文档内容
20
金榜畸代
金掺馅犬f
GLISTIME明德■弘毁惟精09
金粉时限变研数学和剂上少时客及空国各天劳研增用学校指定用书
数数学学历历年年真真题题
全全精精解解析析•·提提高高篇篇题用
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓千硕哥(薛威)刘喜波
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓F硕哥（薛威）刘喜波
章纪民陈默申亚男毕生明朱杰王一鸭吴紫云
章纪民 陈默申亚男毕生明朱杰王一鸣吴紫云
主编建议与《与数《学数复学习复全习书全·书提•提高高篇篇》》《数《数学学基基础础过过关关66606题0题》》《数《数学学强强化化通通关关33330题0题》》配配合合使使用用，，学学习习更更高高效效
22000099--22002233年年的的考考试试真真题题，，逐逐题题逐逐步步解解析析
真题算相1
历历年年考考题题题题型型分分类类全全汇汇总总，，解解锁锁命命题题“套“套路路””
内内含含答答题题区区域域，，题题目目与与解解析析分分册册，，做做题题不不受受答答案案影影响响，,
升级优化
核核对对答答案案便便捷捷易易用用
@ 考试时看到题目，模糊地记得书上看到过同类题目，但清晰地记得自己没有做。
考试时看到题目，模糊地记得书上看到过同类题目，但清晰地记得自己没有做。
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￥
X
中中国国农农业业出出版版社社
CHNAAGRICULTURE PRESS
CHINAAGRICULTURE PRESS目录
目录
Contents
Contents j
第第一一篇篇最最新新真真题题
2
2
0
0
2
2
3
3
年
年
全
全
国
国
硕
硕
士
士
研
研
究
究
生
生
招
招
生
生
考
考
试
试
数
数
学
学
(
（二
二)
）试
试
题
题……………………………………………11
第二篇真题分类解析
第二篇真题分类解析
第第一一部部分分 高等高数等数学学… …..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..5
5
第第一一章章 函数函、数极、极限限、、连连续续….…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…..…...….5
5
第第二二章章一一元元函函数数微微分学分…学…..…..…...…..…..…...…..…...…..…..…...…..…..…...…..…...…..…..…...…..…..…...…..2
2
8
8
第第三三章章一一元元函函数数积积分学分…学…..…..…...…..…...…..…..…...…..…..…...…..…...…..…..…...…..…..…...…..…...…..…..6633
第四章多元函数微分学………………………………………………………………91
第四章多元函数微分学......................................................91
第五章二重积分………………………………………………………………………111
第五章 二重积分 ............................................................111
第第六六章章 常微常分微方分程方…程…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..112299
第第二二部部分分 线性线代性代数数… …..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..1
1
4
4
4
4
第第一一章章 行列行式列…式 …..…..… …………………… ……………………… …………………114444
第第二二章章 矩阵矩…阵 ….…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..1
1
5
5
1
1
第三章向量……………………………………………………………………………163
第三章 向量 ........... 163
第四章线性方程组……………………………………………………………………171
第四章 线性方程组 ..........................................................171
第五章特征值与特征向量……………………………………………………………183
第五章 特征值与特征向量...................................................183
第第六六章章 二次二型次…型 …..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..119988第一篇 最新真题
绝绝密密★★启启用用前前
22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试
数数学学(二（二)）
(（科科目目代代码码：：330022)）
考考生生注注意意事事项项
11.. 答答题题前前，，考考生生须须在在试试题题册册指指定定位位置置上上填填写写考考生生编编号号和和考考生生姓姓名名；；在在答答题题
卡卡指指定定位位置置上上填填写写报报考考单单位位、、考考生生姓姓名名和和考考生生编编号号，，并并涂涂写写考考生生编编号号信信
息息点点。。
22.. 选选择择题题的的答答案案必必须须涂涂写写在在答答题题卡卡相相应应题题号号的的选选项项上上，，非非选选择择题题的的答答案案必必
须须书书写写在在答答题题卡卡指指定定位位置置的的边边框框区区域域内内，，超超出出答答题题区区域域书书写写的的答答案案无无效效；;
在在草草稿稿纸纸、、试试题题册册上上答答题题无无效效。。
33.. 填填(（书书)）写写部部分分必必须须使使用用黑黑色色字字迹迹签字签笔字书笔写书，写字，字迹迹工工整整，笔，笔迹迹清清楚楚；；涂涂
写写部部分分必必须须使使用用22B铅B铅笔笔填填涂涂。。
44.. 考考试试结结束束，，将将答答题题卡卡、、试试题题册册和和草草稿稿纸纸按按规规定定交交回回。。
考考生生编编号号
考考生生姓姓名名
· 1 ·
. 1数学历数年学真历题年全真题精全解精析解·析提 ・.高高篇篇(数(数学学二二))
一一、、选选择择题题((11-～1100小小题题，，每每小小题题55分分，，共共5500分分..下下列列每每题题给给出出的的四四个个选选项项中中，，只只有有一一个个选选项项是是最最符符合合
题题目目要要求求的的..)
e+ 1
。 (1 ( ) 1)曲曲线线丁y=二x招ln口( ( 卜+ x 上 — ) 1 的)斜 的 渐 斜渐 近 近 线 线 方 方 程 程 为 为
1
((AA))jzy == xx ++e .e. ((BB))vy == zx ++ — e' .
e
1
( ( C C ) ) y；y = = x x . . ( ( D D ) ) 3 y / = = x x 一 e
e
{ 1
x≤0,
—√ 1+x2 ， «r < 0,
(2)函函数数ff ((工x))==< Jl+水 的的一一个个原原函函数数为为
((Xx ++ 1l))cocso Xs, x,x>> 00
人
In(√I+x?-x), x≤0,
ln( J] + — x) 9 z W o,
(A)F(x)=
(A)F(x)
(&x ++1 l))ccoos sxx —- ssini nx>x,xx >
>
0 .0.
{
[In(√1+x?-x)+1,x≤0,
ln( H- — x) + 1, z V 0,
((BB))FF((xx))=
a/1
(
(x
x +
+
1
1
)
) c
c
o
o
s
s
x
x
—
-
s
s
in
i n
x
x
,
,xx >>0 .0.
人 In(√I+x+x), x≤0,
In ( Ji + J + x), z < 0,
((CC))FF((xx))=
(
(x
x +
+
1 1)) ssiin nx
+
x +
co
c
s
o xsx,x
z
>
>
0 .0.
{In(√I+x?+x)+1,x≤0,
In ( Jl + T + z) + 1, z V 0,
((DD))FF((xx))=
((xx ++1 l))ssini xn x++ ccososx,xx >>0 .0.
1
( ( 3 3 ) ) 已已知知(伐x,”)｝,,{｛必y。｝)满满足足：心： x=?=yy\ ?== 奇 2 • , ，而 xmH+4 1== ssiinn xxn ?,3,/,^y1 w=+i=y „y(;n (=n= 11,,22,,……)),,则则当当 n〃→ f 8时 时，,
((AA))x石。是是y少。的的高高阶阶无无穷穷小小，. ((BB))队y。是是孔x,的的高高阶阶无无穷穷小小。.
((OC)xx,n与与y少。是是等等价价无无穷穷小小.. ((DD))x%。与与勿y。是是同同阶阶但但不不等等价价的的无无穷穷小小..
((44))若若微微分分方方程程yy+"a+ayy+'+bbyy == 00的的解解在在((--oo,o+,c+oo)上o)有上界有，界，则则
((aAA))a << 00,, b6>>0 0.. ((BB))a a>> 00,, b6>>0 0..
((CC))aa == 00,, b6 >>0 0..。 ((DD))a a== 00,, bb x()x()x (>xe >)经 e过)经点过(点e2(,/0 ),0,)L ,上L任上任一一点点P(Px ,(工y)点到)y到轴)的轴距的离距离等等于于该该点点处处的的切切
线线在在yV轴轴上上的的截截距距..
((II ))求求y J(^x()x;);
((ⅡH ))在在L上L求上一求点一，点使，使该该点点处处的的切切线线与与两两坐坐标标轴轴所所围围三三角角形形的的面面积积最最小小，并，并求求此此最最小小面面积积..
·3 ·
-3 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二)) 加
((1188)) ((本本题题满满分分1122分分))
x2
求 求函 函 数 数 / f (x (x , , ' y ) ) = =x e'"y+ 苓的 的 极 极 值 值 . .
2
((1199)) ((本本题题满满分分1122分分))
1
已
已
知
知平
平
面
面
区
区
域
域
D
D
=
=
( { ((工x，,少y)1I 00 ≤Vy'V≤ ― ,，工x2>1 1).
x√1+x2
( h 十 z )
((II))求求D的D面的积面积；；
((ⅡU ))求求DD绕绕x轴了旋轴转旋转所所成成旋旋转转体体的的体体积积..
((2200)) ((本本题题满满分分1122分分))
设设平平面面有有界界区区域域DD位位于于第第一一象象限限，由，曲由线曲x2 线+x/2-+xy2y- =xy 1= ,1x,2 x+2>+y2 2-xy==2 2与与直直线线y、==√屈3x,,
1
yV ==0 围0围成成，，计计算算『-2 drdy.
3x2+y2
b
J
D
J 6jc 十 y
((2211)) ((本本题题满满分分1122分分))
设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数.证明：
设函数八*)在［—a,a］上具有2阶连续导数.证明：
1
((II))若若f /((O0)) ==0 ,0则,则存存在在 EE∈ G ((-~aa,,aa)),,使使得得 /fz((gf))==a片T[yfX(aa)) ++ ff((-—a a))]］;；
1
((ⅡU))若若f (_/x■)在&)在(-(a~,aa),内a)取内得取极得值极，值则,则存存在在η"∈6 ((-—a,aa,)a,)使,使得得l 了| f(Xηrj)) l≥ 2a2 l I / f ( ( a a) ) - - f /( ( - - a a) ) 1.
((2222))((本本题题满满分分1122分分))
工X1? = 了x? + + x了?+x了?
1 2 + 3
设设矩矩阵阵AA满满足足：：对对任任意意Tx,? ,,Xx2? ,,Xx3?均均有有AA 工互2 = 22工x]、 —— Xx2, 十+工 x?3
. x 工 ? x 工 ?— 一了 x?
3 . 2 3
((II))求求 AA;；
((Ⅱn ))求求可可逆逆矩矩阵阵PP与与对对角角矩矩阵阵A ,A使,使得得P^P A1PAP ==A A..
·・4
4
·
-■ml
第二篇 真题分类解析
真题分类解析
第第一一部部分分 高 高等等数数学学
第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续瘩
｛本本章章导导读读
函函数数是是微微积积分分的的研研究究对对象象，，极极限限是是建建立立微微积积分分理理论论和和方方法法的的基基础础，，连连续续性性是是函函数数的的基基本本性性态态，,
是是函函数数可可导导和和可可积积的的基基本本条条件件，，连连续续函函数数是是微微积积分分所所讨讨论论的的函函数数的的主主要要类类型型.因.因此此，函，函数数、、极极限限与与
函函数数连连续续性性是是本本章章的的主主要要内内容容，，也也是是微微积积分分的的理理论论基基础础。.
本本章章的的主主要要内内容容有有：：
11.. 函函数数的的概概念念、、基基本本性性质质及及复复合合函函数数；；
22.. 极极限限的的概概念念、、性性质质，，存存在在准准则则及及求求极极限限的的方方法法；；无无穷穷小小量量的的概概念念、、性性质质及及阶阶的的比比较较；；
33.. 连连续续的的概概念念、、间间断断点点及及其其分分类类，，连连续续函函数数的的性性质质（(运运算算性性质质及及有有限限闭闭区区间间上上连连续续函函数数性性质质).）.
试试题题特特点点
本本章章是是微微积积分分的的基基础础，，每每年年必必考考..而而本本章章的的特特点点是是，，基基本本概概念念和和基基本本理理论论非非常常多多，，许许多多考考题题重重
点点考考查查这这些些基基本本概概念念和和基基本本理理论论，，从从往往年年试试卷卷分分析析情情况况来来看看，，失失分分率率比比较较高高，，因因此此，，望望考考生生重重视视基基
本本概概念念和和基基本本理理论论的的复复习习..
本本章章常常考考题题型型
11.. 求求极极限限..
22.. 无无穷穷小小量量及及其其比比较较..
33.. 求求间间断断点点及及判判别别间间断断点点类类型型..
0
无穷小量比较实际上就是研究“音"型未定式的极限，而间断点类型判定的关键也是求极限,
无穷小量比较实际上就是研究“ ”型未定式的极限，而间断点类型判定的关键也是求极限，
0
所所以以，，本本章章常常考考的的三三种种题题型型的的核核心心都都是是求求极极限限..重重点点是是求求极极限限的的常常用用方方法法(如（如有有理理运运算算、基、基本本极极限限、、
等等价价无无穷穷小小代代换换、、洛洛必必达达法法则则等等)）..
·5 ·
• 5 •_ 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二)) 》
真题分类练习
真题分类练习
一
-、
、复复合舍函函数数及及虽函数数的的几几时种特特襟性
虽虽然然有有关关复复合合函函数数和和函函数数的的几几种种特特性性(即(即有有界界性性、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、周周期期性性))的的试试题题在在近近几几年年的的
试试卷卷中中没没有有专专门门出出现现过过，，但但它它是是一一个个基基本本内内容容，，也也是是本本章章第第一一部部分分函函数数的的重重点点内内容容..近近几几年年其其他他类类
型型的的考考题题中中考考到到了了该该内内容容，，在在以以前前的的考考卷卷中中也也曾曾多多次次专专门门出出题题考考查查，，望望读读者者重重视视..
X小结
小结
这这里里主主要要是是两两类类问问题题：：
((一-))复复合合函函数数
主主要要有有两两种种题题型型：：
1.已知f(x)和g(x),求f[g(x)].
1. 已知 /(X)和 g(z),求 /Lg(z)].
求求复复合合函函数数的的基基本本方方法法是是将将内内层层函函数数g
g
(
&
x)
)
代代入入外外层层函函数数f(
/
x()
X
.)如 .如果果出出现现分分段段函函数数，，内内层层函函数数
g
g((x
x
))的
的
函
函
数
数
值
值
g
g
(
&
x))落
落
在
在
外
外
层
层
函
函
数
数
f
y
(x
&
)的)的 定
定
义
义
域
域
的
的
哪
哪
个
个
部
部
分
分
，
，就
就
将
将
g
g
&
(x))代
代
入
入
相
相
应
应的
的
/
f
'
(
(
x
z
)
)
的
的
表
表
达
达
式式中中，，即即可可求求得得f[g(x)].
22.. 已已知知f/((xx))和和gg(x()x复)复合合的的结结果果，，即即fy[tgg((xx))]]==q(甲x)愆,)又,又知知道道f(fx)S和和g(xg)(其x)中其之中一之，一求，求另另一一个个..
((1
1
)) 若
若
已
已
知
知
f
y
((x
x
)),
,
且
且
f
y
((x
x
))有
有
反
反
函
函
数
数
，
，/
f
[
[
g
g((
Q
x)
]
]=
=
φ
平
(
(
x
工
)
)
,
,
则
则
g(x)=f1[g(x)].
g(z)=广'顷(z)].
((22)) 若若已已知知gg((xx)),,且且gg((xz))有有反反函函数数，，/f[g(xJ) =]=甲φ(工(x)，)令,令gg(x(x))== u“,，则则工x==g-g1-(1u()w,)将，将其其代代入入
J
?
"
[
[
g
g
((x x))
]
]=
=
φ甲((xH))得得
/f((u«))= =g戒[gg1T( u("))]]..
事事实实上上，，这这两两类类问问题题都都是是求求反反函函数数的的问问题题..
((二二))函函数数的的四四种种特特性性
这这里里主主要要是是函函数数四四种种特特性性的的判判定定..考考生生首首先先应应熟熟悉悉五五类类基基本本初初等等函函数数(幂(蓦函函数数，指，指数数函函数数，,对对数数函函
数数，，三三角角函函数数和和反反三三角角函函数数))的的有有界界性性、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性和和周周期期性性,，同同时时还还需需掌掌握握一一些些常常用用的的判判别别法法..
1
1
.
.
有有界界性性。.
((11)) 利利用用有有界界的的定定义义..
((22)) 利利用用有有限限闭闭区区间间[[aa,,b危]上上连连续续的的函函数数在在该该区区间间上上一一定定有有界界..
((33)) 利利用用若若ff((xz)在)在(a(,ab,)$上)上连连续续，，且且lliimmf/((xx))和和lliimmf(/x()x都)都存存在在，，则则fy(&x)在)在(a(a,,bD)上)上有有界界((这这
→a
x-^a x-»b
里里区区间间(a可,b)以可是以是无无穷穷区区间间))。.
22.. 单单调调性性..
((11)) 利利用用单单调调性性的的定定义义..
((22)) 利利用用导导数数的的正正负负判判定定，，即即
若若在在区区间间II上±/f(’x()x )>>00((或或\>
2
^-. (
(
B
B
)
) |
|a
a
」
,l
V
<
以
2
.
u
1 1
((CC)) aa。」>> aa一----n・ ( ( D D ) )a, V < Q a + + n
n n
调算空间
22.. (2(021051,数5,数三三，4，4分分)设)(设x。｛z},,是｝是数列数，列下，下列列命命题题中中不不正正确确的的是是
((AA)) 若若lliimmxz。” == a,则则 lliimmix2?”。 == lilmimxx2H?.+i == aa..
q, rtf 8
→n—»08 →800
((BB)) 若若l liimmzxz?n。 == llimimix2zfi+ ?== aQ,，则则l liimmxz,” == a a.,
”一»8 ”一»
→n-*0o0o 8
((CC)) 若若lliimmxz。” == aQ,则,则l liimmx%?。 == limx? == aa..
→e
”一
»oo n→-*0°°0 n→-*0<»0
((DD))若 若limx?。= limxsi= a,则则l ilimmx。z” == aa..
→n-*O0O ” → 一》 800
= q,
“-*8
演算空间
·8 ·
-8 -第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续
三三、、求求函函数数佝的极根阳限
=
空
13((22001144,,55 题题，，4 4分分)设)设函函数数 /f((xx)) == aarrccttaann x x.若.若 /(fx(x)) ==x fx'/(zE()f),，则则lliimm g =
x2
x-»O x
x→0
2 1 1
((AA))1l.. ((BB)) ((CC)) ( (DD) )!.
3° 2° 3°
。乙 J
答答题题区区
(1-cos x)[x-In(1+tan x)]
□4(2 （ 020090,91,51题5题 ， ， 99分分)）求 求 极 极 限 限 lliimm （】一斗工）旺二就」+ tan以_]
sin'x
→x-*0o sin x
答答题题区区
= _.
1
1+2±
( )
05(2（2001111,,99题 题，,44 分分)）lim .
2
0
答答题题区区
·9·
-9 -►数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
= _.
1
0(（22001133,,99 题题，，44 分分)）l四im (（22 -一 l以n(1+x) ) .
工
x→0
答题区
答题区
[
f P [ t2(((e e + + - -1 1 )) - -t t \ ] Adtt
·
❷((22001144,,1155 题题，，1100 分分))求求极极限限l liimm ------- -——1
→+0 x2I卜n((1+ )
i ]2 1 +xj)
答答题题区区
1
(2016,15题，10分)求极限lim(cos 2x+2xsin x)?.
El(2016,15 题，10 分)求极限lim(cos 2x + 2xsin .
xX→—00
答答题题区区
· 10 ·
-10・。
■
第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续
√x- te'dt
→ J工—te'dt
四（(22001177,,1155题题，，1100分分）)求求lliimm英0—————,
√五
zo+ G
答答题题区区
TT（(22001188,9, 9题题，4， 分4）分li)ml ixm2 C xar2c[taanr（cxt +a n1(） x—+ 1ar)c-taanr cx~t\ a=nx]= _
■ X→—十4-0000
答答题题区区
= _
001(（22001199,,99 题题，,4 4分分）)llimim&(x ++2 2*，)）号=
x—0
x→0
答答题题区区
—
1+ e'dt
[£（2021,17 题，10 分）求极限lim &____11
2021,17题，10分)求极限lim 0
→0 〔eex2 -- 11 ssiinn x
答答题题区区
·・
1
1
1
1 ·数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►— 数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
= _.
(1+e') cotx
/ ] X v cot X
[£(2(2002222,,1111 题题，,55 分分)l)i既m (2匕产)=.
→0
答题区
答题区
X
小结
小结
11.. 求求函函数数的的极极限限主主要要是是求求未未定定式式(( 0 £ o ， 0 关 ', , 0 8 o- — co , 8 0 , · 0 0 o • , 8 1” ,1 ,0 8 0 , ° 8 , 。 0 ， ° 0。 ) )的的极极限限，，这这里里的的重重点点是是
0
\ U /
0 0o, 0
前前两两种，种即，“即。"?
0
””型型和和““
c
色
o
””型型，，而而后后55种种都都可可化化为为前前两两种种，前，前两两种种当当中中特特别是别“是.“
0
斗””型型考考得得最最多多，，求求
0 oo U
“
0
0
”型型极极限限主主要要有有三三种方种法方：
0
((11)) 利利用用洛洛必必达达法法则则.在.在处处理理““号
0
””型型极极限限问问题题时时，，不不要要急急于于用用洛洛必必达达法法则则，，应应先先进进行行化化简简，，常常用用
的的方方法法有有：：极极限限为为非非零零常常数数的的因因子子先先求求出出来来极极限限，，等等价价无无穷穷小小代代换换，，有有理理化化，，化化简简完完后后再再用用洛洛必必达达
法则.
法则.
((22)) 利利用用等等价价无无穷穷小小代代换换..
(3)利用泰勒公式：其中sin x,In(1+x),e',cosx在x=0处的泰勒公式比较常用，考生应熟悉.
(3) 利用泰勒公式:其中sin x,ln(l +x) ,ex ,cos z在z = 0处的泰勒公式比较常用，考生应熟悉•
2.“1~”型极限也是一种常考的类型，最简单的方法是利用结论：
2. “广”型极限也是一种常考的类型，最简单的方法是利用结论：
若lim a(x)=0,lim p(x)= co,且lim a(x)p(x)=A,则lim(1+a(x))=)= e^.
若 lim a(x) = 0,lim 队工)=8,且 lim a(x)p(x) = A,则 lim(l +。(了))" = eA.
®解题加速度
解题加速度
x2 =
[ ]
11.. ((2200101,0数.数 一 一 ， ，44 分 分 )极 )极 限 限 lilmim「---- T =
x工→一680|_ ((1 x - — a
q
)
)
( (z x +十b。))」
((l.AA))1. ((BB))ee.. ( ( C C ) ) e e * a - ~ 6 6 . . ((DD)e)°e^-*f.l.
满算至同
·12 ·
・12 -.
第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续
1 1
22.. (2(021001,0数,数三三，，1100分 分)求)求极极限限li lmim(x 2(X7- 1-)i)1nri.
×→+00
溪算空间
1
33.. (2（021011,1数,数一一， ， 1100分分)求）求极极限限lilmim [ 「 I也n(（
x
11++x 』 )] ＞ F -I1-
x-»o L z
x→0|
演算空同
= _,
IInn ((ccooss x)
44.. ((22001155,,数数一一，，4 4分分))lliimm x2
→x-*00 x2
清算空间
√I+f(x)sin 2x-1
55.. (（22001166,,数数三三，，44分分）)已已知知函函数数/f(（xx）)满满足足lliimm
^l+/(x
e
)
3
s
-
i
-1
n 2^1 == 22,,则则 limf(x)==
→
x-*
0
0
e3x 一 1 →X—0°0
演算空间
。13·
-13・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• t提tM高M篇 ((数数学学二二))
=_ _.
声
ztllnn (（11 ++ts iisnin tt)）ddtt
0
66.. (2（021061,6数,数一一，，44 分分)）lilimm --1--—--- -c-o--s- --x-2气------
→X-*0O 1 — cos X
演算空间
。
四、求数列的根限
[1(（22000099,,1111题 题，，44 分分)）lliimm [ ee-^J'ssini nn xndrx d=x=___ _ __ _ ___..
""" →n-0*0ooj 0
答答题题区区
函((2
2
0
0
1
1
2
2,
,
3
3 题题
,
，
4
分4分)设)设
a“
a
>
?>
0
0
(
(
”
n =
=
1 ,
1
2
,2
,
,
…
…
)),，S S
”
, =
=
a
a
;+「+a?
a
+
2
…
+
+
•
a
•
n
•+
,则
%,
数则列数(列S
｛
,
S
)
”
有 ｝有界界是是数数列列
{｛aa,,}｝收收敛敛的的
((AA)充)充分分必必要要条条件件.. ((BB))充充分分非非必必要要条条件件..
((CO)必必要要非非充充分分条条件件.. ((DD)既)既非非充充分分也也非非必必要要条条件件..
答题区
答题也
· 14 ·
14 .第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
[1E6<(22001111,,1199题 题，,1100 分分))
1 1 1
(
(I
I
)
)
证
证
明
明
：
：
对
对
任
任
意
意
的
的
正
正整
整
数
数
〃
n,
，
都
都
有
有
n
4
+1
r<?>
0
0,
,z
xn
”e
e
*
'+
i
1
=
= e
ex
°
" —
--
l
1
(
(
n
n =
=
1 ,
1
2
,
,
2
…
,…
).
)
证 .证明明(x｛了。”｝)收收
敛敛，，并并求求lliimmxx。„.
”一
→»080
答答题题区区
·16 ·
・16・第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
4
小结
小结
处处理理数数列列极极限限问问题题的的常常用用方方法法是是：：
11.. 将将所所求求数数列列极极限限问问题题转转化化为为求求函函数数极极限限(（一一般般是是为为了了使使用用洛洛必必达达法法则则).）.
2.利用夹逼原理求极限(更多的是用在n项和的数列极限中).
2. 利用夹逼原理求极限（更多的是用在n项和的数列极限中）.
1,
33.. 利利用用定定积积分分定定义义求求极极限限(（一一般般用用在在n〃项项和和的的数数列列极极限限问问题题)）,该，该方方法法的的关关键键先先提提一一个个因因子子斗，
n
然然后后确确定定被被积积函函数数和和积积分分区区间间..
4.利用单调有界准则求极限(一般用在由递推关系xm?= f(x,)所定义的数列).
4. 利用单调有界准则求极限（一般用在由递推关系= /（x„）所定义的数列）.
55.. 利利用用结结论论limli m
[ q
√
； +
a 1
q
+
?
a
+
2+
…
…
+
+am== mmaxaax,a(,（其其中中aa;,>〉0)0求）求极极限限.•
→+00 1≤i时0，时1,1- —co csoxs· Xc •o cso2sx 2·x c• ocso3s x与与axa”r为*为等等价价无无穷穷小小，，求求n*与与aa的的值值..
3h
答答题题区区
幽((22001144,,11题题，,44分分))当当工x→—o0*时+时，，若若Iinn°°((l1++22xx)),,((1l-—ccooss x了)壮 1 均均是是比比x工高高阶阶的的无无穷穷小小，，则则aa
的的取取值值范范围围是是
( ((2A A) ,)+ (2 o , o + ) o . o). ((BB)()(1l,,22)).. ( (CC))(( 2 § 1 ,,11 ) ). · ( (D D) ) ((00,, 2 § 1 )).
答答题题区区
,21 ·
・21・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析• (数学二)
亚
(
(2
2
0
0
1
1
5
5
,
,
1
1
5
5
题
题，，
10
1
分
0
)
分
设
)
函
设
数
函
/
数
(x
f
)
(
=
x)
x
=
+
x+
a
a
l
l
n
n
(
(
l+
1+
x
x
)
)
+
+b
fe
x
z
s
si
i
n
n
x
x,
,g
g(
(x
x)
)
=
=
k
虹
x3
'
,
,
若
若
f (x)与
与
g
g
(
&
x)
)
在在xz→ -0时 0是时等是价等无价穷无穷小小，，求求aa,b,b,k,R的的值值..
答答题题区区
项]
(
(
2
2
01
0
6
1
,
6
1
, 题1题，4 ，
分
4
)
分
设
) 设
=
a?
x
=
(
x
c
(
o
c
sV
os
x
√
—
x
1
-
)
1 ,)。,a
=
?
V
=√
^ln
x
(
l
l
n
+
(1 折+√)gx) ,=a?"=工√
+
x +
]
1
—
- 1
1
..当当
z
x →
-►
0
0
*
*
qi 2
时时，，以以上上33个个无无穷穷小小量量按按照照从从低低阶阶到到高高阶阶的的排排序序是是
(A)a?;a,。z,，a。?. ((BB))aQz2+，aa?3,，aaii.・ (C)a?,ai,a?. (D)aa,az,α1.
(A)(Z1 2 3 ・ (C)Q2，ai，Q3・ (D)a3，°2，Ql.
答答题超区区
g3g2((22001199,,l1题题,，4分4分)当)当zx —→00时时，，若若1x--ttaann 1x与与xa*?是是同同阶阶无无穷穷小小，，则则& k==
((l.AA))1. ((BB))22.. ((C0)33.. ((DD))44..
答答题题区区
·22 ·
-22 -。
第一章函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
3g3§(（22002200,1,1题题，,44分分)）当当x工→―o+o时+，时下，下列列无无穷穷小小量量中中最最高高阶阶是是
0
((AA))j：((e/2 --1 )l)ddt£.. ((BB))j：Ilnn((l1 ++√T)dt. sin si n t 2 t d 2 d t ^ . . ((DD))J f o l—COS X √s s i in n' 3 t id dt z . .
0 0
答答题题区区
3更4(（22002211,,11题 题，,55 分分）)当当 xZ→ —0时0 时，，| (（/e′ -—l1）)ddzt 是是 x/’ 的的
0
0
(（AA)）低低阶阶无无穷穷小小。. (（BB)）等等价价无无穷穷小小，.
(（CC)）高高阶阶无无穷穷小小.. (（DD)）同同阶阶但但非非等等价价无无穷穷小小。.
答答题题区区
[§((22002222,,11题题，,55分分))当当x→h —0时0，时a(x是),β非(x)零是非无零无穷穷小小量量，给，给出出以以下下四四个个命命题题：:
①
①
若
若
a
Q
((x
«
) Z)～
~
β
伙
(
了
x)
)
,
，
则
则
a
°
2
2
(
(
x
了
)～
)~
β (
(
x
x
)
)
;；
②若a2(x)～β(x),则a(x)～p(x);
② 若 a (x) ~ jS2 (x) 9 则 a(z) ~ ;
③③ 若若a c(rx(x))～ ~β /?((x])),,则则 aa((xx)) -—β B((x工)=)= o(oa((ax()x)););
④④ 若若 aa((xx)) -—β B((x工))==o(oa((ax()x)),)则 ,J®a| (ax()x～) β~ .((x工))..
其其中中所所有有真真命命题题的的序序号号是是
((AA))①①③③.. ((BB))①①④④.. ((CC))①①③③④④.. ((DD))②②③③④④..
答答题题区区
·・2
2
3
3
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析• ■高篇(数学二)
X
小结
小结
有有关关无无穷穷小小量量及及其其阶阶的的比比较较主主要要是是两两类类问问题题：：
1.无穷小量的比较，也就是判断一个无穷小量是另外一个无穷小量的高阶、同阶、等价或低阶
1. 无穷小量的比较，也就是判断一个无穷小量是另外一个无穷小量的高阶、同阶、等价或低阶
无无穷穷小小..
2.由两个无穷小量之间的关系(等价、同阶等),确定极限中的参数问题.
2. 由两个无穷小量之间的关系(等价、同阶等)，确定极限中的参数问题.
0,
以上两类问题的实质是“号"型极限问题，常用方法有以下三种：
以上两类问题的实质是“ ”型极限问题，常用方法有以下三种：
0
((11))洛洛必必达达法法则则..((22))等等价价无无穷穷小小代代换换..((33))泰泰勒勒公公式式..
®解题加速度
解题加速度
1
1
.
.
(
(
2
2
0
0
1
1
4
4
, ,数数三三，，
4
分4分)设) 设
p(
p
x
(
)
x
=
) =
a
a
+
+b
b
x
x
+
+
c x
e
2
x2
+ d
+
x
d
3
x
.
3
当 .当x →
x -
0
►
时
0
，时若，若p
p
(
(
x
x
)
)
-
—
ta
t
n
an
x 是
z
是比比x 3高高
阶阶的的无无穷穷小小，，则则下下列列选选项项中中雪错枣误的的是是
((aAA))a == 00.. * ((BB))bb ==1 1..
1 ·
((CC))cc == 00.. ((DD))dd == 9
o
演算空间
,24
・24・第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续 44
1 * b
22..((22002200,,数数三三，，66分分)已)已知知a,ab,为b常为数常，数若，若 (1++
n
一-ee与与n2在在n”→ —oo8时是时等是价等价无无穷穷小小，，求求aa,,b3..
\ nJ n
演算空间
七七、、函函数数的的连连唉续姓性及及浦间鳄断盗点.类类型型
x-x3
3363((22000099,,11题题，,44分分))函函数数/f((xx))== 竺二^的的可可去去间间断断点点的的个个数数为为
sin πx
sin nx
((AAl,))1. ((BB))22.. ((C0)33.. ((DD)无)无穷穷多多个个..
答答题题区区
x2—x 1
3血7((22001100,,11题题，,44分分))函函数数ff&(x)) ==
x2—1
J1】++ §
的
的
无
无
穷
穷
间
间
断
断
点
点
的
的
个
个
数
数
为
为
x2
((A A0 ) .) 0. ((BB))1l.. ((C0)22.. ((DD))33..
答答题题区区
,25
・25・►►
数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解提析高籍■(（数数学学二二)）
2
2
(1+sin t))
更38(（22001155,,22 题题，,4 4分分）)函函数数，f（(zx）) == lliimm（l+—x ）,在在（(一-8o,,++co8)）内内
→t-*0o \ x /
( （ A A ) ） 连连续续.. ( （ B B ) ） 有 有 可 可 去 去 间断 间 点 断 . 点 . ( （ C C ) ） 有 有 跳 跳 跃 跃 间断 间 点 断 . 点 . ( （ D D ) ） 有 有 无 无 穷 穷 间 间 断 断 点 点 . .
答题区
答题区
人1 — cos√x
1 — cos 蚯, x>0,
3更9(（22001177,,11题题，，44分分）)若若函函数数顶f（(工x）)== \ — a H .x x>0, 在 在工 x= = 0处 0 连 处 续 连 ， 续， 则 则
b, x≤0
b, •z < 0
1 1
·
((AA))a沥b == 号 2 , ( ( B B ) ) a 沥 b = = — —2 ((CC))aabb == 00.. ((DD))a泌b == 22..
答答题题区区
入 2-ax,x≤-1,
2 — or, x<-l,
{ -1,x<0, x,
z v 0,
4 H ( C 2(0 2 1 0 8 18 , , 3 3 题 题，，4 4分分))设设函函数数 / f ( ( x x ) ) = = 1. x>0, g g ( (z x ) )= -—11 < 0,
x-b, x≥0.
x — b, •z 2 0.
f/((xx))++gg(x()x在)在R上R连上续连，续则，则
((AaA))a == 33,,6b ==1 .1. ( (B B ) ) q a = = 33,,6b ==2 2.. ( ( C C ) ) a q = =— — 3 3. ,》 b = =1 1. ( (D D) )q a= = - — 3,3b,》== 22..
答答题题区区
e=In|1+xl
(32)0(22002,02,题2题，,44分分))函函数数/f((xx)) == e：ln I ： + * |的的第第二二类类间间断断点点的的个个数数为为
((ee 2—— l1))((zx —— 2Z))
((l.AA))1. ((BB))22.. ((C0)33.. ((DD))44..
答答题题区区
·26 ·
・26 -第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续 44
X
小结
小结
这这里里主主要要有有以以下下三三类类问问题题：：
11.. 讨讨论论函函数数的的连连续续性性..
常常用用的的方方法法有有：：
(1)利用连续的定义(特别是分段函数的分界点).
（1） 利用连续的定义（特别是分段函数的分界点）.
(（22)） 利利用用连连续续函函数数的的运运算算法法则则(四（四则则、、复复合合及及反反函函数数).）.
(3)利用初等函数在其定义区间内都是连续的.
（3） 利用初等函数在其定义区间内都是连续的.
2
2
.
.
求求已已知知表表达达式式函函数数的的间间断断点点并并判判别别类类型型..
首首先先求求出出函函数数没没有有定定义义的的点点(（必必为为间间断断点点)）和和分分段段函函数数分分界界点点(（可可疑疑间间断断点点)）,，再再对对以以上上点点按按间间
断断点点的的分分类类判判别别其其类类型型..
3.求由极限式定义的函数的间断点并判别其类型。
3. 求由极限式定义的函数的间断点并判别其类型.
此类问题首先求出极限，得到所要讨论的函数f(x)的表达式，然后再求间断点并判别其类型.
此类问题首先求出极限,得到所要讨论的函数/（x）的表达式，然后再求间断点并判别其类型.
（0；
解题加速度
解题加速度
|x|—1
1 1 . . (（2 2 0 0 1 1 3 3 , .数数三三，， 4分4分）)函函数数 / f （ (工x）)== |的的可可去去间间断断点点的的个个数数为为
xxk(xx ++1 D)linn |I xxI |
(（AA)）00.. (（BB)）1l.. (（C0)22.. (（DD)）33..
两草登何
人(zx， ,x1≤ <0 0,,
22.. (（22001166,,数数一一，，4 4分分）)已已知知函函数数/Xf(zx） )== \ 11 , 1 1 则
0,
__ XaC0S x—2'7, X > 0, ,
日2(2(2001155,,33题 题，,44 分分))设设函函数数 /(fx(x) )== 〈 1 ((aa>>00,,βg>>00)),,若若 ff ((xx))在在 zx == 00处 处
0,
x≤0,
、0, z W 0,
连续，则
连续，则
((AaA))α —- βB >>1 1.・ ( (B B) )0 0 V >2 2.. ( ( D D ) ) 0 0 < V α a - — β /? ≤ < 2 2 . .
答答题题区区
03((22001188,,22题题，,44分分))下下列列函函数数中中，，在在x x== 00处处不不可可导导的的是是
((AA)) ff(ixx)')= =|x | |xs i| nsi|nx | |x. |. (B)f(x)== || x工| s| isinn√ T xxT .|.
a/|
(/((CCx)))f(x) == ccooss || xxI .|. ( (D D) ) f /( ( x x ) ) = — c c o o s s √ \/\ T x x T \ . .
答答题题区区
Q((22002222,,33题题，，55分分))设设函函数数/f((xx))在在xx= x=。 x处a处具具有有2阶2导阶数导数，，则则
((AA)) 当当f/((xx)在)在x。工。的的某某邻邻域域内内单单调调增增加加时时,，/(fx(x0?) )>>0 0..
((B
B
)
)
当
当
f
/
(
(
x
x
o
o
)>
)
0
>
时 ，
0时
f(
，
x
/
)
&
在
)
x
在
。
x
的
o
某
的
邻
某邻
域
域
内
内
单
单
调
调
增
增
加
加
.
.
((CC)) 当当f(/x()x在)在x。x的o的某某邻邻域域内内是是凹凹函函数数时时，、ff”'0(x)? )>>0 0..
((DD)) 当当f，”((工x。?))>>0 时0，时f，了(x()工在)x在。x的o的某某邻邻域域内内是是凹凹函函数数..
答答题题区区
。29
. 29 .►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■腿高■篇((数数学学二二))
X
小结
小结
这这里里常常见见的的是是以以下下两两种种问问题题：：
f(x)-f(x?)
((11)) 已已知知f六(x工)在)在x。而处处可可导导，，求求与与/f■(x&))在在工x。。点点导导数数定定义义Zf((xX?o))== l liimm /(x)2 有有关关的的
→ x-*x 0 0 x工— 工。 JCq
极极限限，，请请总总结结解解决决此此类类问问题题常常用用方方法法；；
f(x)-f(x。)
( ( 2 2 ) ) 上上一一种种问问题题的的反反问问题题..已已知知与与 / f ( ( x x) ) 在在工x。。点点导导数数定定义义 Z f((x x ? 0 ) ) = = l l i im m x—xa 有有关关的的
→0 X Xq
极极限限存存在在，，问问/f((Xx))在在x
X
。
q
处处是是否否可可导导?？
d；
解题加速度
解题加速度
((22002200,,数数一一，，4分4分))设设函函数数/f&(x))在在区区间间((--11,,11))内内有有定定义义，，且且lilmim/(fx()x )== 00,,则则
xx→—00'
((AA)) 当当l liimm
f
1
(x 吃))：==0,0f,/((xx))在在
xx= 0=处 0 可处可导导..
√TxT
rL→0。
f(x)
((BB)) 当 当 lliimm 久 x2 孕==0,0f,/((xx))在在xx= 0=处 0可处可导导..
→X-00 X
(C) 当 /(x)在 X = 0 处可导时,lim f
f(
"
x
)
)、==00..
(C)当f(x)在x=0处可导时，lim
√TxT
r→0
(D) 当/(x)在工=0处可导时，lim " f(x 2 ) ==0 0..
(D)当f(x)在x=0处可导时，lim x2
→0 X
X—0
演算空间
二二、、导导数数与与微微分分计计算算
=
d2y
且5 ((22。 0 。 099,, 】 122 题 题,，4分 4分 ) ) 幻 设 = y 炉 =y( ) x 是 )是 由 由 方 方 程 程x 5 y+e° — =x+1 + 确 】 定 确 的 定 隐 的 函 隐 数 函 ， 数 则 ，则整.广——■
dr
x=0
答答题题区区
· 30 ·
-30 -第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
^31
(
(
2
2
0
01
1
0
0
,
,
11
1 1题题
,4
， 分4)分函)数函)数 =y
l
=
n
I
(
n
l
(
—
1
2
-2
x
x )在)在
x
x
=
= 0
0
处 处的的n阶"阶导导数y数(W
(
(
0
0
)
)
=
= _.
.
答题区
答题区
■
((2
2
0
01
1
2
2
,
,
2
2题题
,
， 4分4分)设)设函函数数六f工(x))==((e为2-一1)
1
(
)(
e职2?一-2
2
)… )”・((e
e
—
" —
n)
n
,
)
其 ,其中中n为 n为正正整整数数，，则则了，( (
0
0
)
)
=
=
(((AA))(—-1l))-L1i((nn -—1)1!)!.. ((BB))((--1l))”n((nn--l1))!!..
((CC))((一-1 1)*)'1n汨!.. ((DD))((—-11))"%n!!..
答题区
答题区
= _,
d2y
屈 8(( 的 201 2 2, ,9 9题 题 ， ,4 4 分 分 ) ) 设 设 尸 y= 川 y( ) x) 是 是 由 由 方 方 程 程 — x2-y+1=e所确 所 定 确 的 定 隐 的 函 隐 数 函 ， 数， 则 则并_ =—,
dr
x=0
答答题题区区
=
d(2(2001133,,22题题，，44分分))设设函函数数y y== ff((x工))由由方方程程ccooss((xxyy) )++ Ilnn yy -—x x=1 =确 1定确，定则，则li临mn72 [ [ ( ，(号 2 ))-一11 ] ]=
n
*00
((AA))22.. ((BB))1l.. ((0C-)1-1 . ((DD))--22..
答答题题区区
·31·
・31数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►► 数学历年真题全精解析• (数学二)
J
①rn( ( 22001133,,1100题题，,44分分))设设函函数数/(fx()x )== L√』\ I—-甘ed出t,,则则y y== f/((xx))的的反反函函数数z =x=广?("y)))在在
=__ _.
-1
dx
y、 ==0处0处的的导导数数尹 =_________・
dy
y=0
d) y-0
答答题题区区
Ⅱ[[)((22001144,,1100题题，,44分分))设设/f((xx))是是周周期期为为44的的可可导导奇奇函函数数，且，/且(xf)( x=)= 22((xx--1l)), 口x∈ 6[ 0[0,2,2],],则则
f/((77) )== . _
答答题题区区
= _
{ x= arctan t, d2y
｛二算:噫
1[£2((22001155,,99题题，，44分分))设设
y=3t+r,
则
dx2
=1
答答题题区区
1[£③(2(021051,150, 1题0，题4 分，)4函分数)函/(]数) f=( xx2)2=x x在2 2z* =在0x =处0的处〃的阶n导阶数导 了数 0(f0() (=0)= _.
答答题题区区
·32 ·
-32・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
= .
x=t+e', d2y
圆（2017,10题,4分）设函数丁 =炉）由参数方程］；二：广确定测制 ° ='
叫(2017,10题，4分)设函数y=y(x)由参数方程 y = sin t 确定，则 dx2
t=0
答答题题区区
=__ _.
?z
1E5((22001188,,1133 题题， ，4 4分分)设)设函函数数 z x== sz:((xx,,y>))由由方方程程 Ilnn zx ++e e~*-11= =xy x确y 定确，定，则则判 ,=________ .
3x (2.4)
(J jC I (2,方)
答答题题区区
x=t— sin t. 3π
(［E2<01290,191,01题0题 ，,44分 分 ) ） 曲 曲 线 线［工一 ' — sin t, 在 在 t ， = = 藉 2 对 对 应 应 点 点 处 处 的 的 切 切 线 线在 在 y y 轴 轴 上 上 的 的 截 截 距 距 为 为
y = 1— cos t
= 1 — cos t 乙
答答题题区区
17(2020,4题，4分)已知函数f(x)=x2ln(1-x),当n≥3时，f(0)=
[Jj(2020,4 题,4 分)已知函数/(*) = x2ln(l-x),当偿3 时,广(0)=
n! n!
((AA))一
n—2°
((BB))
n—2'
71 — 4 n-2,
((Cc))一3
(n-一
n
2)约! ·
((DD))
((n〃 一—
n
2 2 ) ) ! ·
n n
答答题题区区
·33·
-33・数学历年真题全精解析·醒离盖(数学二)
►► 数学历年真题全精解析•■■（数学二）
=__ _.
国 题, 分 {x= 七 √t 口 +1, 』，d凯2y =—.
18(52020,9题，44分)
dx =1
y=ln(t+√2+1),
答答题题区区
=
x=2e'+t+1, d2y
皿 9(2 （ 022 。 12, 】 1 ,122题 题 ，,55分 分） )设 设 函 函 数 数 y 、 = = 川 y(x) ） 由 由 参 参 数 数 方 方 程 程{《驾二确定，则窘|『=
y =4(t-1)e2+t2 确定，则 dx2
r=0
答答题题区区
2亚0((22002211,,55题题,，5分5分)设)设函函数数/(]f)( x=) =s escexc在x在z x==0。处处的的22次次泰泰勒勒多多项项式式为为11++皿ax++b城x22,,则则
1
1
((AA))q a = = 1 1 , ，。 b = = — - 2 号. ((BB))q a== 11,,5b==§2 ・
。
1 1
((CC))a a== 00,,6b ==—-
2
. ((DD))q a== 00,,6b == §
2
・
答答题题区区
2团1(（22002222,,112题2题,5，分5）分已知)已函知数/函 =数 了y&=）y由(x方)程由x方2 +程xyx+2+yx3 y=+ 3y确3=定3确，则定丁”，（1）则 =y”(1)=.
答答题题区区
·・3
3
4
4
·・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
f(e2)-3f(1+sin2x)
2困2((22002222,,1177题题，，1100分分))已已知知函函数f数(x)在在*x ==1 处1处可可导导，，且且lliimm g ) — 3项也也 ==22,,求求
x2
xx→-*00 X
f(1).
/(I).
答答题题区区
X小小结结
导导数数与与微微分分计计算算属属基基本本运运算算，，几几乎乎年年年年都都考考，，主主要要有有以以下下几几种种题题型型：：
11.. 复复合合函函数数求求导导..
22.. 隐隐函函数数求求导导..
33.. 参参数数方方程程求求导导..
44.. 高高阶阶导导数数计计算算..
。
55.. 分分段段函函数数的的导导数数..
(J；
解题加速度
解题加速度
= _
x= e-',
{
X =广,
d2y
1 1 . . (2 ( 0 2 1 0 0 1 , 0 数 ,数 一 一 ， ， 4 4 分 分 )设 )设」 r> , 则 则 ! 旺 =_______ •
y = ln(1+u2)du, dx2
j/ = I ln(l + u2)du, & tt == 00
演算空间
·
- 3
35
5
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►► 数学历年真题全精解析■(数学二)
=_ _.
{ ln√x,x≥1, dy
控：："))，雌
22.. ((22001122,,数数三三，，44分分))设设函函数数 /X f( h x ) ) = = 2x-1,x<1, y=f(f(x)),则 dx x=e
属算空同
33.. (2(200113,3数,数一一，，4 4分分))设设函函数数、y ==f/((xx)由)由方方程程y -yx —= xe 2=1- eyx)(1确-y> 定确，定则，则lim临n [ 7?[/ 1
n
(§ )-)—1 ] 1 = ]=
→-00
疾育空间
工
44.. (2（021061,6数,数一一，，44 分分)）设设函函数数f (fx （)工=） a=rcatractna nx —x —1 +ax2—,且，且f 广(0（)0）= 1=, 则1,则a = _.
]t十 — az q
擒情空同
三三、、导导数数的的几几何何素意义义及及相相井并变变化化率率
2函3((22001100,,33题题,，4分4分)曲)曲线线y =y =xx22与与曲曲线线丁y ==a allnn xx((aa≠丈00)相)相切切，，则则a=
q =
((AA))44ee.. ((BB))33ee.. ((CC))22ee.. ((DD))ee..
答答题题区区
。36
・36 -第第二二章章 一
一
元
元
函
函
数
数
微
微
分
分
学
学 44
x=t2+7,
— / | 7
24(2014,4题，4分)曲线 y=t22 +4t' +1上上对对应应于于tt==1的1的点点处处的的曲曲率率半半径径是是
V =产 + 4t+1
√10 √10 ·
(A)鎏. (B)深. ((CC))1I0O √/I1O0.. ((DD))55 √71100..
(A) (B)
50 100
oU luu
答答题题区区
人x=du,
jp — I e—" d"
2困5(（2200090,99,9题题，,44分分)）曲曲线线｛ J。 '在在（(00,0,）0处)处的的切切线线方方程程为为.
0
y=t2ln(2-t)
我=tz ln（2 — i2）
答答题题区区
2§60(2（201001,01,13题3题，,44分分)）已已知知一一个个长长方方形形的的长长L,以以22cmc/ms/的s的速速率率增增加加，，宽宽ws以以3c3mc/ms的/s速的速率率增增加加，,
当当lZ ==1 21c2mc,mw,=w5 c=m ,5它cm的,它对的角对线增角加线的增速加率的为速 率 为_.・
答答题题区区
_ 人[ x x = = a r a c r t c a t n a n t t . ,
2函7(（2200113,31,122题题，,44分分)）曲曲线线｛ , 一上上对对应应于于t t== 11的的点点处处的的法法线线方方程程为为_ __ _ _ _ ___.,
y= In√1+z
（y = In Vl + t2
答答题题区区
·37 ·
・37・►►数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解提析高■籍((数数学学二二))
π π
( ,” )
2巫8((22001144,,1122题题，,44分分))曲曲线线LL的的极极坐坐标标方方程程是是r r==0」,,则则LL在在点点(3r,,θ0))== (专，号)处处的的切切线线的的
2 2
直直角角坐坐标方标程方是 程 是 _..
答题区
答题区
巫29((22001155,,2211题题，，1010分分))已已知知函函数数/(fx(x))在在区区间间［a(, a+,+8oo))上上具具有有22阶阶导导数数/(，af) (=a) 0=0,/,(fx()x )>> 00,,
”(x)>0.设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x。,0),证明：a 0.设b> CL,曲线丁 = /(x)在点(Q, f(b))处的切线与］轴的交点是&0,0)，证明:a + +j)==e' 在e>点在(点0,(00),处0)的处切的线方切程线为 方 程 _为. .
4
演算空间
=_ _.
22.. ((22001133,,数数三三，，4分4分)设)设曲曲线线)y==f/((xx))与与y=y x=2— x2x 在— 点z在(1点,0()1处,0有)处公有共公切共线切，线则，则
n
limnf
四m击)=--------•
n+2
→00
演算空间
33.. (2(021051,5数,数一一，，1100分分))设设函函数数f，((x了)在)在定定义义域域II上上的的导导数数大大于于零零..若若对对任任意意的的工x。?∈£ II,,曲曲线线y；y= =
f/((xx))在在点点(Cxx0o ,,/f((xx0?))))处处的的切切线线与与直直线线工x==xx。0及及工x轴轴所所围围成成区区域域的的面面积积恒恒为为44,,且且/fX(00) )==2 2,求,求
f
/
(
(
x
x
)的 )的表表达达式式，.
演算空间
44.. ((22002200,,数数三三，，4分4分)曲)曲线线x +x+ yy ++e e22=xy0 =在 0点在(0点,(—0,1 —) 处1)的处切的线方切程线为方 程 为_. .
满算空国
· 41 ·
-41►►
数数学学历历年年真真题全题精全解精析解·提析高■疆((数数学学二二))
四、函数的单调性、极值与最值
函数的拿调推、极值与置值
3
2
6
2
(
(2
2
0
0
1
1
1
1
,
,
3
3 题
题
，，4 4
分
分
)函
)函
数
数
/(
f
x
(
)
x )
=
=
In
I n
|
|
&
(
一
x-1
1
)(
)0
x-
—
2)
2
(
)
x
&
—
—
3)
3
|
)
的
| 的
驻
驻
点
点
个
个
数
数
为
为
((AA))00.. ((BB))1l.. ((0C)22.. ( ( D D) )3 3 . .
答题区
答题区
9
57
0
(
(2
2
0
01
1
0
0
,
,1
1
5
5题
题
，
，10
1
分
0分
)
)
求
求
函
函
数
数
/(
f
x
(
)
x )
=
=
j" ((xx22 —-i)te)e-2,2ddtz的的单单调调区区间间与与极极值值..
1
答答题题区区
更
38((2
2
0
0
0
0
9
9
,
,1
1
3
3
题
题，，
4分
4分
)函
)函
数
数
v =
y=
产
x2 在
在
区
区
间 间((
0
0
,
,
1
1
］
)
上
上的
的
最
最
小值
小
为
值 为
_.
.
答答题题区区
·42 .
. 42 .第二章一元函数微分学??
第二章一元函数微分学 〈V
3亚9(（22001144,,1166题题，，101分0分）已)已知知函数函V数 =y=伙y2(x）)满满足足微微分分方方程X程2 +x2y+yy2 y=' =11 —- y',且且火y(22） )== 00..求求
y
>
(（x
x
)
）
的的极极大大值值与与极极小小值值..
答题区
答题区
yt
4IE0(（22001166,,44题题,，4分4分）设)设函函数数r（fQ(x在)在（一(-8,,++c)8内）连内续连，续其，其导导函函数数
的的图图形形如如图图所所示示，，则则
(（A
A
)
）
函
函
数
数
f(
/
x
（x
)有
）有
2个
2个
极
极
值
值
点
点
，
，
曲
曲
线
线v
y =
=
f
/
(
（
x
x
)
）
有
有
2个
2个
拐
拐
点
点
.
.
.
(（BB)） 函函数数f *(x)）有有2个2个极极值值点点，，曲曲线线丁y == f六(工x)）有有3个3个拐拐点点..
(（C
O
)函
函
数
数
f
/
(
（
x
x
)
）
有
有
3个
3个
极
极
值
值
点
点
，
，曲
曲
线
线
、
y=
=
f
/
(
（
x
x
)
）
有
有
1个
1个
拐
拐
点
点
.
.
x
0
(（DD)）函函数数f/(x（x)）有有3个3个极极值值点点，,曲曲线线了y == f/(（xx)）有有2个2个拐拐点点..
答答题题区区
』J(2（021061,61,166题题，，1100分分）)设设函函数数/fU(x） )==£ |I tr2 --x2^| d|t c(kx（x>0>)0,求）,求 f( ， x) （ 并 工） 求 并 f 求 (x ， )（z的）最 的最 小 小 值 值 . .
0
答答题题区区
·43 ·
. 43 .►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■提高■篇((数数学学二二))
x2, x>0,
((-r2x Z > 0
[4£2((22001199,,1155题题，，1100分分))已已知知函函数数/(f(xx))== ' '求求广f((x工),)并，并求求f/(Xx)z的)的极极值值..
xe'+1,x≤0,
\xex + 1, z < 0,
答题区
答题区
人e2—1
e* — 1 ,x≠0,
x 0,
Jg((22002211,,22 题题，，5 分5分)函)函数数 /f((xx))== - x 在在xx ==0 0处处
1, x=0
1, x = 0
((AA))连连续续且且取取得得极极大大值值.. ((BB))连连续续且且取取得得极极小小值值..
((CC))可可导导且且导导数数等等于于零零.. ( ( D D) ) 可可导导且且导导数数不不为为零零..
答题区
答题区
X小结
小结
这这里里主主要要是是三三个个基基本本问问题题：：
11.. 判判断断函函数数单单调调性性的的常常用用结结论论：：
((11)) 设设f，(x()工在)在[a［,ab]上,连上续连，续在，在(a(,ab,)b内)内可可导导，，
①① 若若在在((aa,,bb))内内/f((xx)) >>0( 0<0«), 0则),f则(x/)(在x[)a在,［ba],上疆单上单调调增增加加((减减少少))..
②若在(a,b)内f(x)≥0(≤0),且在(a,b)的任意子区间上f(x)羊0,则f(x)在[a,b]上
② 若在(a,b)内/(x) >0« 0),且在(a,b)的任意子区间上/(x)尹0,则在［a/］上
单单调调增增加加((减减少少))..
((22)) 设设f，((x工)在)在区区间间I上1上可可导导，，则则
f/((xx))在在区区间间II上上单单调不调减不(增减)?f((增x)≥>0 0(≤(<0 0))..
2
2
.
.
求求函函数数的的极极值值..
分两步进行：
分两步进行；
(1)求出可能的极值点，即驻点和导数不存在的点.
(1) 求出可能的极值点，即驻点和导数不存在的点.
((22)) 对对以以上上两两种种点点用用极极值值充充分分条条件件作作判判定定..
·44 ·
. 44 .第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 ◄◄
33..求求最最大大最最小小值值..
主主要要是是两两类类问问题题：：
(1)求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值.
(1) 求连续函数/(x)在闭区间也,切上的最值.
首首先先求求出出f/((xx)在)在(a(,ab,)b内)内可可能能的的极极值值点点，，即即驻驻点点和和导导数数不不存存在在的的点点，，然然后后将将可可能能的的极极值值点点上上
的的函函数数值与值两与端两点函端数点值f函(a数),f值(b)比比较较，，便便可可得得到到/f((xx))在在[史a,,b研]上上的的最最值值..
若若f八(x工)在)在(a(,ab,)b内)内只只有有唯唯一一的的极极值值点点，，且且在在该该点点取取得得极极值值，，则则该该极极值值必必为为f心(x)在在[［aa,,5b］]上上的的
最最值值..
((22)) 求求最最值值的的应应用用题题..
首首先先建建立立目目标标函函数数并并确确定定其其定定义义域域，，此此时时问问题题转转化化为为((
1
1))进进一一步步求求解解..
d；
解题加速度
解题加速度
f(x)
1 1 . . (1 (1 99 9 6 9 , 6 数 ,数 一 一 ， ，3 3 分 分) ) 设 设 f 六 (x 二 )有 )有 2阶 2阶 连 连 续 续 导 导 数 数 ， ，且 且 / f ( ( 0 0 ) ) = = 0, 0 l , i 1 m 血 x £ T 蝉 = 1 = ,1则,则
→x-»00 I JC |
((AA))f y((0o))是
a
f(
/
x
(
)
x
的
)
的极极大大值值..
((BB)) /f((00))是是f—(x)的的极极小小值值..
((0C)((00),/f((00))))是是曲曲线线vy ==f (/x()x的)拐的拐点点。.
((/(DD0)f))(0)不不是是f/('x()z的)的极极值值点点，,((00,,/f((00))))也也不不是是曲曲线线Vy == f/((xX))的的拐拐点点..
演算空间
22.. (2(201001,0数,数三三，，44分分))设设函函数数八f(工x))，,gg((工x))具具有有22阶阶导导数数，，且且gg"(”z)( xV) <00..若若gg&(xo?))== aQ是是gg(x()i极)极
值值，，则则yf((gg((xx))))在在x了。。取取极极大大值值的的一一个个充充分分条条件件是是
((AA))f/((aa)) <<0 0.. ((BB))f/((aa)) >>0 .0. ( (C C) ) f /( ( a a ) ) < <0 0 . . ( (D D) ) f /( ( a a ) ) > >0 0 . .
联算空同
33.. (2(021071,7数,数一一，，44 分分))设设函函数数 /f((xx))可可导导，，且且 /f((xx))/f((xx)) >>0, 0则,则
((AA))f/((l1))>f(-1). ((BB))f/((l1)) <(1)|> ||f/((--1D)||.. ((DD)|)|f/((1l))||<< ||f/((--1l))1|..
演算空间
。45·
・45・► ►
数数学学历历年真年题真全题精解全析精·解提高析篇■(（数数学学二二)）
4
4
.
.
(2
（2
0
0
1
1
7
7
.
.
数
数
一
一
，，1 1
0
0
分
分
）
)
已
已
知
知
函
函
数
数
火工
y(
）
x
由
)由
方
方
程
程
x3
x
+
3
j
+
-
y
3
3
-
-
3
3
x
x+
+
3 y
3
-
y
2
-
=
2
0 确
=
定
0
，
确定
求
，
y
求
(x
；y
)
C
的
r）
极
的
值
极值
.
.
源勇空回
00
五五、、命曲线线的的凹向曲、、拐携盗点.及及渐渐近近线维
人x= 1 1 ,
+t十
3' 3
Xo O
四(（22001111,,1166题题，，1111分分）)设设函函数数、y == 、y(&x)）由由参参数数方方程程〈 确确定定，，求求函函数数/y ==
1 1
y = t3-t+
3 3
y(x)的极值和曲线y= y(x)的凹凸区间及拐点.
火工）的极值和曲线V =伙]）的凹凸区间及拐点.
答答题题区区
2x3
4[5£(（22001100,,1100题题，,44分分）)曲曲线线丁y == 奔y的的渐渐近线近方线程为方 程 为 _.-
x2+1
答答题题区区
·46 ·
・46・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 4A
x2+x
昵(2012,1题,4分)曲线v =号土专的渐近线的条数为
46(2012,1题，4分)曲线y= x2-1 的渐近线的条数为
((AA))00.. ((BB))1l.. ((C0)22.. ( (D D) ) 3 3 . .
答答题题区区
√2
4U7j((22001122,,1133题题 ， ，4分4分)曲)曲线线y =y= Xx22 ++xj(c(xx<0<) 上0)曲上率曲为率! 为的#点的的点坐的标是坐 标 是_..
2
答答题题区区
愚48((22001144,,22题题，,44分分))下下列列曲曲线线中中有有渐渐近近线线的的是是
((AA))yy ==x +zs +i nsi nx x.. (y(BB))y ==x 2
jc
+2 sinsi nx x..
1 1
((jzCC))y == xz ++s isinn —x. ((DD)Ry ==x 42++ssiinn 手 x .
答答题题区区
y
3493((22001155,,44题题，,44分分))设设函函数数/f((zx))在在((-一∞8,,++?o8)内)内连连续续，，其其22阶阶导导函函数数
f"w
”fS(x))的的图图形形如如图图所所示示，，则则曲曲线线、y==f/((xx))的的拐拐点点个个数数为为
((AA))00.. ((BB))1l..
((C0)22.. ((DD))33.. x
O
答答题题区区
·・47 4 7
-数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提高篇(（数数学学二二)）
x3
更50(（22001166,,99题题,，4分4分）)曲曲线线v y== 击++a racrcttaann(（1l ++x2)0的的斜斜渐渐近近线线方方程程为为 —— _。
1+x2
答答题题也区
2
5列1(（22001177,,99题题，，4分4分）曲)曲线线了 y== xx ( （1l ++a racrscisnin号)）的的斜斜渐渐近近线线方方程程为为_ _.
x
答答题题区区
§5@2(（22001188,,101题0题,4，分4）分曲)线曲y 线= yx=2 x+2 2+12n lxn在 x在其其拐拐点点处处的的切切线线方方程程是是.
答答题题区区
π
5困33（(22001199,,22题题,4，分4分）曲)曲线线y =y= xxssiinn x x++ 22ccoossx工 ( 一分V>0
)0的)斜的斜渐渐近近线线方方程程..
((11 ++zx))
答答题题区区
5史5((22002211,,1188题题，，1122分分))已已知知函函数数/(fx(x))== 匕x|x'l ,，求求曲曲线线》y==f(x)的凹的凸凹凸区区间间及及渐渐近近线线..
1+x
■■ L ~v X
答答题题区区
小K小结结
这这里里主主要要是是三三个个基基本本问问题题：：
11.. 确确定定曲曲线线Vy ==f (/x()X的)凹的凹凸凸区区间间..
设设f
/
(
(
x
x
)
)
在在[
［
a
a
,
,
b跖]上上连连续续，，在在
(a
(
,
a
i>
,b )内)内
2
2阶阶可可导导，若，在若
(
在
a,
(
3
a
)
,内b)/内'(f*")(>x )
0
>
(
0
V
( <
0
0
)
)
,
,则则曲曲线线
V
y
=
= f
/
(
(x
x)
)
在在区区间间[也a,,b危]上上是是凹凹((凸凸))的的..
22.. 求求曲曲线线的的拐拐点点..
拐拐点点只只可可能能出出现现在在两两种种点点处处，，即即22阶阶导导数数为为零零和和22阶阶导导数数不不存存在在的的点点处处.•
((11)) 设设子/”(血(x)?)==00或或f”尸((xZ。o))不不存存在在，，若若/f((xx))在在x了。。点点两两侧侧变变号号，，则则点点(x&o。,/f((*x?。))))为为曲曲线线
y§= f=(/x()X的)拐的点拐；点若；若f(，x()力在x在。血点点两两侧侧不不变变号号，，则则点点((Xx。o,/,(fX(ox)?))不)不是是曲曲线线V y==f，(x(工)的)的拐拐点点.•
((22)) 若若 (/x(?x)0=)0 =,f 0”,(/x(?了)。≠)丰0, 0则,则点点(x(xoo,,f/((xT?o))))为为曲曲线线、y==f(/x()x的)的拐拐点点..
·49 ·
. 49 .►►
数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解提析高■篇((数数学学二二))
33..求求曲曲线线的的渐渐近近线线..
渐渐近近线线有有三三种种..
→
((11)) 铅铅直直渐渐近近线线.若.若liml，im(工f()x=)=8c(o或(或limli/m(fx() x=) =8co,,或或lilmi顶mf(工(x)=)= 8co)),,则则工x二=x了。。为为曲曲线线、y==
→L1，0。 LH； 一L请'J
/f((Xx))的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线..
(
(2
2
)
) 水水平平渐渐近近线线.若.若
lim
l
/
i
(
m
x
f
)
(
=
x )
A
= (或A(
l
或
im
l
/
i
(
m
x )
f
=
(x
A
)=，或A, 或
lim
l
f
i
(
m
x )
f (
=
x
A
)=
)
A ,则),
j
则
=
y =
A
A 为为曲曲线线
y
y
=
=
X-*CO X→—»—--0CO0 Xx →»4+~0°°0
/f((xx))的的一一条条水水平平渐渐近近线线..
f(x)
( (3 3 ) ) 斜 斜 渐 渐 近 近 线 线 . . 若 若 l l i im m £ x &> ==a 々 , ， 且 且 lliimm ( (yf (x()x —)- aazx) )== b6,,则 则 yy ==a axx+ +b 为b 为 曲 曲 线 线 y ；y= =f( /x()x的)的 一 一
X-*OO JC X-»OO
工→00
条斜渐近线
条斜渐近线.
(0；
解题加速度
解题加速度
11.. ((22000077,，数数三三，，101分0分)设)设函数函;数y =y =jy/((xx))由由方方程程^lynl ny y—- xx~+\~y =y 0=确 0定确，定试，试判判断断曲曲线线yy= =y( yx()x)
在在点点((11,,11))附附近近的的凹凹凸凸性性.
满异空间
22.. ((22001100,，数数三三,4， 分4分)若)曲若线曲 线=y x=3x +3+ aaxx2 2++ b&xz ++1 1有 有拐拐点点((-一11,,00)),，则则 bb == _. .
演算空间
,50·
-50 -。
第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
◄◄
3.(2012,数三，10分)已知函数f(x)满足方程f'(x)+f(x)-2f(x)=0及f(x)+f(x)=2e2.
3. (2012,数三，10 分)已知函数八z)满足方程 /(x)+/(x)-2/(x) =0 及fCr)+/U) = 2e\
((II) )求求f(/x()x的)表的达表达式式；；
((ⅡII))求求曲曲线线 >y ==f/((xx22))pf/( ( --t«22) ) ddt«的 的拐拐点点..
演算空间
六六、、证证明/函函数数不不等等式式
x2
1+x
5
0
6
0
(
(
2
2
0
0
1
1
2
2
,
,
2
2
0
0
题
题
，
，
1
1
0
0
分
分
)证
)证
明
明
：
：
x
招
ln
n 壮兰 ++c cooss xx ≥> 11 ++ g(
(
—
-
1
1
<
gg((xx)).. ((BB))当当广f((工x))≥20 0时 时，,f/((xx))<≤gg((xx))..
( ( C C ) ) 当当 f / ( ( x x ) ) ≥ > 0时 0 ，时f/(&x))≥ 2 g ( g x(w ).). ((DD))当当 了/(x(x)) ≥2 00时 时，f(,x)<≤ gg((xz))..
答答题题区区
。
5史8((22001188,4,4题 题 ，,44分分))设设函函数数f/((xx))在在[［00,,11]］上上2阶2阶可可导导，,且fi£/f((xx))ddxx ==0 ,0则,则
((AA))当当 f/((xx))< 0<时 0， 时f| ( 1 2 )<0 0 . . ( ( B B) ) 当当 f / ” (x ( ) x ) V <0 时 0 时，f( ( 1 2 ) <0 0 . .
((CC))当当 f/((xX))>>0时 0 时，f ( 1 2 )<0 0 . . ( ( D D) ) 当 当 f / " ( ( x x ) ) > > 0 时 0 时 ，f( ( 2 1 ) <0 0 . .
答答题题区区
斐59((22001188,,118 8题题，，10 1分0分)已)已知常知数常-f数e >k ≥In I2 n-2 -11..证证明明：(：x -( xl-)(1x) (-x -lnI2nx2 +x+ 22Aklnl nxx --1 1))≥ >0 0..
答答题题区区
,52
. 52 .第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 ◄◄
50(2020,6题，4分)设函数f(x)在区间[-2,2]上可导，且f(x)>f(x)>0,则
制（2020,6题,4分）设函数/（x）在区间［一 2,2］上可导，且/（x） > /（x） > 0,则
( （ Aa) ）
f
f
y
f
(
( （
（
—
-—
-
1
2 2
l)
) ）
）
>>
>
1 .］
上
( （
（
BB
B
) ）
） fy
f
( （
(
_-
0
1
)
i) ）
>>
>
e
e
e.
.
( （
（
CC
5
)）
,f
顶f
( （
(
_-
⑴1
1
)
］) ）
)在在（(一一8，, ++c)8内）具内有具2有阶2连阶续连导续数导.数证.明证：明f/''(（了x)）≥2 00的的
a + h 1
充分必要条件是对不同的( 实数)≤洁云［：/（*）&.
充分必要条件是对不同的实数a,b,f 2 b— a. f(x)dx.
答答题题区区
X小小结结
证证明明函函数数不不等等式式常常用用的的有有以以下下五五种种方方法法：:
11.. 利利用用函函数数单单调调性性..
22.. 利利用用函函数数的的最最值值..
33.. 利利用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理..
44.. 利利用用泰泰勒勒公公式式..
55.. 利利用用凹凹凸凸性性(定（定义义或或性性质质).）.
,53 ·
. 53 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►► 数学历年真题全精解析•■■（数学二）
d；
解题加速度
解题加速度
sin t.
(（22000099,,数数三三..44分分)）使使不不等等式式 s
t
' dt> >l1nn zx成成立立的的rx的的范范围围是是
1
π π
((AA))((00,,1l)).. (（BB)） ( （1y, 2 ) ）. ((CC)) (
2
2 7t
'
,
"
π) ((DD))((π tt,,++o8o))..
演算空间
七七、、方方程程粮根的的有存丘在悝性与与个个数数
5倒2(（22000099,,55题题，，44分分）)若若/子（工(x）)不不变变号号，且，曲且线曲y线 =y =ff（(xx）)在在点点（(11,1,）1上)上的的曲曲率率圆为圆x2为+y2== 22,,
则则函函数数/f'(（£x)）在在区区间间(（11,,22)）内内
(（AA)）有有极极值值点点，无，无零零点点.. （(BB）)无无极极值值点点，，有有零零点点..
(（C O )有有极极值值点点，，有有零零点点.. （(DD)）无无极极值值点点，，无无零零点点..
答答题题区区
国53(（22001122,,2211题 题，，1100 分分)）
(（II) ） 证证明明方方程程xx""++x~^1l++…-++xx==1(lnC为n大^J于大1于的1整的整数数)在）在区区间间(（§ 1 ,,11)）内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根；;
2
(（ⅡU)）记记(（I)I中）的中实的根实为根x为。了,”证，证明明lilmixm。工”存存在在，，并并求求此此极极限限..
n-*oo
0
答答题题区区
。54·
,54・______________________ 第 第二 二 章 ,一 一 元 元 函 函 ■ 数 微 微 分 分 学 学 44
cos x
3π 3π
5340((22001166,,2211题题，,1111分分))已已知知ff((工x))在在 [ ［0。,,琴
2
] ］上
上连
连
续
续
，
，在
在
( (00,,琴
2
) )内内是是函数函；数
2π
妾
—3
*
π
的的一一个个原原函函
数数，,/(fO(O)) == 00..
(
(
I
I
)
)
求
求
f(
/
x
&
)
)
在
在
区
区
间
间 [ ［0o,, 3 孝 π ] ］上上的的平平均均值值；；
2
((ⅡU))证证明明f/((x^))在在区区间间 ((00,, 3 琴 π) ))内内存存在在唯唯一一零零点点..
2
答答题题区区
5蜃⑤((22001177,,1199题题，，101分0分)设)设函函数数/f((xx))在在区区间间［[00,1,1］]上上具具有有22阶阶导导数数，，且且/(fI()1 )>> 00,, lliimm 及f(x^) <<
x
g l
x→
o
o++
z
00,,证证明明：：
((II))方方程程f(fxJ))= 0=在 0区在间区(0间,(10)内,1至)内少至存少在存一在个一个实实根根；；
((Ⅱ
U
))方
方
程
程
f
/
(
(
x
x
)
)
f
/
°
(x
(
)
x )
+
+ [
［
f
/
(
(
x
x
)
)
]2
?
= 0
=
在
0
区
在
间
区
(
间
0,
(
1
0
)
,
内
1)
至
内
少
至
存
少存
在
在
两
两
个
个
不
不
同
同
实
实
根
根
.
.
答答题题区区
· 55 ·
・55 ,数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
►► 数学历年真题全精解析• ■(数学二)
b
5任6((22002211,,44题题，，55分分))设设函函数数/"f((Zx))== a*r-—b l6n1n xx((aa> >0) 有0)2有个2零个点零，点则，则-a 手的
的
取
取
值
值
范
范
围
围
是
是
1 1 ,+ c
((AA)()(ee,+,+co8) ) .. ((BB))((00,,ee)).. ((CC))((00,,§
e
)). ((DD)()
e
(§,+8 )). ·
答答题题区区
x
小结
小结
方方程程根根的的问问题题通通常常是是两两个个基基本本问问题题：：
1.根的存在性问题.解决方法有两种：公
1. 根的存在性问题.解决方法有两
(1)利用连续函数的零点定理.若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则方程f(x)=
(1) 利用连续函数的零点定理.若心在上连续，且/(a)与fCb)异号，则方程/(x)=
00在在((aa,b,)b内)内至至少少有有一一个个实实根根，.
((22)) 利利用用罗罗尔尔定定理理..若若FF(Gxr))在在[［aa,，bM]上上满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件，，且且FF'&'()x三)=，f(x),x∈((aa,,bb)),,则则方方
程程ff((xx))= =0在 0(在a,(ba),6内)至内少至少有有一一个个实实根根..
22.. 根根的的个个数数.解.解决决方方法法有有两两种种：：
((11)) 利利用用函函数数的的单单调调性性.若.若r(f*()x在)在(a(,ab,)b内)单内调单(调可(通可过通/过(Xf)(>x) 0>或0或f(x)V<0判0判定定),)则，则方方
程程f/((xx)) ==0在 0(在a,(ba),内b)最内多最多有有一一个个实实根根..
((22)) 利利用用罗罗尔尔定定理理的的推推论论.若.若在区在间区I间上I上/f(尹x)≠00,,则则方方程程/f(x(x)) ==00在在((aa,,bb))内内至至多多有有兀n个个
实实根根..
(g；
解解题题加加速速度度
11(2..(021011,1,数数一一，，1010分分))求求方方程程^kaarrcctatna nx x—- xx= =0不 0同不实同根实的根个的数个，数其，其中中k为k参为数参数。.
。56 ·
• 56・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
4π
22.. (2（200111,1数.数三三，，1100分分）)证证明明44aarrctcatna *n x—-x工++亨-√—焰3=0=恰0有恰两有个两实个根实。根.
3
演算空间
、八、微■分（分中中值值定定理理有青并荣的的证证明明题器
5函7(（22001100,,2211题题，，1100分分）)设设函函数数f/(（xx)）在在闭闭区区间间[0［,01,1]上］上连连续续，，在在开开区区间间(0（,01,1)）内内可可导导，，且且
1 1 1
/ f （ ( o 0 ） ) = = 0 o , , f y ( （i 1 ） ) = = 3 ,证证明明：：存存在在5s∈e ( 0, 2 ),η∈ (（* 2 •,，1】)） , ，使 使 得 得
f(e)+f(η)=号+π.
/（$）+/（,） = b+寸.
答答题题区区
· 57 ·
. 57 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
5筮8(2(200090,92,21题1题，，1111分分))((II) 证)证明明拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理：:若若函函数数f_(/x()*在)在[a［,ab]上上连连续续，，在在((aa,,b。))内内
可导，则存在点e∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(E)(b—a);
可导，则存在点 ££ (a,6),使得 =f(Q(。一a);
(
(
Ⅱ
1］
))证证明明：：若若函函数数/X f(
z
x
)
)在在工x==0处 0处连连续续，，在在(
(
0
0
,
,
δ
3)
)
(
(
3
δ
>
>
0
0
)
)内内可可导导，且，且limf(x)
=
= A
A
,，则则f
/
-；(0
(0
)
)
→a+
X—0+
存存在在，，且且 /；/(
(0
0
)
) =
=
A
A
.
.
答题区
答题区
5国9((2200131,31,188题题，，1100分分))设设奇奇函函数数ff((xH))在在[［-—1,11,]1上］上具具有有2阶2导阶数导数，，且且f/(U1))==1. 1证.证明明：:
((II))存存在在 e£∈£((00,,11)),,使使得得 /f((?e)) ==1 1;;
(
(
Ⅱ
口
)
)
存
存
在
在>
η
;£
∈
(
(
—
-1
1
,
,
1
1
)
)
,
,使
使
得
得 子
f'5
(η)存 )+
E
f(η
)
)
=
= 1
1
.
-
答答题题区区
,
?
7亚0( ( 22001155,,1199题题， ，1111分分))已已知知函函数数/f'(&r))==『 √vTIT+Ftddrt ++ ^ y√/l1++ilddtt,,求求f/('(xz)零)零点点的的个个数数..
1
答题区
答题区
,58 ·
. 58 .。
第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
刀(2019,21题，11分)已知函数f(x)在[0,1]上具有2阶导数，且f(O)=0,f(1)=1,
沮(2019,21题，11分)已知函数/(x)在[0,1]上具有2阶导数，且/(0) = 0/(1)= 1，
[f(x)dx==1, 1证,证明明：：
J
0
((II))存 存在在∈ E∈C((00,,11)),,使使得得 /(ff()E )==00;；
((ⅡII)) 存存在在η〃∈£((00,,11)),，使使得得 f子'5(η))<<--22..
答答题题区区
门
7函2((22002200,,2200 题题，，111 1分分)设)设函函数数 /(fx(x) )== j：ee/''ddt£..
1
((II))证证明明：：存存在在 fE £∈((
1
1
,
,
2
2
)
)
,
,使使得得/Xf(f)e )== ((22 -—g )
Q
e
e
2‘;；
(
(
Ⅱ
口
)
)
证
证
明
明
：
：存
存
在
在
/
η
£
∈((
1
1
,
,
2
2
)
)
,
,
使
使
得
得
/
f
(
(
2
2
)
) =
=
I
In
n
2
2 ·
•
r)e
e
2 .
.
答答题题区区
X小小结结
微微分分中中值值定定理理证证明明题题通通常常主主要要是是三三类类问问题题：：
11..证证明明存存在在一一个个点点≠&使,使FF*[e_,/f•((£e),)f, f(Q(E]) ]== 00
这这类类问问题题一一般般是是构构造造辅辅助助函函数数用用罗罗尔尔定定理理或或用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理..
常常用用的的辅辅助助函函数数有有：：
· 59 .
. 59 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
要要证证明明的的结结论论 可可考考虑虑的的辅辅助助函函数数
ef'(e)+f(e)= 0 xf(x)
矿(£)+,(£) = 0 工f〈工）
E & f ' ' ( ( $ e ) ) + + 刃 nf X ( E e ) ) = = 0 0 xx"n/f((xx))
f
/
(（x
X
)）
s 矿 f' ( ( Q e) - - /X f( E E))= = 0 0 x
X
f
rx
((° x
z
))
e矿f'（(Ee）)—— nnff（(EE）)== 00
xn
fZ(（e e )）+ + λ a/ f( （$ E ） )= = 0 o e*f(x)
f / ( （ e e ) ） + + f / ( （ e e ) ） = = 0 o ee2Vf*((xz))
f g (G) - — f 谯 (6) ) = = 0 0 ee~?x'ffC(xx))
2.证明存在两个点5η(双中值)使F(5,f(e),f(e),η,f(η),f(η))= 0.
2. 证明存在两个点£,诳双中值）使= 0.
这这里里又又可可分分为为两两种种问问题题：：
(（11)） 不不要要求求≠”≠y牛.这这种种问问题题通通常常是是在在同同一一区区间间[a也,b,]刀上上用用两两次次微微分分中中值值定定理理，，一一般般是是用用拉拉格格朗朗
日定理和柯西定理，具体如何用要将要证结论中含有≠的项和含有η的项分离开，然后再确定.
日定理和柯西定理，具体如何用要将要证结论中含有E的项和含有"的项分离开，然后再确定.
(2)要求≠y.这种问题不能在同一区间[a,b]上用两次中值定理，因为无法证明s≠ y.通常
（2） 要求 这种问题不能在同一区间*，M上用两次中值定理，因为无法证明f尹通常
要要将将原原区区间间［[aa,/b］]分分成成两两个个区区间间[［aa,,cc］]和和[［cc,b/]］,,然然后后在在[［aa,,cc］]和和[上c,b分]上别分用别拉用格拉朗格朗日日定定理理..这这里里
分分点点cc的的选选取取是是关关键键..
33.. 有有关关泰泰勒勒中中值值定定理理的的证证明明题题..
一一般般来来说说，，当当题题设设条条件件或或要要证证的的结结论论中中出出现现22阶阶或或22阶阶以以上上导导数数，，往往往往要要用用泰泰勒勒中中值值定定理理..
Q
解题加速度
解题加速度
11..(（11999999,,数数三三.，77分分）)设设函函数数/f'（(£x）)在在区区间间［[00,,11］]上上连连续续，，在在（0(,01,）1内)内可可导导，且，_且f（0f）( O=) =/f（(I1） )==0 0,,
1
fA( l ) ）==1 .i试•试证证
2
1
( ,1)
(（11)） 存存在n∈在2 ,使使 fS(η）)==η中;
(（22)） 对对任任意意实实数数;λI,必,必存存在 在e=e∈（(o0,,7）η,使),得使 /得（f?(）e-)A-λ（/(（fe(）e-)?-e）)== 1i..
演算空间
,60 ·
・60 -第二章 一元函数微分学
第二章一元函散微分学
2.(1998,数三，6分)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x)≠0.试证存在
2. (1998,数三，6分)设函数/(x)在［a,们上连续，在(a,b)内可导，且/(x)丰0.试证存在
E,η∈(a,b),使得
6 (a,b),使得
=
(5) e2— e
e 9,
了(η) h— a
演算皇可
3
3
.
.
(2
(
0
2
1
0
0
1
,
0
数
,数
三
三
，，1
1
0
0
分
分
)
)
设
设
函
函
数
数
f
顶
(x
(
)
了
在
)
[
在
0,
［
3
0
]
,3
上
］
连
上
续
连
，
续
在
，在
(0
(
,
0
3
,
)
3
内
)
存
内
在
存
2
在
阶
2
导
阶
数
导
，
数
且
，且
2/(0) = £/(x)dx = /(2) + /(3).
2f(0)= f(x)dx= f(2)+f(3).
0
(
(
I
I
)
)
证证明明：：存存在在〃η £∈
(
(
0
0,
,2
2
)
)
,
,使使 /f((7η) )== f
/
(
(
0
0
)
)
;；
(U)证明：存在 E& (0,3),使得/'(f) == 0.
(Ⅱ)证明：存在∈∈(0,3),使得f”(E)= 0.
滚算空间
。61 ·
・61・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提提高高篇篇((数数学学二二))
11.. (2(2001133, ,数数三三，，66分分))设设函函数数ff ((工x))在在［(00, ,++ co)o上)上可可导导，，，f((00))==0且。且lilmimf( /x()x=)2 ,=证 2明,证：明：
x→+00
(
(
I
I
)
)
存存在在
Q
a>〉0,
0
使 ,使得得 f
,(
(
a
a
)
) =
=
1
1
;
;
1·
( ( Ⅱ II) )对 对 ( ( Ⅱ I) )中 中的 的 a a, ,存 存 在 在 E∈( (0 0, ,a a ) ) , , 使 使 得 得 / f ( ( f E ) ) = = a
a
演释空间
55.. ((22002200..数数一一，，101分0分))设设函函数数/(fx(x))在在区区间间[0[0,2,2]]上上具具有有连连续续导导数数,/(，0)f (=0 )/(=2f)( 2=)= 00,,MM= =
mmaaxx{ |{ | f/((xx))1 },| }证，证明明：：
xe[o,2]
x长[0.2]
((I
I
))存 存在在=∈££(0(0 ,
,
2
2
)
)
, ,使使得得 I| f/((£8)) I
I
≥
'M
M.
.
((ⅡII)) 若若对对任任意意的 的x∈(0(,20),, 2|) f,ISf( xI)W|≤MM,则, 则MM==00..
演算空间
。62
-62・第第三三章章 一一元元函函数散积积分分学学 <<
第三章 一元函数积分学
第三章一无函薮枳分室
本本章章导导读读
一一元元函函数数积积分分学学是是微微积积分分的的另另一一个个主主要要内内容容..与与微微分分学学不不同同，，积积分分是是研研究究函函数数整整体体性性质质的的..其其中中
不不定定积积分分是是微微分分的的逆逆运运算算，，定定积积分分是是一一种种和和式式的的极极限限，，微微积积分分基基本本定定理理和和牛牛顿顿--莱莱布布尼尼茨茨公公式式阐阐明明了了
微微分分学学和和积积分分学学的的内内在在联联系系，，换换元元法法和和分分部部积积分分法法是是计计算算不不定定积积分分和和定定积积分分的的两两种种主主要要方方法法，，微微元元法法
是是用用定定积积分分解解决决几几何何、、物物理理等等问问题题的的一一种种常常用用的的基基本本方方法法..一一元元函函数数积积分分是是多多元元函函数数积积分分的的基基础础..
其其主主要要内内容容
(
(1
1)
)
不不定定积积分分与与原原函函数数的的概概念念，，求求不不定定积积分分的的两两种种主主要要方方法法—一—一换换元元法法，，分分部部积积分分法法；；
(2)定积分的概念、性质及计算方法(换元、分部),变上限积分及其导数；
(2) 定积分的概念、性质及计算方法(换元、分部)，变上限积分及其导数；
((33)) 反反常常积积分分的的概概念念与与计计算算；；
((44)) 定定积积分分应应用用(几(几何何，，物物理理))..
试试题题特特点点
定定积积分分与与不不定定积积分分是是积积分分学学的的两两个个基基本本概概念念，，计计算算不不定定积积分分和和定定积积分分是是微微积积分分的的一一种种基基本本运运
算算，，是是考考研研的的一一个个重重点点，，定定积积分分应应用用是是考考研研试试卷卷中中应应用用题题考考得得最最多多的的一一个个内内容容..
本章常考题型
((11)) 不不定定积积分分、、定定积积分分及及反反常常积积分分的的计计算算..
((2
2
)
)
变变上上限限积积分分及及其其应应用用..
((33)) 用用定定积积分分计计算算几几何何、、物物理理量量..
((44)) 一一元元微微积积分分学学的的综综合合题题..
真真题题分分类类练练习习
一-、、不不定定秋积分分的的计计算算
||(2(0200099,,1166 题 题 ， ，1100
分分))计计算算不不定定积积分分jlInn(
(1l ++,
1+x)
dx(x>>0 )0)..
x
答答题题区区
· 63 ·
・63・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学二二)）
22(( xx —-i1)) ,x 1 . 1. (x x ( ( ln I n j: x + + 1 1 ) ) — - 1 1, , x z ≥ 2 1 . 1・
(((1x-—1)12)2,, x
•r
<
V
1 ,
1,
((xx--11))22,, x<1
•z V
,
1,
((CC))FF((xx))== ((DD))FF((xz))==
x
z(
(
ln
I n
z
x
+
+ 1
1)
)
+
+ 1
1
,
,
x≥
•z 2
1 .
1・
x
j?
(
(l
I
n
n
x
x
—
-1
1)
)
+
+ 1
1
,
,
x≥
z 2
1 .】•
答答题题也区
U3 ( ( 22001188,,1155 题题， ，1100 分分))求求不不定定积积分分Jee22jaarrccttaann J√—e' 一— 11 ddxz..
答答题题区区
3x+6
3«z + 6 dx.
(（22001199,,1166题题，，1100分分)）求求不不定定积积分分 (x — I)2 (x2 + 1 + 1)*，
(x-1)2(x2+x+1)
答答题题区区
·64 ·
• 64,第第三三章章一一元元函函数数积积分分学学
小结
小结
11.. 不不定定积积分分的的计计算算重重点点考考察察求求不不定定积积分分的的基基本本方方法法：：
( （ 1 1 ) ） 分 分 项 项 积 积 分 分 法 法 . . （(22）)凑凑微微分分法法..
(（33)）换换元元法法.. （(44）)分分部部积积分分法法..
考考生生不不应应用用大大量量时时间间在在一一些些难难题题和和偏偏题题上上..
22.. 专专门门考考不不定定积积分分的的试试题题并并不不是是很很多多，，但但计计算算不不定定积积分分是是一一种种基基本本运运算算，，在在其其他他试试题题中中经经常常
考考(（定定积积分分、、多多元元积积分分、、微微分分方方程程）)，,所所以以考考生生必必须须熟熟练练掌掌握握求求不不定定积积分分的的基基本本方方法法..
解题加速度
解题加速度
arcsin√x+In x,
arcsin + In dx.
11.. (（22001111,,数数三三，，1100分分)）求求不不定定积积分分
√工
\[x
演演算尊空空间间
e2arcsin √I-edx= _.
22.. (（22001188,,数数三三，，44 分分)）eJarcsin ― e2x Ax =
演尊空间
· 65 ·
・65・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
。
二二、、定定秋积分分概概念念、、性性质质及及几几何何意意义义
具
§B((22001111,,66题 题， ，4 4分分))设设 II == J l ln n ( ( s s in in Q x d ) z dx ,J , J = = j I ln n ( ( c c o o t t j r x )c ) L dx r, , K K = = j lInn((ccooss xx))ddjxr， , 则 则 II,,JJ,,
0 0
KK的的大大小小关关系系为为
(
(A
A)
)/
I
V
<
J
J <
V
K
K
.
.
(
(B
B
)
)
I
I
V
<
K
K <
V
J
J
.・ (
(C
C
)
)
J
J
V
< I
I
<
V
K
K
.
.
(
(D
D
)
)
K
K
<
0 0,则,则f(x)dx≥ 2 0 o . .
②若f(x)在[a,b]上连续，M和m为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则
② 若/Xi)在［。,刀上连续,M和m为，&)在也0］上的最大值和最小值，则
; mm((Ab -—a)≤ f(x)dx≤MM(b(b— —a a)).,
6
③ ③ ff( (xx))ddxjr | ≤J || f/((xx)) I| ddxz((。 a> NN >>K K.. ((BB)M) M>>KK>>N N.. ((C)CK) >K>MM>> NN.・ (D()DK) >K >NN >> MM..
答答题题区区
。68 ·
,68・。
第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学
1
sin t2
卫凰((22001199,,1133题题，，44分分))已已知知函函数数/(fx()x )== xxj里号^- d 由 t, ， 则 则j f(x)d=x= « _
t
1
答答题题区区
小 2x+3
1[3£(（22002222,,1133题 题，，55 分分)）「子 弋 d& =x=
x2-x+1
J o x — x + 1
答答题题区区
4
小小结结
计计算算定定积积分分常常用用的的有有以以下下五五种种方方法法：：
:
11.. 利利用用牛牛顿顿--莱莱布布尼尼茨茨公公式式：：
。
f(x)dx== FF((b6)) --FF((aa))..
22.. 利利用用定定积积分分换换元元法法..
33.. 利利用用定定积积分分的的分分部部积积分分法法..
44.. 利利用用奇奇偶偶性性，,周周期期性性计计算算定定积积分分：：
{
心
2
八舟f(x)dx, f(fx&)为)连为连续续的的偶偶函函数数，，
((11)) ff((zx))ddzx == < Jo
0,
0 /f((xx))为为连连续续的的奇奇函函数数..
((22)) 若若f(为x)为周周期期为为T的T连的续连函续数函数，，则则
ff ((xx))ddj：x == /f((xx))ddjxr..
J a J 00
·…·
55 ..利利用用已已有有公公式式计计算算定定积积分分：： 。
。 人 · π
n-1 n—3 1
已, j守.书捉， "正偶数，
量 n n —2 2 2 n为正偶数，
电
((11)) ssiinn^"zxddzx = = c c o o s% s" d x r d x = = < ·… ·
0 0 n -- - -- 1 --• -- n - — --- 3 1.........M 2 ， nn为为大大于于11的的正正奇奇数数..
n n nn —— 2Z 3 3
((22)) 若若ff(xS)为为[0［,01,]1上］上的的连连续续函函数数，，则则
π
［* ”
xf(
(s
s
i
i
n
n
x
x
)d
)d
j：
x
=
=
奇［ f/((ssiinn xx))ddjxc..
2
-· 6699 ·-数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
①解题加速度
解题加速度
1
11.. (1( 919999,9数.数三三，.66分 分)设)设函函数数f(x/X)连h)续连，续且，且「tft(f(2.r2—x -tt))ddt t= =
2
#-aarrccttaann xx22,,已已知知 /f((I1)) ==1 ,1求,求
J o Z
10
J f/X(xz))cdLxr 的的值值.
演算空间
。
广
22.. ((2200131,3数,<一-.，1100 分分))计计算算 1 0 4 f √ (x ^ x ) d8x,,其 其中 中 /f((Xx))== * I I n( n t t " +1】))d 曲 t . .
o /r
满草空间
。70 ·
-70 -第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
;
量 sin x
( +1xl)dx= _.
33.. ((2200151.数5.一#-，,44 分分)) 1 + cos x +1 * |)& =
1 十 cos X /
演葬空间
44.. (2（021081,8数,数一一，，44分分)）设设函函数数f/X(xz)）具具有有22阶阶连连续续导导数数，，若若曲曲线线丁y ==f (/x&)过）过点点(0（,00,)0且）且与与曲曲线线y^
门。
==2*2在X在点点(1（,12,)2处）相处切相，切则，则［xxfff"\x(x）d)xd x== _.・
溪算空间
.
四、变上限积分函数及其应用
<3、次上限祝分函数及其应用
［1£4(（22000099,,66题题，,44分分）)设设函函数数v y==f /(x（x)在）在区区间间[［-—1,13,]3上］上的的图图形形如如图图所所示示
y
2-
1
x
-1 0 1 2 3
-1
r
则函数F(x)= f(t)dt的图形为
y y
1
0
-1 0 1 2 3 -1 1 2 3 x
-1
(A) (B)
。71·
. 71 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
y
y
1
0
x
-10 1 2 3 -1 1 2 3 x
—1—
(C) (D)
答答题题区区
{sin x,
°
0≤
9
x <
5
π
心
,
=|\(兄,则
[[£5((22001133,,33 题题，,4 4分分))设设函函数数 /f(x(x)) == j； F(x)= f(t)dt,则
2, π≤x≤2π, 0
((AA))xx= =π 7是T是函函数数F(Fx()x的)的跳跳跃跃间间断断点点. (z(BB))x ==π K是是函函数数F(Fx&)的)的可可去去间间断断点点..
((CC))FF(x(z))在在xx= π=处 it连处连续续但但不不可可导导.. ((FDD&))F)(x)在在xx= π= 处n处可可导导..
答答题题区区
口
2
L皿6((22001155,,1111 题题，,44 分分))设设函函数数 fr((xz))连连续续，寸q((Zx))==J° "xOf()tc)kd,t若,若么g 1() 1=) =110,φ(1() 1=)=55,,则则，f((11))==
0
答答题题区区
·72·第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学
1[7fi(（22001166,,1122题题，，4分4分）已)已知知函函数/数&f(）x在)（在一(8一,~+,8+c）)上上连连续续，，且且gf(） x=) =（(xx++1l)）22++22jyf(（t«)）ddtz,,
则则当当"n≥222时时，，广f””（0(） 0=)= _..
答答题题区区
。
。
[[EB(<22001188,,1166 题题，，1100 分分）)已已知知连连续续函函数数f/(（x*)）满满足足「/
f(
（r
t
）
)
d
d
«
t
+
+
[ttff（(.xx--t)td）tdt == aaxr22..
J2 00 J 0
(（II)）求求f(x).
(（Ⅱn ）)若若ff(Jx)）在在区区间间[[00,,11]]上上的的平平均均值值为为11,,求求aa的的值值..
答答题题区区
·73 ·
-73 -一
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
f(x)
画 19( ( 22002200,,1166题 题 ， ，1100 分 分 ) ) 已 已 知 知 函 函 数 数 /fX(xi))连 连 续 续 且 且 lliimm —x — ==1 l,,gg((zx)) == [ /f((jxrtt))ddtz,,求求 gg′'((:cx))并并证证
J→-*O0 X J 00
明明g g'
'(
(
z
x
)
)在在
X
x =
=
0 处 0处连连续续..
答题区
答题区
，4
小结
小结
与与变变上上限限积积分分函函数数有有关关的的考考题题在在考考研研试试卷卷中中几几乎乎年年年年都都有有，，且且题题型型变变化化也也很很多多，，而而解解决决这这些些
子;
问
问
题
题
的
的
关
关
键
键
是
是
变
变
上
上
限
限
积
积
分
分
函
函
数
数j7f(（tz)）ddtz的的三三个个性性质质，，即即连连续续性性、、可可导导性性及及奇奇偶偶性性。.
;
11,. 连连续续性性..若若ff(Mx) 在在[［aa,,6b］]上上可可积积，，则则FFG(x） )== j7
f(
（
t
/
)
）
d
d
t
i
在
在
[
［
a
a
,
0
b]
］
上
上
连
连
续
续
.
.
;
22.. 可可导导性性..若若/fX(xz)）在在[［aa,,刊b]上上连连续续，，则则FF（(xx） )== f(t)dt在在 ［ [ a a, / b ］ ]上上可可导导，，且且
F'(x)= f(x).
F'（工）=/（x）.
这两个性质是变上限积分求导的理论基础，虽然变上限积分求导题目很多，但常见的就以下
这两个性质是变上限积分求导的理论基础，虽然变上限积分求导题目很多，但常见的就以下
。
三三种种类类型型：：
(1) (wx) f(t)dt )
(r)
这这种种类类型型直直接接利利用用公公式式
(,
（j
?
/
(
（
)，） d
d
t
z
)
）
'
'
′
=
=f(4(x))y
（
(
工
x
）
)
—
-f(q(
（工
x)
）W
)g (
（j
x
c
)
）
(n)
求求解解，，其其中中八f(工x)）连连续续，，职φ工(）x)和和平q(（工x)）都都可可导导..
(,
(（22)）（j；'"f(（xH,,t£)）ddt£)）‘.
a)
这这种种类类型型的的被积被函积数函f(数x,中t)中含含有有求求导导变变量量x不,不能能直直接接求求导导，，通通常常是是通通过过变变量量代代换换把把
f(x,t)中的x换出来，或设法把x从积分号中提出来，然后再求导.
八中的换出来，或设法把工从积分号中提出来，然后再求导.
(.r!h 、
(
（
3
3
)
）
f(x,t)dt)
事实上，(3)是(2)的特例(ψ(x)= b,q(x)= a),因此解题方法与(2)相同.
事实上，（3）是（2）的特例g） = b, e-/ dt = rjrssiinn t22ddt确t确定定，，则则 d 掣 xl
0 o0 dx x=0
0 JT=O
演演算空间
(;
22..((22001166..数数三三..110()分分))设设函函数数f/(x()]连)连续续，，且且满满足足「f/((xx--Zt))ddzt == 「
((ax: —-t t))ff((t)td)td +t +e~ex -—1 ,1求9 求
0
J 0 J 0
f(x).
/(x).
消算空间
。
:
33.. ((22002200..数数三三..11分分))设设奇奇函函数数，f((x]))在在((-一co8,+,c+o)8上)具上有具连有续连导续数导数，，则则
门：
((AA))J [
[
c
c
o
o
s
s
f
f
(
(
t)
t )
+
+f (t)]dt是
是
奇
奇
函
函
数
数
。
.
((BB))J。oE[ccoso fs(+t)f+(fQ(t)]]ddzt是 是偶偶函函数数..
( ( C O ) jjc[oeoss f/((zt))++f/((tz))]]ddtz是 是 奇 奇 函 函 数 数 . . ((DD))J [ [c c o o s s f f ( f( t .t ) ) + + f( / t (z ) ) ] J d d t r 是 是 偶 偶 函 函 数 数. .
o
属算空同
·75 ·
-75・.
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
五、与定积分有并的证明题
五、与定徐分有井的证明露
3202((22001100,,1166题 题，,1100 分分))
((II) )比比较较jJ| IInn tZ| |[ lLnln((1l+ +t) «])"?ddtz与 与j ttn" |\ I\nn tt |\ ddtt({nn= =1, 21,,…2, )•的•,)大的小大，小说，说明明理理由由；；
0
(
(
Ⅱ
U)
)记
记
u
u
。
n =
=
\ || IInn tZ || [[llnn((1l ++t )£)]]""dckt((〃n ==1 ,12,2,…,…)),，求求极极限限llimimu”u.
J 0 0 →L080
答答题题区区
2困1(（22001144,,1199题题，，1100分分）)设设函函数数f/(（xx)）,,gg(（xx)）在在区区间间[Laa,,bb]l上上连连续续，，且且f，(&x)）单单调调增增加加，，00 ≤<
gg((xz))≤ <11.证 .证明明：：
》];
别;
((II) )00≤0,
二:?＞。＜：
3圉(2（021011,11,122题题，，44分分）)设设函函数数/f（x(x）)== λ>0,则 x x f f ( (x x ) ) d d x x = = _.
0, x≤0,’
0,
答答题题区区
。77
・77 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
2巫4(2（200101,04,4题题，,44分分)）设设m％,n,均"均为为正正整数整，数则，则反反常常积积分分「
√
5
I
吧
n2(1 —-x
*
)）
d&x的的收收敛敛性性
√x
0
1 J。 &
(（AA)）仅仅与与mm的的取取值值有有关关.. （(BB）)仅仅与与nn的的取取值值有有关关..
(（CC)）与与mm,n9的n的取取值值都都有有关关.. （(DD）)与与mm,n.n的的取取值值都都无无关关..
答答题题区区
人 1
,1> 22..
(A)q (B)q
((CC)) 一- 22
|
算算油油的的质质量量（(长长度度单单位位为为mm,,质质量量单单位位为为kkgg,,油油的的密密度度为为常常数数pP kkgg//mm3)'）..
2m
答答题题区区
,82·
-82・第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
y1
3370(2（200111,12,200题题，，1111分分)）一一容容器器的的内内侧侧是是由由图图中中曲曲线线了y轴轴旋旋转转一一周周而而成成
2
1 1 x2+y2=2y
的的曲曲面面，，该该曲曲线线由由打x+2/+y 2==22y乂丁y≥2$）与与x那2++yJ2 ==1 |1(（y3≤ -连连接接而而成成..
2 2
（(II)求）求容容器器的的容容积积；； 2
x
（(Ⅱ H）)若若将将容容器器内内盛盛满满的的水水从从容容器器顶顶部部全全部部抽抽出出，，至至少少需需要要做做多多少少功功?？ -1 O
(（长长度度单单位位:：mm,,重重力力加加速速度度为为ggmm//s子2,，水水的的密密度度为为110033kkgg//mm33)）
答答题题区区
遂38(（22001122,,1177题题，，1122分分）)过过点点（0(,01,）1作)作曲曲线线LL:>: y== llnnxx的的切切线线，，切切点点为为AA,,又又LL与与xz轴轴交交于于BB点点，,
区区域域D
D
由由L
L
与与直直线线AB
A
围
B
成围.成求.区求域区域D的
D
面的积面及积D及绕。x绕轴旋R轴转旋一转周一所周得所旋得旋转转体体体体积积..
答答题题区区
—
π π
更39(（22001133,,1111题题，,44分分）)设设封封闭闭曲曲线线LL的的极极坐坐标标方方程程为为rr ==c ocso3s 03|0 ( （—会
6
≤0方≤
6
）,，则则LL所所围围成成
的的平平面图面形图的面形积的为 面 积 _为。.
答答题题区区
·83·
. 83 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
Ⅲ皿(（22001133,,1166题题，，101分0分）设)设DD是是由由曲曲线线v y==招x+,，直直线线xx= =a (aa（.>a0 >)及 0）x及轴工所轴围所成围的成平的平面面图图形形，,
V,,V,分分别别是是DD绕绕x轴z，轴y,轴v轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积，，若若VV, ,== 1100VV,,,,求求aa的的值值..
答答题题区区
1 1
4』(2（021031,32,211题题，，1111分分）)设设曲曲线线LL的的方方程程为为vy == §工x22 —— §ln工，（1 V^Ve）.
In x,(1≤x≤e).
4' 2
(（ⅡI)） 求求L的L弧的长弧；长；
(（ⅡII）) 设设D。是是由由曲曲线线L1,,直直线线x*=1=, x1=,*e 及= xe轴及所，围轴平所围面平图面形图，形求，求D的D形的心形心的的横横坐坐标标..
答答题题区区
1困2(（22001144,,1133题题，,44分分）)一一根根长长度度为为11的的细细棒棒位位于于工x轴轴的的区区间间[［00,,11］]上上，，若若其其线线密密度度PP（(zx）)==
-—xX22+ +2x2+x 1+, 则1,则该该细细棒棒的的质质心心坐坐标标X x== _.・
答答题题区区
· 84 ·
-84 -第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学
af
1困3(2（2001144,,2211题 题，，1111 分分)）已已知知函函数数 ff(（xx,,yy)）满满足足a|y^ ==2 (2（y、++1)1,）且,且f/(y3,，y少)==(y3+1+)12-）(?—2—（2y —)l、n）l ny 了,,
求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积.
求曲线f^x,y} = 0所围图形绕直线y =- 1旋转所成旋转体的体积.
答答题题区区
π π
42(2）（021051,51,61题6题，,1100分分）)设设AA> >0,0D,是D是由由曲曲线线段段yy= =A sAisnixn(z (（00 ≤Vx*≤〈成 ) ）及及直直线线3，y== 00,,了x ==亏
2 2
所所围围成成的的平平面面区区域域,，吼V，?吼,V分?分别别表表示示DD绕绕*x轴轴与与绕绕、y轴轴旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积..若若VV, ?== VV?2,,求求AA的的值值..
答答题题区区
x= cos3 π
⑤ 泪 ( （ 22001166,,2200 题 题,，111 分 1 ） 分 设 )D设 是 D是 由 由 曲线 曲 、 线 = y=√1-x(0≤x≤1)与 与 { 了二( 0≤t号≤ )） 围 围
y = sin3 2
成成的的平平面面区区域域，，求求DD绕绕x工轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积和和表表面面积积..
答答题题区区
·
.
8
85
5 ·.► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析如·二提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》
。
4
也
6(
（
2
20
0
1
1
7
7
,2
, 2
题
题
,4
，
分
4
）
分
设
) 设
2 阶
2阶
可导
可
函
导
数
函
/•（
数
*）
f
满
(x
足
)满 /'（足 1）f
=
(1
/
)（=
-
f
D
(-
=
1)
b
=1
/
,（f
0
(
）
0
=
)
—
=-
1
1
且
且
/
子
z（
(
x
x
）
)
>
>
0,则
0,则
(
(
A
A
)
)£/
f
(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
>
>0
0
.
. (BB)) j
f
/(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
V
<0
0
.
.
-1°
)-1
0
((CC))£i/
f
(
(
j
x
)
)
d
d
j
x
>
>
£/(fx()x)dd^x.. ((DD))J ff((.xx))ddxx <>2 255..
答答题题区区
π
4国8(（22001199,1,122题题，,44分分)）曲曲线线y 、= =InI n ccooss zx(（00 ≤W xz ≤W会)）的的弧弧长长为为-
6
答答题题区区
·86·第三章一元函数积分学
第三章一元函数积分学
度49(（22001199,,1199题题，，101分0分）)设设"n是是正正整整数数，记，记S,,S为,为曲线曲j线 =y =ee-'xssiinn zx(（0O ≤Wx工≤《mπnit)）与与x工轴轴所所围围图图
形形的的面面积积..求求SS.,,,并并求求lliimmSS.„..
H-*OO
答答题题区区
=.
1 x2+2x
5现0(（22002200,1,188题题，，1100分分）)设设函函数数/f（(tx）)的的定定义义域域为为（0(,0 +,+8o)）且且满满足足22f/(0x)） ++x^2f2/( (（7
x
)）= 了二 2 壬
√1土之
1 √③
求 *）,并求曲线'=△*）,〉= §,点y==季及及yv轴轴所所围围图图形形绕绕x轴z轴旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积..
求f(x),并求曲线y=f(x),y= 2 2
答答题题区区
5割1(2（200202,01,12题2题，，44分分)）斜斜边边长长为为2a2等a等腰腰直直角角三三角角形形平平板板铅铅直直地地沉沉没没在在水水中中，，且且斜斜边边与与水水面面相相
齐.设重力加速度为g,水的密度为p,则该平板一侧所受的水压力为 _.
齐.设重力加速度为g，水的密度为P，则该平板一侧所受的水压力为•
答答题题区区
·87·
. 87 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
1
5更2(（22002211,,1199题题，，1122分分）)设设函函数数f/(（xx)）满满足足］
f
学
(x)dx=
x2--xx+ +C ,CL,为L为曲曲线线了y ==f (/x（x)(）（44≤ <
√x 6
x≤9)
9
.
）.
记记L
L
的的长长度度为为s
s
,L
,L
绕绕x轴工轴旋旋转转所所成成旋旋转转曲曲面面的的面面积积为为
A
A, ,求求s
s
和和A
A
.
.
答答题题区区
π
5困3(（2200222,21,155题题，，55分分)）已已知知曲曲线线LL的的极极坐坐标标方方程程为为r r= s=i ns in3 0| ( 0≤0≤亨） ) ，,则则LL围围成成有有界界区区
3
域域的的面积面为 积 为 _..
答题区
答题区
<小小结结
考考研研试试卷卷中中几几乎乎每每年年都都有有应应用用题题..定定积积分分的的应应用用题题是是考考的的最最多多的的，，定定积积分分的的应应用用题题主主要要有有两两
个个类类型型：：
11.. 定定积积分分在在几几何何上上的的应应用用..
定定积积分分在在几几何何上上的的应应用用主主要要包包括括：：计计算算平平面面图图形形的的面面积积，，求求平平面面曲曲线线的的弧弧长长，，求求旋旋转转体体的的体体积积
及及表表面面积积，，其其中中平平面面域域面面积积和和旋旋转转体体体体积积考考得得更更多多..
22.. 定定积积分分在在物物理理上上的的应应用用..
定定积积分分在在物物理理上上的的应应用用主主要要包包括括：:求求功功、、压压力力及及引引力力..比比起起几几何何应应用用，，物物理理应应用用考考得得少少多多了了..
解解决决以以上上问问题题常常用用的的两两种种方方法法：：
· 88 ·
. 88 .第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
11.. 代代公公式式..
几几何何应应用用通通常常是是利利用用已有已公有式公计式算计，算但，但有些有问些题问没题有没现有成现公成式公，式此时，此，时用，“用微“微元元法法”.”.
。
2
2
.
.
微微元元法法..
物物理理应应用用没没有有现现成成公公式式可可以以直直接接用，用因，因此此，，要要用用““微微元元法法”首.首先先建建立立““微 微
元
元””，,即即写写出出所所计计算算的的
几何或物理量M在微小区间[x,x+dx]上对应量的近似值dM=f(x)dx,然后微元积分，得到所
几何或物理量M在微小区间［sz + dr］上对应量的近似值AM = f(x)dx,然后微元积分，得到所
6
求求的的量量 MM == J ff( (xx))ddxx.
Q
解题加速度
解题加速度
1.(2002,数三，7分)设D?是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2及y=0所围成的平面区域；
1. (2002,数三,7分)设D 是由抛物线y = 2jc2和直线x = ayx = 2及= 0所围成的平面区域;
DD?2是是由由抛抛物物线线y y== 22xx22和和直直线线yy ==0 ,0x,x= a=所 a围所成围成的的平平面面区区域域，，其其中中000 ( （0 0 < V t £ < V专 ) ）。.若若曲曲线线LL的的切切线线与与］x轴轴的的交交点点到到切切点点的的距距离离恒恒为为11,,求求函函
2
数
数
f
/
(（t
Z
)）的
的
表
表
达
达
式
式
，
，并
并
求
求
以
以
曲
曲
线
线
L
L及
及
x
］
轴
轴
和
和
y轴
v
为
轴
边
为
界
边界
的
的
区
区
域
域
的
的
面
面
积
积
。
.
演演算算空空间间
1
3.(2020 . ,数 " 三 :- ， 分 4分 设 )设 平 平 面 面 区 区 域 域 D D = = { （(（Hx,，yv)）|专工 2 ≤＜ y≤ 1+x2 ,0≤x≤1牛 , 则 则DD绕 绕 y ' 轴 轴 旋 旋
转转所所成成的旋的转旋体转的体体积的为 体 积 _为。.
演演算算空空间间
.(2021,数三三..5
,j
分分 )设设平平面面区区域域D
D
由由曲曲线线段段y;y =
=
√
-
x
/r
s
s
i
in
n πx( O≤x≤1)与与x轴轴围围成成，，则则
D
D绕绕
kx（0 i
xx轴轴旋旋转转所所成旋成转旋体转的体体积的为体 积 为 _・
演演算算空空间间
,90 ·
-90・第第四四章章 多多元元函函数数微微分分学学 ? ? 44
第第四四章章 多多元万函西数薮微微分分学线
本本章章导导读标
本本章章主主要要研研究究二二元元函函数数的的偏偏导导数数、、全全微微分分等等概概念念，，要要掌掌握握计计算算它它们们的的各各种种方方法法以以及及它它们们的的应应
用用..一一元元函函数数中中的的许许多多结结论论可可以以推推广广到到二二元元函函数数中中来来，，但但有有些些结结论论是是不不成成立立的的..二二元元函函数数微微分分学学要要
比比一一元元函函数数的的微微分分学学要要复复杂杂的的多多，，我我们们要要掌掌握握它它们们的的共共同同规规律律，，踏踏踏踏实实实实地地做做一一些些题题目目，，一一定定会会收收
到到预预期期的的效效果果..
试就题题特特点点
每每年年试试题题一一般般是是一一个个大大题题、、一一个个小小题题，分，数分约数占约试占卷试的卷8的%8主,主要要考考查查复复合合函函数数求求偏偏导导数数及及多多
元元函函数数的的极极值值，，难难度度不不是是很很大大..一一定定要要熟熟练练掌掌握握复复合合函函数数求求偏偏导导数数的的公公式式，，特特别别要要注注意意抽抽象象函函数数求求
高高阶阶偏偏导导数数的的题题目目，，以以及及复复合合函函数数求求偏偏导导数数的的方方法法在在隐隐函函数数求求偏偏导导中中的的应应用用.同.同时时，，多多元元函函数数微微分分
学学在在几几何何中中的的应应用用和和求求函函数数的的极极值值、、最最值值也也是是考考研研数数学学的的一一个个重重点点。.
真真题题分分类类练练习习
41
一、基本概念及性质
一、每本概念及 屡
θf(x,y) af(x,y)
UI(2（021021,25,题5题，,44分分)）设设函函数数f/(（xx,y,y)可）可微微，，且且对对任任意意的的x了,y以都都有有小ax疽 >＞0。,，可
a
罗
y
）<〈0°,，
则则使使不等不式f(等xi,式y?)<＜f(，x（?互,y，?北)成）成立立的的一一个个充充分分条条件件是是
((AA)) xx?i >>x ?x2, >y y?\ <x互?,，y?>>y?、.
11 > 2・
(C)x?y ?关..
(C) 2， 2. 1
答答题题区区
·91 ·
-91数学历数年学真历题年全真精题全解精析解·析提•高提篇口(数 （数学学二二)）
02(2（021071,75,题5题，,44分分)）设设f(fdx,xy,)y具）具有有1阶1偏阶导偏数导，数且，且在在任任意意的的(（x工,y以)）,，都都有有' a堂f(axx,河y) >>0 0,,
?"f(
a
乎x
y
,y)
V<00,,则则
dy
((AA))f/((00,,00)) >>f/((11,,11)).. ((BB))f/((00,,00)) <>f/((11,,00)).. ((DD))f/((00,,l1)) <-*>0
4.分块函数在分界点处的偏导数一般用定义.
4. 分块函数在分界点处的偏导数一般用定义.
5
5
.
.
讨讨论论二二元元函函数数f
/
(x
（x
,y
,j
)
z
在 ）在(x（o血,y点o)°的）可的微可性微，性可，可从从下下面面几几个个方方面面考考虑虑；：
(（11)） 若若二二元元函函数数f(fx（,xy,)y在）(在xo（,西yo以)的。）偏的导偏数导至数少至有少一有个一不个存不在存，在则，则函函数数不不可可微微。.
(（22)） 若若二二元元函函数数f(，x（,工y,)、在）(在x?（,瓦yo，)北不）连不续连，续则，则函函数数不不可可微微。.
·92 ·
. 92 .第四章 多元函数微分学
第四章多元函数微分学
（(33）)若若二二元元函函数数ff(x5,y)在）在(x?（孔,y以o)。连）续连，续两，两个个偏偏导导数数存存在在，，则则考考虑虑
,
lim
△x-[f,(x工o,y?)△x+f/,；(x（工o,yo)△y〕],
Hm [/!（ o’Vo）△* + o, %）3
p
P→0 P
10
其中p=√(△x)2+(△y)?.若极限为0,则函数在(x?,yo)可微，否则不可微.
其中P= J（&C）2 + （△、）'.若极限为0,则函数在&。，弘）可微，否则不可微.
66..注注意意一一元元函函数数微微分分学学的的有有些些结结论论不不能能照照搬搬到到多多元元函函数数中中来来..
解题加速度
（J；解题加速度
人 xy
x22+?y •2
万,
,
(x
（
,
x
y
,j
)
/
≠
）
(0
（
,
0
0
,0
)
）
,
,
11.. (1（919979,7数,数一一，，33 分分）)二二元元函函数数 f/(（xx,,jyz)）= = Y +y 在在(（00,,00）)处处
、(00,, (x,y)==( 0（0,0,0)）
(（AA)）连连续续，，偏偏导导数数存存在在。. （( B B ） )连连续续，，偏偏导导数数不不存存在在..
(（CC)）不不连连续续，，偏偏导导数数存存在在。. （(DD)）不不连连续续，，偏偏导导数数不不存存在在。.
溪算空间
22.. (2（020020,2数.数一一，，33分分)）考考虑虑二二元元函函数数f(fx（,xy,)y的）下的面下4面条4性条质性：质：
①① rf&(x,,jyy)）在在点点(x（。x0,,y joo)）处处连连续续；；
②② f/(（xx,,yjz)）在在点点(x（o灰,y以o)。处）处的的两两个个偏偏导导数数连连续续；；
③③ ，f(&x,,了y)）在在点点(x（i?o,y,、o)。处）处可可微微；；
④④ f(x,y)在在点点(x（务?,）y，弘o)）处处的的两两个个偏偏导导数数存存在在..
若若用用““ FP=→>QQ ””表表示示可可由由性性质质PP推推出出性性质质QQ,,则则有有
(（AA)）②②→。③③→》①①.. ((BB))③③→。②②→。①①..
(（Cc)）③3=→>④q→=>① ①., ((DD))③③→。①①→=>④ ④..
清算空间
· 93 ·
・93 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二)) 1
33.. (2(021021,2数.数一一， .44分分)如)如果果函函数数f(fx, (工y)，y在)(在0,(00),处0)连处续连，续那，那么么下下列列命命题题正正确确的的是是
((AA)若)若极极限限l二 liimm
,心f(x言,y))|
存存在在，，则则yf((zx,，vy))在在((00,,00)处)处可可微微..
l。T| xx || ++| | yy T|
尸
0
f(x,y)
((BB)) 若若极极限限lliimmx 外
2
牛
+y
电
2
存存在在，，则则ff((xx,,yy))在在((00,,00)处)处可可微微..
二0
x—o x y
r*o
f(x,y)
((CC)) 若若f(f{x,xy,)y在)在(0(,00),0处)可处微可，微则，则极极限限lliimm 〔人涪J 存存在在..
=0 Txl+IyT
丁 |
L0 | Z | + |
j-*0
( ( D D )若 )若 f( f x ( , w y)在 )在 (0 ( , 。 0 ， ) 。 处 )处 可 可 微 微 ， ， 则 则 极 极 限 限 lim 网 x f 2 ( 羿 x + , y 孚 y 2 ) 存 存 在 在. .
yr→→00
y—0
演演算算空空间间
44.. (2(201021,2数,数三三，，44分分))设设连连续续函函数数zx ==f (fx{,xy,)y满}满足足lilmim f八(x了,点y)-2)x一+y——2 2= =0,。则,则d血z |( 0.1)=
√x2+(y-1)? (0,1)—
→0 如 + (了 一 1尸
y→1
演算空间
二二、、求求％多元元函函数数的的偏偏导导数数及及全全微微分分
a2x
[1((22000099,,1177题题，，101分0分)设)设z =x= ff{(xx-+\y-,yx,x- y—, yxy,x),y其),其中中f具/■有具2有阶2连阶续连偏续偏导导数数，，求求ddzz与与：：.
axay
dxdy
答答题题区区
,94·
-94 -第第四四章章 多元函数微分学
(Y
,二)
05(（22001100,,55题题，,44分分）)设设函函数数z z== zZ(&x,,、y）)由由方方程程FF（
x
^,xj）==0 确0确定定，，其其中中FF为为可可微微函函数数，，且且
az az
=
FF?；≠尹00,,则则xz a 登 x++y va夺y =
dx ay
(（AA)）xx.. （(BB）)zz.. (（CC)）一 —工 x.. ( （ D D ) ） 一 — z z , .
答答题题区区
0
6(2
（
0
2
1
0
1
1
,
1
1
,1
7
7
题题，，9 9分分）)设设函函数数2 x ==f八(xy巧,y，g普(x（)工)）,）函，函数数f具具有有2阶
2
连阶续连偏续导偏导数数，，函函数数g
g
(（x工)）可可导导
a2z
n2
且且在在Xx ==1 处1处取取得得极极值值gg(（1l）) ==1 .1求.求a孑xafy
dxdy x=1重
y=1
答答题题区区
= _.
az. az
1
0(2
(
0
20
1
1
2
2
,
,
1
1
1
1
题
题
,
，
4分
4分
)
)
设
设
2
x
=
=f
/
|
((lInnx x ++
y
-)),
,
其
其
中
中
函
函数
数
f
/
(
(
u
"
)
)
可
可
微
微
，
，则
则x
m
3
穿
x
++y /2字ay =________.
\ y / dx oy
答答题题区区
·95 ·
・95 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
=
y ax ax
0(2(2001133,,55题题,，44分分))设设zz == x乏f/((x为y)),，其其中中函函数数f，可可微微，，则则 工 王 a 冬 x + +a孕y =
y
x y ox dy
2 2
( ( A A ) ) 2 2 yf y ’ f'( (x 巧 y) ) . . ( ( B B ) ) — -2 2 y y f' ff ( C x x y y ) ) . . ( ( C C ) ) —xff ((xxyy)) 。. ( (D D ) ) — —xf f C (x x y y ) ) . .
x x
答题区
答题区
___.
7
.9((22001144,,1111题题,，4分4分)设)设z =x =zx((xx,,yy)是)是由由方方程e程2yx e+2 *x+ +x +yy2 2++ zx == f确确定定的的函函数数，，则贝U
4
ddzzl(M) =------------•
(4.4)
答题区
答题区
y af af
①皿((22001155,,55题题，,44分分))设设函函数数f/((uu,,vv))满满足足ff( (( x 了 + + y » , 乏
x
))
=
=
x
^
2-
一
y2
尸
,则
，则a裂u 与与孕 依依次次是是
3v 二
\ X / du #«==11 dv u-1
1 1 1
=V1= I
1·
t/N 1
((AA)) -y,,00.. ((BB))00,,-y · . ((CC)) 一--y,,00.. ((DD))00,一,—*.
2 2 2 2
u u u
乙
答答题题区区
= _,
ⅡIT(|（22001155,,1133题 题，,44 分分）)若若函函数数 xz ==z (x,y)由由方程方e2+程2+3++xjyczy z ==1确 1 定确定，，则则d dzz =.
(0.0)
（0,0）
答答题题区区
。96
・96・第四章 多元函数微分学
第四章多元函数微分学
e2
1幽2((22001166,,66题题，，44分分))已已知知函数函f(数x,y/)== 一刍-,，则则
x一y
工 y
((AA)ff—:-f,=0 o.. ((BB))yf：?++yf；,==0 o.. ((cC))Af:--f/,>= f/.. ((d D))/f：;++/f,>=f /..
答题区
答颌区
匾13((22001177,,1122题题,，4分4分)设)设函函数数/(fx(,xj,zy))具具有有11阶阶连连续续偏偏导导数数，且，且df^dfx(.yx), y=) =y eyyed'x d+x +zx((l1 ++
y
jO
)e
e
'
'd
d
y
y
,
,
y
f(o (
,
0
o
,)0
=
) =
o
0
,
,
则
则 f(x,y)= _.
.
答答题题区区
F14F((22001177,,1166题题，，1100分分))设设函函数数ff((uu,9vv))具具有有22阶阶连连续续偏偏导导数数，，:yy ==f (/e(2e,xc ,ocso s xx),),
dy d2y
求业 ，女
求
水d&x ,=。'd&x22工=。・
x=0 x=0
答答题题区区
= _.
az
y2 ?z
[
5
E
(2
(
0
2
1
0
9
1
,
9
1
,
1
ll
题
题
，
,
4
4
分
分
)
)
设
设
函
函
数
数
f (
/
u
(
)
u
可
)
导
可
，
导
z
,z
=
=
y
y
f|
f((
x
^)\
,则
则
2
2
x
二a卷x ++y 蟠
ay
=.
答答题题区区
· 97 ·
・97・X 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》尊分三，二・
au
a2u a2u. du
1[60(（22001199,,2200题题，,1111分分）)已已知知函函数数uu（(xx,,＞y）)满满足足22驱-一22碧++3 3a祭x++3 3a 祭 y==0,0求,求a,ab,6的的值值使使
ax2 ay2
"■ dx oy ox dy
得得在在变变换换u以(x&,以y)）== v(,x（,1y以)e冲“皿之也下之，下上，上述述等式等可式化可为化函为数函v(数x,y以)的）的不不含含1阶1偏阶导偏数导数的的等等式式，.
答答题题区区
0.。=_ _.
囱17((22002200,,1111 题题,，4 分4分)设)设 zx == aarrcctatna[nx[^x +y+ ssiinn(x(x ++ y3)/)]],»则则 ddzz .
答答题题区区
昭18((22002211,,66 题题，，5 分5分)设)设函函数 数f(f工(，xy,)y可)可微微，且， f且( y ） ) = = (x—y-—t) f(t)dt,则则
= =
/ （ ( A Aa) 、 ） a a3 赤 F Fx _ = a a3 彼 y F F' a a d 曷x 2 2 2 F F _ = 矽 a 0 d 2 y 2F F 2 (m 心 B)、 ） a a3 云 xF F 三= a 顽3 3 y F F ' 旅 a ? d x 2 2 2 F F = _ _ _ 帝 a a d一 y 2 2一 2 F . F ·
=
( 寸 © C) 云 、 a a3 F Fx = = _ — - 苏 a a3yF F ' ' a 曷 d a2 2 x F F = _ 矽 a a 3 y 2 2 2 F F 2 (, 小 nD) 、 ） a a3 云 x F F = = — _ a ad 矽 y F F a a d 宓 2 x 2 2 F F = = _ — — a a d 矽y 2 2F 2 F· ・
答题区
答题区
小A 结
小结
本本题题型型包包括括如如下下几几个个方方面面的的问问题题：：初初等等函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分，，求求抽抽象象函函数数的的复复合合函函数数的的偏偏导导
数数，，由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分，，含含抽抽象象函函数数的的方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微
分分，，由由方方程程组组所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数..主主要要使使用用的的方方法法是是直直接接求求导导法法、、公公式式法法，，以以及及利利用用微微分分形形式式不不
变变性性..
此此题题型型是是常常考考的的题题型型，，复复习习时时需需注注意意：：
11.. 要要做做一一定定量量的的题题目目，，从从头头到到尾尾做做下下来来，，不不要要因因为为繁繁杂杂而而放放弃弃，，复复杂杂的的运运算算能能力力是是研研究究生生考考试试
的的重重要要测测试试点点..
22.. 求求抽抽象象函函数数的的高高阶阶偏偏导导数数时时，，要要做做到到不不遗遗漏漏、、不不重重复复..
@解题加速度
解题加速度
= _.
a2x
11.. (2（200090.9数.数一一，，44分分）)设设函函数数ff(（uu,,vp)）具具有有22阶阶连连续续偏偏导导数数，,zz ==f (/x（,xx,xy)jz,）则,则a xay ・
dxdy ------------
演演算尊空空间间
= _
22.. (（22001111,,数数三三，，4分4分）)设设函函数数z x== ( f1l ++ — 工) V ,,则则ddxz
' y ' > ( （ 11,.11) ）
演算空间
·・
9
99
9
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
= _.
y sin t a2F
3 3 . - ( （2 2 。 0 】 1 1 1 ， , 数 数 一 一 , ， 4分 4分 ）设 )设 函 函 数 数 F F （ ( w x,y ） ) = = 「静 dt, ， 则 则 ' 券
1+t2' ax2
0 x=0.y-2
0,y=2
源两空回
4
4.
. (
(
2
2
0
0
1
1
6
6
,
,
数
数三
三，，
4 分
4分
)设
)设
函
函
数
数
f(
f
u
(
,
u
p
,
)
v
可
)可
微
微，z ，
=
z=z(x,
由
y)
方
由
程
方
(x
程
+
(
l
x
)
+
z
1
—
)z
y
-
2
y
=
2=
x
x
2
2
f
f((
.x
x -
—
z,y)
= _,
确确定定，，则则ddzz = ・
((00,,11))
疾算空而
55.. (2（2001199,,数数三三，，101分0分）设)设函函数数f(u具,v)有具有22阶阶连连续续偏偏导导数数，函，数函g数&,g;(yx） ,=y )x=xyy-- ff(（.xx+ +y, y,
a'g + a2g a2g.
xX--y>).)求.求
ax
驱
2
+
ax
倍
dy 十
+
a
羿
y2
dx djcdy dy£
满理至回
·100 ·
・ 100 -第第四四章章 多多元元函函数数微微分分学学
三豆、、求求多％元元函函数数的的极极值值
2访11(（22000099,,33题题,，4分4分）设)设函函数数z =x= ff(（.xx,,yy）)的的全全微微分分为为ddzz ==x xddxx+ y+d、y心,则,则点点(0（0,0,0)）
(（A A ) ） 不 不 是 是 f( f x, g y)的 ） 连 的 续 连续 点 点 。 . (（BB)）不不是是f/(（xx,,＞y)）的的极极值值点点.
(（OC)是是f/(x（x,y,y)的）的极极大大值值点点.. （(DD）)是是fy(（xx,,y＞)）的的极极小小值值点点..
答答题筮区区
2幽2((22001111,,55题题，,44分分))设设函函数数/f((xx)),g,g((xx))均均有有22阶阶连连续续导导数数，满，足满/足(0f)(>00)>,g0,(g0()0<)<00,,且且，f((00))==
g
g
'
'(
(
0
0
)
) =
=
0 ,
0
则 ,则函函数数x
z
= f
=
(x，)
&
g(
)
y
g
)(在 v)点在(点0,
(
0
0
)
,
处
0)
取处得取极得小极小值值的的一一个个充充分分条条件件是是
((AA))f/”(0()0 )<<0 0,,gg”"((00) )>>0 0.. ( ( B B) )/ f ( ( 0 0 ) ) < <0 , 0 g ,g ” "(0 ( ) 0 ) < < 0 0 . .
(C)f”(0)>0,g”(0)>0. (D)f"(0)>0,g"(0)<0.
(0/(0) > 0,g"(0) > 0. (D)/(0) > 0,g"(0) V 0.
答答题题区区
2+2
困(（22001122,,1166题题，，101分0分）求)求函函数数f（f.x(,xy,}y )== x了e广牙的
的
极
极
值
值
.
.
答答题题区区
·• 110011 ·> 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· •提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》
壑(（22001133,,1199题题，，101分0分）求)求曲曲线线x三3-x一y+y巧3==1( 1x（≥x0,^y≥00)上,的上点的到点坐到标坐标原原点点的的最最长长距距
离离与与最最短短距距离离..
答答题题区区
2困5(（2200114,46,6题题，,44分分)）设设函函数数uu(（xx,,yy)）在在有有界界闭闭区区域域DD上上连连续续，，在在DD的的内内部部具具有有2阶2阶连连续续偏偏导导数数，,
a2u a2u a2u
且满足翥尹°及梏+ * = °，则
且满足axay ≠0及 ax2 十ay2 =0,则
(（AA)） u"(&x,，yv)）的的最最大大值值和和最最小小值值都都在在DD的的边边界界上上取取得得..
(（BB)） u“(（工x,以y)）的的最最大大值值和和最最小小值值都都在在DD的的内内部部取取得得..
(
（C
C)
）
u
“
(
C
x
z
,，y
v
)）的的最最大大值值在在DD的的内内部部取取得得，，最最小小值值在在D
D
的的边边界界上上取取得得..
(（DD)） u“(（x工,以y)）的的最最小小值值在在DD的的内内部部取取得得，，最最大大值值在在DD的的边边界界上上取取得得..
答题区
答题区
瓯26(（22001155,,1177 题题，，111 分1分）已)已知知函函数 数fdfx(,xy,）y满)满足 足f'齐f。点(x）,=y)2=（23(- y++l1）)eex 2,,/f：,（x(,x0,）0 )== (（zx ++1 )l）ee2，,，
f(0,y)=
=
y 2
y
+
2
2
+
y 2,y求,求 f(
/
x
'（
,
工
y
,
)
丁
的
）的
极
极
值
值
.
.
答答题题区区
·102 ·
. 102 .第第四四章章 多多元元函函数数微微分分学学
2
■
7(（2
2
0
0
1
1
6
6
,
,1
1
7
7 题题，，
10
1 分0分）已)已知知函数函
z
数
=
z =
z（
z
x
(
,
x
y
,
）
y由)由方方程（ 程
x2
(
+
x2
J
+
）
y
z
2
+
)z
ln
+ I
z
n
+
z +
2
2
（z
(
+
x+勾y++1
1
)
）
=
=
0确
0
确定定，，
求求xZ= =z( Zx（,Hy，)V的）的极极值值..
答答题题区区
2幽8(（22001177,,1188题题，，101分0分）已)已知函知数函了数（工y）(由x)方由程方P程 +x 3>+3 y-3 3-x3 x++ 33yy--2 2= 0=确 0定确，定求，求y水(x工)）的的极极
值值..
答答题题区区
巫
(（2
2
0
0
1
1
8
8
,
,
1
1
9
9
题
题
，，1 1
0
0分
分
)
）
将
将
长
长
为
为
2
2
m 的
m
铁
的
丝
铁
分
丝
成
分
三
成
段
三
，
段
依
，依
次
次
围
围
成
成
圆
圆
、
、
正
正
方
方
形
形
与
与
正
正
三
三
角
角
形
形
.
.
三
三
个
个
图
图
形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.
形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.
答答题题区区
·103 ·
. 103 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
3亚0(（22002200,,1177 题题，，10 1分0分）求)求函数函 数/（fx(,yx,） y=) =xx3 3++ 88yy33 --x xyy的 的极极值值..
答答题题区区
—
3311(（2200222,22,20题0题，，1122分分)）已已知可知微可函微数f函(u,数v)满满足足： a吁f(a（u"u,+v) 2 一 a 贫 f( a乎 u v , ， v 妲 ) == 22(（u“— 一 v勿)ee(-wf+>w,,且且
f/(（uu,,00)）= = u 2ue2 ~e-"M..
(（II)）记记gg(（xz,,yy）)==f (x,y—-xx)）,,求求a
a
g
g(
g
x，,》y）)
；
;
?x
dX
(（Ⅱn)）求求ff(（uu,v,p)）的的表表达达式式和和极极值值..
答答题题区区
小K小结结
11..二二元元函函数数极极值值的的求求法法..
(
（1
1
）
) 解
解
方
方
程
程组
组
，
f,(
（工
x
0
?
点
,y
0
o）)
=
=0
0
,f，/ ,；(（x
工
o
0
,，y
%
o)
）
=
=
0,
0
得
,得
所
所
有
有
驻
驻
点
点
.
.
(（22）) 对对每每一一个个驻驻点点 &(0x,弘,y）o，)求, 求A A
=
= f
/L
"(（x
^
,
o
y
,3
o
^
) o）,
»
B
B
= f=" (/x'?（,iyoo ,)乂,）C，=cf "=。 f(yxy（?
x,
)
y
=
)= x
x
2
2(
(
2
2 +
+
y
>
2
2
)
)
+
+
yl
y
n
i n
y
y
的 的极极值值..
满算空间
.(2010,数三三，J10分分）)求求函函数数uu ==x xyy+ +2y 2xy在z在约束约条件束x2+条y2+z件2=10=下 1的0下最的大最值大值和和最最小小值值..
演即算空空间间
。106 ·
・106・第第四四章章 多多元元函函数数微微分分学学
(r-1)”+y2
66.. (2(2002211..数数三三.，1122 分分))求求函函数数 /f((xx,,yy)) == 221lnn || x1+
2.x2
的的极极值值..
演算空间
77.. ((22001155,,I数t—一 . ，10 1分0分)已)已知函知数函 数f(x,=y )x= +x +yy ++ xxyy,，曲曲线线 CC:：xx22 ++ yy22 ++x y==3 ,3求,求f f((x.x,,yy~)在)在
曲曲线线CC上上的的最最大大方方向向导导数数..
演胃空间
四、反问题
g32g((22001144,,1188题题，,1100分分))设设函函数数f/((u«))具具有有2阶2连阶续连续导导数数，,zz == f/((ee^ ccooss >y))满满足足
a2z a2z
+
并 + 寿==(4(z4+z e+2 cexocso sy >))ee22.x.
ax2 3y2
若若 f/((00)) ==0 ,0f,(f0 ()0)= 0=, 求0,f求( u/()u的)表的表达达式式..
答答题题区区
·107 ·
-107 ・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学二)
小结
小结
由已知满足的关系式或条件，。利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等.
由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等.
特特别别是是已已知知偏偏导导数数或或偏偏导导数数所所满满足足的的关关系系式(式方(程方)程求)函求数函，数主，主要要有有两两种种题型题：型：
1.已知偏导数，通过不定积分求函数.
1. 已知偏导数，通过不定积分求函数.
设f(x,y)有连续偏导数，且f,(x,y)=g(x,y),f,(x,y)=h(x,y),则有
设 f(x,y)有连续偏导数，且 q(z，v)= g(z，v),q(z，v)= A(x,y),则有
f/((xx,,>y)) == jfq:((zx,,;yy))dd工x ++φ y>((>y)) == |gg((xx,,yy))ddxx ++φ ^(py(y)),,
f/((xx,,>y)) == |/f^,,((xx,,yy)d)d>y ++φ 0((xx)) == h(x,y)dy++φ 0((xx)),.
2.已知多元函数的偏导数所满足的方程，通过变量变换，化为一元函数的导数所满足的方程，
2. 已知多元函数的偏导数所满足的方程，通过变量变换，化为一元函数的导数所满足的方程,
即即常常微微分分方方程程，，求求解解微微分分方方程程得得到到函函数数..
解题加速度
I。解题加速度
(x+ay)dx+ydy
11.. ((11999966,.数数一一，，33分分))已已知知女土尹警乒虫为为某某函函数数的的全全微微分分，，则则aa等等于于
(x+y)2
((AA))--1l.. ((BB))00.. ((CC))1l.. ((DD))22..
演演算算空空间间
· 108 ·
・ 108 -第四章 多元函数微分学
第四草多元函数微分学
，
22.. (2(2001144, 数, 三，110(分) )设函数f(u)具有连续导数，且z = f(e2cos y)满足
数三 分 设函数/(u)具有连续导数，且z = y(excos y)满足
az az
c c o o s s y y a — dxz — — s s . i in n y y d a— z y= = (4z+e + ' c e o J s co s y ) jO e e 2 二 .
ox dy
(4n
若若，f((00)) ==0 ,0求,求f(，u()抄的的表表达达式式..
演演算算空空间间
五
五
、
、4剥$用 用
雪
变
童
量
代
代
拐
换
蛮
变
用
形
方
方
程
程
a2u a2u
3335((22001100,,1199题题，，1111分分))设设函函数数u«= =f( fxS,yy)具)有具2有阶2连阶续连偏续导偏数导数，，且且满满足足等等式式44 a 寿 x++1 122 彩 +
③x@y
a2u a2u
5 = 0.
5 ay2==0 0,确,确定定aa,,b5的的值值，,使使等等式式在在变变换换=t =xx ++a ayy, ,ηr/ ==x +xb +y 下by化下简化为：简06为0η= 0.
dy dp”
答答题题区区
·109 ·
• 109 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
—
小结
:小结
本本题题型型实实质质上上仍仍然然是是对对多多元元函函数数各各种种求求导导方方法法的的考考查查..
解题加速度
解题加速度
u=x-2y, a2z. a2z a2x a2z
( （ 1 1 9 9 9 9 6 6 , , 数 数 一 一 . ，6 6分 分 ) ） 设 设 变 变 换 换『一' — 2”可 可 把 把方 方 程 程 6 6髡 十 + ： 碧_一碧 = = 0 o 化 化 简 简 为 为马. ==0 ,0求,求
v=x+ay ax2 axdy ay2 audv
3 = z + gv * dxdy W dudy
常常数数Qa,,其其中中xz ==x (x,y)有2有阶2连阶续连偏续偏导导数数。.
满算空间
·
-
1
1
1
1
0
0
·・第五章 二重积分
第五章
第第五五章章 二二重瑾积衩分分
本本章章导导谟读
本本章章考考查查的的重重点点是是二二重重积积分分的的计计算算，，除除了了掌掌握握基基本本的的计计算算方方法法，需，需注注意意对对称称性性、拆、拆分分区区域域、、拆拆
分分函函数数、、交交换换积积分分次次序序、、交交换换积积分分坐坐标标系系等等的的应应用用..
试题特点
试题特点
从2004年起数学二考试增加了二重积分的内容，它是重要的考试知识点，每年试题一般是一
从2004年起数学二考试增加了二重积分的内容，它是重要的考试知识点，每年试题一般是一
个个大大题题、、一一个个小小题题，分，数分约数约占占试试卷卷的的9%9题,题目目主主要要集集中中在在二二重重积积分分计计算算的的考考查查上上，，往往往往在在被被积积函函数数
和和积积分分区区域域上上设设置置障障碍碍，，因因而而要要掌掌握握一一定定的的方方法法和和技技巧巧..另另外外，，被被积积函函数数为为抽抽象象函函数数的的二二重重积积分分值值
得得关关注注..
.
真真题题分分类类嫉练习习
。 。
一一、、基基次本概概念念及及姓性厩质
。
。
n ■n n =
Ⅱ叠(（22。011。0,,66题题,4，分4分性)li"m2S2 （” +涂疗）= :。
; (n+i)(n2+j2)
+00 i-1 j-1
1 1
(（AA)）L ddx" j o （l+zUl+寸）d心y.’ （
(
b
B)
）/>dx£ （1+工）1（1+少如-dy・.
0 (1+x)(1+y2)' (1+x)(1+y)
1 1
dx （l+z）l（l+v）d8y. （。/疽d工x］ （l+zUl+J）d板y.
(C) (D)
(1+x)(1+y) (1+x)(1+y2)'
悟 0
答答题题区区
·111 ·
・111。
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇((数数学学二二))
π
0 2 ( ( 2 2 0 0 1 19 9 , ,5 5题 题 ， ,4 4 分 分 ) ) 已 已 知 知 平 平 面 面 区 区 域 域 D D = = {{((x],,、y))| |I xxl | ++l | y3l/ ≤|< } , , 记 记 L I== / √ r 2 + y 2 d d r x d d y y , 9
2
9 7 D
Ih? == jjssiinn 7√x?2 2++y/ ddrzddyj/,,II3? == ]J((11 —-c cooss√』£x2 ++y池2) ) ddrxddy ) 则则
D D
(
(A
A)
)
I；3 、
<
k(z,;y)cLzd;y,但加上 fCx.y) ,g(z,y)连续且
(1)f(x,y)≥g(x,y)推不出 f(x,y)dxdy> g(x,y)drdy,但加上f(x,y),g(x,y)连续且
D D
ff(gx,y))不不恒恒等等于于g(gx&,y)U,则)，则结结论论正正确确。.
(2)>0且][，(了，30&如=0推不出f(x,y) = 0,但加上f(jc,y)连续，则结论正确.
(2)f(x,y)≥0且 f(x,y)drdy=0推不出f(x,y)=0,但加上f(x,y)连续，则结论正确.
D
解解题题加加速速度度
8
11.. (2(2000055, 数,数 三 三 ，,44 分 分 ) ) 设 设 I 7?\= = jjccooss√』土x2 ++y 2了d2 doo,I,匕?==jj c c o o s s ( ( x x 2 2 + + y 2 y ) 2' d )d o (y , , I I ? 3 = = jcjcoos(s(xx22+ y+2y)22dygd, (j9
D D D
其其中中 DD =={ ({x&,y,)')| 0x22 ++y)22≤ W1 )],}则,则
( ( A A ) ) L I ? > > I I? ? > > 1 L . . ( (B B ) ) I I i , > >I 【2 ? > >I 】 ? 3・
((CC))ZI2 ?>> IL> >I? L.. ((DD))LI ?>> IL? >>I ?I.2・
满算空间
· 112 ·
-112 -第第五五章章 二二重重积积分分
品
2.(2 1 0 () 1 1 6 6 . .数 救 三 三 . ， 4 分 4分 ) ) 设 设 J J i , = = jj √x——- yydjdcrddyyd( =i =11,,22,,33)，)其,其中 中Di D=?= {{((xx9,yy) )| |0o ≤< xz≤ <1 1,,
Di
O0≤d3
(A)J?|) O| ≤0x(≤工1,<01≤,0y<≤、1<}, 1计},算计算二二重重积积分分
D
:古
xyf"。((xx,9yy))ddxxddyy..
D
答题区
答题区
8
60((2200112,21,81题8题，，1100分分))计计算算二二重重积积分分川
xy
/也
do
,
,
其
其
中
中
区
区
域
域
D
D由
由曲
曲
线
线
r
r
=
=1
l
+ c
+
o
c
s
o
θ
se
(
(
O
0
≤
<
0
e
≤
<7
π
T
)
)
与
与
D
极极轴轴围围成成..
答
答
题22区
区
·・ 11114 4·・第五章 二重积分
第五章二重积分
0
x2drdy.
Q(（22001133,,1177题题，，101分0分）设)设平平面面内区内域区D域由D由直线直x线 =x =33yy,y, y== 33工x及及xx+ +y =>8 =围 8成围，成计，计算算
D
答答题题区区
0(2(2001144,,171 7题题，1，0 1分0)分设)平设面平区面域区 D域 =D ={({了(,x少,y )| |1 1<≤xx2 2++y/2 ≤<44,,xx≥>00,,y>≥>00}},计，H算算
8
xsin(π√x2+y2),
zsinS dxdy.
x+y
jc + y
答题区
答题区
…
2-:
Q((22001188,966题 题，,44分) dx ((11 —— xxyy))ddyy ++ ((11 —-x xyy) )d dyy ==
5· 5 7 7
((AA)) 3' ((BB))§ 6 . · ((CC)) y3 7 . · ((DD)) 4 6 7 .
o
o
答答题题区区
·115 ·
・115・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
x=t— sin t.
{
0皿(2（021081,81,71题7题，，1100分分)）设设平平面面区区域域DD由由曲曲线线'=sm t,
(0≤t≤2π)
与
与x
了
轴
轴
围
围
成
成
，
，计
计
算
算
二
二
y =1— cos t,
6 7=1 — cos t,
重重积积分分JJ
(
'
x
i
+
+
2 y
2少
)dr
&
d
d
y
y
.
・
D
答答题题区区
。
Ⅲ[1）(（22001199,,1188题题，，101分0分）)已已知知平平面面区区域域。D=={{(&x,,少y) || xxl |≤)23）≤3
0
0
,y
,>
≥
>
0)
0
与 )与x轴*轴围围成成，,
计计算算二二重重积积分分jpx'yddxxddyy.
D
答答题题区区
?
[£
(
(
2
2
0
0
2
2
2
2
,
,
1
1
9
9
题题，，12 1分2分)已)已知知平面平区面域区
D
域
=
D {=&{(,x少, yI )y| —y- 22 <≤ zx ≤< √J44 —-y ), 0,0≤ Vy ≤jy V2) 2,}计，计算算
(&x一—y疗)2
dxdy.
x2+y2 dxdjz.
衣+寸
答答题题区区
小结
,小结
1
1
.
.
计计算算二二重重积积分分的的步步骤骤为为：：
((11))画画出出积积分分区区域域DD的的示示意意图图..((22)用)用不不等等式式组组表表示示积积分分区区域域DD..( (33)把)把二二重重积积分分表表示示为为二二次次
积积分分..((44))计计算算二二次次积积分分..
22.. 注注意意积积分分坐坐标标及及积积分分次次序序的的选选择择，，一一般般说说：:若若积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆域域的的一一部部分分，，被被积积函函数数为为
·117 ·
. 117 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
x
y'
形形如如fy(（√7xx22++y2/),）f,(/(（ xJ ) ）,,f/( ( （
y
y ) ）等等，，可可考考虑虑采采用用在在极极坐坐标标系系下下进进行行计计算算。.
;”
3 3 . . 利利用用直直角角坐坐标标计计算算二二重重积积分分d d o a = = d d x x d d y y . . .
重m(=)
若若 DD: ： aa≤ Wx z≤ Wb ,b,-) ssiinn（(工x 2 2++yj22)）ddx_drdyv,，
D
其中积分区域D=((x,y)|x2+y2≤π}.
其中积分区域 D= （（X,y）|x2 + >2 <7t}.
演演算算空空间间
。
。
。
。
1
33.. ((22001155,,数数三三.，4 分4分)设)设 DD=={ {((x1,,y少)| x| x2+2+y2y≤2^2x2,xx29x+2y+2≤y22^y2),y函}9数 函f数(x，,&y,)少在在D上 D连 上续连，续，
则则f(x,y)dxdy ==
D
「 j香有 dor2*c2o0s 0 0 s r-j 量 - /*22ssitnini« n0
((AA)) d。 /f((rrccoossθ 0,,rrssiinn Oθ'))rrddr r++ d0\ /f((rrccoossθ 0,r»srisni nθ O)')rrddrr..
Jo Jo J 叶-J. Jo
(B) I* 直4 ddoe[ 2 sin /(rcos 0,rsin 0)rdr + 丁 [量d 叩 。]2 cos0 /(rcos。，广sin O')rdr.
(B) f(rcosθ,rsin θ)rdr+ f(rcosθ,rsin θ)rdr.
Jo Jo0 J 叶-5. Jo0
((C0)22 ff((.xx,,yy)}ddyy..
√-2
Vl-xz
√zx
fi r Vzx-j?
((2DDj))2 o d d x xj f/((xx,，y3)zd)dy>..
0
演葛
演算空间
4
4.
. (2
（2
0
0
1
1
8
8
.
,
数
数
三
三
，，1 1
0
0
分
分
）
)
设
设
平
平
面
面
区
区
域
域
D
D
由
由
曲
曲
线
线
y
y
=
=√
J
3
3
(
（
1
l
-
—
x2
吏
)与
与
直
直
线
线
y=
v
√
=
3x
焰
及
工
y
及
轴
v
围
轴
成
围
，
成
计
，计
8
x2dxdy.
算算二二重重积积分 dxdy.
D
演演算尊空空间间
·119 ·
-119 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
55.. (2(2002200,,救数三三，，101 分0分)设)设。D==(({x(,syy))| xI 2/+ y+2 ≤J 1(, y1≥,'0N},。连}，续连函续函数数f( /x,&y)，少满满足足
ff((.xx9y,)y =) =yy
a
√
/1 ~
i-
x
x
2
++x jJJfy( ( xx,,jyz))ddxxddjy>..
d
D
求求JJ x z f f ( { x x , ^ y y ) )d d x x d d y y .
D
演算空间
三三、、利剥用用区区域域的的时时衿称棒性及及函函数数的的奇奇儒偶性性计计算算棘积分分
8
π
[函5((22001122,,66题题， ，44分分))设设区区域域。D由由曲曲线线yy == s siinn xx,,xx ==± ±,y==1 围1围成成，，则贝皿((巧xy'?—-1D)ddxrdjdzy ==
2
D
((AA))πk.. ((BB))22.. ( ( C C) ) — - 2 2 . . ((DD)—)-π k ..
答答题题区区
QI6g((22001133,,66题题,，4分4分)设)设nD.是是圆圆域域D D=={ {(Cx,z,yjO)| Ix x2+2y+2j≤;2 <1)1位}于位第于第k象人限象的限的部部分分，，记记LI, ==
言
((3y^ —— xx))ddxxddyy{(kk ==1 ,12,,23,,34,4)),,则则
((AA))LI?>>00.. ((BB)) II2? >>0 0.. ((CC)) II3? >>0 0.. ((DD)) LI4, >>0 0..
答答题题区区
-
·1
1
2
2
0
0
·・第第五五章章 二二重重积积分分 <4
囱17(（22001155,,1188题 题，，1100 分分)）计计算算二二重重积积分分x(（工x++y 少)d&r心dy,,其其中中 DD =={ (｛x（x,y,>)）| x| /2+ +y2y≤ <2,2y,≥y>xx2}2.｝.
D
答答题题区区
[8g(2（021061,61,188题题，，1100分分）)设设。D是是由由直直线线了y ==1 ,l,yj=/ x=,y工=-以x围=一成1的围有成界的有区界域区，域计,计算算二二重重积积分分
f q
x2-xy-y2
—xy — y2 dxdy.
x2+y2 dxdy.
^2+y2-
答题区
答题区
皿 19( （ 22001177,,2200题 题 ， ，1111 分 分 ） ) 已 已 知 知 平 平 面 面 区 区 域 域DD = =(( ｛（ x 工 ,y , ) 仞 |x2 | + 衣 y2 + ≤ 寸 2 < y}2机 ,计 ,计 算 算 二 二 重 重 积 积 分 分JjG(x ++1 )l2）2ddrxddyy..
D
答答题题区区
·-112211 ·・►►数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解提析高■篇((数数学学二二))
X小小结结
11..下下面面的的结结论论十十分分重重要要..
((11))若若DD关关于于x轴工对轴称对，称，DD,为为D的D上的半上平半面平部面部分分，，则则
{ 0 0 , , 当 当 f /( ( x x , , - — y y ) ) = - = f — ( x f( , . y x ) , 时 y) ， 时，
品
f(x,y)do = 22匹f，((x*,,、y))ddoa,,当当 ff((.xx,, -—yy))= =f( fx(,xy,)y时)时..
D
(2)若D关于y轴对称，D?为D的右半平面部分，则
(2)若D关于' 轴对称,Q为D的右半平面部分，则
0,
{0, 当 当 f ， ( (一 -x 了 ,y 以 ) ) = = -f — (x,y)时 时 ， ,
古
f(x,y)do = 22jJfr((zx,，vy))dd(To,'当当f，((-一x7,,y丁)=)=f (〃x,工y以)时)时.\
D
D2
(
(z
3
3
)
)
x →
—
y互
> 4y
换互，换D，保
D
持保不持变不时变
9
，时则，则
1山
^f
f
(
(
jc
x,
,y
y
)
)
d
d
j
x
：
d
d
y
y =
=
\^ff( (yy, ,xx))ddxxddyy ==
2.
[f(x,y)+f(y,x)]dxdy.
D D bD
22. .若若积积分分区区域域不不具具有有对对称称性性，，或或被被积积函函数数不不具具有有奇奇偶偶性性，，可可考考虑虑拆拆分分区区域域或或函函数数..
y
⑥解题加速度
解题加速度 2
11.. ((22000044,.数数三三，，88分分))求求JJ(( √x+2尹+y?++y、))也do,,其其中中DD是是由由圆圆x2+
D x
-2\ -1 O 2
y
y
2
2
=
=
4
4
和和(x
(x
+1
+
)
l
2
)
+
2
y
+
2=
y
1 所
=
围
1
成所围的成平的面平区面域区域(如(如图图))..
-2
演算空间
· 122 ·
・ 122 -第五章 二重积分
第五章 二重积分 ◄◄
22.. (2（2000088,,数数三三，，4 分4分）设)设 DD =={ {( （xx,,jyz)） ||x x22+ y2y≤2 1),1则），则』(（x了2？ —一 yjO)ddzrddyy == _. .
D
演演算空间
8
3
3
.
.
(2
(
0
2
1
0
0
1
,
0
数
,数
三
三
，
，
1
1
0分
0分
)计
)计
算
算
二
二
重
重
积
积
分
分■『(x(z+ y+) v3)d3o击,,其其中中DD由由曲曲线线*x ==√ JI1++y与N直与线直线x+x√+^Z2yy
D
==
金
00及及xX-√—421y y= =0所 0围所围成成..
演算空间
四<=>、、分分讲埔函函数数积徐分分的的计计算算 。
K小小结结
0 0
形
形
如
如
积
积
分
分JJ|
l
/
f
*
(
(]
x,
，'
y)
)
|
|
d
击
o,
，jjmmaax{xf{(/x(x,y,^)), g,g((xx,,yjz))}}ddoa,, JJmminin(f(/((xx,，y3)/),, gg(x(x,y,>))}}ddoa,, Jj
[
L
f
/
(
(
x
z
,
,
y
；y
)
)
]
]
d
c
o
b
,
，
D D D D
gsgn{y&，v)— g(z，v)}想等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域
sgn{f(x,y)-g(x,y)}do等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域
D
积积分分..
・· 112233 ·-►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提■高■篇(（数数学学二二)）
解题加速度
解题加速度
2
11..(（22000022,,数数一一，，77 分分)）计计算算二二重重积积分分jJee)SdErd/yir,d其j/中,其中D= {D( =x ,｛y（*),|、O）≤| 0（x≤ 1,10,≤0 y≤1)1.｝.
D
欹
演iO算S空iB间l
22.. (（22000055,，数数 一—，,111 1分分）)设设 DD ==( ｛(（xx,9yy)） || xx22 ++y 2y≤2 V√ 显2,、工x ≥20。,，y了≥ 20。},，[口l++x^2之+y+3寸][表表示示不不超超过过
11 ++x2^+2 y+2 的y2最的大最整大数整数.计.计算算二二重重积积分分JJxr;yy[[1l ++x x22+ +y2 y]2d~x\ddxydy.,
D
演算空间
· 124 ·
・ 124 -第五章 二重积分
第五章二重积分 <4
五五、、奏交拐换徐积分分次次序序及及坐坐标标系系
;,
f(x,y)dy+ f(x,y)dx=
2 皿 0((22000099,,44 题 题 ， ，4 4 分 分 ) ) 设 设 函 函 数 数 zx ==f( ， x & , , y 丁 )连 )连 续 续 ， ， 则 则J]ddxzJ fCx,y)dy + f (x,jz)dj?=
1
4-x
(A) dx ff((xx,,yy))ddyy.. ((JBB)) ddxzj f f { ( x x ^ , y y } ) d dy y . ,
1 1
4-y
(C) dy ,4-y f/((xx,,jy/))ddxx.. ((JDD)) ddy« f f{ (x x , y y y ) ) d d x x . .
1
答题区
2团1((22001100,,2200题题，，1100分分))计计算算二二重重积积分分
jj
r
r
'
2
ssiinn θ
0
√1 -—r 2rc
2
ocoss 2200ddrrddo0,
,
a/1
D
π
其
其中
中
D
D
=
=
{j ((rr,,θ0)) |
0
0
≤
<
r
r
≤
<
s
s
e
e
c
c
0
5
,
,0
0 ≤
<
0
0
≤
.
4
答答题题区区
· 125 .
・ 125 -—
►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・■提高■■(（数数学学二二)）
。
2
困
2(（2
2
0
0
1
1
5
5
,
,6
6
题
题
,
，
4分
4分
）设
)设
。
D
是
是
第
第
一
一
象
象
限
限
中由
中
曲
由
线
曲
2巧
线2
=
xy
1
=
,4
1
巧
,4x
=
y=
1
1
与
与
直
直
线
线
y
y
=
= x
x
,
,y
y=
=
√
用
3x
工
围
围
成成的的平平面面区区域域，，函函数数f(x,y在)在DD上上连连续续，，则则k
f(
（z
x,
，V
y)
）
d
&
rd
如
y
=
=
昌1 1
(A) 重 的 f / ( （ r r c c os o θ s。,r，s厂i s n in θ 0 ) ） r r d d r r . . (B) do f(rcosθ,rsin θ)rdr.
2 9 量 7 1
J开 2 貌号
(C) d0 f f (r （ c r o c s o θ s。,r，s广i s n in θ 0 ) ） d d r r . . (D) do √m f(rcosθ,rsin θ)dr.
÷
4
1 √1mm
答答题题区区
。
tan x.
2圉3(（22001177,,1133题 题，,44 分分)）j ddjyyj
x
dx== < _,
y
答答题题区区
。
圈(（22002200,,1100题 题，,44 分分)） d djy √ \Zz3 + 3 Id + x = 1dx= .
V5
答答题题区区
= _.
12
门
π
困
(
（
2
2
0
0
2
2
1
1
,
,1
1
4
4 题
题
，
,5
5
分
分
）
)
已
已
知
知
函
函
数
数
f
f
（
(
t
t
）
)
=
=
J】ddxzj广ssiinn
y
j 工 dd;yy,,则则广f (（3
2
* ) ）=-
√i
答答题题区区
·126 ·
・ 126 -.
,
第五章 二重积分
第五章二重积分 <4
2 y
dy dx=
2063((22002222,,22题 题，,55 分分))心一 dz =
√I+x
J0。J y，Jl + -3
(A) √ 自 2 (B)§ 1 . (C) √ 孝 2 . 2 2
(A) 6 (B) 3 (C) 3 ((DD)) y3'.
b 3 3
答题区
答题区
x小小结结
1.交换积分次序是常考的题型，通常有如下两种情形：
1. 交换积分次序是常考的题型，通常有如下两种情形：
(1)题目本身要求交换积分次序.
(1) 题目本身要求交换积分次序.
((22)) 计计算算时时，，按按原原积积分分次次序序计计算算比比较较复复杂杂或或无无法法计计算算，，需需交交换换积积分分次次序序，，一一般般可可从从被被积积函函数数的的
sin x
类类型型看看出出，，如如含含有有形形如如ee?3,，主M等,应后对*积分.
x 等，应后对x积分.
X
22.. 需需注注意意的的是是一一定定要要准准确确地地画画出。出积积分分区区域域..
33.. 有有些些累累次次积积分分仅仅交交换换积积分分次次序序不不能能解解决决问问题题，，此此时时应应考考虑虑交交换换坐坐标标系系..
44.. 极极坐坐标标系系下下的的交交换换积积分分次次序序虽虽然然没没有有考考过过，，但但需需关。关注注..
(a；
解题加速度
解题加速度
。 。
。
cos0
do
11.. ((11999966,,数数四四，，33分分))累累次次积积分分 f(rrccoossθ。,，r厂ssiinn 0θ)r)drdrr可可以以写写成成
J0
J 0 0
「
重√x) V√-)
((AA)) 1d d y ;y f/((xx,,jyz))ddx^.. ((BB)) fl d d y y\f 1-y2 f(x,y)dx.
0 0 J
0
J0
0
√
dy
(C) f(x,y)dx. (D) dx ff({xx,,yy))ddyy,.
J 00 J 0
10
演算空间
· 127 ·
・127・►►
数
数
学
学
历
历
年真
年
题
真
全
题
精解
全
析
精
·
解
提
析
高篇 ■:(数
（数
学
学
二
二
)
）
4
dy
2
2
.
.
(
（
2
2
0
0
0
0
3
3
,
,
数数一一，，4 4分分)）交交换换积积分分次次序序：: /(（工x,，、y）)&dx ++ /((xx,y,)yd)xd =x=_ _.
上上
T
演算空间。
。
。
中
3
3
.
.
(2
（
0
2
1
0
2
1
,
2
数
,数
三
三
，，4
4
分
分
)设
）设
函
函
数
数
f(t
/
)
（
连
t）
续
连
，
续
则
，则
二
二
次
次
积
积
分
分
Pdd6o>f2
c os
f/((rr22))rrddrr ==
J 00 J 2cos 6
√? √-:
(A) dx , √ y 了 < 2~ -x ~ z 2 2』 √ ,_ £ __ x __ 2 _ + __ + __ y ___ 2 __ f(x2+ + y J 2) ) d d y y . ((BB))L f2 d d z x r J / √ 4 丁飞 -x _ 2 2 2 f/((xx2z ++y 2y)2)ddyy..
0
(C) dy
事 √)
√x2+y2f(x2+y2)dx. (
(
D
D
)
)pd3y ，J √ i^L -) -r
f
/
(
(
x
x
2
2
+
+
y2
y
)
)
d
d
x
x
.
.
1+√i-y
。
,
满算空间
e2
-g2
dy ( )da _,
44.. (（22001144,,数数三三，，44分分)）二二次次积积分分 x
演算空间
·128 ·
・128・第第六六章章 常常微微分分方方程程
第第六六孝章 常帝微微分分方方程篌
本章导读
本章导焕
本本章章内内容容是是考考试试的的重重要要组组成成部部分分，，特特别别在在数数学学二二所所占占份份额额更更大大，，主主要要侧侧重重于于一一阶阶微微分分方方程程、、可可
降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的求解，微分方程的应用多涉及几何方面.
降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的求解，微分方程的应用多涉及几何方面.
试题特点
每年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的10难度不是很大.除了各种微分方
每年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的10%,难度不是很大.除了各种微分方
程程的的求求解解，，对对常常系系数数线线性性微微分分方方程程解解的的结结构构及及性性质质的的考考查查也也是是测测试试的的一一个个重重要要方方面面..特特别别是是近近几几
年年涉涉及及几几何何应应用用的的题题目目较较多多..
真■题题分分类类练练习习
一
-、
、
-
一
阶
阶
徽
微分分方为程稚的的求求解解
[|(（22001100,,22题题，,44分分）)设设sy?，,力y?是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程y'y +′ p+p^(xy) y== qq(（xx)）的的两两个个特特解解..若若
常常数数λ义,，"μ使使泌λy
1
?++μ用y?
2
是是该该方方程程的的解解，，λ
“
y
1
: ——μ冷y
2
?是是对对应应的的齐齐次次方方程程的的解解，，则则
1 1 · 1 1
(（AA)）λa == §2 , / μ = = §2 ・ ( （B B) " λ =- 2 ,μ==一_ y 2 -
(（CC)）λA == 号 2 9 , / μ = = * 1 1 . (（DD)）Aλ == W 2 9 , " μ = = y 2 ? .
3 3 3 3
答答题题区区
❷2(（22001111,,1100题题，，4分4分）微)分微方分程方y程/ +y y′ =+ ey-=xeco~sc xos满x足满条足件条y（件0）y =(O 0)=的0解的为解:y 为=y= _，
答答题题区区
· 129 ·
・ 129 -数学历年真题全精解析·墨高■(数学二)
►► 数学历年真题全精解析•■■（数学二）
H 3(2（2 0 0 1 1 2 2 , , 1 1 2 2 题 题 ， ,4 4 分 分 ）微 )微 分 分 方 方 程 程 必工 yd + x + （ ( z x — - 3 3 y ） 2)）如 dy = =0 0 满 满 足 足 条件 条 y 件==1 的1的解解为为
r=1
y = _.
y =
答答题题区区
。
□4(2（2001122,,1199 题题，，101 0分分）)已已知知函数函 数/（xf）(满x)足满方足程方 f程'M子） +( x/)U+f）(-x2)-/（2xf）( =x) 0= 及0及 f了S( x+) +f(x)==
2e',
2eS
(（II)）求求f(/x（)工的）表的达表达式式；；
(
（ ⅡH）
)
求
求
曲
曲
线
线
y
y
=
=f
f
(
（
x
x
2
2
)
）jy
f(
（-
-t
t
2
2
)
）
d
d
t
t
的
的
拐
拐
点
点
.
.
答答题题区区
§5((（22001166,,1111题题,，4分4分）以)以丁 y== x]22-—e]′和和y丁=x=2/为为特特解解的的一阶一非阶齐非次齐线次性线微分性方微程分为方 程 为_..
答答题题区区
·・ 1
1
3
3
0
0
·
-第第六穴章章 常常微微分分方方程程 <<
宿6(2（2002211,,2200题题，，121分2分）设)设了 y== y>>(（xx）)（(xx >>0 0)）是是微微分分方方程程xyxfy —' -66y y==—-66满满足足条条件件>y（V(33）) ==1 100的的
解解..
(I)求y(x);
（I）求 y（x）；
(Ⅱ)设P为曲线y=y(x)上一点，记曲线y=y(x)在点P处的法线在y轴上的截距为Ip
（口）设P为曲线V = y（x）上一点，记曲线了 = V&）在点F处的法线在〉轴上的截距为IP.
当I,最小时，求点P的坐标.
当Ip 最小时，求点P的坐标.
答答题题区区
1
jJ(（22002222,,1188题题，，121分2分）设)设函函数】数（zy）(x是)微是分微方分程方2程巧'2一xy 4'、-4=y =221lnn工x一- 11满满足足条条件件y了(⑴1)== 才的的
4
解解，，求求曲曲线线;yy == 丁y(（了x)）（(11 ≤Wxz≤ y ! ? ( ( x x ) ) + + C C [ \_ y y ? x ( (x x) ) + + y ? y ( 2 x (z ) ) ] ] . .
演翼空同 —
=
dy y 1 y' 3
3
3
.
-
(
(
2
2
0
。
0
。
7
7
,
,
数
数
三
三
，
,4
4
分
分)
)
微
微
分
分
方
方
程
程
d
宰
x
= J
x
-j
2
((f
x
))3
满
满
足
足
y
七， ==1的1的特特解解为为y' == - -- - - -- -_■
x=1
屑算空间
·
-
1
1
3
3
2
2
·・第第六六章章 常常微微分分方方程程 44
4
4.
. (
(
2
20
0
0
0
8
8
，数
,数
一
一，4分 ，
)
4
微
分
分
)
方
微
程
分
xy
方
f +
程
y
x
=
y
0
'+
满
y
足
=0
条
满
件
足
y(
条
l)
件
= 1
y
的
(1
解
)=
是
1
j
的
/ =
解是y=
派算空间
5
5
.
.
(
(2
2
0
0
1
1
4
4
,
,
数
数
一
一，4 ，
分
4分
)微
)
分
微
方
分
程
方
x
程
yf
x
+
y '
,y
+
(
y
ln
( I
x
n
—
x
I
-
n
l
j
n
z)
y
=
) =
0
0
满
满
足
足
条
条
件
件
j/
y
(
(
l)
1 )
=
=
e
e
3
3
的
的
解
解
为
为
y
y
=
=
s
演算空间
6.(2018,数一，10分)已知微分方程y'+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.
6. (2018,数一，10分)已知微分方程J +丁 =顶(了)，其中f")是R上的连续函数.
((II) )若若f(/x()*=)x=,求工，方求程方程的的通通解解..
((Ⅱn ))若若f/('x()z是)是周周期期为为T的T函的数函，数证，证明明：：方方程程存存在在唯唯一一的的以以TT为为周周期期的的解解..
演算空间
77.. ((22001199,,数数一一，4，分)4微分分)方微程分2乂方y' 程— >22y —y '2 -=y 20-满2=足0条满件足j/(条0) 件= y1(的O)特=解1的y =特 解y = ,
演异空同
·
-
1
1
3
3
3
3
·・►►数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解提析高籍■(（数数学学二二)）
2
88.. (2（021091.9数.数一一. .110。分分)）设设函函数数y(x是)是微微分分方方程程yy′++xxyy == e 井满满足足条条件件y火(O 0 ) ） = 0 = 的 0 特的解特解..
(
（
I
I
)
）
求求y
y
(
（
x
.x
)
）
;；
(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点.
（H ）求曲线v = ＞（x）的凹凸区间及拐点.
族算空同
二二、、可可降胯阶阶的的二二阶阶微常分分方方程程的的求求耕解
x=2t+t2,
08((（22001100,,1177题题，，111分1分）设)设函函数数丁 y== f_(/（x了)）由由参参数数方方程程 I jq — =; 2 ， t - 、 4— ,2 '（(，t＞>-—1)1所）所确确定，定其，其中中φ■(t/)）
y=φ(t),
=炒）,
5 d2y 3
具具有有二二阶阶导导数数，，且且欧ψ(⑴1)== 有
2 乙
,渺ψ’⑴(1=)= 66,,已已知知
dx
学
2
三=
4(1
七
+t )
十 ,求求函函数数ψ的(t)）..
CLJc * X. A I I）
答题区
答题区
· 134 ·
・ 134 -第第六六章章 常常微微分分方方程程 44
09((22001166,,1199题 题，,1100 分分))已已知知少y?((zx)) ==e e'x, 9yy?2 ((xx)) ==u (ux()xe)′ex 是是二二阶阶微微分分方方程程((22xx—-1l))yy°f—- ((22xx ++
1
1
))J y′
+
+
2
2
y
y =
=
0 的 0的两两个个解解，
，若
若
u
u(
(
-
-
1
1
)
)
=
=
e, u
e
(
,u
O
(
)
0
=
)
- =1一,求
1
u
,
(
求
x)
u
,
(
并
x)
写
,并
出
写
该
出
微
该
分
微分
方
方
程
程
的
的
通
通
解
解
.
.
答答题题区区
X小结
小结
考考试试大大纲纲要要求求的的可可降降阶阶方方程程有有三三种种类类型型：：
11.. yy'n”)== f/((xX).).方方程程两两边边对对xz积积分分n次〃，次即，即可可求求得得通通解解..
2
2
.
.
y
y
”
=
= f
/
(
(
x
x
,y
,y
')).
.
称称为为不不显显含含y y的的可可降降阶阶方方程程..令令p
p
=
=
y'
J
,则 ,则原原方方程程化化为为一一阶阶方方程程
dp
翌==ff(x (工,p，p)).・
dx
ax
3.y°=f(y,y').称为不显含x的可降阶方程.
3. / =丁).称=为不显 · 含z的可降阶方程.
dp dp dy dp. dp
令令pt> ==y 'y, y>y° ==
d
普
x
=
d
字
y
•
d
字
x
== p力
d
笋
y
,则则原原方方程程化化为为一一阶阶方方程程pP
d
4
y
^ =
=f
f
(
(
y,
y
p
,
)
"
.
ax ay ax ay ay
三、高阶常系数线性微分方程的求解
三、高阶常系数鳗+4锹分方襁的求耕
①皿((22001100,9,9题题，,44分分))三三阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程Z程-y2”/-+2yy”-2+y3′； =- 20y的=0通的解通为解丁为 =y= _..
答题区
答题区
· 135.
-135 -►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提■高■籍(（数数学学二二)）
ⅡflQ((22001111,,44题题，,44分分))微微分分方方程程yy-”^-yx2 =y= e*++e μ(λ(A >>0 )0的)的特特解解形形式式为为
((AA))aa((e『*++e-e^F)。). ((BB))oaxr((ee*++e广-**))..
((CC))xr((aaee111 ++bbee-~*i)r).. (D)x2(ae1++bbee?)^。\
答答题题区区
1圈2(（22001133,,1133题题，，4分4分）已)已知知vi y=?= ee3x1 —+- xxee22i，,费yz==ee'T -—x ex2e2,x y,?y=3 -=x—e2x是e2某x是二某阶二常阶常系系数数非非齐齐次次
=0,y'
线线性性微微分分方方程程的的33个个解解，，则则该该方方程程满满足足条条件件yv =0,3/ ==11的的解解为为yy= = _..
xX= =0 0 JxT==00
答答题题区供
1[3f(i（22001155,,1122题题，,44分分）设)设函函数数、=y=火y(工x）)是是微微分分方方程程yy，+” y+'y-'2-y2y ==0。的的解解，，且且在在x x== 00处处y'(（x工)）
取取得得极极值值
3
3 ,则,则、怎y(）x)== _..
答答题题区区
1Q4E((22001177,,44题题,，4分4分)微)微分分方方程程/-y4"-/4y +'+ 88>y ==e 2e2rx((l1++ccooss2 2x)x的)的特特解解可可设设为为Wy° ==
((AA))AAee22x+ +e 2e(2Bj(cBocso s 22xx+ +Cs Cisni n2 2xx)).. ((BB))AAxzee22j r++e e2Z(j(BBccooss 22xx ++C sCisnin 22xx))..
((CC))AAee22jr ++x xee2^(CBBccooss 22xx+ +C sCisni n 22xx)).. ((DD))AArree22j+ +xe x2e(2Bxc(Bosco s2 x2+xC +si Cns i2nx 2)z。).
答答题题区区
· 136·
・136・第第六六章章 常常微微分分方方程程 44
I困5((22001199,,44题题，,44分分)已)已知知微微分分方方程程y+y”ay+af +y' b+yb y= =ccbe的2的通通解解为为y =y= ((QC? ++C C?x2x))ee?~+x ++e 'ex, ,则 W
a,b,c依次为
a,b,c依次为
((AA))11,,0O,,11.. ((BB))1l,,00,,22.. ((C0)22,,11,,33.. ((DD))22,1,l,,44..
答答题题区区
G(2022002,0,1133题 题，，44 分分))设设)y == y>((xx))满满足足 yy”f~\+~22yy '+yy ==0 ,0且,且y y((O0))= =0, 0y,′j/((0O)) ==1 ,1则,则 j yy({xx)}ddxx
= _,
0
答答题题区区
1[g7(（220O2211,,1155题题，，5分5分）微)微分方分程方/程 —y”了 =-y 0=0的的通通解解为为J, =y= _..
答答题题区区
B|J(J2（022022,21,144题题，，55分分）)微微分分方方程程寸y—°2-y2f y+” 5j+/5 =y′ 0=的0的通解通、解（工y）(=x)=_ _..
答答题题区区
·137.
・ 137 -►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■提高■篇((数数学学二二))
X
小结
小结
1.求二阶常系数非齐次线性微分方程的解的步骤：
1. 求二阶常系数非齐次线性微分方程的解的步骤：
(1)求特征方程的根.
(1) 求特征方程的根.
((22)) 写写出出齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解..
((33)) 求求出出非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的一一个个特特解解..
(
(
4
4
)
) 写写出出非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解..
2.对于高阶线性微分方程，应掌握解的性质、叠加原理以及通解的结构.
2. 对于高阶线性微分方程，应掌握解的性质、叠加原理以及通解的结构.
3.对于二阶常系数线性微分方程y”+py'+qy=f(x),应熟练掌握求通解的方法.
3. 对于二阶常系数线性微分方程y" + py' + qy = /(x),应熟练掌握求通解的方法.
(1)对于对应的齐次线性微分方程y”+py'+qy=0,会根据其特征方程r+pr+q=0的根
(1) 对于对应的齐次线性微分方程y+py' + qy = 0,会根据其特征方程r2 + " + g = 0的根
的的情情况况，，写写出出齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解..
(2)当自由项f(x)为多项式函数、指数函数、三角函数以及它们的和、差、积所得的函数时，应
(2) 当自由项六工)为多项式函数、指数函数、三角函数以及它们的和、差、积所得的函数时，应
熟熟练练掌掌握握用用待待定定系系数数法法确确定定特特解解..
4.对于二阶常系数齐次线性微分方程y”+py'+qy=0,函数Ae”是其解的充要条件为r =
4. 对于二阶常系数齐次线性微分方程y'A-py'+qy = 0,函数Ae“是其解的充要条件为，=
α
a是
是
特
特
征
征
方
方
程
程
r2
r
+
2+
/
p
»-
r
+
+q = 0
=
的
0
根
的
；
根
函
；函
数
数
A
A
e“
e^
s
s
i
in
nβ
但
r，B ,B
e
e
"
“
co
c
s伊
osβ
或
或
e"
e
(
“
As
(
in
A s
/3
i
r
n
+ B
+
c
B
o
c
s
o
/
s
J
)
r
是
)是
其
其
解
解
q
的充要条件为r=a±ī是特征方程r+pr+q=0的根.利用以上结论，可由方程的解，确定其对
的充要条件为r = a±/?i是特征方程r2+pr + q = 0的根.利用以上结论，可由方程的解，确定其对
应的特征方程的根，从而得到特征方程及其对应的齐次微分方程.
应的特征方程的根，从而得到特征方程及其对应的齐次微分方程.
55.. 对对于于简简单单的的高高于于二二阶阶的的常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程，，会会根根据据其其特特征征方方程程的的根根的的情情况况，，写写出出其其
通通解解..
(J；
解题加速度
解题加速度
11.. ((22000099,,数数一一，，44分分))若若二二阶阶常常系系数数线线性性齐次齐微次分微方分程方y程^ay"y++ayb'y+b =y =00的的通通解解为为y y==((CG?+ +
CC?2xx))ee
J
'，则,则非非齐次齐方次程方
y
程+y a”yf ++a
b
y
y
' +
=
b
x
y=满x满足条足件条
＞
件
(0)
y (
=
O )
2
=
,j
2
/(
,
0
y
)
' (
=
0 )
0
=的0的解为解；y为 =y=_ _,・
满算空间
2.(2010,数一.10分)求微分方程y"-3y′+2y=2xe′的通解.
2. (2010,数一.10分)求微分方程y - 3/ + 2y = 2xex的通解.
演葬空间
· 138 ·
・ 138 -第第六六章章 常常微微分分方方程程 44
33.. ((22001122,,数数一一，4， 分4)分若)函若数函，数(*f)(满x)足满方足程 方/(程x)f +"(/x()x+)f (-x2)/-(x2f)( =x)0= 0及及 /f((xx))++f/((□x);)==
2e',则f(x)= _.
2矿，则 /(x) =.
演算空间
;
4
4
.
.
(2
（2
0
0
1
1
6
6
,
,
数数一一，，
10
1分0分）设)函设数函火数了y）(x满)足满方足程方
y
程
+
y
2
"
y
+ 2
+
y
k
'
y
+ k
=
y =
0
0
,
,其其中中
0
0
V
y<(>x)(》x),}求,求D绕。x绕轴工旋轴转旋所转得所旋得转旋转体体的的体体积积..
答题区
答题区
2瓯5((22002200,,2211题题，，111分1分)设)设函函数数/(fx(x))可可导导，且，/且•'f((*x))>> 00..曲曲线线、y==f/((xx)()x(≥x>0)0经)经过过坐坐标标原原点点
OO,,其其上上任任意意一一点点MM处处的的切切线线与与工x轴轴交交于于TT,,又又MMPP垂垂直直x*轴轴于于点点PP..已已知知由由曲曲线线、y==f(/x()x,)直,直线线
MMPP以以及及x轴了所轴围所图围形的图面形积的与面△积MT与P的的面面积积之之比比恒恒为3为:23, :求 2满,求足满上足述上条述条件件的的曲曲线线的的方方程程..
答题区
答题区
X
小结
小结
11.. 应应用用题题求求解解步步骤骤：：
(
(1
1)
)
根根据据实实际际要要求求确确定定要要研研究究的的量量((物物理理量量或或几几何何量量))..
((22)) 找找出出这这些些量量所所满满足足的的规规律律((物物理理的的或或几几何何的的))..
d2x
(3) 运用这些规律列出方程：如牛顿第二定律巾帝 =fd、t)或微元法.
(3)运用这些规律列出方程：如牛顿第二定律m dt2 =f(x,x',t)或微元法.
((44)) 列列出出初初始始条条件件..
2
2
.
.
微微分分方方程程的的应应用用是是考考查查应应用用能能力力的的重重要要题题型型，，主主要要有有以以下下几几个个方方面面的的应应用用：：
((11))在在几几何何上上的的应应用用..
dy 1
①
①
导
导
数
数的
的
应
应
用
用
.
.
主
主
要
要
考
考
曲
曲
线
线
、
y=
=
y(
火
x)
工
在
)在
任
任
意
意
点
点
(x
(工
,y
，
)
少
处
处
的
的
切
切
线
线
斜
斜
率
率
!
字
、
、法
法
线
线
斜
斜
率
率一
一日d一d及
及
曲
曲
dx
ax
OJ/
dx
· 142 ·
・142・第六章 常微分方程
第穴章常微分方程 44
lyl
率 率 ； 石耳匕等 等 导 导 数 数 的 的 应 应用 用 ， ，应 应结 结 合 合 题 题 设 设 其 其 他 他 条 条 件 件 ， ， 得 得 到 到 微 微 分 分 方 方 程 程 . ・
(1+y2)3
;
②
②定
定
积
积
分
分
的
的
应
应
用
用
.主
.主
要
要
考
考
在
在
一
一
变
变
化
化
区
区
间
间[a
［
,
a
x
,
]
z
(
］
或
(或
[x
［
,
z
b，]
M
)上)上 的弧
的
长
孤
、
长
面
、面
积
积
、
、
体
体
积
积
等
等
定
定
积
积
分
分
的
的
应
应
用
用
心
问问题题..得得到到变变限限积积分^£/(
f
r
(
)
t)
d
d
«
t(
(£/
f
(
(
z
t
)
)
d
dt
r
)
)
,
,结
结
合
合题
题
设
设
其
其
他
他
条
条
件
件
，
，得
得
到
到
含
含变
变
限
限
积
积
分
分
的
的
函
函
数
数
方
方
程
程
，
，
然
然
后
后
通
通
过过求求导导消消去去变变限限积积分分，，转转化化为为微微分分方方程程..
(
(
2
2
)
)
在在物物理理上上的的应应用用..
dy.
①①变变化化率率问问题题..由由变变量量yy ==y y(Ct)t的)的变变化化率率学,，或或者者由由变变量量y==y (t)在在区区间间[［t字,t++ddt门]的的增增量量((微微
dt
at
元)dy= y'(t)dt,并结合题设其他条件，得到微分方程.
元)dj = 并结合题设其他条件，得到微分方程.
{{x7* =x(7*t ())),
②运动问题.设物体沿曲线 —运运动动，，则则在在任任意意时时刻刻t，,，物物体体的的运运动动方方向向与与向向量量((x工'('t()£),,
y= y(t)
y = >(«)
y
y
'((« t))))同
同
向
向
或
或
反
反
向
向
，
，运
运
动
动
速
速
度
度
的
的
大
大
小
小
为
为
^
v
=
=√
w
x'(t
⑵
)+y
+
”
必
(t)
⑵
,并
，并
结
结
合
合
题
题
设
设
其
其
他
他
条件
条
，
件
得
，得
到
到
微
微
分
分
方
方
程
程.
.
③③利利用用牛牛顿顿第第二二定定律律，，得得到到微微分分方方程程..
(0；
解题加速度
解题加速度
11.. ((22000066,,数数三三，，88分分))在在由aO力y坐坐标标平平面面上上，，连连续续曲曲线线LL过过点点MM((1l,,00)),,其其上上任任意意点点FP((xz,，yv))(&x丈≠
00))处处的的切切线线斜斜率率与与直直线线OOPP的的斜斜率率之之差差等等于于aa工x((常常数数aa >>0 )0.).
((II) )求求L的L方的方程程；；
8
((ⅡII))当当LL与与直直线线yv= =ax a所x围所成围平成平面面图图形形的的面面积积为为奇
时
时
，
，确
确定
定
a
a
的
的
值
值
，
.
3
质罪空同
22.. ((22000099,,数数三三，1，0分10)分设)曲设线曲v线 =y =/f((xx)),,其其中中yy ==f /((xx)是)是可可导导函函数数，，且且/'f((工x))>>0 .0已.已知知曲曲线线
yy= =f(/x()x与)与直直线线y=y 0=, x0=,1x及 =x 1=t及(tz> =1 )r所(r 围> 成1)的所曲围成边的梯曲形边，梯绕形x，绕轴w旋轴转旋一转周•—所周所得得的的立立体体体体
积积值值是是曲曲边边梯梯形形面面积值积的值π的t"倍倍，，求求该该曲曲线线方方程程..
演算空间
· 143 ·
-143 -第一章 行列式
第一章行列式 ◄◄
7
1-100
「1 -1 0 0 一
-21-1 1
-2 1 _ 1 1
2(2（021091,91,144题题，，44分分）)已已知知矩矩阵阵*A == 广 ,，A A。 “表 表示 示 |A | |中 中 (i G ,j ,j ) ） 元 元 素 素 的 的 代 代
3-2 2-1
3 -2 2 -1
0 34
_ 00 (0 3 4 _
数余子式，则A?—— A1A2? == _.
数余子式，则
答答题散区区
a a 0 0 - -1 1 1 1 = _,
0 a 1 -1
0 a 1 -1
0(（22002200,,1144题题，,44分分)）行行列列式式
-1 1 a 0
-1 1 a 0
a
1 -1 0
1 -1 0 a
答答题题区区
x x 12x
X X 1 2x
1 x 2 —1
1 X 2 -1
日(（22002211,,1166题题，，5分5分）)多多项项式式/f（(xx）)== 2 1 x 1 中 中 x * 3 3 项 项 的 的 系 系 数 数 为 为 _,
2 1 X 1
2 -11 x
2 -1 1 X
答答题题区区
⑧解题加速度
解题加速度
ai 00 b?
0 0 b】
Qi
0 a? b?O
0 0
11.. (（11999966,,数数一一，，33分分）)44阶阶行行列列式式
0 b缶? a?O
的的值值等等于于
0 0
bb、?00 00a?
·145 ·
-145 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■是高■疆(（数数学学二二）)
(A)a;a?a?a ?——b?缶b?。b?》b?》. (B)a。?］a口?。a?。a?++b缶?b?》b?。b。?.
a.2(23
(A)tii 2 3 4. （8） 2 3 4 2 3 4.
(C)(a?a?-b?缶b?。)(a?。a?——b?。b?》). (D)(a?a?-b?。b。?)(a。?a口?-—b?。b?。).
（C）（Q1% — 2）（ 3）4 3 4）・ （D）（a2fl3 — 2 3）（ 1 4 1 4）・
族算经网
x-2 x-1 x-2 x-3
x — 2 X — 1 x — 2 x — 3
2x-22x-12x-22x—3
2x-2 2x — 1 2x-2 2x — 3
22.. (（11999999,,数数二二，，33分分）)记记行行列列式式 为为f / ( （ x x ) ） , , 则则方方程程，f(&x)） == 0 0
3x-33x-24x-53x—5
3x — 3 3x — 2 4z — 5 3x — 5
4x 4x-35x-74x—3
4x 4x — 3 5x — 7 4x — 3
的的根根的的个个数数为为
( （ A A ) ） 1 l . . ( (B B) ) 2 2 . . ((C0)33.. ((DD))44..
演算空间
7
33.. (1（919979,7数,数四四，，33分分)）设设n〃阶阶矩矩阵阵
-0o 1
1
1
1
…
…
1
1
1
1 -
1 01 … 1 1
1 0 1 … 1 1
11 0 … 1 1
A=
:1 1 0 … 1
: :
1
•
• ,
1 1 1 … 01
1 1 1 … 0 1
111… 10
_1 1 1 … 1 0_
则|A|=
填算空言
·・ 1
1
4
4
6
6
·
-第一章 行列式
第一章 行列式 ◄◄
2 0 … 0 2
2 0 0 2
= _.
-12 …02
_ 1 2 … 0 2
44.. (（22001155,,数数一一，，44分分）)"n阶阶行行列列式式
3
: • •
::
=
0 0 … 2 2
0 0 … 2 2
0 0 …-12
0 0 … -1 2
演演算空间
二二、、抽抽拿象翌型特行到列式式的的计计算算
试■题题特特点点
对对于于抽抽象象型型行行列列式式的的计计算算，，有有可可能能考考查查行行列列式式性性质质的的理理解、解运、运用用，，有有可可能能涉涉及及矩矩阵阵的的运运算算，，也也可可能能
用用特特征征值值、、相相似似等等处处理理..这这一一类类题题目目往往往往综综合合性性强强，，涉涉及及知知识识点点多多..因因此此，，考考生生复复习习时时要要注注意意知知识识的的衔衔
接接与与转转换换，,如如果果内内在在联联系系把把握握得得好好，,解解题题时时的的思思路路就就灵灵活活..这这一一类类题题目目计计算算量量一一般般不不会会太太大大..
⑤0(（22001100,,141 4题题，4， 分4）分设) 设A为, B3 为阶矩3阶阵，矩且 阵|A，| =且 3|, A| |B= | 3=, |2,B || 妒=2',+|BA 1| +=B |2=，2则, 则| A| +A 矿+B 1| |==
答答题题区区
06(2（021021,21,144题题，,44分分）)设设A4为为3阶3阶矩矩阵阵，，|| AAl =13=,A3’,4为*A为的A伴的随伴矩随阵矩，阵若,若交交换换AA的的第第一一行行与与
第第二二行行得得矩矩阵阵B则,则IH|VB A|*|== _・
答答题题区区
· 147 ·
・ 147 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提■高■籍((数数学学二二))
H<(22001133,,1144题题,，4分4分)设)设4 A== [[a%?]]是是33阶阶非非零零矩矩阵阵，，| AA| 为|为A的4行的列行式列，式,AA。,)为为a,的的代代数数余余
子子式式，，若 若a+, A+ijA ,== 00((ii,j, j== 11,,22,,33)),则,则 | A| A| l== _..
答题区
答题区
解解题题加加速速度度
11.. (1(919939,3数,数四四，，33分分))若若a?,，a。g2 ,»αa3s,0,iβ,庄,B都都是是44维维列列向向量量，且，且4阶4阶行行列列式式||a,a;,2 a*?a3, ,a供?,I β= lm=m9 ,| |aa},
aa?2 ,,。B2,，a。?3 |I ==n ,〃则，则4 阶4 阶行行列列式式| αI。?3,，。a?2，,。a1?，,。β1 +夕+β2 lI ==
((AA))mm ++n n.. ((BB)) —- ((mm+ +n )n).. ((OC)nn —— mm., ((DD))mm— — n n..
府算空间
1,1 , 1,1
22.. (2(200000,0数,数三三， ，33分分))若若44阶阶矩矩阵阵AA与与B相B似相，似矩，矩阵阵A的A特的特征征值值为为{，,则则行行列列式式
2 3 4 5
Z o 4 0
B| -81-EE| =I = _.
一】一
演算空同
33.. (2(2000000,,数数四四，，3 3分分))设设 口α==((11,,00, ,—- 11))丁,，矩矩阵阵 AA= =ax a1a,Tn,为n^正j 正整整数数，，则则 || aaEE--AA°n l| == _. .
演算空间
·148 ·
-148 -第一章 行列式
第一章行列式 44
4
4
.
.
(2
(
0
2
1
0
8
1
,
8
1
,
3
1
题
3题
，，4
4
分
分
)设
)设
2阶
2
矩
阶
阵
矩
A
阵
有
A
两
有
个
两
不
个
同
不
特
同
征
特
值
征
，
值
a:
，％
;a ?
,a
是
2
A
是
的
A
线
的
性
线
无
性
关
无
的
关
特
的
征
特
向
征
量
向
，
量
且
，且
满满足足
A
A
2
2
(a
(
i
a
+
? +
a
a ?)?)
=
=a?
+
+ α如，?则, 则
I A
| A
| =
|= _.
.
廣算空同
5.(2021,15题，5分)设A=[ag]为3阶矩阵，A。为元素ay的代数余子式.若A的每行元素之
5. (2021,15题，5分)设人=[%]为3阶矩阵,A,)为元素％的代数余子式.若4的每行元素之
和和均均为为22,且,且| A| A| =| =33,,则则AA】】 n++AA2z1+ +AA?3?1 == _..
演算空间
三三、、行行熨列式式I |AA ||是是否落为为零零的的判判定定
试题特点
常常用用的的判判断断|| AA|是 |否是为否零为的零问的问题题的的思思路路有有：：
①① 利利用用秩秩，，设设法法证证rr((AA)) << n«..
②② 用用齐齐次次方方程程组组AAxx ==0 是0否是否有有非非零零解解..
③③ 据据|I AA| =| Ⅱ=[λ[兀,判，判断断0是0否是否是是特特征征值值..
④④ 反反证证法法..
⑤⑤ 相相反反数数I |AA |I ==-—| I AAl .I.
最近十年没有单独考这类题型.下列考题会做吗?
最近十年没有单独考这类题型.下列考题会做吗？
(0；
解题加速度
解题加速度
11.. (1(1999999,数,数一一，，33分分))设设AA是是mm×nX矩n阵矩，阵B，B是是n×nmX矩m阵矩，阵则，则
((AA))当当mm>n>时n，时必，必有有行行列列式式|| AABB| |≠ 乂0 0.. (B)(B当)m当>mn时> ，n时必，有必有行行列列式式|I AABB| =| = 00..
((CC))当当nn> >m时 m，时必，必有有行行列列式式|| AABB| ≠| 乂0 0.. ((DD))当当nn >>m 时m，时必，必有有行行列列式式| IAABB || == 00..
流算空间
· 149 ·
-149 -数学历年真题全精解析·提高丽(数学二)
►►►数学历年真题全精解析• ■■（数学二）
2
2
.
.
(1
（
9
1
9
9
4
9
,
4
数
,数
一
一
，，6 6
分
分
）
)设
设
A
A
为 n阶
n
非
阶
零
非
矩
零矩
阵
阵
，
,
A
A
*是
*是
A的
A
伴
的
随
伴
矩
随
阵
矩
，
阵
A
,
T
A
是
1"是
A的
4
转
的
置
转
矩
置
阵
矩
，
阵
当
，当
AA°* ==AAT时T时，，证证明明||A4||≠尹00..
演鼻空间
33.. （(11999955.数,数一一，6 ，分6）分设)A设 为A为n 阶n阶矩矩阵阵，满，足满 44足丁 AAT=E,|A|<0,求求 |A|A ++E E|.|.
=e,|a|V0,
演算空间
。150·
・150・第第二二章章 矩矩阵阵
第第二二章章 耗短阵阵
本章导读
本章导读
矩矩阵阵是是线线性性代代数数的的核核心心内内容容，，矩矩阵阵的的概概念念、，运运算算及及理理论论贯贯穿穿线线性性代代数数的的始始终终..几几乎乎年年年年都都有有单单纯纯
的的矩矩阵阵知知识识方方面面的的考考题题，，而而且且其其他他考考题题也也回回避避不不了了矩矩阵阵方方面面的的知知识识，，矩矩阵阵的的重重要要性性不不言言而而喻喻..
二十多年来，矩阵的解答题考得很少.复习时，对于填空与选择不要“大意失荆州”.
二十多年来，矩阵的解答题考得很少.复习时，对于填空与选择不要"大意失荆州
真真题题分分类类练练习习
一-、、矩矩阵阵退运算算、、初初等等变变拐换
试■题题特特点点
试试题题简简单单、、基基础础但但容容易易失失误误..由由于于矩矩阵阵乘乘法法没没有有交交换换律律、、没没有有消消去去律律、、有有零零因因子子，，这这和和大大家家熟熟悉悉
的的算算术术运运算算有有很很大大区区别别，，试试题题往往往往就就是是考考查查这这里里的的基基本本功功，，因因此此复复习习时时对对于于矩矩阵阵的的运运算算要要正正确确，，熟熟
练练，，不不要要眼眼高高手手低低，，犯犯低低级级失失误误..
矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换是是左左乘乘初初等等矩矩阵阵，，矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换是是右右乘乘初初等等矩矩阵阵，，这这里里要要分分清清左左乘乘、、右右
乘乘，，记记住住初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵..
1
1007
-1 0 0'
(1)((22000099,,88题题，,44分分))设设AA,,PP均均为为33阶阶矩矩阵阵,，PTP为T为pP的的转转置置矩矩阵阵，且，P且TAPPA P== 0 0 1 1 0 0 ..若若
00 002 ]2.
P=[a?,a?,a?],Q=[a?+a?,az,a?],则Q?AQ为
P =[ai，久,a3]= Lai + a?，a2 ,<13],则 QTAQ 为
~ 2 2 10 1 ° 0- 1 1 1 1 0 7 0- ~22 000 70' - 1 1 0 0 0 7 0 尸-
·
((AA)) 11 11 00 ・ ((BB)) 11 22 00 ・ ((CC)) 00 11 00 ・ ((DD)) 00 22 00
0 0 0 0 2 2_ 0 0 0 0 2 - 2. 00 002 -2_ 00 002 .2_
答答题题区区
·151 ·
. 151 .数学历年真题全精解析·提高丽(数学二)
►► 数学历年真题全精解析•■■（数学二）
H2(（(
2
2
0
0
1
1
1
1
,
,
7
7题题
,
， 4分4分）设)设
A
A为为
3
3阶阶矩矩阵阵，，将将
A
A的的第第
2
2列列加加到到第第
1
1列列得得矩矩阵阵
B
B, ,再再交交换换
B
B的的第第2
2
行行
一11 000 7(T _ 1 1 0 0 0 7 O-
与与第第33行行得得单单位位矩矩阵阵..记记RP ?== 11 1 1 1 0 0 , ,P P 2 , = 0 0 0 0 1 1 ,,则则 AA ==
001 010
0 0 1. 0 1 O_
((AA))PP?PiR2.. ((BB)MP'PR?.. ((CO)^P?PPl ((DD))PP?2PPTT'..
答答题题区区
- 1 1 0 0 0 7 o人_
010
Q(（22001122,,88题题，,44分分）)设设AA为为33阶阶矩矩阵阵，/P为为33阶阶可可逆逆矩矩阵阵，且，且P^PA1PAP == 0 1 0 ..若若FP ==[a［。j】,，
002.
0 0 2_
α?,a?],Q=[a;+α?,α?,α?],则Q'AQ=
。2，必］，。=［«1 +。2 '。2，。3〕，则 QTAQ =
~ 1 1 0 0 07 O 尸 - 一 1 ］ 0 0 07 O' 一22 00 0 0一 ~22 00 0O-
·
((AA)) 0 0 2 2 00 ・ ((BB)) 0 0 1 1 0 0 ・ ((CC)) 0 0 1 1 0 0 ・ ((DD)) 00 22 00
0 0 0 0 1 1_ _00 0 0 2.2_ 0 0 0 0 2. 2_ 0 0 0 0 1 1_
答答题题区区
0007
-0 0 0~
,
010
4|J((2200117,77,7题题，,44分分))设设AA为为3阶3阶矩矩阵阵，,PP==[Ea?a,1α,a?2,,aa3?]]^为可可逆逆矩矩阵阵，，使使得得P^PA1APP== 0 1 0
00 020 ]2_
则则 AA((aa?)++αa2? ++α a3?))==
((AA))α«i? ++α a?2.. ((BB))α%?++22aa?3.. ( (C C) )a @ 2 ? + + α a ? 3. ( ( D D) ) α ai ? + +2 2 a a ? 2 . .
答答题踵区区
,152·
・152・—
第二章 矩阵
第二章矩阵
-
1
1 0
0-—1r
5(|（22002211,,1100题题，，55分分）)已已知知矩矩阵阵4A == 2 2 - - 1 1 1 1 ..若若下下三三角角可可逆逆矩矩阵阵P P 和和上上三三角角可可逆逆矩矩
-1 2 -5-
-1 2 -5.
阵阵QQ,，使使得得P玖AQ。为为对对角角矩矩阵阵，，则则PP,,Q。可可以以分分别别取取 71
1007 101 0 071 00°
010 013 2 -10 010
(A) (B)
001 001 -3 2 1 001
1
1 0 07 1 01”] 1007 1 2 -37 儿
r [
(C) 2 -10 013 3 (D) 010 0-1 2
重
—321— 001 131
1_
答答题题区也
(（22002222,,1166题题，，55分分）)设设AA为
1
为33阶阶矩矩阵阵，，交交换换AA的的第第22行行和和第第3行3行，，再再将将第第22列列的的一一11倍倍加加到到第第
—r
-2 1
11列列，，得得到到矩矩阵阵 11 _- 11 o 0 ,，则则 AA~?'1 的的迹迹 ttrr((AA?T1))== _.
- - 1 1 0 0 0o _
答答题题区区
解解题题加加速速度度
1 ,"1
(1, )
11.. (（11999944,,数数一一，，3 3分分）)已已知知 aα ==((11,,22,3,3),)β/==
2 3
，,设设AA= α= 'β,其其中中α。1i是是αa的的转转置置，，则则
A”= .
演算空间
· 153 ·
・153・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇((数数学学二二))
101
_1 o r
020 ,而n≥2为正整数，则A”—2A~1=_ _.
2.(1999,效三、数四，3分设)设AA= 0 2 0，而为正整数，则4”一2人1 =
101
_1 0 1_
演演算算空空间间
1
0-1 0
-0 — 1 0 -
1 0 0
.(2004.数四，4分)设设 4 A= = 1 0 0 ,,BB= =P- P1-A PA,其P，中其P中为P3为阶3可阶逆可矩逆阵矩，阵则，B则20B02O4O—4-22AA22
= 0 0 -1.
0 0 _ 1_
演演算算空空间间
1 2-2
1 2 -2'
.(1997,救一一，，3 3分分）)设设 AA == 4 4 t t 3 3 ,,8B为为33阶阶非非零零矩矩阵阵，，且且ABAB==OO,,则则 t= _.
3-1 1
.3 一 1 1 _
演和算空空间间
(2020,' 数 ,-；■ 一 '； 一 .4」分 分 )若 )若 矩 矩 阵 阵 A A 经经初初等等列列变变换换化化成成B B , ， 则 则
((AA))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得PPAA == BB.. ((BB))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得BBPP == AA..
((CC))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得PPBB == AA.. ((DD))方方程程组组AAx x== 00与与BBxx==0 同0同解解..
演演算尊空空间间
·. 115544 ·.第二章 矩阵
第二章矩阵
二二、、伴伴随随矩矩阵阵、、可可逆逆矩矩阵阵
试试题题特特点点
伴伴随随与与可可逆逆是是矩矩阵阵中中最最重重要要的的知知识识点，点关，键关公键式:公AA式* ：=AAA*'=AA*=A\=|AA |\ EE,进,进而而有有
1
A-1 =
T由ATA4** 或或 AA** ==| A\ |AA |- a1-.1.
涉及伴随与可逆的试题非常多.要想到并灵活运用AA°=A*A=|A|E这一核心公式.
涉及伴随与可逆的试题非常多.要想到并灵活运用AA* =4, A = | A | E这一核心公式.
定定义义法法，，单单位位矩矩阵阵恒恒等等变变形形，，可可逆逆的的充充要要条条件件都都是是重重要要的的考考点点..
❷7(2（2000099,7,7题题，,44分分）)设设AA,,BB均均为为22阶阶方方阵阵,，A*A ,'B,B'*分分别别为为A,A,BB的的伴伴随随矩矩阵阵.若.若\A|\A =|= 22,,\| BB|\
O A尸
==3,3则,则分分块矩块阵矩阵彳］的伴随矩阵为
的伴随矩阵为
B O.
-B O -
1 r.1 r.1 1 1
0 3B° 0 2B° [ 0 3A 0 2A2
r O 3B* 1 ■ O 2B * 一 -O 3A# ' -O 2A* 一
((AA)) (B) (C) (D)
L - 2 2 A A * * O O J - 3 3 A A · * O O _ .2 2B B ° * O O - - 3 3B B * O O -
答答题题区区
下下面面这这些些考考题题，，希希望望大大家家认认真真地地做做，，好好好好体体会会与与把把握握处处理理伴伴随随和和可可逆逆的的思思想想方方法法..
®解题加速度
解题加速度
11.. (（22000011,,数数一一，.33分分）)设设矩矩阵阵AA满满足足AA2 2++AA--44EE=0 ,=其 O中9其E为中E单为位单矩位阵矩，阵则，则(（AA— 一E打)-尸1 ==
演算卫回
1 007
"I 0 0"
22..（( 11999955,,数数三三、、数数四四，3，分3分）设)设4A== 2 2 . 2 2 0 0 ,,AA”*是是AA的的伴伴随随矩矩阵阵，，则则（4(*A）*一)】-=1= _..
345.
_3 4 5.
演算空H
· 155 ·
・155・.
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
33.. (2（020020,2数,数四四，，33分分）)设设A,B为为n阶〃矩阶阵矩，阵A，A'*, B,’B分*分别别为为A,B对对应应的的伴伴随随矩矩阵阵，，分分块块矩矩阵阵CC= =
[AA OO~1
O B. ，,则则CC的的伴伴随随矩矩阵阵CC*° r =.=
.O B-
『 "AI A| A| A'- 0o . [■|| BB |I BB** 0 O ] -
((AA)) ((BB))
- 0 O |I BB| BI ° - - 0 O |I AA || AA'- -
[J A A I | B 矿 ' 0O ]' · [ "|I BB |I AA** Oo -
((CC)) ((DD))
- 0 O |I BB| A| °A- - 0 O |I AA| | BB*--
漏算空间
41.. (（11999977,,数数一一，，55分分）)设设AA是是n〃阶阶可可逆逆方方阵阵，，将将AA的的第第i/行行和和第第j行j行对对换换后后得得到到的的矩矩阵阵记记为为BB..
（(II)）证证明明B可B可逆逆；； (（Ⅱ口)）求求AAB-B11..
演算空间
55.. (（1 1999966,,数数一一，，66分分）)设设AA ==E -E5 一5T兹,其L中其E中为n阶为单”阶位单矩位阵矩ξ阵是，&n是维非n维零非列零向列量向，量『，了是是ξ&的的
e
转
转置
置
.
.
证
证
明
明
A
：
I
(
）
I
A
)
2
A
=
2=
A
A的的充充要要条条件件是是日55= =1;(
i
Ⅱ；（)
n
当）ξ当ξ=1
=
时
1
，
时
A，是
4
不是不可可逆逆矩矩阵阵..
演算空间
。156
, 156 •第第二二章章 矩矩阵阵
66.. (1（919979,7 数 .数 三 二 ， ’ 6 6 分 ?)设）设A为an为阶〃非阶奇非异奇矩异阵矩，阵α，为。n为维〃列维向列量向，量b为，。常为数常，数记，记分分块块矩矩阵阵
数数四四，，77分分
1 E 0 1 [A a1·
P= -E 0 ,Q= A a~
P = ，。= -a1 b.
— aqTTAA** || AA || _(xT b -
其其中中A0”*是是矩矩阵阵A4的的伴伴随随矩矩阵阵，，£E为为花n阶阶单单位位矩矩阵阵..
(Ⅱ)计算并化简PQ;
（I ）计算并化简PQ;
(Ⅱ)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是a^A/'a≠b.
（II）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是ayATxa尹b.
演算空间
7.(2003,数三，4分)设n维向量α=(a,0,…,0,a)?,a<0,E为n阶单位矩阵.矩阵A=
7. （2003,数三，4分）设〃维向量a = （a,0,**e ,0,a）T ,a < 0,E为〃阶单位矩阵.矩阵A =
1
EE -—aaxa1T ,,BB == EE ++ La'aaa,，其其中中AA的的逆逆矩矩阵阵为为BB..则则aa == . _.
病算空同
8
8
.
.
(
（
2
2
0
0
2
2
2
2
,
,
数数一一，，6 6分分）)已已知知矩矩阵阵
A
A和和EE—-AA可可逆逆，，其其中中
E
E为为单单位位矩矩阵阵..若若矩矩阵阵
B
B满满足足（(
E
E-
-
( E
（E
—
-
A)-1)B=A,则B-A= _.
A）-1）B = A,则 B-A =.
演群空间
·157 ·
・157・数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(数
(数
学
学
二
二
)
)
三三、、矩矩阵阵的的靴秩
试试题题特特点点
矩矩阵阵的的秩秩是是重重点点也也是是难难点点，，要要正正确确理理解解矩矩阵阵的的秩秩的的概概念念..
rr((AA)) ==r r 中 A有中r阶有r子阶式子不式为不0为,0每,每个个r+r1+阶1子阶式子(式若(还若还有有)全)全为为00..
在在这这里里要要分分清清““有有一一个个''”与与“每“一每个一”个，当”
"
,
4
当)r=(A r)=时r时,A ，中A能中否能有否
r
有
-
r
1
-1阶阶子子式式为为
0
0
?
?能能否否有有r r
+
+ 11
阶阶子子式式不不为为00??
你你用用行行列列式式来来如如何何描描述述r(rA()A 2)≥ r?r如?如何何描描述述r(rA()A <)< rr??
要要搞搞清清矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组秩秩之之间间的的关关系系，，这这种种转转换换是是重重要要的的..在在线线性性相相关关的的判判断断与与证证明明中中往往
往往是是由由矩矩阵阵的的秩秩推推导导向向量量组组的的秩秩，，而而解解方方程程组组时时往往往往由由相相关关、、无无关关推推导导矩矩阵阵的的秩秩..
经经初初等等变变换换矩矩阵阵的的秩秩不不变变，，这这是是求求秩秩的的最最重重要要的的方方法法，，有有时时可可以以把把定定义义法法与与初初等等变变换换法法相相结结
合合来来分分析析推推导导矩矩阵阵的的秩秩..
要要会会用用|IA A丨 是|是否否为为0,0相,相关关、、无无关关，，方方程程组组的的解解三三项项中中的的两两个个夹夹逼逼求求出出矩矩阵阵4A的的秩秩..
「a-1 —17 1 1 0°尸
-1 - in ■1 1 0-
q
-1 a —1 0-11
8(((22001166,,1144题题，,44分分))设设矩矩阵阵 —1 a — 1 与与 0-11 等等价价，，则则a =a= _.
-1 -1 a 1 0 1.
-1 - 1 a _ _1 0 1_
答答题题区区
0(2(2001188,,88题题，,44分分))设设AA,,BB为%n阶n阶矩矩阵阵，，记记rr((XX))为为矩矩阵阵XX的的秩秩，，((XX Y)¥表)示表分示块分块矩矩阵阵，，则则
((AA))rr((AA AABB))= =r (r(AA)).. (B(B)r)(rA( A BBAA )) == rr((AA))..
((CC))rr((AA BB))= =m amxa{xr{(rA(A),) r»(rB(B)})}.. ((DD))r(rA( A BB)) ==r r((AATT BBT)l )..
答答题题区区
·158 ·
-158 -第二章 矩阵
第二章矩阵
(0：
解题加速度
解题加速度
1
1.
. (1
(
9
1
9
9
8
9
.
8
数 .数三三.，3
3
分分))设设n(
nC
n
n
≥
2
3)
3
阶
)
矩阶矩阵阵
l a a … a
L 1 a a •*, a -
a la … a
a 1 a ••• a
A=
A = a:a : aa: l11 …- , :aa
a a
_ a a aa …,•- 1 1-
若若矩矩阵阵AA的的秩秩为为〃n— 一11,,则则aa必必为为
1 1 ·
((AA))1l.. ((BB))
1
7
—
-i —
n'
”. ((CC))-_1 1.. ((DD))
n—
1
1'
1 — n n — 1
演算空间
r7
a b b°
b bl
b a b
22.. ((22000033,.数数三三，4，分4分)设)设33阶阶矩矩阵阵AA == b a b,，若若AA的的伴伴随随矩矩阵阵的的秩秩等等于于11,则,则必必有有
h b a
b b a_
((AA))aa == bb或 或 a ++2 2b方==0.0. (B)a ==b。或或a + +2b 2≠》夭0 .0.
q (B)q q
((CC))aa 尹≠。b且且 a ++ 22b》==0.0. (a(DD))a 砖≠ bb 且且 a ++2 2b。≠尹0 0..
q q
演聊空同
[1 2 3
-1 2 3'
2.4 t
33(..( 11999933,,数数一一，3. 3分分))已已知知 QQ== 2 4 t ,/P为为33阶阶非非零零矩矩阵阵，，且且满满足足PPQQ == OO,9则则
369.
_3 6 9.
((AA))zt ==6 时6时P的P秩的秩必必为为1.1. (z(BB))t = = 66时时PP的的秩秩必必为为22..
((tCC))t ≠乂 66时时PP的的秩秩必必为为11.. ((DD))zt 乂≠ 66时时PP的的秩秩必必为为22..
演演算尊空空间间
· 115599 ·-_
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
・
提提高高篇篇(
(
数
数
学
学
二
二)
)
-
0
0
00 1r
11.. ((22000033•.数数四四..44分分))设设矩矩阵阵BB== 0 0 1 1 0 0,，已已知知矩矩阵阵AA相相似似于于BB,,则则秩秩((AA--22EE))与与秩秩((AA—-EE))
100-
_1 0 0_
之之和和等等于于
((AA))22.. ((BB))33.. ((C0)44.. ((DD))55..
演算空间
55.. ((22000088,,数数四四，，44分分))设设33阶阶矩矩阵阵AA的的特特征征值值互互不不相相同同，，若若行行列列式式I A| A||== 00,则,则A的A秩的秩为为
演尊空间
66.. (2(2001100,,数数一一，，4分4分)设)设AA为为mm×Xnn矩矩阵阵，,BB为为nn×Xmm矩矩阵阵，,EE为为mm阶阶单单位位矩矩阵阵..若若AABB ==E ,E则,则
((AA))秩秩 rr((AA)) ==m m,秩,秩r r((BB)) == mm.. (B(B))秩秩 r(rA()A )== mzn,,秩秩 rr((BB)) == nn,.
((CC))秩秩 rr((AA))== n〃,，秩秩 rr((BB)) == mm.. ((DD))秩秩 rr((AA))== n〃,，秩秩 rr((BB)) == nn..
演新空同
77.. ((22001122,.数数一一 ，.44分分))设设αa为为三三维维单单位位列列向向量量，，EE为为33阶阶单单位位矩矩阵阵，，则则矩矩阵阵EE --a aaa?T的的秩秩为为
演算空间
·・1
1
6
6
0
0
·・第第二二章章 矩矩阵阵
四、矩阵方程
试题特点
试题特点
解解矩矩阵阵方方程程时时，，首首先先要要根根据据矩矩阵阵的的运运算算法法则则、、性性质质把把方方程程化化简简((特特别别要要注注意意矩矩阵阵的的乘乘法法没没有有交交
换换律律)),，化化简简之之后后有有三三种种形形式式：:
AX= B;XA =B;AXB = C.
AX = B；XA = B；AXB = C.
对对于于前前两两个个方方程程，，若若判判断断出出AA可可逆逆，，则则有有
X=A-1B;X= BA-.
X = A 'B；X = BA '.
对对于于第第三三个个方方程程，，若若 A A , , B B均均可可逆逆，，则则有有XX= = A A-' CCB-B1 .\
那那么么，，再再通通过过求求逆逆等等运运算算就就可可求求出出XX..
近近十十年年未未考考过过矩矩阵阵方方程程，，可可以以自自行行练练习习较较早早的的考考题题..
a a 1 1 0 0 一
[[[0[(（22001155,,2222 题题，，111 分1分）)设设矩矩阵阵 4A== 1 1 a a — - 1 1,，且且 AA33 == 0O..
01 a
0 1
((II) )求求a的a值的；值；
((Ⅱn ))若若矩矩阵阵XX满满足足XX —- XXAA22 --AAX+XA+XAA2X=AE2, =其 E中,其E为中3E阶为单3位阶单矩位阵矩，阵求，求XX..
答题区
答题区
·161 ·
• 161►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)）
(0；
解题加速度
解题加速度
1
1
.
.
(
(2
2
0
0
0
0
5
5
.
,
数
数
四
四，4 ，
分
4
)
分设)
A
设
,B
A,
,C
B,均C均为n 为
阶
n阶
矩阵
矩
,
阵
E^
，
j
E
n
为阶n单阶位单矩位阵矩，若阵B ，= 若E
+
B= AEB+ ,ACB ,=C A= A++ CCAA ,,
则则 BB--CC ==
((AA))EE.. ((BB)) 一— EE.. ((CC))AA.. ( (D D) ) — — A A . .
演算空间
22.. (2（020000,0数,数一一，，66分分)） 设设矩矩阵阵AA的的伴伴随随矩矩阵阵
。-
1 0 00
-1 0 0
0 1 0 0
0 10 0
A°=
A * =
1 0 10
10 10
0-308-
_0 - 3 0 8_
且JLAABBAA- 11 ==B AB-A1 +1 3+E3,其E,中其E中是E4是阶4单阶位单矩位阵矩，阵求，求矩矩阵阵BB..
满驿空间
。162·
-162 ・第三章 向量
第三章向量
第第三三章章 向向量童
本本章章导导读读
向向量量既既是是重重点点又又是是难难点点，，由由于于考考研研在在向向量量的的抽抽象象性性及及逻逻辑辑推推理理上上有有较较高高的的要要求求，，同同学学们们在在复复
习习时时要要迎迎难难而而上上。.
考考研研的的重重点点首首先先是是对对线线性性相相关关、、无无关关概概念念的的理理解解与与判判断断，，要要清清晰晰选选择择、、填填空空、、证证明明等等各各类类题题型型
的的解解题题思思路路和和技技巧巧；；其其次次，，要要把把握握线线性性表表出出问问题题的的处处理理；；第第三三，，要要理理解解向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关组组和和
向向量量组组秩秩的的概概念念，，会会推推导导和和计计算算..
真真题题分分类类练练习习
一一、、尚向蜜量的的线蜂性性表表出出
试试题题特特点点
向向量量βP可可以以由由α口?,1 α,。?2,，……,，αa,,线线性性表表出出..
方0 程方程组组x?
X
a
]
?
«
+
i
x
+
?
x
α
2a
?
2
+
+
… +x+, jac,sa=t β= 有p 有解解..
S4=r>(ra（?a,i a,?。,2…，…,a,，久)=） r=(a?r,（αai2,,%…，,…α,a,β，P).）.
☆☆如如果果已已知知向向量量的的坐坐标标，，那那就就通通过过判判断断方方程程组组是是否否有有解解来来回回答答向向量量能能否否线线性性表表出出的的问问题题，，不不
仅要会判断一个向量β能否由α?,a?,…,a,线性表出，还要会分析、讨论一个向量组β,β,…,β.能
仅要会判断一个向量P能否由。】，处，・・・，。,线性表出，还要会分析、讨论一个向量组4 "F 能
否否由由α,α,%? ,,•…•・,，α/,线线性性表表出出的的问问题题..
☆☆如如果果向向量量β。的的坐坐标标是是未未知知的的，，那那就就要要能能用用秩秩、、用用概概念念以以及及相相关关的的定定理理来来推推理理、、分分析析..
1U(2（021011,12,222题 题，，1111 分分)）设设向向量量组组。a?I ==( 1（,10,0,1,1)）?丁,，a。?2 ==( 0（,01,,11,1)?）5,a?= (=1 ,（31,,35,)5?）不T 不能能由由向向量量组组
β
0
=
=
( 1,1,1)?,B?=
=
( 1
（
,
1
2
,2
,3
,3
)）?
F
,β =
=
(3（,
3
4
,
,
4
a
,a
)
）
线
T
线性性表表示示..
(（II)）求求a的Q的值值；；
(Ⅱ)将β,B,β用α?,α?,a?线性表示.
（U）将 01，。2 ,03 用，。2，。3 线性表ZK・
答答题题区区
· 163 ·
-163 ・数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
02(2（2001133,,77题题，,44分分）)设设AA,,BB,,CC均均为为nn阶阶矩矩阵阵，，若若AABB ==C,。则,则B可8逆可逆，，则则
(（AA)） 矩矩阵阵CC的的行行向向量量组组与与矩矩阵阵AA的的行行向向量量组组等等价价..
(（BB)） 矩矩阵阵CC的的列列向向量量组组与与矩矩阵阵AA的的列列向向量量组组等等价价..
((ra（aii, ,aa22,，……,，aa,.、)） == s .
5.
☆☆证证明明线线性性无无关关，，若若用用定定义义法法，，就就是是设设法法证证刈k?==00,…,…,k&,= =0; 若0;用若秩用，秩就，就是是设设法法证证r(ar;（a,αi,a?2,，…-,,
aa,t)） ==s( 这s（这里里要要通通过用过矩用阵矩秩阵的秩定的理定、理公、公式式转转换换推推导导出出向向量量组组秩秩的的信信息)息。）.
5■(2（021001,07,题7题，，44分分)设）设向向量量组组I:aI ?：,。a1? ,,a…2,,…α,可可由由向向量量组组Ⅱ:U β：$,β，艮,…，…,β，白线线性性表表示示..下下列列命命
题题正正确确的的是是
(（AA)）若若向向量量组组I线I线性性无无关关，，则则r≤s. （(BB）)若若向向量量组组II线线性性相相关关，，则则厂r>>ss..
（(CC)）若若向向量量组组ⅡD线线性性无无关关，，则则rr≤<5s.. （(DD）)若若向向量量组组Ⅱn线线性性相相关关，，则则厂>r>ss..
答答题题区区
·166 ·
・166・第三章 向量
第三章向量
0 0 1 -1
0 0 1 -1
, :=
( ( 2 2 0 0 1 1 2 2 , , 7 7 题 题 ， ，4 4 分 分) ) 设 设 α 如 ? = = 0 0 , ， α 。 2 2 == 1 1 ,0a3 ?== - - 1 1 «a4 = 1 1 , ，其 其 中 中 a C\ , c 9C ? 2 , 9 c C ? 3 , 9 c C4 . 为 为
C? >s时 s，时向，向量量组组ⅡU必必线线性性相相关关。.
(（CC)）当当rr< s>时 s，时向，向量量组组I必I线必性线相性相关关。.
溪算空同
33.. (1（199969,6数,数三三，，88分分)）设设向向量量aa?,】α，必?，,……，,aa,;是是齐齐次次方方程程组组AAxx= =0的 0一的个一基个础基解础系解，系向，向量量βp不不是是
方方程程组组AAxx= 0=的 0解的即解Aβ即≠部0乂.试 0证.试明证：明向：向量量组组βpβ,p+ +ai a,tβ ,p+ +α a?2,,…-,,pβ ++a a,线,线性性无无关关..
演算空同
44.. (2(020010,1数,数四四，，88 分分))设设 aa;, ==( a(aa,,ia ,za,；2… ,•,••a m)()iT=(1z ,=2 ,1…,,r2;r,4〜A.
2007
'2 0 0-
H(（22000099,,1144题题，,44分分)）设设αa,,β0为为三三维维列列向向量量，，俨 为为βP的的转转置置，，若若矩矩阵阵aa/βT相相似似于于 0 0 0 0 0 0 , ， 则 则
000-
0 0 0.
βα= _.
pTa =.
答题区
答题区
r
1 1…1 0 … 0 1*尸_1
"1 1 …1' ■0 ― 0 1"
1 1 … 1 0 … 0 2
1 1 — 1 0 ― 0 2
5 (（22001144,,2233题题，，1111分分)）证证明明：/n阶阶矩矩阵阵 : : : 与 与 :. : 相 相 似 似. .
.・ ・ ・ .・ . ・ • ・ ・ •
_ 1 1 1 1… … 1 1_ _00 … 0 0 n n _
答答题题区区
· 186 ·
・ 186 -—
第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
0(2(0201166,,77题题，,44分分))设设AA,,B方是是可可逆逆矩矩阵阵，，且且AA与与B相B似相，似则，则下下列列结结论论错错误误的的是是
(
(A
A)
)A
AT
t
与与BBTT相相似似.. ((BB))AA--11与与BB1 相1相似似..
( (AC C + ) )A A+AT T 与 与 B B + B + T B 相 T 相 似 似 . . ((DD))AAH+A-A--11 与与 BB+ +B- B1 相1 相似似..
答答题题区区
2007 210”尸 1007
~2 0 0- ~2 1 0- -1 0 0-
( 2 2 0 0 1 1 7 7 , , 8 8 题 题 , ， 4分 4分 )已 )已 知 知 矩 矩 阵 阵 4 A = = 0 0 2 2 1 1 , ,B B = = 0 0 2 2 0 0 ,,cC == 0 0 2 2 0 0 , ，则 则
001. 001. 002.
0 0 0 0 1. 0 0 2_
( (A A) ) A A 与与C C 相相似似，，B B与与C C 相相似似.. ((BB))AA与与CC相相似似，，BB与与CC不不相相似似..
((CC))AA与与CC不不相相似似，,BB与与CC相相似似.. ((DD))AA与与CC不不相相似似，,BB与与CC不不相相似似..
答答题题区区
1107
'1 1 0一
0(2(0201188,,77题题，，44分分))下下列列矩矩阵阵中中，，与与矩矩阵阵 0 01 1 1 1 相相似似的的为为
001.
1 0 0 1_
11--1r 10-_1 r 11-—1r 10--1r
一］ 1 一］ 0 1 0
· ·
((AA)) 0 01 1 1 1 ・ ((BB)) 0 0 1 1 1 1 ・ ((CC)) 0 0 1 1 0 0 . ((DD)) 0 0 1 1 0 0
00 1 00 1 00 1 00 1
_0 0 1 _ _0 0 1 _ _0 0 1 _ _0 0 1 _
答答题题区区
· 187 ·
-187 -数A学r历数年学真历题年全真题精全解精析解·析提•掘高通篇・(数(数学学二二)) 》缪^^藉褥捋警橙拳蕊*鎏
0(2(0202200,,2233题题，，1111分分))设设AA为为22阶阶矩矩阵阵，,PP ==[ α[a,,AAa]a,]其,其中中αa是是非非零零向向量量且且不不是是4A的的特特征征向向
量.
量.
((II)证)证明明：：PP为为可可逆逆矩矩阵阵。.
(
(
Ⅱ
U )
)若若A
A
2
2
α
a +
+ A
A
α
a
-
-6
6α
a
=
=
0 .
0
求 ,求P1
T
A
>
P
A
,并
P,
判并断判A断是
A
否是相否似相似于于对对角角矩矩阵阵..
答题区
答题区
1 0 07。-
1 0
皿10((22002222,,88题题，，55分分))设设AA为为33阶阶矩矩阵阵，,A A== 0 0 - -1 1 0 0,，则则AA的的特特征征值值为为11,, -一1 ,10,0的的充充分分必必
00 0-
0 0 0.
要要条条件件是是
((AA))存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,Q,Q,使,使得得A A== PPAAQQ.. ( ( B B ) ) 存 存 在 在 可 可 逆 逆矩 矩 阵 阵 P P, ,使 使 得 得 A A = = P P A A P- P 1 . '.
((CC))存存在在正正交交矩矩阵阵QQ，,使使得得AA ==Q QAQA-Q'-.1. ((DD))存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使得得AA == PPAAPPT
t
..
答答题题区区
3；
解题加速度
解题加速度
1
1
.
.
(
(2
2
0
00
0
1
1
, ,数数一一，，
8
8分分))已已知知
3
3阶阶矩矩阵阵A
A
与与三三维维向向量量x
x
,使 ,使得得向向量量组组x,xA,xA,xA,2Ax2线x性线无性无关关，，且且满满足足
A3x= 3Ax—2A2x.
A3x = 3Ax — 2A2x.
(I)记P=[x,Ax,A2x],求3阶矩阵B,使A=PBP-1;
(I )记？= [x,Ar,A2x],求 3 阶矩阵 B,使 A = PBP' ,
((fⅡl))计计算算行行列列式式I 4| A++ EE| |..
i演W算W空Si间S]
· 188·
-188 -第
第
五
五
章
章
特特征征值值与与特特征征向向量量
*33 00 00-
,
22..(（22000099,,数数三三，，4 分4分）设)设 aα == (（11,,11,,11）)Tπ/,=β =（(l,10,,0Q,kT).T若.若矩阵矩咖阵丁q相 相似似于于0。 °0 .0。
000
0 0 0.
则则
k =
k=
.
演演算算空空间间
1 ( [ 2 -1 2
■ 1 - -2 -1 2 -
33.. (（11999977,,数数一一，，6 分6分）)已已知知 £5 == 1 1 是是矩矩阵阵AA == 5 5 a a 3 3 的的一一个个特特征征向向量量..
-1. -1 b —2.
-1_ -1 b -2.
(
（
I
I
) 试 ）试确确定定参参数数a,
a
b及
,6
特及征特向征量向号量所§对所对应应的的特特征征值值；;
（(ⅡU）)问问AA能能否否相相似似于于对对角角阵阵?说？说明明理理由由..
演演算算空空间间
·. 118899 ·.> 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高»篇篇((数数学学二二))
1 2-3
• 1 2 -3'
44.. (（22000044,.数数一一，，9 分9分）设)设矩矩阵阵 AA== - - 1 1 4 4 - - 3 3的的特特征征方方程程有有一一个个二二重重根根，，求求aQ的的值值，，并并讨讨论论
1 a 5
1 a 5 _
AA是是否否可可相相似似对对角角化化。.
满群室间
三、关于相似时可逆矩阵P
M、黄子相似时奇逆矩阵P
p
试题特点
试题特点
PP-^1AAPP= =A时A，时A,是AA是的A特的征特值征，值P,是P是A的A特的征特向征量向，量要，要意意识识到到这这类类题题目目实实际际上上就就是是求求矩矩阵阵4A特特
征征值值和和特特征征向向量量的的另另一一种种出出题题方方法法..这这类类试试题题往往往往还还会会涉涉及及到到处处理理一一些些参参数数..
解解题题加加速速度度中中11题题和和22题题是是常常规规题题型型，，而而33题题是是用用兮合学成的的方方法法求求可可逆逆矩矩阵阵PCPP(TP 1AAPP,? == BB,,
PPi?''BPBiP ?== CC^→>PP-1'AAPP ==C C,,PP= P=? PPR?)).. 1
-
0
0 2
2
—
- 3
3一
~11 —-220 °0-
Ⅱ[D((22001155,,2233 题题，，111 1分分)设)设矩矩阵阵 AA == - - 1 1 3 3 - - 3 3 相相似似于于矩矩阵阵BB == 0 0 6 b 0 0
1 —2 a 03 1.
一 1 -2 a _ 0 3 1_
((II)求)求a,ab,的6的值值；；
((ⅡD ))求求可可逆逆矩矩阵阵pP,,使使PP1^A'PA为P为对对角角矩矩阵阵..
答答题题区区
·. 119900 ·.第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量
0-11
'0 -1 r
②[£(（22001166,,2233 题题，，111 1分分）)已已知知矩矩阵阵4A== 22--3300.
0 10 0-
0 0 0.
(（II )）求求A妒;；
(Ⅱ)设3阶矩阵B=[a?,az,as],满足B2=BA,记B1°=[B,B,β],将β,β,β分别表示
（U）设3阶矩阵B = 3 ,% 03〕，满足B2 = BA，记B100 = [/J】,p2，怯]，将执,但,氏分别表示
为αi,α2,a?的线性组合.
为O1 ,。2，。3的线性组合.
答答题题区区
7
-2-2 1 2 11 0°
[fi(（22001199,,2233题题，，1111分分）)已已知知矩矩阵阵AA == 2 x—2 与B= 0-10 相似.
0 0 -2- 0 0 y
((I[))求求x x,9yy;;
(（Ⅱn）)求求可可逆逆矩矩阵阵pP使使得得Pp- 1
i
A
a
P
p
== B
b
..
答答题题区区
·191 ·
-191数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
4(2020,8题，4分)设A为3阶矩阵，a;,a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α?
匣(2020,8题,4分)设A为3阶矩阵为A的属于特征7值1的线性无关的特征向量,。3
1 0 07
-1 0 0-
为 为 A A 的 的 属 属 于 于 特 特 征 征值 值 一 -1 1 的 的 特 特 征 征 向 向 量 量， ， 则 则 满 满 足 足 P- P A 1 P A P = = 0 0 - -1 1 0 。的的可可逆逆矩矩阵阵PP为为
00 1
0 0 1.
(A)[a;+a?,α?,—a?]. (B)[a;+α?,a?,-a?].
(A)[ai +a3 »a2，— as]. (B)]。】+a2 >a2, — a3].
( (C C) ) [ [a a i ; + + a 0 ? 3 , , - α — , " α 3，a ? 2 ] ] . . ( ( D D) ) [ [ a a ? i ++α。?, 2 - , α — ? a , 3 α ,% ?] ] . .
答题区
答题区
210°
-2 1 O-
5(2021,22题，12分)设矩阵A= 120 仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，
[g（2021,22 题，12 分）设矩阵 A= 1 2 0仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵,
1 a b.
_1 a b _
求求aa,,bb的的值值，,并并求求可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使PP"1 AAPP为为对对角角矩矩阵阵..
答答题题区区
·
-
1
1
9
9
2
2
·・?
第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
d；
解题加速度
解题加速度
11.. (（11999922,,数数三三，，77分分）)设设矩矩阵阵AA与与BB相相似似，，其其中中
[-200] -100°
-2 0 0- ■-1 0 0-
AA == 2
2 x
x
2
2 ,B
=
= 0
0
2
2
0
0
3 11. 0 0 y
_ 3 1 1. -0 0 乂
(（II )）求求xz和和y的v值的；值；
(（Ⅱn）)求求可可逆逆矩矩阵阵
p
P,,使使pP1-'AaPp == Bb..
消算空间
3 2-27
■ 3 2 -2-
22.. (（11999999,,数数四四.，7分7分）设)设矩矩阵阵4 A==
--kk -
_
1
1
kk
，,问问当当kk为为何何值值时时，，存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使得得
4 2-3
_ 4 2 -3.
PP-^1'AAPP为为对对角角矩矩阵阵?？并
并
求
求
出
出
P
P
和和相相应应的的对对角角矩矩阵阵..
演算空间
,193
-193 ・数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
二
二
)
）
3.(2005.数四.13分) 设A为3阶矩阵，a:,a?,a?是线性无关的三维列向量，且满足
3. （2OO5.it四.13分） 设4为3阶矩阵,a!，a2,a3是线性无关的三维列向量，且满足
Aa,= a;+α?+as,Aa?=2a?+a?,Aα?=2a?+3a?.
Aat = % +% +<»3,曷2 = 2az +a3 .Aa3 = 2a2 + 3a3.
(（II) 求）求矩矩阵阵B ,B使,使得得A[ aA?[,aαi ,za,2 a,?a]3=] [=a? ,Eαaiz,%,α ,a?3]]BB;?
（(ⅡII）)求求矩矩阵阵A4的的特特征征值值；；
(（ⅢHI）)求求可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使得得PP1^A'PA为P为对对角角矩矩阵阵..
满算空间
®
四,、实实时时称衿矩貌阵阵
试题特点
试题特点
实实对对称称矩矩阵阵有有几几个个重重要要的的定定理理，，例例如如：：实实对对称称矩矩阵阵一一定定和和对对角角矩矩阵阵相相似似（(不不管管特特征征值值有有没没有有重重
根根)）;；实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同时时特特征征向向量量必必相相互互正正交交(（由由此此有有内内积积为为00,,从从而而可可构构造造齐齐次次方方程程组组求求特特
征征向向量量)）;；实实对对称称矩矩阵阵可可以以用用正正交交矩矩阵阵来来相相似似对对角角化化..试试题题就就是是围围绕绕这这些些定定理理来来设设计计的的..此此部部分分内内
容是考研的重点，特别要复习好综合性强的解答题.
容是考研的重点，特别要复习好综合性强的解答题.
皿[6(（22001100,,88题题，，4分4分）设)设4A为为44阶阶实实对对称称矩矩阵阵，且，A且2+AA2+ A== 0O..若若AA的的秩秩为为33,,则则AA相相似似于于
1
1 1
(A) (B)
1 -1
0
0]
1 -1
-1 -1
(C) (D)
-1 -1
[
0] 0]
答答题题区区
· 194 ·
. 194 .第五章特征值与特征向量
第五章特征值与特征向罐
0—14°
■ 0 -1 4一
1[7Jj(（22001100,,2233 题题，，111 分1分）设)设4A == _ - 1 1 3 3 a a ，,正正交交矩矩阵阵。Q使使得得QQT t AAQQ为为对对角角矩矩阵阵，，若若QQ的的第第
4 a 0_
-4 a 0_
1
11列列为为*(,12,2,,11)尸π,,求求aa,,QQ.
√6
76
答答题题区区
1固8(（22001111,,2233题题，，1111分分）)设设AA为为3阶3阶实实对对称称矩矩阵阵，,AA的的秩秩为为22,,且且
1 1r r
L 1 --1
A A 00 00 三= 00 00
11
-11.
二1 _ 1 i_
(（II)）求求A的A所的有所特有征特值征值与与特特征征向向量量；;
(（Ⅱ口）)求求矩矩阵阵A4..
答答题题区区
· 195 ·
195 -_
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学二二))
_1
1 a
a
1
r
尸
-
2
2
00o °o-
[1E9((22001133,,88题 题，,44 分分))矩矩阵阵 a a b b a a 与与 0 0 b b 0 0相相似似的的充充分分必必要要条条件件为为
1 a 1. 000-
.1 a 1_ 0 0 0_
((AA)) aa ==0 ,0b,6= =2 2.. (a(BB))a ==0 ,0b,为b为任任意意常常数数..
((CC)) aa ==2 2,,b5 ==0 .0. ((aDD))a ==2 ,2b,为5为任任意意常常数数..
答答题题区区
X
小结
小结
通通过过这这几几个个试试题题希希望望你你很很好好地地归归纳纳一一下下，，面面对对实实对对称称矩矩阵阵都都有有哪哪些些求求特特征征值值、、特特征征向向量量的的方方
法法技技巧巧?？
(I;解 解 题 题 加 加 速 速 度 度
7
a 1 1
a 1 1 -
11.. (2(200020,2教,数四四，，88分分))设设实实对对称称矩矩阵阵4A== 1 1 a a - - 1 1,求，求可可逆逆矩矩阵阵PP,使,使P1PA^P A为P对为角对矩角阵矩，阵，
1 -1 a
.1 -1 a 一
并并计计算算行行列列式式I |AA—-EE| 的|的值值..
演算空间
· 196 .
. 196 .第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量・ ??
1 1 a 1
22.. (（22000011,,数数三三、、数数四四，9，分9分）设)设矩矩阵阵A A== 1 a 1 ,β= 1 ,，已已知知线线性性方方程程组组AAxx ==βp有有解解
a 11 —2.
但但不不唯唯一一，，试试求求.（：I(）Ia)a的的值值；；（n(Ⅱ）正)正交交矩矩阵阵。Q，,使使Q?AQ为为对对角角矩矩阵阵。.
qt^q
L
[ a 1 -1
■ a 1 - V
1 a -1
33.. (（22002211,,数数一一，，12 1分2分）设)设矩矩阵阵 AA== 1 a -1 .
-1 -1 a
-1 -1 a _
(（II) 求）求正正交交矩矩阵阵P,P使,使PTPALP为ip对为角对矩角阵矩；阵；
(Ⅱ)求正定矩阵C,使C2=(a+3)E-A,其中E为3阶单位矩阵.
（II）求正定矩阵C,使C'= （a + 3）E — A,其中E为3阶单位矩阵.
演算空间
·197 ·
. 197 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学二二)） WHHIHMBHaiHB
第六章 二次型
第六章 二无型
本章导读
二二次次型型实实际际上上是是特特征征值值的的几几何何应应用用，，复复习习二二次次型型就就一一定定搞搞清清它它与与特特征征值值、、特特征征向向量量之之间间的的内内
在联系.
在联系.
考考点点主主要要有有三三个个：：第第一一个个是是二二次次型型化化标标准准形形的的正正、、反反两两方方面面的的问问题题，，依依托托的的是是特特征征值值、、特特征征向向
量量相相似似对对角角化化的的理理论论与与方方法法；；第第二二个个是是二二次次型型的的正正定定性性，，既既有有正正定定的的判判定定，，又又有有正正定定性性质质的的运运用用，，
也也都都会会涉涉及及到到特特征征值值；；第第三三个个是是合合同同，，它它是是由由二二次次型型经经坐坐标标变变换换引引申申出出来来的的概概念念..
真题分类练习
一-、、二二次次型型的的橱标:准继形形
试♦题题特特点点》
用用正正交交变变换换化化二二次次型型为为标标准准形形，，求求其其标标准准就就是是求求二二次次型型矩矩阵阵AA的的特特征征值值，，求求坐坐标标变变换换就就是是求求4A
的的特特征征向向量量..
若若求求二二次次型型的的表表达达式式就就是是求求矩矩阵阵AA,,这这样样的的试试题题一一般般都都是是实实对对称称矩矩阵阵试试题题的的翻翻版版..
[1(|2（200009,92,233题题，，1111分分)）设设二二次次型型
yf(（Xx]? 9,xx2 ?»,x3x）? )== axa\r +i+ aaxr\z ++( a- —1 )lx）2x+| 2+x 2?xxx?x—3 —2 x2?xx2x?3..
（q
(（II)）求求二二次次型型f的f矩的阵矩阵的的所所有有特特征征值值；；
(（Ⅱn）)若若二二次次型型ff的的规规范范形形为为y1++y展2,，求求〃a的的值值..
答答题题区区
·198 ·
・ 198 -第六章 二次型
第六章二次型
❷（(2200111,11,4 1题4题，4 ，分4）分二)次二型次 f型 （工f1,(工x2?，i,3x）?,=x ?x)? =+x 13+x23 x+2 +工x；3++ 2x?x? ++2 2xx?xxx?z ++2 x2?xx2x?3,» 则则
2xiX2
f的正惯性指数为 _.
f的正惯性指数为.
答答题剪区区
7
1 0 1
-1 0 1 -
011
Q(2012,23 题，11 分)已知 4= °1 1 1 ，二次型 /(X, ,x2 »x3) = xT(ATA)x 的秩为 2.
(2012,23题，11分)已知A= ,二次型f(xj,x?,x?)=x?(ATA)x的秩为2.
-10 a
—1 0 a
0 a -1
-o a -1
（(I
I
)）求
求
实
实
数
数
a的
。的
值
值
；
；
（(Ⅱfl ）)求求正正交交变变换换xx ==Q Qy将y将二二次次型型ff化化为为标标准准形形..
答答题题区区
·199
-199 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学二)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学二）
0(2(0201133,2,323 题题，，11 1分1分)设)设二二次次型型，(工f(1x,五i,，x工?3),x=? )2=(2a(亍a 1; x+?a+2ax?2 x+?+aa3?xx3?)2) +2+ ((6b?qx ?++ bb?2xx2? ++
b?x?)2,记 2
&3xs)2,记 7
[al 尸
α=
,β= b
( （ I I ) ） 证证明明：：二二次次型型 y f对对应应的的矩矩阵阵为为 2 2 a ax a ? T + + 即 /| ； F；
(（Ⅱ
n
)）若若α＜,»β/正正交交且且均均为为单单位位向向量量，，证证明明：，：在f在正正交交变变换换下下的的标标准准形形为为
2
2y
#
i
+
+y展2..
答答题题区区
13(（22001144,,1144 题题，，4 分4分）设)设二二次次型 型/（fX(] x,?x,2x，工?3,）x?=) =x?x 1—-jxc2f ++2 2aaxx? 1x x?3+ +4x4?xx2?x的3 的负负惯惯性性指指数数为为 11,»
则则aa的的取取值值范范围围是是.
答答题题区区
·200 ·
. 200 .第第六六章章 二二次次型型
◄◄
06(2（201051,58,8题题，,44分分）)设设二二次次型型/f（(Xx）?，了,x2，?互,x）?在)在正正交交变变换换x =x =PPyy下下的的标标准准形形为为22"y i++yyīl~-yyl,，
其
其
中
中
P
P
=
=
[e
"
?
1
, e
,
?,
如
e?]
若
,若
Q
Q =
=
[ e
"
?
1
,-
,
e
—
g,
。3
e
，
?
。
]
2〕
,
，
则
则
f(x
,
?
五
,x?,，x
^3
?）)在
在
正
正交
交
变
变
换
换
X
x =
=
Q y
Q
下
y下
的
的
标
标
准
准
形
形
为
为
（(MA)22yyi\--yyīl++yyl3.. （(BB）)22“y i++y邳2-一y奔3. (（CC)）22“y i一-y话z一-y名3. (（DD)）22y“i ++y况2+ +y书3.・
答答题题区区
囱|((22001166,,88 题题,，4 分4分)设)设二次二型次 型/(xfi( x9x?2, >xx?3,)x =?) a=(ax(?x +1«+zx；24+-Xx3a))++22xx?ixx?2+ +2x2?xx2?x+z 2+x2?xxi?x的3 的正正、、
负负惯惯性性指指数数分分别别为为11,,22,,则则
((AA))aa>>1 .1. ((BB))aa<<--2 2..
((CC) )-—2 2< Va
0), f（ii ,x2 ,x3） — xTAx = azi + 2xj — 2x1 + 2bxxx3 （6 > 0）, 其其中中二二次次型型的的矩矩阵阵A4的的特特征征值值之之和和为为1,1特,特征征值值之之积积为为—一121.2. （(I1)）求求a,山b的5的值值；； (（Ⅱ n )）利利用用正正交文变变换换将将二二次次型型?/化■为化标为准标形准，形并，并写写出出所所用用的的正正交交变变换换和和对对应应的的正正交交矩矩阵阵.. 演算空间 4 4 . . (2 （ 0 2 1 0 0 1 , 0 数 ,数一一，，1 1 1 1分分）)已已知知二二次次型型，f（(工x i ?，,互x?，了, 3 x）?) = = x x ? T A A x x 在在正正交交变变换换x x = = Q y Q 下 y 的下标的准标形准形为为 (√2 √2 ) T· y1+ + y y 2 l , ， 且 且 Q Q 的 的 第 第 3 3 列 列 为 为修,,00,3哮）. 2 2 (（II) ）求求矩矩阵阵A4;; (（Ⅱ口）)证证明明AA+ +E为 E正为定正矩定阵矩阵，，其其中中EE为为3阶3单阶单位位矩矩阵阵.. 满算空间 · 204 · . 204 .wma— 第六章二次型 箫穴章二次型 V 、 33 33 5 5 . . (2 （2 0 0 2 2 2 2 , , 数 数 一 一，， 12 1 分2分）)已已知知二二次型次 型 /（ f x ( i x ,x i 2 , , x x ? 3 , ） x = ?) = S 22 S ix ; ij x X j iX , j. ix=i1 jj== 1i (（II) ）写写出出f(，x（?了,1x口?,2x口?)3对）对应应的的矩矩阵阵；； ( （ Ⅱ II ） )求 求 正 正 交 交变 变 换 换 x x = = Q y Q 将 y f 将 ( 了 x? （ , 了 x 1 ? , , 血 x? ，了 )化 3）为 化 标 为 准 标准 形 形 ； ； (（Ⅲ m）)求求 f / (（x x ? i ,，玖x? > , x x 3 ?）) = =0 o 的 的解解.. 演算空同 二、二二次次型型的的正正定定 试题特点 围围绕绕正正定定的的定定义义"“VVxx≠^O0必必有有xx?TAAx>x0”>0设"计设的计试的题试一题般一难般度难较度大较，大其，其中中需需用用特特征征值值(（参参看看数数 一一2 201001年0年试试题题)、）、顺顺序序主主子子式式的的考考题题是是容容易易的的。. 复复习习时时，，注注意意考考定定义义法法的的题题(（参参看看下下面面的的解解题题加加速速度度)）.. ®解解题题加加速速度度 11.. (（11999977,,数数三三，，3分3分）若)若二二次次型型/（fX(!x，互?,，x工?3,）x=?) =2x2fx 1++ xxl1 ++x与3+2+x2?而x?五+t+x?txr?2是x3正是定正的定的，，则则tt 的的取取值范值围范是 围 是 _.. 演算空同 · 205 . . 205 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学二) > 数学历年真题全精解析.提高篇 数学二） 泼 22.. (1（919999,9数,数一一，，66分分）)设设AA为 Am阶m实阶对实称对矩称阵矩且阵且正正定定，，BB为为m×m nX实 ”矩实阵矩，阵B，T8为丁B为的B转的置转矩置阵矩，阵, 试试证证:：BTBATABB为为正正定定矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是BB的的秩秩rr（(BB）) == nn.. 清算空间 3.(1999,数三，7分)设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA,试证： 3. （1999.三，7分）设A^jmXn实矩阵，E为”阶单位矩阵，已知矩阵B = AE+ATA,试证: 当当λ；I >>0 时0，时矩，矩阵B阵为B正为定正矩定阵矩。阵公 演算空间 44.. ((22000000,数,数三三，.99分分))设设有有nn元元实实二二次次型型 f / ((X x ! ? , , x x 2 ? ，… ,… ，工 , , x ) ,) = = ( ( x x i ? + + a a i ? x x 2 ? ) ) 2 2 + + ( (x x 2 ? + +a a ? 2 x x ? 3) ) 2 2 + +… … + + ( x ( , x ; ^ + i a 4 ? - - a ? ^ x x , , ) ) 2 2 + + ( x (工 ,+ ” a + ? a x „X ?) i 2 )2 , , 其其中中aa,,((ii ==1 ,12,,2…,…,n，)n为)实为数实.数试.问试：问当：当a?a,] a,?a,2…, ,,,- a,。a„满满足足何何种种条条件件时时，，二二次次型型ff((.Xx?i ,,xx?2 ,,,…,• ,,xx,„))为为 正正定定二二次次型型。. 清算空园 ·206 · . 206 .第第六六章章 二二次次型型 v 1 [ - A 4 C C " 5 5 . . (2 (2 0 0 0 0 5 5 . . 数数三三. .1 1 1 1分分))设设D。== CT 丁 B. 为为正正定定矩矩阵阵，，其其中中 A A ,B ,B分分别别为为 m m阶阶，，”n阶阶对对称称矩矩阵阵，，C C为为 -C mm×Xn n阶阶矩矩阵阵.. [E. — A-1C*] ""E —A-1C ((II))计计算算PPTTDDPP,,其其中中？P== ； ;; .0 E. Lo E„ J ((ⅡH))利利用用((II) 的)的结结果果判判断断矩矩阵阵B-BC —?A C- t 1AC是-' C否是为否正为定正矩定阵矩，阵并，并证证明明你你的的结结论论.. 满算空间 三三、、会含而同矩矩阵阵 试题特点 试飓特点 不不是是重重点点，，填填空空题题、、选选择择题题为为主主.. A≈B?p?= Pg,q?= qm. A 疽 B^>Pa = pBiqA = Qb- 通通过过什什么么来来确确定定正正、、负负惯惯性性指指数数??特特征征值值!!有有时时也也可可用用配配方方法法.. 注注意意相相似似与与合合同同的的联联系系和和区区别别.. 0 解题加速度 解题加速度 1 1111 40007 1 1 1 1 0000 ,B= 11.. （(22000011,数.数一一.3. 分3分） 设)设4A= 1 1 1 1 0000 则AA与与BB 1111. 0000. ((AA)合)合同同且且相相似似。. ((BB))合合同同但但不不相相似似。. ((CC)不)不合合同同但但相相似似。. ((DD)不)不合合同同且且不不相相似似。. · 207 · • 207数学历年真题全精解析·提高篇(数学二) ► 数学历年真题全精解析•提高篇（数学二） -00 1 1 0 0 0 7 01 1 1 0 0 0 0 0o · 22.. （(11999966,,数数三三，，8分8分）设)设矩矩阵阵A A== 00 y 1 0 0 y 1 00 1 2 _0 0 1 2. (（II)）已已知知AA的的一一个个特特征征值值为为33,,试试求求y力; (（Ⅱ II） )求 求 可 可 逆 逆矩 矩 阵 阵「P,,使使（( A A P P ） ) t ( （ A A P P )为 ）为对对角角矩矩阵阵.. 演演算空间 [12'] •1 2" 33.. （(22000088,,数数四四，，4 分4分）设)设 A A== 2 1. ，,则则在在实实数数域域上上与与 A A合合同同的的矩矩阵阵为为 .2 1- [ - - — 2 2 1 1 - ]· [ - 2 2 — - 2 2"1 -· [ ■ 2 2 1' r· [ - 1 1 —2 - ° 2"] ((AA)) ((BB)) ((CC)) ((DD)) 1 -2. -1 2 .12. -2 1 .1 — 2- .一 1 2 . .1 2- .—2 1 - ·208· -208 -
