一=lim山---------;------ （等价无穷小代换）
i ®ln(l + .) * •手
*2
=lim [x2 (*e — 1) — x] （洛必达法则）
H—+8
1 _
--=t
X
lim—f （变量代换）
一。+ t
[.e' — 1
=lim （洛必达法则）
-0+
一T,
（方法二） （等价无穷小代换）
= lim [x2 (*e — 1) — z] （洛必达法则）
X*4--oo
P ））F
=些 （手+法+。信 （泰勒公式）
-17・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
1
［U（2015,9题）【答案】
~29
【解析】lim 虹气、*） lim 比口 + (cos z—1)] = limC0SL 1
L 0 ]2 x*0- x2
1卜
2 1
lim
x2 2
—sin x
或lim In(cos Q =lim COS 工 lim —「an z i
X2 x*o- 2«r x-o 2x
x-»0
明（2016,9题）【答案】6.
-y f(x)sin 2x
［解析］lim >1+'&）苔业二1
=lim =y lim/(x) = 2,则lim/(x) = 6.
e3x 一 1 3x
x*0- x—0 x—0 x—0
[£(2016,15题)【解】 lim(cos + 2j?sin z)，= lim[l + (cos 2z — 1 + 2xsin x)]> ,
x—0
(2z)2 . (2z)4 ^,4、 —寿 + o（史）］
hm cos 2x — 1 + 2xsin x
=lim
x*0- x—0
X”4
3 x
lim —— T
x
原式 =ey.
［E（2017,15题）【解】 Jr — te' dt 4u^r~udu = ex | a/u e-Mdu,
o
0
J工一代 exj y/u€~udu
di
lim 0 lim
lo+ 时 r—0+
lim (lime, = 1)
2
3 i
Q§（2020,1题）【答案】B.
[解析]iq.Q sina lim竺直苴心二q（£在 &）和a之间）（拉格朗H定理i
x — a x — a
1- f(1)— a
cos a lim ------------
工―“ x — a
Deos a.
故应选（B）.
回（2022,11题）【答案】e'
1 + ex\co,J limfw e' — l
【解析】lim
2 2
x—0 x—0
・18 -芸"..
第一章 函数、极限、连续
口 i・ e — 1 , i. x cos x 1
乂 hm —-—cot x = lim — • ——
X—0
L
lo
L sin x 2
X
cot
e
x*0-
/解题加速度.
1.【答
[im 可(％) + sin 6z
【解析】
x3
x—0
〔6 工—§(6工)3 + o(x3)]
xf (x) +
lim （泰勒公式）
lim 心土§
—36 = 0,
1
则血£0）土§ =36.
x2
T—0
由lim寸8+血6z =]im (工f (工)+ 6工)+ (sin 6z — 6z)
（方法二） =0知
X—0 T—0
lim*+6 = lim 6l sin 6x
X2 - ”X3
x*0- x*0-
§(6力3
lim 6 工一sin.了 〜&
X3 0
X*O-
36.
由Rm对危)* sin 6z = °知,
（方法三）
JC3
当 z f 0 时，工f (工)+ sin 6x = o(x3)，则 f (工)=—血 '乂 + o(x2),
z» sin / 2、 e sin 6z
6-------------io(z ) 0-----------
lim 心 + 6 = x X
=lim
X
x—0 x—0 x—0
i. 6— sin 6z
lim--------------- = 36.
X3
x*0-
（方法四）排除法
令 xfCx) + sin 6工=0,显然有lim sin 6z =0,此时，/（工）=一* 竺
X
b c ---- s - i - n -- - 6 -m-
lim 冬或=lim r 6x — sin 6x
lim--------x------ = 36.
X x
x*0- X-O
显然（A）（B）（D）均不正确，故应选（C）.
1
2.【解】（方法一）当 z->0 时，1 — cos x----x2 ,sin4x 〜x4，则
. 19 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
、「 1 /I」， *飞 卫一ln(l + tan z)]
x-1 2[
(1 — cos z*) — ln(l + tan z)」_〔血 2
lim ♦ 4 .4
x*0- sin i lO sin x
] hm x ~ ln(l + tan x)
一
x2
X—0
1
j. 1 — —sec2 x
r 1 + tan x____
lim
2 2x
x—O
=M lim 1 + tan z — se/i
Z j—»o 2x(1 + tan z)
tan x — tan纭 _
=~ lim
4 X 一 T*
-^-x2 [z — ln(l + tan i)]
（方法二） lim( 1 — cos c) [jc — ln( 1 + tan «z)] lim • 4
x*o- sin4 j? sin x
x-»0
r2
Bm x — ln(l + tan x)
~2 x2 ln( 1 +i) = jc ~ + o(j?2 )
x*0-
x — [tan x —访* 乂 + o(x2)]
X
lim--------------------5------------------
2 X
X—0
(x — tan 1)+ 邑* % +。(二2)
1_ =J_ Hm = 1
lim--------------------5------------------
~2 X 4 l。 x2 4
H-0
其中lim三二t毅* = o.
x—0 X
注意：当x -* 0时，z — tan z,z — sin z,sin z — tan z都是z的3阶无穷小，这是一个常用的
结论.
广……………= = = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
Il n it
- 【评注】 本题是求左型极限.方法一主要是利用洛必达法则和等价无穷小代换；方法..
«| U ii
L二主要是利用泰勒公式和等价无穷小代换.
3.【答案】C.
【解析】（方法一）这是一个“I""型极限，直接有
并&)
lim (x — aX) '(z +》)] lim ]_L(口 一 b)jc + 沥 ((xa——“h).)(x+ab ( ( d x — — 6 a ) ) j~ (a + 4 af - e fr)
工— (x — a) (x + 6) J
x*o-o oo
ea~b
（方法二）原式=limex,n^
? *-a)(orf-6) ,
r i T-i i (a — b)x + ab 1
性工In (—)(0 螟了叫1 + G=a)& +》)」
limx ■ -(“一'处 + 泌
（等价无穷小代换）
一 (z — q)(z + A)
a ~ b.
・20 -第一章 函数、极限、连续
则原式=L.
(方法三) 对“广”型极限，可利用基本结论.若lima(x) = O,lim^(x) = 8,且
X—*OO x—>oo
lima(x)/?(x) = A,则lim(l +a(x))^x) = e”.由于
l i- i ma( z x)^(j?) 、 = l i- i m j—c2 —；-- - ( - x -- - — -- - a -- ) - ( -jj— ? + rr— 6) • z = r h m - ( - a - - — --- - b 若 )x - - + r a - b r r ,工 = a — b , ,
工—8 ]—8 (X — Q)(Z 十 O) 工―8 \ JC CL ) ~| b )
则原式=
(x — a) (x + b)]
（方法四）原式=
jc2
=lim (1 —— • lim f 1 + —
JC
x—*oo \ •X—8
=ea ・ e'6 = L
[i== = = = = = = = = = ~ = = = -~ = ~=r = - = :s~ = ~~- = = = = = = = := = = = = = = = =n]
评注】方法三和方法四中都用到本节小结中关于“广”型极限的结论，其中方法四最
H t II
II »
"简单. j
ln(l+z)忙 拍岬
4.【解】（方法一） lim ----------- = lime ex-i
x—0 X J H-0
In ln(l +-) infl 卜 ln(l + z) — z~|
而lim — （等价无穷小代换）
e —] x
x*o- x—O
limln(l+Q—工
（等价无穷小代换）
工— x2
0
1
1+广1
lim （洛必达法则）
2x
x*0-
—z
1 + z
lim T
2x
x—0
ln(l + z)]
则lim e 一万
x—0
ln(l + x) = iimri+ln(1+x)~j
（方法二）由于既
x I 工—o L x
而 lim 1" 1 + X)— x 1 i. ln(l + x) — x
lim （等价无穷小代换）
x—o ex - 1 x*0- x
1+广1
1
lim
2x 2
x—0
ln(l +1)]
则lim eT
x*0-
・21数学历年真题全精解析. （数学三）
厂……= = _ — = = = = = = = = = = - = = = = = = = — — - = = = = = = — =
" 【评注】这是一个"IB”型极限.方法一是改写成指数形式后用洛必达法则和等价无穷
:小代换，方法二用的是关于"IB"型极限的基本结论.显然方法二简单. II
II
" 本题中的极限］im】n（l+G—工 II
也可用泰勒公式求解. II
li X2
lO II
，2 U
O(X2 )
[. ln( 1 + z) — x X — — 4- 1
lim
X2 T2 II
lO
L.
5 .【答案】D.
【解析】由题设,3）=土，从而题设等式化为
工
arctan x = ———^G (0,x).
1十尸
并解出U = — — 1.于是
arctan x
任 lii・ m 亏 x — = ar l c im ta n x lim x — arctan x
x-o x x*o- t arctan —xg----------- T*O -- - - - ------------ x3
X2 1
=1既 • J- I lim
x*O- 3*2^2(1+ ) 3
即选项（D）是正确的.
r
【评注】本题以等式建立了 $与$之间的关系，此等式就是函数了（工）
II
I；
在区间（o,z］上应用拉格朗日中值定理所得到的.本题的本质是求极限.
匚二= =. = = = = = = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==
6.【答案】 y.
t ln( 1 + tsin z)dz t ln( 1 + isin
【解析]lim ------------2— =lim -^―
x*o- 1 — COS X x*O- 1 /
万
i. zln( 1 + zsin z) x2 sin x 1
=既------2P---------=叫克k - 2・
2护
7.【答案】1.
]2
【解析】 lim x2 [arctan(a: + 1) — arctan = lim , （拉格朗日中值定理）
1
_r—+©o _r-»+8 ~j— (
这里 z2-If
")土以
2 2 J 1 x
o
・23・数学历年真题全精解析• （数学三）
= lln2-l ■(x-Dd.-lf1 冬&
o 2 J o 1 十 1
1 ]
=yin 2 — — 1)2 ——ln(l +z)
o L
0
X
皿（2018,19题）【证明】（方法一）由于当z>0时,eJ-l>x,则由乃>0,知戏=另一 1
> 1 口2 > 0.
若x* >0,则由e%+，=已二2 > 1知工十>0,即数列｛瓦｝下有界.
. , pJ»i -- ] pJn -- 1
由 xn e^1 = e% — 1 知 = ------= In-----------------.
Xn+i — xn — In -- ------ — In ex« = In —----- .
%” 石亦
令/(x) = xex — (b — 1) ,«z £ [0, + 8),则
/(O) = 0,
f'(jc) = eJ + xex - ex = xex > 0,z £ (0, +8),
则 f(工)> O,xeT > ex — 1 ,x 6 (0, + °°).
Ji — x„ == In © "」< In 1 = 0,
xn ex-
S”｝单调减少，由单调有界准则知数列伐〃｝收敛，令lim% = Q，等式
8
•z“eF = ex» — 1.
两端取极限得aea = e“ 一 1,由此得a = 0.
5 — 1
(方法二)由于当工>0时,e-l>x,则由幻>0,e% =——>1可知x2 >0,由归纳法
•Z1
可知> 0,即｛]”｝有下界.由= ex" — 1知
eW — e'二=土二^ =亦v*,( 拉格朗日定理，其中0 <*&< ”).
x„ x„ —0
由于e，单调增加，则工心V%,即S”｝单调减少，由单调有界准则知S“｝收敛.设lim% = a,
n—8
等式=e" — 1两端取极限得
aea = ea — 1.
由此解得a = 0.
亚（2019,9题）【答案】
【解析](岂 + 土+ “・ + ;^17)= (1— …—尚)
]
=1 -
n + 1
土+£ + .•. + 〃(代宜) =临"给 X
lim
e
n*oo- ”-*8
・24 -_________ 《
第一章 函数、极限、连续 4
厘)(2019,19题)【证明】(I )当0 V* V 1时口" J1 一 *2》广 则
f x" i/l — x2 Ax f x"4-1 •/! — x2 dx,
2
J J
0 0
即a, a* ，从而数列｛a,｝单调减少.
2
an = \ xn a/1 — x2 dx =—K x"-1 d(l — x2 )T
J o 3 J o
=—§工1 (1 — %2) 务 | ： + " j z"-2 (1 — ]2 )3d«r
= Xn~2 \J\ —盘 dz — xn a/1 — X2 dx
="3 1 (J x"-2 \/1 — x2 dx _ J xn 5/I — jc2 dz )
=—2 (an-2 —
an)•
从而有 an = n .la^2Cn = 2,3,…).
n~\~ I
o,则
Q” - Q” -I
0 ------0 ——=1.
an-2-- Q«-l Q”
又lim生-=lim "工！ = 1,由夹逼原理知lim - = 1.
n—8 CL n—2 ”f 8 n 十 Z 8 Q i
/解题加速险
1•【答
【解析】 &是一个n项和的数列极限，常用的是两种方法——夹逼原理和定积分定义.由于
-|-n(n + 1) -yn(w + 1)
-----------------------------v---------------------------------1---------------------------------------- -I --------------v --------------------------------,
n2 1 2----------n2 n2 1
+ n + n n2 + n + w2 + n + + n + n + n +
而
+ + 1)
1 •乙 X i • Ci J-
n l — im 8 ―〃2~十i 〃十i rz = ~O Z ~，lim 8 ―〃2~十~: 〃十；~]— = ~Z~ ,
Z
则
蜒(疽+ ” + 1 + 必 + 71 + 2 + …+ n2 +n + n ) = ~2'
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
!； 【评注】 本题用到求和公式1 + 2 + •••+〃 = !〃(”+1).
it Z 11
2.【答案】B.
【解析】本题是要利用定积分定义将原式极限化为积分和式的极限，进一步化为定积分.
. 25 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
. 削lnJ（D （1 +号）•••（1 + f）
=lim-rin（l + -V +ln（l + -V + -4-ln（l + —V 1,
该和式是函数In x2在区间［1,2］上的一个积分和的极限，它是将［1,2］区间分成n等份，每个子区
间长度 g = +，而每个子区间中的&都取该子区间的右端点1 + §,即/（&） = ln（l + §「.
故
lim］nJ（］ + §） （1 + 号）.,•（］ +于）=j In In zdz.
【评注】 本题用到求1项和数列极限的一种方法——定积分定义.本题茧不直接是〃「
:项和，但出现了对数内部为〃个因子相乘，利用对数性质将其化为n项和，进一步化为定积:
" 1 "
"分.利用定积分定义求〃项和的极限的一般方法是先整个和式提一个因子上，然后根据和式"
if n it
"确定被积函数和积分区间，进一步化为定积分.通常提出］后可化为下列和式:
it n
:其中r（*）在［o,i］上连续，利用以上方法不难求得
些(" + 1七+ 2 +…4- ] )=£ -~:—dr = In 2.
n-\- n 1十z
3.【答案】B.
【解析】（方法一）由于0 VaV们则
lim(a~" +") + = a~'
=/（其中既修）'
（方法二）利用夹逼原理求极限，由于0 Va＜们且
u + 5f=J(y +(y,
又lim橱=1,则
“ —8
limU +衍”）+ =—.
8 a
（方法三）利用此类极限的一个常用结论：
"
li
f
m
8
Jq* + a? + …+ 以=maxat,其中 a,〉03 = 1,2,••・，〃）.
・26・第一章 函数、极限、连续
由于 0 0)型极限. :
71—8 1
it 方法一是将秫个底数S中最大的提出来； ||
: 方法二是利用夹逼原理； :
: 方法三是利用此类极限的一个常用结论，该结论可用方法一和方法二中的两种方法来"
I证明，该结论可直接用，会给我们带来方便，如 :
II -------------7 ~n II
~~2~~
1 + 工”+ ($)&20), u
:都可用该结论求出. :
蛙…………………………………………=一二-……一二…』
4 .【证明】(I)由拉格朗日中值定理知，存在8 6 3』+ 1),使得
ln(l + §) = ln(n + 1) — lnn = -^-
则—T~f 0.
从而数列修。有下界，故该数列收敛.
「== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ===；］
11 【评注】 本题中(I )是一个不等式的证明.高等数学中有两个常用的不等式 "
Il I
: (l)sin z V z V tan € (。，专)； ：
it it
'' (2) — V ln(l + Q V 1 ,z £ (0, +8). ''
］十
ii z ii
ii ii
: 考生应该熟悉，本题的(I )只要在不等式(2)中令工=［便可证明.本题中的(U)主要''
11 n J11
［考查数列的单调有界准则.
-27・数学历年真题全精解析・■■（数学三）
5.t答案】f.
【解析】这是-个顽和的极限,提-停的因子，知原式为-个积分和式.
22 + “2
1 1 1____
=lim — 7^ （I » + ・・・+—— (IT
“f 8 n 1 + (n 1 + 1 +
=「冬=arctan 工 TC
J 0 1 + o厂
6.【解】（I），n）= 了,令f'3 =。，解得贝）的唯一驻点了 = 1.
又/(l)= 1 > 0,故/（I） = 1是唯一极小值，即最小值.
X
（H）由（I）的结果知1北+手21，从而有
In xn H------- V 1 W In .
于是XW <存 ,即数列｛与｝单调增加.
m
又由 In xn ~\----— V 1,知 In < 1,得 V e.
Zn+l
从而数列｛*, ｝单调增加，且有上界，故lim%存在.
“f 8
记limz” = Q,可知弓2飞1 >0.
“—8
在不等式g +亡v 1两边取极限，得In a + X 1.
又 In a + — ^ 1,故 lna +【=1,可得
q
= 1,即 limz” = 1.
CL Cl 8
|J==- = = = = = = - = = = = = = = = = =!^!=-= = = = ?5 = = = = = = = = = = = =
II 【评注】本题主要考查一元函数极值的判定和数列极限的单调有界准则. ii
Il _ _____________ 二』
fl (z) 1 + z x
7.【解】y2a）= f（f解工））
1 + 人（Z） l + 2z；
1 + -^-
1+x
f2（X） X
了3&) = f(J\(H))
1+，2（Z） 1 + 3z
x
由数学归纳法得fq）= (n = 1,2,3,…).于是
］+ nr
1—! 1 ln(l+n)
S” = j———dz = dx
］十nz ］十nr n
0
-28・第一章函数、极限、连续
ln（ 1 + 〃）
故 lim’S” = lira （1 — =1.
n
n-»oo n*o-o \
五、确定极限中的参数
圉（2010,1题）【答案】C.
【解析】（方法一）该题中的极限是“8 — 8 ”型，通常是通分化成“号”型再求.
lim J 临1一.（1—皿* 音型
X X
X—0
（洛必达法则）
1
x*0-
a — 1 = 19
则a = 2,故应选（C）.
（方法二）左端极限可拆成两项（前提是两项极限都存在）分别求.
lim「【— 1
——a =lim ------- + limaex
x x 工—
0 0 JC x-*0
=lim ―— + a （等价无穷小代换e，一 1〜7）
工—o x
=—1 + Q = 1 ,
则 a = 2.
— — — — — — — — — — — — — — — — — = — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —|
F =
ii 【评注】 部分考生选择（B）,原因可能是将“limb = 1"代入原式得到以下错误的解法"
ii II
n II
lim II
ii x—0 II
ii 再由题设得到错误的结论％ = 1",这种在极限式中对“部分量"先取极限是一种“经典 II
ii II
ii 的错误”. II
L
圉（2013,15题）【解】（方法一）
1. 1 — cos X ・ cos 2x • cos 3z
lim------------------------------------
ax
=
r
li m
sin x ・ cos 2r • cos 3h + 2cos z • sin 2x ・ cos 3x + 3cos x • cos 2r ・ sin
l0
I
由于当 n = 2 时，lim 血 * 2* • cos 3z M
x—0
4
v 2cos x • sin 2x ・ cos 3z -
lim
anx^ 29a
lim 3c°s * . cos 2工. sin 3z 一 2a
anx^1
X—0
r-r- IU i. 1 — cos x • cos 2x • cos 7_
所以lim
ax a
z*0-
7
由题设知一=1,故Q = 7.
a
-29・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
当〃尹2时，显然不合题意，所以Q = 7』=2.
1而.cos一 2七 c。矣三
（方法二）
工— ax
0
1 - y 十 2 + O(X2) 一 4 号 r2 + o& -号+。澎）］｝
=lim
ax
JC2 I 4=2
2 + t + o(x2 )
lim 在土q
=lim
ax
x—0 x-o
则 n = 2,a =7.
临！二.斗王.竺2了 . cos 3工
（方法三）
ax
—]im(1 ~~ cos z) + cos z(l — cos 2z) + cos z ・ cos 2«r(l — cos 3z)
ax
]im 1 — cos z + [而 cos jc(1 — cos 2z) + lim cos 工• cos 2z(l - cos 3=)]
a x X
x—0 x*0-
.A =2
一 1
9 9
=云 lim + lim J + lim J '
T
x-»0
则 n = 2,a =7.
L = =51
【评注】本题主要考查无穷小量阶的比较及型极限的求法.本题的三种解题方法：
U it
是求型极限最常用的3种方法，即洛必达法则、泰勒公式及等价无穷小代换.
ii
二』
座](2018,15 题)【解】2= lim [(az + 3*)e — z] = lim b*e + lim (are# — z)
=6 + lim z(Q*e — 1),
即 2 — b = lim z(Qe三—1)
lim z(e* — 1) (a =,1)
lim jc •— （等价无穷小代换）
x
1,
则 a = b = 1.
（2019,1题）【答案】C.
【解析】由于当8*- 0时,z — tan x - -yX3 ,则
limLtanz 1_
工一 X3 3
0
所以互=3,故应选（C）.
・30・《 第一章 函数、极限、连续
堂(2021,17 题)【解】lim | aarctan — 1 + (1 +| x \ ) 工]=a •亏 + e,
X
X—0+
lim aarctan — + (1 +| x I)；] =_口•歹7T +I e—1 ，
x*0*-
则 Q •号 + e =— a • y + e-1 ,
a7t = e-1 — e,
e — e
a
7t
解题加速度
1 .【答 A.
Hm !*)n(l+. —皿土心=lim E 二(七竺
【解析】（方法一） （洛必达法则）
X LT
X—0 x*0-
F — (q = 1,否则原式极限为。）
1
K
=临（】+ （洛必达法则）
。 u
■I—
1 + 26 9
~T~ = z,
则6 =—身,故应选（A）.
u
ln(l + z) — (az + bx2) r ln(l +— ax ,
（方法二） lim lim----------；---------— b
x2 X2
x—0 0
1
lim与二》
（洛必达法则）
工f o Lx
]—1
].1+z ,
lim-----------— b a = L否则原式极限为8）
2x
X—0
既京击 》=
T=—"I — 2,
则方=—
LJ
（方法三）由泰勒公式知
ln(l + x) = z —成 + o(x2),
(1 — d}x — -y + b\x2 + o(x2)
则 limlnd+工)—3+狎) Z /__________ — o
lim--------------- ——2 — L.
x2 X
x*0- x—0
-31数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
1 — a = 0,
由此可得! 解得Q = 1 ,6 =—
§ + 6)=2,
2.【解】由于lim 专我如=* 。，且lim(az — sin z) = 0,则!哽 "些土d = 0,
b t
X—0
b t
从而有b = 0,则
lim
ax — sin x i
四
.
l
a
n
—
(l
c
+
o
史
s
t ) （洛必达法则）
□n(l+n,
X—0 -------------at
t X
0
lim " ?s z （等价无穷小代换ln（l+®）〜了
3）
X
r*0-
1. 1 — COS X
lim----------- （a = 1,否则原式极限为8）
X
x-0
1
2
lim ——g- （等价无穷小代换）
x—0 x
1
2 = c
故 = 1 = 0,c = §.
q
【评注】本题中用到两个常用的基本结论： II
II
（1） 若lim 存在，且limg（z） = 0,则lim/Xz） = 0;本题中由此结论得a = 1.
g（z）
（2） 若lim '件!存在但不为零，且lim/Xz） = 0,则limg（z） = 0.
g（z）
本题中由此结论得6 = 0.
=』
3.【答案】A.
【解析】（方法-）由题设知懦慕二嘉=1.又
i. x — sin ax i. x — sin ax
lim lim------— （等价无穷小代换）
x- 2~li n( 1 — b7 x r) x—o — bx
lo
v 1 — acos ax
既--3M （洛必达法则）
1 — cos x
（a = 1，否则与题设矛盾）
1
2
~2X
hm （等价无穷小代换）
— 3 如
if o
-32 -《 第一章 函数、极限、连续
则b =— ■，故应选（A）.
0
（方法二）由泰勒公式知sin oz = az —嵯A + o（史），则
3 !
x - [or —(胃｝ + 0(® )]
1. % — sin ax
户？ x2ln(l —成) j：2ln(l —成)
(1 — a)x + 齐史 +。愆3)
击----
（等价无穷小代换）
=既---------
1.
fl — a = 0,
由此可解< — 解得a = l,b =— 故应选(A).
3! 6
E ，
（方法三） 由lim z — sm qz lim z — sin qz =1知G = 1 ,则
x2ln(l — bx) —bx3
z*0- X—0
lim，一祝皿
1 lim
x—o — bx 3 —bxz
x—0
从而b =— §・
o
ln(l + ) di
o ln(l+x2)
4.【解】 因为lim F（x）= lim lim
x oxi
2/
1+z： 2
H
l
—
im
+8 a(a — I)]®-' a(a — 1)
lim -tzt,
由题意 lim F(x) = 0,得 a > 1.
j：ln(l + t脸 住+勤
又因为 limF(x) = lim -------------------=lim
oxi
x—0+ x—0+
盘 1
=lim -----r = — lim 史一'
h-o+ az0- a lo+
由题意limF(x) = 0,得a <3.综上所述,l 的高阶无穷小用应排在丁后面，显然选项（A）（C）（D）都不正确，故应选（B）.
（方法二）由于
COS t2 At
2
lim 0 ——=lim普吝=1,以=1)
x—0+ x*0- + 如 7
则当Zf 0+时,a是二的1阶无穷小.由于
tanT^dz
lim项
=lim
2x
厂
tan
白
x
=临—
2x
p
2
j - = —
2
A
八
k =
°
3)
、
X—0+ X 工 -0+ kxk f + 奴 i 3
・38 -第一章 函数、极限、连续
则当if o+时,0是Z的3阶无穷小.由于
g 1 . 1 1 1 1 1
sin t3dt 厂7二sin 工2
lim ------------kx--------- -=- 心lim一 - j—两----=lim 匕 , 以—=lim ;，以=2)
z+ x ldo++ kkrx k-----------luo++ f奴or I —o+ 奴 4
则当z —0+时,7是z的2阶无穷小，故正确的排序为a,7,8,选(B).
3.【答案】|
【解析】lim = 4- [im+ zarcsin z— \/Eos c
z-o a(j?) k x-o x2
1 zarcsin z + 1 — cos x
=2k 既------—-------- (有理化)
1 1 — COS X \
lim 竺I普IM + lim
2k X 工― -p-)
x*0- 0
=—fl + —
2M 2
故 k = j.
li=- = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = =
II 【评注】本题主要考查无穷小量阶的比较和求极限的方法. it
IL _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
4.【答案】C.
【解析】 因为cos x — 1 = zsin a(z)，所以
1
—--0C2
sin a(x) cos x — 1 r 2 1
lim----------- = lim------2----- = hm-----—
JC JC JC 2
x*0- xX-—»00 x*0-
则有limsin a(x) = 0,又 |a(x) | V 亏，则皿。(了)= 0,所以
X—0 X—0
lim 迦42 v a(x) 1
=职丁=—云
JC
x*0-
故应选(C).
5 .【答案】B.
【解析】 因为K(l + 2z),(l —cosz)+均是比z高阶的无穷小，且当z —0+时
ln"(l +2x)〜(2z)" = 2axa,
1 T'2 — 2_
(1 — COS --T
2
则a > 1,且冬> 1.由此可得1 < a < 2,故应选(B).
a
・39 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
6.【答案】C.
【解析】 由于当z —0时,z — t*~an ----*3, 则
limlanz
X3 3
x—0
所以4 = 3,故应选(C).
7.【答案】D.
【解析】(方法一)利用结论:若六工)和g("在工=0某邻域内连续，且当时,*)/( 〜
g*),( 则[/(r)dz ~ [ g(f)dz.
J 0 J 0
(A) f (e「一 l)d,〜\ t2dt = -|-x3.
J o J 0 o
(B) 「ln(l +〜「并dt = ■*!■% ・
J o J o 5
x
f sin fsin x fx 1
(C) sin / dt 〜 产d£ 〜 /击=—x3.
J o J o J o 3
x x 「+工
fl—cos _______ fl—cos 3 2 a O / 1 \ 7
(jD) Jsin'zck 〜J Mdt 〜J '"'=亏(万)
故应选(D).
(方法二)设顶(％)和gz)在二=0某邻域内连续，且当1-0时/(])和衣1)分别是1的
冲)
m阶和n阶无穷小，则J。/*(Qdz是z — 0时的〃(m + 1)阶无穷小，
(AJ ) (e" —l)ck,m = 2,n = 1,则 n(.m + 1) = 3.
(B) [* ln(l + 据)dt9m = = 1,则 n(m + 1) =
J Z L
0
x
rsin
(C) I sin t2dt,m = 29n = 1,则 n(m + 1) = 3.
X
fl —COS / Q
(D) a/ sin3idi,m = — ,n = 2,则处(m +1) = 5.
J o Z
故应选(D).
(方法三)由于
f ( ef2 — 1) dt x2 _ ..
1
既 一=瓯孑
3
所以，当了f 0+时J： (/ — l)d£是3阶无穷小量.
同理,
「ln(l +疗)由
in。+ yp) 2
lim -------—：-------- = lim
x**-^0 - Jr 5 f
・40・第一章 函数、极限、连续
故当工―0+时，「ln（l + #）dt是号阶无穷小量;
J
o Z
x
f sin
I sin t1 2 At
lim Jo lim sin(sin2])cos z 1
]3 3x2 3
x—0 x—0
x
fsin
故当1 f 0+时，Jo sin t2dt是3阶无穷小量;
| 』si.zd#
』sin3 (1 — cos z) sin z (1 — COS
lim ----------s--------- = lim lim
5x4 5x4 20
H-0+ X H-0+ x*0- +
X ____
fl—COS
故当z f o+时,L Vsii^tdt是5阶无穷小量.
综上可知，正确选项为（D）.
8 .【答案】C.
【解析】 利用结论:若/&）,g&）连续，且当1 — 0时/&）和g（z）分别为1的〃和〃阶无
fg（x）
穷小，则当* f 0时,J 是z的+ 1）阶无穷小.
由此可知£ （e? 一 l）dt.当了—0时，是工的2（3 + 1） = 8阶无穷小，故应选（C）.
七、函数连续性及间断点的类型
更(2009,1题)【答案】C.
【解析】/(x)=兰二二为初等函数，当工=兀履=0, 士 1, 士 2,…)时，&)无意义，这些点
Sin 7TZ
都是，(了)的间断点，其余点都连续，可去间断点处极限存在，故应在r 一史=0的点r = 0,z =±1
中去找.由于
，-\ ，- X — X3 X(1 — IZ ) _ 1
limj \jc) z= lim ~: — iirn — ,
x-»-0 Sin TtOC 7CJC 7t
x-*0 x-*0
[. r/ \ 1- X — J? 1 . 1 — 3 J?2 2
lim f(x) = lim ------ = lim----------=——,
Sin TZX 7TCOS Ttx 7T
x-l X-*1 X—1
1 . /»/ \ i • 00 JC i . 1 ~~ 3 >27 2
lim j (. jc) lim ~■: == lirn ,
Sin TIT 7VCOS TCZ 7t
X—1 x-*-l X—1
则f (工)的可去间断点有3个，即工=0,二=土1.应选(C).
「= n = = = n = = = = = = M = = = = = = = = = h = = = = = N = = = r = = = w = ==司
•' 【评注】本题主要考查求间断点及间断点类型的判定.本题有相当多的考生选择了 "
H "
•' （D）,认为使sin 7LT = 0成立的点有无穷多个，同时审题不细，没具体考查/（X）的极限是否•'
II "
存在以确定可去间断点的个数.故错误率较高. "
II
史（2013,2题）【答案】C.
【解析】心=击与七在，=701处没定义.
].华、 [. e — 1 1. x\n | x | 1- 1 _ e
lim/(x) = lim —；---rm—i----T = hm —r~- i ?i~~i-----T = ^lm = ，
—-I x—i x{x + l)ln j： h—i + l)ln z l-iz 十 1
-41数学历年真题全精解析• ■■■(数学三) 》
qnli _ 1 ] I T I 1
lim/(j?) = lim -丁一上]~~i----r = lim ~i---- r = lim . = 1,
x—o h—o »r (z 十 I) In | x I x-o jc^x 十 I) In | x | x-*o 十 1
“、— r eilnl11 - 1 _ 工In | _r | __ 1 _ 1
linij \X) — lirn x -- k x :~z-lr-；： ln ； xr — lim ~ x\x + Din ： | xr | — lim 工一 i ：~ 十 — 1 — ~r~ Z <
li x—1 I I x*i- 1
则z = o和z = 1为可去间断点，故应选(C).
【评注】 本题主要考查间断点类型的判定. it
二= = = = = = =
l== = = = = = = = = = = = = =
血(2017,1题)【答案】A.
【解析】 要使六"在了=0处连续，则需
lim/Xz) = lim f(x) = /(0),
x—0+ x—0-
1(77)2.. 1
r 1 — COS \[x v
lim/(X) lim ---------- --- = lim
x*0- + l0+ QZ h-0+ ax 2a'
lim/(x) = lim6 = b,
x-*0~ x-*0-
即! = 6,从而有ab = §•
Za 2
故应选(A).
更(2020,2题)【答案】C.
【解析】/(x)的定义域为{z | x G (― 8,+8)口尹一l,z 乂 0,z尹l,z尹2},而初等函数
在定义域内是连续的，所以该函数的所有间断点是一 1,0,1,2.由于
r e商 In | 1 + z |
lim f (工) lim ---------!-----------
(e，—l)(z — 2) = oo,
i- e商In | 1 + x |
lim/(x) hm---------!-----------
= oo,
X—2 2 (eJ-l)(x-2)
i- "、 i- In | 1 + x | _ r //、 r ee土T IInn |I 11 ++ xz II 八
hm，(z) = hm —~ 六 = 8, hmf(z) = lim ——------= 0,
—1+ 工_1+ (b — 1)(% — 2) 工_「 x^r (eJ — — 2)
i- r( x i- e商 In | 1 + x | 1 r ln(l +z) 1
hm/(x) = hm —~~七--- 我 =-歹 hm ―-— =一 尸，
X—o X—o (e —1)(j; — 2) 2e z—o e —1 2e
所以X = 0是函数的可去间断点，而其余3个点均为函数的第二类间断点，故应选(C).
解题加速
1.【答
【解析】 给函数在［—71,7t］上的间断点为Z = 0,1 = 1,1 =士等,不难验证Z = 1 =士普
为无穷间断点，故只能选(A).事实上，由于
lim八工)=lim止-+广)快哄=临地.1+^4 = 1，
j； (e^ — e) 1 — 4一三
x*o- + x—o+ x*o- + x
lim/(x) = lim(房 +^商工=临* 地.弓 =- 1.
x (e^ — e) e三一e
X—o- x*o- - x—o- x
-42第一章 函数、极限、连续
因此X = 0是跳跃间断点，即第一类间断点，选(A).
2.【答案】A.
【解析】 显然了（了）只有两个间断点工=0和工=1,因为
lim/Xz） = lim P I J sin x = limln | x | • sin x （lim -； -pv = 1）
=limln \ x \ • x （等价无穷小代换）
x-»0
=iimhlzl = （洛必达法则）
。 1 x-»0 _ 1
■if
x X2
=—limjc = 0,
X—0
则Z = o为fM）的可去间断点，又
i. r/ \ i- In | x | . i [. ln[l + （z —1）]
lim = lim -；——!~ sin z = sin 1 ・ lim ―u--------；--------L
L1+ Ll+ I — 1 | 11+ Z - 1
= sinl・lim=j （等价无穷小代换）
=sin 1,
[. _/、 i. In | z | . • i ]. ln[l + （z—1）]
hm/Xi） = lim -；——!~ sin z = sm 1 ・ lim ———；~—
z—r I x — 1 I x-»r —3 —
. i i・ x — 1 . i
=sm 1 • hm —；------— =— sin 1,
一愆一]）
则z = 1是/（x）的跳跃间断点，故应选（A）.
「—一 —_ _— _— _— _— _— —一 —_ —_ _— _一 _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— _— = = = = = = = = = = = = = = = = = = 子I
«' 【评注】 部分考生只考虑z = 1时/*& ）的分母为零和limln | z | = 8，没有仔细分析"
II X—0 11
II "
”就选择了（B）或（D）.判断间断点类型一定要在求出极限后再下结论. "
二 二 二 二 二 — ——————-- 一 ——— ―—一 _ - 一 一 一 一 -- — -- — — — — = — _. = = = = =
|L—
3 .【答案】B.
【解析】函数/(x)在x = 0,±l处无定义，所以/&)有3个间断点.因为
lim fix') =— lim ―=— 1»
lim/(j?) = lim —% * 】=1,
l()+ 1。+ 打 + 1
lim/(jr) = lim =辛，
x-i Li x + 1 Z
lim/(j7)=— lim —" f
十］
x*-l- x—-l 1
因此x = 0是八工)的跳跃间断点,*= 1是/'(抄的可去间断点，工=一 1是了(力的无穷间断
点.故应选(B).
. 43 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
n t评注】本题主要考查函数间断点的概念与分类和求极限的方法.不少考生误选（C）, “
II II
］主要原因是误认为1 = 0是 U）的无穷间断点. J
4.【答案】D.
1
r(£)—，(0) = lim _n_
【解析】f- （0） = 1,了'+ (0) = lim 兀+] Vi、n
z-0+ Z H_o+ Z
x
1 1
1 n
-< — <—7—^1
1 X ]
n n + 1
1_
则 lim -^― = 1.
_r-o+ z
故f(jc)在z = 0处可导.
5.【答案】 D.
a
1 — az , %〈一 1,
【解析】 令 F(i) = fCx) +g(x) = y x — 1, 一1 Vz V0,
+ 1 —们 •z 2。.
F(-l-O) = 1+。= F(-l),
FC-1+0) =—2,
则 1 + q =— 2,解得 q =— 3.
F(0 — 0) =— 1,
F(0 + 0) = l-b= F(0),
则1 一5=—i,解得2.故应选(D).
・44・第二章一元函数微分学
第二章一力函敬微分星
一、导数与微分的概念
H（2011,2题）【答案】B.
【解析】（方法一）加项减项凑工=0处导数定义
lim *萱 （*） — 2六招）=Hm S f3）二工2/~（0）二 （工3） + 2/X0）
X— X3 1—0 X3
0
=1而「~＜怎）一r（。）_ 2 /（^）-/（o）i
1-0 L X X3 J
=/（0） -2/（0） =-/（0）.
（方法二）拆项用导数定义
临身= lim 血—2 lim 竺.
JC 3C JC
■rf 0 x*0- x-»O
由于/(0) = 0,由导数定义知
= /(O),lim=£^ = /(O),
JC JC
x*0- x*0-
则lim 少3)三少G = /(O) 一 2/(0) =— /(O).
j?.O J：3
(方法三)排除法：选择符合条件的具体函数r(z),令f3 =工，则
[.x2/(x) — 2/(x3) _ r x3 — 2x3 __ ,
lim « == lim , — 1,
X
X-0 R—O t
而对于fM) = z,/(0) = 1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B).
(方法四)由于，(z)在1 = 0处可导，则
f (工)=/(0) + XCO) j? + o(j;) = /''(COz + oG),
f(x3 ) = f (0)工3 +o&3),
lim f(:c) — 2/(® ) = ]jm z2[，'(0)>z + o(z)] — 2[/'(0)z3 + )]
X3 x3
x-*0 X—0
=/(0) -2/(0) =-/(0).
0(2015,19题)【解】(I )令f(H)= “&*)),▼( 由导数定义知
f G)— Hm+ △—)―任工)_ hm ^(二 + + 圣)一以(z)p(z)
△:C △工
Ax-*O A-0
[. U(JC + △•Z)W(Z + △•Z)— uCx)V(.X + Az) + + △•T)— U(x) v( J：)
lim-------------------------------------------------------------------------------------------------
A*Or-
=llm "怎+八£)— “(工)°(工+△')+“々)lim 心+乎一如
△工
Ax—0 Az—O
=(J7)77(Z)+ "(Qi/(Z).
(n )/'&) = U\ (x)u2 (x) ,,•Un (x) + (z) + ,,, + "1 (])〃2 &)••・〃” &).
-45 -数学历年真题全精解析•—1（数学三） 》［
0(2018,1题)【答案】D.
【解析】由导数定义知
____ _ x
(0) = lim cos 5 ’ '二1 = lim ——
If o+ 1 x*0- + J
____ _2
f'_ (0) = lim cosd-l = lim
x-»0~ H x—0~
则/(J7)= COS y| T I在z = 0处不可导，故应选(D).
/解题加速度
L【答秒
【解析】L'由于了'（0）= Iimf3一皿〉0,所以由函数极限的局部保号性知，存在5>0,使
X
X—0
得当0 Vl H I VS时一冲> 0,则
当* (20)时,/(x) -/(0) <0,即有《&) 0,即有 /(x) > /(0),
故应选(C).
= = = = , = : = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = , = = * = = = = 『
" 【评注】(1)不少考生选(A).错误的将区间上导数大于零可推得函数在该区间上单调"
:增的结论应用到一点处导数大于零.事实上由/(^0)> 0得不出在Z。的某邻域内函数单调:
"增的结论.例如
II
II
" x + 2x2 sin — # 0, '
" f3) = { z 11
ii n
i, 〔0, z = 0,
ii
1 ii
ii
" r(x + 2x2sin— "
" f(0)= lim ~~ = lim--------------- = 1 > 0, "
JC JC
Ii x-*0 x-»0 ll
11 1 1 11
ii f (x) = 1 + 4zsin — — 2cos —，&夭 0), "
i z 1(
ii
i> 1 . / i \ H
对任意s>o,只要〃充分大，则有— c (— a,a),此时f (方—)=1 — 2 =— ivo,从u
ii
ZHK \Zn7T /
II II
"而在<-a,a)内不会单调增加. “
: (2)从本题的讨论可得到一个常用结论： :
11 若/(Jo) > 0,则存在 3>0,当工£(丁。一3,工。)时,/(x) f(m.若f危。)< o,则有类似结论. j>
2.【答案】A.
【解析】由方程cos（w）+ In v — h = 1可知点（0） = /（0） = 1.
方*求程导两端对 ，得
—sin（巧）3 + 可，）* yf — 1 = 0.
y
-46 -《
第二章一元函数微分学
将z = 09y = 1代入上式得y (0) = /(0) = 1,所以
「/八 -I 4- /(0)
limw —)— 1 =2 lim----------%-----------= 2/'(0) = 2,
n
故应选(A).
「= = = = = = = = = = = = = - = = = - = - = = - = = = = = = = = = = = = =ij
" 【评注】本题主要考查导数的定义和隐函数求导法. "
II II
: 部分考生看不出极限lim心(号)一1］与函数顶(工)在*=0 处的导数的联系，无从：
II II
］下手. JI
3 .【答案】A.
a 1
X COS —7
【解析】 当 z = 0 时,/+ (0) = lim ---------- = limzicos —,
工_。+ 工
lo+
邳
该极限存在当且仅当a-1 >0,即仪〉1,此时A(0) = 0.显然yt(O) = 0.
当 z 夭 0 时,f (工)=aJC^ cos 4 + 阿L片1 sin -j,
lim/^x) = lim但lG】sin > 1),
l0 x-*0 XP
要使上式极限存在且为0,当且仅当a-1 —0> 0,则a —0> 1.
4.【答案】C.
【解析】(方法一)直接法
若/(^)在1 = 0处可导，则/(x)在z = 0处连续，又因为lim/Xz) = 0,所以/(0) = 0.
工―
0
而极限条件lim 妾L = 0和lim 冬 =0与f(x)在工=0处的值没有任何关系，所以选项
L。/ £ | 5 X
(A)和(B)不是正确答案.
当了(工)在* = 0处可导时，由题设条件知/(0) = 0,且
1血悠=lim 巾)F°)= /(0),
JC 2C.
x*0- x*0-
所以 lim = limI ' 刀'〕=_/(0) • 0 = 0.
f /r^T I 5*1 」
综上可知，应选(C).
(方法二)排除法
取 f(x) = (^3， *夭°，则］imy(*)=o,且
\ 1 , 工=0 , L。
lim，*工)=lim f • == 0,lim = lim 与=0,
X L。 X 。X L。X
L0 y| I y| I
但fM)在= 0处不可导，因为/(x)在1 = 0处不连续，则排除选项(A)(B).
若取f(jc) = z,则MmfCx) = 0,且/(J；)在x = 0处可导，但
・47・• MMI 》
数学历年真题全精解析 （数学三）
lim= lim % = lira — 7^ 0,
JC x X
x—0 X—0 J*0-
排除(D),故应选(C).
二、导数与微分计算
0(2011,9 题)【答案】e3x(l + 3^).
【解析】 由于lim3, - — = 3z,则lim(l + 3。亍=e3x.所以
一 t
0 —0
f(jc) = limz[(l + 3Q志]"=jce3x，
10
f' (jc) = e3x + 3ze" = e" (1 + 3z).
0(2012,2题)【答案】A.
【解析】(方法一) 令g(z) = (。工一2)・・・(e心一〃)，则
2
f3 = (1 — l)g(z),
f'(工)=exg (G + Ce，一l)g'(z),
/(O) = g(0) = (-1) • (一2)・・・(一(〃一1)) = (一1)1(〃一1)!,
故应选(A).
(方法二)由于/(0) = 0,由导数定义知
f (O) = lim 心=lim 3-1)(器一2)“*= 二卫
X X
x—0 z—0
=lim ------- • lim(e2x — 2),-,(enr — n)
X X—0
x—0
=(-1) • (―2)・“(一3 — 1)) = (-1)"T(t? — 1)!.
(方法三) 排除法，令n = 2,则
f(x)=(矿 一 l)(e2i -2),
f'G) = eW-2)+2e2y，一l),
/(O) = 1 一2 =— 1.
显然(B)(C)(D)均不正确，故应选(A).
[3(2012,10题)【答案】
【解析】y = f(./(jt))可看作y = /(«),与"=/( j)的复合，当 m = e时
u = /(e) = InTe = §ln e = §.
由复合函数求导法则知
(2021,11题)【答案】^-sin —.
-48・《 第二章一元函数微分学
0（2022,13题）【答案】0.
【解析】 显然 3 =叶一 +厂心是周期为2x的偶函数，则/（x）是周期为2n的奇函数,
E）是周期为2x的偶函数,产&）是周期为2k 的奇函数，则
户（2冗）=<（0） = 0.
y
、/解题加速度
1.【答髀C.
【解析] 先求极限得到/■&）的表达式，然后再讨论的可导
性.
由 lim [a； + a? + …+ a二=max a, （a； > 0）知
n*oo-
= lim Jl+W 严
8
,,,|3> f1' I 工 I < 1.
=max{l, | J： | } = |3 ,
（I z I , I z I〉1.
由丁 = f（G的表达式和其图形可知在z =± 1处不可导（尖点），在其余点均可导,故应选（C）.
= = = = = = = = = = ^ = = = = = = = = = = - = - = = = -- = = = = -- ^^-- = = = = =j|
•' 【评注】 本题求得r（i）的表达式后，也可根据表达式确定各点的可导性，由其表达式"
I!知,任工）不可导点最多有两个，即Z =± 1,其余点均可导，又由/Xz）表达式知f （工）为偶函II
11数，则fj）在z =± 1两点处可导性相同，因此，只需讨论1 = 1处的可导性. '
II II
: /I （1） = lim -----= 0,/+ （1） = lim ---------= 3, :
" 〜Z - 1 L1+ Z - 1
II II
II则/（Z）在X = 1处不可导，从而在X =— 1处也不可导. "
1^== = = = = = = = -- = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -=^
2.【解】 在丁 一 zei = 1中，令z = 0得v = 1.
等式y —衣尸1 = 1两边对x求导得
y — e3^1 — xyr = 0.
由；y — = 1可得xe^-1 = 丁 一 1,代入上式得
(2 — y}yf — el = 0. ①
由 1 = 0,丁=1,得/ = 1.
x=0
在①式两边对Z求导得
(2 — y)yf — y2 — yf — 0.
由］=0,丁 = 1，3/ =1得y =2.因为
■1 = 0 0
卓=，(ln v — sin x)
——cos x
djc y
故半
=0.又
ax
o
苴一cos 了 \ 2 丈一尊+ s*),in
j-y = y — sin z) )+ f\\ny — sin x)
y y y '
-49 -数学历年真题全精解析，■■!»(数学三) 》
所以倍 L=E)(2-D = L
3.【答案】 一3.
【解析】将Z = 0代入方程jcy +ey = x + 1得V = 0.
在方程Jcy + = x + 1两端对x求导得
y~V Jcyf + e项=1.
将z = 09y = 0代入上式得j/(0) = 1.
等式y + xyf + eyy' = 1两端再对x求导得
y y + 时 + eyCyf')2 + eyy，f = 0.
将 = 0,y = 0,j/(0) = 1 代入上式得 yz(0) =— 3.
jc
4.[答案]
Jl — eT
【解析】 由v = /&)= J ] \/1 — ezdr,知y = 0时,z =— 1,根据反函数的求导法则有
【解析】 由f (工)=2& — 1) € [0,2]知,f (工)=(了 一 1尸+ C.又为奇函数，则
/(0) = 0,C=—L/(z) = (z—1)2 — 1.
由于/Xz)以4为周期，则
/(7) = /[8+(-D] = /(-I) =-/(1) = 1.
6.【答案】 ~
【解析】利用籍级数展开
f(jc) = arctan x — ；―~r = (z — § + …)—«z(l — ax2 + …)
ax \ o /
l
由蓦级数展开式的唯一性可知a 一§ =乌件=具，则a =
o o ! b L
7.【答案】A.
【解析】(方法一) 利用莱布尼茨公式
由于[ln(l一工)*> =—祟二圮，所以当时，
疔)&) = C疽[in(l—]*) )+CMln(l—])](I)+ C：2[ln(l 一 千)]『2),
故 f")(0) = — n(n — l)(n — 3)!=一 ”：.
n — Z
・50 -第二章一元函数微分学
(方法二)利用麦克劳林展开式
3
(_ 1 \n—1
由]n(] + z) =x — — + — — •\----------------+ o(j?n)可知
Z 3 n
ln(l — J：) =— (*3： + 次 +，，，+ ^-)+ o(z") 9
f(jc) = x2ln(l — x)=—(二3+苏 + ・・・ + * 厂)+。(%讦2),
则/2等2 =--^-,/">(0)=—
n! n — Z n — Z
故应选(A).
8.【答案】A.
【解析】（方法一）直接法 由泰勒公式知
r3 1
sin x = x +。（那）,―-—-=1 — 〃 + 0（史）
6 1
则 si,工=任一§ + 0（史））（1 _ ]2 + 0&3））= * —】了3 + 0（x3）.
1 + \ 0 / 0
7
所以 = 1,6 = 0,c=— f 故选（A）.
q
0
（方法二）排除法 由于，（Z）= 斗今是奇函数,则其在Z = 0处的泰勒展开式中只有奇
次项.因此,6 = 0,故排除（C）（D）选项.此时
f （工）=七=1 + 成③ + O（X3 ）
L ~T X
即落—工=函十。（£）.
当了£ （0,8）时，泮与一工V0,则CV0,从而排除（B）,故应选（A）.
1十Z
、导数的几何意义
0（2011,11题）【答案】）=一2工.
【解析】 方程tan（z + v +于）=e31两端对z求导得
sec? （z + jy + 螺）（1 + j/） = e勺,.
将H = 0，v = 0代入上式得J =-2,故所求切线方程为J =—2工.
皿（2013,9题）【答案】一2.
【解析】 由曲线V = /（x）与v = 了2 _工在（1,0）处有公共切线知
/（I） = 0,/（1） = （2工一 1） I. = 1,
-/(I)
削叽左）= lim —2n 9 ----------=-2/(1) =-2.
n + 2 —z
n—>oo
72 + 2
-51数学历年真题全精解析•■—（数学三） 〉
1
「 【评注】本题主要考查导数的定义和导数的几何意义.
L___ ……= = = = = = = = = = __ = = = = = = _ =…一…==________ = = = = = =』
[E（2O15,18题）【分析】利用已知条件列出微分方程，解此微分方程求出f5）.
【解】 曲线y = 在点（x0,/（x0））处的切线方程为
y — fCxo） = f' ）（x — t0）.
令/ = 0得，工= *。— j吕，切线工=血及工轴所围区域的面积为
S = §」' • I g） 1=4,
2 / （瓦）
即? 以驾 =4,即v = S 满足方程#J = 4丁，解得琴 =& ,即一旦=z + C,
Z J （血） 2 y y
由 jz（O） = 2 知，C=—4.
则所求曲线为v = a.
4 — 1
00（2020,10题）【答案】y = z—l.
【解析】 等式二+ 丁 +。2巧=0两端对X求导得
1 + j/ + e2xy2（y + 巧‘）=0.
将x = 0,y =— 1代入上式得y（0） = 1,故切线方程为y = x—1.
/解题加速度
1.【解】 由 LnCfd + sin x) - 3/(1 - sin x)] = lim[8z + a(z)],得 /(l) -3/(1) = 0,故
；鑫 a*?-。 x*0-
/(I) =。.又
]im f(l + sin «r)「3/XI — sin z) =】而(8z 〔 a(z)
=8.
x-o ssiinn xx x-o \ sin x x sin x
设sin x =。，则有
lim £（1 + 心）*1一4）=临 了（1+『一/（1）+ 3 lim 八—冲=",⑴
Sin JC iO t — t
x*0- r*0-
所以r⑴=2.由于/（]）是周期为5的周期函数，则/（6） = /（I） = 2,
故所求的切线方程为y = 2（z — 6）,即2x — y — 12 = 0.
2 .【答案】C.
【解析】 设曲线y = x2与曲线y = aln x（a夭0）的公切点为（孔，北），则
= &ln Xq ,
2x0 =—.
x0
由此可得血=辰,a = 2e,故应选（C）.
fr== = = = = ;= = = = = = = = = = !5 = = = = = = = = = = = = = !S = = = = ;; = = = = = = = = =_i
" 【评注】 本题主要考查导数的几何意义.两条曲线相切，在切点处不仅导数值相同，而"
|| it
:且函数值相同.部分考生未能选出正确选项，可能是只注意到在切点处导数值相等，而未利-
:用函数值也相等的条件.
.1
i^=- = = = = = = = = = = = = = = = = = = =i = = = = = = = = = = = = -=; = = = = s; = =; = = a；s=!l
-52 -: 第二章一元函数微分学
3.【解】 曲线y = r&)在点(b,f(b))处切线方程为
y — f(b) = f (b)(jc — b)・
设*坐标切心线与了轴交点处的 =6— 滞.
由于 f'G) >0,则 f(b) >0,/(x)单调增加，六3) > /(a) = 0,则
A = b —供% < b.
欲证xo >a,等价于证明b-j^>a,又f。)>0,
则等价于证f'(b)(b — a)>f(b).事实上
f(b) = f(b)_f(a) = /(e)(6-a),(a0,则r(*)单调增加，从而/(?)0,则窘|,=, VO,从而V = /(g(工))在取极大值,
故应选(B).
px2 -i2)df+['(z2 -x2)di, 0*< 1.
f (工)在 z = 1 处连续，limf (z) = lim (— 2x + 4/ ) = 2,则 /C (1) = 2,
x*l~- X—I-
lim/^j?) = lim (2x) = 2,
则 /+(D = 2,/(I) = 2.
令 f (工)=0,即 4了2 — 2x = 0,(0VhV 1) .所以 2z(2z —l)=0,i = §,
当0 Vz<§时，，(工)<0,/(x)单调减少；
当j<^< 1时(工)单调增加；
当1〈了时,f (工)>o，r&)单调增加，
则 E)在 z = § 处取最小值，/(§)= J-(f)2+f(T)3 = 7-
函(2017,3题)【答案】C.
【解析】(方法一)直接法
由 f(x)f‘G) > 0 知
[•|■尸(z)J = f(jc) f (工)〉0,
则+产(工)单调递增，从而尸(工)单调递增，由此可知
尸(1) > 产(一1),
上式两端开方得
I /(I) |>| /(-I) I.
(方法二)排除法
若取 f(x) = e"1■，则 f'(了) = e* , = e2x > 0,/(I) = e,/(— 1)=—.
e
显然/(I)>/(-l), I /(l) |>| /(-I) I. .
由此可知,(B)(D)选项是错误的.
若取 f(x) =— e1，则 f(a:) ―― e1 ,/(x) f (h) = e2x > 0,/(l) =— e,/(— 1) ----—.
由此知,/(l) 0 时,/(x) = (e2i,nx)/ = e2xlnx(21n x + 2) = 2^(lnx+l).
当了V 0时，f'(工)=(工+ l*)e ,
J E + / (0 八 ) 、 = ] l • i m -j-c- 2 - 1 - - — -- - 1 = 】 h . m e - 2 -- jl - n - x - - — --- - 1 - = [ l . i m 2 -- j - c - l - n - - x - = 8,
lo+ Z lo+ 工 lo+ Z
则/(O)不存在.
令 f (jc) = 0 得 i =— 1 ,x =[，而 f (0)不存在.
e
当 X<- 1 时,/(x) <0,当一1 <工< 0 时,/a)>0,则了=一1 为极小值点,/(-I) = 1-—
e
,54・〈 第二章一元函数微分学
当 一 1 V 工 V 0 时,/(x) >0,当 0r < 1 时,/O) V 0,则 z = 0 为极大值点,/(0) = 1;
e
当0 <工<上时,f &) <0,当工>1时,，(工)>0,则H = 1为极小值点,/(-)= e-=.
e e e \ e /
00(2021,2题)【答案】D.
【解析】由导数定义知
Z(O) = lim 二------=lim e'—广
x—o x T-o x
i. ex — 1 1
=四右-=万’
故应选(D).
解题加速度
1. 【答郑*
【解析i 由题设知E)g(,RgH)g，(H)< 0,即［忠|］，V 0,从而忠|单调减少.
由 a < x < 6 知弓> 弓* > 乌%■，则 f(工)g(b) > 了(b)g(jc).
g(a) g(z) g(6)
故应选(A).
2. 【答案】e-v.
【解析】 因为J =/'(21n；r + 2),令丁 = 0得驻点* = §，当*£ (o>7)时以'<°，贝了)
单调减少；当工£ (§,1］时,3/ >0,丁&)单调增加，则火z)在 h = §处取到区间(0,1］上的最小
值，最小值为了(4)= e
3. 【解】 方程/+巧z+了勺+ 6 = o两求* 导端得对
3 J 3/ + J + 2xyyf + 2xy jc2, y = 0 (1)
在(1)式中令y = 0,得y2 +2巧=0,由此可得= 0,y =—2%,显然y = 0不满足原方程.
将 v=-2z代入原方程 + 书2+工2丁 + 6 = 0,得—6x3+6 = 0,解得攻=1,/(1) =一2,/(1) =0.
对(1)式两端再对z求导得
6yy" + 3 y2 y + 4j/>/ + 2xyf2 + 2xyy，f + + ^xyf + x2 = 0
将工=1,/(1) =一2/(1) = 0 代入上式得 /(I) = |- >0.
则函数V = 在工=1处取得极小值，且/(D =-2.
4. 【解】由2* +了勺'=1 一丁，得J =丰工命令J = 0,得z =士 1，且
当］<一1 时,y o；当工〉1 时,y
y = + 2a,yz I = 0,
X——1
I
即一6 + 2q = 0,
则 = b = 3.
q
[E(2012,l题)【答案】C.
【解析】 由 lim j; = lim f = 1 = lim % + f = lim > = 1,
JC 1 3C, 1
x->4-oo x-»4-oo X*-—OO x-»—oo
得K = 1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由lim、= lim % * f = 8得x = \是曲线的一条铅直渐近线；
X — 1
X*l - X-1
由limj/ = lim R = ?得i =— 1不是曲线的渐近线，
x — 1 Z
X—1 X—-1
所以曲线有两条渐近线，故应选(C).
— 町 . (2012,19 题)【解】(I)联立 (f 。 ( ， x) 、 + ， f 七 (jc、 ) — 2 二 /( jc) = 0 , 得/(x)-3/(x) =-2eS
{j (z) + f\X) — 2e 9
因此
f(jc) = (j(—2e，)e』3&丑 + C) = eJ + Ce3x.
代入 f'(工)+ /(x) = 2ex，得 C = 0,所以 /(x) = ex.
・56,第二章一元函数微分学
（II） y = f（T2） f /（— t2）dt = ej2 [ e-'2 dr,
J 0 J 0
y = 2xex2 J e" d# + 1,
j/' = 2z + 2 （1 + 2x2） ex2 J e" d力
当z VO时VO;当z>0时>0,又火0） = 0,所以曲线的拐点为（0,0）.
团（2014,2题）【答案】C.
1
“、 x + sin —
【解析】（方法一） 由于lim = lim------------- = 1=。，
X X
Z—8 X*O-O
lim[r（z） — ax~\ = lim （z + sin — — limsin — = Q = b,
x*o-o x*oo- \ 3C / X*°°- JC
所以曲线jr= J? + sin —有斜渐近线y = z,故应选（C）.
x
（方法二） 考虑曲线> =J? + sin —与直线y = x纵坐标之差在z -> 8时的极限
x
lim （z + sin【一z） = limsin — = 0,
Zf 8 \ 3C / X-»OO JC
则直线了 = Z是曲线y =工+ sm *的-条斜渐近线，故应选（C）.
"【评注】 由渐近线的定义可知，直线y = ax + b是曲线y = ）的渐近线的充要条件是"
it 11
11 Iim［/（J7）—ax — b~\ = 0,方法二直接利用了该结论. '
丁―》
II 8
L== 一 二 二 二二 = = = = = = = = = = =二= = = = = = = = = = = = = = = ====二===—
弱（2015,2题）【答案】C. .P
【解析】 由图知，/（^） = /（x2） =0,/（0）不存在，其余点上2阶导数［ I 仲广
/'（，）存在且非零，则曲线了 = /（工）最多有三个拐点，但在£ =心的两侧2 \ / /
阶导数不变号，因此，不是拐点；而在工=0和* =孔的两侧2阶导数变号，则 _____.
曲线了 = /（工）有两个拐点，故应选（C）. 玉° r2
瓯（2016,1题）【答案】B. I I
【解析】 心，击，无为驻点，而在而和工3两侧/（工）变号，则为极值点，y
4两侧f'（工）不变号，则不是极值点，在血处1阶导数不存在，但在互两侧
f'（Q不变号，则不是极值点，在孔处2阶导数不存在，在乃和办处2阶导数 飞 ：
为零，在这三个点两侧1阶导函数增减性发生变化，则都为拐点，故应选（B）. \ \
21（2018,9 题）【答案】、=4了一3. | M \ /
O根心~
【解析】j/ = 2z+—,yz = 2 ——.
X X
令 / = 0,得］=l,z =—1（舍去）.拐点为（l,l）,f（l）=2 + 2 = 4.
拐点处的切线方程为
y — 1 = 4（z — 1）,
即；y = 4z — 3.
・57 -数学历年真题全精解析• mm （数学三） 》
困（2019,10题）【答案】3, — 2）.
【解析】 y = sin x + jccos x — 2sin x = zcos x — sin jc.
y = cos x — zsin x — cos x =— zsin x.
令;y" = 0 得 z = = re.
又在z = 0的两侧，不变号，则（0,2）不是拐点；
在x = 7T的两侧，/变号，则（兀，一2）是拐点.
、/解题加速度
1.【答蜀^C.
【解析 J 蕉关系式 f （z） + （工）］2 = J7 中令 Z = 0,得/'（0） = 0,等式 f （*） + （z） 了 = X
两端对T求导得
尸'（£）+2/（W'&）= 1.
在* 上式中令 = 0,得/（0） = 1^0,由拐点的第二充分条件得（0/（0））为曲线J = 的
拐点，故应选（C）.
〜司
F ~ = * = u = = = = = = = = = r = = = = = " = - = = = = = = = = =
" 【评注】 从题设可知/Xz）的3阶导数存在，这是因为，（工）=一 ［f （*）］2右”
II II
II端可导, II
g^g : 设 / （-To） = f （工0）=…=fl）（二0）= 0,但 f3（XO）尹 0（" 2 2）,则： :
: （1）当〃是奇数时，点（孔/怂。））为曲线y = f3 的拐点； :
" （2）当〃是偶数时，z = io为函数f （工）的极值点，其中当/（n） （x0） < 0时，z = No为"
II r（1）的极大值点，当 产）（了0）>0时，Z = Zo为f（jc）的极小值点. II
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ='=_； = 二二二二- = =. = = = 二』
2.【答案】（一1,一6）.
【解析】本题考查拐点的概念和判定及导数计算，拐点只可能在两种点上出现,2阶导数为零
的点和2阶导数不存在的点.
5, 2_
y = — ,
显然/ = 0,得* =— 1,在Z =— 1两侧/变号，则（一1,-6）为原曲线的拐点.
广== = =、= = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7
" 【评注】 很多考生填X =— 1 ,这是错误的，因为1 =— 1是Z轴上的点，拐点是曲线上"
II , II
II的点，所以应填（一11—6） ； „
； 当z = 0时以”不存在，所以（0,0）也可能是拐点.但在H = 0的两侧了”不变号，故（0,:
L 0）不是该曲线的拐点.
3.【答案】C.
【解析】（方法一） 图示法：由曲线方程j = （了一1）（工一2）z&—3T（工一4T可知，该曲线
. 58 .第二章一元函数微分学
和z轴有四个交点，即z = 1,z = 2,z = 3,z = 4,且在z = 2取极大 y
值口 = 4取极小值,则拐点只能在另外两个点上，由右图不难看出
(3,0)为拐点，故应选(C).
(方法二) 记 g(«r) =(X — 1) (了 一 2注 & — 4尸，则
丁 =(Z — 3)3g(z).
设g(z)在1 = 3处的泰勒展开式为
' g(z) = a。+ Qi (z — 3) + •••
则y = Qo & — 3尸+心(《r — 3)4 +…,由该式可知
yz(3) = 0,丁勿(3) = a0 • 3! 乂 0.
因为Qo = g(3)丰0,由拐点的第二充分条件知(3,0)为拐点.
4.【答案】y = 7 +务
【解析】Iim2 = lim「g + QeW2]=i=a,
lim(jz — az) = lim|~ ■―气—x~\~ arctand + x1 2) 1 = lim [卬板 + 普= 告=们
8 XO*-O L 1 」 XC*O- 1 -JC Z Z
则斜渐近线为丁 = z + ?・
5.【解】
y_ = ^.l+x lim 二
(方法一) lim lim
X H-+8 Z (1 + J；) (1+z)
■Z—+8
] 1
lim =a,
e
x*4--oo
X
x e — 1 +
^.1+x
lim (y — ax)= lim lim —
z*4--oo x->4-oo (U e x-»+oo e 1+』
X
1 e— (1----
1 i. \ z
二临(1+弟一e
~2 hm
e x-*4-o° 1 e2 ■o+ t
x
—1 i・ e ln(l?"+D- — e -1 e ~ln(lf+ £l— 1
—lim------------ lim
/ ,_o+ t e Z—O+
=-J- lim ln(E)f 1 ]. 2
------lim-----5—
e 一 o+ 2 e io+ t2
* = b,
2e
故所求斜渐近线为, =
(方法二) 由渐近线定义可知，若丁 = fS =皿+ b + a(i),其中lima(x) = 0,则
・59・数学历年真题全精解析• ■—(数学三) 》
y = CLT + b 曲线丁 = /(J7)的渐近线.
, = « = " + ~伞)=戏『好⑴]
=*一 ”我+"(+)= —eA+°(7)= ^Fi 4-J-4-o(—)1= — + ^- + — • 0(—),
e e L 2z \ x / J e 2e e \ x /
其中普.。( + )*°~ ，当工f + 8时,则曲线J, = (jfpwy;有斜渐近线)=■ + 土
【评注】本题考查曲线的渐近线的概念和求法，考查考生求未定式极限的能力.在求「
:解过程中，要用到重要极限公式、换元法、等价无穷小量替换、洛必达法则等，是一道综合考:
查基本方法和基本计算的试题.
本题在求解和计算过程中须注意如下三个容易出现的问题:
(1)没有掌握曲线的渐近线的概念和求法，无法上手.
(2)在求 lim ：/■&)-%•］时，出现
1 X ~
lim e = 0
_r—+8
X
的错误.
9
⑶在计算炽［洁 弋］时,没有利用换元法及等价无穷小量替换将所求的极
限简化，而是直接写成
ezS — z(l + z)'
lim lim
工―+8 (1 + z) e( 1 + jc)x
再利用洛必达法则，由于计算量大，出现计算错误，或者无法计算出结果.
II
L ==J
6.【解】当z ＞ 0时，
f(H)= JC—1 +/(z) = 1 —厂厂］-U，f (工) 2
1 + Z ( 1 + X)
(1+护 >0,
则曲线丁 = /&)在区间(0, +8)上是凹的；
当一1 V z V。时，
g) = if - 土g =-(7TTr <0<
则曲线y = f3 在区间(-1,0)上是凸的；
当 V— 1时，
jc
E)= 1 —工一士,/&)
则曲线 f3 在区间(一 1)上是凹的.
y = 8, —
由于= lim -'=8,则z =— 1是该曲线的一条铅直渐近线.
［十］
L-l T —1
又加 ＞。时，及)=工—1 +点，当工＜-1时，g) = l-L上
则该曲线有两条斜渐近线V = £— 1和了 = 1*. -
・60 -第二章一元函敏微分学
六、证明函数不等式
§0(2009,3题)【答案】A.
【解析】(方法一)令= j削段dt — In £,工£ (0, + 8),则
,(工)=公 _ [ = sin x-I $ 0.
X X X
从而 S 在(0，+8)上单调减少，又了(1)= 0,则当 M (0,1)时,/a)>0,即匚罕血> Inz.
故应选(A).
(方法二)L *以出 > In J7成立等价于
j：亨d£>j： ldt,(X>0).
又旦¥ W §，(£>0)，显然，当o〈工V 1，必有
故应选(A).
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
ii 【评注】本题是一道函数不等式的基本题，无非是不等式中出现了变上限积分函数.||
!'但不少考生错误地选择了(B),这说明部分考生不适应这种题型的变化.
— — — 一 _ _ _ _ _ _ — — 一 — — 一 _ — _ 二 = = 二 二 二 二 二 _ _= 二 = 一二 一 二 二 二.二 二 二 一 一
^0(2012,18 题)【证明】(方法一) 记 /(]) = zln + cos «z —寻一1,则
f (工) =In ? * " + 2卬 —sin x — jc,
1一7 1— TZ
、 4 . 4x2 , 4 i 八
E)= cosr =『py-l-cos 了，
当一1 <*< 1时，由于八4.一扑24,1 + * Y2,所以f(z)22>0,从而单调增加.
又因为 f(0) = 0,所以当 一1 <工< o 时，/(£)<0；当0 v*vi ，r(Q〉0,
于是/(0) = 0是函数f3 在(-1,1)内的最小值.
1 -L T r2
从而当一1 v 1 时,f(G ^/(0) = 0,即 zln^W + coszNl + m.
(方法二) 令 f(jc) = zln ? + % + cos z —者一1, (— 1 V z < 1).
显然,/(-r)是偶函数，因此，只要证明/&) >0,z 6 E0,l).由于
f (工)=In ? * * + 2一 — sin x — x^x £ (0,1),
X 1 — J72
In ? 土壬〉0, 曷-5 > 2z = z +1〉sin z + z.
1 — a: i — x
从而有 f'Z) >0,z 6(0,1),又 f(0) = 0,则
f(x) N 0,x e [0,1).
・61► 数学历年真题全精解析■（数学三）
即 Hn ? + ' + cos 工三 1 + ^-（― 1 <_rV 1）.
1 — x 2
瓯（2014,4题）【答案】D.
【解析】（方法一）由于g（0） =/（0）,g（l） =/（1）,则直线y = /（0）（l一工）+/（1元过点
（0,/（0））和（1/（1）），当，（£）2 0时，曲线V = /（X）在区间［0,1］上是凹的，曲线> =f3 应
位于过两个端点为（0, /（0））和（1 ,/（1））的弦j/ = /（0）（1 — j?） +/（1）j:的下方，即，（j：） 0,则 j /'（$）（£一§） dz>0,由 j fix^Ax = 0 知，■/（号）VO.
（方法二） 利用结论:若在壹,危上,（了）>0,则
由此可知，若在[0,1]上 f'S > 0,则 1 V j：/(z)cLr,
即'(§)< ['&)& = °，-(号)V 0,故应选(D).
(方法三)排除法
令 f(3C)=—(工一$),显然 f(H)=— 1 <； 0 ,J fkx'ydx — 0,
但/(§)= 0,则(A)不正确.
令 fCx) = x-- ，则 f〈X)= 1>0,[ /(x)dx = 0.
但f（j）= 0,则（C）不正确.
. 62 .第二章一元函数微分学
令 f(jc) =一 f + #,则广&) =— 2 V 0 J f{x)dx = 0,
O
J 0
但/(y)=-j +|>0,则(B)不正确，故应选(D).
/解题加速度
1.【证= In z是单调增函数，所以欲证(a + 工)。<萨+工，只需证
aln(a + z) V(Q + z)ln a.
令 f(jc) J (a + j?)ln a — aln(a + x) 9 则
f (工)=In -----7—・
q
a+x
由于a>e,工>0,则/(]) >0,所以函数f3)在[0,+8)上单调增加，
而 /(0) = 0,所以 /(x) >0(0 Vz<+8).即
aln(a + z) V (a4~J：)ln a,(a + j：)a V aa+x.
2.【证明】(方法一) 由于lim仕工)=1,且limz = 0,则lim/(j：) = 0 = f(0),从而
JC
x*O- x*0- x-^0
lim - = lim 巾)—/XO) = /(0)= i.
3C 3C
.*0r- x*0-
由泰勒公式得
f (工)=f(0) +，(0)«r + (£ 介于。与 z 之间)
乙!
f+牛，
Z!
又 f &) > o,则 f (工)2 z.
(方法二)同方法一，由lim = 1 得,/(0) = 0,，(0) = 1,则
JC
x*0-
/(X)= — /(0) = f'(c)jc,(c 介于 0 与 * 之间).
由于/*)'( > 0,则/(x)单调增加.
若工 > 0,则 f'(c) > /(0) = 1,从而/(c)x^/(0)x = X,
若工<0,则/(c) 0,
由于 F'O) = /(x) 一 1,由lim&^ = 1 知,/(0) = 0,/(0) = 1,则
JC
x*0-
F'(0) = /(0) -1 = 0.
又r(x) = f'3 > 0,则F'Gr)单调增加，从而z = 0为F(z)唯一的驻点，又
f'(0) = <(0) > 0,
则F&)在* = 0处取极小值，且z为FG)在(一8, 4- 8)上唯一的极值点，则有F(0)为F&)
在(一8,十8)上的最小值，又 f(o)= y(o)— o = o,则对一切x有
/(X)三 I.
(方法四)由f'&) >。知，曲线丁 = /(X)是凹的，则曲线在其任一点的切线上方.
由1血应^ = 1知,/(0) = 0,/(0) = 1,则曲线在(0,0)点的切线方程为：' =Z,
T*0- JC
・63・数学历年真题全精解析• （数学三）
从而有f （工）2
3 .【证明】 （1）令平［工）=x2 — （1 + GIV （1 + jc）,则
妒（］）=2jc — ln2（l + j?） — 21n（l+j：）,
（工）=2 —
21n（l +i） 2 M】*—ln（l+z）］.
1 + 1 + z
又 ln（l + z） = ln（l + z） — In 1 = 1 X Vz，（°VcVz，z £ （0,1））.
1 + c 一
则 &（工）> o,z e（o,i）w'（z）> 矿（0）= o,«z e（0,1）寸（i）>.（o）= o,z e（0,1）,
故（1 + jr）ln2 （1 + j?） 0. ''
: 该结论是一个常用的结论，望考生熟悉. ：
L_ ………二…二…二--========二=一…二二=========二_ = _二』
4.【证明】 先证右边不等式.设
甲（工）—In Jr — In a — - （x > > 0）.
q
\/ax
因为
（4+^^）=_ O'
"）=♦_ 孔 （&_S2〈
x \fa 2 2x ' 2x \/ax
故当Z>Q时9（z）单调减少.又甲（Q）= 0,所以当Z>Q时,（p（jc） < 9（Q）= 0,即
［n z — In q V .
-/ax
从而当 6〉q 时,ln 6 — In a a>0）.由拉格朗日中值定理知，至少存在一点心毛（a,b）,使
In ft — In a Z1 、,
—:----------=(In X)
b — a x= 广7'
由于 0 VqVEVD,故 £〉｛〉2 l2，从而
& O Q 十。
In ♦ — In a、 2」
b — a a之+胪•
(方法二) 设 f (工)=(z? +a2)(ln x — In a) — 2a (x —a) (%〉。>0),因为
，(z) = 2j?(ln z — In q) + (z? + q2 ) § 一 2q
=2j：(ln x — In a) + -------> 0.
x
故当x>a时，(z)单调增加.
又 f(a) =0,所以当 x>a 时,/'*)( >/(a) = 0,即
(x2 +a2)(ln j： — In a) — 2a(x — a) >0.
从而当 b>a> 0时(a2 + b2K\n b - In a) - 2aCb - a) >0,即
2a In 6 — In a
b-a -
「= = = ^* = ^ = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = * = = = = = 0 = = = ：= = = = = = =』
【评注】 本题主要考查利用函数的单调性和拉格朗日中值定理证明函数不等式. "
II
蛙========£；===================================』
5.【解】 设 /(x) = x ― ln2j： + 2k\n x — 1 »x G (0, + oo),则
"、 1 2ln x ,2k x — 2ln x-\-2k
x x x
o
设 g(x) = x — 2\n x + 2&,则 gz(x) = 1 一一.
x
当0 V Z < 2时,g'&) V 0,g(工)单调减少，
当 2 < z <4- 8 时,g'(z) > 0,g(x)单调增加，
g(r)在x = 2处取最小值，
g(2) = 2 — 21n 2 + 2& = 2以一 In 2 + 1) 2。，
则/(x) 2。，£ € (0, +8).所以/(工)单调增加，
又 /(I) = 0,则
当 z £ (0,1)时,/'(工)< 0,当 * € (1, +8)时,/Xz) > 0,
从而(x-l)/(x) ^0,即
(工一1)($ — 1*1? + 2切11土一1) 2°・
6.【答案】B.
【解析】（方法一）辅助函数法
由 fr（.X）> f（.x） >0,z G [—2,2]可知，
, 65 •数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
___
X (x) — j\jc) > 0.
从而有e"(/&) — /(Q) > 0,即住一工，怂)丁 > 0.
令F(z) = U),则F(z)在［—2,2］上单调增，从而有
F(0) >F(—1),
即/(0) > e/(- 1)，从而有淳町 > e.
(方法二)积分法
由 /(x) >/(x) >0,x e ［—2,2］可知，拿W〉1,则
「「ld£(z〉一l),
J J\t)
-1 J -1
ln/(x) — In/(— 1) > z + 1,
/(-I) .
令z = 0,则瘁藉 > e.
j (—
1)
(方法三)排除法
取f(jc) = e气则f (工)满足f (h) > f(H)> 0,此时有
/(—2)_ 厂2 V 1 H) f(2)
/(-l) -e <1，/(~1) e4 > e2, =e6 > e3,
/(一1)
故选项(A)(C)(D)不是正确选项，从而选(B).
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
" 【评注】本题方法一的关键在于辅助函数的构造. "
II II
" 当g)、f(x)之间满足等式或不等式，(了)>好(*),/■'(” v好(工)，/(工)=
h
II II
|| kf (x)时，辅助函数构造规则为：(p(:c) = ef/(z).
it
L…= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
七、方程根的存在性与个数
亚(2011,18题)【证明】 令/Xh) = 4arctan x — j: + y7t —73 ,本题就是要证明fkx)恰有两
个零点.首先求导数/怎)，利用/(x)的正负确定f(x)的单调区间，然后考查每个单调区间两端
点函数值的正负.
令 f'(H)= 0 得 = + 73,则
当工 £ (-oo, -73)时，/(^) <0,/(x)单调减少；
当 z £ (-73,73)时,/'(工)> 0/(丁)单调增加；
当z £ (冲，+8)时单调减少.
又 lim f(x) — lim (4arctan x一x +
Q
a/3^) =+°°,
X—»—OO X—►—8
• 66・第二章一元函数微分学 <4
/(—V3) = 4arctan(—>/3) +焰 + 学—姬=0,
f (姬)=4arctan 龙—a/3 + 孕一姬=华一2 〉0,
O O
lim f(jc) = lim (4arctan z — z + 华—姬)=—00，
•T—+8 x-»+oo O
则工=一姬为f(z)的一个零点，在(归，+8)内f5)还有一个零点,
故方程4arctan z — i +学一妨=0恰有两个实根.
31(2017,18 题)【解】 令 y&)= ~~ ~—,x G(0,1),
ln( 1 十 z) x
,(x ___________1_______ | J_ _ (1 + z) In' (1 + z) — 丁
' =_ (l+GWCl+z)十 / — ]2(1+工)1子(1+1) .
令 g(z) = (1 + Qlr? (1 + z) — ,则
g'(z) = In2 (1 + j?) + 21n( 1 + z) — 2z,
g”(z) = 21七(1^+力 * 一 2 = 2^ln(1 +：c) < 0>：r e (0,i).
1+z 1+z 1+z
又 g(o)= o,g'(o)= 0,则 g(z)vo,z e(o,i)./(x) 0/(丁)递增；
当工 € (-1,1)时,/(£)< 0,_/&)递减；
当 了 £ (1 , + 8)时,/■'(£)> 0, f(x)递增.
又 lim 了(二)=—8 , lim fM) =+ 8,/(— 1) = 4 ,/(1)=-4,
工一*— x
oo -►-f_oo
则曲线V = f(.x) = x5 — 5工如右图.
方程xs-5X + k = 0有3个不同实根的几何意义是曲线> =/(x)
丁5 —5工与直线了 =~k有3个交点，由此可知一4 <龙V 4,故应选(D).
,67 •►► 数学历年真题全精解析（数学三）
§§（2021,3题）【答案】A.
【解析】= cue — b\n x有两个零点等价于方程ax — b\n x = Q有两个实根，即方程
a _ In z
b x
有两个实根.令甲（工）=,则
妒（z） = -----= 0,得 z = e.
在（0,e）上甲M）单调增，在（e,+8）上9（z）单调减，=一8, lim（p（jc）
' l o+ ]
=o,则甲&）如右图，方程 a -----------------
a _ \n j： 可 / ： x
LN | I
有两个实根的几何意义是直线3-= |-与曲线了 =平（工）有且仅有两个交点，则
o W，
即 e < — <+ oo
a
故应选(A).
孑解题加速
1.【答
【解析， 孕工）=I X | + + W仔一cos工,则/'（Z）是偶函数，因此，只需讨论f （工）在（0,
+ 8）内零点的个数.
注意到 /（0） =~1 <0,/（K）= 7t++J+l>0,且
f'S） = + 号* 了- + sin 工 > 0,z £ （0,n）,
则fM）在（0,k）内有且仅有一个零点.
当 jc> n 时,_/（z） = | x | + +| x |+ — cos 工 > + G + 1 > 0,则 f（x）在（0, + oo）内有且
仅有一个零点，故方程|+ +|z仔一cos z = 0在（一 8, +8）内有且仅有两个实根.
2.【分析】 问题等价于讨论方程InS — 41nz + 4工一％ = 0在(0, +°°)内实根的个数.
【解】 令甲(z) = Wz — 41n 1 + 4z — A,则
/ z、 4 In3 4 , A 4/13 〔I 、
(P (x) ...----------------- 4 =——(In x — 1 + jc).
XX X
显然0(1) = o,且
当0 V z V 1时,"(z) V 0,叩(1)单调减少；当1 V 1 <+ oo时,抓工)> 0,甲(工)单调增加.又
lim^(^) = lim [In ,则
-68 -第二章一元函数微分学
1） 当4 一互>0,即％V4时w（z）无零点；
2） 当4-^ = 0,即& = 4时怦&）有一个零点；
3） 当4 —& < 0,即％ > 4时豚（z）有两个零点.
综上所述，当& < 4时，两条曲线没有交点；当为=4时，两条曲线只有一个交点；当仓> 4时,
两条曲线有两个交点.
3.【解】（方法一） 令— ^arctan x — x,则/Xh）是（―co, + oo）上的奇函数，且
/（0） = 0, f'5） = , ： 2 .
当&一1 wo,即&W1时,，（力<0（工乂0）/（工）在（一8, + 8）内单调减少，方程八工）=
o只有一个实根了 = 0.
当为一1>0,即&>1时，在（o, JT=T）内，，（工）>o,y&）单调增加；在（"一1,+8）内，
f'M） 1时，方程/（X）= 0有且仅有三个不同实根3C =— = 0,x = &
（方法二）令/（]） = ^arctan x~x,显然/（x）是（―oo, +oo）上的奇函数，则其零点关于原
点对称,/（0） = 0,只需讨论/（x）在（0,+8）上零点的个数.为此，令
k,x
g（x） = a---r--c---t-a---n---- --x---------- £ （0, + oo）.
g（z）与/（x）在（0, +8）上零点的个数相同，
X
arctan x — ——»
If X 1 + x
g
M） = ---------（;-a---r---c---t-a----n--- --x----）ro---------.
又 arctan x = arctan x — arctan 0 = r-^,(o 0(0 V* V+8),g(z)单调增加.又
limg(s) = lim (-------------&)= 1 — >
x-o+ arctan 了 /
lim g(x) -- lim (---------—互)=+8.
x-4-oo 工一+8 \ arctan x /
若4 < l,g&)在(0, +8)上无零点，原方程有唯一实根x = 0；
若& > l,g&)在(0,+8)上有唯一零点，原方程有三个实根.
广= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==
n]
【评注】 本题只要考查利用函数的单调性、函数的极值及函数的零点定理与渐近性态
it H
II 11
"讨论方程根的存在问题. "
= =』
|L == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
4. ( I )[证明】 令f (工)=xn +...+z — 1(〃 > 1),则f(x)在上连续，且
・69 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
Hl—
〃 1 \ 2 \ 2" ) . 1 — n “1、 1、n
fy2 J= ----------J-------1 =- 2? < O，r(l)= « - 1 > 0.
1 一万
由连续函数的零点定理知，方程顶(Q = o在(§，i)内至少有一个实根.当h e (§,i)时,
f (工)=ruc^1 + (n 一 1)了1 + …+ 2z + 1 > 0,
故，(z)在(+，1)内单调增加.
综上所述，方程r(H)= o在(+，1)内有且仅有一个实根.
(n)【解】由e (|a)知数列s,｝有界，又
H------ xn = 1,
iK： +%磊;H------ z〃+i = 1.
因为〉0,所以
•Z： + X^~X + …+ Zn〉+ Z”+1 .
于是有Xn > X^x ,72 = 1,2,・・・，即｛卫”｝单调减少.
综上所述，数列｛石｝单调有界，故｛%｝收敛,
歌缪 记Q = limz”，由于1： +町】H------ xn = 1,则
丁
B^El — rn+l _ -1
令n f 8并注意到! < xn < Xi < 1,则有 一=1,解得a = #,即limz” = *.
Z 1 Cl U “f 8 Z
5.【证明】(I )由lim 心 <0及极限保号性知，存在£>0,在(0,e)内心 V0,则存在刀
lo+ Z 1
e(o,e)使/(e) vo,又/(I) >0,由连续函数零点定理知至少存在(而，1),使，(Q =0,即
方程 g) = 0在区间(0,1)内至少存在一个实根.
(U )令 F(z) = f(x)f(jc)测
F'(z) = f(jc) f (z) + ("丁
又由lim 区D存在，且分母趋于零，则lim/Xz) = /(0) = 0,又/(£) = 0,
]fo+ X x-*0+
由罗尔定理知存在7 €(0，E)，使f'5)= 0,
则 F(0) = /(0)/(0) = 0,F(v)= /(,)/(,) = O,F(Q = /(?)/($) = 0.
由罗尔定理知存在邛6 (0,7),使F'(/) = 0,存在华e(?，Q,使F'(牟)=0,即小和*是
方程
/'(•r)r(工)+ = o
的两个不同的实根，原题得证.
八、微分中值定理有关的证明题
更(2009,18 题)【证明】(I )令 F(w) = — — 由题设知 F&)在[a,
b — a
-70・第二章一元函数微分学 ◄
M上连续，在(a,b)内可导，且
F(a) = /(a) — ^-^7---- (a — a) = /(a),
b — a
F(6) = f(b)」(b)—f(a)(b_a) = /(a).
b — a
根据罗尔定理，存在f 6 (a,b),使得F'(Q =0,即
/(e)_/(6)-/(a) =0>
b — a
故 f(b)~~f(a) = f(E)(b — a).
(II)(方法一)f+ (0) = lim ——］(°)= lim f'共)，E 6 (0,z).
zo+ x-0 u+
由于limf (z) = A,且当z -►。+时，$—。+ ,所以
X—0+
f'+ (0) = lim，(Q = lim /z(f) = A,
■!—()+ $~»。+
故 /； (0)存在，且 R (0) = A.
(方法二)/； (0) = lim 心一理 (右导数定义)
lo+ Z
fL^l (洛必达法则)
=iim
1
L°+
I，.
^== = = = = = = = = -- - = = = = = = = = = = = = = -- = = = = •= = = = ^ = - = -- -- -=^1
: 【评注】 辅助函数也可构造为F(z) = f(H)_ f(b)_ , ''
b — a
ii ii
ii F(z) = ［f(b) — f(a)Jx — (b — a)f(jc)等. "
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
函(2010,19题)【分析】 对(I )只要证明存在(0,2),使jlcQdznZfS),这是积分中
值定理的推广，因为这里要求〃属于开区间(0,2),而不是闭区间［0,2］.
对(H )只要能证明f&)在［0,3］上有三个点函数值相等，反复用罗尔定理即可证明•
【证明】(I )设 F(了)= j：/(£)c*k,(0< V 2),则
J f(.x)dx = F(2)：—F(0).
由拉格朗日中值定理知，存在V £ (0,2),使
F(2) 一 F(0) = 2F'(〃)= 2/(,),
即j /(a?)dx = 2/()y).
由题设 2/(0) = J f(x)dx 知，/'(")= /(0).
(H)由于尸(z)在［2,3］上连续，则fS)在［2,3］上有最大值M和最小值m,从而有
由连续函数介值定理知，存在c £ ［2,3］,使
/(c) = ^)±A3).
. 71►► 数学历年真题全精解析■(数学三)
由(I)的结果知/X0) = f(Tj)= f(C), < T］ V c).
根据罗尔定理，存在角e(5),& e 3，c),使
/(fi) = o,f'(&)= o.
再根据罗尔定理，存在(&,&)u (0,3),使，(£) = 0.
ir= = ~- -~ = ~ = = ~ = = = ~~_~-~-- = = ~ = = = = = = = = = = = ::r = -='-~~ ii
" 【评注】 本题是一道综合题，主要考查罗尔定理、拉格朗日中值定理、连续函数的最值"
:定理及介值定理的应用.考生的主要错误是 :
" 部分考生在证(I)时，直接用教材上的积分中值定理得 "
II II
: £/•(*)& = 2尸3) (0 0,使得/(x0) > 1.
因为/(X)在［0, +8)上可导，所以/(X)在［0, +8)上连续.
又，(0) = 0,根据连续函数的介值定理，存在a & (0,工。)，使得/(a) = 1.
(H)因为函数八工)在区间［0,a］上可导，根据微分中值定理，存在(0,a),使得
/(a) -/(0) = af'(E).
又因为 /(0) = 0,/(a) = 1,所以 f(E)=
a
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
" 【评注】 本题主要考查拉格朗日中值定理，连续函数的零点定理及极限的保号性. "
』= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =........ = = = = = = = = = = = = = = =』’
甄(2020,19 题摩证明】(I)设 | /(c) | = M.若c = 0 或c = 2,则 M = | /(c) |= 0.
一般地，当M= 0时/*)( 三0,对任意的££ (0,2),均有| /(f) |>M.
当 M>0 且 | /(c) | = M时，必有 c£ (0,2).
若c£ (0,1],由拉格朗日中值定理知存在(0,c),使
,(£)=伸)一了(0)= e.
c — 0 c
从而有 I /(?) I = 1 /(c)1 = ->M.
c c
・72・第二章一元函数微分学 4
若 C £ (1,2],同理知存在 ge (c,2) g (1,2),使
f，g\ = = —f(c)
J 2-c 2-c,
从而有 ii = 1 /~(c) 1 =严- n m.
2 — c 2 — c
综上所述，存在(0,2),使得| /(f) |>M.
0,则c £ (0,2),当1时，由拉格朗日中值
一定理,存在& 6 (0,c理& 6(c,2),使得
/(c) = /(c) — /(0) = f c,其中 0 V & < c,
-/(c) = /(2) -/(c) = f(&)(2-c),其中 0〈务 < 2,
则 M = | /(c) | = | f (&) | c VMc,M = | f(c) | = | f (&) | (2 — c) 0.
由连续函数的零点定理知，存在EE （0,1）,使得F（Q = 0,即
/（f） = 1 — &
（n）在区间［0短 和 e,i］上分别对用拉格朗日中值定理得
迎一了（。）= f 5）,住（o,Q,
二!（Q =
f（l （&i）,
此时./（,）/（?）=尽七件）•料二四）=停.―山）=1.
E 1 — e 1—E £
・74・第二章一元函数微分学《V
3.【证明】 令F(z) = —§史，由题意知F(0) = O,F(1) = 0.
在和［§'1］上分别对F(Q应用拉格朗日中值定理，有
F(|)-F(O) = F'(Q(§—0)= ^)，f £(0-j)'
F(l) — F(§) = F'3)(l — §) = §(/■'(") —
两式相加，得
F(l) -F(0) = y(/(f) -f2) +y(/(7)-72)= 0,
即 f'供)+ f'5)*+,.
4.【证明】(i)因为r&)是区间［一 1，1］上的奇函数，所以f(0)= 0.
因为函数f*) 在区间［0,1〕上可导，根据拉格朗日中值定理，存在(0，1)，使得
/(1)-/(0) = f'(E).
又因为/(I) = 1,所以/(f) = 1.
(口)(方法一) 因为，(Q是奇函数，所以f (工)是偶函数，故f'(f) = f'(E)= I-
令 F(工)=［/(^) 一 l］eL则 F(z)可导，且 F(—Q = F(f) = 0.
根据罗尔定理，存在(一U (-1,1),使得F'3)= 0.
由 F'5)= ［，3)+r(/— 1］",且 e，尹 0,得，(〃)+/(/ = 1.
原题得证.
(方法二) 因为f(x)是［—1,1］上的奇函数，所以/*)( 是偶函数，
令F(x) — f'(工)+ f(x) ■—工，则FO)在［—1,1］上可导，且
F(l) = /(I) +/(1) 一 1 =，(1),
F(- 1) = / (一 1)+_/(—1) + 1 = /(1)-/(1) + 1 = /(I).
由罗尔定理可知，存在(一1,1),使得F'3)= 0.
由 F'(z) = /(t) +/(x) 一 1,知
+r(v)— 1 =。，即 f 5)+r(v)= i.
(方法三) 因为 3 是［—1,1］上的奇函数，所以f'S 是偶函数，，&)是奇函数，由(I)
知，存在 ££(0,1)，使得 /($)= 1.
令 F(jc) = f,(jc) + /(J7)— x,则 F'&) = f (x) + fr Cx) — 1,
F'(Q = /($) + f (Q — 1 = /(f),
F'(-Q=，(一 f)+/(—Q - 1 =W(Q,
当 /(f) = 0 时,，(Q + /($) -1 = 0,即 /'(/ +，'(/ = 1.结论得证.
当，(Q 丈 0 时，F'(QF'(—Q =- ［/($)? <0.
根据导函数的介值性，存在(― U (― 1,1),使得F'3)= 0.即
，(/+/(") —1 = 0,
故,3)+，(/ = 1.
. 75 .► 数学历年真题全精解析■（数学三）
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 、= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7
: 【评注】本题是一道微分中值定理的证明题，其难点在于（口）中辅助函数的构造.欲'
:证= 1,只要证，（？）+ 顷3）—1）= o,即［（/（了）一1）' +（/怎）一侦］|,=,:
:=o,因此，应考虑辅助函数 f（z）= ［f（z）— 口寸；另一种思路是欲证+/'（〃）= 1,:
:只要证，（？）+ /•'（/— 1 = o,因此，应考虑辅助函数FG）= f（z）十成怎）一工. ；；
: 方法三用到了达布定理（即导函数的介值性定理），这个定理不是《考试大纲》要求的考"
:试内容、部分考生使用了此种解法，只要书写正确，不影响得分. ：
- — — — — — — — — — — — — — = — = — — — = = = = = — = — = = = = — — — = = = — = — ii』
5.【证明】（I ）（方法一）由于/&）在［0,1］上连续，则在该区间上必有最大值，设其最大值
在E点取到，由
J y（z）dz = 1,
可知y（e）> 1,否则对一切$ e ［o,i］,有心）v i，又，（。）=o,由此可知
j f（x）dx < 1.
这与题设矛盾，所以/（?）> 1,又/（o）= o,/（i）= 1,则£ e（0,1）,从而
/■'（£） = 0.
（口）由泰勒公式可知
= 了（。+f （g —Q + 碧2& —Q2.
Z!
令x = 0,得
0 = /（$） + ,
则 /（〃） = （-2）詈.
由于 /（?） > 1,则詈 > 1,故，（/ V— 2,
（方法二）（I）由积分中值定理可知，存在c e（0,1）,使得
［/O）dz = fCc）,
J o
则 f（c） = 1.
在区间M，l］上对函数f（x）用罗尔定理得，存在f e（C,l）,使得r （Q = 0.
（U）构造二次函数g（z） = x{ax + b），使其满足
g（0） = /（O） ,g（l） = /（I） , f g（z）dz = f /（jc）dj：.
J J
0 0
显然由 g（o）= /（o）,由 g（i）= y（i）可知 q + a = i.
由［g（z）dz = \ fO）dz可知与+ g = 1,由此可得
J J o Z
o o
. a =— 3,6 = 4,
则 g（z）=— 3了2 + 4jc.
令F（z） = — g（z）,则［F（z）dz = 0,由积分中值定理可知，存在洋（0,1），使得
,76・_______________________________《__________________________第二章一元函数微分学 V
J F(x)dx = F(Q.
从而有F(0) = F(Q = F(l),由罗尔定理可知，存在7］ 6 (0,1),使得
F'S = 0.
又 F(z) = f(x) 一 (- 3" + 4工),则
玲3)=，(？)+ 6,
故 f'(?) =— 6 <— 2.
6.【证明】(1)(方法一) 令FG) =/■(" +(*—2)/,则
F(l) =—e V 0,F(2) = /(2) = ^\,2 At > 0.
由连续函数零点定理知，存在££(1,2),使F(Q = 0,即/(f) = (2 一
(方法二)由于 f'G) = e?，则 f共)=(2 一£)S 等价于六£) = (2 — W'(£).
(?-2)/($)+/($) = 0.
令 F(z) = (z — 2)/Xz),则 F‘(z) = & — 2) f (sc) + f(oc)・
又 F(l) =-/(l) = 0,F(2) = 0.
由罗尔定理知，存在 ££(1,2),使 F'(Q =0,即 /(f) = (2-e)/($).
(II)(方法一) 令 g(z)= In z,g'&) = — 0(1 < j: < 2),
x
由柯西中值定理，存在ve(1,2),使得
A2) = /.(2)-/(1) = rGz)=
2
In 2 In 2 - In 1 俨’
7
故 /(2) = In 2.
(方法二) 令 g(>r) = In 2 • f(:c) — /(2)ln z,则 g(z)在［1,2］连续，在(1,2)可导，且
g(l) =0,g(2) = 0.根据罗尔定理，存在(1,2),使得g'(v)= 0.
而 g'(z) = In 2 • ej2 — ,所以 In 2 • e《—= 0,即 /(2) = In 2 • ne7 .
x rj
九、一元微分在经济中的应用
更(2009,12题)【答案】8000.
【解析】由于需求函数Q = Q3)是减函数，则绘＜ 0,从* 而需求价格弹性 •能为负值.由题设
Qp Q dp
=0.2表明q =—务・兴.
Q d力
将收益函数R = PQ对力求导得
^ = Q + ^ = Q(l + g. 眼) =Q(f ),
职=Q(1 — q)d”・
当Q = 10000,dp = 1时，产品的收益会增加
dR = 10000 X (1-0.2) X 1 = 8000(元).
-77 -•^■1（
►＞ 数学历年真题全精解析 数学三）
「 【评注】本题主要考查弹性的概念、计算及微分的经济学意义. '
II "
11 部分考生填“12 000".这是因为错用了公式籍•强=勺； "
| Q dp 11
Il I
" 注意冬＜0,则当题设中的勺V0,则有公式 '
ap "
I
h 1
“ 2 .蚂 „
„ ? Q dp ”
"而当题设中的勺〉0时，则有公式 "
II r II
|| __ p_ dQ 11
d*, "
11 勺=—矿
II II
本题属后者. 11
II
…_…二…………………………………一…………』
33（2010,11题）【答案】
【解析】由收益弹性的定义及题设条件知
瓯=2坐=1 +力3
Ep R dp V
即名牌=1 +，这是一个可分离变量的微分方程
晋= （）+#）必，
两边积分得
In R = In p + -|-p3 + In C,
则 R = Cp 土.由 R （1） = 1,得 C = ,故
RD = pe 431 .
皿（2013,18题）［分析】本题是微分学在经济中的简单应用，关键是要搞清楚各种函数的表
示及其表示的经济意义.
【解】（I）由力=60一 釜，得＜3= 1000（60 —》），则利润函数为
L = Qp - 6000 - 20Q = Q（60 一端）一 6000 — 20Q = Q（40-赢）一6000,
因而该商品的边际利润为毁=40—黑.
, dQ 500
（□）当力=50时，Q= 10000,此时的边际利润为40 —性祟=20,其经济意义指的是：当价
bOl）
格力=50时，销量每增加一件，利润就增加20元.
（DI）令敦=40— 尽 =0得（2= 20000,进而价格p = 40,且多=一 占＜°，
dQ 500 dQ 500
因可能极值点唯一，且实际问题存在最大值，故当价格为40元时，利润最大.
HJ（2014,9 题X答案】20-Q.
【解析】 由题设知收益函数为R = PQ =（崎迫）Q,则边际收益为
. 78 .第二章一元函数微分学 <
器= 20-Q.
圉(2015,17题)【解】(I)由收益R = pQ,得边际收益
诬=器=力+Q% = 0(i-»
欲使利润最大，应有MR = MC,即》(1一十)=MC,
所以定价模型为”=匹订
1 — -L
7
(D)由题设 MC = 2Q，v=一身瓠=
1 Q dp 40 — p
由(I )知，》=2欧「〃,解得p = 30.
]_ 40 — p
~ P
所以此商品的价格为P = 30.
[£(2016,16题)【解】(I)由弹性公式吁 旅牌得
P dQ __ _ p
Q dp 120- p9
_dQ_ 必
Q 120— 力'
Q = C(p — 120),
Q(0) = 1200 得 C =一 10.
需求函数为 Q3)=—10(0 — 120) = 10(120-/,) = 1200- 10》.
(U)由(I )知，收益函数R = 120Q—佥Q2,边际效益R，(Q) = 120-yQ；
当力=100时,Q= 200,故当p = 100万元时的边际收益R'(200) = 80,其经济意义为：销售
第201件商品所得的收益为80万元.
2)(2017,11 题)【答案】1 + (1 —Q)e-Q.
【解析】&Q)=弓孚=1 +注，则
C(Q) = Q(l + e-Q).
边* 际成本为空 = (1+e-Q) — Qe-Q = 1 + (1-Q)e-Q.
困(2018,4题)【答案】D.
平均成本马*.
【解析】
dC = QC'(Q) — C(Q)
dQ
由题设知，篇
=0,即
Q=q)
QoC'(Q。)一 C(Q。)= 0.
. 79 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
故 C(Qo)= Q°C'(Q°),选(D).
&(2019,12题)【答案】0. 4.
【解析】伽一瓮•紧一 5。0_勿11加声房.(5 -
_ 力A(2力 a + Pb)
500 — Pa — PaPb + 2/>b*
将pA = 10, pB = 20代入上式得
一 400
伽=诙=° *
噩（2020,11题）【答案】8.
■做rh ，4、 _ 800 Q 旦人一800 Q
【解析】 由q（P）= — 2,可何p----工— 3.
力十3 g十Z
利润函数 L（q） = fq _ C（q）=（耕一3）q 一（100 + 13q）
=理典一 16g-100,
g + 2
1600
L'(q)= -16 =0,
(q + 2)2
解得 q = 8,L"(q) = -— ,L"(8) V 0,当 q = 8 时,L(g)最大.
(q 十 Z)
・80・第三章一元函数积分学
第* 三章一万函敬担分
一、不定积分的计算
d（2009,16题）【解】（方法一）令J守 =t,则* =Wrp于是
jln(l +再^)& =睥1 +，)d(土)
ln(l+f) 1 1
di,
t2-l T^i'T+i
而
r i i _ i f(t+i)-(z-i)
J m• T+idt = TJ(产-1)(4时
= ir[& _〕
—2 U ♦-] J 0 + 1)2」
ZlnSl + 2(7TT)+c,
jln(l + 1 ln(l + i) | 1 i f + 1 1 I p
-^-ln(』\ + z H-^/x)---------------------— + C.
=j?ln 1 +
2 2(/lT^ + V7)
（方法二）令1+膊尹=土则工=日和，故有
Jin（i+7^）dx = "d（?4^）=?r^_j 洁
1
=点旎一 ［（土 _§）也
_£^-le--|ln(l-2e-<)+C
=xln (1 + 入「土兰)--------一^^----------- + 4- ln( 5/1 + x + J~x ) + C.
' 7 工)2(7T+^ + a/^) 2
r= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = = = ==?]
11 【评注】 本题重点考查不定积分的两个基本方法——换元和分部. 11
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
❷（2011,17 题）【解】（方法一）令& = Z，则 x = t2 ,dr = 2tdt,
arcsinTI+lnx^ =七 f (arcsin z + 2ln Qdz
J
・81・► 数学历年真题全精解析（数学三）
=2z(arcsin t + 21n t) —21（切+ 2忡
d（l一尹）一也
=2i(arcsin t + 21n i) +
=2r(arcsin t + 21n t) + 2 Jl —产—攵 + C
=2 V^arcsin y/x + 2 &ln z + 2』\ — r — 4 & + C.
arcsin Jx + In z」 o
（方法二） --------1-- --------dr = 2
\[x
=2 arcsin \[x + In z) + 2 Jl — z — 4 M + C.
(2018,10 题)【答案】exarcsin \/1 — e2x — 1 — e2x + C.
【解析】 arcsin \/1 — e2x dex
—f e" Jl — e?*
eJ arcsin』\ —冬，— d a/1 — e2j
exarcsin y/1 — e2x — a/1 — e2j + C.
、/1解题加速
_lf d(f) 日伽专)
i
dr
.【解 ）原式=
2 sin x(cos x + 1) 4 J . x 3 x X 2 Z
sm 万 cos y tan y cos —
IfEan另 了
=TJ X d(tanT = §ta%专 +' §4ln tan 专 + C.
tan万
（方法二） 原式= 2sin z(cos rr + 1) J 2(1 — cos s2in j; z)(d1z + cos x)
令 COS X = u ] f x 3 + "
du
====~TJ (1-u)(1 + u)2 8 W (1 + u)7
=g (In | 1 — u|-ln| l + u|+rA_)+c
o \
_ _l_ 1 1 — COS Z I______±1______. 厂
8 n 1 + cos x 4(1 + cos z) •
ln(l + 8)
2.【解】 设 In z = '贝！11 = 4, f(t)
J/(x)dz = J 坦=-Jln(l + ex)de-x
・82・第三章一元函数积分学
=—e~Jln(l + eJ) + I*〔 ？工dr
J 1 + ex
=—e-xln(l + eJ) + ［。工)&
=—e-Jln(l + ex ) + z — ln( 1 + b ) + C
=x — (1 + e-x ) ln( 1 + eJ) + C.
3.【解】令 z = tan L则 dz = sec2 tdt,
f_______iz_______ _ f______At______
J (2x2 + 1) 7x2 +1 — J cos ^(2tan2i+l)
_ f cos 汕 _ f d(sin
J 2 sin21 + cos21 J 1 + sin21
=arctan(sin Z)+ C
= arctan(7ft^)+c
r【评注】本题主要考查不定积分的换元积分法. j
,，土七 \ 「arcsine」 「 • 工」-工 arcsin e , f dr
4.【解】 方法一 --- ----dr =— arcsin eJde x =--------；—+ ..
J ex J ex J yi — e2j
令 JFE = 2,则 dr =
1 — t
= U+C,
则［arcsine：^ = — arcsing 十知】一 二苴 + C.
J 寸 e1 2i+ ^1 - e21
计算积分［，史一还有另一方法.
f & = f , — de「’ =_ ln(e" + /户一1) + C.
J J1 一 器 J JU 尸 一 1
注意:这里用了积分公式［,& = In |工+ M I + C.
J— a，
（方法二）令/=z,则丑= +&,
arcsin ex i 「arcsin \ 】\
----- ----dr = J —p——cU =— J arcsin —
arcsin t ck
t Jl —产
（本题中i>0）
・83・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
(方法三) 令 arcsin ex = r,则 z = In sin =年登ck
sin t
=——r— — In | esc t + cot M + C
sin t
^iE^ + ln ■!_ Ji —目 +c.
===il
" 【评注】 本题用到几个常用的积分公式： ii
II
: (l)[^T = Fln 宁 +C.
ii (2) f & - = In | jc+ y/x2 — a2 | + C.
n J a/z2 —
" (3) f, 尹 =—In | esc x + cot x | + C.
J sin
ii jc
蛙 _________ 一 — 一 ___________ ==J
5 .【答案】D.
2(工-1)&,工 V 1_ jg_i)2+g, x< 1,
【解析】F&）= <
In rdx, z>l 〔工(旧二一1)+G, z^l，
lim[(z — 1)2 + G] = G , lim[x(ln z — 1) + C2] =— 1 + C2
工―
•z— 1 I*
则 G =-l + C2,令 G = C,则 G = 1 + C,
\ (x — l)2 + C, zVl,
F(z)= < .
|x(ln x—1) + 1+C, zNl
(x — I)2, z < 1,
令 C= 0,则 F（x）=
•z(lnz—1) + 1, z > 1.
故应选（D）.
6.【解】 设_______ 3 __ x _ + __ 6 _______ A ,B- Cr + D
又(]一1)2&2+l+l) x — 1 (x—I)2 x2 + x + 1
由上式求得 A =— 2,B = 3,C = 2,。= 1,
则原式=—2j 土&+ 3』 __1 & + J 2z+l
dr
(z — l)2 x2 + z + 1
・84 -第三章一元函数积分学 V
3 d(/ +i+ 1)
=—2 In \ x — 1 |一片+
jc2 + jc + 1
-^ + ln(/ +x + l)+C.
=—21n | x — 1
X — 1
二、定积分的概念、性质及几何意义
|](2011,4题)【答案】B.
【解析】同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小.
由于当 0 V* OS < f < 2k,2冗 < ,< 3k）,
则Zi < I3，从而l2 sin xdx = Si > 0,
12 = J ej2 sin xdx = Si — S2 < 0,
. 86 .第三章一元函数积分学 ◄
13 — J e> sin xdx = Si — S2 S3 = Si + (S3 — S2) > Si,
则L V L V L.故应选(D).
u=- = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==^
” 【评注】 本题主要考查定积分的比较.方法一用到积分中值定理：若/(x),g(x)在［a, II
.11 II
J 5］上连续，且 g(z)不变号，则］/(jc)g(x)djr = /(f) j g(j：)dz,Q VEWb・ J
蛙===============：==========：=================』
5 .【答案】B.
【解析】（方法一）直接法将区间［0,l］n等分，则△瓦=4,第&个子区间为［守，§］，
由于
k-1 2力一2 , 2A — 1 — 2左 k
--------------=-------------------V-------------------V ——=—.
n 2n 2n 2n n
则穿£ 为一1 I］
Zn n
由定积分定义知
k 备（号片= "&）&'
故应选（B）.
（方法二）排除法 取，（了）三1,则£，&）&= 1.
lim 宛/■(当一珍=limn • £ = * 丈 1，
n—8 ~~~ \ Ztz / 2/z 8 Zn Z
«=1
lim 习~ = lim2n •【=2 尹 1,
18 切 \ Ln ) n n
n-oo
lim 5? = lim2〃 ・ £ = 4 尹 1,
18 切 \Ln)n n
n*oo-
排除（A）（C）（D）选项，故应选（B）.
三、定积分计算
0(2014,11题)【答案】j.
【解析】j x^xAx = yj^d(e2x) = yJ：e2x----J^e2xdj：
=n
由题设知(f-y)e2a = O』0a = j-.
■(2017,9题)【答案】
【解析】j (sin，h +』看-j? ) dz = 2J。\^7t2 x2 dx
（奇偶性）► 数学历年真题全精解析■（数学三）
1 — TV3
_= 0 LKX/ 2 （定积分几何意义）
4—7t7T —2----・
0（2018,3题）【答案】C.
【解析】M = T w 1 4- 山 2x + 丑 了？ = 1 + 1+ 2x T 2)& =穴+ 0 =穴.
由不等式ex > 1 + x(x尹0)可知N = j\ 中&V ■ 2L Idx =
e 2 K.
K = [ \( 1 +』cos z ) dz > a
* Idz = 7T,
J-亏
则K>M> N,故应选(C).
0(2019,11题)【答案】上若.
【解析】^x2 f^x^dx = yjo
/(x)dj：
=yX3/(^) X3 J\ + ]4 d«Z
( ； 1 — 2 V2*
=T i+q*I =
-18~~'
皿(2021,12题)【答案】6.
X
【解析】原式= W…& +
=—y/9 — x2 +』£ — 9
=6.
[D（2022,12题）【答案】In 3—孝m
0
[2 2x-4 . =「 2x + 2 , _ f2 dz
【解析】
J x2 + 2x + 4 J x2 + 2x + 4 X J x2 + 2x + 4
o o o
=ln(x2 + 2x + 4) | — 6J d&+l)
(x + l)z + 3
= l*rcnt3an5
V3 a/3 lo
=In 3 —
、/1解题加速度
=l/o =-yj,4 xdtan x
看如
=- 1 r -xtan x T — § j4 tan xdx
Z o
=告 + glncos z 4 =告—]ln 2.
ci
o o 5 4
・88 -第三章一元函数积分学
2.【答案】¥.
o
【解析】 由于cos2x为奇函数,sin2xcos2j：为偶函数，则
(J sin2xdx — J sin^zdr)
(j：3 + sin2x)cos2 xdx = 21 sin2xcos2 = 2
0 0
【X匹一直x【x匹)=—
=2
2 2 4 2 2 J 8 *
3.【解】（方法一） 令x = sin i,则dr = cos id/
1 ]2arcsin 了丑—「 ^sin2icos t 3-
-------------at = isin2idi =口 警）出
cos t
o o
.2 -|j\dsin 2t = ^ isin 2t 4- ~7~ [ sin 2tAt
T 4 4
0 0 0
71T 26 -fC0S 2i
_讦十4.
0
1 = 1 (a?——])arcsin z + arcsin 工丑
（方法二）
0 y/1 — x2 0
x2 arcsin x . \ ,
—z ( y/1 — x2 arcsin x ) + ，.…一_ +z di
0
+袅cs心
u 0
1 x2 arcsin x > ( 1 i «K2
―...... 十万十百
0 a/1 —
1空竺K品+ ¥，则 1衣竺字& = #+§.
移项得2
16 4
o £ ° yi—x2
因为 f(x)= j： ln(t + 1)dt,所以 /(X)= ln(x + 1),K/d)
4.【解】（方法一） 0 .从而
，修)d«r = 2〔 /(x)d= 2
0 \!x 0
' ln(x+1)dx
=一2
0 a/z
=—4 ^[x\n{x + 1) | +4 1 工
=—41n 2 + 4 [ -dx.
J 0 1 十 1
令”=\[x ,则
寻=2 ,1 m2
—5——du = 2(“ 一 arctan u)
0 。必+ 1 0
9 7C
=2 —2
-89 -► 数学历年真题全精解析■(数学三)
所以「= 8 — 2冗 一 41n 2.
J。Vx
(方法二)「毕丑=f'd^r ln(i+°d?
J。4x J。J】 ty[x
交换累次积分的次序，得
"郁,=-她 常 土
「可’ 1+ 「 1)山.
=—2
J。 J】t \[x J。J。 t \[x J。 y/t
以下同方法一.
^== = = - = = = - = = = = =r = = = = = != = = -- = = = =: = --： = = = -=: = -= -=-- = -= =^
" 【评注】本题主要考查定积分的计算.对于这种被积函数中出现变上限积分函数"
II II
"/(x) = P ln(1+t)d^的积分，常用的方法有两种，一种是用分部积分法，另一种是利用累次积"
11 Jit 11
:分交换次序. :
11 1 1 1 11
■- 考生答卷中最常见的一种错误是在凑微分时将土 dz = 2dV7错写为土丑=*d" ・..
[ Vx vx Z ii
2
5.【答案】辛.
sin z 三
【解析】 n 工_丑 + 2 [ jcdx = 0 + | 2
+ cos x 1 十 cos x J 4
o I o
6.【答案】2(ln 2-1).
【解析】 由曲线> =fS 过点(0,0)且与曲线丁 = 2工在点(1,2)处相切知
/(0) = 0/(1) = 2,/(1) =(2')'L=| = 2xln 2|j=i = 21n 2,
U
贝 工f”(工)dsc = I* xdf\x) = xf'.jc) — f /，(j?)dj:
J Jo 10
o Jo
i
=21n 2 — /(j?) = 21n 2 — 2 = 2(In 2 — 1).
0 _
四、变上限积分函数及其应用
[g(2009,4题)【答案】D.
【解析】 由y = f(x)的图形可看出，r(z)在[-1,3]上有界，且只有两个间断点(工=0口 =
2)，则了(工)在[—1,3〕上可积，从而F(z) = j>(z)dz应为连续函数，所以排除(B).
又由 F&) = j f(t)dt 知,F(0) = 0,排除(C).
(A)与(D)选项中的F(z)在[-1,0)上不同，由
F(j?) = I Idz = xyx £ [— 1,0],
排除(A),故应选(D).
・90 -第三章一元函数积分学
flg（2010,9题）【答案】一1.
【解析】 在[e~,2 = I* jcsin t2At中含z = 0,得
侦°)
2 ,
e-z dr = 0.
o
又 e-< > 0,则 MO) = 0.
由于 •zsin t1 At =
t
sin /dt,则
o . o
'^+y
2
e-z At = x sin t2 At.
0 . o
该式两端对Z求导得
(1 + * ) = j sin 好 dt + j;sin x2.
将，=。以=。代* 入上式得 L =i
r =「
【评注】本题主要考查隐函数求导和变上限积分函数求导. II
|| ==』
[E（2015,10题）【答案】2.
由甲(1) = 1 知 J f(t)dt = 1,又
【解析】（p（B）= X
0
fx2
cp (x) = I /(^)dz + 2x2 f{x2 ).
由"(1) = 5 知,
5 = £y(z)d« + 2/(l) = l + 2/(l),
故 /(D = 2.
Qg(2016,18题)【解】 令 u — x — ty 则 f(x — t)dt = /（u）du,由题设得
0 o
/(w)dw = x tf (Odz + e-x — 1.
o . 0 0
等式两端对 z 求导得 f(jc) = j + xf(x) — xfCx) — e~x ,即
f (工)= f(t)dt — e
0
等式两端再对1求导得f'(G = + e~x即
f (工)—f (工)=e-x.
/(x) = eJiw "-/腿 +C = e，(- 号产 + C).
又 f(0) =-l,C=-j,
/(x) =-je"(e-2x + l) =-^4^
-91数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
皿(2020,3题)【答案】A.
【解析】(方法一)由于顶(Q可导且为奇函数，则，(t),cosf(t)都是偶函数，从而/'(t) +
cos /(t)是偶函数，则jjcos /(J)+/(z)]dz是奇函数，故应选(A).
(方法二) 令 F(z) = J [cosf(t) + //(r)]dt,!0!|
F(—*)= ，[cos/XZ) + 广(t)]dt
"- -j [cosf(— u) + f'{— u)]diz.
因为f(x)为可导的奇函数，所以函数cos/(x)+/(x)为偶函数，从而
F(— x) =— J [cos/(u) + //(w)]dw =—F(z),
所以F(x)是奇函数，应选(A).
、/1解题加速度
1.【分歹■盘弱通过变量代换将平(工)化为积分上限的函数，然后求平'3 并讨论 g)的连
续性.矣
【解】 由Tim心 =A及/&)的连续性知,/(0) = 0,从而有
X—0 X
9(0) = J /(0)dr = 0.
当1夭0时，令”=以,则/= — =—,
x X
[/(u)dw
9(二)= --------,
xf (x) — [ /(u)dw
，(x) = -------------y-------，二尹 0，
x
/(0) = lim g)F°)= lim =[血华2 = A.
3C JC LJC 2
x*0- x*0- x*0-
由于
jcf(jc) — I /(u)du
lim(p ( 0),再代入 = I* /(xi)d^ 11
■I >0 3C J
x— 0 II
:中去计算，这也是一种典型的错误，因为/'(工)=Ar+o(z)仅* 是/'(工)在了- 0时的性质，:
[不能在整个区间[0,1〕上用该式代入. J
2.【答案】A.
【解析】(方法一)先作变量代换将被积式中工换出来，然后再求导.
令 x2 — t2 = “，则一2rdz = du,zdr =— du,
j tf (x2 — i2)dr =— J 2 fCu^du = f(u)du,
则£了 tf (工z — t2)dt = y f(u)du = y/(x2) • 2x =苛澎).
故应选(A).
(方法二) 排除法：取，(z)三1,显然满足题设条件，而
tf (x2 — F)dz = tdt = x.
axJ o ajcJ o
由此可知，选项(B)(C)(D)都是错误的，排除(B)(C)(D),故应选(A).
3 .【答案】B.
【解析】(方法一)排除法：选一个符合题设条件的具体函数，取
-93 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
1, 1 > 0,
f (工)=< 0, x = 0,
、一1, z V。，
［ldj X > 0 n
Jo z, z > 0
则 F(x) = | f(f)dt = < 0, x = 0= < 0, x = 0= I x |.
0 j：(—E，x<0 」X<°
是一个连续的偶函数，排除选项(A)(C)(D),故应选(B).
(方法二)利用变上限积分函数的两个基本结论：
(1) 若/(x)为［a,5］上的可积函数，则j 为［a,6］上的连续函数.
(2) 若/(x)是奇函数，则£/(i)dz为偶函数;若/(x)是偶函数，则［角)曲为奇函数.
由于尸&)是奇函数，则j方)dz为偶函数，又了(工)除x = 0外处处连续，工=0是其第一类间
断点，则八力可积，从而j方)击为连续函数.
即j>(Odz为连续的偶函数,故应选(B).
It = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -
II 【评注】本题主要考查变上限积分函数的性质.方法二中关于变上限积分函数的两个1
II II
"基本结论比较常用，望考生注意. 11
IL== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
等式哄宁虫由两端对求导，得
4.【解】
J o J o sin t + cos t
广- Z(x)=］哄气竺y
sin x 十 cos x
即
,zz 、 cos x — sm x
xj (工)=x
sin x + cos x
，&) = cos x- sin^^ e(0,^1
sin x 十 cos x \ 4 J
故
£■ z 、 C cos 3c sin j i / | 、|
jkx) = —---------:--------- j - c --ax = ln(sin x + cos x) + C.
J sin x 十 cos x
由题设知»/(0) = 0,于是C = 0,因此
/(x) = ln(sin x + cos x) ,x C ［。，于］.
In = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = F
" 【评注】 这里用到一个常用结论:广= 1,事实上冗广|&)］=心 J
-94・《 第三章-元函数积分学
5.【答案】C.
sin tdt, 0 < Z V
0
【解析】 (方法一)F&)= f(t) & = Y
0 sin tdt + 2dt,
X
0 J
(1 — cos z, OW^Vk,
〔2 + 2z — 2tt, tt < i W 2穴.
因为
limF(x) = limF(x) = F(tt) = 2
x*x- 工—”+
所以，F(z)在1 = 7C处连续.
而
l v i m - F -- ( - x -- ) - - — --- - F -- ( --k- ) - = li v m -- 1 - - — -- - c -- o - s - - x --- — --- 2 - = l r i m sin -— x = 0 n
「 F(z)—F(7t) 「 2 + 2z — 2n — 2 9
lim ------------------ = lim --------------------- = Z
由此可知F-(7t)尹F； (tt),即F(工)在］=入处不可导，故应选(C)・
(方法二)由于1 = 71为/(X)的跳跃间断点，则F(z) = £/(?)dZ在= 7T处连续但不可
导，故应选(C).
p==- = = = = = = = = = = = = = = != = = S5! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^^
" 【评注】本题主要考查变上限积分函数的连续性和可导性.两种解法显然方法二简"
II II
.<单，方法二用到一个关于变上限积分函数的连续性和可导性的结论，即 -
「工
" (1)若z = io为f (工)的可去间断点，则F(z) = /(r)di在z = Zo处可导；
J
I' o "
" fx "
" (2)若z = Zo为f(工)的跳跃间断点，则F(x) = 在z = Zo处连续但不可导."
II J 0 "
11= — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ― — — — — — — — ― ― — — — — — ~ —————』
6.【解XI)f tf (x — t)dt f (j; —u)/(u)du = x\ f(u)du — I* u/(u)du.
J J J J
0 0 0 0
代入原方程得 f y*Q)d, +打 /(w)du — f uf(u)du = ax2.
J 0 J 0 J 0
上式两端对 x 求导得/*&) + j /(u)du + x/(x) — jcf (工)=2az 9
/(x) + J f(u)du = 2ar. ①
等式两端再对z求导得/(x)+/(x) = 2a.
由线性方程通解公式得
f(jc) = e " (jJ • 2adx + C)= e-x (2aex + C) = 2a + Ce-X.
由①式知，/(0) = 0,则C =— 2a.
/(z) = 2a (1 — e-J ).
8
n—»oo
（方法三）由（I）知
・96・第三章一元函数积分学
o W = | In i | [ln(l + Z)]"d£ < | 杖 | In t | d力
0
又因为limHn t = lim，财 =lim —J = 0,且Hn 1在(0,1]上连续，则Hn 8在(0,1]上有界,
。+ 71 o+ 1
Z*0- +
从而存在M>o,使
0 <| tin t IWM/ e (0,1],
tn | In , | 由 v mJ 厂i At = —,ilim — = 0及夹逼原理知limi/n = 0.
n n—8 n ”—8
= = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^-^ = = = = = = = = = ==51
II 【评注】 本题是一道综合题，主要考查定积分的不等式性质和求极限的夹逼原理，同"
it
时这里用到一个常用的函数不等式 “
it
II
II
~ V ln(l +x)y(a + £g(z)dz),因此,F'(u) 2
O,F(b) >0.
g(t)dt rb
y(x)dx /(x)g(x)dx.
/解题加理
工二
1. 因为lim ^(2 a)存在，故iimy(2w-a) =0.由/&)在[a,6]上连续，从而
—+ z — a T
/(a) = 0,又f'(H)> 0知/(x)在(a,5)上单调增加，故
f(工)> fCa) = 0,x E(a，b)
(U )设 F(x) = x2 ,g&)=『/(QckJ VYb),则 g'&) = f&)>0(a J(p{x)dx = 0,(1 V& <2),
,(&)=西吐二骅2 0时，收敛，故0 0);
p ＜1, 收敛,
(2)
a \x — ar 力21, 发散.
3 .【答案】哀.
O
【解析】「 ____ dx q
"+2丁+ 5丑
J —oo (x+1)2 十
x +
=—arctan
4.【答案】C.
］7
【解析】 币=&=匚可华刁+厂滁芬，
］
由于lim芝(1了*)" = 1,则当a 1时，［“”与 耻收敛,
工-+ 1 . 1 \ J 1 X (1 + X)
8 萨 X-+OO (1 + 7)
故当a 1时，「° 展收敛.
J o z (1 + X)
故应选(C).
5 .【答案】A.
【解析】(方法一) 令arcsin = t,则z = sir? J所以
f1 arcsin\Tx」 传 t lz . 2 x
厂 一dz = - = • d(sm2 t)
J。\Zr(1 — j:) J。ysin2i(l — sin2^)
. i. n2
=2 tat = — 9
Jo 4
故应选(A).
-100第三章一元函数积分学
(方法二)令@ = Z，则x = t2 ,所以
f1 arcsin R 丑 arcsm'寸以)=2 arcsin t
J。J工｛\ — z)
° VeTT-t2) ° m
:J arcsin zd(arcsin t) = arcsin2Z 1武
=2
4
0
故应选（A）.
6.【答案】点
【解析】广|工|3~'& = 2 +8 i +8 =J_
j：3~x dx =— • 3 '
In 3*
J —8 , 0
七、定积分应用
3））（2010,10题）【答案】
【解析】由旋转体体积公式得
「+ 8 ,4-00 dz
V = ny2 dx = tz
•z (1 + In2 j:)
斗
8 4-00
lTbfc = gctandn x)
7C
K 2
T,
00（2011,12题）【答案】yn.
■ z)|：
【解析】由旋转体公式得
■2 4
V = ir 工= 7T (x2 一 l)cLr =江(亏丁
困（2012,12题）【答案】41n 2.
【解析】 曲线y =—和直线y = x及v = 4* 在第一象限围成的
X
平面域如图所示，则所围面积为
S = (4x — x)dx + x Ax = 41n 2.
0
5
更（2013,16题）【解】V, = X
0 b
1_ 7_
Tta3 _ 6 Tta3
Vy = — K dy = ttq§
i T~
o
i_ 旦
因v = 10K,即鱼若=10 •鎏解得a = 7/7.
7 5
Ip — — — — — — — — — — ~ = r： = = ——=——=—=
=『
V 【评注】本题主要考查旋转体体积的计算. II
==』
Y' = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==
-101数学历年真题全精解析.（数学三） 》..，
g]（2014,10 题）【答案】 j-ln 2.
【解析】（方法一） 曲线巧+ 1=0与直线了 +工
域。如图所示，则。的面积为
S = （2 + Qdr +
2 + 手)dz =
（方法二）用二重积分计算面积，即
dxdy = J】dy
S = d«z
b —y
= j[_D =*f2.
心
函（2019,18题）【解】所求面积为
「+
s=Lr+8 8 (n+l)x
e-xsin z | d«z = J e-x | sin z | dz = sin z | di,
又 Je-xsin zdz =— ^-(cos x + sin jc) + C,
(H-Dk f (n+1) jt
则 e-x | sin x \ dx = (— l)n e-x sin xdx
nn nn
(n+l)ir
=(—1)+ %-(cosz + sin x)
学
+广”叮=L
则 S = 1季：如 5 l + e-K eH + 1_
乙 2(1 —ef) 2(en -*T)
n=0
巫（2020,12题）【答案】7tln2一告.
【解析】（方法一）如右图所示,D绕j轴旋转所成的旋转体的体积为
V = J KJ?2 dj/
i
l)d、
4 I T I 1
=T
o
Q
I o
H- k(In y •—v)
1
”(ln2 一 §)•
(方法二)D绕丁轴旋转所成的旋转体的体积为
V = I* 2nxydx — M . 7T ・ 12 .
J o o Z
X j 7C
T+^djc~J
-I】n
=7rln(l jc2)
I 0 3
"俾2-§).
・ 102 -《 第三章一元函数积分学
的（2021,13题乂答案】 于.
【解析】 V = k|" xsin2nxdx — f Zsin2tdt =—晋［sin2tdt
J 0 K J 0 K Z J 0
、/1解题加速
1.【分拆 出Si(z)和S3)的积分表达式，然后等式Si (工)=S2(y)两边对工求导，解
出 z =
【解】由题设知
Si (工)=「"，一!(l + e，)]M
L
J o
S2 (y) = J】 [In t —(p(t)Jdt.
又 S3 = S2(y)9 则
j： (* 一 §)击=jjln L 加)]此
等式两端对工求导，得
-号eT = [ln，_&)理.
由y = e1得
yex — y = O— 甲(*)e]b.
于是
2 =工+ *-夫
从而甲(/) = ln;y +我一号，故曲线C3的方程为1 = In 丁 +法一号■・
2.【解】 设切点A的坐标为(1】，少)，则切线方程为
y — yi= —(x —xi).
将点(0,1)代入，得Xi = e2 ,少=2.
所求面积为
S = J In xdx — (e2 — 1*2)
=xln x — J dz -普 + 1
=2e2 - e2 + 1 - e2 + 1
=2.
所求体积为
・103・参 数学历年真题全精解析,(数学三)
V = In2xAx —• 4 • (e2 — 1)
J i 3
2
=7t(xln2x — 2xln x + 2x) — ^(e2 — 1)
i 3
=^(e2-l).
3.【解】由学=2(j/ + 1)得
= |2(^y + Ddy = (y + l)2 + g(z).
又，(:y，7)= 3 + I)? — (2 — j/)ln jy,得
g(V)=—(2 —、)ln y.
因此
fCx^y) = (/+ I)? — (2 — z)ln x.
于是，曲线f(x9y) =0的方程为
3 + 1)2 = (2-x)lnx (l 0).
7TW
由= §得了 =季，由/ J =亨得
2 3 /r+^ 2
从而曲线V = f(X),y = ?以=卓及了轴所围图形绕工轴旋转所成旋转体的体积为
U 乙
.座— '73 X 2
V = 71 djc
f 1 +
—(x — arctan x)
6 *
・105,数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 宏
多石函薮白勺微分线
•、基本概念及性质
[J(2009,10 题)【答案】21n 2 + 1.
【解析】 由Z = (x + ey)J得z(z,0) =(1 + 1)工，所以
dz 了
=[& + 1)叮 |~exln(l+x)
dx dx x=
(1,0) 1
L
m
=ex,n(1+x) [ln(l +1) + ] | =甘国(in 2 + §) = 21n 2 + 1.
=『
【评注】 若直接求出孚，再代入数字，运算量要加大，且易出错.
Il dx i i t i
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==J
0（2022,3题）【答案】C.
【解析】计算选择题中各项
F(z ,、)= (x — /(t)dz- tf(t)dt9
0
3F _
亦= + (x — y)f(x — j/) — (x — y)f(.x —,)= ^ 0 f(t)dt9
0
3F ：
/(i)dz — (x — y^fCx — >) + (x — jr)/(x — y)=—
dy o 0
d2F 白 .d2F “ 、
京=顶&一少'矽=了愆一、)
曰 qF _ 3F 32F 茶选（C）.
dx dy dx
C.
1.【答案】
y = x 1
【解析】由于lim— —*尹0 = /(0,0),从而f(.x,y)在(0,0)处不连续,
X—0 X +y
y*0-
排除(A)(B).
（x,0） 7/（°，0）
由偏导数的定义 K（0,0） = lim^- = 0,同理 £（0,0） = 0.
X
所以，应选（C）.
2.【答案】C.
-106 ・第四章多元函数的微分学
【解析】事实上，由lim 贝了)一竺虫 =0可得
』招 + 丁
(W)TO,O)
lim go) —r(0,0) = liin go) —y(0,0).互=0)
f x J x2 + O2 x
即 f] (0,0) = 0,同理有 /；(0,0) = 0.
从而
lim. [ . / . ■ ... ( . △ ... *, ..... △ ... ' . ) ... . - ... . / .. ( ... 0 ... , .. 0 ... ) .. ] .. - ... . ( .. / ... ： .. ( .. O .. , .. O .. ) ... A ..j. ： . . + .... . / .. ； ... ( .. O . , .. O .. ) .. A .. > .. ) .
P
r*°
=lim fd'y) — r(0,0)= lim r(E3)——(。，0)=
L。 p L° J(Zkr)2 + (△•)'
根据可微的判定条件可知函数fg)在点(0,0)处可微，故应选(c)・
『 【评注】1 .二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当1阶偏导数连续时，才'
II 'I
“ 可微. |>
: 2.本题也可用排除法，(A)是函数在(0,0)连续的定义；(B)是函数在(0,0)处偏导数：
:存在的条件；(D)说明1阶偏导数g (0,0),/； (0,0)存在，但不能推导出两个1阶偏导函数：
"f，Ax,y},f'y(.x,y')在点(0,0)处连续，所以(A)(B)(D)均不能保证 f(x,y)在点(0,0)处 '
II II
”可微.故应选(C).
3.【答案】B.
【解析】若极限lim 4^4存在，则有limf&a = 0,
工-o x 十 y x-o
y—>0 0
又由/(x,y)在(0,0)处连续，可知/(0,0) = 0.
似。,。)*=耽&^地=既国 =。.
类似g(0,0)= 0.于是
]. ，(3)一冲。)一 L/；(0,0)+/；(0,0)]
lim----------------------------------------------------------
x—0
y*0-
= lim r(q)= lim 尊穿 y?+y=O.
由微分定义知/(x,y)在(0,0)处可微，故应选(B).
r— 一―— 一 一 一 _ — 一― _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
______________
" 【评注】1.本题主要考查二元函数连续、偏导数、可微的定义. ：;
: 2.可采用举反例排除错误答案， "
II , , ••
|| 取 /Xz ,丁)= | j：|+ \y\ 排除(A) ,/(jr ,j/) = x + y 排除(C)(D). J
4 .【答案】D.
【解析】 根据偏导数与导数的关系，利用一元函数单调性的判定方法,
若 Z] < x2，3；i > y2 ,则由 >0,有 /&1，») Vr(Z2，»)，
・107・> 数学历年真题全精解析•—■(数学三)
由 v °,有 y(j；2 ,、[) < f (工z，:yQ，即 /(xi ,j>i) < y(x2 ,yi) < /(x2,%).
5.【答案】D.
【解析】 由〉0知f(x,y)关于了单调增加，则/(l,.y) >/(0,^).
OT
由籍点)< o知f(x,y)关于V单调减少，则/(x,0) > /(x,l).
dy
综合如上两个不等式
/(i,o)>/(0,0) > /(0,1),
应选(D).
6 .【答案】B.
lim 心。)~~ 八0，°)= lim = 1,①正确.
【解析】
X x—o x
(0,0) x—0 ~ - ~
尹0时，咨| lim 心以).二..£(0，少=lim型n 不存在.
o JC I X
(0,>) x->0 3C
因而孑¥
不存在，②不正确.
djcdy
(0,0)
显然lim f(T,y) = 0,③正确.
(x,y)->(0,0)
0, xy 共 0 或，=0, ~
而 lim/Xz,、)= 所以lim lim/(x,j/) = 0,④ 正确.
x—0 丁， z = 0, >*0- ~ x*0-
故答案选(B).
二、求多元函数的偏导数及全微分
恐(2011,10题)【答案】 (21n 2 + l)dz+(-21n 2 —l)dy
【解析】由Z = 可得
dz e敢 (1 +子) - •V l n( \ l + - 3^ U / 4 y ] 1 + +*
dx 1 + — y
y」
dz —In f J+~ ) -pln(l + - X )- X ] X 1 + 7 > X 1 + 7)+ +X 」,
y y l + — y2 =—
y2 X
y
所以
dz dz dz+孕 d;y = (21n 2 + 1)dx + (— 21n 2 — l)dy
(i,i) dx (1,1) dy (i,i)
gJ(2012,ll 题)【答案】2dz —dy
【解析】 由"*二竺 +了 2 = 0以及z = f(x,y)连续可得/(0,1) = 1,且
盘？山 + 3— 1)2
— /(0,1) = 2z—()一l)+o( y/jc2 + Cy — l)2 ) , (z 0以 f 1).
由可微的定义得X(0,l) = 2,/；(0,1) =一1,即
・108・第四章多元函数的微分学
dz I =（0,1） dz +（0,l）d）= 2dz —
I （0,1） '
应填 2dz — dy.
0（2013,10 题）【答案】2-21n 2.
【解析】由方程（z + 少工=巧，当1 = 1,）= 2时次=0,用隐函数求偏导数的常规方法求解.
方程Cz + yY =巧变为e血汗少=巧，方程两边对％求偏导数得
dz
^xln（z+y） ln（z +）） + x di =>•
z + y
令,有舞
=2 — 21n 2.
（1,2）
「= = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — = = = =『
: 【评注】在求一点处的偏导数时，不必要解出祭，而是直接把点的坐标代入求导后的»
ox
Il II
:方程，可能简化运算. ：
Ii1—L — — — — -- 一 — - - _ -———— - ——―—= 一 一 二 二二 _二_—_一一_ _—_—_—_—__ __一_ _— _— __ _一 —- J——j
0（2015,11题）【答案】 -ydT--|dy.
【解析】（方法一） 易得 1 = 0,丁 = 0时 ，2 = 0.
方程两边求全微分
e^2y4"32 （Ax + 2dy + 3dz） + yzdz + xzdy + xydz = 0.
把 x = 0,jz = 0,z = 0 代入方程 efgydz + 2dy + 3dz） + yzdx + xzdy + jcydz =。有
] 2
|（o,o）=— —dx — —dy.
（方法二）易得z = 0,y = 0时 ，z = 0.
方程两边分别对 以求偏导数
z
ef叩+3的+逐+科=。，
疽 （2 + 3李）+空+巧祭=0.
53,
\ 切 3y
把Z = 0,丁 = 0,z = 0代入上两式有
dz 1 dz _ 2
a工 （o,o） 3 （o,o） 3
所以dz
I（0,0）=— —
r= = = = = = = = = = „ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^
【评注】 .本题还可令 用公式法求解•
II 1 F&,;y,z） = e+*z+z* — i, II
it 1
ii 2.计算过程中直接代入工= 0,、= 0,z = 0,可简化运算，提高准确率• 11
Q（2O16,2题）【答案】D.
【解析】直接计算，与选项比较.
尸 _ ex （x — j/） — ex rf — e'
1X = ■―& — 丁） &一 丁尸
2-，fy —
・ 109 -数学历年真题全精解析•（数学三）
因而 /： + /； = M- = f.
x — y
选(D).
0(2016,11 题)【答案】一dz + 2dy
【解析】(方法一) 易得二=0,^=1时，2=1.
方程两边求全微分
zdx + (x + l)dz — 2ydy = 2xf{x — z 9 y) dx x2 [_f\ • (dx — dz) + £dj/].
把x = 0,y = l.z = 1代入上式，有
dzLo.i> =_如 + 2心.
(方法二) 易得 X = 0,3/ = 1 时，2=1.
方程两边分别对求偏导数
z+G + 1) = 2" + 丁字(1一繇)，
& + 1）亲—2、= 了七.（一寿）+代
把1 = 0,丁=1,2=1代入上两式，有
3化 =_ ］奕 =2
丑（o,i） （o,i）
所以 &|(0])=—dz + 2dy
「= = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
!' 【评注】 本题还可令F(:c,y) = (x + l)z — y2 —J：2f(x — z9y)9^i用公式法求出李，手. ：
|| dx oy
ii
_____________ __ ___ _______ ______ 一』
0(2017,12题)【答案】巧e\
【解析】 由题知咨=义>,夺=水1 + '冷,利用偏积分
dx dy
f(jc9y) = Jyeydx = xyey + 甲(y),
则芸=*(1 + + /(y) = x(l + y)ey ,得
/捻)=0,有甲(y) = C，因而 /(x，3/) = xyey + C.
由 /(0,0) = 0 得 C = 0,故 f(.x9y) = xyey.
皿(2019,16题)【解】事=)一£ 一/；浮=『一〃 +/；,
djc dy
则3 =一 Z 化-& - " =- 2A-",
普 =1一儿+化一&+佑=1Y+佑，
dxdy
=— f'\\ + f'\2 fzz f‘\l f‘22，
+ /21 — + 2/J2 —
dy
有馨+繇+馨= 1 — 3Q一佑.
dx dxdy dy
-110 ・第四章多元函数的微分学
®2020,9题）【答案】（"一1）&一心.
【解析】夺| 了 + cos(«z + ;y)
7T — 1 ,
dT I (0»w) 1 + \_xy + sin(x + y)J2 (0,x)
利 z + cos(«z +、) =—],
oy I （0,ir） 1 + \_xy + sin(z + j/)]2 (O,ir)
所以dz =(7T— l)dj~ — dj/.
(Otic)
=『
【评注】 也可利用全微分形式不变性求dz. II
-= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
叫2021,4题)【答案】C.
【解析】 方程/(x + be") = x(x+l)2两边对z求导得
-(工 +1,3) +//；i +g&）佑］,
dxdy
所以令x = y = 1,且注意到g（l） = l,g'（l） = 0,得
吾 =£（1,1）+ 井 1（1,1）+且2（1，1）.
oxoy r=i
5 .【答案】0.
【解析】由z = /（lnz + +）,有
"（m+»（T）・
襄"（二+十）•用
于是Z手+ /祭=。・故应填0・
6 .【答案】 （dz + d、）.
乙
【解析】 对题设等式两边分别对工以求偏导数；
产. 2、祭+ 1 +祭=0,
OX dX
产（2"2喘）+2、+嘉=0,
又当1 = §,了 = §时,z = 0.代入上两等式得
dz I ____1_ 匹 I ____1
dx I（y.y） 2 y dy I （y.f） 2 '
故 dz| =_§（dz + d;y）.
• （i•成） 乙
7.【解】利用复合函数求导公式
（ly N 工 「， ,
孟=— fz sin X,
& —_Asin X)e+f^-^e-K2sin x)sinx-/；cos x.
・112・第四章多元函数的微分学
因而擘
=/(1,1).
x = 0
制 =!) + /；(!,1) -/2(1,1).
:y + ■
8.【答案】
cos x cos y
【解析】设“ sin y — sin z,贝！J
祭=f\u) (— cos 二)+ jz,
ox
孑=/，(u)cos y + xy
dy
则旦—.竺+ .竺
cos x dx cos y dy cos x cos y'
9 .【答案】1.
【解析】方程中令z = 0,j/ = 2,得z=L
方程两边对z求偏导数，有
z +（了+1）丝 + 工.丝----- _ =
十 十 林十z dx 1 + 4* 勺2
把* = °,、= 2,z = 1代入上式，得
=】•
dx
I （0,2）
广= = = = = ' = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =兰= = = = = = ==7
!! 【评注】此题在求夺时，可利用两边微分或公式法来求. ；!
Il dx 11
|L = ___________________________________________ - J]
三、求多元函数的极值
因2009,15题）【分析】 先求函数的驻点，再用二元函数取得极值的充分条件判断
（工,、）=2x（2 + y） = 0,
得工=0以=+
【解】由
= 2x2y + In y + 1 = 0,
而 /L = 2（2 + j/2）,/^ = 2x2 + — ^fxy = 4可，贝！J
A =。，f'yy
（。，+） （。，+）
因/L >0,（/；）2-A/； <0,所以二元函数存在极小值■/'（°，§）= 一* •
回2010,17题)【分析】 本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.
【解】 令 F(x,y,z,X) = xy + 2yz + X(x2 + y2 + z2 - 10),解方程组
'F； = y + 2 Ar = 0,
F； = z + 2z + 2ky = 0,
F； = 2y + 2Az = 0,
.x2 + j/2 + z2 — 10 = 0
-113 ・数学历年真题全精解析. (数学三)
得 z = 1 以=± 妨次=2,或 z =— 1 =士妨，2 =— 2 或二=± 2 显,y = 0,2 =tV2.由
以(1,归,2) = u(— 19 —足,—2) — 5 妨，
u(l,-V5,2) = u(-l，V5,-2) =-575,
u(2 a/2^,0 , —a/2) = u(—2 显,显)=0,
得所求最大值为5商,最小值为一5,.
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — * = = = = = = = = 『
|| 【评注】 求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型. '•
IL = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JI
□@(2011,16题X分析】 利用多元复合函数的求偏导法则及取得极值的必要条件.
【解】 由链导法则，字=Zu + zvvT ,其中u = x + y,v = 所以
d z 〃 | 〃，i/〃 i 〃，、，i /〃
C C = zuu 十 Z^Vy 十 ZvvVy)Vx 十 ZvVxy.
dxdy -r
由于/(1,1) = 2是f(u,p)的极值，则
z4(l，l)= /x( 1 > 1 ) = 0,( 1,1 ) = fy (1,1) = 0.
令x = y = 1,得
侦M = zL(2,2) +z：(2,2)<(l,l) = A(2,2) + g(2,2)/£(l,l).
3^3y(1.1)
L = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =i)
【评注】该题虽然是抽象复合函数求偏导的题目，实际上关键要用到二元函数取得极
ii II
||值的必要条件.
ii
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
00(2012,17题)［解】(I)由边际成本概念知，
ac 9n I x 9C |
—= 2O + —= 6 + 3/.
dx Z dy
2 2
又 C(0,0) = 1OOOO,得总成本函数 C(x,y) = 10000 + 2Qx + 十 + 6/ + 套(万元).
(D)由题意知，求C(z,jO在当z+夕=50时下的最小值.构造拉格朗日函数：
FO, y9 A) = C(x,y) + A(j: y — 50) = 10000 + 20x + :y- + 63/ + ^-+A(x + 3/ — 50),
4L u
F： = 20 + 令 + 人=0,
解方程组＜刊=6 + , +义=0,得工=24点= 26.
、F：=工 + ；y — 50 = 0.
因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故当总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分
别为24, 26时可使总成本最小.且此时投入总费用
Cmi„(x,y) = 10000 + 20 X 24+ 冬+ 6X26+ 碧=11118 (万元).
TT U
(ID)甲产品的边际成本函数:C：(x,y) = 20+音，于是，当总产量为50件且总成本最小时甲
U
产品的边际成本
C；&, y) = 20 + 等=32.
・114・第四章多元函数的微分学
其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别为24, 26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加
32万元.
血(2017,2题)【答案】D.
【解析】 计算得祭=丁(3 — 2了 —,祭=x(3 — x — 2y).
dx dy
倍=0,
OX
得四个驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1).而
夺=。，
n2
d2 Z d2 Z
疔—2了，碧 =3-2工-2”访
利用取得极值的充分条件.
在(0,0)处 B2 -AC =9 > 0,不是极值点,
在(0,3)处 B2 -AC =9>0,不是极值点,
在(3,0)处 B2-AC =9〉0,不是极值点,
在(1,1)处 B2 -AC =—3 < 0,是极值点.
故应选(D).
[g(2018,17题)【解】设铁丝分成的三段长分别为了,则z + y + z=2,且依次围成的圆
的半径，正方形的边长，正三角形的边长分别为产，乎，言.
47T 4 0
因而，三个图形的面积之和为
s ="(舟十(*)'+ 乎•(» =芸+书+枭・
构造拉格朗日函数
L(x,y,z,X) = + yr +穿 z，+ ；l(z + v + z — 2).
L； = g+A = 0, — 2 k
x .__，
7T + 4 + 3 焰
L； = g + 人=0, — 8
由- 8 得，
+ 4 + 3 足
L；=隽之+义=0，
z 6 73
、L； = x + y-[- z — 2 = 0, 兀 + 4 + 3 a/*3
此时S取最小值为-----±—
tt + 4 + 3V3
- = = = =r = = = = = =: = = =: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -,= - = - = = =7
] 【评注】 可设三段长为Z以，2 — Z-V，将题目转化为二元函数的最值问题. J
[E(2020,16题)【解】由(匕=眼尸=0得驻点为(0,0),仔,&).
\fy = 24j/2 — x = 0 \6 12/
皿
可计算 A =乙=6x,B = fxy =— 1,C = fyy = 48y.
判别式△ = B2 — AC =— 288巧 + 1.
・115・数学历年真题全精解析• ■■■（数学三）
在（0,0）点处,△ = 1 > 0,不是极值点;
在（§，佥）点处,△ =— 3<0且A = 1 > 0,取极小值为了（§，佥）=—216'
叨（2021,18 题）【解】f（w）= 21n | x 1+寺一§+ 去 +£?，
= A + ±-±-Z = o,
3工 x x2 x3
由< x3 得驻点为/(I板 ，0 \) , 1,0).
/=马=0, *2)
3y X
而△ _ a?/ _ 2 2 , 3 . 3/ R _ a2/ _ _ d2f _ 1
而 A = T—2- =— ~2 — ~3 H r H 4，B = - = — —y , C — ——2 —
dx2 x2 J74 dxdy x dy ?•
X3 X4
在（+，o）处,
A = 24〉0,B = 0,C = 4,
△=序一AC =— 96 < 0,
取极小值 r(§,0)= § —21n 2.
在(一1,0)处，
A = 3>0,B = 0,C = 1,
A = B2 - AC =-3 < 0,
取极小值/(-l,0) = 2.
明(2022,18 题)【解】 利润 L = pQ-6x-8y= (1160 — 1. 5Q)Q — 6z — 8、
=13920工* y亏一216个3 — 6工一8>.
—=6960x~7 vi 一 216孩—6 = 3孩(2320工弓- 72) - 6 = 0.
①
由 .
—=2320狎一 72巧Y —8 =功4(2320工TyT — 72) - 8 = 0.
②
[3y
①十②得工=4y,代入①得36拼+捎一 580 = 0,
进而孩=-1士”17x36x5堕=-1±7汗=二萼9(舍去负数),
捎=4,得 y = 64,z = 256.
此时Q = 384.
由实际问题知，产量为384时，利润最大.
/解题加速度
1•【答
弓彳程暮 =1知，分子的极限必为零，从而有/（0,0） = 0,且
【解析
kx ~x~ y ）
f（jc,y）—巧 e （x2 +：/）2（ |z| , |y| 充分小时）.
于是
— y(o,o)r 巧 +(x2 + y)2.
可见当y — r且|z|充分小时,—/（0,0） x2 + 4那> 0；而当;y —~x且| z |充分小
・ 116 -____________ . —《
第四章多元函数的微分学
时— /(0,0) R— x2 + 4x4 < 0.故点(0,0)不是 f(.x,y)的极值点，应选(A).
|| 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，'I
II “ II
］有一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.J
2.【分析】 根据全微分和初始条件可先确定fCx,y)的表达式.而/•&,、)在椭圆域上的最大
值和最小值，可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求
条件极值.
【解】,由题设知买=2工,¥=—2、，
3工 3y
于是 八了点)=/+C(y),且 C'3)=—2从而 C3)=-y2+C.
再由 /(I »1) = 2^^C = 2,故 = x2 — y2 + 2.
令字^ =。，字= o得可能极值点为1 = 0，) = 0.且
dx dy
A*"? ，”/;
=0,C = =—2.
(0,0) (0,0) (0,0)
从而△ = 一 AC = 4 > 0,所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点.
再考虑其在边界曲线引号=1上的情形:令拉格朗日函数为
F(x,>,A) =/&,、)+人@2+学一1).
F■裟+ 2如=2(1+小=0,
令"；=芸 +学=_2' + h = S
F： = +斗一 1 = 0.
解得可能极值点 1 = 0,、= 2,A = 4；1 = 0,丁 =—2,人= 4；z=l，v = 0,人=—1 =—1,)= 0,
A =-1.代入 /(x,jz)得 f(0,±2) =—2/(土 1,0) = 3,
可见z = 在区域D = 1｝内的最大值为3,最小值为一2.
「* = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及多个重要基础概念，特别是通||
II
II ||
"过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识. "
— — — — — — — _ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
3.【解】 设拉格朗日函数为
F(x,j/,z,A »u) = jc2 + y2 + z2 + 人(z — z? — y2) +#(z + ;y + z — 4).
Ffx(x9y9z') 2x — +/z = 0,
F^(x, j/,z) 2" — 2\y + .= 0,
令 F^(x,jz,z) 2z + 义 + “ = 0,
F； (x，3/,z) z — x2 — y2 = 0 9
F^(x9y,z) z + jy + z — 4 = 0,
・117・X 数学历年真题全精解析•■—(数学三) 》,
(x =— 2, 仔=1,
得 =— 2,或y )=1,
[z = 8, 、z = 2.
故最大值、最小值分别为 “max = (— 2)2 + (— 2)2 + 82 = 72,umin = V + V + 22 = 6.
= = = — = = = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
" 【评注】 本题考查两个约束条件) '下的函数u = f(x9y9z)的条件极值11
" 渺(z,;y,z) = 0 II
:问题，可类似地构造拉格朗日函数 :
"解出可能极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)"
|| II
||即可. II
4.【分析】此题为常规题型，只需用二元函数取得极值的充分条件即可.
【解】令 f：（工,y） = e-J 2J + x ・ e疽君• （— z） = （1 — x2） e-X =。，
= xe~x • （—y） =—zj/e" ■ = 0,
解得函数驻点，即可能极值点为（1, 0）或（一1, 0）.易得
f "工工（工,y） = — 2jce~x + （1 — x2） • e~工侦• （— x） = （x2 — 3'）xe~^L~,
（工,y）=以—1）> • e"侦,
fyy （z,jO = — x • e一~— xy • e"投・（—y） = （y2 — l）xe-X e
（1） 在驻点（1,0）, A = /L（l,0） = —2厂+, B = f£（\, 0） = 0,C = «（l,0） = -e~i.
由 B2 -AC =-2e~[ VO,且 A<0,知（1,0）为极大值点，极大值 /（1,0） = e~L
（2） 在驻点为（-1,0）,A = /1（一1,0） = 2e~i,B =以（一1,0） = 0,
c = /£（—1,0） = e~k 由 B2 -AC =-2e~1 V 0,且 A > 0,知（一1,0）为极小值点，极小值
/X1,O） =-e~k
5 .【分析】 本题考查二元函数的极值问题.
【解】f'q,y）= （/ +> +奈）e* = （1 +）+专）ef，
令f'q，/） = = 0,解得可能极值点为
1 2 演 1 4
]=—1以=—5'或工=1以=~ V
又 fn （工,y） =（2z + 2]2 +3/ + y = （1+j?2 +）+责即，
f'yy （工,y） = （2+丁+ 专）ef，
当 Z =— 1 ,y =— § 时,
A = /L （— 1，—音）=_ eT ,B = 了 （一 1, 一 号）=,C = K （— 1,—奇）=e~十.
-118 -第四章多元函数的微分学 ◄
因为B2—AC = 2e-¥ >0,所以（1，一§）不是，&，/）的极值点.
当 X = l,y =— y 时，
A = /£ （1, -■号）=3eT ,B = （1, 一 §） = eT ,C = K （】，一 § ）=.
知 B2 - AC =—2eY < 0,并且 A > 0,
所以（1,—号）为f（x,y）的极小值点，极小值为，一§）=—广七
6.【答案】A.
【解析】由于B =倍云0,A =碧与C =碧异号，所以B2-AC>0,即”（工,»在区域
dxoy dx oy
D的内部取不到极值.而在有界闭区域D上连续的函数“（z,\）在D上必有最大值与最小值，故其
只能在D的边界上取得.即只有选项（A）正确，其余3个选项都是错误的.
= = = = = = = ；= = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = =- = = = = = = = = = = = = ^ = = =
II 【评注】 本题考查对二元函数取得极值的充分条件的掌握情况.选项(C)与(D)本质II
II 11
II上是一回事(请读者思考理由)，不可能都成立，所以可先排除. 11
1!-= = = = = = = = = === = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = —
7.【分析】利用偏积分法求出了(工,少，再求二元函数的极值.
【解】 对f'gy) = 23 + 1)1两边对、积分，得f*5' )= 3 + 1)2]+甲(z),
由巳(工,0) = (x + l)ex ,有 =— 1.
/> 23 + iw = 0,
而/L= (^ + l)2ex + (x+l)eI,/；y= 2e\
在(0,-1)点，A = /L(0,—1) = 1,B = /：/0, -1) =0,C= A(0,-l) = 2.
判别式△ = 一AC =—2 V0,A = 1 >0,
f(x,y)在(0, — 1)点取得极小值 /(0, 一 1) =一 1.
8 .【分析】这是一个由方程确定的二元函数的极值问题,利用二元函数取得极值的充分条件
求解.
【解】（/ + jz2）z + In z + 2（x + ^ + D = 0两边分别对x,y求偏导得
2牛 + （■ +一）祭 + ♦祭 + 2 = 0 ①
dx Z dx
2* + 3 +一）祭 + ♦祭+ 2 = 0 ②
dy z oy
dz
0,
dx 空 + 1 = 0, 1
令< 得 故 x = y ...------
dz yz + 1 = 0. z
0,
. 119 .数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
将上式代入澎+丁)z+lnz + 2(z + y+l)=。可得Inz-号+ 2 = 0,从而
X =— 1,
y =_1,
z= 1.
方程①，②两边分别对x求偏导得
"4晓+(八丁嘴-甘割 +坤=。,
Z dx
2v^ + 2x —+ (x2 + V2)更三一【竺奕+【 d2z
0,
dx dy 3xdy zz dx dy z dxdy'
方程②两边对V求偏导得
2z + 4玲+澎+刃碧 "1答窘=0,
dy dy z oy J z dy
所以
2 o _ d2z n 厂 z 2_
-- _ 9 /~J =0, C = —^2 y
（-1,-1,1> 3 dxdy dy （■-1,-1,!）
又 B2 -AC =—§ V0,A <0,
从而点（-1,-D是z（了,y）的极大值点，极大值为z（—1,一1） = 1.
四、反问题
圉(2014,17题)【分析】利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方
程，转化为可求解的常微分方程.
【解】因为祭=/(e'cos、)e"cos y,~ =— //(excos、)e'sin y,所以
ox dy
cos 丁 手—sin 丁字 = cos y • f (eJcos jObcos — sin jy ・[— f (eTcos jy)exsin y~\ = f (excosy)eJ.
dxdy
因此 cos y — — sin y — = (4z + excos v)eJ 化为
dx dy
f ( ex cos /) = 4/(ex cos y) + excos y.
从而函数r(“)满足方程r(w)= 4/(m)+w.这是一阶线性非齐次微分方程，直接代通解公式
得该方程的通解为/(«) = Ce“ 一马一a
4 ib
由/(0) = 0得C =故
10
/(u) = ^(e4w — 4w — 1).
lb
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
•' 【评注】一阶线性非齐次微分方程是非常重要的一类可解方程，要熟记其通解公式.'I
Il it
J对于方程J + = q(x)，其通解为y = e-^(J)dx (』9(了*脸丑) + C) ,C为任意常数.；；
-120 ・第四章多元函数的微分学
、/解题加速
得襄=/(睥sin勿靠=,(睥cos ",进而
32
=矿(w)e2xsin2jz + //(u)exsin = f'(w)e2xcos2y — //(M)eisin y.
代入原方程有f'（u）— y（«）= o,解此二阶常系数齐次线性方程得
/(u) = Ge14 + C2e~u.
2.【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出方,乔代入容+舞=0即可得（I）.按常
规方法解（口）即可.
【解】（I）设“=如+寸，则
祭=/(u) , * 李=f'〈u) 二,
林 必 + ♦ 3y a/x2 + y
Jj? + .2 —
d2 z ——+r(M)--------------------仙+♦
/(u) . , £ •…
3? 了 +寸
2
X2 y2
f（u） . 2+/（«）-----------T，
我 + 寸 （^2+y）i
32z
f （w） . ~~2 + /Z（M）. ----------~~ ,
时 了―丁 （u）3
癖竺d^z代入些_|_竺=0,得
特抨W代* 人抨十 U，借
/(M)= 0.
U
（U）令，（"）=P，则。 =0»坐=_业，两边积分得
p U
In p =— In u + In Ci ,
即0 =字亦即成）=牛
由/（1） = 1可得G = 1.所以有f（Q = +，两边积分得
/(u) = In u + C2.
由 /(I) = 0 可得 C2 = 0,故 /(u) = In u.
J
II 【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程
''的求解.
H _ ... _ — — = ='= = = — = — = = — — — — — s = — = — ss = — — — = — >—J
3.【分析】利用复合函数的链导法则变形原等式即可.
【解】由复合函数的链导法则得
• 121数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 茏
du __ du .四+业.改= du , du
矽浦
衰—所 dx dr/ ddxx
du 3u 四+么.改= du - , du
就+ '希'
3y 3y 3“ dy
所以
d2 U ,业+归)
g
a? dx\d^ dr/)
3__2_u_ .3也£ +, d丝2u ..四 a2
招 dx d^dy dx dif 3x d^dr] dx
d2 U 32 U o d2 U
定 +1 标 1 唏，
+2
32〃 业+业)
=2,
djcdy dy \ dr) /
/ “ .竺 + 尹 u . d)2 + 】u . djj . dd22 uU
3^ 9y a&a w 3y dy a&a, dy
a ,2
32 u , d2 U 、d2u
a 菸 +I b 前 +I (z a*b)IL 晒,
ddZ2Uu dd / ,
day/,d2 ddyy \
(d2u ,,
a\aw+b b(b y-y + a
\ 3寸
2 ^2U +屏碧+ 2沥碧，
a定
a,
由4碧+ 12 警+ 53碧2, =0,得
dx dxdy dy
(5a2 + 12a+ 4) * + (5屏 + 125 + 4)零 + (12(a + 6) + 10沥 + 8) = 0.
'5a2 + 12a + 4 = 0, _ 2 a =— 2 9
u
因而- 5胪 + 12D + 4 = 0, 解得， 5，或＜ , 2
[b =_亏・
12(。+ 5) + 10泌 + 8 夭 0. 、b =—2,
|p= = = — = = = = = = — = = — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = != =『
•! 【评注】 此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.
II
'—— — — — — — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — — — —
・122・第五章二重积分
第五章 二重枳分
一、基本概念及性质
［）（2013,3题）【答案】B.
【解析】利用二重积分的不等式性质.
显然，在玖 上了一工2。，且了一z不恒等于零，则12 =。3 —工）＜1如夕＞0.故选（B）.
°2
伊= F
II 【评注】 实际上L V。，由于D】，。 3 关于直线丁 = z对称，再由轮换对称性得
II
II x)dxdy+ =0,
II
II
II
II x^dxAy+ 0.
II
II
(L _
❷（2016,3题）【答案】B.
【解析】 直接计算，与选项比较.
Di 关于直线 y — 对称,Ji — （学 1 — y + 学jy — z）drrdjy = 0♦
%
9被直线、=z对分成的两个积分区域记为。上及。下，则
J ^/x — ydxdy =— JJ \/x — yAxdy, JJ — ydxAy V 0, JJ 学z — ;y xAy
>0,
D± d下 d上 d下
在D上上冷二7＜0,有J2 ＞0.在几下上冷三＞0,有入＜0.
因而J3 < Ji 0,
I3 = 2 jj ycos xdxdy V 0.
{ (x,j) |0 以}.
I
" 原式化简为 :
r2 "
I ii I [ J T J (u — v^AuAv = J f T “ d(9j (rcos 9 — rsin 0) • rdr = J f * T (cos d — sin ^) •— d。 u
II 3k — 5x II
" =, (cos 0 — sin O'idO = ^(sin 0+ cos 0) I 4
" 3 Jf 3 I f "
: =(~2V2) =-y« ；
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II II
即为所求. "
II
=』
L = = = = = = = = = = = = =. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- = = = = = = = =
n (2012,16 题)【解】jje勺'dzdy = j dzJ"e\z;yd;y
° yr
d
=g [ eJ (1 — j;2 ) dj?
Z J o
=-^-ex(l — jc2 ) I + f xex dz
Z Io Jo
=—4 + xeJ I — f eJdj：
―1
一T
0（2013,17题）【分析】求出直线i + y = 8与另两条直线的交点，把积分区域分为两块，直角
坐标系下化二重积分为二次积分,积分次序选择先丁后1较好.
【解】直线z + y = 8与直线z = 3丁的交点为（6,2）,直线z + j/ = 8与直线丁 = 3工的交点为
（2,6）.
化二重积分为二次积分有
「 「-工
nr f2 C3x 6 8
j = J ］ d;y + 工制刁］djy
d 0 yx 2 3-1
8 f2 f6zQ 4、 」 32 , 19Q 416
=—
O J
x 3 d1 x +I
J 2
（8 — —
O
x）jc 2 Ajc = -^
O
~ + 128 =—
O
0
0（2015,3题X答案】B.
【解析】 把积分区域由直线了 =工分为两部分，用极坐标系
e 「
rr ff f2s>n rf 2,
，&，V）dzdy= d。 /（rcos 0,rsin。）厂dr + I d。 /(rcos。，厂sin 0)rdr.
d 0 0 T 0
应选（B）.
可（2017,16题）［解】积分区域如图
IT（］ + 井 4）2&心=［ （］车-?+
JJ （ 1 4- J7 -f- 3/ ） J J 0 （1 十《z +v）
0
=-y异^）必
4 J 0 \ 1 十 Ljc 1 十 z /
・ 126 -《 第五章二重积分
1 | +8 1 I +00
=—--- arctan v2j； + —arctan x
4^2 I。 4 I。
=令（1-会）=
0（2018,16题）【解】积分区域如图所示，则
rr 陪 r J3（i-/）
"dzdjy = dz /心
x = sin t 4 sin21 • cos2 tdt —奕
16
o
=卓「s2(2河一洛
4 J o 16
_姬仔1 一 cos 4% 姬_焰 姬
=TJo 2 ~16 = 32K~T6,
少(2020,18 题)【解] 令 A = jj/(«r,;y)dzd;y,则 fCx,y) = y』\一 £ + Az.
D
两边求二重积分
A = jj/(z,3/)dzdy = JJy \/l — j?2 dxdy + Ajjzdzdjy
D D D
jjy >/l — j?2 Ax Ay + 0 = 2 J J\— £dzj ~ ydy
d ■
「1 „ 3 , x = sin i 七点屈=寿,
=I (1 — J：2 )T dJ： ''=
o 16
得 fS,y) = y
J] _g2 +
有 1*心1"&'') 』\一 £ dzdj/ + 希』z'dzdy
D D D
= A-K[[r2dj7dj/ = r2cos2^ . rdr
Jo
10 JJ 10 Jo
=部*°加。=
1---2---8---7T
[E(2021,19题)【解】用极坐标
『s' (xz 一 y)d^d> = J4 町e决3"。3 / cos 2d • rdr
D
。
=cos 20de「egg8'杼• r2dr2,
Z J J
0 0
・ 127 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
‘1「(• 少 " m- 」 ]2 „ „ 〃 = [r(sin 0+cos。)]2 1 ,(sin + 床斗云祈
所以原式eos0-sin - 0 -c(sin 斤 cos 8)2 dg _ 1 cos。 sin。 [©(sin 什 cos &)2 ]]d°
o sin 9 + cos 9 o (sin 9 + cos OY
t = sin。+ cos 0 \ '匝 — 1 e / dt — — 1 I 波如,‘— 1)&
WJ1 t 2 J i r
1 ft "+号 ■匝1
4 Ji t
1甘 * 5— 1件1，膈工1
I 7
tL Fe击+百
七一
8 4 8
#(e— 1)，
o
F 【评注】 本题在计算重积分过程中，还可考虑利用（sinO+cos仞2 = i + sin2。的变形去1
计算. j
U（2022,14 题）【答案】（e-l）2.
o W z v 1,
【解析】fM）f（y 一卫）夭00
0《y —< L
则
fI +oo *4-00 % ■x+l
Ax ex • = ey dy
J —8 , J o .
0 .
=J （e^1 -e，）dz = （e- I）2.
[£（2022,19题）【解】积分区域如图.
2
直线了一2 =，的极坐标方程为
2
r = sin ■—cos 矿 -2 -1 O
则
I
=[2 do] (cos 0一 sin 9)2 ・ rdr +
* (cos 9 — sin GYdO
J 0 J 0 T ' o
=2 (1 - sin 29)d(9+2 . d。
0 J 7
=2 f-1 7t = 2k ― 2.
F
II 【评注】 还可考虑计算半圆与弓形区域积分的差. II
L
・128・第五章二重积分
/解题加速度
L
【分机二重积分化为二次积分，用分部积分法.
y（2）d 同= 。。丁心（工，J）d；y）d_r = j/（［"了；（了，、））
【解】 dz.
0
D ”
用分部积分法
I — f =— [* /l(x,jOd;y.
= yf'x(.Jc9y)
Io Jo J 0
交换积分次序
I o — =—
再用分部积分法
J xf^x^y^Ax = ^xdf(.x9y) = xf(^x,y} | .
/'&，V)cLz,
0
所以 ^xyf，fxyQx,y}dxAy = ,i ri
d)| f(x,y)dx = a.
D o
r==~ = = = = = = = = = ~ = = = = = = = = = = = = = :=~ = = = = = = = = = = ~ = = = = = ==ii
【评注】 注意在计算二次积分的过程中对分部积分法及已知条件的应用. 11
ii
"= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
7
2 .【答案】3・
U
1
【解析】 易得圆的极坐标方程为r = 2sin们于是
jjzj/dcr = j： d《 r1 2 * cos Osin 9 . rdr = 4「sin’Ocos 9d9
D 4 ° . 4
=4】sin'0d(sin 0)=二.
J T
1Z
Sxyda= 14-cos 6
3.【解】（方法一） rcos 0 • rsin 9 • rdr
D
l+cos 6、
cos 0 • sin 9 • de
o 0 /
1 F
cos Osin 9(1 + cos 9Y d9
cos。・(1 + cos ^)4dcos 0
? f* [(1 + cos 9)5 — (1 + cos Q)4]d(l + cos 9)
4 J
o
1 n 1
=一寿(1 + COS 0)6 + 我(1 + COS 0)5
乙。
Z4 o o
8 8 16
3 15*
（方法二） Sxyda= rcos 9 • rsin 0 ・ rdr
D
・129.wm 》
数学历年真题全精解析• （数学三）
l+cos 0
cos 9 • sin 0 ・ 9 do
0 0
=41 cos Osin 9(1 + cos d)4dd
4 Jo
= ^2cos2 (§)- 1]，2sin geos g • 16cos8 9_
de
d_
=—16 —cos dcos
1 16
=—16 —cos
0 15*
4.【解】积分区域D关于*轴对称，故由对称性知
• JL '2(l+cos 8)
肿 dzdjy = r2 cos 9dr = [(1 + cos 0)3 — l]cos Odd
2
D
(3c。知 + 3cq+ coWW = *16 X(2 + 备
3
r
【评注】计算过程中用到了公式
n —] n — 3 1
y, n为正偶数，
•Z. pA n n — 2 2
sin"zdz = cosnx Ax = <
0 J 0 〃 一1 n — 3 2 72为大于1的正奇数.
n n — 2 3
否则计算稍显复杂.
J
5.【答案】C. yy
【解析】画出积分区域的平图，利用二重积分的对称性.
2b
,=2 - x2
积分区域D如图所示，。关于y轴对称，
=J&dy = 2匚&「dy
原式= xy) Ax Ay
D ' 1
—Z）dz = -y.
-1 o i r X
6.【解】曲线(^2+y)2 的极坐标方程为r2 = cos 20,则
T2-y2
rf
jprj/dzdj/ r>/^2o
= d。 r2 sin Ocos 0 ・ rdr
J o J o
D
=[4 cos2 20 ・ sin 20dO
o J
0
=—J4 cos2 20dcos 20
_w
=一白。史2° T
4*8
0
・130・第五章二重积分
= = = = = " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
【评注】 曲线(x2+y2y =x2-y2是双纽线，一种重要的平面曲线. >•
II
『 = = = = = =二= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分
[fi（2010,16题）【分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性.
【解】 显然。关于z轴对称，且0=0, U O2,其中
Di = { (x,y) | 0 < v < 1 ,荏、W 工 < J1 + 寸},
D2 = {(Jc9y) | — 1 V jy < 0, —y/2y < i V y/1 + y2}.
JJ(j： + yY Ao = JJ&3 + ^Jc2 y + ?>xy2 + 尸)dzdj/
D D
=JJ^3 + 3勺 2 )dzd;y + jj(3i勺 + y3 )dzdj/
- D
D
=4 ]3 +3巧2)dzdy + 0(被积函数3z2y + y关于v是奇函数)
D1
』 孩
= 2「dy +3攻)& = 2^(y.工4 +*若 )1 1+
J 0 .
|£(l + 8^-9/)d3z=|(l+f-|)=||.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
【评注】 二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容. "
I,
一 一― ^ 一 一 — — — -- 一 — — _ ==二二二一二 _ 一 二二二二一一二二二二一= = = = =二=—二二
[E（2014,16题）【分析】根据积分区域的形状易想到利用极坐标计算.
【解】（方法一） 令 X = rcos d,y = rsin 0,
If也5^仍=£ 比"汕•2"汕
^ + y
D
传 cCoOsS 09 in 1 / c | + j cos 7trdr)
-(-rcos Kr
=Jo
COS 0 in
cos 0 + sin 9 '
又
I = F cos「 d° =[
J o cos 0+ sin 0 J(
=J_「cos 9 + sin 0.^ = _k_
_ Tjo cos <9+sin 0 T,
所*4 xsin(K /+寸)&心=一直•专—
x-\- y re 4
D
（方法二） 显然积分区域。关于z, y有轮换对称性，于是
「「jc sin(穴z \+/xv2 y2〉&心=JJ 了细3叩：+已如心.
丁+ z
D D
所以
Txsin(K^2 + £)dxd>
JJ ~r y
-131 ・数字因年真题全精解析• ■—（数学三） 》
= 那燮.曹；+ 皿汕+J、sin（侦g + C&dy
yjjsin(x \/x2 + y2 )dxdj>
D
-^-J2 d《 rsin nrdr (令 z = rcos 0,y = rsin 0 )
2
-^-J2 dO • — (— rcos nr
+ cos
i
—•
4
l== = = = = = = = = = = = - = = - = = -- = - = = = = = = - = = - = = = -- = = = = = = =_^
【评注】重积分的计算中一定要利用好积分区域的对称性、被积函数的奇偶性和坐标
II II
II II
变换等手段. »
］
函(2015,16题)【分析】 利用二重积分的对称性及二重积分的基本计算.
【解】 积分区域关于y轴对称Jpjdzd/ = 0,
D
jjr2 dxdy = 2)dx| 2 x2 Ay = 2J x2 ( y/2 — x2 — x2)dx
, = 2 [ ^2 — x2 dx — = 8 f4 sin2 teas2 tdt —
Jo 5 Jo 5
=2匚 sin^ck - § = £ (1 - cos 4兄 ~ f = f - f •
[g(2016,12 题)【答案】§(l-2eT).
o
【解析】利用二重积分的对称性
f]x2e_>,2 dxdy = 2^ x2e~y2 dzdjy = 2 [ e~y2 83/ f dz =号 J。y3 e一孩 dy
J 0 J 0
D d 右
=—yj^2 d(e~>2 ) =— y(3z2e-y2 ：一2
=—4-(e-1 +e->2 |：) = §(1 — 2e-1).
0 o
rt ■ ■, — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —- — — — —一 —一 —一 —_ _— —一 — — — —- _— _— _—_ _— 司— _
" 【评注】本题若用"先V后工"的积分次序则无法计算. 1
IL& = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 5^1
' /解题加速度
1.【答案】平佶+ *）.
【解析】利用轮换对称性
1
［（芹+#）&如 =g（芹+茅）血如
D D
-132 -第五章二重积分
2.【答案】D.
【解析】由轮换对称性，有
rra =『a vTGT+i 万或血
」J y7ay+ y7(?y V 77^+z^y "
.irrra好B+b vTuy+a 原撬景 疗可据
2」JL vT^T+vWT 7760 + 77c^」"
a + 6PP 1 a -\~ b 1 92 a + b
=—r*^^-T" 2 =—K-
D
应选(D).
|p=-~ = = = = = = = ;= = = = = = = = = = = = = ~ = = = = = = = -- =; = = = = = = = = ~：
【评注】被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别地，当具有轮换对称:ii
ii
性(工以互换，。保持不变)时，往往用如下方法：
ii
JJ/(x,^)dxd3» = jj/(^^)dxdy = +/3，z)]dzdy i
i
i
i
II D D D ii
L = ==J
3.【分析】由于积分区域D关于工轴对称，故可先利用二重积分的对称
性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累
次积分即可.
【解】 积分区域D如图所示.因为区域D关于了轴对称，函数
f(.x,y)=［工？工2是变量y的偶函数，
1 + x +
函数g&,少=1 ［邛LW是变量J的奇函数.则
1 十
+ y
J =2 •2L 1 r 1 7tln 2
2 de
^ = 2|"宥&心 0Hvd^ —
i+J+y
0 .
0,
xy
上+哉护心=
D
J = J1 + +J + 3+-
故
1* 坦3
］+产，
1
湾心=孝・
DDD
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
【评注】 只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数
II 'I
II 'I
"或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算. 11
4.【答案】D.
【解析】 本题也可根据二重积分的对称性，画出积分区域D,区域。关
于轴都对称，巧5分别是小丁的奇函数，1分别是 的偶函数，所以
w
jj(xy5 — 1) dxdy = —jjdzdy =— 2 jj Ax Ay =— 7t.
D D彩
D
・133・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
r
7
【评注】如果直接计算也可以，但比较麻烦且容易出错.
jj (巧s — Ddjcdj/ = dz (巧 5 _ 1 )J-y = 1 —(1 — sin 1)]dz !|
sin x II
D
=JI （ §zcos z — 1 + sin z ） dz （利用对称区间上奇函数的性质）
「： dr =一 7T・
IL==
5.【分析】先利用二重积分的对称性化简，然后可用直角坐标或极坐标计算.
【解】 积分区域D关于了轴对称，利用对称性
rr z'—巧 一
j Axdy =
U点中冲=4 2 2
JJ
D D右
（方法一）用直角坐标
J导"= |~2-一 *7 丑心
JJ x 十 y
% 右
D
1 7T i
2 一 21. —ydy
4
o ° 1 + o
]_ 7C
万—4
所以][，2 并；52
= ]_务
+ y2
（方法上）
用极坐标
2 _ 2 * r2(COs2VSin2g) 1 cos2^ — sir?。
I y2 Ax(^y = rdr sir而一而
z + V 0
JT .n_
1 2 cot2 OdO —寻 x 2 (esc2(9 — Ddd — ~
2 O 2 f 8
1 n j_ _ jr
—万cot 9
—T 2~1
毛 —务
所以 Xdg=l
D
6.【解】积分区域如图.
J& + l）2&d：y =腥
dxdy + Zjjzdzdjy + jj dxdy,
D D D D
由积分区域。关于V轴的对称性
jpc2dj7d^ = 2jJ^2 dxdy 9
jjjrd^djz = 0,
D
Dj D
]J&d3/= Tt,为D的面积.所以
D
・ 134 -《 第五章二重积分
「JL
JJ(z + l)2djcdj/ = 2 A9 ■2sin 6 r2 cos2 6 • rdr + ir = 81 2 sin40cos2 0d0+ n
0 . 0
D
「专
pJL
8J 2 sin4 9(1 — sir?。) d。+ 穴=8| ( sin4 0 — sin6 O') dd +
7t
0
3*§ 乂夸一卒X^X§X夸)+ 5tt
4 Z Z b 4 Z Z / 71 = V
四、分块函数积分的计算
/解题加速度
1.【分析首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.
【解】谷{(x,j/) I o W 技 + y v 1 2 o,y 2。}，
d2 = {(了,丁)I 1 V / + J W V?,% n °，w 2 °}・
则』'Ml +/ +丁］丑心= JJ xydxdy + 2jj xydxdy
D % d2
'0
=J2 sin Ocos 6Ao\ r3dr + 2
sin Ocos 如。| r3dr
0
1 , 1 3
...-----------=——
8 4 8 ,
lr =
II 【评注】对于二重积分(或三重积分)的计算问题，当被积函数为分块函数时应利用积I
分的可加性分区域积分.而实际考题中，被积函数经常为隐含的分块函数，如取绝对值函数：
II :
it
| (工，了)I、取极值函数max{ f (x,y,g(x,y)}以及取整函数等.
II
2.【分析】 在max(x2}中，去掉取最大的符号，把D分成两个区域积分
【解】 令 Di = 1,0 y x} ,D2 = {(z,j/)|0<;yi
L= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =J
、/^解题加速度
E JI ,
【解析* 先求导 ，再代入2 = 2求F'(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函
数中不含有变量人
交换积分次序，得
F(i) = J djJ /(x)dx =J [J fCx^dy^dx = J /(z)& - l)dz.
于是，F'(Z)= 从而有 F'(2) = /(2),故应选(B).
2.【答案】C.
【解析】 由题设可知积分区域d如图所示，显然是y型域，则
/2
原式 f (z ,;y)dr・
y
-136 ・<五章二重积分
故选(C).
『…………= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
" 【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. "
L — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
3.【答案】C.
【解析】j djrJ /(jr，3/)dj> + j'jdjzJ f{x,y~)dx的积分区域为两部分
Di = {(了以)| lWzV2,zVyV2},D2 = {(x,y) | l1，即a >*. 由史 仁？2条件收敛知山V 2.应选（D）.
乙 乙 “ n一
—1 1 〃
$（2013,4题）【答案】D.
【解析】 本题考查抽象级数敛散性的判定，包括》级数、交错级数的收敛性以及正项级数的
判敛法.一种方法是直接找出正确答案，另一种方法是利用举反例排除错误的答案.
由于极限= lim牛存在，而级数豆二3>1）收敛，利用正项级数比较判别法的极限
_ n— 1
np
形式，级数、a“收敛.应选（D）.
n= 1
也可举反例如下：取a“ = 土【，排除（A）；取a. =收敛，但小=
n n
p_]
OO
1 V。2 = M，排除(B)；取 ％ = y^an 收敛，但对任意 P > 1 = lim —考虑
4 win w 切 ”一8 In n
v [. 3 — 1处1 ]. 3—1)2]1 3—1)2^1
lim -r—2— = lim - --------- = lim ----------------- = lim —-------------- = 8.
x-*oo In JC， 工―88 Z2Iinn Z
jc
L8 o 1 i 2
乙—
X
因而limLa,不存在，排除（C）.
“―8
EJ（2015,4题）【答案】C.
【解析】利用级数敛散性的性质及判别法.
对于（A） lim全旦=§ lim生旦 =由比值判别法，该级数收敛；
un o n 0
”-*8 ”-*8
对于（B） 土ln（l +【）〜4,级数克-4收敛，该级数收敛；
Jn ' n ' n~^ nJ
n=i
对于（D） lim 冬 =lim = - V 1,由比值判别法，该级数收敛;
Un （ 十 1） e
n—OO M—8
・ 139 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
对于（C）,用莱布尼茨判别法级数芸; 年少收敛,而级数豆点发散，该级数发散.
In n
” =2 n = 2
应选（C）.
田（2016,4题）【答案】A.
i i
_ a/ . + —
【解析】 sin(/2 + A)
J 〃 + 1 4n + 1 y/n(n + 1)
1
________ _ _____ W —.
Jn(n + ]) ( a/tz + 1 + 历) nl
因而级数绝对收敛，选（A）.
0（2017,4题）【答案】C.
【解析】利用泰勒展开式
1 f(l-§ 1 1 , k , k I k I
sin—— 一危无+况+况+°
n n
1+k . k 1 , k
况—况+况+。
因此级数收敛，所以1+4 = 0即A = -l,应选(C).
F 7
ii sin — 1 Tln(l-§
ii II
【评注】 本题也可考虑用比较判别法，由极限lim —- 存在.
II
n*oo- II
II
y
■（2019,4题）【答案】B.
【解析】 由吏如条件收敛，有lim% = 0,
篇 n —8 n
存在常数c>o,使得 Vn_ 0,及连续函数的介值定
理知，方程+心一 1 = 0存在正实数根n e （0,1）.
当 z > 0 时，/'：（£）= nx"~} + n > 0,可见 f* （x）在[0, + °°）上单调增加，
故方程£' + nr — 1 = 0存在唯一正实数根
由 x" nr — 1 = 0 与 £*>0 知
0 V 了“ = V -,
n n
故当a> 1时,0 V* V
而正项级数占A收敛，所以当a> 1时，级数史芝收敛.
n= 1 " n= 1
『==
T； = - = = = -r：= = = --T = = = = = = = ；S = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = -- = = = =i]
II 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度II
II II
"并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证. j
3.【答案】C.
【解析】 取a„=b„ = （- 1）" 土，排除（A）.取a“ = b,=上，排除（B）（D）.
插 n
F = - = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = ^ =
11 【评注】 可直接证明（C）正确，由lima„ = 0,知存在M>0,当几充分大时，有
II
OO OO
:|a」1
『===========================================』
3.【答案】（1,5].
【解析】由题设知，当|x + 2|< |0 + 2|= 2,即一 4 | —4 + 2|= 2,即z V—4或£>0时,蓦级数发散.
可见籍级数的收敛半径为2.
OO
于是幕级数 —3）”当|x-3|<2,即1<工<5时收敛，
n=0
故—3）”的收敛区间为（1,5）.
”=0
OO OO
另外,暴级数+ 2）”在1 = 0处收敛，相当于赛级数蚓—3）”在X = 5处收敛，故
n=0 n=0
所求收敛域为（1,5].
r= = = :? = = = =T = = = = = = = = = = = = = = = = = = 5I;s = = = = = = = = = = = = = = = =_1
" 【评注】 收敛区间特指开区间，而收敛域应考虑在端点的敛散性. -•
11== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
4 .【答案】C.
【解析】 赛级数 的收敛区间是以1为中心的对称区间，排除（A）（B）.而1 = 0
^anCx-iy
1
n=
8 n
时，由莱布尼茨判别法，级数、（一 1）”“收敛.h=2时，由部分和数列S,=1,2，…）发
1
n= k=l
-143 ・数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
散知级数弟a“发散.因此应选（C）.
”=1
5.【答案】A.
OO OO
【解析】 由阿贝尔定理可知，当 I r IVR时，、 I a„r" |收敛，进而，级数^a2„r,22n"绝对收敛.
n=1 n—1
OO .
所以，当 »2“欧发散时，M I法R答案选（A）.
n= 1
「……= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
7
I'. 【评注】 解析中用到了 “原命题成立时，它的逆否命题一定成立"的公理. II
= = = = — = — — = = = = = = = = = = = = = = = = =
三、求昇级数的和函数及数项级数的和
皿（2014,18题）【分析】利用已知几何级数的收敛性与收敛域，幕级数的逐项求导、逐项积
分性质求解.
【解】（方法一）因几何级数豆匕”=日^，且收敛域为工£（—1,1）.又
n = 0
、（V + 1）（Z! + 3）"= 会 3 + 1）3 + 2）工” + 会（i + l）z‘
n = 0 n=0 n=0
n = 0 ” =0
（二 "+ 己）
\ 1 — X
_「2z — z、 〕'+ 1
=|_（1— -）2 （1一了）2
由蓦级数的逐项求导性质知吏（” + 1）（” + 3）寸的收敛域为（一1,1）,
n=O
和函数 S（工）=，工 e （-1,1）.
（1 — JC）
（方法二） 蒂级数习（〃 + 1）（〃 + 3）z"的系数Q” = （n + l）（n + 3）,又
* = 0
1- QrrH 1- （72 + 2）（72 + 4） 1
四云=哽（如+ 1）3干萄=L
所以收敛半径R 1,
当 1 = 1 时，、（〃 +1）3 + 3）二”=习 3 +1）（〃+ 3）发散；
n=O n=0
当 •Z =— 1 时，习（〃+1）（〃 + 3）%" =、（7? + 1）（72 + 3）（一 1）"发散,
n=0 n=0
故所求收敛域为（一1,1）.
设 S（z）=交 3+ 1）（”+ 3）工"，* e（-1,1）.则
n = O
,144・《 第穴章无穷级数
力(” + 3)广=史(” + 2)广 +总坤
j S(£)ck =
n = 0 n=Q n = 0
[郭(” + 2)Ld《 + X
1 — X
X
n = 0
( ，+ ^
\1 l — x
2x-x2 , x = 3工一
(1 -^)2 1 -x (1 -x)2
故和函数S(Q =［窘斧］ 寻
i,i).
【评注】季级数逐项求导后，其收敛半径不变，但端点可能由收敛变为不收敛，即收敛
［
II
II
域可能缩小；逐项积分后，其收敛半径不变，但端点可能由不收敛变为收敛，即收敛域可能"
II
扩大. "
!!== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
圆(2016,19题)【分析】 此幕级数只有偶数次嘉项，求收敛域时可把其看作一般的函数项级
数,用比值判别法求出.
工 讦
2( 1)+2
佑 (n + 2) (2n + 3)
【解】因为lim H~1 lim
Un 8 X〜2n+2
”—8
(n + l)(2n + l)
所以，当了2 V 1时,原级数收敛；当水＞ 1时,原级数发散.
因此，故原级数的收敛区间为(-1,1),
OO 1
而£ =± 1时,原级数变为、 (” + 1)(2” + 1),是收敛的'原级数的收敛域为I,以
n = 0
设
S(z)
=豆
3 + l*(
X〜2
i)
麻
l(
2
)2'n+l) 则任意 M(il)有
n = 0
S'(工)=2、 OO 晶”2n+l ")=2 二 导” 2
1 — x2
71=0
所以 S'(工)=S'(0) + j：S'(c)d£ d，=ln 产
1 — Z2 1 —x
0
S&) = S(0) + S'(t)dt =
0
=血告 :血古=血11 "己&
1 — X
0
=x\n ? ± * + ln(l — Jr?).
1 — x
z=± 1 时'
O
"
O
(如+1)(
]1
21 + 1)=2
8
" (2n + 2)
]1(
2n + l) = 2"
8 /
( g
]
l 2n
1
+ 2
T + I + I + ・")=21n2.
=2
-145 ・数宇卬年真题至精解听二（数学三） 》
zln -+ ln(l — x2), —1 < x < 1,
所以S&)=[ C
21n 2, x =± 1.
奥（2017,19题）【证明】 (I )由已知。
0
= 1，Q1 = O,Q«+1 =—
〃十1
(m„ +q„_i)，所以
0 !•
记R为籍级数 »”丁的收敛半径.当1时，因为|<|丁 |且级数习寸收敛，所
n=0 n=O
以赛级数力绝对收敛，于是（-1,1） £ （一 R,R）,故R2 L
n=O
（H）利用蓦级数的逐项求导
S'(工)=^na„x"~' =、(n + ,
n=
1 n=O
则
(1 — ])，'&) =、[(〃 + 1)口什】一nan~\xn + ai ,
n=
1
•zS(z) = ^anxn+l _— 2__i an-l 工W
n= 1
0
进而(1 一 z)S'(i) — xS (x) =、[(〃 + l)a„+i — na，n — afr-x~\xn + ax.由已知
n=
1
(rz + l)a„4-i — nan — q„-i = 0,〃i = 0.
所以
(1 — x)S，(x) — zS(z) = 0.
解微分方程爰铮
X得
1 — x
Ce
S(x)
x — 1*
由 S(0) = a0 = 1,得 C =— 1,有
e
S&)
1 — X,
[fi（2021,20题）【解】（I ）已知方程为J 一咤^了 =0,为一阶齐次线性微分方程，其通解为
yn (x) = C*eJw = C^ti
代入初值条件必⑴=渴k，可得c = E1P
故心
1
（口）对于级数"/器】yy，因为「=些公坍^ =】，所以其收敛半径R = 1，
"f 8 1
n(n + 1)
当* =士 1时，级数援:均收敛，因此该级数的收敛域为[一 1,1〕.
・146・第六章无穷级数
_8_ n | 1 _8_ n _8_ [
设 S(x)=蚓 1、，则 S'(x) = N —,sfr(x) ==-------
臼”(” + 1) 臼" 臼 1 一工
:告=-ln(D,
从而有S'&)= S'(t)dc + S'(O)=
0
S(z)=j S，(t)dz + S(O) = J — ln(l—i)dz= (1—a:)ln(l — x} -\- x,x E [— 1,1),
1
当工=1时,S(l)= =1.
n + 1
因此和函数
(1 — x)ln(l — x) + x, t e [— i,i),
S(x)=
1, i = i.
E(2022,20题)【解】 用比值判别法
p(z) = lim "二(〈)=Jim (一 4)+ + 1 4” ・(2〃 + l) 2 _
I 4+(2〃+ 3) (一4)” + 1 ]—
“—8 Un^X) n—8
由p&) VI,即VI亦是I z |<1,可知此藉级数的收敛区间为(-1,1).
当工=± 1 时，幕级数为 S 4"(2« + 1) = S(-1)" (2n + l) + § 4”(2：+1)收敛，
所以暴级数的收敛域为：-ial
oo oo 1 记为
s&)= + S 4g + l)/一 S3+S&).
n = o
n = 0 Ln ~r L
而】手0时,Sj (x) (—1)"・ 1 x2M = — ^p(— l)nr2"dt
2n+l
= (― 1)俨)由=£[： 土击=手arctan 了,
/n+l 服=1[:唐£)由
S2(x) =
! 4n(2n+l)
1 n=»0
= i!o—： 血=—I* 』= —In 52- -+-- -x・
i t x J o 4 — t x 2 — x
1 ——
4
1 = 0 时，S(i) = 2.
所求藉级数的和函数为
2+ x\
x + In —1 i,z 尹 o,
2^c)
2, x = 0.
与;y = 的交点为(0,0),(1,1),所以
(1 _ 1 I 1 = ]—]
/】)& = n+2 \
\n + l n + 2 )\0 n + 1 n + 2-
从而
Si =第=悠平气展-号+…+点-由)=£亚(号-航3
・147・数学历年真题全精解析•■■(数学三)
S =挡3)=
由 ln(l + z) = x — -^-x2 + •・・ + (― l)i — + ••,,令 z = 1,得
2 n
ln2 = l— (§-§ + j・・・ )=1- S?nS2 = 1 — In 2.
lr=-~~~~~-~ = = = = ~~~ = --r~~~:=-~---~ = ~ = = = ~:"-~~~~= = = '==i]
【评注】 此题是定积分的几何意义与级数求和的一个综合题，特别是用到了常见函数
II 1
II II
"ln(l+z)的寂级数展开式. 'I
虹……= = = = = = = = = = = = = __ =____ = _ = = = = = = = = = =_
2.【分析】用比值判别法确定收敛区间，进而确定收敛域；利用幕级数的逐项求导求和函数.
【解】 因为临 住 =lim ':警二;? ，所以当<1,即一1〈工V 1时，原幕级
n—*8 8 I才"(贝十1) I
Un
数绝对收敛.
当x =± 1时，级数为豆 安(——1壬，由莱布尼茨判别法显然收敛，故即级数的收敛域为
”=1
[—1,1].
又、 OO 与埒工 , …、 OO (_ 1)1工21 今
2”一 1* I
乙〃
n=l 1 n=l
/(z) =、(,- L).21 ,了 £ (― 1,1),
/ 2n~l
则 E)= —
由于 /(O) = 0,所以 f(x) = j + f(0) = arctan x.
从而蓦级数的收敛域为[一 1,1],和函数为/(X)= zarctan x9x C [一 1，1].
「………= * = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
|| 【评注】 对于缺项的赛级数，一般用比值判别法确定收敛区间；本题也可将t = X2转
II
|| II
"化为不缺项的暴级数.
'I
IL= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
3.【分析】 由此矗级数的构成可知，其和函数可以通过几何级数求导和求积分得到，因此
可以先求和函数，再由幕级数的性质得收敛半径，然后讨论端点处的收敛性，得暴级数的收敛域"
【解】 sOO 4必 + 4〃 + 3 * 2„ => ( (2n 2 + 〃 + I) 2 1 + 2 ] : '=乡 OO 家+1/+援 OO 昂抓
2〃 + 1
n = Q n = 0
因为克(2n+l)工M = (豆w = ，尸仁，(一 1 VH V 1).
1 — x2 (1 — x2y
n=Q n—0
当时，£於亍 _ _2_ ]
.2n 2+
z 白
2n + l
(V 1 广】 ‘ =ix 1
心 2“ 十 l
1-X2
n = 0
. 148 .第六章无穷级数
1 ^2^-1
:击击=械兰,(-IVzVI).
2n + l
因为工=0时，豆厂名孩=2,所以
8 2〃 + 1
l^2n L* n z e(-1,0)u(0,1),
1 —
X X
2, z = 0.
当* = 士 1时，原级数为 2 哗智臭，由lim垃片尹 =+ 8尹0知级数发散.
= 2〃 + 1 8 2n + l
当了 = 0时，歹；件答臭孩=3,
臼 2«+1
因此，蓦级数梢彳疽盘］+3孩的收敛域为一1＜工＜ 1,
[1+z， , 1 J 1 + x
J(l-J72)2 + 1 l — L •z e(-i,o)u(0,1)，
和函数S(z)=
I 3, X = 0.
4.【分析】利用蓦级数在收敛区间内的逐项求导性质求解.
【解】(I)由题设得
疽* /,% = ,lim I 冬弓=0，
a-zn =
(Zw)! ("十 1)! n*°°- I I
Cl2n
故级数收敛区间为(一8,+8).
因为 S(x) =有
n=Q
co oo oo co
S'(l)=泌皿］"~ ，即(z) =、〃(" 一 1)口”］
1 1 =
n= 1 n= 2 n=2 n=0
故 S*(z) — S(z) == 0.
(H)由(I)知关于SGc)的微分方程¥&)-S(工)=0对应的特征方程为;I' —1 = 0,解
得特征根为;11 =-l,A2 = 1,所以方程通解为S(z) = Ge-，+Ge。
由 SCO) = a。= 3,有 G +G = 3,又 S'(0) = ai = 1,有一 G +C2 = 1,
易知G = 1,C2 = 2.所以S(工)的表达式为S(z)=广工+ 2土
5.【答案】B.
oo OO OO
【解析】+
=cos 1 + 2sin 1.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ** = = = = = = = = = = = = = = = — = = = =『
] 【评注】 此题利用了 sinz及cos 1的暴级数展开式. J
6 .【答案】cos&.
【解析】利用余弦函数的幕级数展开式可得
・ 149 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
S 00 (一1)”
S(x)=
(2n)!
n = 0
7.【分析】 得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数.
【解】 由阿达玛公式可知,P= lim Qn+l =lim —T- = 1.
"f 8 an 8 〃十 1
幕级数^anxn的收敛半径R = — = 1,所以，当|z|Vl时，^anxn收敛.
P n—
n= 1 1
OO
令 S(z) = ^anxn,则
n=
1
00 00
S'(z)=、皿了1 =、(〃 + I)"】]”+句=习(〃+ )anxn + 1
n= n—
1 „= 1 1 '
00 00 00 00
=^7ianxn + — ^anxn + 1 = + y + 1,
n— n—
„=1 1 ”=1 1
x
即 S'(z) =zS'&) + !s(x) + l，U^^ ]
Z S(z)十 z 2 1 _ x'
In I S(x) + 2 I =— In | 1 — z |+ In G ,
G 士 G
I S&) + 2 | = 广】,S(工)+ 2 =
\/1 — x 』\ ——
亦是 S(x) + 2 =
\J\ — x
2
由S(0) = 0得C = 2,所求和函数为S&)= ,_____-2.
— z
四、函数的幕级数展开
[E(2018,18题)【分析】 利用函数展开成幕级数的唯一性，比较系数可求得a”.
【解】 cos 2x =、8 (一 1)” • 2n Y 00 (— 1)" 潘)产
2”,
七 (2〃)！七 (2〃)！
1 00
— = (— l)nxn, (— 1 < re V 1).
00 00
则 一，i：、2 = 2(一1), -心I =习(一1)什】3 + 1)寸，(一1<^<：1),
因而、(—1)" * 7y-<-;J72n +、(一 1*) (n + l)z" = y^a„j：n, (— 1 < z V 1).
K^n) •
n = 0 n = 0 n = 0
比较两边幕级数的系数.
当 n = 2k 为偶数时 an = (— 1)* 7— (2k + 1) = (— 1)奇 J — (〃 + 1),
(赤)! n !
当〃 =2互+ 1为奇数时％ = 24 + 2 = 〃 + 1.
-150 ・《 第六章无穷级数
解题加速度
1.【分地』幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求
导或积分等,转徵可利用已知函数藉级数展开式的情形.本题可先求导，再利用函数仁的幕
1 — X
级数展开式「」一=1+x + x2 +-+x" + -即可，然后取工为某特殊值，得所求级数的和.
1 — X
【解】 因为/■'(>)=—滂C =一2史(一1)”4改气工£
又f(0)=彳■，所以
1 十 4X n-0 乙 乙/ 4
- O 8
g) = /(O)+£/(z)dz =号一2［：［"(—1)“4"］血
=2L_9V' (— 1)”4”工 。(-1. JL\
~ 4 J。2n + l 2+ 9 6 \ 2 9 2 )•
因为级数£ 并昔 收敛，函数 在工=§处连续，所以
心十2£游 14］-
林】,x e
、得昭)=，2割铝牛 3
令X =―,得
方
再由/(§)=。,得W 渊=学-昭)=f.
2.【分析】利用常见函数的矗级数展开式.
X 冬+1+B 了
［解】 ，&) = --- ---- 、/ 、
2 + x — x22 — /(Q2 —x)(1l +x)
比较两边系数可得A = = — §,即
O o
_1 1
1
X 1 + X .
3 11 -7
而
］
、(—l)"xn 9x G(—1,1),—-— 6 (-2,2),
1 + X
n=O 1 —
2
故
f3)
一 8
1严+打
\xn,x G(— 1,1).
-151数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
「=====-==-====-=======---==-==--=--=--------
11 【评注】 分式函数的繇级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的赛级数展开公"
、
II II
式：
II II
II OO II
" (1) ------- = 1 + 以 + "2 + ・・・ + 以” + ・・・=V] u" , U C (— 1,1)； "
' 1 二
(2) -~~；— = 1 — u + u2 — ••• + (— l)nun + = V] (— 1)%”,以 £ (— 1,1);
” 1 +以 也 i.
it II
: (3)eM = 1 + u + -^-u2 + …+ -\un ^-un ,u £ ； :
+ …= V (― 8, + oo)
2! n\ 企〃！
II 3 2n+l _ 1 \ n 2»r|-l H
(4)sin u — u 1 )n----------------------〉、----------- iU &
i:i 、八“ U ------3---!-- -----fr- ,,, + (— (2« + 1)! 冬(2” + 1)! ' D (— 8, ，+十 oo) • 'ii：
" 2 2n °° (_ I \n 2n 11
" (5)cos u = w — — + ••• + (— 1)" ( H----..... Y] ―TTTi-'U £ (— 8, + 8)； "
2! (2n)! 盆(2〃)！
ii n
(6)ln(l + u)= 〃 —自 + # — ・・・ + (— 1)” —— + ... =、-~~-£ (— 1,1];
" 2 3 〃十1 盆〃+1 11
： (7)(i + u)« = i+的+ ^12必 + ・・・ + ^12：2^?±12征 + ...,〃£(_1,1)・:
| Z J n\
ii
・152・第七章常微分方程与差分方程
第七章 帝微分方徨鸟K分方篌
-、一阶微分方程的求解
［］（2010,2题）【答案】A.
【解析】 因Aj^! — fiy2是方程y + p（.x）y =。的解，所以
（A^i — 32）' +》&）（人 Ki —冷2）= 0,
即
AL^I + _或 + 力（抄以］=0.
由已知得（人—M）q（工）=0,因为q（z）尹0,所以A —/Z = 0.
又A>i +py2是非齐次y + P^y = q（z）的解，故
（初 + 的2）' + p（z）（"i +必）=g）,
即
ALj/i +力（1）少］+_ 或 +力（1）力］=q（z）・
由已知得（义+ Qq（工）=q（z），因为q（z）尹0,所以人+ //= 1,解得
广== = = = = = = = - = = = = = = -- = - = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ===j|
•' 【评注】 此题属反问题，题目构造较新颖. "
|L _ _ _ _
0(2018,12题)【答案】2e.
【解析】 由 + Ax) — f(jc) = 2"&)z^z + o(dr)知
f(z + ZU)—£(z) = 2”&)+
△•Z △•T
上式中令 M f 0得f'(工)=2x/(jc),解方程得/(x) = Cej2.
又，(0) = 2,则 C = 2, f(工)=2ex2 ,/(l) = 2e.
§(2022,17题)【分析】 先求微分方程的特解，然后求曲线的渐近线.
【解】一阶线性微分方程的通解为
y =.e ^277^ ( c + j ( 2 + >/x ) dx )
=(C + J(2 + a/x )e"dz)
=e-"(C+2ie")
=Ce—" + 2弑C为任意常数).
由 j/(l) = 3得C = e,故 yCx) = e*" + 2x.
显然曲线没有铅直渐近线和水平渐近线，而
-153 -数宇呼真题全精解如• (数学三) 》
i- y r e1->/7 + 2x 9
a = lim — = lim ------------- = 2,
X X
_r—+8 X-*4-OO
b = lim (y — ax') = lim e1-^ = 0,
X-*+00 z—+8
曲线有一条斜渐近线y = 2z.
/解题加速光
1.【答ady (J 3/ eH心djz + C)= — (j 3y2 d;y + C)= y2 + —.
将_] = 1代入得C = 0,即解为z = y2.又z = l,y = 1,故应填y =插.
lr ~ == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==司
ii 【评注】 求解本题的关键是把z看作未知函数，把丁看作自变量，从而化为一阶线性非II
|| ii
[齐次方程.
ii
4.【答案】y — y = 2x — xz.
【解析】利用线性微分方程解的性质与结构•设所求的一阶非齐次线性微分方程为
y + p(.Jc)y = q(z)・
显然y = Jc2和y = 了2 — 的差©工是方程/ + p(.x}y = 0的解，代入方程得
p(工)=—1.
再把 y — 代入方程 y + p(x)j/ = g(z)得 q(z) = 2x — x2.
所求的一阶非齐次线性微分方程为寸一 ' =2«z —
[i:== = = = = = = = = = = = = = = -- = = = = = = s;;= = = = = = = = = = - = = = = = = -- ==：i|
" 【评注】本题也可把题中两个解直接代入方程求得"
-154 ・第七章常微分方程与差分方程
5.【答案] g — 2.
【解析】 方程变形为浮^如=&，有
2 + v
ln(2 + >2) = x + C.
由 3^(0) = 1 得 C = In 3.
2 + y2 = 3eJ ,
所求特解为y = V3ex — 2.
「= = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
u 【评注】 由初始条件;y(0) = 1可知，开方取正号. 11
11^ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
二、二阶常系数线性微分方程的求解
□(2013,12题)【答案】(G +Cz£)e*,G ，G为任意常数.
【解析】本题是二阶常系数齐次线性微分方程的求解问题，先求出对应特征方程的根，然后
直接写出方程的通解.
方程y-y+^y = 0的特征方程为A2 - A + -| = 0,解得两个根为A112 =
则所求的通解为y = (G +*, GQe 其中G，Cz为任意常数.
0(2015,12 题)【答案】2eJ + e~2i.
【解析】 本题是求微分方程满足初值条件'(0)= 3,/(0) = 0的特解.
由题意知微分方程y+y'-2y = 0对应的特征方程r2+r-2 = 0,
解得特征根ri = 1 ,r2 =— 2,
微分方程的通解为、=Gb+Ge-处，代入初值条件火0) = 3,/(0) = 0,
有+ 壬 3：解得 G = 2,c2 = 1,所以 >(x) = 2ez + e-2i.
[Ci — 2C2 = 0,
0(2019,3题)【答案】D.
【解析】 由题知，齐次方程的通解为丁 =(G+GGe-。非* 齐次方程的特解为了 = e\
因而特征方程r2 +ar+b = 0有二重根一1,所以a = 2,3= 1.
把 y = ex 代入方程 y" + ay' + by = ce1 得 c = 4.
£j(2020,17 题)【解】(I)特征方程，+2r + 5 = 0,得‘微=一1 士 2i,
则 /(x) = (Ci cos 2x + C2sin 2x)e~x.
由 /(0) = 1,/(0) =— 1 得 G = 1 ,C2 = 0.
有 /(x) = e-xcos 2jc.
(II )J/(J7)djc = Je-Xcos 2xdx =•—Jcos 2xde~x =—e-Jcos 2x + Je-x(—2sin 2x)dx
=—eJcos 2x + 2jsin 2xde~x =— excos 2x + 2e-xsin 2x — 4Je-xcos 2xdx,
所以Je-xcos 2xAx = §(2sin 2x — cos 2x)e-x + C.
1 I +°° i
有 a” = —(2sin 2x — cos 2x)e-x = — e-nx,
5 I nn U
-155 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三) 》
、/1解题加速度
1•【答初也S + 2.
【解析】，由三阶常系数线性齐次微分方程的通解为j = (G +GQe「
得对应特标方程的两个特征根为厂 =厂 = 1，故Q=—20 = 1 ；
1 2
对应非齐次微分方程为y — y = Z,设其特解为y* = Az + B,
代入得一2A + Ax + B = «r,有人=1 ,B = 2.
所以特解为y* =z + 2,因而非齐次微分方程的通解为y= (G+C2i)e，+z + 2,
把)(0)= 2,J(0) = 0 代入，得 Ci = 0,C2 =— 1.
所求特解为y =— ^ex + z + 2.
广-= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
•' 【评注】此题通常考查二阶常系数线性微分方程解的结构和形式. "
L= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
2.【分析】 直接利用二阶常系数线性微分方程的求解方法.
【解】 由方程y — 3yz + = 0的特征方程r2 — 3r + 2 = 0,解得特征根= 1 ,r2 = 2.
所以方程/-3/+2j- = 0的通解为§ = CG + Ge气
设 y — 3、' + 2y = 2xex 的特解为 y * = xiax + 6*)e ,则
3 )' = W +2心 +微 +睥，
(*y )" = (ar2 + 4ar + + 2a + 26)ex.
代入原方程，解得a =— 1 ,b =— 2,故特解为y' = x(— x — 2*)e ,
所以原方程的通解为
丁 = § + / = Gb+Ge2，一z(z + 2)e，，其中 G，G 为任意常数.
3.【答案】Ge3，+Ge，一 z*e ，G，G为任意常数.
【解析】 由已知条件有y\ — y-i = e3x ,y2 — y3 = e，,显然少—y3 ,y2 —方线性无关，
所以该二阶常系数非齐次微分方程的通解为：
V = Cl'+Gb—z*,e 其中G，Cz为任意常数.
4.【答案】A.
【解析】 把丁 = je2^ + (x -y)ex代入微分方程，待定系数即可求得a,b,c.
由了 = ye2j + （z —§）式得
y = e2j + （z + 号）e，,§ = 2e2x + @ ，
把 代入方程 yr + ay' + by = ce',有
（2 + q + §〃。 2 工 + （1 + q + b）xe + （§ + — §人）/ = c*e ,
2 + q + = 0,
a =— 3,
待定系数＜ 1 + Q + 6 = 0, 得 5=2,因此应选（A）.
c =— 1.
• 156 •第七章常微分方程与差分方程
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =il
II 【评注】 其实，我们可以看出齐次线性微分方程的特征根为1和2,非齐次线性微分方程it
Il ||
||的一个特解可为丁 = z*e ,进一步求得a,b,c. :
5.【答案】C.
【解析】 题目中方程对应的齐次方程的特征方程为尹一4r + 8 = 0,解得冗2 = 2 + 2i.
方程y~ * +跄=身的特解可设为砒=Ae21,
方程 y — 4j/ + 8y = e2xcos 2x 的特解可设为 yi = xe2i(Bcos 2x + Csin 2x),
故该方程的特解可设为
y" = V*i + >2 = Ae2x + xe2i(Bcos 2x + Csin 2x).
应选(C).
三、差分方程
Q(2017,10 题)【答案】y = C2t+t2^.
【解析】 齐次方程的通解为«=C・2，.
设非齐次方程的特解为W = m2,，将W代入方程 '中一2乂 = 2,得
2a = 1,即 a = §,
所求通解为 V = C・ 2' + §" 2' = C2' + :2I.
乙
0(2018,11题)【答案】一5 + C・2\
【解析】本题涉及了二阶差分的概念，转化为一阶常系数线性差分方程求解
△勺工=y^-2 — 2>^1 + yx.
原方程变为—2了* = 5.
对应齐次方程的通解为云=C・ 2。
非齐次方程的特解可设为如=A,
则有 A — 2A = 5,得 A =— 5.
所求通解为必=—5 + C・2七
皿(2021,14题)【答案】C +
【解析】 由于△、，= )中一乂，故原方程可化为了中一乂 = 该差分方程对应的齐次方程的
通解为C.设其特解为少=t(At+B) At2 + Bt,代入方程，有
A (z + l)2 + B(t + 1) — (Az2 + ) = 19
即 2Az+A + B =，，比较系数得 A = =—§.
乙 乙
故所求通解为乂 = c + !产一§1(其中C为任意常数).
四、微分方程的应用
[fj(2009,19题)【分析】利用体积值和面积值的关系列出微分方程，解方程得到曲线的
. 157 .数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
方程.
【解】（方法一） 旋转体的体积为V =［兀尸（Qdz =兀 :尸（上）&,曲边梯形的面积为
S = /XGdz,则由题意知V = mS.
f2 (jf)dj： = 7tZ [ /(x)dj;,即
因而六
y2(a?)dj7 = fj y(x)dx.
两边对£求导可得/2（0 = + tf (O，再对[求导
i
2/(O/(O — f(t) - tf'(t) = f(t).
化简可得(2/(z) — t)f'(t) = 2f(t),变形为
亲+ — i
解得 t = C • jF万 + ■|~y
在体积表达式令t = i,有y2（i）-/（i）= o,因为/（/）＞o,所以/（1）= 1,
代入 t = C • + yj，得 C = §，进而 t = y +
所以该曲线方程为2j/ + £—
3z = 0.
y/y
（方法二）同方法-，得”（W3 = ⑴=1.整理得学=立
二
3；
令〃=“，则字
"+琛,原方程变成鼎 =
t (It
分离变量得 皆一；q = ：dt,即! T + 3^2u 1 At
du =——
— Lu) t 3
1 i 9
积分得一—In «(3 — 2w)2 = In Ct, BP (3 — 2w)-y = Ct.
代入'=i,“ = i,得。=i,所以 “(3 —2Q2 = 1.
代入« = y-化简得》(3t — 2y)2 = 1,即£ = -^― +
' 3石 3
故所求曲线方程为x = ~y H----
3 3石
L
i< 【评注】 注意利用隐含的条件确定常数C.
IL = =
E（2019,17题）【解】（I ）由一阶线性微分方程通解公式得
7 = e
-158 -第七章常微分方程与差分方程
由伙1) = e* 知,C = 0则
y = y（z） = -/xe~.
（口）。绕z轴旋转所得旋转体的体积为
「2 x2 「2
V = tcJ （V^e~ YAx = 7rj ：2（e」e）.
解题加速度
1.【解 体积V = 7T Jcz)dz,侧面积s = 2k [7a)Jl+舟(Q&,由题设条件知
0
f2 (jc)dj： = [ f(jc) yi + f,2 (x) dx.
J
o
上式两端对l求导得f2（t） = f（t） /1+产0）,即
y =
由分离变量法解得ln（y + 疗=T） = ： + G ,即
y + J— — 1 = Ce\
将）（0） = 1代入知C = 1.故丁 + a/>2 — 1 = e',j/ =号（甘+。一，），于是所求函数为
> =S =号(b + e-工).
2.【解】 由题意知，当一7tVzV 0时，/ =—当，即ydy =—zdz,可得
y2 =-x2+C.
由初始条件y =腭，得 c=n2，所以 ) = vVf 2.
当 0 < z V re 时以“+ ;y + z = 0,yz + j/ = 0 的通解为 j*y = G cos x + C2sin x.
令 丁" + 丁 + z = 0 的特解为 = ax -Y by
则有 0 + or+6 + i = 0,得 =— 1,6 = 0,故;yi =—i,
q
因而 + 3^ + x = 0 的通解为 y = Ci cos + C2sin x — x.
jc
由于:y = 7(z)是(一工,兀)内的光滑曲线，故丁在z = 0处连续，
于是由 >(0_) = 7t,_y(0+)= G ,故 G = 7t 时 9y = y(x)在 x = 0 处连续.
又当一TtVzV 0 时，有 2x + 2yyf = 0 得 y~ (0) =一 — = 0；
y
当 0 WzVk 时，有 y ―― Ci sin x + C2cos x — 1 得徂(0) = C2 — 1.
由 y+ (0) = y_ (0) ,C2 — 1 = 0,即 C2 = 1.
— T2 9 —7t V z V 0,
故） = '（Z）的表达式为y =
kcos x + sin x — x, 0 W z V m
3.【解】设P（z/&））的切线方程为
y — j/（x）= j/（z）（x —1）・
-159 ・► 数学历年真题全精解析■（数学三）
令 X = 0,则= 丁&) —
法线方程为
Y-J-(x) =-y^y(X-X).
令 y = o,贝 y xP = 1
由Zp = yP ,得
j/(x) — y = x + ,
乏一1
X
v'&)=
y + x
乏+1
X
这是齐次方程，令于=则3, = 14Z .y = z蒙+ ",
du | U — 1
X 五+“
〃 + 1
du u — 1 — u2 — 1
Xdi==^~u==~7+V'
w + 1
du =—
疏2 + 1
-^-ln(u2 + 1) + arctan u =— In | x | + C.
x = l,j/ = 0,u = 0,^C = 0.
§ln((于)+ 1 ^4- arctan — + In x = 0.
4.【解】 设切点为过此点的切线方程为Y — y = J（X —z）.
令v = o得x = z —于，有t（z —》，°）・由题意知
[yMdt = * X § g •:y，
J 0 Z c y
两边对z求导
/ = § ・—~~~72y y ,即 3yy〃 — 2/2 = 0.
4 y
令P = y >则/ =力•乎，方程变为
ay
3.P 驱—2# = o,
有3j/李一2p = 0或力=0（舍去）.
a>
解得P = G* y ，亦是字=G* / ，所以3捎=Cix + C2.
ax
而曲线经过原点，得G = 0,所求的曲线方程为V = Cr3（C>0）.
,160・第一章行列式
第二部分线性代数
第一章 行列式
一、数字型行列式的计算
[|(2014,5题)【答案】B.
【解析】数字型行列式，有较多的0且有规律时，应当有按拉普拉斯公式处理的构思.
0 a b 0 c 0 0 d c d 0 0
a 0 Q b a 0 Q b a b Q Q c d d c
=:- — — . =—(ad —6c)2.
0 c d 0 Q c d Q 0 Q d c a b b a
c 0 0 d 0 a b Q 0 Q b a
a b 0 a b 0
或按第1列展开,D =oA2i + cA4 =--a c d 0 一 c 0 0 b
0 0 d c d 0
0(2016,13 题)【答案】A4 +A3 +2A2 +3A + 4.
【解析】 按第1列展开
A -1 0 -1 0 0
D = A 0 A -1 + 4(—1) + A -1 0
3 2 A + 1 0 A -1
-J
/ A 一1 -1 )+4
A A . + 3 • (一 1严
\ 2 A + 1 A
_ A4 +A3 +2A2 4-31 + 4.
或用逐行相加
A -1 0 0 A -1 0 0 A -1 0 0
0 A -1 0 A2 0 -1 0 A2 0 _ 1 0
0 0 A -1 0 0 A — 1 A3 0 0 _ 1
4 3 2 A + 1 4 3 2 A + 1 4 3 2 A + 1
A _ 1 0 0
A2 0 _ 1 0
A3 0 0 -1
4 + 3义 + 2AZ + (人 + 1)A3 0 0 0
-161数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
-1 0 0
=(A4 +A3 +2A2 +3A + 4) • (- 1)4+1 0 _ 1 0
0 0 _ 1
=A4 +A3 +2A2 +3A + 4.
0（2020,13 题）【答案】/3-4）.
【解析】 由行列式性质恒等变形,例如把2行加到1行,3行加到4行，再把1列的一1倍加到
2列，4列的一1倍加到3列
a 0 _ 1 1 a a 0 0 a 0 0 0
0 a 1 -1 0 a 1 _ 1 0 a 2 _ 1
-1 1 a 0 -1 1 a 0 -1 2 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a 0 0 0 a
=aW — 4).
2 a
'' 【评注】 基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消（），••• "
IL. _ __________________________________________ _ J]
）1
日（2021,15题 答案】-5.
【解析】（方法一）用定义，逆序数
一般项为（一1）"5齐腿1祁2,狎3,3% ,
当第一行选取a”（或a13）时，无论2,3,4行如何选择都不可能出现"，本题a:3只有两种可能
<212^21033^44 = X ' \ • X ' X = X3 ,
<214 «22 033<241 = 2x • X • X • 2 = 4史，
而逆序数”2 1 3 4） = 1,“4 2 3 1） = 5,均为奇排列，一般项都应带负号.
故史的系数为一5.
（方法二）先变形再分析
X X 1 2jc X 0 1 0
1 X 2 -1 1 x — 1 2 -3
2 1 T 1 2 「1 X -3
2 -1 1 X 2 -3 1 x — 4
x3项只能出现在ana22a33au = x2(x — l)(x — 4)中，下略.
/解题加速
1.【答
【解析 三个数字型行列式的计算，由于本题有较多的零，可以直接展开计算.若按第一
行展开，有
a2 bz 0 0 <22 b2
a2 b2 0-2 b2
。= Gl b3 Q3 0 —b、 0 口 3 =&1G4 —b,4
缶
Q3 Q3
0 0 <24 bq 0 0
=(口 。 —缶》 )(%仁 — b2
1 4 4 3 63),
所以应选（D）.
-162 ・第一章行列式
若熟悉拉普拉斯展开，可通过两行互换，两列互换，把零元素调至行列式的一角.例如
Q1 0 0 X bi 0 0 Qi bi 0 0
0 Q2 0 0 0 b2 Q2 Q4 0 0
0 缶 Q3 0 0 0 Q3 缶 0 0 Q3 b3
仞 0 0 。4 。 Q4 0 0 0 0 b2 Q2
4
bl 。 但
Qi 3
bq b2 a2
Q4
=(a}a4 — blbi)(a2a3 — b2b3).
2.【答案】B.
【解析】 问方程/（^） = 0有几个根，也就是问/（*）是工的几次多项式.将第1列的一1倍依
次加至其余各列，有
x 一 2 1 0 — 1 % —2 1 0 0
2z —2 1 0 — 】 C2 + C4 2z —2 1 0 0
f (工)=
3x — 3 1 x 一 2 —— 2 3工一 3 1 x — 2 -1
4z 3 jc 一 7 — 3 4z -3 x 一 7 —6
x 一 2 1 x — 2 -1
= =— 5),
2z —2 1 x — 7 -6
可见由拉普拉斯展开式知 &）是了的2次多项式.
故应选（B）.
[^= = = = = = = -~- = = = = = = = = = = ~ = - = ~ = = = = = = = = -- = = = = = = ~~=n]
li 【评注】 由于行列式中各项均含有若直接展开是烦琐的，故一定要先恒等变形；更"
II 1
”不要错误地认为/'(力一定是4次多项式. 11
[= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
3.【答案】（一1）1（如一1）.
【解析】 把第2,3,-,»各行均加至第1行，则第1行为&一 1,提取公因数如一1后，再把第1
行的一1倍加至第各行，可化为上三角行列式.即
1 1 1 — 1 1
0 — 1 0 ,,, 0 0
0 0 — 1 0 0
A | = (n — 1) =(-1)13-1).
::: ::
0 0 0 — 1 0
0 0 0 0 一 1
4.【答案】2（2"-1）.
【解析】（方法一）用第1,2,-,n- 1行的号倍逐行相加得:
. 163 .► 数学历年真题全精解析■（数学三）
2 0 0 — 0 2
2 0 0 … 0 2
— 1 2 0 … 0 2 0 2 0 ,・・ 0
0 -1 2 … 0 2
= 0 -1 2 ・・・ 0 2
0 0 0 … 2 2
0 0 0 •・・ 2 2
0 0 0 … _ 1 2
0 0 0 •・・ -1 2
2 0 0 ,・・ 0 2
2 0 0 … 0 2
2 + 2?
2 0 ,・・ 0
2 + 2。 2
0 2 0 … 0
2
2 ,・・ 0 2 + 22+23
2 + 2—23 22
= 0 0 2 … 0 =
22
2 + 2, -------F
2
0 0 0 … 2 2 20-2
0 0 0 ••• -1 2 2 + 2。---- 2”
2”t
=2 + 2? + ••• + 2” = 2(2” -1).
（方法二）把每一行相应倍数加到第一行得
2 0 0 -・・ 0 2 0 22 0 •.・ 0 2 + 22
-1 2 0・・・ 0 2 -1 2 0 ・・・ 0 2
0 -1 2 -・・ 0 2 0 -1 2 ,・・ 0 2
=
•
0 0 0 -・・ 2 2 0 0 0 ・・・ 2 2
0 0 0・,, — 1 2 0 0 0 ・・・ -1 2
0 0 23 … 0 2 + 22+2,
_ 1 2 0 … 0 2
0 -1 2 … 0 2
0 0 0 … 2 2
0 0 0 … —1 2
0 0 0 … 2”t 2 + 22 + … 4- 21
-1 2 0 … 0 2
0 -1 2 … 0 2
0 0 0 … 2 2
0 0 0 … —1 2
, 164 ,第一章行列式 ◄
0 0 0 … 0 2 + 2? ------ 2"
-1 2 0 … 0 2
0 一 1 2 … 0 2
_
0 0 0 — 2 2
0 0 0 一 1 2
= 2+ 22 +… + 2”)(一1)+ • (-Ik = 2(2, -1).
（方法三） （用递推法）按第一行展开，建立递推公式，有
2 0 0 … 0 2
-1 2 0 … 0 2
0 -1 2 … 0 2
=2D— +2( — 1) 什 1 ・(—1)«-1 =2Di + 2.
0 0 0 … 2 2
0 0 0 … 一1 2
Dn = 2D„~i + 2 = 2(2D lz +2) + 2 = 22Dl2 + 2 + 2之
22 (2Dt + 2) + 2 + 2。= 23 Di + 2 + 22 + 23
=2iDi + 2 + 2。---- 2"-1 =2 + 2。------2" = 2(2" 一 1).
或 D” + 2 = 2(Di +2) = 22(Di +2)=…=2"~2(D2 +2).
2 2
又因 Dz= , °=6,所以 D” + 2 = 2i.8,故 D, = 2*-2.
—1 2
5.【答案】一 4.
1 -1 0 0 1 0 0 0
-2 1 -1 1 -2 -1 _ 1 1
【解析】由| A | = =一4,
3 -2 2 _ 1 3 1 2 _ 1
0 0 3 4 0 0 3 4
按第1行展开又有I A | = 1 , An + (— 1)A12 = An — Au，
所以 A” -A12 =一4.
二、抽象型行列式的计算
0(2010,13 题)1 答案】3.
【解析】本题是考查抽象行列式的计算.
I A + BT I =| EA +B E 1 = 1 + (A-1 A) |
=| B-'CB+A-^A | = | fl"1 | • | B+A1 |.| A |
= jX2X3 = 3.
Ii= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =il
ii 【评注】 本题难度系数0.539. ii
II II
注意I A+B |乂| A | + | B I,对于| A + B| —般要用单位矩阵E恒等变形的技巧."
ii
iL= — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
・165・► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
0（2012,13题）【答案】一27.
【解析】 两行互换A变成B,所以以| =一|矿，再由行列式乘法公式及|*A | = |A|i立
即有
\ BA' | = | B |.| A* |=-| A |.| A |2 =-27.
-0 1 0一
或者，按题意 1 0 0 A = B,即 B = E12A.
0 0 1_
那么 BA - = E12AA * = | A | E12 = 3E12,
从而 | BA * | = | 3E12 I = 33 I Ei2 I =- 27.
■(2013,13题)【答案】一1.
【解析】 由 a» =— Atj (i ,j = 1,2,3)知 A，=—A，.
那么 | A | = | AT 1 = 1-A* |= (-1)3 | A- |=-| A |2,
即 I A | (1+| A |) = 0,故 | A | 为 0或一1.
又A是非零矩阵，不妨设a】】夭0.于是
I A I = <211 All + Q12A12 + Q13A13 = — (<211 + <212 + Q：3)夭 0，
所以 |
A |=—1.
® 、/1解题加速度
庭1.【答段
【解析列式的性质，有
口 ，口 ，仇 + 夕 ，口 ，。 ，夕 ，。
I 3 2 2 I = | —3 2 1 1 1 + 1，02 01 2 I
，。 ，。 ，01 ，。 ，02
=—I 2 3 | —I02 3 I
口 ,02 03 \= n — m.
=—m +1 1 ,%
所以应选(C).
[i:=- = = =!~~:=~ = = ~~~~ = = ~ = = = = '=~~- = ~'=~~~- = - = = = = =:~~ = = '==?]
" 【评注】 作为抽象行列式，本题主要考查用行列式的性质恒等变形、化简求值.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 」= = = = — = = = = = = = = = = = = = _」
2.【答案】
【解析】 由已知条件有(A2 -E)B = A + E,即(A + E)(A —E)B == A+ E.
~ 2 0 r
因为A + E= 0 3 0，知A + E可逆.
-2 0 2_
故(A-E)B = E.两边取行列式，并用行列式乘法公式，有| A —E |・| B | = 1.
0 0 1
而 | A-E |= 0 1 0 = 2,故 | B |= §・
- 2 0 0 -
-166 -%”霁叩
第一章行列式 ◄
r= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = = = = _ = = = = = = =-1
" 【评注】 本题考查的是利用矩阵的运算来计算行列式. "
IL == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
3 .【答案】2.
【解析】（方法一） 用行列式的性质,例如先3列一2列再2列一1列有
B | = | a】+ 处 + 皿，。1 + 2。2 + 4。3，。1 + 3% + 9她
I I
=|+。 +。 ，% ,。 。
2 3 + 3a3 2 + 5 3 I
=|。 + 血 + 皿 + 3。 ，2。
1 >«2 3 3 I
。 +。 +。 ，。 + 3口 ，。
=2 I 1 2 3 2 3 3 I
+ 口 + 口 ，。 ，口 2 ,。 ，。 1=2 1 A 1 = 2.
=2 I Qi 2 3 2 3 | = I 2 3
（方法二）用分块矩阵，由于
_1 1 r 「1 i r
B = [(X1 1 2 3 =A 1 2 3・
_1 4 9_ 4 9_
两边取行列式，并用行列式乘法公式，所以
1 1 1
1 B 1 = 1 A 1- 1 2 3 =2 | A =2,
1 4 9
7
[ 【评注】 计算抽象型行列式本题的这两种解法是重要的.本题难度系数0. 638. II
4.【答案】/（a —2”）.
【解析】因为
-1 一 -1 0 -r -1 -
A = aa?= 0 (1,0, -1)= 0 0 0 ，而 aTa = (1,0, — 1) 0
-1_ -1 0 1 _ 一一1_
则 A2 = (aaT)(aaT) = a(aTa)aT = 2aaT = 2A,于是
A" = 2"~/.
那么
a — 2i 0 2「i
I aE-A" | = | aE - |= 0 a 0 = a2(a-2n).
2TX 0 a- 2“t
> — — 一― 一 一 一 一 一 — — — 一 一 — 一― 一 一 一 — 一一― — — 一 一 — = = = = = = = = = = = = = = = I
「一 __________ 一一- 一一一 一__ 一一一 一一一 一一一 一一一 - nl
I； 【评注】 若对特征值熟练，由r(A) = 1,知A的特征值为2,0,0.那么4”的特征值是•!
II C 11
|| 2',0,0.从而 aE -A"的特征值是 a -2",a,a.故 | aE - An \= (a-2" )a2. 11
= = = = = = = = = = = = = = = = = = — — 一 一 一 — — 一― 一一― 一― 一 — — — — — — — — — — —
5 .【答案】一1.
【解析】 设= Aiai 9Aa2 = A2a2 ,Ai # A2,由 A2(ai +a2) = a】+a2 有
Afai + 人纽2 = ai +a2 9 (Al — Dai + (Al — l)a2 = 0
-167 -数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
At — 1 = 0,
因为,a2是不同特征值的特征向量，必线性无关，所以（吊-1 = 0,
•Ai 尹 Az.
不妨设Ai = 1,人2 = — 1,故I A I =人1义2 = — 1.
6.【答案】
Q11 G12 仁 13 仁 11 +仁 12 +仁 13 G12 G13
（方法二）以1 = 口 仁 。 = 仁 仁 仁 心
21 22 23 21 + ^22 + 23 22 23
如 仁 心 + 心 + 弓 仁 仁
32 33 ^31 32 33 32 33
1
2 1 =2(1 • An +1 • Ah +1 • A31)
1
Q33
又因I A |= 3,
3
所以 An+A21+A31 =
2'
三、行列式I A |是否为零的判定
解题加速度
1.【答
【解析 7~）因为AB是m阶矩阵，|AB | = 0的充分必要条件是秩r（AB） n时，必有r（AB） < n < m,因此选（B）.
（方法二）由于方程组Bx =0的解必是方程组ABx =。的解，而Bx =0是n个方程m个未
知数的齐次线性方程组，因此当m>n时,Bx = 0必有非零解，从而ABx = 0有非零解，
故| AB | = 0.所以选（B）.
2.【证明】（方法一）由于A" = AT ,即有Ay = i,j = 1,2, •••,n）,其中A寸是行列式
I A |中av的代数余子式.
. 168 .<第一章行列式 V
因为A 乂 O,不妨设a,>尹0,那么
I A | = aaAa + a,2A,2 + …+ =晶 + af2 H-------a£ > 0,
故 I A | #： 0.
(方法二)(反证法)若I A |= 0,则AT =*必 =| a | E = O.
设 A 的行向量为 a,(i = 1,2,•,,>«),则 a,a,T = a% +a% 4------al = 0(/ = 1,2,•••,”).
于是 a, = (a,i ,aa，…，a*) = 0(z = 1,2,•••,«),
进而有A = O,这与A是非零矩阵相矛盾.故|A|^0.
3.【解】因为
\A+E\ = |A+AAT | = |A(E + AT) | = | A !• | (E + A)T | = |A| • \E + A\ ,
且由 AAT =E 知 | A | • | AT | = 1,即 | A I，= 1.又 |A| VO,故 | A\=-l.
所以 |A + E| =—| A + E | ,即 | A + E |= 0.
・169・►► 数学历年真题全精解析•—（数学三）
第二章 矩阵
。、矩阵运算、初等变换
［］（2009,6题）【答案】A.
【解析】 本题是在考查矩阵的初等变换、初等矩阵.按题意P经列变换为。（把第2列加至第1
「1 0 O' 「1 0 O-
列），有P 1 1 0 =。，记 E2i（1）= 1 1 0，于是
0 0 1_ 0 0 1_
QtAQ =
[PE21(1)]tA[PE21(D] = EL(1)LPtAP]E21(1)
ri i o ri o o- 「2 1 O'
0 1 0 1 1 0 = 1 1 0
0 0 1 Lo o 1_ 0 0 2.
= = = = - = = -^^^ = = = = -- - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n
【评注】关于初等矩阵一是搞清左乘、右乘，二是记住初等矩阵逆矩阵的公式.本题难
II II
II II
"度系数0. 618. II
蛙================ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
0（2011,5题）【答案】D.
【解析】本题是常规的也是基本的初等变换、初等矩阵的考题.按题意
即 APi = B,P2B = E,从而 R(APi)= E.
故4 = PT EPF = P2P；',即应选(D).
|r==~ = = = = = = - = = = = = = = = ~- = = = = = = = = = = = = = = = ~ = = ~ = = - = = ==i]
l 【评注】 搞清“左乘"和“右乘”，记住初等矩阵逆矩阵的公式.本题难度系数0. 783. II
§（2012,6题）【答案】B.
【解析】 本题考查初等矩阵，由于P经列变换（把第2列加至第1列）为。，有
一］ 0 o-
Q = P 1 1 0 =PE21（1），
0 0 1_
那么
Q'AQ = LPE21(l)y]AEPE21(l)] = EfMD^APEzJD
■ 1 0 O' ■1 0 O' '1 0 o- -1 0 o-
-110 0 1 0 1 1 0 = 0 1 0
_ 0 0 1_ 0 0 2_ 0 0 1_ 0 0 2_
. 170 .第二章矩阵
II
「, 一一 一_ _— _一 _一一_一_ _一 _一 _一 _一 _— _— _一―_ _— _一 _一―_ _— _一_― _— _— _— _— _一 _一 _— _— _— _— = = = = = = = = = = = =
II 【评注】近十年没有出单纯矩阵运算的考题，但早年考的一些题型应当复习. "
LL- _ _ _ _ — — — _ _ _ _ _ — — — _ _ _ _ — — — — ~ _ =二二一一二二二一一二二一—二二二
日（2021,7题）【答案】C.
【解析】 对A作初等行变换化为上三角矩阵B,有
-1 0 — 1 1 o 。- -1 0 -1 ： 1 0 0一
[A | E]= 2 -1 1 0 1 0 ―► 0 — 1 3 -2 1 0
-1 2 — 5 « 0 0 L _0 2 -6 1 1 0 1_
一1 0 -1 ；1 0 0- _10- :1 0 0-
—► 0 —1 3 一2 1 0 —A 0 1 —3 ： 2 -1 0 =[B | P]
0 0 0 —3 2 1_ 0 0 0 ! —3 2 1_
一 1 0 0~ _ 1 0 _ r 口 o -r -1 0 0一
因为 2 一1 0 2 -1 1 = 0 1-3 ，可知P = 2 一 1 0
-3 2 1_ -1 2 -5_ 0 0 0 _ —3 2 1_
再对B作列变换（或Bt 作行变换）化为对角矩阵可求。（或。丁）.
-1 0 -in r 0 0]
0 1 -3 0 1 0
「1 0 r
r R -1 0 0 0 0 0 0
〔E J 可得Q = 0 1 3
1 0 0 i 0 1
0 0 1
0 1 0 o 1 3
uO 0 1 _ _0 0 1_
-1 0 0 : 1 0 0~ _1 0 0 1 0 o- ri 0 o_
或［职1 E] = 0 1 0 0 1 0 —► 0 1 0 0 1 0 得2T = 0 1 0
L-i 1J
-3 0 ； 0 0 1_ -0 0 0 1 3 1_ Ll 3
从而选（C）.
门== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
' 【评注】 本题其实是考察如何把A化为其等价标准形，P,Q是丕;色二的（考题中用的：
:是“P，Q吱分别为”）. ：
: 作为金择题，当求出P之后，选项只能是（B）或（C）,但PA=B,B不是等价标准形，必须:
"还要作列变换，也就排除了（B）,只能选（C）,因此Q是可以省略不去求解的.但若是解答题，:
:则要按上述方法来求解.当然，如果忘了这里的原理，直接用矩阵乘法也可找出正确答案. "
@（2022,15题）【答案】—1.
【解析】 因A经行变换Pi和列变换R得到B.
即有P>AP2 = B,其中
n 0 0 一 ■ 1 0 o- ——2 1 -r
Pl = 0 0 1 ，p?= -1 1 0 ,B = 1 -1 0
0 1 0_ _ 0 0 1_ -1 0 0 _
由（P1AP2r1 = B 1 得
一 1 0 0， 「0 0 -r 一1 0 0- ■ 0 -1 0 _
AT = P2B lPr = -1 1 0 0 一 1 -1 0 0 1 = 0 0 -1
_ 0 0 1 -1 -1 1 _ _0 1 0_ -1 1 -1-
171数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
所以 tr(A-】)=-1.
或由 A = PT BP71
A
A-1 的特征值：一1, — i,i,亦有 tr(AT) =— 1.
CL\ % <211 —1 1_
口 口 1 一 1
2 3 = — 1
w」
。 L1 -1 1 _
3&2
Qi
而 aTa =
(fli ,a2
,a3)。
2
= * + / + 属，
-«3 -
所以 aTa =1 + 1 + 1 = 3.
= = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
" 【评注】 本题皿丁是秩为1的矩阵，口丁。是一个数，这两个符号不要混淆.且若A = ”
Il II
；哪丁，其中a,p均为〃维列向量，则。丁。= flTa =、如（矩阵A主对角线元素之和）.
-3 0 0 _
2 .【答案】 0 3 0
0 0 -1_
【解析】 本题考查n阶方阵方暴的运算.由于
-0 -iy ■-1
又 .易见
_1 0 - -0
-0 -1 0 ■ 2 --1 0 0~
A2 = 1 0 0 = 0 -1 0
0 0 -1_ _ 0 0 1_
从而 (A2 ) 1002 = E,那么
A2004 =
-172第二章矩阵
3 0 0 -
B2004 一 2A2 = p-^A^P -2A2 = P-}EP-2A2 = 0 3 0
0 0-1.
「= = = = = = = = = = = = = •** = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = =』
|| 【评注】 若P~XAP = B,则P~iA”P = B”，通过相似求A”是求A的方基的重要方法."
Imm = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
3.【答案】一 3.
【解析】 由AB =O,对B按列分块有
AB = A[/J1 ,。 邢 ,0,0],
2 3 ] = ] = [0
即P1，。2，。 是齐次方程组Ax = 0的解.
3
又因8尹0,故仙=0有非零解，那么
1 2 -2 7 0 0
A | = 4 t 3 = 4 t 3 =7(i + 3) = 0 => t =— 3.
3 -1 1 3 一 1 1
若熟悉公式:AB = O,则r(A) + r(B) < n.可知r(A) < 3.亦可求出t =一 3.
p== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==^
II 【评注】 对于AB=O要有B的每个列向量都是齐次方程组Ax = 0的构思，还要懂得I
Il ||
|| 秩 r(A)+r(B) 的知识. "
|1_______________________ = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = =Jj
4 .【答案】B.
【解析】由P- AP = A知A的特征值为0,1,2.
P = [口 ,。 ，。 〕说明A的特征向量依次为。 ,。 ，。3. .
1 2 3 1 2
即 Att\ = 0。 ,曷 = 02，应》 = 2口3，故 A（O1 + CC2 +。 ）=。 + 2。
1 2 3 3 2 3 .
故应选（B）.
或直接地
-0 0 0'
由 AP = PA，即 A[ai ,久，％] = [a】，。 ,皿]0 10 = [0,a2,2a3]»得
2
0 0 2_
A（ai +。 +。3）= 0 +。 + 2必 =«2 + 2a3.
2 +A«2 +&3 = 2
5 .【答案】B.
【解析】 矩阵A经初等列变换得到B,故存在初等矩阵P,3 = 1,2,…口）使
AP]P2・・・B = B.
因P均可逆，故有A = BP71 - FT Pr1，记P = PT1 -PT1 PT1，故应选（B）.
, ri 2i
经行变换Ax = 0与Bx = 0同解，经列变换是不同解的，如A = ,B =
-乙 ,x -
-173 ・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
二、伴随矩阵、可逆矩阵
0（2009,5题）【答案】B.
O A 「O A -
【解析】 由“ c =（―l）g I 4 I I B |= 6,知矩阵n八可逆，那么
B O LB O -
* -1
O A- O A ro A- -O B 一 O 6B~' 一 「 O 2*H -
———A0
-B O- B O \ LB O- -AT O - -6A'1 O - 'L*3A O -
故应选(B).
「O AV 「Xi X21
本题也可设 有= ，那么由A4- =\A\E有
—B O - -^4」
O 4]「X1 X2-|_ Io A I HE O]_「6E O -
-B
oJLx3
X」—
[b
O| Lo
eJ-
LO 6E_・
由 AX3 = 6E => X3 = 6AT = 3A'，故应选(B).
(由题中4个选项可知必有& = O,X4 =O,只需检查*或X3即可)
n 【评注】 本题考查的知识点有:AA * = \ A \ E或A* = | A | A-1或A-1 =「'「A* ；行„
n I A I
可小用 "列式的拉普拉斯展开式；分块矩阵的求逆公式.这些都是线性代数的基本内容・ "
[ 本题难度系数0. 618. ，
£1（2017,5题）【答案】A.
【解析】A = aa1是秩为1的矩阵，又a为单位列向量，有aTa = 1,
故矩阵A的特征值为1,（）,•••,03 — 1个），
所以E-aaT的特征值为0,1,•••,]（如一 1个）.
因此矩阵E-aaT不可逆.应选（A）.
、/）解题加速
1.【答 + 2E).
【解析】1. 阵"A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑
用定义法.因为
(A — E) (A + 2E) — 2E = A，+ A - 4E = O,
故
(A — E)(A + 2E) = 2E,
即(A — E) • A422E = E,
按定义知(A —EL = §(A + 2E).
. 174 .第二章矩阵
-1 0 0 0~
-1 2 0 0
2.【答案】
0 -2 3 0
_ 0 0 -3 4_
【解析】虽可以由A先求出(E+AL,再作矩阵乘法求出B,最后通过求逆得到(E + B)f但
这种方法计算量太大.
本题实际是考单位矩阵恒等变形的技巧，我们有
B + E = (E + A)T(E-A)+E
=(E + A)T[(E — A) + (E + A)] = 2(E + A)T.
所以
一 1 0 0 0一
L , 1 -1 2 0 0
(E + B)-1 = [2(E + A)i]—】=4(E + A)=
2 0 —2 3 0
_ 0 0 -3 4_
或者，由 B = (E + A)T(E —A),左乘(E + A)得(E + A)B = E —A.所以
(E + A)B+ (E + A) = E-A + E + A = 2E.
即有
(E + A)(E + B) = 2E.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
【评注】本题既综合又灵活，是考生失误较多的一道考题，其解题思路方法值得好
ii 'I
Il ii
"体会. 11
IL == = = = = = = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
3.【答案】D.
【解析】 矩阵的乘法没有交换律，只有一些特殊情况可交换.由于A,B,c均为〃阶矩阵，且
ABC = E,据行列式乘法公式| A || B | | C | = 1知A,B,C均可逆.那么对ABC = E先左乘再
右乘A,有
ABC = E — BC = AT -> BCA = E.
选(D).
类似地，由 BCA = E*- CAB = E.
不难想出，若 n 矩阵 ABCD = E,则有 ABCD = BCDA = CDAB = DABC = E.
4.【答案】B.
【解析】 对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立.那么，当A可
逆时，由A* = | A | AT有
(姐)• = | 姐 | (姐)t =妙 | A | • 4-A-1 = kn~xA' .
k
故应选(B).
一般地，若A =(向)，有kA.=以％),那么矩阵kA的i行顶列元素的代数余子式为
・175・数学历年真题全精解析• ■■■（数学三）
kan … kd 1 ,j-\ 如，汁 1 . , kaln
(kA" = (- l)'+j 如- i,i … k(l i-1 ,j-l kci ,7+1 • * i—1 ,n
kai+i.i … 如 i+1 ,)-1 S i+i, j+i , ，奴 i+l,n
kanX ••• hCLn,-l kan,j+1 ・ • kam
…Gl” 一 1 ,• aln
=(-1)叫
I《T" …Gf-1 <2 i-i,)+i •,・ ^i—l ,n
=kA,
右+ 1,1 ,,, «i+1 .)-1 Q：+i,j+i ・,, O，i+\,n
^nl …"•一 1 ,, dnn
即|姐I中每个元素的代数余子式恰好是IAI相应元素的代数余子式的妒T倍，因而，按伴随矩阵
的定义知（如I）.的元素是A* 对应元素的炉T倍.
5.【答案】D.
【解析】 对任何n阶矩阵A ,B关系式要成立，那么A,B可逆时仍应成立，故可看A,B可逆时
C' =?由于
c* = ,| c, | L, = a o| 「a or1 , ,, , " o n
= A B
o -
■| B | | A | A-1 ■| B 1 A* O "
O 1 A | 1 B | B-1 _ ~ O 1 A | BL
所以应选（D）.
作为选择题，根据这四个选项，也可如下判断:
「
Xi X21
设 。，由 CC' =| C | E,有
x2
A -AX, AX2- E O~
—
-O
bJ
L%3 X4 - -BX3
bx4 - =1 A | | B |
_O E.
因为 AXj = | A | | B | E=>X1 =\ A \ \ B \ A-1 =\ B \ A' .故应选(D).
6.【解】 由于B = E,A ,其中是初等矩阵
J
一
0 1 i
E,, =
1 0 j
_ 1_
(I )因为 A 可逆，| A 岸 0,故 | B | = | E’A | = | E, |.| A |=—| A * 0.所以 B 可逆.
(□)由 B = E„A,知 AfiT = a(E,,A)t = AA^E^ = E~l = Eg.
. 176 .第二章矩阵
7.【解】(I )由 2A B = B — 4E 左乘 A 知 AB-2B- 4A = O.
从而(A — 2E)(B 一 4E) = 8E 或(A — 2E) • - 4E) = E.
O
故 A —2E 可逆，且(A —2E)T = g(B—4E).
o
(口)由(I)知4 = 2E + 8(B — 4E)T.而
0
4 4
-3 -2 0「1
]_3_
(B — 4E)T =1-20 0
~8 ~~8
2
_ 0 0 -2_
0 0
~2
故
-0 2 0 _
A= - 1 -1 0
_ 0 0 -2_
[F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =j]
" 【评注】 如果只是要证明A —2E可逆，那么由 "
II 11
H AB — 2B — 4A = O => (A — 2E)B = 4A. "
:因为4可逆，知I 4A|=43|A*0.故| A — 2E|・|B|尹0,就可证出A-2E可逆• ：
L= = = = =, = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
8.【答案】一 E.
【解析】 记C=E—(E —A)T,已知CB =A且A可逆，
所以 | A | = | C || B |^0,从而 | C *0, C 可逆，且 B = CTA.
再由 C(E-A) = (E— (E-A)T)(E-A) = E — A-E=—A,
可知 C =—A(E-A)T ,CTi =- (E-A)A-1,
B—* = CT1 A-A =一(E-A)A-'A-A =-E + A-A =-E.
或令 E = (E-A)(E — A)T,则
[E— (E — A)T]B = A,
即[(E — A)(E —A)T - (E — A)T]B = A,
[(E — A) —E](E — A)TB = A.
因A可逆，左乘一AT有
(E — A)TB =-E.
左乘E — A 得B =—E + A 得B-A=-E
也可用E-A左乘已知条件的两端，再化简，请自己动手.
三、矩阵的秩
0(2018,6题)1答案】A.
【解析】 记AB=C,对A,C按列分块有
. 177 .数学历年真题全精解析• （数学三）
~bn bn
方 缶
[口 ,。 21 2 =［勿 ，…，幻］，
1 2 ，？2
Ai bnZ b rm -
即 …， 可由。 线性表出.由矩阵的秩就是列向量组的秩，故
？1，?2, K 1，%，…，a”
厂 以 r(A),
r（A,AB）= （ai, ，Yi ,••・ ,y“）= y（ai ,aQ =
所以选（A）.
F
ii ■1 11 •o r -0 O'
【评注】如令A = ，则 BA =
_0 0J _1 0- -1 1-
ri i
0 0_ I
可见（A,BA） 其秩为2,而r（A） = 1 .所以（B）不正确.
LO 0 1 1-
■1 o- -0 O' ri 0 0 o-
ii 如令A = ,B = ，则 r(A,B) = r =2 ,而 r(A) 1MB)
.0 0- .1 0. LO 0 1 0.
1,知（C）不正确.
■1 on ■o r 0 0 r
此时= ,BT ,r(AT,BT) = r =1,知（D）不正确, 11
.0 OJ -0 o. .0 0 0 0-
L
/解题加速
.【答
1
【解析上 町I用秩的概念：I A 1= 0 但有n — 1阶子式不 0来分析、推断，由于
1 1 1 … 1
a 1 a a
\ A \ = [(〃 一 l)a + 1] a a 1 a
a a a … 1
1 1 1 … 1
1 — a
=[(72 — 1)Q + 1] 1 — a
1 — a
=[(〃 一1)Q + 1](1 — Q)I
1
由 r(A) = n- 1 知 | A | = a 时，
J 1 _ n - =1
-1 1 1・・. 1 -
1 1 1・・-1
: : : :
_1 1 1・・-1_
而r（A） = 1不符合题意，故应选（B）.
-178 ・第二章矩阵
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==子
【评注】因为A是实对称矩阵，若特征值熟练，亦可用相似来处理. "
Il a a … a
ii
:注意：A = (1—q)E+ :: :，所以 A 的特征值：3—1)。+ 1,1— q(〃一1 个).:
" _a a …a _ 11
ii
ii ~(n — 1 )q + 1 ii
ii ii
1 — Q
11 故 A〜 ii
ii • •・ * "
n ° ii
1 — CL_ II
ii
IL…= = = = = = = = = = = = =
2.【答案】C.
【解析】 因为PU O,所以秩r(P) 2 1，问题是r(P)究竟为1还是2?
若A是mXn矩阵，B是兀X s矩阵,AB = O,则r(4) +r(B) < n.
当 t = 6 时，r(Q) = 1,于是从 r(P) +r(2)< 3 得 r(P) < 2.
因此(A)(B)中对秩r(P)的判定都有可能成立，但不是必成立.所以(A)(B)均不正确.
当 £乂 6 时,r(Q) = 2.于是从 r(P) +r(Q) V 3 得 r(P) < 1,故应选(C).
3.【答案】C.
【解析】 若r 'AP = B,则P^(A + AE)P = B + &E,即若A〜B,则A +囹〜B +姒.又因
相似矩阵有相同的秩，故
r(A 一 2E) + r(A — E) = r(B 一 2E) + r(B - E)
-2 0 1 ■ -1 0 1 ■
=r 0 -1 0 + r 0 0 0 =4.
_ 1 0 -2_ _ 1 0 -1_
故应选(C).
「= = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = =
ii 【评注】 本题是考如A〜B,则r(A) = r(B)，利用相似来处理矩阵的秩，其中用到相n
II II
11似的性质：如A〜B,则A + kE kE. 11
〜B +
L_ 』
4.【答案】2.
【解析】 因为A有3个不同的特征值,A必可相似对角化，相似矩阵有相同的秩.
设A的二个特征值为人 ,义 ，义 ，由I A 。・不妨设 则
1 2 3 | = A1A2A3 = Ai = 0,
■0 ' 一
A〜 人
2 .
_ 义
3_
从而 r(A) = r(A) = 2.
5 .【答案】A.
【解析】本题考的是矩阵秩的概念和公式.
-179 -►- 数学历年真题全精解析• ■(数学三)
因为AB =£是〃阶单位矩阵，知r(AB)=彻.又因r(AB) < min(r(A) ,r(B)),故
m r(A) ,m r(B). ①
另一方面,A是mXn矩阵,B是nXm矩阵，又有
r(A) W < m. ②
比较 ①② 得r(A) = m,r(B) = m.所以选(A).
6 .【答案】2.
Qi
【解析】 设。=。 ,则 aTa = al aj + al = 又
2 1,
W 。 2 Q1&3
A = aaT = ,口 ，口 房 。 。
2 3 ]= 2 3
43- -口 。 Q3Q2 al -
3 1
由于秩尸(A) = 1.那么
I XE — A | = A3 — (af 4~ al + 房)A2 = A3 — A2,
所以，矩阵A的特征值为1,0,0.
从而E-A的特征值为0,1,1.
一0 0 0-
又E-A为对称矩阵，故E-A〜 0 1 0
0 0 1_
因此 r(E — aaT) = 2.
四、矩阵方程
□(2015,20 题)【解】(I )因为妒=o = | 万 | = 0= | A | = 0,
a 1 0 -0 1 0 ■
而 1 A | = 1 a -1 =〃，所以a = 0,且知A = 1 0 -1
0 1 a 0 1 0 _
(U)由 X(E — AJ -AXCE-A2) = E，故
(E-A)X(E-A2) = E.
E-A,E-A2必可逆，于是
r
■ 1 _ 1 0- -1 ■ 0 0
X = (E-A)-1 (E-A2)-1 = -1 1 1 0 1 0
_ 0 -1 1_ -1 0 2_
「2 1 —1] - 2 0 -r ■3 1 -2-
1 1 T 0 1 0 = 1 1 -1
J 1 0 一 _1 0 0 _ _2 1 -1.
/解题加速度
1. C左乘已知矩阵方程的两端，有(2C-B)AT = E.对上式两端取转置，有
A(2Ct 为A是4阶方阵，故第二章矩阵
一1 0 0 0一 -1 _ 1 0 0 0-
2 1 0 0 -2 1 0 0
A = (2CT-BT)~,
3 2 1 0 1 -2 1 0
_4 3 2 1_ _ 0 1 -2 1_
2.【解】 化简矩阵方程，有AX(A —B)+BX(B —A) = E,即
(A-B)X(A-B) = E.
1 -1 -1 一］ 1 2一
由于| A-B | = 0 1 -1 =1,所以矩阵A-B可逆，且(A —B)T = 0 1 1
0 0 1 _0 0 1_
'1 2 5一
于是 X=[(A — B)tT= 0 1 2
.0 0 1.
3.【答案】A.
【解析】B = E + AB = (E-A)B = = (E-A)T,
C = A十C4=>C(E — A) = A^>C = A(E-A)-1.
那么 B-C= (E- A)T — A(E — A)-1 = (E — A) (E — A)"1 = E.
故应选(A).
4.【解】 由I A* | = | A I-1,有| A - =8,得| A |=2.A是可逆矩阵.用A右乘矩阵方程的
两端，有
(A-E)B = 3A
因为A、A = A*A =| A I E.ffl A"左乘上式的两端，并把I A | = 2代入，有
(2E-A' )B = 6E.
于是
B = 6(2E — A* )T.
-1 0 0 0
-1 0 0 0 _
0 1 0 0
0 1 0 0
因为2E — A ，则可求出(2E-A-) 1 0 1 0
-1 0 1 0
1_ 1
L 0 3 0 -6_ 0 0 否一
因此
~6 0 0 . o -
0 6 0 0
B =
6 0 6 0
_0 3 0 -1-
• 181► 数学历年真题全精解析•■■(数学三)
第三孝 向童
-、向量的线性表出
1 0 1
11（2011,20题）【解】（I）因为 Is，%,a" = 0 1 3=1夭0,所以a】，口2,%线性无关.
1 1 5
那么,。 ，口 不能由,02 ,03线性表 ，03线性相关.即
2 3 2K
1 1 3 1 1 3
，“3 1 = 1 2 4 = 0 1 1 q — 5 = 0,
1 3 0 2 a — 3
所以Q = 5.
(II)如果方程组了血+x2a2 +x3a3 = flj (j = 1,2,3)都有解，即。,03可由—，处，为线性
雄 表示.因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立地求解.对
，口 ，。 ，。 ，妃作初等行变换,有
2 3 "1 2
_10 1：113_ 10「113「 ~1 0 1 ： 1 1 3 '
0 13 12 4 —► 0 13:124 ―> 0 1 3 ： 1 2 4
_1 1 5 ： 1 3 5_ _0 1 4 i 0 2 2_ _0 0 1 ； 一 1 0 — 2_
'10 0:2 1 5 -
—> 0 1 0 ： 4 2 10 9
_0 0 1 ! 一 1 0 -2_
所以仇=2ai + 4a2 — a3，艮=ai + 2a2 ,氏=5ai + 10a2 — 2a3.
本题已给出向量坐标故用解方程组的方法来处理.如果有向量坐标就解方程，如果没有向量
坐标，就用概念、秩、定理来分析推导.
【评注】 因为4个3维向量4%,任，a必线性相关，所以若白，&,决线性无关，那么s, *
"%,a,必可由&世，氏线性表出，与题设矛盾，故仇，位,仇一定相关，亦可推出I fii'ft I = 0.:
难度系数数一 0. 657,数二0. 627,数三0. 630.
❷(2013,5题)【答案】B.
【解析】 对矩阵A,C分别按列分块，记A = ［。1 ,阪，…，，C = EZl >y2，…，Yn］.
由AB =C有
bi2 •・・b}n-
》21 b22 ••• b2n
［。 ,。 ，…， =[?1，?2 ,•
1 2
Ai 稣2 • ,bm_
-182 -第三章向量
7\ 】+ 缶 血---- bni an，
= Si a 1 F
形 = b22a2 hn2an，
又］ ^12:«1 + -----------------F
、y” =缶 +b2na2 bman,
41 H-----------------
即 的列向量组可以由 的列向量组线性表出.
C 4
因为B可逆，有 】 类似地, 的列向量组也可由 的列向量组线性表出，
CB- =A. A C
因此选（B）.
0（2019,20题）【解】 向量组（ ）与（□）等价，即两个方程组
I
［。 ，口 ［。 ，夕 ，
1 02 3 ］X = 1 2，»3 ］
，。2，。 ］丫 = 】，。 〕，
LP1 3 ［a 3
同时有解，亦即
厂（。 ，。 ）=厂〈。 ,。 ，。 ）= 了（。1，。2，。3）・
1 3 1 2 03 3
一1 1 1 1 0 1 "
由[口 ,口 ，夕 ，。 1 0 2 1 2 3
1 02 3 2 3 ］=
3 4 a2 + 3 W + 3 1 -a a2 + 3_
_1 1 1 1 0 1 -
—> 0 _ 1 1 ;0 2 2
0 0 a2 — 1 : a — 1 1 — a a2 — 1_
当 尹士 1时
Q
r（ai ,a2 03）= r（ai ,a2 m，■，% ,03）=厂（怯，& ,盼=3.
向量组（I）与（H）等价.
当Q = 1时
r（ai ,。 ，。 厂（。 ,。 ，。 ，。 ，夕 ，。3）=厂（。 邠 ，。3）= 2.
2 3）= 1 2 3 1 2 1 2
向量组（I）与（U）等价.
当a =—1时
,（。 口 。 2 ,厂（口 ,。 ，。 ，夕 ，夕 ，。 3.
1， 2， 3）= 1 2 3 1 2 3）=
向量组（I）与（□）不等价.
所以 时向量组（ ）与（口）等价.
a#- 1 I
当a #± 1时，对方程组Xi«i + X2tt2 +工 。 =。3，有
n 3 3
1 1 1 — -1 0- 0 : 1 一
9(X2 9(X3 0 -1 1 2 —► 0 10.-1
[(X1 5/J31 =
_0 0 a2 — 1 : a2 — 0 0 1； 1 _
方程组有唯一解 一 故怯=at -a2+a3.
（1, 1,1）T,
当 时，对方程组 。 =。3，有
Q = 1 （Xl + Z2CC2 + ^3 3
-1 1 1 : r 0 2 ： 3 -
9(X2 9U3，。 = 0 - 1 1 j 2 —A 0 1 -1^-2
Efifl 3 ]
0 0 0 ： 0_ 0 0 0 i 0 _
方程组通解：x = （3, — 2,0）丁+奴一2,1,1）丁以为任意常数.
故怯=(3 — 2&)ai + (— 2 + k)az + ka3 ,k 为任意常数.
・ 183 -数学历年真题全精解析• （数学三）
EJ（2022,7题）【答案】C.
【解析】口 ，。 与。 ，。 ，。 等价可由。 ，。 ，。 线性表示且。 可由。 ，。 线性表示
1 02 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 0
0方程组①+了 。 +无口 a4 与 ②ziai + x2a2 +
2 2 3
了 。 =。 均有解.
3 4 3
先考虑方程组①:
A 1 1 1 1 1
广 +尸
Ui 9U2 9U3 = 1 A 1 - 1 —— • 2 -— 1 (A + 2) 1 A 1
1 , r3 + ri
1 1 A 1 1 A
1 1 1
+ 厂
(.—l)ri 2
(A+ 2) 0 A- 1 0 (A-l)2(A + 2).
+「
(—l)ri 3
0 0 A-1
当A#-2,A# 1时方程组①有唯一解.
当A = 1时，
行初等变换
（。 ,a2，ch，。
1 4）
方程组①有无穷多解.
当A =-2时，
行初等变换
,。
(«1 02 03 4)
方程组①无解.
总之，当 时，方程组①有解.
A#-2
再考虑方程组②：
A 1 1 A 1 0
"1 ,打 2 ，口 4 1 = 1 A A = 1 A 0 =3 — 1)2.
1 1 A2 1 1 A2 -1
当义，± 1时，方程组②有唯一解.
当A = 1时，
行初等变换
血 口
，a3）
方程组②有无穷多解.
当A =- 1时，
行初等变换
方程组②无解.
总之，当A ^~1时，方程组②有解.
综上，当义^-2,A丰一 1时，方程组①②都有解，正确答案为（C）.
-184 ・第三章向量
当 A = 1 时，r(I)=r(U)=r(I,]I) = l
(I)与(口)等价.
当A 1时，
-A 1 1 1 ■ 'A + 2 0 0 -A-r
[I, n ]= -1 1 0 1 —► -1 1 0 1
-1 0 1 A + 1_ 1 0 1 A + 1 _
当 A =— 2 时,r( I ) = 2 ,r( II ) = 3.
A =- 1 时,r( I ) = 3,r(D) =2,(I)(H )均不等价
所以选(C).
「= = =............ ====丑
" 【评注】本题作为选择题，可用排除法选出正确答案. "
II 11
” 因a =- 2时，方程组①无解，故排除(A)(D). :
； 因A =- 1时，方程组②无解，故排除(B). I
|LL.— — — 二一 二 二 二 二 = = =- 一二 二二一 — _— -— -— -—- —_ —- -— -— -— _— -—- —- —一 — _— -— -— _—- —- -1 一— — 一I —- —- —- -i -— -— 』
/解题加速思
1.'分蚓"fa1已知向量的坐标'故应当用讨论带参数的非齐次线性方程组是否有解的方法
来回答•耳
【解】 瀑T0 + x2az +工3*3< = fl.对3 ,a2 ,a3，P」作初等行变换有
一］ 2 0 3' ■1 2 0 3 - ~1 2 0 3 '
4 7 1 10 0 _ 1 1 -2 0 -1 1 -2
0 1 -1 b 0 1 -1 b 0 0 a — 1 0
_2 3 a 4_ _0 -1 a -2_ 0 0 0 b-2_
所以
(I )当方乂 2时，线性方程组(a】,a2 ,a3)x = P无解，此时夕不能由s ,% ,a3线性表出.
(II )当b=2,a^ 1时，线性方程组(a1(a2,a3)x = /J有唯一解，即
x == (xi ,Xz ,t3 )t = (― 1,2,O)T,
于是P可唯一表示为。=一ai + 2a2.
当》=2,a = 1时，线性方程组(山,a2,a3)x =夕有无穷多个解.即
X —(Z1 ,*2 ,工3)T = & (— 2,1,1)T + (3,0, —2)T,
于是p= (—2% + 3)ai +Sz +以一2)(X3。为任意常数).
「= = - = = - = = = = = = - = = = = = = = = = = = := = = =? = = = = = = ~ = = = = ~ =="
|> 【评注】常规的基础题，方法，思路应清晰，计算不能出错，讨论要谨慎. "
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
-185 ・► 数学历年真题全精解析•—（数学三）
2.【分析】 所谓向量组（I ）与（U ）等价，即向量组（I ）与（口）可以互相线性表出.若方程组
•riOi +j2a2 +j：3a3 =P有解，即P可以由ai ,a2 七"奇可由a,p线性表出=>$可由a,/»,y线性表出.
a>,o TH天 J
或者用秩来分析、推理：
a，P，Y 无关=>r（a,p,y） = 3 = 2,
。/,6 相关=>r（a,p,6） < 3,从而 r（a,/?,5） = 2,那么
r（a,p,y） = r（a,p,6,y）,
所以S必可由a/,y线性表出.
4. 【答案】B.
【解析】 因为P可由a】，a2,・・・，g线性表示，故可设
P = kxax + k2a2 4------ kmam.
由于贞不能由。1，。2,…，皿一1线性表ZK,故上述表达式中必有km丰0,因此
ttm = —加。 — k2tt2 — — km-Xam-\ ）,
1
,186.第三章向量
即am可由(U)线性表示，可排除(A)(D).
若 a“ 可由(I )线性表示，设 a” = /)«, H------ ，!H!j
P =(加 + kmly )ai + (k2 + k„l2 )a? + ,,, + + kmlm-x )am-i,
与题设矛盾，故应选(B).
「r _-_____;___^-_-- = = = = _ = = -- = - = = = = -- - = = = -- - = =； = = q]
' 【评注】本题能否用秩来分析、推导？ "
II II
|! 提示:r（a1 ,a2 , I,口2，…0 I = 0,显然
0 1 -1
| 01 03 04 I = 0 — 1 1 =0,
Cl C3 C4
所以 ，。 必线性相关.
03 4
0(2014,6题)【答案】A.
【解析】 记P\ =+如 。 +危 则
3，“2 = 2 3.
"I 0一
［供，艮］=［a】，。 ，。 〕0 1 .
2 3
k 1_
-1 0-
若久，。 必线性无关，则［©,。 ］是 阶可逆矩阵，故r(/J1,p2) = r 即a,+ka3,
2， 203 3 0 1 =2,
+血
线性无关.
tt2 3
-187 -► 数学历年真题全精解析• ■■■(数学三)
反之，设,%线性无关,。 = 0,则对任意常数互0必有口 如 ，。 史 线性无关，但，仁 ，
3 1 + 3 2 + 3 2
。 线性相关.
3
所以a】+ S’ la3线性无关是向量组山，山，皿线性无关的必要而非充分条件.
02 +
0(2018,13题)【答案】2.
_1 o r
【解析】4［。1 02 03〕= ［口 +口 ，口 +口 ，。 +她］=，。 03〕110,
1 2 2 3 1 2
_0 1 1.
_1 o r
记 p= ［。 1， 。 2， 。 3 〕，可逆，8= 1 1 0，则 AP = PB^>p- AP = B 即 A 〜B.
_0 1 1.
1 0 1
I A | = | B | = 1 1 0=2,
0 1 1
故应填2.
/解题加速
1.【答
【解析 宏二)设 A 是 m X n,B 是 n X s 矩阵，且 AB =O 那么 r(A) +r(B) < n.
由于A,B均甜零矩阵，故0 < r(A) < n,0 < r(B) < n.
由r(A) = A的列秩，知4的列向量组线性相关.
由r(B) = B的行秩，知B的行向量组线性相关.故应选(A).
(方法二) 若设A = (1,0),B = (0,1)丁，显然AB = 0.但矩阵A的列向量组线性相关，行向
量组线性无关;矩阵B的行向量组线性相关，列向量组线性无关.由此可知选项(A)正确.
2.【答案】D.
【解析】 根据定理“若,…，a,可由仇线性表出，且s>t,则ai,…，a,必线
性相关”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应立选(D).
或者，因(I)能由(口)表出=>r( I )
一 1 0 1 0 -1 0 1 0
-1 0 0 1 -1 0 0 1
当a 时 ,a2，奶，。 线性相关，有极大线性无关组％ ,。 ，。 ，且 =— a2 — a3—a4-
=— 10 ,ai 4 3 4 ai
【评注】 当a =—10时,
_ 0 0 0 0一
-1 1 0 0
[ai 02 03，。4〕 =B.
—1 0 1 0
11
-1 -0 0 1 11
显然，矩阵B中第2,3,4列线性无关，故我们可回答az,a3,a4是极大线性无关组.
（注：极大无关组答案不唯一），在B中，易见
（0, — 1, - 1, — 1）『=一（0,l,0,0）T — （0,0,l,0）T - （0,0,0,ir,
"故可回答如 =—a? — a3 — a<.
11 II
.. 这样一种求极大线性无关组和回答线性表出的方法，大家要掌握. ••
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =………』
・ 189 -数学历年真题全精解析• —■(数学三)
2.【证明】 因为尸(I ) = r( II) = 3,所以 】，如，。 线性无关，而 ,如线性相关，因此
a 3 ai,a2
。 4 可由 ai ,。 2 线性表出，设为。 4 =+，2 口 2 +，3 口 3.
若加 】+ k2az + 龙 口 k4 (a5 — a4)= 即
a 3 3 + 0,
(41 — + (.2 — Izk^Uz + (.3 —，3 左 4) 。 3 + 蜘 口 5 =。.
由于r( HI)= 4,即ai ,。 ，口 ，口 线性无关.故必有
2 3 5
k\ — l\ k\
— 0,
艮2
—，2= 0 ,
及3 —，3反4
= 0 ,
、
&4 = 0
解出蜘= 以 =。，幻= 于是口 ，。 ，口 ，。 线性无关.即其秩为
0,^3 = 0 2 0. 1 2 3 5 — «4 4.
『= = = = = = * = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — = = = = = =、=『
【评注】 本题考查向量组秩的概念，涉及线性相关、线性无关等概念以及线性相关性与!•
II
II II
■向量组秩之间的关系. "
11=； = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2=11
3.
【解】 因03可由。】，。
2，
。
3
线性表示，故线性方程组
0 a 5
由题设知向量组。，02，。3的秩也是2,从而 1 2 1= 0,解得 a = 15.
-1 1 0
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・190・第四章 线性方程组 «
第四章 伐性方篌俱
•、齐次方程组、基础解系
0(2019,5题)【答案】A.
【解析】 由 ”一r(A) = 4 — r(A) = 2,知 r(A) = 2.
n, r(A) = n,
再由
，(*)=A y1,
r(A) = n — 1,
、0, r(A) V 〃 — 1,
所以 r*)(A =0,选(A).
段2020,5题）【答案】C.
【解析】 选择题的4个选项，已经告诉你A，x = 0的基础解系由A的3个列向量所构成.因此
只要判断A的哪3个列向量是线性无关的.而条件就是AI2丰0.
因
口21 心24
a23
A]2 〃31 心33 心34 尹°，
口41 。43 。44
意味（如，如,G41）T，（G23，口33，%）丁，（。24，。34，“44）丁线性无关，那么必有如，秋3，。4线性无关（低维线
性无关向量增加坐标而得到的高维向量必线性无关）.故应选（C）.
F== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
, 【评注】如果是解答题，你应当如何处理？ J
、/1解题加耳座.
1.【分制数,使包含”个未知量和”个方程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个
方法:一是对需方矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是令其系数行列式为零求出参数值.本题
的关键是参数a有两个值,对每个值都要讨论.
【解】设齐次方程组的系数矩阵为A,则
| A | = [a +
那么,Ar = 0有非零解台| A | = 00a = 0或a =— & + Dm.
当a = 0时，对系数矩阵A作初等变换，有
. 191 .► 数学历年真题全精解析• ■■!(数学三)
故方程组的同解方程组为S +工2 +…+乙=0,由此得基础解系为
JJ1 = (—1,1,0, ,0)T ,fj2 = (― 1,0,1 , ••• ,0)T ,…= (― 1,0,(),••• ,1)T.
于是方程组的通解为x =加0 +…+么-EI，其中加，为任意常数.
当a =-j-(n+l)n时，对系数矩阵作初等行变换，把1行的一 &倍分别加至下面的每一行，有
1 + Q 1 1 … 1 一 1 + Q 1 1 … ・.・ o ]_
2 2+a 2 … 2 —2a a 0
―►
_ n n n ••• n-\- a_ _— na 0 0 … a _
1 + Q 1 1 - .1 ■ -0 0 0 … 0一
-2 1 0 - ・ 0 -2 1 0 ••• 0
—►
_ — n 0 0 - -1 _ ―一 n 0 0 … 1 _
'—2xi + x2 — 0,
—3 了 -I- x — 0
故方程组的同解方程组为， '3 '由此得基础解系为q= (1,2,•••,〃)、于是方程组的通
、一心 1 + Tn = 0.
解为X =加，其中k为任意常数.
「 【评注】 本题也可直接对系数矩阵A作初等行变换，化其为爪形 '
it -1 + q 1 1・ .1 -
■I 一 2a a 0 ・ -0
A->
II : : : :
it
■I _— na 0 0 ・ • a _
[ 然后按a = 0或a尹0继续加减消元来求解，不必求I A |的值. j
2.【答案】D.
【解析】本题没有给出具体的方程组，因而求解应当由解的结构、由秩开始•
因为Ax =0只有1个线性无关的解,BP n-r(A) = 1,从而r(A) = 3.那么r(A, ) = 1
^n-r(A" ) = 4 — 1 = 3.故A，x = 0的基础解系中有3个线性无关的解，可见选项(A)(B)均错误.
再由A-A =| A | E,及| A |= 0,有A*A = O,知A的列向量全是= 0的解，而秩
r(A) = 3 ,故A的列向量中必有3个线性无关.
T T
0
最后，按A =0,即[ai, a? 03 ,a< ] 1 = 0,即 ai 十 七3 = 0,
0_
. 192 .第四章 线性方程组 4
说明cn ,a3相关=>ai ,a2 ,a3相关.从而应选(D).
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
" 【评注】不要忘记 11
II II
Il n, r(A) = n, n
(l r(A* ) = < 1, r(A) = n — 1, lt
: 〔0, r(A) y(A) W 1.
显然r(A) 2 1.因此秩r(A) = 1.
由于n-r(A) = 3-1 = 2知(A)(B)均不正确.
又A中:爪
=-|aij2 +
j-AT)3 = 0,故§(%+%)是方程组Ax =。的解，所以应选(C).
= = = = = = — = = = = = * = = = = = = = = = = — = = = = = —=七一
【评注】 注意:y(ij2 -1J3 )是齐次方程组仙 =0的解，本题难度系数0. 649. J
虹==-========================一================』
0(2012,20题)【解】(I)按第一列展开,
1 a 0 Q 0 0
A | = 1 • 0 1 a + a(— 1)4+1 1 a 0 =1-a4
0 0 1 0 1 Q
(U)当I A | = 0时，方程组Ax =。有可能有无穷多解，由(I )知a = 1或一1.
(1)如果 Q = 1 ,
・196・第四章线性方程组
一1 1 0 0 1 - 1 1 0 0 1 一 ~1 1 0 0 1 -
0 1 1 0 -1 0 1 1 0 -1 0 1 1 0 -1
（A\p）= ―►
—►
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
_1 0 0 1 0 _ 「0 _ 1 0 1 -1_ _0 0 0 0 -2_
r（A）夭r（A ：。），故方程组Ax P无解，舍去.
（2）当 a =一 1 时，
（2013,20题）［解】 设。= .那么AC-CA = B,则
• JC^ -
。］「与 气「
工广 1 a' "0 I-
-1 0 J lx3 - 工3 •Z4 」 L1 ()一 _1 b.
~X\ + ar3 ^2 +心4 - * + x2 OJC1 1
- x2 - 土 + Z.1 OX3 - b
—工2 +皿3 =0,
—azi + Xz + axt — 1,
即得方程组〈
=1,
Xl
I — az3 =b.
Xz
对增广矩阵作初等行变换，有
一 0 -1 a 0 0- 一1 0 一 1 -1 1 _
—a 1 0 a 1 0 1 —a 0 0
―►
1 0 _ 1 -1 1 0 0 0 0 a + 1
_ 0 1 —a 0 b_ 0 0 0 0 b _
当a尹一1或b^O时，方程组无解.
当a =—1,且。=0时，方程组有解.此时有在矩阵C满足AC-CA = B.
由于方程组的通解为
r
1 1
0 -1 0
JC2
+ k\ + k2 ,kx,k2为任意实数,
0 1 0
o .0 J.
、Z4
故当且仅当a =-1,6 = 0时，存在矩阵
「1+知 +k2 一妇一
k2 -
满足AC —C4 =B,其中刈，奶为任意实数.
-197 -数学历年真题全精解析• （数学三）
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = ” = = = = *』
h 【评注】 这是当年考得比较差的一道题，难度系数0.368,0. 389,0. 460,考生在计算上n
I! II
"失误的情况非常严重，希望大家复习时要重视基本计算. 11
= = = = = = = = = = = = = = = = = = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
0（2014,20题）【分析】（I ）是基础题，化为行最简即可.
关于 中矩阵B,其实就是心= 三个方程组的求解问题.
（U）
【解】 （I）对矩阵A作初等行变换，得
一］ -2 3 -4" 「1 —2 3 -4「 1 一 2 3 _ 4' 一］ 0 0 1 ■
A = 0 1 —1 1 —0 1 -1 1 —► 0 1 _ 1 1 0 1 0 -2
—►
_1 2 0 -3. _0 4 -3 1 _ ,0 0 1 _ 3_ _0 0 1 -3_
因 n-r（A） =4 -3 =1,令以= 1求出 心=二3, r2 =2u =— 1,
故基础解系为1} = （一 1,2,3,1），
（H）AB =£中8的列向量其实是三个非齐次线性方程组
T ~0 一 「°]
Ax = 0 ,Ax = 1 = °
0_ 0. _.1J
一
的解.由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令歹=（A i E）作初等行变换:
~1 -2 3 -4 : 1 0 0- P —2 3 一 4 : 1 0 0一
=（A ： E）= 0 1 -1 1 : 0 1 0 f 0 1 - 1 1 : 0 1 0
J 2 0 一3 ! 0 0 1_ _0 4 - 3 1 ；--1 0 1_
'1 - 2 3 —4 : 1 0 0' 1 -2 0 5 ： 4 12 -3-
—► 0 1 1 1 : 0 1 0 —A 0 1 0 -2—1 -3 1
0 0 -3 i -1 -4 L _0 0 1 -3-1 -4 1 _
-1 0 0 1 :2 6 —r
->010 -2 -1 -3 1
0 0 1 -3 ! — 1 -4 1 _
由此得三个方程组的通解：
（2, —1, — 1,0）丁+加邛，加为任意常数,
（6, — 3, — 4,0）丁+•■以 为任意常数,
2
（一1,1,1,0）丁+■邛以 为任意常数,
3
~ 2 — k\ 6一幻 -1-^3
—1 + 2k.、 —3 + 2^2 1 + 2奴
故所求矩阵为B = ,kx,k2,k3为任意常数.
—1 + 3^1 —4 + 3& 1 + 3七
2
- 加 人2 k3
II 【评注】 本题难度系数0. 445,0. 416,0. 436. II
L==
0（2015,5题）【答案】D.
【解析】Ax = b有无穷解«r（A） = r（A） < n.
-198 ・第四章线性方程组
■] 1 1 ]一 _1 1 1 1 「 I 1 1 1 一
1 2 a d ——> 0 1 a — 1 d~l ——> 0 1 a — 1 d~l
_1 4 a2 d2_ 0 3 a2 -1 d2-l_ 0 0 a2 — 3q + 2 d2 — 3d + 2_
a2 —3a + 2 = 0, ,
d2 一 3d + 2 = o,
或Ax = b有无穷解的必要条件| A | = 0.
1 1 1
由 I A | = 1 2 a =(a — 1)(a — 2) = 0,q = 1 或 2.
1 4 a2
再分情况判断Ax 二b是否有无穷解.亦有(D).
皿(2016,20题X解】(I)对(A i /})作初等行变换，有
一 1 1 1 — a o _ 1 1 1-a o _ ~1 1 1 — a 0 一
1 0 a 1 —► 0 -1 2a-1 1 —>■ 0 1 1 — 2。 -1
a + 1 1 a + 1 2a — 2_ ,0 —a a (a + 1) 2a — 2_ 0 0 a(2 — a) a — 2_
因方程组无解，所以r(A) < r(A,/»)即a(2 — a) =0,且a-2壬0,故a = 0.
(II )对AT Ax = 4邛,因为
"i i r ■i i r ~3 2 2~
ata = 1 0 1 1 0 0 = 2 2 2
J 0 1_ _1 1 1_ 一2 2 2.
-1 1 r -0 ' -r
1 0 i i = -2
.1 0 L-2_ -2_
对(A「A I AT/J)作初等行变换有
'3 2 2 —r n 1 1 -r _i 0 0 1 -
2 2 2 -2 —A 0 1 1 -2 ——> 0 1 1 -2
2 2 2 -2_ 0 0 0 0 _ 0 0 0 0 _
得方程组A\4x
= At/J
的通解为
x = (1, — 2,0)丁+互(0, — 为任意常数.
F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = = = = = f
" 【评注】 方程组Ax =p无解的必要条件：| A \ = 0. "
II II
II 1 1 1-a 1 1 1-a II
:1 A | = 1 0 a = 1 0 a =a2 ~ 2a = 0 9
11
11 Q + 1 1 Q + 1 a 0 2a 11
11 11
: 然后代入判断可知。=o时方程组无解. :
•> 难度系数数二0.548,数三0. 590. '•
IL = __________________________________________ = J
[f](2017,20题X解】(I)由a’ =垢+2处知s，az，a3线性相关，故I A | = 0,4 = 0是A
的特征值.又4有3个不同的特征值，设为A, ,A2,0(其中A, ,A2不为0),
人 -
那么 A 〜 Az ，所以 r(A) = r(A) = 2.
0.
・199・数学历年真题全精解析• (数学三)
(H)由。 + 2=2 有。 + 2。 —。 = 0,那么
3 = 1 2 3
「] 一
-1 I
A 2 =[。1,口2，%] 2 = © + 2"2 一。3 = 0,
L 1_
即(1,2, - 1)T 是 Ax = 0 的解.
又 OL\ +。 2 +。 3 = P，
即(1,1,1)T 是 Ax = P 的解.
由r(A) = 2,按解的结构知Ax =。的通解为X = (1,1,1)丁+奴1,2,—1)丁以为任意常数.
[r:~ = - = = = = ~ = := = = = '=-- = = '= = = '= = = = = = = = - = = - = :s = ~ = = =: = = = =q]
] 【评注】 本题难度系数0.536,0.422,0.445. "
[£(2018,21题)【解】(I )矩阵A经列变换得矩阵B,即A和B等价，矩阵A和B等价<=>r(A)
=r(B).
1 2 Q 1 2 Q
1 o
1 4
由 1 A | = 1 3 0 = 1 3 0 =0,又因A中有2阶子式 1夭0,故Vg,恒有
1 Q
1 O
2 7 -a 3 9 0
r(A) = 2.
1 Q 2
八 U 11
又 I B | = 0 1 1 =2 — a,B中有2阶子式 # 0.
一 1 1
-1 1' 1
r(B) = 2e | B | = 0<=>q = 2,所以 q = 2.
(□)满足AP = B的P就是AX = B的解.
一1 2 2 \ 1 2 2一 一］ 0 6 3 4 4 _
[A ! = 1 3 0 0 1 1 —► 0 1 -2 _ 1 -1 -1
2 7 -2 « -1 1 ］一 Lo 0 0 0 0 0 _
解方程组，得
-一6- _ 3 ' -1 ' -4 一 「2]
A 2 =0,A -1 = 0 ,A _ 1 】
=
LiJ
1 「 0 L 1 L 0
3 — 6加 4 — 6^2 4 —6幻
* 一
故AX ==B的解为X = —1 + 2 加 —1 + 2&2 — 1 +2&3 ，其中互奇2以3为任意常数.
奴 奴
一 &2 -
3 — 6回 4 一 6幻 4 — 6^3 3 4
由1 X | = -1 + 2刈 —1 + 2^9 —1 + Zb 3 = -1 — 1 一 1 =力3 — 尹。・
幻 为2 k. 加 k2 心
所以满足AP = B的所有可逆矩阵为
3 — 6刈 4 — 6奶 4一6蜘-
P = 一1 + 2 知 一1 + 2奶 —1 + 2力 3 ，其中k2尹氏3
k2 么 -
-200第四章线性方程组 ◄
[i==~ = '= = = = = ~ = = :=~ = = = = =: = = = =:~ = = = = = = = = ~ = = = ~=' = = = = = = ="^]
” 【评注】 本题难度系数0.463,0.397,0.450. "
[= = - = = _. = = = = = = = = = = = = = = _ = = = = = = = = — = = = = = = = = = = = = =』
圆(2019,13题)【答案】1.
【解析】 方程组Ax = b有无穷多解^r(A) = r(A) < n.
■1 0 -1 0' "1 0 -1 o -
= 1 1 -1 1 0 1 0 1
—►
-() 1 a2-1 .0 0 a2 — 1 a — 1_
a_
可见 a = 1 时 r(A) = r(A) = 2 < 3.
所以a = 1.
[E(2021,6题)【答案】D.
【解析】 由A = [ai ,a2 ,a3 ,a4]是正交矩阵，
有 r(A) = 4 即 ai ,az ,a3 2,从而秩r(A) = 2.
4 3
(n)对增广矩阵作初等行变换，有
■1 1 i i ,-r "1 1 1 1 -1 '
= 4 3 5 -1^-1 —> 0 -1 1 -5 3
a 1 3 b \ \ _ 0 1 — a 3 — a b — a a + 1_
_1 1 1 1 -1 _
—A 0 1 -1 5 -3
0 0 4 — 2a 6 + 4q — 5 ! 4 —2q_
由题设和(I )知,r(A) = r(A) = 2,故有
4 — 2a = 0,6 + 4a — 5 = 0,
解出 a = 2,6 =— 3,
~1 0 2 -4 2 一
此时A -► 0 1 _ 1 5 -3
0 0 0 0 0 _
那么 a = (2, —3,0,0)T 是 Ax = b 的解，且⑰—(―2,1,1,0)r,fj2 = (4,—5,0,l)T 是 Ar =
0的基础解系，所以方程组的通解是x = a + kli1} +奶邛2(加以2为任意常数).
' 【评注】 通过本题要体会如何用两个条件把r(A) = 2夹逼出来的方法.不少考生把题［
:目中的“有三个线性无关的解"理解为“恰有三个线性无关的解”，这就改变了( I )证明的难：
Il H
.1度和命题的原意.大家要认真审题，准确理解题意. -
IL = = = = = = = = = = = = = = = = = = =. — = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
-203 -► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
5.【解】A = H[l，§，o]= 2
又 A? = (a/JT)(a/JT) = a(/JTa)/JT = 2A,所以 A，= 23A = &4.
代入原方程，得 16Ax = 8Ax + 16x + y,即 8(A-2E)x = y.
f-l 1 0
0 「1 1
2 1 —万° 0
2 — 1 0 0
—A 0 1 -2 1
一1 1 ~2
1 _0 0 0 0_
所以x = 为任意常数.
三、公共解与同解
、/1解题加速度
程组（I）的系数矩阵作初等行变换，有
ri o -5 3 一
一 2 -
由于n-r（A） = 4-2 = 2,基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取而，乃为自由变量，所以
/J, = （5, —3,1,0）、彪=（一3,2,0,1尸是方程组（I ）的基础解系.
（2）设邛是方程组（I）与（R）的非零公共解，则
M /血+S，其中k、腿与1\,上均不全为零的常数,
+3z =
那么 k\fi] + &2 。 2 —，1 。 1 —，2 口 2 = 0.
由此得齐次方程组（in）
5加一3& 2 — 2/1 +，2 = 0，
—3幻+ 2k2 + 1\ —2/2 = 0,
(ID)
k\ —(Q + 2)/1 —4Z2 = 0,
、 kz ― 1\― （q + 8），2=0
有非零解.对系数矩阵作初等行变换，有
_ 5 -3 -2 1 一 _1 0 —a — 2 -4
-3 2 1 -2 0 1 _ 1 —a — £
1 0 —a — 2 -4 0 2 —3a — 5 一 14
_ 0 1 -1 —a — 8_ 「0 —3 5a+ 8 21
■1 0 —a — 2 —4 '
0 1 _ 1 -a —8
0 0 -3a-3 2q + 2
0 0 5a+ 5 ~ 3a - 3_
204 -第四章线性方程组 44
当且仅当a + l = 0时,r（ni） <4,方程组有非零解.
t , , u 、 （kx ——4/2 =0, [k\ = l\ +4/2,
此时，（皿）的同解方程组是， 解出
I kz — 1\ ~~ 7= 0, 〔A? = Zi+7Z"
于是 1= (Z1+4/z)0+(Z1+7/z)& = Z1(0+pz)+Zz(4&+7/)= l\
.其中"为任意实数.
2.【答案】B.
【解析】 显然命题④错误，因此排除（O（D）.对于（A）与（B）其中必有一个正确，因此命题
①必正确，那么②与③哪一个命题正确呢？
由命题①，“若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则r（A） >r（B）”正确，知“若Bx = 0的解均是
Ax =0的解，则r（B） 2 r（A）”正确，可见“若Ax = 0与Bx = 0同解，则r（A） = r（B）w正确.即命
题③正确，故应选（B）.
希望你能证明①正确，举例说明②错误.
3.【解】（1）对方程组（I ）的增广矩阵作初等行变换，有
~1 1 0 -2 ; -6- ~1 0 0 -1 -2-
瓦= 4 -1 -1 -1 1 —> 0 1 0 -1 -4
_3 -1 -1 0 ! 3 _ _0 0 1 -2 -5_
由如一r（A） = 4 — 3 = 1,取自由变量为xi.
令E = 0,得方程组（I ）的特解（一2, —4, —5,0）丁，
令工4 = 1,得（I ）的导出组的基础解系为（1,1,2,1）七
故（I ）的通解为：* = （一2, — 4, —5,0）『+奴1,1,2,1）T以为任意实数.
（2）把（I ）的通解而=—2 + k,x2 =— 4 + 为，*3 =— 5 + 2k,xt = k 代入（II ）
整理得
'（m — 2）（k — 4） = 0,
< （n — 4）以一4） = 0,
、t = 6.
由于4是任意常数，故771 = 2,7? = 4,z = 6.此时（I ）的解全是（n）的解.当m = 2,〃 = 4« =
6时，易见r（A2 ） = r（A2） = 3,（U）的通解为a +钮 形式.
所以x= （― 2,—4,—5,0）丁+奴1,1,2,1）丁就是（口）的通解，从而（I）与（U）同解.
4.【答案】D.
【解析】 因,a2 03可由0】，。 线性表出，设
2,03
(Mi = ，
Cufli + C21JJ2 + C31/J3
(X2 = Ci2p] + C22& + C32P3 '
«3 = C13»1 + C23P2 + C33/J3 ,
・ 205 -►► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
即 3 ,a2 ,a3]= Lpl，。 ,「 记为c.
2 3 ]
于是 A = BC,得"=CTBT.
若a是BTx = 0的任一解，即BTa = 0.
则 ATa = CTBTa = CT0 = 0,即 a 必是 A' = 0 的解.故选（D）.
5.【答案】C.
【解析】 由拉普拉斯展开式（A）与（B）的系数行列式，均是
A O E A
=I A | | B | , =|E||AB| = |A||B|,
E B U B
两者相等，（A）和（B）同时只有零解或同时有非零解.于是（A）和（B）同时正确或同时错误.目前是
4选1,故（A）（B）肯定均不正确.
关于（D）,因为矩阵乘法没有交换律，可构造A和B使AB = O,BA = O.艮IKD）不正确.
■1 0" ■0 0'
例如A = 和B = 则Ax = 0与Bx =0同解.
_0 0- _1 0-
■1 0一 '0 0]_ 0- ■0 0 0- "0
但AB = 0」一 =O.BA
-0 0_ .1 _0 0. -1 0 0 0- -1 0_
AB B1 BA A~
那么厂 l,r 2,
-O -O B-
即（D）中两方程组不同解.
A B~
71
对于（0设7 = 5必为n维列向量是（I ） y =0的解.
”2」 -O B-
A B 'Aji +By2~
则 ___
IL]?-
_O B -By2 -
（Ayi +By2 = 0,
即 所以 Ay i = 0 9 By2 = 0,
I By 2=0,
由 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，于是 By} = 0,Ay2 = 0.
B +A[2]_
那么（口）
-O
Aj
Lj2 - -Ay 2 -
即y若是（I）的解，则y必是（H）的解.
反之亦对.所以（C）正确.
"1 0- 0 0-
当然（A）（B）不正确，也可用刚刚（D）中的反例 和 来说明.
_0 0. 0-
-206 ・第五章特征值与特征向量 <4
第五章 特任硬与特任向量
二特征值、特征向量的概念与计算
[>2015,13题)【答案】21.
【解析】由Aa = Aa=>Ana = Xna,
因为A的特征值是2,-2,1,所以B的特征值是3,7,1,故| B | = 21.
/解题加速度
1.【答
【解析4这是一个基础题，由特征多项式
A 2 2 A 2 2
I AE-A | = —2 A — 2 2 = —2 A — 2 2
2 2 A — 2 0 A X
A 2 2 A 0 2
X —2 A — 2 2 =A -2 A-4 2 =A2 (A-4)
0 1 1 0 0 1
可知非零特征值是;I = 4.
2. 【答案】B.
【解析】 由 Aa = Aa ,a 0,有 A2a = AAa =入出，故= -^-A2a.
即若4是矩阵A的特征值，则!足是矩阵!A，的特征值，现义=2,因此，!A。有特征值§.再利用
O O O O
如应x = Aa,则A-1a = *，从而)有特征值乎.故应选(B).
或者，(&42)一二=3(妒|)2妨由；(=2是A的特征值，知•是A—】的特征值，于是j•是(A-1)2
\ o / Z 4
的特征值，亦知应选(B).
3. 【答案】1.
【解析】 根据已知条件本题有两种解法.用定义，由
Aa\ = 0 = Oai ,A(2ai +a2)= 2Aai +Aa2 = Aa2 = 2。】+ a2,
知A的特征值为1和0.因此A的非零特征值为1.或者利用相似，有
ro 2~
A[ai，处]=[0,2休+。2〕= [a】，。2〕° 】，
-207 ・数学历年真题全精解析• ■■■(数学三)
_0 9"
可知A〜 ，亦可得A的特征值1和0,因此A的非零特征值为1.
L0 1J
M = = = = = - = = = Z = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = h = = = = = =
" 【评注】 要掌握定义法,Aa =血，口尹0,通过恒等变形推导出特征值、特征向量的信"
II 11
息.若已知。],%，口 线性无关，又有
II 3 II
a2a2 +。 。 ，& =缶。 +b2a2 + b3a3 >Aa3 = 勺。】+ c2a2 + c3a3 '
' &i = QiQi + 3 3 2 1
it "
•I的信息一定不要忘记这有相似的背景.. "
II II
,。 ，。 〕= ，
H A[cti 2 3 C/Vz 1 , "/Vx 2 3 ] II
=+ a2a2 +。 3 奶，但。 1 + b2a2 +缶。 3，ciai + c2a2 + c3a3]
ci\ bi C\
=[。 1,% ,a3] 口 2 b： C2
03 63 C3_
<21 bl Cl
(| 即 P^AP = B,其中 P = [。 1 ,口 2 ，。 3 〕，8 = a2 b2 c2 ・ „
11 _。 缶。
3 3 - "
II H
n 本题难度系数0. 704. "
IL _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
4.【分析】 因为A* 与B相似，而两个相似矩阵的特征值与特征向量有关联，利用它们之间的
联系就可求出B的特征值与特征向量，进而就可求出B + 2E的特征值与特征向量.
【解】由于
A — 3 — 2 一 2 "―7 A-7 A-7
\ XE-A\ = —2 A — 3 一2 =一2 X — 3 — 2
-2 -2 A — 3 。 1 -A A -1
1 1 1
=(A-7XA- 1) _ 2 1 - 3 -2 =(A-1)2Q -7),
0 —1 1
故
A
的特征值为人
1
=义
2 =
1，义3 = 7・
因为I A |= 口> = 7,若Aa =Aa,则妃a = 峙~a，所以A*的特征值为7,7,1.
A
由于B = P^ A'P,即A* 与B相似，故B的特征值为7,7,1,从而B + 2E的特征值为9,9,3.
因为B(P^a) = (*PL)(ALa) = P^'A'a = ^-P~la,按定义可知矩阵B属于特征值一
A
V」的特征向量是PT a.因此B + 2E属于特征值哽
+ 2的特征向量是p~y.
A A
-0 1 -r
由于= 1 0 0 ，而
0 0 1 _
-2 -2 —2一 ~1 1 r
A = 1 时，由(E-A)x = 0, -2 -2 -2 ―A 0 0 0
-2 -2 —2一 0 0 0_
・ 208 -第五章特征值与特征向量
得矩阵4属于义=1的特征向量ai = (— 1,1,0)T,a2 = (— 1,0,1)T,
-r
_ 4 -2 一2一 0
当 A = 7 时，由(7E-A)x = 0, -2 4 -2 —► 0 1 -1
-2 -2 4 _ 一0 0 0 _
得到矩阵A属于义=7的特征向量a, = (1,1,1)T,那么
P^'a. = (1, — l,0)T,P^az = (一 1, 一 l,l)T,P^a3 = (0,1,1)T.
从而,B + 2E属于人i = A2 = 9的特征向量为刈(1, — 1,0)丁+为2(— 1, — 1,1)T,其中ki ,k2是
不全为0的任意常数，而B + 2E属于如=3的特征向量为知(0,1,1尸，其中幻为非零常数.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
it _ 5 ~2 -2- II
: 【评注】本题也可以先求出A' = it
-2 5 -2，然后求
it
II -2 -2 5 _ it
II - it
II '7 0 o - II
I „ I B = P- . 'AT = -2 5 -4・ it
it
II -2 -2 3 _ II
再求 B + 2E.
>1
IL _ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - _Jj
5.【答案】2.
【解析】 因为矩阵A = M的秩为1,所以矩阵4的特征值是、a“0,0.
而本题、就是a”,故/faT的非零特征值为2.
||='= = = = = = = = = = = = = = =!====；：======
' 【评注】 若。= （Q1 ,%，仁3） 丁，［=（缶，缶，。3） 丁，则
-"1 a?b\ 。3缶
A = paT II
-□1缶
口2
a3b3_
it 那么 | AE — A | = A3 —(Q0 + a2b2 + a3b3)X2，而 a1 fi = fiTa = axbx + a2b2 + a3b3.
II
一般地，如r（A） =1,有 I XE ― A | = A” —〉］ GnAli，则人］=〉:q廿，人2 = = An = 0.
"本题难度系数0.680.
: 对于秩为1的矩阵的特征值公式应当熟悉！
IL ==
6 .【答案】一1.
【解析】按定义，设Aa=S，即
4 + 1 — 4 =义，
所以< 1 + 2 +2& = A,解得 a =— 1.
、3 + 1 — 2 = 2人，
-209 -数学历年真题全精解析- (数学三)
:、相似与相似对角化
0(2009,13题X答案】2.
一
「1] '1 0 k~ ~3
【解析】由于a/T = 1 (1,0,4)= 1 0 k ，那么由建T〜 0 知它们有相同的迹.
Lij
_1 0 k_ _ 0.
故 1+0 +& = 3 + 0 + 0,所以 k = 2.
-1 1 1 - ~0 … 0 ]_
1 1 ... 1 0 ・・・ 0 2
(2014,21题)[证明】 记4 = : ,B = : : :
_1 1 ・・・ 1 _ .0 ・・・ 0 n _
因A是实对称矩阵必与对角矩阵相似.
由| AE — A | =义■一以I = 0,知A的特征值为n,0(?i- 1个).
n
,, 0
故A〜A = .
0.
又由| AE-B |= (A-n)A"-1 = 0,知矩阵B的特征值为〃，03 — 1个).
当 = 0 时，r(0E —B) = r(B) = 1,那么 n-r(OE-B) = n-1,即齐次方程组(OE-B)x =
a
0有n —1个线性无关的解，亦即A = 0时矩阵B有〃 一1个线性无关的特征向量.从而矩阵B必与
对角矩阵相似，即
0
B 〜A = .
_ 0_
从而A和B相似.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = * = = =…丸
- 【评注】 因为A〜A,故存在可逆矩阵R使PT APi = A,又因B〜A,故存在可逆矩"
II 11
"阵 R 使P^'BP2 =A,于是PT'AP, =PiiBP2^P2P71AP1P71 =B,令？=己盼'，即有P^ AP "
H
II
•I = B. "
ii 难度系数 0. 382,0.354,0.368. ••
IL= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
fJ(2016,5题X答案】C.
【解析】 由已知条件,存在可逆矩阵P使P lAP = B.那么
Bt = (P-'AP)7 = PTAT(P~, )T = PT/TPi,
其中R = (PT)T,即人丁与职相似,(A)正确.
B1 = (LAP)T = P-'A-'CP-')-' = P-'A'P,
即A"1和BT相似，(B)正确.
又
(A+AT)P = P-'AP +P^'A lP = B + BT ,
. 210 .第五章特征值与特征向量
即和B + B '相似，（D）正确.
从而应选（C）.
「1 21 ri in
特别地,A= ，与B= 相似.
Lo 1J Lo 1J
-2 21 「2 1'
但A + AT= 与B + BT = 不相似.
—乙 乙* J 「•!.乙—
0（2017,6题）【答案】B.
-0 0 0 _
【解析】 对矩阵A,特征值为2,2,1.由2E-A = 0 0 一 1知其秩为1.
0 0 1 .
齐次方程组（2E —A）x = 0有2个线性无关的解，亦即A = 2有2个线性无关的特征向量，所以
A〜C相似.
-0 - 1 0一
对于矩阵B,特征值为2,2,1.由于2E — B= 0 0 0 ,故其秩为2.
0 0 1.
齐次方程组（2E —B）x = 0只有1个线性无关的解，亦即4 = 2只有1个线性无关的特征向量,
B不能相似对角化.故应选（B）.
0（2018,5题）【答案】A.
【解析】 这5个矩阵特征值都是1,1,1且都没有3个线性无关的特征向量，即都不能相似对角化.
"1 1 0一
对（B）,（C）,（D）选项,A = 1都是有2个线性无关的特征向量，而0 1 1与（A）对A = 1都
_0 0 1.
只有1个线性无关的特征向量，所以选（A）.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =『
ri 1 on "
: 【评注】如p= o 1 o ,则 :
" L0 0 1J "
1! 一 1 1 0] -1 -1 °_ 1 0] 口 1 o- ~1 1 -r
II 0 1 1 p = 0 1 0 0 1 0 1 0 = 0 1 i
II
II 0 0 1_ 0 0 1. .0 0 L 一o 0 ]_ 0 0 i _
||亦知选（A）. H
0（2020,21题）【解】（I）因a # 0且a不是A的特征向量.于是Aa ka，从而。与Aa不
共线，即。，& 线性无关，故P = [a,Aa]可逆.
或（反证法）若P不可逆，有
I P I = I a,Aa | = 0,
a与Aa成比例，于是Aa =如.又知a是A的特征向量与已知条件矛盾.
（II）（方法一） 由 A2a + Aa — 6a = 0 有 4七=6。一Aa
AP = A[a,Aa] = [Aa ,A2a] = [Aa ,6a — Aa]
-211►►数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
因 可逆，于是
P
-0 6 '
P^AP =
.1 -1-.
— 「0 6 7 A -6
记8= ，而 1 XE ~ B \ = =A2 +A-6 特征值 2,-3.
-1 — 1」 一1 A + 1
于是A有2个不同特征值从而A可相似对角化.
(方法二) 因 A2 + A-6E = (A-2EXA + 3E) = (A + 3E) (A — 2E).
由 A2a + Aa — 6a = 0, BP (A2 + A — 6E)a = 0,于是
(A-2E)(A + 3E)a = 0,
即(A-2E)(Aa+3a) = 0,
即 A(Aa + 3a) = 2(Aa + 3a).
由a不是特征向量，有& + 3a尹0,从而义=2是A的特征值.
类似有A =— 3是特征值.下略.
0(2021,21题)【解】 由特征多项式
A-2 -1 0
I AE — A | = — 1 A — 2 0 = (A ~ 6) (A — 1) (A — 3),
—1 — a X — b
因为A只有两个不同的特征值，所以1或b = 3.
(1)当b = 1时,A的特征值为1,1,3.
由于A〜A，那么r(E — A) = 1.
-1 一 1 一] 1 0一
-1 -1 0 ——► 0 1 — a 0
-1 —a 0_ 0 0 0_
所以a = 1且人=1的特征向量为a】=(一 1,1,0)，必=(0,0,1)七
再解(3E-A)x = 0 W A = 3 的特征向量 a3 = (1,1,1)T.
-1 o r -1 -
令 ,。 ，口 〕= 1 0 1 ，有 P?1AP1 = A = 1
P] = 2 3
_ 0 1 1_ _ 3_
(2)当b=3时,A的特征值为1,3,3.
由 A 〜A 则 r(3E — A) = 1.
_ 1 -1 0~ 口 -1 0一
3E-A = -1 1 0 —> 0 。+ 1 0
-1 —a 0_ 0 0 0_
所以a =一1.解出特征向量0 = (l,l,0)T,& = (0,0,1)七
再解(E — A)x = 0得义=1的特征向量= (― 1,1,1) T.
_1 0 —r ■3
令 ，§2，步 〕= 1 0 1 ，有 P7 AP2 = 3
P2 = EPl 3
_0 1 1 _ - 1_
0(2022,5题)【答案】B.
【解析】 如果A = PAP '即A与A相似，那么4和A的特征值相同，即A的特征值是1,-1,
. 212 .第五章特征值与特征向量 ◄
0;反之若A的特征值是1, —1,0,即A有3个不同的特征值，那么A可相似对角化，而对角矩阵由
特征值1,-1,0构成，即A〜A.从而(B)正确.
关于(A),矩阵等价是秩相等,特征值可以不一样.
A的特征值不是1, -1,0,故(A)不正确.
关于(C),仅实对称矩阵可以用正交矩阵相似对角化，一般矩阵如可以对角化只能由可逆矩阵
来实现并不能用正交矩阵.
*1 1 0'
例如A= 0-10 ,A的特征值是1, -1,0,
.0 0 0.
'0 - 1 0一
但 E-A = 0 2 0 得 ai=(l,0,0)T,
-E-A = 0 0 0 得 a2 = (1, -2,0)T,
_ 0 0 - 1.
a,与a2不正交，不能用正交矩阵相似对角化.
「 【评注】不同特征值的特征向量其线性组合不再是矩阵A的特征向量.所以，虽然
（c； „
Pi = Oil = Oz （机,"
正交，但&不是特征向量，也就不能用其相似对角化.
对于(D),合同D力，g不变，但不能保证特征值相同. II
1 - 「1
例如A = —4 ,p = 2 有
_ 0_ L l
2
1
A与A合同，但A的特征值不是1, -1,0.
J
、/1解题加速度
1 .【解法一）由于AP = FB,即
x^Ax ,A2= [Ax ,A2x,A3x] = \_Ax ,A2x,3Ar — 2A2x]
・ 213 -数学历年真题全精解析■（数学三）
'0 0 0 -
=\_XyAx ,A2x] 1 0 3 ,
0 1 -2_
「0 0 0 ~
所以B= 103.
0 1 -2_
(方法二) 由于 P = [x,Ax,A2x]可逆，那么 = E,即 P-y[_x,Ax,A2x3 = E.所以
V
…卜
于是 B = P^ AP = P-1 [Ax,A2x,A3x] = P-1 [Ar,A2x,3Ar -2A2x]
-0 0 0 _
=(3Ax - 2A2x)] = 10 3.
0 1 一 2_
Zi a2 a3~
(方法三)设B= bi b2 b3 ，则由AP = PB得
_C] Cz C3 _
Qi Q2 Q3
[Ax,A2x,A3x] = Cx,Ax,A2x] bx b2 b3 .
-C\ C2 c3_
即
Ax = a^x + biAx + CiA2x,
A2x = a2x ~l- b2Ax + c2A2x,
A3x = a3x + 63Ar 4- c3A2x = 3Ax — 2A2 x,
于是
axx + (bi — DAx 4- CiA2x = 0,
< a2x + b2Ax + (c2 — l)A2x = 0,
03X+ (63 — 3)Ar +(C3 + 2)A2x = 0.
因为x,Ax,A2x线性无关，故
Q] 0,缶==1, C] == 0 ； 。2 == 0, b： === 0, c?2 1 ； 。3 0 9 缶==3, C3 == 2.
'0 0 0 ■
从而求出矩阵B= 1 0 3 .
0 1 一 2_
(II) 由(I)知A〜B,那么A + E〜B + E,从而
1 0 0
| A + E | = | B + E |= 1 1 3 =-4.
0 1-1
2.【解】（I） 设&是属于特征值人。的特征向量，即
-214 ・第五章特征值与特征向量
2 — 1 — 2 = Ao
即y 5 + q — 3 = Ao > 解得 Ao =— 1,Q =— 3,b = 0.
、一1+5 + 2 =— Ao.
(n)由
A — 2 1 — 2
I AE-A |= -5 A + 3 -3 = (A + D3,
1 0 A + 2
知矩阵A的特征值为人i = A2 = A3 =— 1.
-3 1 -2-
由于 r(— E — A) = r — 5 2 — 3 = 2,
_ 1 0 1 _
从而A =-1只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.
3.【解】A的特征多项式为
A- 1 -2 3 A — 2 2 — A 0 1 -1 0
1 A-4 3 = 1 A-4 3 =(A — 2) 1 A-4 3
-1 —a A — 5 -1 —a A — 5 -1 ——a A -5
1 0 0
=(A-2) 1 A-3 3
—1 — a — 1 A — 5
=(A-2)(A2 -8A + 18 + 3a).
若A = 2是侍征方程的二重根，则有2。一16+ 18 +3a = 0,解得a =-2.
' 1 -2 3 _
当a =-2时,4的特征值为2,2,6,矩阵2 E — A = 1 -2 3 的秩为1,故A = 2对应
-1 2 -3.
的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.
9
若人=2不是特征方程的二重根，则人2—84 + 18 + 3。为完全平方，从而18 + 3a = 16,解得。=一爵.
-3 -2 3 -
9 1 A Q
当a 时,A的特征值为2,4,4,矩阵4E — A= 的秩为2,故义=4对应
3 9
-1 — - 1
L 3 J
的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
三、关于相似时可逆矩阵P
[[[(2015,21 题 X 解】(I)A 〜如=£如,I A | = | B |,得
(O + 3 + a = 1 + 6+1,
(2a — 3 = b,
-215 -数学历年真题全精解析• ■■■（数学三）
解出 a = 4,6 = 5.
A-1 2 0
(II)因为 A 〜B, |AE—A| = |AE—B|= 0 A — 5 0 = (A — 5) (A — 1)。故得 A
0 -3 A-1
的特征值1,1,5.
对人=1,由(E —A)x = 0,
■
■ 1 -2 3 — -2 3'
1 -2 3 —A 0 0 0
-1 2 _ 3_ 0 0 0_
得基础解系 ai = (2,l,0)T,a2 = (―3,0,1)七
对；I = 5,由(5E-A)x = 0,
-5 -2 3~ 1 2 3一 -1 0 r
1 2 3 —► 0 1 1 ―► 0 1 1
-1 2 1. _0 0 0_ 0 0 0_
得基础解系S = (-1,-1,DT.
「2 -3 -r -1
令 ，。 ，％]= 1 0 -1 ，有 P^'AP = A = 1
P = 2
_0 1 1 _ _ 5_
本题难度系数0. 540,0. 463,0. 513.
叵|（2016,21题）【解】（I）由A的特征多项式
A 1 — 1
1 AE-A | == —2 A + v 0 =A(A + l)(A + 2),
0 0
得A的特征值为0, — 1, — 2.
对人=0,由(0E — A)x = 0
-o 1 - r 「2 0 一 3「
— 2 3 0 ―► 0 1 r 1 ，
..0 0 0 _ _0 0 0 _
得基础解系（或特征向量）7i = （3,2,2)T.
对 A =— 1,由(一E — A)x = 0
1 1 - r 1 一 1 0~
— 2 2 0 —> 0 0 1 9
.0 0 - 1_ 0 0 0.
得基础解系（或特征向量）及=（1,1,0）七
对；I =-2,由（一 2E-A）x = 0
2 1 -r -2 1 0-
-2 1 0 —► 0 0 1
_ 0 0 _2一 -0 0 0_
得基础解系（或特征向量）为=（l,2,0）T.
• 216第五章特征值与特征向量 ◄
~3 1 r ~0
令/= 31，&，方)一 2 1 2 ，有 P~ AP = A = -1 ，那么 = A"
2 0 0_ _ -2_
"―2 + 2" 1 — 2" 2 — 2虹
—2 + 2100 1 — 2100 2 — 2"
一 0 0 0 .
(U )因 Bz = BA，知 B3 = B(BA) = B2A = BA2,
归纳得
■- 2 + 2" 1-2" 2 — 298-
B100 = BA" = [ai ,a2 ,a3] —2 + 2100 1 - 2100 2 — 2"
0 0 0 _
=[(一 2 + 2" )ai + (— 2 + 2100 )a2,(l- 2" )ai + (1 — 2100 )a,, (2 - 298 )a, + (2 - 2" )a2J.
所以 0 = (- 2 + 2")ai + (- 2 + 2100)a2 ；p2 = (l- 239 )ai + (l-2100)a2;
p3 = (2 - 298 )O1 + (2-2")a2.
本题难度系数0. 236,0. 161,0. 212.
匣(2019,21 题)【解】(I )因 A 〜B,有=£" I A | = | B I.即
(x — 4 = 丁 + 1,
〔4了 — 8 =— 2),
所以 1 = 3,、=— 2.
(U)因 | 花一B | =(人一2)(；( + 1)(义 + 2),
矩阵B的特征值为2, — 1,一2.
又A〜B知A的特征值为2, —1, — 2.
下面分别求出矩阵A和B的特征向量：
-r
■ 4 2 「2 1 0-
由(2E-A)= -2 _ 1 2 ——► 0 0 1
_ 0 0 4 _ 0 0 0_
得A = 2的特征向量a\ = (1,—2,0)丁，
-r
-1 2 2 0-
由(一E-A)= -2 -4 2 0 0 1
_ 0 0 1 - J) 0 0_
-217 -数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
对矩阵B,
由(2E — B)x = 0得人=2的特征向量Pi = (1,0,0)T ,
由(-E-B)x = 0得义=一1的特征向量艮=(-l,3,0)T,
由(-2E-B)x = 0得义=一2的特征向量$ = (0,0,1)T,
~1 - 1 0一 ~2
令 P2 = 邠 2 9p3 ]= 0 3 0 ，有 P7 BP2 = A = -1
0 0 1_ _ 一2_
于是 Pf APi = P7 BP2，得 P2^AP^ = B.
令P = PjPT1，则有P~ AP = B.其中
X
1 0 1 1
一 1 -2 1 _ T -3"
p = PK = -2 1 -2 X =
0 0 -2 -2
T
_ 0 0 -4_
0 0 1_ _ 0 0 -4_
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =—^1
【评注】 由于特征向量是不唯一的，因此可逆矩阵P是不唯一的.本题R中，如用一 a?"
II
一 1 1 1 ] >1
II 替换，可得P = -2 -1 -2 ；R中，如用§形替换,P2就是初等矩阵，求是不是直:
II
II _ 0 0 —4 "
II it
U接有公式了？
II
= = = = = = = = =二二=三
因2020,6题)【答案】D.
【解析】 本题考查P^AP =A的基本知识.P—特征向量,A—特征值.且P与A的位置对应
要正确.
因a),a2是；I = 1的线性无关的特征向量,。3是A =- 1的特征向量.
ri
于是aj+a,不是4的特征向量，排除(A),(C),又对角矩阵A = -1 ，故P中特征向
1
量应当是义=1,人=—1,1 = 1的顺序，排除(B).
+。 ，—。 ，。 中。 +。 与。 是A = 1的线性无关的特征向量，一。 是人=—1的
(D)(O1 2 3 2) 1 2 2 3
特征向量，故应选(D).
、/1解题加速度
1•【解】 A和对角矩阵B相似,所以一 1,2以就是矩阵A的特征值，由
A + 2 0 0
—2 A-x —2 =(义 + 2)[人2 — (x + 1 )A + (x — 2)],
-3 -1 A-1
知A =-2是A的特征值，因此必有了 = -2.
再由；I = 2 是 A 的特征值，知 | 2E — A | = 4[2。一2& + 1) + (了一2)] = 0，得 x = 0.
-2 0 0- -1 一
(H)由于 2 0 2 2
_ 3 1 1_ _ 一2_
・218・第五章特征值与特征向量 ◄
对人=—1,由(一E — A)x = 0 得特征向量 ai = (0,—2,1)丁，
对义=2,由(2E — A)x = 0得特征向量a2 = (0,1,1)T,
对 A =—2,由(一2E —A)x = 0 得特征向量皿=(1 »0, — 1)T ,
-0 0 1 一
那么，令 ［。 ，处］= -2 1 0 ，有 P^ AP = B.
P = 1 02
_ 1 1 -1-
2.【解】 由矩阵A的特征多项式
A——3 ——2 2 ; IA——1 ——2 2
I AE-A |== k A + 1 ~k = 0 A + l ~k = (A-1XA + 1)2,
——4 ——2 A 3 I IA ——1 ——2 A + 3
得到矩阵A的特征值为1, —1,一1.
由于A〜A，那么A =- 1时，矩阵A必有2个线性无关的特征向量，因此n-r(-E-A)=
2，即 r(— E — A) = 1.求出 k = 0.
当义=1时，由(E — A)x = 0得特征向量= (1,0,l)T ,
当义=—1 时，由(—E — A)x = 0 得特征向量 a2 = (― 1,2,0)丁，。 = (0,1,1)T.
3
-1 - 1 0- -1
那么，令P ,。 ，皿］= 0 2 1 ，有 P*" = -1
= ［ai 2
_1 0 1. _ -1-
3.【解】(I)按已知条件，有
A［ai ,。 ，妫］=［。 +。 ，2口 +。 ，2皿 + 3。 〕
2 1 +<»2 3 2 3 3
■1 0 0~
=E«1，口 ，。 〕1 2 2 ,
2 3
_1 1 3_
"1 0 0-
所以矩阵8 = 1 2 2
_1 1 3_
(口)因为。】，。2，<13线性无关，矩阵C=［。】，(12，必］可逆，所以CT AC = B,
即A与B相似.由
A-1 0 0
I AE-B |= -1 A — 2 —2 = (A — 1 )2 (A — 4),
-1 -1 A-3
知矩阵B的特征值是1,1,4.故矩阵A的特征值是1,1,4.
(皿)对于矩阵B,由(E-B)x = 0,得特征向量
1)1 = (― 1,1 ,0)T ,职=(―2,0,l)T.
由(4E-B)x = 0,得特征向量
=(0,1,1)丁.
・219・► 数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
•1 _
那么令P1 =［邛 项 ，邛 〕，有PflBPi = 1 .从而
1 2 3
_ 4_
-1 -
PTCT1 ACP, = 1 ,
_ 4一
■-1 -2 0~
故当 P = CP］ = ,。 ，。 〕 1 0 1 = ［— （X1 +。 ，— 2（X1 +。 ，＜X2 +时，
2 3 2 3
-0 1 1_
"1 -
P~AP = 1 ・
_ 4_
四、实对称矩阵
圆（2010,6题）【答案】D.
【解析】 这是一道常见的基础题，由Aa = Aa ,a #。知Ana = Xna，那么对于
A2 + A = O =＞（A2 + A）a = 0^＞A2 +A = 0,
格 所以A的特征值只能是0或一L
再由A是实对称知，必有A〜A,而A的对角线元素即是0的特征值,那么由r（A） = 3可知（D）
正确.
= = = = = = = = = = = = = = = •= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
” 【评注】 本题难度系数0.774. "
[L = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = sO
函（2010,21题）［分析】 由。为正交矩阵，有=广，因而QTAQ = QT'AQ =A,所以。的
列向量就是矩阵4的特征向量.
A 1 -4 A 4-4 0 -A-4 A + 4 0 0
I AE -A | = 1 A — 3 1 = 1 A — 3 1 = 1 A — 3 2
-4 1 A -4 1 A _ 1 1 A-4
=(A-2)(A-5)(A + 4),
求出矩阵A的特征值为：2,5, —4.
对;I = 5,由(5E —A)x = 0,即
-r
一 5 1 —厂 一］ 2 1「 ―► "1 0
1 2 1 —► 0 9 9 0 1 1
-4 1 5 _ _0 _ 9 -9_ _0 0 0 _
220 •第五章特征值与特征向量
得特征向量血=（1, — 1,1）丁.
对义=一4,由（一4E — A）x = 0,即
'-4 1 -4' ]o r
1 - 7 1 ―> 0 1 0
-4 1 - 4_ .0 0 0_
得特征向量= （—1,。，1）丁.
实对称特征值不同特征向量相互正交，把a2 ,a3单位化，有
r2 = 土（1, — 1,1）丁，为=£（一1,0,1）丁，
5/3 V2
V2
-2
那么可得。= 0 ，则 QtAQ = Q- AQ = 5
_ -4_
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = __" = ’“『
r 【评注】 难度系数0.338.要理解。的列向量就是A的特征向量，通过特征向量来构造I
[方程组求参数是常考的知识点. J 畿
皿（2011,21题）【分析】 本题未给出具体的矩阵A,又需要求A的特征值、特征向量，应当考
虑用定义法= M ,a 乂 0来推理、分析、判断.
【解】（I ）由r（A） = 2知| A | = 0,所以A = 0是A的特征值.又
所以按定义人=1是A的特征值,ai = （1,0,1）丁是A属于A = 1的特征向量；
A =— 1是A的特征值,％ = （1,0, — 1）T是A属于义=—1的特征向量.
设a3 =（幻，互口 3）丁是A属于特征值人=0的特征向量，作为实对称再阵特征值不同特征向
量相互正交，因此
iaTa3 = zi +无=0，
taTa3 =乃一心=0,
解出 a3 = （0,1,0）T.
故矩阵A的特征值为1, — 1,0；特征向量依次为
刈（l,0,l）T,奴（1,0, — 1）T以3（0,1,0）t,其中妇,k2,k3均是不为0的任意常数.
（口）由 A[ai ,az ,a3] = [a】，一a2,0],知
. 221 .数学历年真题全精解析・ ■■（数学三）
F 7
【评注】本题特征值的不同特征向量已经正交，也可考虑用正交矩阵、相似对角化来 II
r 1 ]_
0
V2
..求矩阵A,即令。= 0 1 0 ，则
J_
0
ri
QTlAQ = A = 0
-1
一0 0 r
A = QAQ1 = QAQt 0 0 0 o
_1 0 o_
a ~ c=—1，
a~\~ c = 1,
「
a b c 1 r -1 r
II b — e = 0,
: 当然也可设A= b d e ,由A 0 0 = 0 0 有Y
5 + e = 0,
_c e f_ 1 1_ _ i i_
II
c — f = 1,
c + f = 1,
ro 0 1~
易得 Q = 0,c = l,》= 0,e = 0,/=0.即有 A= 0 d 0 ，再由 r(A) = 2=>d = 0.然后
0 0.
再来求特征值、特征向量.
不要忘记实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一重要定理，由此构造齐次方程
组可求出特征向量，本题难度系数0.534,0. 479,0. 617.
L J
血(2013,6题)【答案】B.
【解析】两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值.
A — 1 — a — 1
I AE-A |= —q k-b -a = A[A2 - (6 + 2)A + 26 - 2a2].
—1 — a A — 1
因为
A — 2
I AE—B | = A — b = A(A — 2)(A — b).
A
由A = 2必是A的特征值，即
I 2E-A |= 2[22 -2(6 + 2) +26-2a2] = 0,
故必有a = 0.
由A = 6必是A的特征值，即| bE-A |=胪一(A+ 2"+ 25] = 0』可为任意常数.
-222 ・《 第五章特征值与特征向量
所以选（B）.
/解题加速度
1.【解】 由矩阵A的特征多项式
A — a -1 -1 A — a — 1 A — a — 1 0
1 AE-A | = _ 1 A-<2 1 —1 X~ a 1
-1 1 A — a 0 a+l-A A — a — 1
1 0
= X — a — I)2 -1 A--a 1
0 一 1 1
= A — a — I)2 (A — q + 2),
得到矩阵A的特征值为；h =a2 = q + 1 ,人3 = a —2.
对于4 = a + 1,由[（a + l）E —A]x = 0,得到两个线性无关的特征向量
ai = （1,1,0）T ,a2 = （1,0,1）丁.
对于；I = q — 2,由[（。一2）£ — 4]》=0,得到特征向量皿=（一1,1,1）丁.
「I 1 _ r
那么，令 】，。 1 0 1 ，有
P = [a 2,03] =
0 1 1 _
a + 1
T】AP=A= q + 1
a — 2
因为A的特征值是a + 1 ,a + 1 — 2,故A — E的特征值是a ,a,a — 3.所以
| A — E | = a2 (a — 3).
r= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =^
11 【评注】由A〜A,知A — E〜A — E,于是 "
ii ii
a
ii ii
: \A — E\ = \A — E\= a = a2 (a — 3), :
" a-3 "
[ 亦可求出行列式| A-E |的值. j
2.【解】（I）对方程组Ax 的增广矩阵作初等行变换，有
_1 1 a ： 1 ' -1 1 Q 1 -
A = 1 a 1 i 1 —> 0 a — 1 1 — a : 0
a 1 1 ! — 2_ 0 1-a 1—a2 i — a — 2_
'1 1 a :1 -
——> 0 a -1 1-a 0 9
0 0 (a — l)(a + 2) : q + 2_
因为方程组有无穷N&解，所以r(A) =r(A) V 3.故 q = —2.
A-l -1 2
(H) 1 AE-A | = _ 1 A + 2 _ 1 =A(A + 3) (A — 3),
2 -1 A —
-223 ・数学历年真题全精解析• (数学三)
所以矩阵A的特征值为"=3,A2 = 0,A3 =-3.
一 2 -1 2 - rl -5 r
当 ,1 = 3 时，由(3E — A)x = 0, _ 1 5 -1 0 9 0
—►
_ 2 _ 1 2 _ _0 0 0
得到属于特征值义=3的特征向量蜀=(1,0, —1)七
-1 -1 2 - 一］ 0 —r
当 A2 = 0 时，由(OE-A)x = 0, -1 2 -1 —► 0 1 -1
_ 2 -1 -1. _0 0 0
得到属于特征值A = 0的特征向量a2 = (1,1,1)T.
-4 _ 1 2 - 一1 0 —r
当 A3 =-3 时，由(一3E-A)x = 0, _ 1 _ 1 -1 —A 0 1 2
_ 2 -1 -4_ 0 0 0 _
得到属于特征值4 =— 3的特征向量a3 = (1, — 2,1尸.
实对称矩阵的特征值不同时，其特征向量已经正交，故只需单位化.
■ 1 ' T ■ 1 -
，应=% o _ 1
0 9 03 —— -2
V3 V6
-1_ X
1 1 ±
V2 V13 726
。 ~3
那么令 Q = (01 ,02 ,03)= 1 V13 761 ，得 Q" = QlAQ =A= 0
一 _ -3
V2 V3 V6
-q 1 - r
3.【解】(I )A = 1 a — 1
-1 - 1 a _
a -1 ] A — a + 1 0 A-a + 1
AE -A | = -1 A — a = 一 1 A — a 1
1 1 A — a 1 1 A — a
A-a + 1 0 0
= —1 X — a 2
1 1 A-a-1
=(A — a + 1 )2 (A — a — 2),
A的特征值为: q — 1,q — 1,q + 2.
A = Q — 1 时，. 《 第五孽特征值与特征向量
A = a + 2 时,
一 2 -1 r 'I 0 r
(a + 2)E — A = -1 2 1 —A 0 1 i
_ 1 1 2_ -0 0 o_
=（— 1，一 1,1 ）丁，
单位化得n =
a~l
Lri
令 p= = P^AP = A = a — 1
. q + 2_
（H）记8 = （a + 3）E — A,B是对称矩阵.因A的特征值是a — l,a — l,a + 2,知B的特征值
4,4,1,故B正定.
PTBP =「丁（a + 3）EP — PTAP
a+ 3 a-1 「4
Q + 3 — a — 1 = 4
Q + 3_ a + 2_ 1_
_2 2 一2 ~2
PTBP = 2 2 ,B = P 2 PTP 2
pt.
L
1. 1_ 1_ 1_
1_
o
V2
_1_ _2_
c = 2
76 V6
1
_x 1
.V3
'5 -1 r
i
-1 5 i
3
.1 1 5_
广……= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
n 【评注】 当人=a-1,求特征向量时，可用常规的(1,0)(0,1)来赋值，则O] = (—1,1, n
II il
"0)丁，。2 =(1,0,1)T.此时a19a2不正交，需进一步用正交化来处理. j
・225・数学历年真题全精解析• MM（数学三）
第六章 二次型
-、：次型的概念与标准形
「a 0 1
||（2009,21题）【解】（I ）二次型的矩阵A = 0 -1 .由于
1 -1 a — 1_
A — a 0 _ 1 1 A -a 0
I AE-A | = 0 A — a 1 () A —a 1
_ 1 1 A-a + 1 - 1 1 A 一 a
A u 0 0
0 A u 1 =(A-a)(A- (a + l))Q-(a-2)),
-1 2 人—q + 1
所以A的特征值为义 =。,人 Q + 1 ,义 Q — 2.
1 2 = 3 =
（口）因为二次型/的规范形为泌+展，说明正惯性指数力=2,负惯性指数q = 0,那么二次型
矩阵A的特征值为+,+,0・
显然 q — 2VqVg + 1,所以必有a = 2.
li== = = - = = = = = = = = = =: = = = = = = = = - = = = = = = = = = = = = = = ~~ = ~=: = ==i]
: 【评注】 本题难度系数0.495,0.492,0.516. :
: 只要求出特征值，或者知道特征值的+,—,0,就有了正、负惯性指数，也就可写规范形，
:当然也有配方法这条化标准形的路，但本题用配方法不合适. ：
虹= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =」』
❷（2011,13题）【答案】3奔
【解析】A的各行元素之和为3,即
21】 + <212 + Q13 =3, Sil Q12 □13 T 「3「 ~r m
Q21 + a2z + Q23 =3,=> 。 21 。 22 口 23 1 = 3 =>A 1 =3
jJ
Q31 + a32 + Q33 =3 -口 31 心 32 Q33 - _1_ _3 一
所以人=3是A的一个特征值.
再由二次型Ax的秩为If （A） = 1=>A = 0是A的2重特征值.
因此，正交变换下标准形为：3#.
「 【评注】 难度系数0.43. :
『 , = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =....................= = = = = = = = = = = =』
0（2012,21题）【解】（I）因为rGVA） = r（A）,对 施以初等行变换
A
-1 0 1 一 'I 0 1 -
0 1 1 0 1 1
—>
-1 0 a 0 0 q + 1
_ o a _ 1_ -0 0 0 _
. 226 .第只童二次型 <4
所以当a =— 1时,r(A) = 2.
~2 0 2一
(口)由(I )知 ATA = 0 2 2 ，那么
_2 2 4_
X — 2 0 -2 A——2 2——A 0
I AE-ATA | = 0 A--2 -2 = 0 A — 2 — 2
-2 — 2 A-4 —2 -2 A-4
A — 2 0 0
0 A --2 -2 =A(A — 2) (A — 6),
-2 — 4 A - 4
矩阵AL4的特征值为0,2,6.
对；I = 0,由(0E-ATA)x = 0 得基础解系(一1, 一 1,1)。
对;I = 2,由(2E-ATA)x = 0 得基础解系(一 1,1,0)丁，
对入=6,由(6E-ATA)x = 0得基础解系(1,1,2)T.
因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化
Yi
了
1
那么令 0 2 展 + 6乂.
成 」
3
_ V3
F =
【评注】 当然如果直接计算也可行，但计算量是非常大.
0 1 一
一1 0 一 1 0
1 1
二次型矩阵ALi = 0 1 0 a
1 0 a
1 a -1
a -1
2 0
由于中有2阶子式 = 2(l+a2)#0.所以二次型f的秩为20 |疽4 | = 0.
0 1 +疽
又
2 0 1 — a
| ATA | = 0 1+a2 1 — a
1 — a 1 — a 3 + a?
2(l+a2)(3 + a2)-(1 - a)2 (1 + a2 ) - 2(1 - a)2
("1)23 +3),
所以Q =— 1.
难度系数 0. 436,0. 377,0. 408.
==J
・227・数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
fJ（2013,21题）【证明】（I ）记》=（刀，五，了3）『，则
「心一
□ 1^1 + a2x2 + Q3Z3 = &1，工2，％3) =(Q1 ,)
_。3 - _了3 -
类似地们心 + bzx2 + b3x3 — x1 p = p' X.
故 ,Xi ,x3 ) = 2(aiX] + a2x2 + a3-r3 )2 + (们而 + b2x2 + b3x3 )2
=2(xTa)(aTx) + (x'rp)(jJTx)
=xT(2aaT +邵 Dx.
又因2aaT+flpT是对称矩阵，所以二次型对应的矩阵为20«丁+厚七
(D)因a,。均是单位向量且相互正交，有
Aa = (2aaT + flBT)a = 2a(a'a) +P(0「a) = 2a,
Afl = (2aaT+/pT)p= 2a(a3 +阶邛)=fi,
Ai = 2 ,A2 = 1是A的特征值.
又因为aaT,/pT都是秩为1的矩阵，所以
r(A) = r(2aaT + flfiT) W r(2aaT) + r(fl8T) = 2 V 3,
故义3 = 0是矩阵4的特征值.
因此经正交变换二次型f的标准形为2由+责.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -- =『
“ 【评注】下面给出的是当年一些考生选择的方法，当然这样解也是对的. "
: 因为二次型 :
fOi ,x2 ,x3) = 2(句而 + a2Xi +a3x3)2 + (缶心 + b2x2 +b3x3)2 "
II II
1 = 2(aiXi + alXz + alxl + 2axa2XxX2 + 2axa3X\X2 + 2a2a3x2x3 ) "
it ii
+ blXz + bjxl + 2bib2X\X2 + + 2b2b3x2x3) 汁
i， +
" =(2冶+税)安+ (2展+崩)蒙+ (2al +廿)武+2(2ag +缶缶)万血 "
ii ii
" + 2(2〃i代 + 必3)工1工3 + 2(2a2a3 + 缶缶)z2i3， 11
: 所以按定义二次型矩阵 :
2房 + 房 2供 a2 + 版 b2 2axa3 + 缶 b3
2。1。2 H- b\ 1)2 2af +bl 2。2。3 H-缶缶
_2口1 <23 + bi 63 2^2。3 +》2 但 2<23 + 步 _
_ 2a? 2axa2 2口1 口3 ■ bl bxb2 缶 83-
2qi q，2 2q^ 2a2a3 + b\ 62 崩 缶么
_2ai(23 2仁2々3 2al _ b\ ^3 缶缶 _
: 故 A = 2aaT+/pT. ；
难度系数 0. 454,0. 400,0. 426. i
ii
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
0(2014,13 题)【答案】[-2,21
【解析】由配方法可得
fMi ,工2，工3)= + 2azi j：3 + a2 xl —(蒙—4：x2x3 + 4武)+ 4药—a2xl
~ (Xi + az3 )2 —(互—2x3 )2 + (4 — a2 )xl，
因为负惯性指数是1,故4 — q2 20,解出 q e [一2,2].
-228 ・<
第六章二次型
0（2015,6题）【答案】A.
【解析】/在正交变换x = Py下标准形2" +展一乂，意味着A的特征值：2,1，一 1.
又P = M/2档］，说明2,1, — 1的特征向量依次为跖，饥，。3.
由是一1的特征向量，知一。3仍是一1的特征向量，故Q = ，—。3，。2〕时二次型的标准
形为：2yi —境+ yl.应选（A）.
或者，由
_1 0 0- ~1 0 0-
Q =[跖一e3 9e2] 0 0 1 =P 0 0 1
0 -1 0. _0 _ 1 0_
知
一］ 0 0- 'yi ~
x = Qy = P 0 0 1 关 =P )3
0 -1 0. 加一
—y2.
又因二次型，五，工3）在正交变换x = Py下的标准形是2/ +邳一抑，所以f在正交变换
x = Qy下的标准形为：2" +抑—（一力淀，即2y{+yl-yl.
本题难度系数0. 353.
0（2016,6题）【答案】C.
【解析】二次型矩阵
a 1 r
A = 1 a 1
1 1
CL-
由特征多项式
A ~~ a — 1 _ 1
1 AE — A | = — 1 A — a _ 1 = (A — a — 2) (A — a + I)2»
-1 一1 A — a
可知矩阵A的特征值:a + 2,a-l,a-l.
:二甘：所以-2＜心
由p = l,q = 2可知
0（2017,21题）【解】二次型矩阵
2 1 -4-
A = 1 — 1 1
-4 1 a _
由正交变换下标准形是万M +A2^，说明A的特征值为“ ,A2,0.所以
2 1 -4
1 A 1 = 1 一-1 1 =—3(a — 2)= 0
-4 1 a
故 a = 2.
A — 2 — 1 4 A — 6 0 6-A
由 I AE-A | = -1 A + 1 _ 1 = — 1 A+1 -1
4 -1 A — 2 4 — 1 A — 2
. 229 .数学历年真题全精解析.
(数学三)
A - 6 0 () I
= —1 A + 1 2 ； = A(A + 3)(A — 6) = 0,
4 - 1
得矩阵A的特征值：6,—3,0.
由(6E-A)x = 0得基础解系外=(1,0, — 1)丁，即;I = 6的特征向量.
由(一3E —A)x = 0得基础解系。 = (1,-1,1)T,即人=-3的特征向量.
2
由(0E — A)x = 0得基础解系a3 = (1,2,1尸，即义=0的特征向量.
因实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化，有
71 =
那么 Q = L/i，为，为］=
xTAx = yTAy = 6" — 3展.
lp,= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
' 【评注】 本题难度系数0. 574,0. 485,0. 539.
五一 *2 + 血=0，
Q（2018,20 题）【解】（I）平方和 /（zi ,丑,a）= O0y x2 +%3=0,
①
Xi + oz3 = 0.
1-11
由 0 1 1=q — 29
1 0 Q
如果a # 2,①只有零解，即/（X19x2 = o只有零解，X = 0.
_1 — 1 r 一1 0 2~
如果Q = 2 , 0 1 1 ―► 0 1 1
_1 0 2_ 0 0 0_
①基础解系为(-2,
故f (工1，互，丑)=0的解为x =奴一2, — 1,1)丁以为任意常数.
(II)当Q尹2时，
yi =心一血+无，
令＜ 费= Z2 + ^3，
$3 =二1 +皿3，
1-11
因0 1 1尹0,②是可逆坐标变换.
1 0 Q
f (工1 ，^3)的规范形为yl +展+w；・
・230・第穴章二次型
当a = 2时，
f —(Z1 — )2 + (0 + )2 +(J71 + 2%3 )2
=2xi + 2^2 + 6武—2xiX2 + 6©了3
=2卜* — a-] C.r2 — 3工")+ j(心—3^3)' ]+ 2药 + 6成一§(72 — 3y = 0z有z = QPy, “
ii ii
从而x = 0QPy而得Q = Q\Qix亦可. "
ii
IL = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — - = = = = = = = = ■ =
[g（2021,5题）【答案】B.
1 1 0 1 1 0 31 = 11+^2，
【分析】因为 0 1 1 = 0 1 1 =0,所以V >2 = 皿+]3，不是坐标变换
-1 0 1 0 1 1 )3 =— +x3
/ = ^? + 2xxx2 + 蓦 + + 2x2x3 + xl —药 + 2%皿一
=2x1 + 2j：i jc2 + 2x2x3 + 2x^3.
由①配方法 f = +^2(工1 +l3)2 +§(Z1 +rC3)2]— §(11 +孔)2 + 2心 JC3
.1
+ ~2^3 —&i —x3)2.
~o 1 r
或②特征值法 A= 1 2 1 ,
_1 1 0.
X -1 -1 A + 1 0 -1-A A + 1 0 0
_ 1 A — 2 _ 1 = -1 A — 2 -1 = -1 A — 2 -2
-1 -1 A _ 1 _ 1 A -1 -1 义一 1
=(A + 1)(A2 -3A).
可得特征值为3,-1,0.因此都有p =、q= 1，故选(B).
■3 0 r
曜(2022,21 题)【解析】(I )*/ = 乂丁仙，x = 6 口2，%3)丁，A = 0 4 0
_1 0 3_
3 — A 0 1
I A-AE |= 0 4-A 0 = (4-A)(A-2)(A-4),
1 0 3 — A
A的特征值为人i = 2,义2 =义3 = 4.
先求解(A-2E)x = 0.
1 0 r ri o ii
行初等变换
A-2E = 0 2 0 0 10
_1 0 i_ 0 0 0_
-r
(A-2E)x = 0 的通解为 x = b 0 .令怯=(一1,0,1)丁.
_ 1 _
再求解(A-4E)x = 0.
・ 232 -第六章二次型
(A —4E)x = 0的通解为
X =
令& = (0,1,0)T ,§2 = (1,0,l)T ,易见 & ,& 正交.
-r
0 显
72
4
令 Q= [rrrmE 1 0 o
1 JL_
0
V2.
再令 x = Qy ,y = 3i，丁3)丁，
则，=xTAx = 4 捎 + 4 展 + 2yj =g3i，％，必）为标准形.
(U )x 尹 0 时，y = QTx 尹 0(若 y = 0,则 x = Qy = 0).
因 xTx = (Qy)T(Qy) = yTQTQy = yTEy = yTy # 0
f(x) = g(y) = 4" + 4展 + 2摇 > ?
K 一 77 一 M+展+乂 -
取yi = y2 = 0,j/3 = L可得手号=2.
所以史堂=2.
/解题加速
'1-a 1 +a O'
次型矩阵A = 1 + Q l~a 0，由于二次型的秩为2,
_ 0 0 2_
1 — a 1 + Q
即r(A) = 2,所以有| A | = 2 =—8a = 0,得 q = 0.
1 + G 1 — a
A-1 -1 0
(H)当 Q = 0 时，由 |AE—A| = -1 1-1 0 =A(A — 2)2 = 0,
0 0 A — 2
知矩阵A的特征值是2,2,0.
-1 一 1 0- 「1 -1 0_
对 A = 2,由(2E — A)x = 0, -1 1 0 f 0 0 0 ,
, 0 0 0_ L0 0 0_
得特征向量Oi = (1,1 »0)T ,a2 = (0,0,1)T.
-1 -1 0 ■ ~1 1 0'
Ma =0,由(0E — A)x = 0, -1 —1 0 ―► 0 0 1
_ 0 0 -2_ 0 0 0_
-233 -数学砰真墨至萤堕定"> （数学三） 》
得特征向量«3 = （1 , — 1,0），
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
y, = -i（l,l,O）T,y2 = （0,0,l）T,y3 = 土（1, —1,0）七
72 V2
rx o -i］
V2 72
令Q =［为，？2，为］=JL 0 _J_，那么，二次型/在正交变换X = Qy下的标准形为
a/2 V2
_0 1 0
/（^i 口2 ,%3）= 2yj + 2博.
（皿）（方法一）由（□）知，在正交变换x = Qy下/&】，互口3）=。化成2^+2展=0,解
之得丁1 = 0，了2 = 0，丁3 = t（t为任意实数），从而
n
h
X = Q ° =［为，形，为］0 = “3 =武1, — 1 ,0）T ,
即方程，（e，Z2 口 3）= 0的解是奴l,—l,0）T以为任意实数.
（方法二） 由于 /Xzi ,及，二3）=薪 + + 2x1 + 2*1 五=（zi + 互尸 + 2x1 = 0,所以
的 +二2 =0，
1^3 = 0,
其通解为X =奴一1,1,0）丁，其中k为任意常数.
F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =j］
II 【评注】本题的前两问是常规题，也是常见的，只要按步骤处理即可，要注意对（HI） n
ii ii
"的理解，本题难度系数0.563. "
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — =』
2.【分析】 本题已知二次型在正交变换下的标准形就是已知矩阵A的特征值，而0的列就是
A的特征向量，现在的问题是如何求出A的所有线性无关的特征向量？反求出矩阵A?
【解】（I ）二次型xTAx在正交变换x = Qy下的标准形为斯+展，说明二次型矩阵A的特征
值是1,1,0.又因Q的第3列是（亨,0,乎），说明。3 = （l,o,1）T是矩阵A关于特征值人=0的特
征向量.因为A是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交.设A关于A =A2 = 1的特征向量为
a =（11 ,了2，工3）丁，则。丁。3 = 0,即 11 +工3 = 0.
取。1 = （0,1,0）T,a2 = （— 1,0,1）T,那么 ai ,a2 是人i = A2 = 1 的特征向量.
由 A［ai ,a2，皿］=Lai »a2,0］有
A = ［ai ,a2,。2 ,%］一1
1
1 01 X
0
ro _ 1 o- 2 2
0 0 0 1 0
1
0 1 0_ 1
0
2 2
・ 234 -第六章二次型
（U）由于A + E是对称矩阵,且矩阵A的特征值是1,1,0,那么A+E的特征值是2,2,1.因为
A + E的特征值全大于0,所以A + E正定.
广* = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n『
" 【评注】 本题也可把at ,a2单位化处理（它们已经正交）构造出正交矩阵。，即 "
「 1 in
II 0 — II
II V2 V2 ~1 _ II
II II
"Q = 1 0 0 ，则 Qr'AQ = eTAg = 1 ・于是有A = QAQT = •••. "
II ii
0 1 1 . 0_
II ii
击 ii
:因为在（I）中已求出矩阵A,那么计算A + E的顺序主子式△】=*,& = 3,d = 4全大:
:于0也可证出A + E正定. :
: 本题综合性强，知识点多，复习二次型一定要搞清二次型和特征值知识点之间的衔接:
；和转换，难度系数0.385. ＞i
IL = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ JJ
3.【解】（I ）二次型，经坐标变换x = Py成二次型g,故f和g有相同的正、负惯性指数.因g
=（了1 + 力）2 + 4共知力=2 ,q = 0.
于是二次型f的正惯性指数P = 2,负惯性指数为0.
因二次型了的矩阵
-1 a a~
A = a 1 a .
a a 1.
由 | AE—A | = （A-l-2a）（A-l+a）2.矩阵 A 的特征值：1 - a, 1 - a, 1 + 2a.
1 — Q > °， 1
从而 故Q
1 + 2q = 0, T
(II)由配方法/ =若+隽+房
—XXX2 — 了1了3 —工2丑
始—2xi (+ -|-^3
弱 + — x2 x3 — + X3)2
1 1 2 +沁-3,
© — ~2X2 — ~2X3
1 1
1 1
Z1 =©_万互一
21
令＜ =务-V3 即 二2 = 0 1
Z2
= 工3, 1^3
以3 0 0 1_
有 f = zl
空1 = 3^1 + >2 » Z1 一1 1 0- &
再令＜ 切= 2* ,即 = 0 0 2
>2
、知 =yi, 之 3, _1 0 0_ 93’
则有了经坐标变换x =Py,
-235 ・数学历年真题全精解析.■■（数学三）
得g = " +邳+ 4法4- 2少yz・
lp-_~~ = = = = - = - = = = = = = = = ^- = = = = = = = = = = = = -：s~~ = = = = = = TT=?l
|| 【评注】 坐标变换x = Py是不唯一的. 11
== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
4.【解】(I )/ = if + 4蒙 + 9xi + 4iiZ2 + 6jciX3 + 12x2x3
=XTAX , X = &1 口 2 ,Z3)T.
-1 2 3'
f的矩阵A = 2 4 6.
.3 6 9_
1 — A 2 3 1 — A 2 3
+ 皿
(—2)ri
(n)1 A-AE 1 = 2 4-A 6 2A ——A 0
3 6 9 — A 3 6 9 -A
=-A2(A-14),
A的特征值为义i = A2 = 0,A3 = 14.
先求解(A-OE)x = 0,即 Ax = 0,
ri 2 3] ri 2 3]
行初等变换
2 4 6 0 0 0
_3 6 9_ 0 0 0.
-2- 3一
Ax = 0的通解为x = k} 1 + k2 0 ,kl9k2为任意常数.
o J L 1
令& = (― 2,1,0)丁，& = (—3,0,l)L下面将&正交规范化.
令队=& = (― 2,1,0)丁，
r- 31 r- 2i
==§(-3,-6,5)T.
再求解(A - 14E)x = 0.
1
1 0
-一 13 2 3 _ 3
行初等变换
A-14E = 2 一10 6 2
0 1
I
_ 3 6 -5_
0 0
(A-14E)x = 0的通解为x
236 -第六章二次型
令 03 = (1,2,3)，
r-2 -3 1 1
•714
75 ^70
A A ]_ J_ -6 2
令。= MM 概 II ，Ms IIJ V5 770 a/14
5 3
0
714 J
^70
再令x = Qy ,则r&i ，^3） 化为标准形
g（jyi,% >3^3）= 14点
（皿），&1 ,互，^3）= g31 ,丁2， 丁3）= 14况 0,即 ys 0.
'-2
0
V5. 75
•Z1
-3 —6 5
由 x = Qy，可得 y = QTx = 工2
770 a/70 /70
1 2 3
/IT yii.
费=—二（4 + 2互+ 3亚）=0的解为
/14
--2- --3-
x k) 1 + k2 0 ，知德2为任意常数.
_ 0 - -1 _
二、二次型的正定
、/1解题加速度
1.【答斜 （-V2，V2）.
2 1 0-
【解析】二次型了的矩阵A = 1 1 —
2 /正定0A的顺序主子式全大于0.
0
2
= 1,A3=|A|=1 — -i-t2 > 0,
△i = 2, A2 =
所以一V2 0,
即 Vx^O,恒有（Bx）tA（Bx） > 0,即 Vx 尹 0,恒有 Bx #： 0.
因此，齐次线性方程组Bx = 0只有零解，从而r（B） = n.
充分性.因（BtAB）t = BtAB 为实对称矩阵，
. 237 .数学历年真题全精解析• ■■(数学三)
若r(B)="，则齐次方程组Bx = 0只有零解，那么Vx尹0必有Bx尹0,
又A为正定矩阵，所以对于Bx尹0,恒有(Bx)TA(Bx) > 0,
即当x尹0时,xT(BTAB)x> 0,故"AB为正定矩阵.
「 【评注】本题的证法很多.例如，利用秩的定义和性质可证必要性.
由 BrAB 是〃阶正定矩阵，知 n = r(.BTAB) < r(B) min(m,n) < n. ”
II
: 所以r(B) = n.(请说出上述每一步成立的理由) :
" 本题充分性的证明也可以用特征值法： "
II II
” 设;I是BTAB的任一特征值,a是属于特征值；I的特征向量，即(BTAB)a = Aa,用a"左*
I,乘等式的两端有(Ba)TA(Ba) = AaTa.因为秩r(B) = n,a # 0,知Ba尹0以及a「a = „
:|| a || 2 > 0,又因4正定，故由 :
" AaTa = (BaT)A(Ba) > 0, "
:得到A > 0,所以BTAB正定. :
: 本题证法虽很多，但得分率却是当年数学一中最低的，人均仅0.78分，但是区分度高，:
:反映出优秀考生解本题并不困难.对于定义法，对于各概念的衔接与转换是考生复习时应:
“当注意的. ，，
『===================一 ==================_ = = = _』
3.【证明】 因矿=(AE +ATA)T = AE +ATA = B,故B是"阶实对称矩阵.构造二次型xTBx,
则 xTBx =
xt(AE + AtA)x = Axtx
+ xTATAx = XxTx + (Ar)T(Ax).
V x 乂 0,恒有 xTx > 0,
(Ax)T(Ax)
法 0.因此，当义>0 时,V x 0,有
xTBx —
Axtx
+ (Ax)TAx > 0.
二次型为正定二次型，故B为正定矩阵.
F= = = = = = = = = = = = = = - = = = = - = = = = = = = = = = = = = = = =7
: 【评注】这是数学三当年全卷得分率最低的一道题，得零分者占62%,得满分的不足：
« 3%,人均仅1. 1分.反映出考生对正定矩阵的性质及判别法不熟悉，对于用定义法证明及内"
"积aTi
: 你能否用B的特征值全大于0来证明矩阵B是正定矩阵？提示：定义法. ：
= = = = = - = - = _ = = = = = = = = = = = = = = = = = _ = = = = =
4.【解】 由已知条件知，对任意的Xi ,X2 , ,X„ ,恒有口2 ,…，工„) 2 0,其中等号成立的
充分必要条件是
'X\ + Qi 皿=0 ,
+ Q2Z3 = °，
v : ①
^n-1 + QlT” = 0,
n” + anxx = 0,
根据正定的定义，只要X # 0,恒有xTAx > 0,则xTAx是正定二次型.为此，只要方程组①仅有零
解，就必有当X 乂 0时，幻+右12，了2 +。2工3，…恒不全为0,从而/(^1 ,%2，…，1”)> 0,亦即/'是正
・238・第穴章二次型
定二次型.
而方程组①只有零解的充分必要条件是系数行列式
1 Qi 0 …0 0
0 1 a2 0 0
0 0 1 — 0 0
= 1 + (— 1)+。1(22 …G” 尹 0, ②
::: ::
0 0 0 1 a—
Q” 0 0 …0 1
即当。1口2丰（—D"时，二次型/（X1 ,血，…，乃）为正定二次型.
『= = * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
" 【评注】 本题考的不好，得分偏低，还是对二次型正定的理解上有问题.由二次型/■正"
II II
“定转化为齐次方程组只有零解，进而转换为7?阶行列式的计算，如果方程组①多写几个方"
II II
II程，行列式②多写几行、多写几列，计算时可能会少许多无谓的差错. "
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ■ = = = = = = = =』
T
-Em -A'C' -Em O -
5.【解】 （I）因为= ，所以
-O En - CT AT En-
（口）因为D是对称矩阵，知PTDP是对称矩阵，所以B-CTA~ C为对称矩阵.又因矩阵D与
-A O 1 「A O 1
小,合同，且D正定，知矩阵 丁 ,正定，那么，V 尹0,恒有
-O B €•"€•」 LO B -CTA CJ LyJ
（ o,yT ） A O ］「O-
=yT(B-CTA~1C)F> o,
-O B -CTA-1cJ Ly.
所以矩阵B-CTA~ C正定.
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 『
n 【评注】对于抽象的二次型，其正定性的判断往往要考虑用定义法，另外不应忘记首||
''先要检验矩阵的对称性.本题考得较差，难度系数仅0. 259. 11
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
，合同矩阵
解题加速度
X* 同皿与5相同的正惯性指数,及相同的负惯性指数.而正颂）惯
・239・数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
性指数的问题可由特征值的正（负）来决定.因为
A-1 -2
I AE -A | = =(A — 3) (A + 1) = 0,
-2 A-1
故力=1 ,q = 1.
A-1 2
本题中（D）的矩阵，特征值为 =(A — 3) (A + 1) = 0,故力=l,g = 1.
2 A-1
所以选（D）.
F" = =il
ri 21 1 -2n
【评注】本题的矩阵A = 不仅和矩阵 合同，而且它们也相似，因为它
L2 1」 -—2 1
「3
们都和对角矩阵 相似.
-1J
2 .【答案】A.
【解析】 由于I AE—A | = A4-4A3 =0=>A的特征值为4,0,0,0.又因A是实对称矩阵,A必
「4
0
与对角矩阵 相似.所以A与B必相似.
0
0
因为有相同的特征值，从而二次型FAx与WBx有相同的正、负惯性指数，从而A与B亦
合同.故选（A）.
3.【解】（I）因为人=3是A的特征值，故
3 -1 0 0
-1 3 0 0 3 -1 3 — 丁 -1
I 3E-A | • =8(2 — y) = 0,
0 0 3 — J/ -1 -1 3 -1 1
0 0 -1 1
所以）= 2.
0 0 0'
0 1 0 0
(n )由于 AT =A,要(APVCAP) =PTA2P = A,而妒 是对称矩阵，故可构造
0 0 5 4
0 0 4 5
二次型xTA2x,将其化为标准形yTAy.即有与A合同，亦即PTA2P = A.由于
xTA2x =T\ X2 5^3 + + 8j?3 J：4
一 — 心 一 2 + 蒙 + 5 (z； + -yx3 + 祭)+ —
'+却
0
-240 ・第六章二次型
那么，令少=©，力= 点 =飞 ，、 ，即经坐标变换
*2 3 3 + £^4 4 = 0
□
~1 0 0 0 - 一 _
Z1 yi
0 1 0 0
© — yz
_ 4
工 3 0 0 1 _亏 *
-•^•4 _ 0 0 0 1 _ )4 _
有 xTA2x = M +展 + 5况 + ^-yl.
□
■1 0 0 0 ■ _1 _
0 1 0 0 1
所以，取 p = ool —4 ，有( AP)T(AP) =
PtA2P =
5
5
£
0 0 0 1 _ T_
-241MKi 》
数学历年真题全精解析• (数学三)
第三部分概率论与数理统计
第一章 谶机事件加梢L率
-、事件关系，概率性质和五大公式
|](2009,7题)【答案】D.
【解析】A与B互不相容，即有A 口 B = 0,选项(B)是A与B相互独立的定义，如果A与B
为对立事件(C)就成立，所以(B)(C)均不成立.
至于P(区A B) = 1 —F(A U B)在A n B = 0时不能保证F(A U B) = 1,(A)也不成立,
成根据排除法原理，答案必为(D),当然我们也可以直接推导(D)成立.
A n B = 0,P(A U B) = F(AB)= 1 — F(A A B) = 1-P(0) = 1,(D)成立，
答案应选(D).
日(2012,14题)【答案】乎.
【解析】A与C互不相容，即有CO A,当然更有CZ) AB,所以
P(ABC) P(AB) = Z = _!
P(AB | C)=
F(C) i-p(c)~ T ~ T'
T
0(2014,7题)【答案】B.
【解析】A与B独立，则A与百独立，石与B也独立，而A — B = AB,B-A = B石可用独立
性来计算.
P(A-B) = P(AB) = P(A)P(B) = 0.3,即 F(A) • 0. 5 = 0.3,所以 P(A) = 0.6；
P(B — A) = P(BA) = P(B)P(A) = 0.5 X 0.4 = 0.2.
0(2015,7题)【答案】C.
【解析】 由于AB (Z (A U B),故F(AB) F(A),即 > P(A),P(AB) > P(A)P(B).
r\D)
同理:P(区| B) > P(A)等价于P(再百)> P(A)P(B),又等价于
1 — P(A U B) > [1 —F(A)][1 — P(B)],
即 1 — P(A) —P(B) + P(AB) > l-P(A) — P(B) + P(A)P(B),
也就有 P(AB) > P(A)P(B),所以 P(A | B) > P(A)成立.
「(竺) P(A) — P(AB) "(AB) P(A) — P(AB)
(PC()A | B) > P(A | B) =
P(B) 一1 — F(B)一'即 F(B) > -l-F(B)-
也就有 P(AB) -P(AB)P(B) > P(B)P(A) - P(B)P(AB),即 P(AB) > P(A)P(B),
乌瑛 > P(A) ,P(A | B) > P(A)成立.
(A)(B)(C)三个均非假命题，答案应选(D).
(方法二)(D)F(A | A U B)>F(A | A U B)即尸(咒％)> 尸偌缁),
等价于 P(A) > P(B) 一 F(AB).
这并不能推出F(A) > P(B),答案选(D).
(方法三)(D)F(A | A U B) > P(石 | A U B),令入=8,
F(A | A U B) = P(A | A) = 1 > P(A | A) = 0,
即(D)给条件成立，但结论P(A) > P(B) = P(A)不成立，选(D).
[U(2022,16题)【答案】
丝-旦此思- 荣。6 = (栏 。)
【解析】 P(B U C | A U B U C)= P £ Y p g . J
P(A U B U C)
P(B) + P(P — P(BC)
1 + 1 _ 1 1
耳+耳耳乂耳 =旦
1,1,1—n—1 y 1—ZT7 _ ~8'
T + T + T_°_TXT_O + O
、/1解题加* 鹫 .
1.【答 _
【解析】'当P(C) < 1,P(AC) > 0时，用反证法，如果花与「独立，即AC与C独立,
P(AC A C) = P(AC)F(C),
也就有F(AC) = P(AC)P(C),即P(C) = 1,这与题设矛盾.
答案应选(B).
. 244 .《 第一章随机事件和概率
F== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==『
" 【评注】(1)相互独立的随机事件Ai,Az,“・,A,,中任何一部分事件，包括它们之和，差，"
II II
"积，逆等运算的结果，必与其余的另一部分事件或它们之和，差，积，逆等运算的结果都是相互■'
II II
II独立的
II
: 因此(A)(C)(D)三对事件必为相互独立. :
: (2)原题中的条件0 0,否则当F(AC)=:
"。时，AC与任何事件都独立. "
Il I
" (3)如果仅有条件0 VF(C)<1,本题可改为：设A,B,C是三个相互独立的随机事件，"
■I 11
"且0 ' 因为 P(A) = 0 时，P(AB) < F(A),所以 0 = P(AB) = P(A)P(B). "
li H
(2)凡是概率等于1的事件必与任何事件独立. ||
.i
li _ _ n
I 因为 P(A) = 1 时，F(A) = 0 ,P(AB )=0.所以 "
: P(AB) = P(AB) + P(AB) = P(B) = P(A)P(B). :
二、古典概型，几何概型和伯努利概型
[g(2016,14题)【答案】音.
【解析】 本题为古典概型，用概率公式F(A) =竺.
n
n计算：恰好取4次停止，每次取球有3种不同颜色，又是有放回的，所以总的情况n = 34.
m计算：先考虑第4次的颜色，这颜色一定与前3次的不同.前3次必定已有且仅有2种不同颜
色,这样第4次抽到第3色才凑够3种颜色，总之第4次有3种可能，前3次由其余2种颜色构成,
其总数为每次有2种可能，3次有23 = 8种可能，扣除3次同一色共2种，所以前3次由2种不同颜
色构成共有8 — 2 = 6种可能，所以m = 3 X 6 = 18.
. 245 .►数学历年真题全精解析（数学三）
P( — — 2
P(A) 一 34 一〒
/解题加速度
【答案，
【解析i P(A | B)=罕畿 =1,得到F(AB) = P(B),根据加法公式有
P(A (J B) = P(A) + P(B) 一 P(AB) = P(A)
答案应选（C）.
-246 ・第二章随机变量及其分布 <◄
笫二章 随机吏量攻矣分布
d(2010,7题)【答案】C.
【解析】 根据分布函数的性质P {X = z} = FS)—FO —0),不难计算P{X = 1}的值.
P{X = 1} = F(l)-F(l-0) = 1 —广 一! = § —
乙 u
所以答案应选(C).
日(2010,8题)【答案】A.
【解析】根据密度函数的性质：「：/(.)& = 1 ,以及正态分布和均匀分布的性质，可以求出
a/应满足的条件.
「+ 「+
r+oo ro 8 po 8
1 = /(jc)dj; = afi + bf2 = a + 6
J
f2 Cjc)Ajc.
J —oo J ■- OO J 0 J —oo 0
/,(X)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在X = 0处，故j°^/1(x)dx = y.
f&)为[一 1,3〕上均匀分布的概率密度，即
!，3,
E)= < 4
• 0, 其他.
[f2 (z)& = f Mdz = 所以 1 = a • + 6 • g,即 2a+ 36 = 4.答案选(A).
J o Jo 4 4 Z 4
Q (2013,7题)【答案】A.
【解析】 因为Xi〜N(0,l),所以
Pi = P{-2 < X】< 2} = 0(2) 一 0(- 2) = 2①(2) — 1.
因为X2〜N(0,22),所以
Pz =P{—2 20(1) 一 1 =仑，
又因为1) —一 1) > 68%,所以
p2 = 0(1) -0(-1)>0.5 >0(-1) >虱一1) 一中(一 §)= p3.
・ 247 -数学历年真题全精解析• （数学三）
故Pl > p2 > p3，所以应选（A）.
Q （2018,7题）【答案】A.
【解析】 因为f（l+z） = /（1-x）,所以概率密度函数，（工）在工=1处对称.
（方法一）用图形表示
根据对称性 P{X < 0} = P{X > 2} = 6 = 0. 2.答案应选(A).
f+oo ro 「2 「+8
(方法二)1 = = ，(])&+ f(x)dx + y(x)djc
J —8 J —OO J 0 J 2
Lr+oo ro r+oo
f(x)dx + 0. 6 + fCl+t')dt= /(x)dx + 0. 6 + /(I — t)dt
J
1 J —8 J 1
ro r-oo co
= /(x)dx + 0. 6 + /(5)d(— s) = 2 /(x)dx + 0. 6,
J —8
J 0 J —OO
所以 P{X V 0} = j f(x)dx = 0. 2,答案应选(A).
0(2019,8题)【答案】A.
【解析】X,V独立且都服从正态分布N"),则(X,Y)必为二维正态分布,X-Y服从
N(0M)分布，可以推出P{| X-Y |<1)与“无关，只与/有关.
p{\ x-y |< 1} = P{-i 0
f Fx ( v) , y > 2
答案应选(D).
. 249 .>
数学历年真题全精解析• ■■（数学三）
%三章 多修随也更童分布
-.（x,y） x
的概率分布， 与丫相互独立性
□（2009,23题）【分析】 有放回地取两次，每次一个，共取到两个，每次可能有6种，共有36
种可能，求概率只要把符合条件的可能性列出就可以了.
【解】 (I )P{X = 1 7_ f{x = i,z = o} _ p{x = i,y = 1}
_P{Z = 0} P{Z = 0)
1X 2 + 2 X1
36 = ±
3X3 ~9
36
移七余。} =
也可以有 F{X = 1 | Z = 0} = P* i & ] 3 = A.
— T x T
或者用缩减样本空间方法：
Z= 0,即已知两次都没白球的条件下，只能取红、黑，总的可能为3X3 = 9
£
1X 2 + 2 X1
P{X = 1 Z = 0}
3X3
（U）首先确定x与丫的取值范围为 o,i,2,p{x = o,y = o}=
同理可求得
X
0 1 2
3X3 3 X 2 + 2 X 3 2X2
0
6X6 6X6 6X6
1X 3 + 3 X1 1X 2 + 2 X1
1 0
6X6 6X6
1 X 1
2 0 0
6X6
0（2011,7题）【答案】D.
【解析】 验证函数fs 是否为概率密度，一般地说有两种常用方法:
满足是概率密度的充要条件/（x） > 0和「"/（x）dx = 1.
• 250 -第三章多维随机变量的分布
(2)/(^) = F'(z)或者/(z)dj = F(z),而 F(x)为分布函数.
由于Fi(^)与F“工)均为分布函数，显然FJQFzGr)也是分布函数，而
[Fj (j?)F2 = fi (j:)F2 (z) +，2(z)Fi (z).
故答案应选(D).
g](2013,8题)【答案】C.
【解析】P{X + Y=2} = P{X= 1,Y= 1}+P{X = 2,Y = O}+F{X = 3,Y=—1}
=p{x= i}p{y= i} + p{x = 2}P{y = o} + p{x = 3}P{y=—i}
— + — + — )= —
4 8 8 / 6 *
所以答案选(C).
曰(2015,14题)【答案】j.
【解析】(X,Y)〜N(l,0；l,l；0),所以X与Y相互独立，且X〜N(l,l)，丫〜N(0,l),也就
有(X—1)〜N(0,l)与Y相互独立.
再根据对称性 F(X-1 <0) = P(X-1 >0} = P{Y<0} = P{Y>0} =
不难求出P{XY —丫〈0}的值.
P{XY-Y<0} = P{(X-l)Y<0}
=P{X — 1 < 0,Y> 0) +P{X - 1 > 0,Y< 0)
=P{X-1 <0}P{Y>0} +P{X~l>0}P{Y<0)
§(2019,22 题)【分析】(I )Z 的概率密度 fz(z) = F；(z),而 Fz(z) = P{Z^z} = P{XY
< z}.
1 — e-x , 1 > o, y
X 〜/(a:)=
0, YO, p i-p
(n)X与Z不相关等价于Cov(X,Z) = 0,可以从Cov(X,XY) = 0,定出p.
(in)x与z是否相互独立？独立必定不相关，只要将从(n)得到的 值代入，验证是否满足x
p
与Z独立的条件：P(X〈z,Z0.
(U)Cov(X,Z) = Cov(X,XY) = E(X2Y)-E(X)E(XY) = E(X2)E(Y) - (E(X))2E(Y)
={E(X2)-(E(X))2}E(Y) = D(X)[-^+(l-/>)] = D(X)(1 —2力).
・251・数学历年真题全精解析• ■■（数学三） 》
当 p = =•时，Cov(X,Z) =0,X 与 Z 不相关.
(ID)可以判断X与Z不相互独立.因为
P{X v = F{X V bXY 1}
=P{Y =- 1}P(X< 1,XY <- 1 | Y =- 1}
+ P{Y = 1}F{X V 1,XVW—1 I Y = 1}
=”.p{xvi，— xw—i I Y=—i} + (i —》)P{xO,P{Z<-1} > 0.
所以 P{X V 1，Z<—1}丈 P{X< 1}P{ZV—1},X 与 z 不相互独立.
「= = = = = = = = = * = = = — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
=7
" 【评注】 也可以证明F{XV1，Z<1} = P{XV1}P{ZM1}不成立，即X与Z不独"
II II
“立.因为丫取值为1或一1,所以“事件”(x v 1)u(xy< 1)= z= 1. "
: 即 P{X V 1，Z v 1} = P{X w 1,XY V 1} = P{XW 1}. :
: 如果 P{X V 1,Z V 1} = F{X V 1}P{Z< 1}, 1
: 则有P{Z v 1} = Fz(l) = 1,这是不可能的. ：
L= = = = = = = n = = = , = = = = = = = = = - = -- = = = = = = = = = - — = = = = = = =』
0(2020,8题)【答案】C.
【解析】(X,y)〜N(0,0；l,4； — 土)，则 X 〜N(0,l),V 〜N(0,4).
C^1X，22-
= P =-^,^DX = 1，7DY = 2,所以 Cov(X,Y) =-l.
yox VDY 2
D(X + Y) = DX+ DV+2Cov(X,Y) = 1 + 4-2 = 3,
D(X-Y) = DX+DV—2Cov(X,Y) = 1 + 4 + 2 = 7,
所以(A)D 峰(X + Y)］=§,(B)D 悟(X7)
［争 X + Y) =1,(D)D［争 X-Y) 7_
(C)D
J'
答案选（C）.
z = g（x,y）
，二维随机变量的函数 的分布
❷（2009,8题）【答案】B.
【解析】本题考查标准正态分布，随机变量的独立性，条件概率，全概率公式.
如果将事件“Y = 0”和“Y = 1”看成一完备事件组，则由全概率公式
Fz（z） = P{XY^z} = P{Y = 0}P{XY^z | Y=0}+P{Y= l}P（XYy
—1 '
fl O 3 1 I 1
【解】(I )Sd = x2)dx = —x^ — —x3
J 3 o 3 o
。
2 1 1
——— —
3 3 3 ,
3, 0 V z V 1 ,]2 v 丁 V 石,
/iCz’jO =
0, 其他.
(U)当 0 Vii V 1 时,
p{u = o,x9】} = p{x>y,xd = p{y v x J】}
=JJ £ &，30&心=dzj 2 3心
_*]yVY
= f 1 3(J7 — J；2 )dj? = — x\ ・
J o Z
P{U = 0} =P{X〉Y} = JJ/i {x^y^dxAy = J dj：J 2 3djy = j 3(x — j:2 )dj： = -|---1 = 土，
x>y
F{XWe}= JJ fi (j：，丁)dzdy = J 1 dzj 2 3心=J 1 3 — x2 )dj： = 2衅一x\,
所以P{U = 0,X We}夭P{U = 0}P{X Wz】), U与X不相互独立.
(DI)FO) = JJ /i (j: ,y)da:dy + jJ fx {jc y y)dxAy.
■r>> 〈
hWz jr r—1
当 zVO 时，F(z) = 0；
当 0 < z < 1 时,F(z) = JJ fx (x,y)djcdy + 0 = J dzj 2 3dj; = J 3(x — x2 )dz = -|-z2 — z3 ；
x>> x
当 1《z V 2 时，F(z) = JJ fi (j：9y)dxdy + jJ fi(j：9y)dj：dy
x>y 工<
x^z —1
=— 1 j+J 3(\/x — j;)dx
=§ + 2(z_l)3 _g(z_l)2；
乙 u
当 2 V z 时,F(z) = 1.
所以
. 254 .第三章多维随机变量的分布
0, z V 0,
3 2 3
0 W z < 1,
FCz）= <
1 3 Z °
* + 2（2—1）万一^（2—1）2, 1 （之 V 2,
乙 U
1, 2 W z.
三、条件分布与条件概率密度
皿（2009,22题）【分析】本题涉及的定义和公式有
fy\x（y I z）=，fx（G > 0,
r f（x,y）dy,
fx3 =
f^x^y^AxAy
{魅=
P{X w 1 | v V 1} = P-
f（x,y）dx
为确定积分范围，画出以）的非零区域会带来方便.
e-x dy,工 > 0 x > 0,
'+oo ~
【解】（I ） fx（Q = y（x，3/）d> = Y 0 .
0, 1 < 0.
0, z W 0
fx（工）> 0等价于％ > 0.
X
0 V V V
当 z〉0 时9fY\x（y W） x
fx （工）
0, 其他.
[[r&'jOdzdj/
巴玲令垮目
（n）p（x 0,其中 fx3= j；（3）dy
本题还要求常数A,可以用「8「°7愆以）&心=1来定常数A,
J —8 J —OO
还不如用j /x（i）dz = 1来求A更方便.
【解】（方法一）/x（^） = [ f^x.y'ydy = a\ e~2x2+2xy-y2
J
J —oo —oo
-255 ・数学历年真题全精解析• （数学三）
r+oo
A\ e-(y-x) 侦 d) = Ae"2
=A 插4工,—8 V ] V+ 8.
H-8 _ ,4-oo
所以1 = fx (x)clz = A & 'dr = An, BP A =—
—OO 7
当 fx(Z)> 0, — <工<+ 时,
8 8
为
xS
W）=柴普 y^_e_~2_x* 2_+_2x_j—_y _ 1
c~x2+2xy~y
A Vice-,1 Ttt
1 2
=乒e。。（一 8 V v <+ 8）.
V7V
（方法二）二维正态概率密度一般形式为
f（.x,y} = ------------- e= 0・
r+8
【解】（1）八危）=
当 zVO 或]>2 时,/*x(z) = 0
当 0 W z《1 时，/x（z）= dy = x;
o
,2-x
当 1 V z < 2 时,fx (z) = J dy = 2 —
x.
0 W «r W 1,
1 — | Z — 1 | 9 I Z — 1 I < 1,
所以/x（z）= 2 —x, 1 V z V 2,或者 fx(工)=
0, 其他.
0, 其他.
'2—y
,+°° dz, 0《J； < 1 2(1—7), 1，
（n）人3）= f^x.y^dx = y y
0, 其他.
0, 其他
fvCy) > 0 等价于 OMv V 1.
在Y = y(O2Y}= 、）&心求得（口）和（皿）.
x>2y
为求g‘）可用血3 3 =瓮琛，夺）＞。推出.
【解】（I）已知公式海3 W）=柴M，当fx（工）＞0时成立.
'过,
0＜x＜ 0 < > < x,
又因为fx（。= 1 0, 和 fY\x(y W)= < 史
其他，
.0, 其他.
所以当fx（x）＞ 0时，也就是当0 V* V 1时,
, [笔 0＜了＜£，
f（工,y） = fx（^fy\x（y I ^）= s x
、0, 其他.
这样得到的f（x9y）只是定义在OVzVl,— 丁 ＜+ 00上的
8＜
但实际上的必须定义在全平面上.又由于
「「8了（*以 ）&如=迂心=「3工= 1.
J 0J X
-oo J o Jo J 0
因此，我们有理由确定在 以外的平面上以）=
0Vz＜l,—8V,v+8 0.
[9?
0<3/
最后得到/(X,JZ)= < 1
、0, 其他.
15== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-]
11 【评注】 本题解题过程中用了四个其他，其实这四个其他的含义是完全不同的.应该"
|| it
加以区分. ||
H
: 如果本题直接解成： :
" f9v2 11
" I 0 V 丁 V %,0 V % V 1, "
" ，（],））=，x（z）/Vix（刃 Z）= ＜ z
II
: 0, 其他. "
II II
11 这种写法的问题是：第一个等号成立条件是0 VzVl.因为/Vix3lz）只有在OVz 11
II II
“ V 1时有定义，而第二个等号要求整个;tQy平面有定义. 1
IL _ __________________________________________ _ J]
, 「+8 [ ^-dz, 0 < v < 1
(II)fy(y')= I f( 2Y}=『f^x^y^dxAy = f d打？ ^-dy
x>2y
-258 ・第三章多维随机变量的分布
19 0 V z V 1, 一
题意有fx（工）= 廿，L 然后写出，当o Vz V 1时，
0, 其他.
X
0 V 丁 V z,
X
fy\xCy I 7）=
0, 其他.
显然fy\x（y W）=乌令形，0 V z V 1,即
fx（z）
当 0 < z < 1 时,f（.x,y） = fx（工）fY\x（y I z）
x
0 V jy V %,
=fy\x（y I z）= x
j：（j： 〔0, 其他.
由于［dz
少如= 手心）& = £dz 1
J 0 . o
f（x9y）da:（ly9
所以 zWo 或二21 时,= o.
0 < j/ < x < 1,
总之 r（z,«y）= x
〔0, 其他.
斗 8 1凹, 0 V：y V 1,
（n）/y（>）=
0, 其他.
（in）p{x+y〉1}= f（x9y）da:dy
件y>i
= "*- ）& =
l-ln 2.
・259・► 数学历年真题全精解析•■■(数学三)
第四章 随机受量的数亲将隹
E(X) D(X)
一、数学期望 与方差
□(2011,14题)[答案】 妒+/A
【解析】本题考查二维正态随机变量各参数的意义和两分量独立和不相关的关系，
(X,Y)〜N3，a；//；0),即X与Y的相关系数Pg = 0,二维正态时Pxy = 0等价于X与丫相互
独立.
(X,V)〜N(#"S,/；0),所以X与Y相互独立，且
E(X) = E(y)= #,D(X) = D(y)= 3 =冬
O O
J —8 J 0 Q
2 2.
PWE(Y)} = P{YV§} =「2、心=丁 3 = -
□ jo 0 y
(U)Z= X + V 其分布函数 Fz(z) = P{Z^z} = P{X + Y^z},
根据全概率公式
P{X + Y^z} = P{X = 0}P{X + Y< z | X = 0} +P{X = 2}P{X + Y^z \ X = 2}
=聂{Y E(X) — 1}.
0, •z V 0,
【解析】E(X) = fZx •音dz =亨/(了)= v X2 °E(X)-1} =p{^>y-rl|=p[x2>y4 }= pjx>
F XV—
3
• 疽 2 ” 丑+。=十 〜2 2 =1-1 2
焉 3 y
" 【评注】 记住结论：对任一连续型随机变量X,其分布函数为F(z),则Y = F(X)必定"
Il it
"服从U(0,1)分布.我们可以直接得到 "
II II
: F{F(X)>E(X)-1} =P(F(X)>§)= 1-# =刍 :
|| ( o J 3 o
皿(2020,14题)［答案】y.
P x}
=i 一(2 — z)f
=1 — P{x Xi，Y2〉丫】，不难证明仍有Pxy =,--------------------------------------------
Vpi（ 1 — /h）vpz（1 ~■ p2）
IL.
・270・第四章随机变量的数字特征 《
四(2020,22题)【解】(I)(X,Y)在D上均匀分布
P{乙=1} = P(X-Y>0} = P((X,y)e DJ
Z2 0 1
P{z2 = 1} = P{X + Y>0} = F{(X,Y) e D2} =-T-,故 o .
4 p ±1 A
4 4
1
I
Cov(Zi ,Z2)
(H)乙与Z2的相关系数Pz&
VdCzJ
D(乙)= ^ = f X| =希,D(乙)=|xf =畚 E(Z)= +，E(ZQ = I，
Cov(乙,乙)=E(乙乙)—E(乙)E(Zz)= 1X|-|X{ = =
1
Pz%
-271数学历年真题全精解析・■■（数学三）
35（2021,16题）【答案】y.
【解析】（方法一） 1
1
P{Y = 0} = P{X = 0}P{Y = 0 I X = 0} +F{X = 1}P{Y = 0 | X= 1}
_ 1 3 , 1 v 2 _ 1
P{Y = 1} = 1-P{Y = 0} = j.
X） J
l
—
Y 0 1
所以一H ~~1 1 —，进一步有 0 1 !0.5.
1 T 7 JL________ 0. 5
—
0. 5 0. 5
P{x = o,y = 0} = P{x = o}P{Y = o|x = o} =令1 x^Q = o. 3.
乙 0
JU
YI Y
21
—
故 0 0. 3 1。・5 ,进一步有 o 0. 3 0. 2|0. 5
0. 5 11
1 0. 2 0.3 0. 5
0. 5 0. 5 一 n 0. 5|
Cov(X,Y) e（xy）— e（x）・ e（y）
现求P =----- -------
a/dqo ywy
E(X) = E(Y) = 0. 5,E(XY) = 0. 3,
D(X) = D(Y) = 0. 5 X 0. 5 0. 25,
c 0. 3 — 0. 25 1
总m 之「= 0.5X0.5 =玄
Cov(x,y) E(XY)—E"X)E(Y2,显然 x,y,XV 取值均为。和 1.
(方法二)p= _____ /_____
/DOO 7D(Y) TdcxT Vd(y)
这就有 E(X) = P{X= 1}=
~2
E(y)= P{Y = 1} = P{X = 0}P{Y = 1 I X = 0} +F{X = 1}P{Y = 1 \ X = 1}
_ 1 2 1 3 _ 1
2，
1}P(Y= 1 |X=1}品 乂§ =希,
E(XY) = P{XY= 1} = P{X = 1,Y= 1} = P{X =
D(X) = D(Y) = § X § 1
乙 乙
P= E(XV) —E(X)E(Y) 0.3-0.25
-6725- 亏.
vTOo
-272 ・第五章大数定律和中心极限定理
第五章 大敬定律加中心柢彼是理
(2022,9题)【答案】B.
【解析】 随机变量序列X3X^,“・，X：，…也独立同分布.
EX' = f jc2 f(x)dx = 2 f x2 (1 — QcLr = 2 (-|-^3 一 -^-x4 ) | =
J-8 Jo \ o 4 /Io o
根据辛钦大数定律依概率收敛于E(X；) = §，选(B).
、/1解题加速度
1.【答
［解析狠 部德伯格中心极限定理要求随机变量X】，Xz，…，X,相互独立、同分布且期
望、方差存在. "充分大时& = X】+Xz +…+ X,才近似服从正态分布，故只需验证同分布和方
差存在.(A)(B)均不能保证X.Xz，…，X,具有相同的分布.(D)不能保证方差存在，根据排除法,
故选(C).
2.【答案】C.
【解析】X|,Xz，…，X”，…独立同分布、方］ 差存在.根据中心极限定理
先 （刃
X： — E X,）
…limP」I 竺」——…E —— < 外J =
< X
切）
8
x,—n
a
=limP< i
n—8 >—
=①(Z)・
-273 ・数学历年真题全精解析■(数学三) 》 •___________________________
第六章 数理优M @勺否本柚L条
□(2010,14题)【答案】次+汶.
【解析】E(T) = +£e(X；) = §W[D(X,) + (E(X,))q = = a2 +/.
0(2011,8题)【答案】D.
【解析】X〜FGD,所以，E(X) =，D(X) =4,Xi，Xz，…，*相互独立均服从P(A),不难直
接求得E(TJ和D(T,)(t = 1,2),再比较大小.
E(T|) = E(X) = A,D(T!)= D(X)=
n
而 E(T2) = A + -,D(T2) = n^ + 4,
n n — 1 n
所以，E(Ti) 0 时，In L(0) = 2nln 9 —。为——3 In
y^dln L(^) s - = 0,求得。的最大似然估计值为& = -^―
V - 。臼五 A 1
£云
所以9的最大似然估计量为e = 寻一
« = 1 d
-277 ・► 数学历年真题全精解析■（数学三）
0（2015,23题）【分析】（I ）所求参数一个，可用E（X） = X来求出0的矩估计量;
（U）给出八工;6）就可以构造似然函数L（0） = 口>（而；0），然后最大化求出。的最大似然估
i = l
计量.
【解】（I ）E（X） =「=（*）& =[己dr =已等「=亨.
J J 5 1 — 1 — Z
-oo 0 u L \ 6
E（X） = X.即^^ = X,9 = 2X-1.
0的矩估计量凯=2X-1,其中X = -^X..
n
> = i
A : < i-
（H）L（0） = =〈 \1一们
i = 1 OCn
、0, 其他.
要使L（。）最大，只有使l—o尽量小，或者。尽量接近1.
%】
但。W :，故取 9 = min(心，…，z”)或。=minu ,
。的最大似然估计量& = niinX,.
2
《心
1
F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =; = = = =
!' 【评注】 由于X〜U[0,1],故E(X)可直接写出咛 I
I
II
IL
H（2016,23题）【分析】（I ）记X的分布函数为F3）和T的分布函数为F『（z）,则T的概
率密度fN） = F、（t）,用定义FT（t） = P{T^t}求出Ft 密）后就可得fTM.
r「+
oo
tfr^dt =们只要求出 tfrCOdt就可得到
f 0, z V 0,
【解】(I)总体X的分布函数为F(z) = j： 了(抑)dt = 号，OGV0,
、1, 0 W工,
F*) = P{T<〃 = P{max(Xi ,X? ,X3)< ,} = P{X} z} = j+°°/(i)dz = F(i) * = F(+oo)-F(t) = e-(i)",z>0.
P{T> s + t,T〉s} P{T>s + " e「（学）”
P{T>s + t | T>s}=
P{T>s} P{T>s} e-（i）ra
e-(年)"+3)”
（H）给定处，如，•••，,“，似然函数为
L（。）=应，（"）=巾〃（3） =#4端。-（手）
-281 -► 数学历年真题全精解析•■■（数学三）
In L(。)= nln m + £ (m — Din Z, — mn\n 0 —习
i=\ 3=1
人 令— din ^ L ― (。) =-mn 1 --X — - (— ^7- = 0, 虐T = 0,
解得尹=【完厅，不难验证为最大值.
n i = l
最大似然估计值e =切,
0（2021,10题）【答案】A.
X 1 2 3
【解析】
1-0 1+9 1+0 .
P
2 4 4
X 的样本值 1,3,2,2,1,3,1,2,
In L = 31n( 1 —。)+ 51n( 1 +。)一 31n 2 — 51n 4.
din L __ 3 , 5 _ n
d0 —I—。十 1+0='
-3（1+。） + 5（1-。）=。,8。-2 =。,解得。=土应选（A）.
皿（2022,22题）【解】 Xi，Xz,・“，X“ E
1
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・ 282 -金榜时代图书•书目
考研数学系列
书名 作者 预计上市时间
数学公式的奥秘 刘喜波等 2021 年3月
数学复习全书•基础篇（数学一、二、三通用） 李永乐等 2022 年7月
数学基础过关660题（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 2022年8月
数学历年真题全精解析•基础篇（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 2022年8月
数学复习全书•提高篇（数学一 /数学二/数学三） 李永乐等 2023 年 1 月
燹学历年真题全精解析•提高篇（数学一 /数学二/数学三） 李永乐等 2023 年 1 月
数学强化通关330题（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 2023 年 3 月
高等数学辅导讲义 刘喜波 2023 年 2 月
高等数学辅导讲义 武忠祥 2023 年2月
线性代数辅导讲义 李永乐 2023年 2 月
概率论与数理统计辅导讲义 王式安 2023 年2月
考研数学经典易错题 吴紫云 2023 年3月
高等数学基础篇 武忠祥 2022 年 9 月
数学真题真练 8 套卷 李永乐等 2022年］0 月
真题同源压轴 150 姜晓千 2023年 10 月
数学核心知识点乱序高效记忆手册 宋浩 2022年 12 月
数学决胜冲刺 6 套卷（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 2023年］0 月
数学临阵磨枪（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 2023 年 10 月
考研数学最后 3 套卷•名校冲刺版（数学一/数学二/数学三） 武忠祥刘喜波宋浩等 2023年］］月
考研数学最后 3 套卷•过线急救版（数学一/数学二/数学三） 武忠祥刘喜波宋浩等 2023年 11 月
经济类联考数学复习全书 李永乐等 2023 年4月
经济类联考数学通关无忧985
题
李永乐等 2023 年4月
农学门类联考数学复习全书 李永乐等 2023 年 4 月
考研数学真题真刷（数学一/数学二/数学三）’ 金榜时代考研数学命题研究组 2023 年2月
高等数学考研高分领跑计划（十七堂课） 武忠祥 2023 年8月
线性代数考研高分领跑计划（九堂课） 申亚男 2023 年 8 月
概率论与数理统计考研高分领跑计划（七堂课） 硕哥 2023 年 8 月
高等数学解题密码•选填题 武忠祥 2023 年 9 月
高等数学解题密码•解答题 武忠祥 2023 年 9 月
大学数学系列
书名 • 作者 预计上市时间
大学数学线性代数辅导 李永乐 2018 年12月
大学数学高等数学辅导 宋浩刘喜波等 2023 年8月
• I •大学数学概率论与数理统计辅导 刘喜波 2023 年8月
线性代数期末高效复习笔记 宋浩 2023 年3月
高等数学期末高效复习笔记 宋浩 2023 年 3 月
概率论期末高效复习笔记 宋浩 2023 年3月
统计学期末高效复习笔记 宋浩 2023 年3月
考研政治系列
书名 作者 预计上市时间
考研政治闪学：图谱+笔记 金榜时代考研政治教研中心 2023 年 5 月
考研政治高分字帖 金榜时代考研政治教研中心 2023 年5月
考研政治高分模板 金榜时代考研政治教研中心 2023 年 10 月
考研政治秒背掌中宝 金榜时代考研政治教研中心 2023 年 10 月
考研政治密押十页纸 金榜时代考研政治教研中心 2023
年］］月
考研英语系列
书名 作者 预计上市时间
考研英语核心词汇源来如此 金榜时代考研英语教研中心 已上市
考研英语语法和长难句快速突破 18 讲 金榜时代考研英语教研中心 已上市
英语语法二十五页 靳行凡 已上市
考研英语翻译四步法 别凡英语团队 已上市
考研英语阅读新思维 靳行凡 已上市
考研英语（一）真题真刷 金榜时代考研英语教研中心 2023 年 2 月
考研英语（二）真题真刷 金榜时代考研英语教研中心 2023 年 2 月
考研英语（一）真题真刷详解版（三） 金榜时代考研英语教研中心 2023 年 3 月
大雁带你记单词 金榜晓艳英语研究组 已上市
大雁教你语法长难句 金榜晓艳英语研究组 已上市
大雁精讲 58 篇基础阅读 金榜晓艳英语研究组 2023 年 3 月
大雁带你刷真题•英语一 金'榜晓艳英语研究组 2023 年 6 月
大雁带你刷真题•英语二 金榜晓艳英语研究组 2023 年 6 月
大雁带你写高分作文 金榜晓艳英语研究组 2023 年 5 月
一
书名 作者 预计上市时间
大雁趣讲专升本单词 金榜晓艳英语研究组 2023 年 1 月
大雁趣讲专升本语法 金榜晓艳英语研究组 2023 年8月
大雁带你刷四级真题 金榜晓艳英语研究组 2023 年2月
大雁带你刷六级真题 金榜晓艳英语研究组 2023 年 2 月
大雁带你记六级单词 金榜晓艳英语研究组 2023 年 2 月
以上图书书名及预计上市时间仅供参考，以实际出版物为准，均属金榜时代（北京）教育科技有限公司！
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金葬 代考研数学系列
书名 上市时间 适用阶段
数学公式的奥秘 2021年3月 全程复习
数学复习全书•基础篇 2022年7月 夯实基础
数学基础过关660题 2022年8月 夯实基础
数学历年真题全精解析•基础篇 2022年8月 夯实基础
数学复习全书•提高篇 2023年1月 全程复习
数学历年真题全精解析•提高篇 2023年1月 全程复习
高等数学辅导讲义 2023年2月 专项强化
线性代数辅导讲义 2023年2月 专项强化
概率论与数理统计辅导讲义 2023年2月 专项强化
数学强化通关330题 2023年3月 强化提高
考研数学经典易错题 2023年3月 强化提高
高等数学考研高分领跑计划•十七堂课. 2023年8月 专项突破
线性代数考研高分领跑计划•九堂课 2023年8月 专项突破
概率论与数理统计考研高分领跑计划•七堂课 2023年8月 专项突破
数学决胜冲刺6套卷 2023年10月 冲刺预测
数学临阵磨枪 2023年10月 冲刺预测
考研数学最后3套卷 2023年11月 冲刺预测
责任编辑：吕睿
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