考研数学历年真题(1987-1997)年数学二公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_1987-2017考研数学二真题集

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) f  x      xosx x2，x0 ，在x0处连续，则a  _____________. （1）已知  a， x0 1x （2）设 y ln ,则 y _____________. 1x2 x0 dx （3） _____________.   x 4x  dx （4）设 _____________. 0 x2 4x8 （5）已知向量组 （1,21,1）， （2,0，t,0）, (0,4,5,2)的秩为2，则t=_____________. 1 ,2 3 二、选择题 1.设x0,时，etanx ex与xn是同阶无穷小，则n为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 b 1 (2)设在区间[a,b]上 f(x)0, f(x)0, f(x)0. S   f(x)dx,S  f(b)(ba),S  [f(a) f(b)](ba), 记 1 a 2 3 2 则（ ） (A)S S S (B) S S S 1 2 3 2 3 1 (C)S S S (D)S S S 3 1 2 2 1 3 (3)已知函数 y  f  x  对一切x满足xf x  3x[f x  ]2 1ex,若f x  0  x 0  ,则（ ） 0 0 (A) f  x 是f  x 的极大值 0 (B) f  x 是f  x 的极小值 0 (C)  x，f(x ) 是y  f（x）的拐点 0 0 (D) f  x 不是f  x 的极值， x , f(x ) 也不是曲线y  f  x 的拐点 0 0 0 x2 (4)设F(x) esintsintdt,则F(x)（ ） x (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 2x, x0 x2, x0 （5）.设g  x   , f  x   ,则g[f  x  ]为（ ）  x2, x0 x, x0 2x2, x0 2x2, x0 （A） （B） 2x, x0 2x, x0 -1-2x2, x0 2x2, x0 （C） （D） 2x, x0 2x, x0 三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 4x2 x1x1 （1）求极限 lim . x x2 sinx  xarctant dy （2）设 y  y  x 由 所确定，求 . 2yty2 et 5 dx （3）计算e2x(tanx1)2dx.     （4）求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解。 （5）已知 y  xex e2x,y  xex ex,y  xex e2x ex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。 1 2 3 1 1 1   （6）已知A 0 1 1 ，且A2  AB  E,其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B.    0 0 1  四、（本题满分8分）  2x x x 1 1 2 3  取何值时，方程组 x x x 2 无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。 1 2 3  4x 5x 5x 1 1 2 3 五、（本题满分8分） 设曲线L的极坐方程为r r    ,M  r, 为L上的任一点，M  2，0 为L上一定点，若极径OM 、OM与曲线L所 0 0 围成的曲边扇形面积值等于L上M ,M 两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。 0 六、（本题满分8分） 设函数 f  x  在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足xf x   f  x   3a x2  a为常数  ，又曲线 2 y  f  x 与x1,y 0所围成的图形S的面积值为2，求函数 y  f  x  ，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得 的旋转体的体积最小。 七、（本题满分8分）   已知函数 f  x  连续，且lim f x 2，设  x    1 f  xt  dt,求 x  ,并讨论 x  的连续性 x0 x 0 八、（本题满分8分）   就k的不同取值情况，确定方程x sinxk 在开区间（0， ）内根的个数，并证明你的结论。 2 ,2 -2-1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x 2  y (xe 2)3,则y _____________. x0 （1）设 1 2 （2）（x 1x2）dx _____________. 1 （3）微分方程的y2y5y 0通解为_____________.  3 1  （4）limx  sinln(1 )sinln(1 )  _____________. x  x x  1 （5）由曲线 y  x ,x2及y 2所围图形的面积S _____________. x 二、选择题 1.设x0时，ex (ax2 bx1)是比x2高阶的无穷小，则（ ） 1 （A）a  ,b1 （B）a 1,b1 2 1 （C）a  ,b1 （D）a 1,b1 2 (2)设函数 f  x  在区间（，）内有定义，若当x(,)时，恒有 f  x   x2,则x0必是 f  x  的（ ） (A)间断点 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且 f(0)0 (D)可导的点，且 f 0  0 (3)设 f(x)处处可导，则（ ） (A)当 lim f  x  ,必有 lim f x   (B)当 lim f x  ,必有 lim f  x   x x x x (C)当 lim f  x  ,必有 lim f x   (D)当 lim f x  ,必有 lim f  x   x x x x 1 1 (4)在区间（，）内，方程x 4  x 2 cosx0（ ） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根 （5）.设 f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x) f(x)m(m为常数)，由曲线y  g(x), yf(x),xa及xb所围平 面图形绕直线 y m旋转体体积为（ ） b b （A） [2m f(x)g(x)][f(x)g(x)]dx （B） [2m f(x)g(x)][f(x)g(x)]dx a a b b （C） [m f(x)g(x)][f(x)g(x)]dx （D） [m f(x)g(x)][f(x)g(x)]dx a a 三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） -3-1n2 （1）计算 1e2xdx. 0 dx （2）求 . 1sinx  x  t f(u2)du, d2y （3）设 0 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0,求 .   y [f(t2)]2, dx2 1x （4）求函数 f(x) 在x0点处带拉格朗日型余项n阶泰勒展开式。 1x （5）求微分方程 y y x2的通解。  （6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴与底面成角（0 ）的平面 2 截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积V. 四、（本题满分8分） arctanx 计算不定积分 dx. x2(1x2) 五、（本题满分8分） 12x2, x1,  设函数 f(x) x3, 1 x x,  12x16, x2.  （1）写出 f(x)的反函数g(x)的表达式； （2）g(x)是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。 -4-六、（本题满分8分） 设函数 y  y(x)由方程2y3 2y2 2xyx2 1所确定，试求 y  y(x)的驻点，并判别它是否为极值点。 七、（本题满分8分） 设 f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数，且 f(a) f(b)0, f(a)f(b)0,试证明： 存在（a,b）和（a,b），使f()0及f()0. 八、（本题满分8分） 设 f(x)为连续函数， yay  f(x), （1）求初值问题 的解y(x),其中a为正的常数； y 0  x0 k （2）若 f(x) k(k为常数)，证明：当x0时，有 y(x)  (1eax). a -5-1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1 y cos(x)2sin2 ,则y_____________. （1）设 x （2）微分方程 y y 2x的通解为_____________. x1t2 （3）曲线 2处的切线方程为_____________.  y t3 1 2 n （4）lim(  L )_____________. n n2 n1 n2 n2 n2 nn （5）由曲线 y  x2ex2的渐近方程为_____________. 二、选择题 1.设 f(x)和（x）在（，）内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0,(x)有间断点，则（ ） （A）[f(x)]必有间断点 （B）[(x)]2必有间断点 （x） （C） f[(x)]必有间断点 （D） 必有间断点 f(x) (2)曲线 y  x(x1)(2x)与x轴所围图形的面积可表示为（ ） 2 1 2 (A) x(x1)(2x)dx (B) x(x1)(2x)dx x(x1)(2x)dx 0 0 1 1 2 2 (C) x(x1)(2x)dx x(x1)(2x)dx (D) x(x1)(2x)dx 0 1 0 (3)设 f(x)在（，）内可导，且对任意x ,x ,当x  x 时，都有f(x ) f(x ),则（ ） 1 2 1 2 1 2 (A)对任意x, f(x)0 (B)对任意x, f(x)0 (C)函数f(x)单调增加 (D)函数 f(x)单调增加 (4)设函数 f(x)在[0,1]上f(x)0,则f(1)、f(0)、f(1) f(0)或f(0) f(1)的大小顺序是（ ） (A) f(1) f(0) f(1) f(0) (B) f(1) f(1) f(0) f(0) (C) f(1) f(0) f(1) f(0) (D) f(1) f(0) f(1) f(0) （5）.设 f(x)可导，F（x） f(x)(1|sinx|),若使F(x)在x0处可导，则必有（ ） （A） f(0)0 （B） f(0)0 （C） f(0) f(0)0 （D） f(0) f(0)0 -6-三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 1 xosx （1）求 lim . x0 x(1cos x) d2y （2）设函数 y  y(x)由方程xef(y) ey确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求 . dx2 x2 （3）设 f(x2 1)ln ,且f[(x)],求(x)dx. x2 2  1 xarctan ,x0, （4）设 f(x) x2 试讨论 f(x)在x0处的连续性。  0, x0, x1cost （5）求摆线 一拱（0t 2）的弧长. y tsint （6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v v ,已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此 t0 0 v 质点的速度为 0 ？并求到此时刻该质点所经过的路程。 3 四、（本题满分8分） x2 求函数 f(x)  (2t)etdt的最大值和最小值。 0 五、（本题满分8分） 设 y ex是微分方程xy p(x)y  x的一个解，求此微分方程满足条件 y 0的特解。 x1n2 -7-六、（本题满分8分） 如图，设曲线L的方程为 y  f(x),且y0,又MT,MP分别为该曲线在点M（x ,y）处的切线和法线，已知线段 0 0 3 （1 y2）2 MP的长度为 0 (其中y  y(x ),y y(x ))试推导出点P（，）的坐标表达式。 y 0 0 0 0 0 七、（本题满分8分） x sint  设 f(x)  dt,计算 f(x)dx. 0 t 0 八、（本题满分8分） f(x) 设lim 1,且f(x),证明f(x) x. x0 x -8-1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) sin2xe2ax 1  ,x0, f(x) x 在（，）上连续，则a _____________. （1）若   a, x0 xt1n(1t), d2y （2）设函数 y  y(x)由参数方程 所确定，则 _____________.  y t3 t2 dx2 d  cos3x  （3）  f(t)dt _____________. dx  0  （4）x3ex2 dx _____________. （5）微分方程 ydx(x2 4x)dy 0的通解为_____________. 二、选择题 ln(1x)(axbx2) 1.设lim 2则（ ） x0 x2 5 （A）a 1,b （B）a 0,b2 2 5 （C）a 0,b （D）a 1,b2 2 2  x3,x1 (2)设 f(x)3 ,则f(x)在点x1处的（ ）   x2,x1 (A)左、右导数都存在 (B))左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在 (D))左、右导数都不存在 (3)设 y  f(x)是满足微分方程 y yesinx 0的解，且f(x )0,则f(x)在（ ） 0 (A)x的某个领域内单调增加 (B)x的某个领域内单调减少 0 0 (C)x出取得极小值 (D)x 处取得极大值 0 0 1 x2 x1 (4)曲线 y ex2 arctan 的渐近线有（ ） (x1)(x2) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条    sinx （5）.设M  2 cos4 xdx,N  2 (sin3 xcos4 x)dx,P  2 (x2sin3 xcos4 x)dx,则有（ ）  1x2     2 2 2 （A）N  P M （B）M  P N （C）N  M  P （D）P M  N -9-三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） d2y （1）设 y  f(x y),其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求 . dx2 3 1 （2）计算 x(1x4)2dx. 0  2 （3）计算limtann(  ). n 4 n dx （4）计算 . sin2x2sinx 1 （5）如图，设曲线方程为 y  x2  ，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D ，为A的坐标为 2 1 D 3 （a,0），a 0,证明  . D 2 1 四、（本题满分9分） 1 设x0当时，方程kx 1有且仅有一个解，求k的取值范围 x2 五、（本题满分9分） x3 4 设 y  , x2 （1）求函数的增减区间及极值； （2）求函数图像的凹凸区间及拐点； -10-（3）求其渐近线； （4）作出其图形。 六、（本题满分9分） 求微分方程 ya2y sinx的通解，其中常数a 0. 七、（本题满分9分）  1 设 f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当01时， f(x)dx f(x)dx. 0 0 八、（本题满分8分） 求曲线y 3|x2 1|与x轴围成的封闭图形绕直线y 3旋转所得的旋转体体积。 -11-1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) lim xlnx_____________. （1）x0 dy （2）函数 y  y(x)由方程sin(x2  y2)ex xy2 0所确定，则 _____________. dx x 1 （3）设F(x)  (2 )dt(x0),则函数F(x)的单调减少区间是_____________. 1 t tanx （4） dx _____________. cosx 1 （5）已知曲线 y  f(x)过点（0， ），且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xin(1x2),则f(x)_____________. 2 二、选择题 1 1 1.当x0时，变量 sin 是则（ ） x2 x （A）无穷小 （B）无穷大 （C）有界的，但不是无穷小 （D）有界的，但不是无穷大 |x2 1|  , x1, (2)设 f(x) x1 则在点x1处函数f(x)（ ）   2, x1, (A)不连续 (B))连续，但不可导 (C)可导，但导数不连续 (D))可导，且导数连续 x2,0 x1, x (3)已知 f(x) 设F（x）  f(t)dt(0 x2),则F（x）为（ ） 1,1 x2, 1 1 1 1  x3,0 x1  x3  ,0 x1 (A)3 (B)3 3   x,1 x2   x,1 x2 1 1 1  x3,0 x1  x3  ,0 x1 (C)3 (D)3 3  x1,1 x2   x1,1 x2 x (4)设常数k 0,函数f(x)lnx k在（0，）内零点个数为（ ） e (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 （5）.设 f(x)f(x),在（0，）内f(x)0, f(x)0,则f(x)在（，0）内则有（ ） （A） f(x)0, f(x)0 （B） f(x)0, f(x)0 （C） f(x)0, f(x)0 （D） f(x)0, f(x)0 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） -12-d2y （1）设 y sin[f(x2)],其中f具有二阶导数，求 . dx2 （2）求 lim x( x2 100x). x  x （3）求4 dx. 0 1cos2x  x （4）求 dx. 0  1x 3 （5）求微分方程（x2 1）dy(2xycosx)dx 0满足初始条件求 y 0的特解. x0 四、（本题满分9分） 设二阶常数系数线性微分方程求 yayy ex的一个特解为求 y e2x (1x)ex,试确定常数，，，并 求该方程的通解。 五、（本题满分9分） 设平面图形A由求x2  y2 2x与y x所确定，求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积。 六、（本题满分9分） 作半径为求r的球外切正圆锥，问此圆锥的高求h为何值时，其体积求V 最小，并求出该最小值。 七、（本题满分6分） 设x0,常数a e,证明（ax）a aax. 八、（本题满分8分） a Ma2 设求 f(x)在[0,a]上连续，且f(0)0,证明： f(x)dx  ,其中M max f(x). 0 2 0xa -13-1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)  x f(t), dy  其中f可导，且f（ 0）0，则 _____________. （1）设y  f(e3t 1), dx t0  （2）函数 y  x2cosx在[0, ]上的最大值为____________. 2 1 1x2 （3）设lim _____________. x0 ex cosx  dx （4） _____________. 1 x(x 1) （5）由曲线 y  xex与直线y ex所围成的图形的面积S _____________. 二、选择题 1.当x0时，xsinx是x2的则（ ） （A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价的无穷小  x2,x0 (2)设 f(x) ,则（ ） x2 x,x0  x2,x0 （x2 x），x0 (A) f(x) (B)) f(x) （x2 x）,x0  x2,x0  x2,x0 x2 x，x0 (C) f(x) (D)) f(x) x2 x,x0  x2,x0 x2 1 1 (3)当x1时，函数 ex1的极限（ ） x1 (A)等于2 (B)等于0 (C)等 (D)不存在但不为 x2 (4)设 f(x)连续，F（x）  f(t2)dt,则F（x）等于内零点个数为（ ） 0 (A) f(x4) (B)x2f(x4) (C)2xf(x4) (D)2xf(x2) （5）.若 f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为则有（ ） （A）1sinx （B）1sinx （C）1cosx （D）1cosx 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 3x x1 （1）求lim( ) 2 . x 6x -14-d2y （2）设函数 y  y(x)由方程yxey 1所确定，求 的值. dx2 x0 x3 （3）求 dx. 1x2  （4）求 1sinxdx. 0 （5）求微分方程（yx3)dx2xdy 0的通解. 四、（本题满分9分） 1x2,x0 3 设 f(x) ,求 f(x2)dx.  ex,x0 1 五、（本题满分9分） 求微分方程 y3y2y  xex的通解. 六、（本题满分9分） 1 计算曲线 y ln(1x2)上相应于0 x 的一段孤的长度. 2 七、（本题满分6分） 求曲线y  x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x0,x2所围成的平面图形面积最小。 八、（本题满分8分） 已知 f(x)0, f(0)0,试证：对任意的二正数x和x ,恒有f(x x ) f(x ) f(x )成立. 1 2 1 2 1 2 -15-1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) y ln(13x),则dy _____________. （1）设 （2）曲线 y ex2的上凸间是____________. lnx （3）设 dx _____________. 1 x2  （4）质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻t  秒到t  秒内质点所经过的路程等于______米. 1 2 2 1 1ex （5） lim ____________. x0 1 xex 二、选择题 1.若曲线 y  x2 axb和2y 1xy3在点（1，1）处相切，其中a,b是常数，则（ ） （A）a 0,b2 （B）a 1,b3 （C）a 3,b1 （D）a 1,b1  x2,0 x1， x (2)设函数 f(x) 记F（x）  f(t)dt,0 x2,则（ ） 2x,1 x2, 0  x3  x3  ,0 x1  ,0 x1   (A)F（x） 3 (B))F（x） 3 1 x2 7 x2  2x ,1 x2  2x ,1 x2   3 3  6 2  x3  x3  ,0 x1  ,0 x1   (C)F（x） 3 (D))F（x） 3 x2 x2 x2  2x ,1 x2  2x ,1 x2    3 2  2 (3)设函数 f(x)在（，）内有定义，x 0是函数f(x)的极大点，则（ ） 0 (A)x 必是f(x)的驻点 (B)x 必是 f(x)的极小点 0 0 (C)x 必是 f(x)的极小点 (D)对一切x都有f(x) f(x ) 0 0 1ex2 (4)曲线 y  （ ） 1ex2 (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 -16-（5）.如图，x轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数 为k ，则质点和细杆之间引力的大小为（ ） 0 km l km （A） dx （B） dx 1(ax)2 0 (ax)2 0 km l km （C）2 dx （D）22 dx  l (ax)2 0 (ax)2 2 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） xtcost d2y （1）设 ,求 . y tsint dx2 4 dx （2）计算 . 1 x(1 x) xsinx （3）求lim . x0 x2(ex 1) （4）求xsin2 xdx. （5）求微分方程xy y  xex满足y(1)1的特解. 四、（本题满分9分） ln(1x) x 利用导数证明：当x>1时，有不等式  成立. lnx 1x 五、（本题满分9分） 求微分方程 y y  xcosx的通解. -17-六、（本题满分9分） 曲线 y （x1）(x2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. 七、（本题满分9分） 如图，A和D分别是曲线 y ex和y e2x上的点，AB和DC 均垂直x轴，且 AB : DC 2：1，AB 1，求点B和C的横坐标，使梯形ABCD的面积最大. 八、（本题满分8分） 3 设函数 f(x)在（，）内满足f(x) f(x)sinx,且f(x) x,x[0,),计算 f(x)dx.  -18-1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) xcos3t   t  点处的法线方程是_____________. （1）曲线y sin3t 上对应于点 6 tan 1 1 （2）设 y e x.sin ,则y____________. x 1 （3） x 1xdx _____________. 0 （4）下列两个积分的大小关系是： 1 ex3 dx____________ 1 ex3 dx. 2 2 1,|x|1 （5）设函数 f(x) ,则函数f[f(x)]____________. 0,|x|1 二、选择题  x2  1.已知lim   axb  0,其中a,b是常数，则（ ） x x1  （A）a 1,b1 （B）a 1,b1 （C）a 1,b1 （D）a 1,b1   (2)设函数 f(x)在（，）上连续，则d  f(x)dx等于（ ） (A) f(x) (B)) f(x)dx (C) f(x)C (D)) f(x)dx (3)已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数 f （n） (x)（ ） (A)n![f(x)]n1 (B)n[f(x)]n1 (C)[f(x)]2n (D)n![f(x)]2n ex (4)设 f(x)是连续函数，且F（x）  f(t)dt，则F（x）等于（ ） x (A)ex f(ex) f(x) (B)ex f(ex) f(x) (C)ex f(ex) f(x) (D)ex f(ex) f(x)  f(x)  , x0 （5）.设F（x） x ,其中f(x)在x0出可导，f(0)0, f(0)0,则x0是F(x)的（ ）  f(0), x0 （A）连续点 （B）第一类间断点 -19-（C）第二类间断点 （D）连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分） xa （1）已知lim( )x 9,求常数a. x xa （2）求由方程2yx(x y)ln(x y)所确定的函数y  y(x)的微分dy. 1 （3）求曲线 y  (x0)的拐点. 1x2 lnx （4）计算 dx. (1x)2 （5）求微分方程xlnxdy(ylnx)dx 0满足条件 y 1的特解. xe 四、（本题满分9分） x2 y2 在椭圆  1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中 a2 b2 a 0,b0）. 五、（本题满分9分） 1  证明：当x0,有不等式arctanx  . x 2 六、（本题满分9分） x lnt 1 设 f(x)  dt,其中x0,求f(x) f( ). 1 1t x 七、（本题满分9分） 过点P（1,0）作抛物线y  x2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图绕x轴旋转一 周所围成旋转体的体积。 八、（本题满分8分） 求微分方程 y4y4y eax之通解，其中a为实数. -20-1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limxcot2x=_____________. x0  (2) tsintdt =_____________. 0 (3)曲线 y   x t1  t2  dt在点 0,0  处的切线方程是_____________. 0 (4)设f(x) x(x1)(x2)(xn),则f(0)=_____________. (5)设f  x 是连续函数，且f  x   x2 1 f  t  dt,则f  x  =_____________. 0 abx2,x0  (6)设f  x  sinbx 在x0处连续，则常数a与b应满足的关系是_____________. ,x0   x (7)设tan y  x y,则dy _____________. 二、计算题（每小题4分，满分20分.） (1)已知 y arcsine x,求y. dx (2)求 . xln2 x 1 (3)求lim(2sinxcosx)x. x0   xln1t2 , dy d2y (4)已知 求 及 .  y arctant, dx dx2 (5)已知f  2   1 , f 2  0及 2 f  x  dx 1,求 1 x2f 2x  dx. 2 0 0 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号 内) 1 (1)设x0时，曲线y  xsin （ ） x (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2)若3a2 5b0，则方程x5 2ax3 3bx4c0（ ） (A) (B) (C) (D) 无实根 有唯一实根 有三个不同实根 有五个不同实根   (3)曲线 y cosx(  x )与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ） 2 2  2 (A) (B) (C) (D)2 2 2 -21-(4)设两函数 f  x 及g  x 都在xa处取得极大值，则函数F  x   f  x  g  x 在xa处（ ） (A)必取极大值 (B)必取极小值 (C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定 (5)微分方程 y y ex 1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）（ ） (A)aex b (B)axex b (C)aex bx (D)axex bx (6)设 f(x)在xa的某个领域内有定义，则 f  x 在xa处可导的一个冲分条件是（ ） 1 f(ah) f(ah) (A) lim h[f(a ) f(a)]存在 (B)lim 存在 h h h0 h f(ah) f(ah) f(a) f(ah) (C)lim 存在 (D)lim 存在 h0 2h h0 h 四、(本题满分6分) 求微分方程xy  1x  y e2x 0 x 满足y  1  0的解. 五、(本题满分7分) 设 f  x  sinx x xt  f  t  dt，其中 f 为连续函数，求 f  x  . 0 六、(本题满分7分) lnx x   1cos2xdx在区间 0，  证明方程 内有且仅有两个不同实根. e 0 七、（本题满分11分） x1 对函数y  ,填写下表： x2 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值   凹  区间   凸  区间 拐点 渐近线 八、（本题满分10分） 设抛物线 y ax2 bxc过原点，当0 x1时，y0,又已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面积为 1 ，试确定a,b,c使此图形绕x选择一周而成的旋转体的体积V 最小. 3 -22-1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)  (x3)n (1)求幂级数 的收敛域. n3n n1 (2)设 f(x)ex2 , f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域. (3)设为曲面x2  y2 z2 1的外侧,计算曲面积分I   x3dydz y3dzdxz3dxdy.  二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) 1 (1)若 f(t)limt(1 )2tx,则 f(t)=_____________. x x x31 (2)设 f(x)连续且 f(t)dt  x,则 f(7)=_____________. 0 2 1 x0 (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为 f(x) ,则的傅里叶(Fourier)级数在x1处收 x2 0 x1 敛于_____________. (4)设4阶矩阵A [α,γ ,γ ,γ ],B[β,γ ,γ ,γ ], 其中α,β,γ ,γ ,γ 均为4维列向量,且已知行列式 A 4, B 1,则 2 3 4 2 3 4 2 3 4 行列式 AB =_____________. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母 填在题后的括号内) 1 (1)设 f(x)可导且 f(x ) ,则x0时, f(x)在x 处的微分dy是（ ） 0 2 0 (A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小 (2)设 y  f(x)是方程y2y4y 0的一个解且 f(x )0, f (x )0,则函数 f(x)在点x 处（ ） 0 0 0 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域 :x2  y2  z2  R2,z 0, :x2  y2  z2  R2,x0,y 0,z 0,则:（ ） 1 2 -23-(A)xdv4dv (B) ydv4 ydv     1 2 1 2 (C)zdv4zdv (D)xyzdv4xyzdv     1 2 1 2  (4)设幂级数a (x1)n 在x1处收敛,则此级数在x2处（ ） n n1 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组α ,α ,,α (3 sn) 线性无关的充要条件是（ ） 1 2 s (A)存在一组不全为零的数k ,k ,,k ,使kα k α k α  0 1 2 s 1 1 2 2 s s (B)α ,α ,,α 中任意两个向量均线性无关 1 2 s (C)α ,α ,,α 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1 2 s (D)α ,α ,,α 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 1 2 s 四、(本题满分6分) x y 2u 2u （1）设u  yf ( )xg( ),其中函数 f 、g具有二阶连续导数,求x  y . y x x2 xy 2 x x 4 2 x  dx sin dy dx sin dy. 1 x 2y 2 x 2y （2）计算 x6 y3 2z1 x2 xy2 3z2 21   l:   . 2 1 2 （3）求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线 五、(本题满分8分) 设函数 y  y(x)满足微分方程 y3y2y 2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y  x2 x1在该点处的切 线重合,求函数 y  y(x). -24-六、（本题满分9分） k 设位于点(0,1)的质点 A对质点M 的引力大小为 (k 0为常数,r为 A质点与M 之间的距离),质点M 沿直线 r2 y  2xx2 自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M 的引力所作的功. 七、（本题满分6分） 1 0 0  1 0 0     已知AP BP,其中B 0 0 0 ,P  2 1 0 , 求A,A5.      0 0 1   2 1 1  八、（本题满分8分） 2 0 0 2 0 0      已知矩阵A 0 0 1 与B 0 y 0 相似.      0 1 x   0 0 1  (1)求x与y. (2)求一个满足P1AP B 的可逆阵P. 九、（本题满分9分） 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有 f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线 y  f(x)与两直 线y  f(),xa所围平面图形面积S 是曲线 y  f(x)与两直线 y  f(),xb所围平面图形面积S 的3倍. 1 2 -25-1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数 y  x2x取得极小值. (2)由曲线 y lnx与两直线 y e1x及 y 0所围成的平面图形的面积是_____________. x1 x1 y2 z1 (3)与两直线 y 1t及   都平行且过原点的平面方程为_____________ .z 2t 1 1 1 (4)设L为取正向的圆周x2  y2 9,则曲线积分 (2xy2y)dx(x2 4x)dy=_____________. L (5)已知三维向量空间的基底为 α (1,1,0),α (1,0,1),α (0,1,1), 则向量 β(2,0,0) 在此基底下的坐标是 1 2 3 _____________. 二、(本题满分14分) 2 （1）（6分）计算定积分 (x x)e|x|dx. 2 1 x t2 （2）（8分）求正的常数a与b,使等式lim  dt 1成立. x0bxsinx 0 at2 三、(本题满分7分) 2z 设函数z  f  u,x,y  ,u  xey，其中 f 有二阶连续偏导数，求 . xy 四、(本题满分8分) 求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0. -26-五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母 填在题后的括号内) f(x) f(a) (1)设lim 1,则在xa处（ ） xa (xa)2 (A) f(x)的导数存在,且 f(a)0 (B) f(x)取得极大值 (C) f(x)取得极小值 (D) f(x)的导数不存在 s (2)设 f(x)为已知连续函数,I tt f(tx)dx,其中t 0,s0,则I 的值（ ） 0 (A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t  kn (3)设常数k 0,则级数(1)n （ ） n2 n1 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 1 (A)a (B) (C)an1 (D)an a 六、（本题满分10分）  1 求幂级数 xn1的收敛域，并求其和函数. n2n n1 七、（本题满分10分） 求曲面积分 I  x(8y1)dydz2(1 y2)dzdx4yzdxdy,  z y1 1 y3  其中是由曲线 f(x) 绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y轴正向的夹角恒大于 .  x0 2 -27-八、（本题满分10分） 设函数 f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且 f(x)1,证明在 (0,1)内有且仅有一个x,使得 f(x) x. 九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组 x x x x 0 1 2 3 4 x 2x 2x 1 2 3 4 x (a3)x 2x b 2 3 4 3x 2x x ax 1 1 2 3 4 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、（本题满分6分） 设，为n阶方阵A的特征值， ，而x ,x 分别为对应的特征向量，试证明：x x 不是A的特征向量。 1 2 1 2 1 2 1 2 -28-