文档内容
第六章 圆
第十九讲 圆的基本性质
命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算
1. (2022铜仁)如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为( )
第1题图
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2. (2022滨州)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为( )
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第2题图
A. 32° B. 42° C. 52° D. 62°
3. (2022陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝( )
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第3题图
A. 44° B. 45° C. 54° D. 67°
4. (2022山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )
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1 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第4题图
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
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MERGEFORMATINET 源自北师九下P84第2题
5. (2022包头)如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧 的中点．连接 BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE
的度数为( )
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第5题图
A. 22° B. 32° C. 34° D. 44°
6. (2022泰安)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )
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第6题图
A. 2 B. 3 C. 2 D.
7. (2021武汉)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将 沿BC翻折交AB于点D，再将 沿AB翻折
交BC于点E.若 ＝ ，设∠ABC＝α，则α所在的范围是( )
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2 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第7题图
A. 21.9°＜α＜22.3° B. 22.3°＜α＜22.7°
C. 22.7°＜α＜23.1° D. 23.1°＜α＜23.5°
8. (2022常州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是________．
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第8题图
9. (2022凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos
∠ACB的值是________．
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第9题图
10. (2022济宁)如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan ∠CBD＝，则AD的长是
________．
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3 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第10题图
命题点 2 垂径定理及其推论[2022 版课标探索并证明垂径定理调整为要求内
容]
类型一 垂径定理及其推论有关的计算
11. (2022云南)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 E．若AB＝26，CD＝24，则
∠OCE的余弦值为( )
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第11题图
A. B. C. D.
12. (2022南充)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为( )
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第12题图
A. 70° B. 65° C. 50° D. 45°
4 中考原创好题用13. (2022安徽)已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A. B. 4 C. D. 5
14. (2022邵阳)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是( )
A. B. C. D.
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第14题图
15. (2022泸州)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E. 若AC＝4，DE
＝4，则BC的长是( )
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第15题图
A. 1 B. C. 2 D. 4
16. (2022湖州)如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D.若
∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是________．
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5 中考原创好题用第16题图
类型二 垂径定理的实际应用
17. (新趋势)·真实问题情境 (2022鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了
一个如图①所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的A、
B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是
铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁
球的直径为( )
A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 24 cm
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第17题图
18. (2022青海省卷)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦
AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O的半径长为________m.
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第18题图
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19. (新趋势)·跨学科背景 (2022遵义)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬
6 中考原创好题用线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
(参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为________千米．
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第19题图
命题点3 圆内接四边形
20. (2021吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接
CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )
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第20题图
A. 30° B. 45° C. 50° D. 65°
21. (2022自贡)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( )
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7 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第21题图
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
22. (2021泰安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的
长为( )
A. 2－2 B. 3－
C. 4－ D. 2
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第22题图
23. (2022雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为
________．
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第23题图
命题点4 圆的基本性质综合题
8 中考原创好题用INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 更多试题见P81题型四类型一
24. (2022湘潭)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
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第24题图
25. (2021上海)已知：在⊙O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，连接MN，
OG.
(1)求证：OG⊥MN；
(2)连接AC、AM、CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．
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第25题图
9 中考原创好题用26. (2022武汉)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长
线交⊙O于点D，连接BD.
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
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第26题图
27. (2022成都)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在 上取一点E，
使 ＝ ，连接DE，作射线CE交AB边于点F.
(1)求证：∠A＝∠ACF；
(2)若AC＝8，cos ∠ACF＝，求BF及DE的长．
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第27题图
1 0 中考原创好题用第二十讲 与圆有关的位置关系
命题点1 点、直线与圆的位置关系
1. (2021嘉兴)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O
的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
2. (2021上海)如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙B的半径为1，⊙A与⊙B内切，则点C、D与⊙A的
位置关系是( )
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第2题图
A. 点C在⊙A外，点D在⊙A内
B. 点C在⊙A外，点D在⊙A外
C. 点C在⊙A上，点D在⊙A内
D. 点C在⊙A内，点D在⊙A外
命题点2 切线的性质
类型一 切线性质的计算
3. (2022眉山)如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的
鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为( )
A. 28° B. 50° C. 56° D. 62°
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1 1 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第3题图
4. (2022哈尔滨)如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P
＝40°，则∠ADB的度数为( )
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第4题图
A. 65° B. 60° C. 50° D. 25°
5. (2022重庆B卷)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝
PC＝3，则PB的长为( )
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第5题图
A. B.
C. 2 D. 3
6. (2022无锡)如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列
结论错误的是( )
A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE＝OD D. ∠BOD＝50°
1 2 中考原创好题用INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿250.tif" \*
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第6题图
7. (2021贺州)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝5, 点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切
于点D，交BC于点E，则CE的长为( )
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第7题图
A. B. C. D. 1
8. (2022黔东南州)如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D，若CD＝12，
PA＝8，则sin ∠ADB的值为( )
A. B. C. D.
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第8题图
9. (2022泰安)如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，
则∠ADO＝________．
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1 3 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第9题图
10. (新趋势)·数学文化 (2022株洲) 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆
池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其
中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，
⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈．
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第10题图
11. (2022盐城)如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝
________°.
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第11题图
12. (2022嘉兴)如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.
已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 的度数为________；折痕CD的长为________．
1 4 中考原创好题用INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿256.tif" \*
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第12题图
类型二 切线性质的相关证明与计算
13. (2022安徽)已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.
(1)如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求 AD的长；
(2)如图②，若 DC与⊙O相切，E为 OA上一点，且 ∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB.
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第13题图
14. (2022黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交
于点G.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若DG＝BC＝16，求AB的长．
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1 5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第14题图
15. (2022陕西)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接
BD并延长，交AM于点P.
(1)求证：∠CAB＝∠APB；
(2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
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第15题图
16. (2022泸州)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作
⊙O的切线交CO的延长线于点F.
(1)求证：FD∥AB；
(2)若AC＝2，BC＝，求FD的长．
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1 6 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第16题图
17. (新趋势)·真实问题情境 (2022河南)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运
动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁
环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推
杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，
此时点A距地面的距离AD最小，测得cos ∠BAD＝.已知铁环⊙O的半径为25 cm，推杆AB的长为75 cm，求
此时AD的长．
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第17题图
命题点3 与切线的判定及性质有关的计算
1 7 中考原创好题用18. (2022北京)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线
CE为⊙O的切线．
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第18题图
19. (2022甘肃省卷)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝
∠ABC.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
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第19题图
1 8 中考原创好题用20. (2022郴州)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足
为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(1)求证：直线PE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
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第20题图
21. (2022滨州)如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且
∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.
求证：(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2＝OM·PM.
第21题图
1 9 中考原创好题用22. (2022玉林)如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的
延长线于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，AC＝6，求tan ∠DAB的值．
第22题图
23. (2022抚顺本溪辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别
在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E.
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)若sin ∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．
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2 0 中考原创好题用第23题图
24. (新考法)·圆与正方形结合考查几何类比探究能力 (2022云南)如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直
径的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至点E，使BD2＝BC·BE.
(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关
线段长的比，可得＝.当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．
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第24题图
25. (2022雅安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O
与直线AO交于点E和点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan ∠OAC.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿269.tif" \*
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第25题图
26. (2022德阳)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD
2 1 中考原创好题用的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)如果AB＝10，CD＝6.
①求AE的长；
②求△AEF的面积．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿270.tif" \*
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第26题图
2 2 中考原创好题用第二十一讲 与圆有关的计算
命题点1 扇形的相关计算
类型一 弧长的计算
1. (2022甘肃省卷)如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧( )，点O是这段弧所在圆的
圆心，半径OA＝90 m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路( )的长度为( )
第1题图
A. 20π m B. 30π m C. 40π m D. 50π m
2. (2022黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB
于点D，则弧AD的长为( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿273.tif" \*
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第2题图
A. π B. π C. π D. 2π
3. (2022丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，
如图．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿272.tif" \*
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第3题图
2 3 中考原创好题用A. m B. m C. m D. (＋2) m
4. (2022攀枝花)如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE
＝65°，∠COD＝70°，则 与 的长度之和为________(结果保留π).
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿274.tif" \*
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第4题图
5. (新趋势)·跨学科知识 (2022衡阳)如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假
设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________cm.(结果保留π)
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿275.tif" \*
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第5题图
6. (2022宜昌)如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则点
B运动的路径 的长为________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿276.tif" \*
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第6题图
7. (2022福建)如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，
CF.
2 4 中考原创好题用(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长(结果保留π).
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿277.tif" \*
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第7题图
类型二 扇形面积的计算
8. (2022凉山州)家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角
∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为( )
A. π米2 B. π米2 C. π米2 D. π米2
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿278.TIF" \*
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第8题图
9. (2022台州)一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80 m，宽60 m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向
外渗透了3 m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )
A. (840＋6π)m2 B. (840＋9π)m2
C. 840 m2 D. 876 m2
10. (2022玉林)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的
粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是________．
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2 5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第10题图
11. (2022盐城)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边
CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为________.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿280.tif" \*
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第11题图
命题点2 与扇形有关的阴影部分面积计算
类型一 直接和差法
12. (2022兰州)如图①是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所
示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3 m，OB＝1.5 m，则阴影
部分的面积为( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿281A.tif" \*
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第12题图
A. 4.25 π m2 B. 3.25 π m2 C. 3 π m2 D. 2.25 π m2
13. (2022泰安)如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，
且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿281.tif" \*
2 6 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第13题图
A. 6π－9 B. 12π－9 C. 6π－ D. 12π－
14. (2022山西)如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 上的点C处，图中阴
影部分的面积为( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿282.tif" \*
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第14题图
A. 3π－3 B. 3π－ C. 2π－3 D. 6π－
15. (2022重庆A卷)如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于
点E，F.若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为________．(结果不取近似值)
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿284.tif" \*
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第15题图
类型二 构造和差法
16. (2022赤峰)如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在
AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为( )
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2 7 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第16题图
A. 2π B. 2 C. 2π－4 D. 2π－2
17. (2021资阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，AD＝ cm，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点
E，则图中阴影部分的面积为________cm2.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿286.tif" \*
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第17题图
18. (2022河南)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝
90°，OA＝2，则阴影部分的面积为__________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿287.tif" \*
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第18题图
19. (2022梧州)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形．分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径
画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则 ，AE，AB所围成的阴影部分面积为
________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿288.tif" \*
2 8 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第19题图
类型三 等积转化法
20. (2022遵义)如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重
合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为(
)
A. － B. － C. － D. －
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第20题图
21. (2021泰安)若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为
________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿290.tif" \*
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第21题图
22. (2022广元)如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为________.
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2 9 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第22题图
类型四 容斥原理法
23. (2021荆门)如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点
P，那么图中阴影部分的面积为________．
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第23题图
命题点3 圆切线与求阴影部分面积结合
24. (2022齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点
E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿293.tif" \*
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第24题图
3 0 中考原创好题用25. (2022益阳)如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连
接CA，CO，CB.
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在(2)的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
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第25题图
命题点4 圆锥、圆柱的相关计算
26. (2022无锡)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，
则该圆锥的侧面积为( )
A. 12π B. 15π C. 20π D. 24π
27. (2022赤峰)如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( )
A. 10 cm B. 20 cm C. 5 cm D. 24 cm
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3 1 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第27题图
28. (2022云南)某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30 cm，底面圆
的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是________．
29. (2021广西北部湾经济区)如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A
为圆心的圆上(阴影部分).且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥．则圆锥的底
面圆半径是________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿297.tif" \*
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第29题图
命题点5 圆与正多边形的相关计算
30. (2021贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( )
A. 144° B. 130° C. 129° D. 108°
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿298.tif" \*
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第30题图
31. (2022雅安)如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为( )
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3 2 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第31题图
A. 3 B. C. D. 3
32. (2021山西)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得 ，连接AC，AE，
则图中阴影部分的面积为( )
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第32题图
A. 2π B. 4π C. π D. π
33. (2021绥化)边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是________．
3 3 中考原创好题用第二十六讲 概 率
命题点1 事件的分类及概率的意义
1. (2022扬州)下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月
2. (2022宁夏)下列事件为确定事件的有( )
①打开电视正在播动画片 ②长，宽为m，n的矩形面积是mn
③掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 ④π是无理数
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. (2022贵阳)某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决
定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在
一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是( )
A. 小星抽到数字1的可能性最小
B. 小星抽到数字2的可能性最大
C. 小星抽到数字3的可能性最大
D. 小星抽到每个数的可能性相同
源自北师七下P148第1题
4. (2022广元)一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到
黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与b的关系是________．
命题点2 频率与概率
5. (2021宜昌)社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余
均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以
推断盒子里个数比较多的是________(填“黑球”或“白球”).
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3 4 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第5题图
6. (2022桂林)当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊(Pearson)曾在实验中掷
均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是
________．
命题点3 概率的计算
类型一 一步概率的计算
7. (2022广东省卷)书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为( )
A. B. C. D.
8. (新趋势)·跨学科知识 (2022兰州)无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通
常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸
馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是(
)
A. B. C. D.
9. (2022贵阳)端午节到了，小红煮好了10个粽子，其中有6个红枣粽子，4个绿豆粽子．小红想从煮好的粽子
中随机捞一个，若每个粽子形状完全相同，被捞到的机会相等，则她捞到红枣粽子的概率是________．
10. (2022株洲)某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖，
若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是________.(用最简分数表示)
11. (2022河北)如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，若琪琪第一个抽签，她从1～8号中随机抽取
一签，则抽到6号赛道的概率是________.
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3 5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第11题图
类型二 几何概型
12. (2021安徽)如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，
从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿412A.tif" \*
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第12题图
A. B. C. D.
13. (2021兰州)如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全
部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为( )
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿413.tif" \*
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第13题图
14. (2022成都)如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则
这个点取在阴影部分的概率是________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿414.tif" \*
3 6 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第14题图
类型三 两步概率的计算
15. (2022宜昌)某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项
目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一
项目的概率是( )
A. B. C. D.
16. (新趋势)·跨学科知识 (2022烟台)如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿415.tif" \*
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第16题图
A. B. C. D. 1
17. (新趋势)·数学文化 (2022山西)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮
票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一
张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿416.tif" \*
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第17题图
3 7 中考原创好题用18. (2022武汉)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在
①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( )
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿417.tif" \*
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第18题图
A. B. C. D.
19. (2022重庆B卷)在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸
出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．两次摸出的球都是红球的概率为________．
INCLUDEPICTURE "D:\\1 课 件 \\0. 2023\\2023 版 中 考 真 题 分 类 卷 Word\\ 链 接 标 .TIF" \*
MERGEFORMATINET 源自人教九上P138第1题
20. (2022陕西)有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分
别为6 kg，6 kg，7 kg，7 kg，8 kg.现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6 kg的概率是________；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为 15
kg的概率．
21. (2022江西)某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共
青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是________事件；
A. 不可能 B. 必然 C. 随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概
率．
3 8 中考原创好题用22. (2022湘潭)5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛
活动．八年级(一)班由A、A、A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
1 2 3
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若A、A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号A、B、C的3张卡片(如图，除编号和内容外，其余完全相
1 2
同)，放在一个不透明的盒子里．先由A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A 随机摸取1张卡片记
1 2
下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率(请用
1 2
“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程).
第22题图
23. (2022遵义)如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不
同外，其它完全相同)，转盘甲上的数字分别是－6，－1，8，转盘乙上的数字分别是－4，5，7(规定：指针恰好停
留在分界线上，则重新转一次).
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图
法求满足a＋b<0的概率．
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿418.tif" \*
MERGEFORMATINET
第23题图
3 9 中考原创好题用24. (2022云南)某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的
乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球(除标号外，其余都相同)，甲
从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡
片(除标号外，其余都相同)，乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b.然后计算这两个数的和，即
a＋b.若a＋b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(a，b)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
类型四 三步概率的计算
25. (2022安徽)随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．
现对由三个小正方形组成的“ INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23
分类数学思睿419.tif" \* MERGEFORMATINET ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是
两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A. B. C. D.
命题点4 统计与概率结合
26. (2022毕节)某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，
每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分，竞赛得分用
x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x<90为网络安全意识强，x<80为网络安全意识一般).
收集整理的数据制成如下两幅统计图：
4 0 中考原创好题用INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿420.tif" \*
MERGEFORMATINET
第26题图
分析数据：
平均数 中位数 众数
甲组 a 80 80
乙组 83 b c
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________，c＝________；
(2)已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一
人来自乙组的概率．
27. (2022济宁)6月5日是世界环境日，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩
进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如下图所示).
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x＜80.5 78 0.05
80.5≤x＜85.5 83 a
85.5≤x＜90.5 88 0.375
90.5≤x＜95.5 93 0.275
95.5≤x＜100.5 98 0.05
4 1 中考原创好题用学生成绩频数分布直方图
INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23分类数学思睿421.tif" \*
MERGEFORMATINET
第27题图
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝________，a＝________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取
的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
28. (2022泰安)2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空
间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞
赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x<80，B组：
80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解
答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数直方图中m＝________，所抽取学生成绩的中位数
4 2 中考原创好题用落在________组；
(2)补全学生成绩频数直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学(其中有两名男生，三名女生)中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请
利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
第28题图
参考答案
第六章 圆
第十九讲 圆的基本性质
1. B
2. A 【解析】∵∠APD是△ACP的外角，∴∠A＋∠C＝∠APD.∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝∠APD－
∠A＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.
3. A 【解析】如解图，连接OB，∵△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝44°.
第3题解图
4. C 【解析】如解图，连接CD，即∠ADC＝∠B＝20°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°
－∠ACD－∠ADC＝180°－90°－20°＝70°.
4 3 中考原创好题用第4题解图
5. C 【解析】如解图，连接OE，∵∠ABC＝22°，∴∠AOC＝44°，∴∠BOC＝136°，∵E为劣弧 的中点，
∴∠COE＝∠BOC＝68°，∴∠CDE＝34°.
第5题解图
6. D 【解析】如解图，连接BC，∵∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD.∵AD＝2，∴BC＝AD＝2.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.∵AC＝4，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为.
第6题解图
7. B 【解析】如解图，连接AC，CD，DE.∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有 ， ， ，∴AC＝CD
＝DE，∵ ＝ ，∴BE＝DE，∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠EDB＝∠ABC＝α，∴∠DCE＝∠CED＝2∠ABC
＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠ABC＋∠DCE＝3α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝
90°，即3α＋α＝90°，解得α＝22.5°，∴22.3°＜α＜22.7°.
第7题解图
8. 1 【解析】如解图，连接OA，OC，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∴△AOC为等腰直角三角形，∵AC＝，
∴OA＝OC＝1.
4 4 中考原创好题用第8题解图
9. 【解析】如解图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，
BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos ∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos ∠ACB的值是.
第9题解图
10. 2a 【解析】如解图，连接AB，过点C作CE⊥AD于点E，∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴AB是⊙O的直径，
∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CAD＋∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周相等可得，∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝
∠CAD，∴∠CBD＋∠BCD＝45°，∴∠CDB＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝135°，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠CDE＝∠CDB－∠ADB＝45°.又∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴△CDE是等腰直角三角
形，∵CD＝a，∴CE＝DE＝CD＝a.∵tan ∠CBD＝，∴tan ∠CAD＝＝，∴＝，解得AE＝a，∴AD＝AE＋DE＝
2a.
第10题解图
11. B 【解析】由垂径定理得，CE＝DE＝12，∵AB＝26，∴OC＝13，在Rt△OCE中，cos ∠OCE＝＝.
12. C 【解析】如解图，连接BD，∵弦CD垂直于直径AB，∴ ＝ ，∴∠ABC＝∠ABD，∵OF⊥BC，
∴∠OFB＝90°，∴∠ABC＝∠ABD＝90°－∠BOF＝
90°－65°＝25°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×25°＝50°.
4 5 中考原创好题用第12题解图
13. D 【解析】如解图①，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，OP，则AM＝＝5，∵OA＝7，∴根据勾股定
理得，OM＝＝2，∵PM＝AM－PA＝1，∴OP＝＝5.
第13题解图①
第13题解图②
【一题多解】如解图②，过点P作⊙O的直径CD，连接BC，AD.∵∠C＝∠A，∠B＝∠D，∴△PBC∽△PDA，
∴＝，设OP＝a，∵OC＝OD＝7，则＝，解得a＝5(负值已舍去)，∴OP＝5.
14. C 【解析】如解图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝3，∴AD＝
BD＝AB＝，∠ABO＝30°，∴BO＝＝＝，即⊙O的半径是.
第14题解图
15. C 【解析】∵OD⊥AC，∴AD＝AC＝2，设OD＝x，则OE＝OA＝4－x，在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
∴(4－x)2＝x2＋(2)2，∴x＝1，∴OD＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC.∵O为AB的中点，
∴BC＝2OD＝2.
16. 30° 【解析】∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB.∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴∠APD＝
∠AOD＝30°.
17. C 【解析】如解图，连接OE交AB于点F，连接OA，设OA＝R，∵AC＝BD＝4 cm，∴OF＝R－4，又∵AB
＝CD＝16 cm，∴AF＝8 cm，在Rt△OAF中，R2＝(R－4)2＋82，解得R＝10 cm，即直径为20 cm.
4 6 中考原创好题用第17题解图
18. 【解析】如解图，连接OA，设此圆的半径为r m，则OA＝OD＝r m，∵AB＝4 m，CD＝6 m，CD⊥AB，CD
经过圆心，∴AC＝AB＝×4＝2(m)，OC＝CD－OD＝(6－r)m，在Rt△AOC中，OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(6－r)2
＋22，解得r＝，即⊙O的半径长为 m.
第18题解图
19. 33792 【解析】如解图，过点O作OD⊥BC于点D，根据题意得OB＝OA＝6400，∵BC∥OA，∴∠B＝
∠BOA＝28°，∵在Rt△BOD中，∠B＝28°，∴BD＝OB·cos 28°，∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知BD＝DC＝
BC，∴以BC为直径的圆的周长为2π×BD≈2×3×6400×0.88＝33792.
第19题解图
20. D 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝120°，∴∠CDA＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，∵∠APC
＝∠CDA＋∠DCP，∴∠APC>∠CDA，∴∠APC>60°，∴∠APC的度数可能为65°.
21. C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°－20°＝70°，∵四边形ABCD
内接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°，∴∠BCD＝110°.
22. C 【解析】如解图，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，
∠CBE＝90°，∠ECB＝60°，∴∠E＝30°，设CE＝2x，则BE＝x.∵AB＝2，CD＝1，∴cos E＝＝，即＝，解得x＝
2－2，∴AD＝＝＝4－.
4 7 中考原创好题用第22题解图
23. 144° 【解析】∵∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，∠DCE＝72°，∴∠A＝∠DCE＝72°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.
24. (1)证明：∵∠C和∠B都是 所对的圆周角，
∴∠C＝∠B，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
(2)解：∵∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝6，
∴OA＝3，即⊙O的半径为3.
【一题多解】如解图，连接OD，
∵∠C＝30°，
∴∠AOD＝2∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝AD＝3，即⊙O的半径为3.
第24题解图
25. 证明：(1)如解图，连接OM，ON，
∵在⊙O中，AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，
4 8 中考原创好题用∴OM＝ON，OM⊥BC，ON⊥AD，
∵OG＝OG，
∴Rt△MOG≌Rt△NOG，
∴GM＝GN，
∴点O和点G都在线段MN的垂直平分线上，
∴OG⊥MN；
(2)∵AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，
∴AN＝CM，
∵GM＝GN，
∴AG＝CG，∠GMN＝∠GNM，
∵CN∥OG，OG⊥MN，
∴CN⊥MN，
∵∠GMN＋∠MCN＝90°，∠GNM＋∠CNG＝90°，
∴∠MCN＝∠CNG，
∴GN＝CG，
∴GM＝GN＝CG＝AG，
∴四边形ACNM为矩形．
第25题解图
26. 解：(1)△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE.
∴BD＝ED.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
4 9 中考原创好题用(2)如解图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，
∴BD＝CD.
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2.
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5.
设OF＝t，则DF＝5－t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝(2)2－(5－t)2，
解得t＝3.
∴BF＝4，
∴BC＝2BF＝8.
第26题解图
27. (1)证明：∵ ＝ ，∴∠ECB＝∠CBD.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACF＋∠FCB＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACF；
(2)解：如解图，连接CD.
∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，∴AF＝FC＝FB，
∵cos A＝cos ∠ACF＝＝，AC＝8，
∴AB＝10，BC＝6，
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，
∵S ＝AC·BC＝AB·CD，
△ABC
∴CD＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵BF＝AF＝5，∴DF＝BF－BD＝5－＝.
∵∠DEF＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠B＝180°，
5 0 中考原创好题用∴∠DEF＝∠B＝∠BCF，∴DE∥CB，
∴△DEF∽△BCF，∴＝，∴＝，
∴DE＝.
第27题解图
第二十讲 与圆有关的位置关系
1. D 2. C
3. C 【解析】∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝28°，∴∠PAB＝∠PBA＝
62°，∴∠APB＝180°－62°－62°＝56°.
4. A 【解析】∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝∠BOD＝50°.∴∠OBD＝∠ODB
＝65°.
5. D 【解析】如解图，连接OC，BC.∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝90°.∵AB是⊙O的直
径，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠ACO.∵AC＝PC＝3，∴∠CPB＝∠CAO，
∴△PCB≌△ACO(ASA)，∴PB＝AO，BC＝CO＝OB，∴∠BOC＝60°，∴OC＝＝3，∴AO＝3，∴PB＝AO＝3.
第5题解图
6. C 【解析】∵ED是⊙O的切线，∴OD⊥ED，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAD＝2∠EAD，∵∠DOB
＝2∠DAB，∴∠DOB＝∠BAE，∴AE∥OD，∴AE⊥DE，故选项A，B正确；如解图，过点D作DF⊥AB于点
F，∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，∴DE＝DF，∵DF＜OD，∴DE＜OD，故选项C错误；∵∠EAD＝25°，
∴∠BAD＝∠EAD＝25°，∴∠BOD＝50°，故选项D正确．
第6题解图
5 1 中考原创好题用7. B 【解析】如解图，连接OD，过点O作OF⊥BE于点F，∴BF＝EF，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，
∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形ODCF是矩形，∴OD＝OB＝FC＝2，OF∥AC，设CE＝x，则BF＝
EF＝2－x，又∵OF∥AC，∴＝，即＝，∴＝，解得x＝，即CE＝.
第7题解图
8. A 【解析】如解图，连接OA，∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD＝∠BPD，在△APD和△BPD中，，∴△APD≌△BPD(SAS)，∴∠ADP＝∠BDP，∵OA＝OD＝6，
∴∠OAD＝∠ADP＝∠BDP，∴∠AOP＝∠ADP＋∠OAD＝∠ADP＋∠BDP＝∠ADB，在Rt△AOP中，OP＝
＝10，∴sin ∠ADB＝sin ∠AOP＝＝＝.
第8题解图
9. 64° 【解析】如解图，连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°.∵∠B＝90°，∴AB∥OC，∴∠ADO＝
∠DOC.∵∠A＝32°， ＝ ，∴∠DOC＝2∠A＝64°，∴∠ADO＝64°.
第9题解图
10. 8－2 【解析】如解图，过点O作OD⊥AC于点D，由题意得，∠OAD＝45°，∵OD＝2，∴AO＝2，∴BN＝
AB－AO－ON＝10－2－2＝8－2.
第10题解图
5 2 中考原创好题用11. 35 【解析】如解图，连接OA，OB，∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAO＝90°，∵∠BAD＝35°，
∴∠BAO＝∠DAO－∠BAD＝55°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝55°，∴∠AOB＝180°－2×55°＝70°，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°.
第11题解图
12. 60°，4 【解析】如解图，设 所在圆的圆心为O′，连接OO′与CD交于点M，连接OC，O′E，O′F，则OO′
平分∠AOB，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，∠AOO′＝∠BOO′＝60°，∴ 的度数为60°，∴∠EO′O＝
∠FO′O＝30°.∵ 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°.∵O′F＝OA＝
6，∴OO′＝＝4，∴MO′＝MO＝2，在Rt△OMC中，MC＝＝＝2，∴CD＝2MC＝4.
第12题解图
13. (1)解：∵OA＝1，
∴OC＝1，
又∵∠D＝30°，OC⊥OD，
∴OD＝＝，
∴AD＝OD－OA＝－1；
(2)证明：∵DC与⊙O相切，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＋∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
又∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴CE⊥AB.
14. (1)证明：∵AD是⊙O的直径，EF为⊙O的切线，
5 3 中考原创好题用∴EF⊥AD.
∵EF∥BC，
∴AD⊥BC，
∴ ＝ ，
∴AB＝AC；
(2)解：如解图，连接BO，
第14题解图
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OG＝16－r，BG＝BC＝8.
由勾股定理，得OB2＝OG2＋BG2，
即r2＝(16－r)2＋82，解得r＝10.
∴AD＝20，AG＝20－16＝4.
由勾股定理，得AB＝＝＝4.
15. (1)证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CEA＝90°，
∴AM∥CD.
∴∠CDB＝∠APB.
∵ ＝ ，
∴∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB；
(2)解：如解图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠CDB＋∠ADC＝90°.
∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C.
∴AD＝AC＝8.
∵⊙O的半径为5，
5 4 中考原创好题用∴AB＝10，
∴BD＝6.
∵∠ADB＝∠BAP＝90°，∠ABD＝∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.
∴＝.
∴PB＝＝＝.
∴PD＝PB－BD＝－6＝.
第15题解图
16. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.
∵FD为⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∴∠AOD＋∠ODF＝180°，
∴FD∥AB；
(2)解：如解图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝5，∴OC＝OA＝OB＝.
∵S ＝AC·BC＝AB·CM，
△ABC
∴CM＝2，
在Rt△OCM中，OM＝＝.
由(1)可知AB∥FD，
∴∠COM＝∠F，
5 5 中考原创好题用∵OD⊥FD，CM⊥OB，
∴∠OMC＝∠FDO＝90°，
∴△COM∽△OFD，
∴＝，
∴＝，
∴FD＝.
第16题解图
17. (1)证明：如解图，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.
∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.
∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°.
∴∠OBF＋∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°；
第17题解图
(2)解：如解图，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cos ∠BAD＝，
∴AE＝AB·cos ∠BAD＝45.
由(1)知，∠OBF＝∠BAD，
∴cos ∠OBF＝.
在Rt△OBF中，
5 6 中考原创好题用∵OB＝25，∴BF＝OB·cos ∠OBF＝15，∴OF＝20.
∵OC＝25，∴CF＝5.
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形．∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE＋ED＝50 cm.
18. 证明：(1)如解图①，连接OC，
∵CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠COB＝∠BOD.
又∵∠COB＝2∠A，
∴∠BOD＝2∠A；
第18题解图
(2)如解图②，设AB与CD交于点G，连接OC，
∵OA＝OC，AF＝FC，
∴OF⊥AC，
∴∠ACG＋∠FDC＝90°.
又∵∠ACG＋∠A＝90°，
∴∠FDC＝∠A.
∵∠A＝∠CDE，
∴∠FDC＝∠CDE.
∵OC＝OD，
∴∠FDC＝∠OCD＝∠CDE.
∵∠E＝90°，
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠DCE＋∠OCD＝90°，即∠OCE＝90°.
∵OC为⊙O的半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
5 7 中考原创好题用19. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵ ＝ ，∴∠A＝∠D.
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D＋∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tan A＝tan D，即＝＝，
∴CD＝2CE.
在Rt△CDE中，CD2＋CE2＝DE2，DE＝4，
∴(2CE)2＋CE2＝(4)2，解得CE＝4(负值已舍去)，
即线段CE的长为4.
20. (1)证明：如解图，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴D为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线；
5 8 中考原创好题用第20题解图
(2)解：∵∠P＝30°，DE⊥AC，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AB＝12，
∴CD＝BC＝6，
∴在Rt△CED中，CE＝CD·cos 60°＝6×＝3.
21. 证明：(1)如解图，连接OB，
第21题解图
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3.
又∵AC为⊙O的直径，
∴∠2＋∠OBC＝90°，
∴∠3＋∠OBC＝90°，即OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
(2)如解图，由(1)知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°.
∴∠4＋∠5＝90°.
∵∠OAP＝90°，
∴∠1＋∠5＝90°，
5 9 中考原创好题用∴∠1＝∠4.
∵∠AMO＝∠AMP，
∴△OAM∽△APM，
∴＝，
∴AM2＝OM·PM.
22. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
第22题解图
(2)解：如解图，连接CB交OD于点H，连接BD，
∵∠EAD＝∠DAO，
∴ ＝ ，
∴OD⊥CB，CH＝BH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴CB＝＝8，OB＝5，
∴HB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝＝3，
∴DH＝2，
6 0 中考原创好题用∴DB＝＝2，
∴在Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴tan ∠DAB＝＝.
23. (1)证明：如解图，连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，EF∥AB，
∴∠FOA＝∠EDA，∠FOE＝∠OED，
∵OD＝OE，
∴∠EDA＝∠OED，
∴∠FOA＝∠FOE，
∵OA＝OE，∠FOA＝∠FOE，OF＝OF，
∴△FOA≌△FOE，
∴∠A＝∠FEO，
∵EF∥AB，
∴∠FEO＝∠EOB，
∴∠A＝∠EOB，
∴AC∥OE，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
第23题解图
(2)解：∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠BAC，
∵sin ∠BAC＝，
∴sin ∠CFE＝，
在Rt△CFE中，sin ∠CFE＝，
∴EF＝＝＝10，
由(1)可知AF∥OE，
6 1 中考原创好题用∴四边形AOEF是平行四边形，
∵OA＝OE，
∴四边形AOEF是菱形，
∴AO＝AF＝10.
如解图，过点F作FP⊥AB，垂足为P，则FP＝AF·sin ∠BAC＝6，
∴AP＝＝8，
∴OP＝AO－AP＝2，
∴OF＝＝2.
24. 解：(1)直线DE为⊙O的切线，
证明：∵BD2＝BC·BE，∴＝.
∵∠CBD＝∠DBE，∴△BCD∽△BDE，
∴∠BCD＝∠BDE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE，
又∵BD为⊙O的直径，
∴直线DE为⊙O的切线；
(2)当P既不与C重合也不与B重合时，＝成立，
证明：如解图，将△DCP绕点D顺时针方向旋转90°得到△DAQ，则∠PDQ＝90°.
第24题解图
∵四边形APCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCP＋∠DAP＝180°.
∴∠DAQ＋∠DAP＝180°，即Q、A、P三点共线，
由旋转知△DCP≌△DAQ，
∴∠DCP＝∠DAQ，DP＝DQ，PC＝QA.
∴△DPQ为等腰直角三角形．
6 2 中考原创好题用∴＝.
∵PQ＝QA＋PA＝PC＋PA.
∴＝＝.
25. (1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC，
∴OF为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
第25题解图
(2)证明：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE＋∠ECO＝90°.
∵ED是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
又∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC.
又∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
(3)解：∵＝，△ACE∽△ADC，
∴＝＝，即AC2＝AE·AD.
设AE＝a，则AC＝2a，AD＝a＋12，
∴(2a)2＝a·(a＋12)，
解得a＝0(舍去)，a＝4，
1 2
∴AC＝8，
∴在Rt△OAC中，tan ∠OAC＝＝＝.
26. (1)证明：如解图，连接OC，则∠BOC＝2∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ ＝ ，
6 3 中考原创好题用∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BOC＝2∠BAD，
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠BOC＝∠ECD，
∵∠OHC＝90°，
∴∠BOC＋∠OCH＝90°，
∴∠ECD＋∠OCH＝90°，即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝6，
∴CH＝DH＝CD＝3，∠OHC＝90°，
∴OH＝＝＝4，
∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∠HOC＝∠COE，
∴△OHC∽△OCE，
∴＝，
∴＝，解得OE＝，
∴AE＝OA＋OE＝5＋＝；
②如解图，过点F作FM⊥AE交AE的延长线于点M，设FM＝x，
∵AB⊥CD，
∴CD∥FM，
∴∠HCE＝∠EFM，
在Rt△CHE中，CH＝3，HE＝OE－OH＝－4＝，
∴tan ∠HCE＝＝，
∴tan ∠EFM＝＝，解得EM＝x，
在Rt△AHD中，DH＝3，AH＝OA＋OH＝9，
∴tan ∠DAH＝＝，
∴＝，解得AM＝3x，
∵AM＝AE＋EM，
∴3x＝＋x，解得x＝5，即FM＝5，
∴S ＝AE·FM＝××5＝.
△AEF
6 4 中考原创好题用第26题解图
第二十一讲 与圆有关的计算
1. C 【解析】根据弧长公式l＝＝＝40π.
2. B 【解析】如解图，连接CD，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝8，∴∠CAB＝60°，AC＝4.∵AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°.∴弧AD的长为＝π.
第2题解图
3. C 【解析】∵圆弧所在圆外接于矩形，且矩形四个角均为直角，∴直角所对的弦为直径，∴如解图，连接矩
形对角线的交点O即为圆心，∵AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∴∠ADB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OA＝OD＝
OB＝OC＝2，∴∠AOB＝∠DOC＝60°，∴圆弧长为＝.
第3题解图
4. 【解析】∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，∵∠COD＝70°，∴∠BOC＋∠DOE＝∠BOE－
∠COD＝130°－70°＝60°，∴ 与 的长度之和为＝.
5. 4π 【解析】由题意可知，重物上升的高度即为120°的圆心角所对应的弧长，∴重物上升的高度为＝4π.
6. π 【解析】由题可得旋转角∠BAB′＝90°，AB＝AB′，∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴路径
的长为＝π.
7. (1)证明：∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
又∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
6 5 中考原创好题用∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF；
(2)解：如解图，连接AO，CO.
由(1)得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°.
∴ 的长为＝π.
第7题解图
8. C 【解析】如解图，连接BC，OA.∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径．∵BC＝1米，∴OA＝OB＝米，由题
意可知AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝米，∴S ＝＝π米2.
扇形
第8题解图
9. B 【解析】如解图，该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2＋60×3×2＋32π＝(840＋9π)m2.
第9题解图
10. 1 【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB＝AD＝1， 的长为2，∴S ＝lr＝×2×1＝1.
扇形DAB
11. 【解析】如解图，过点B′作B′H⊥AB于点H，∵B′H＝BC＝1，AB′＝AB＝2，∴∠B′AH＝30°，∴线段AB所
扫过的面积为＝.
6 6 中考原创好题用第11题解图
12. D 【解析】S ＝S －S ＝－＝×π×(9－2.25)＝2.25π(m2).
阴影 扇形AOD 扇形BOC
13. B 【解析】如解图，过点E作EG⊥CD于点G，∵∠A＝60°，AD⊥DE，∴∠AED＝30°.∵AB∥CD，
∴∠EDF＝∠AED＝30°.又∵DE＝EF，∴∠DFE＝∠EDF＝30°，∴∠DEF＝180°－∠DFE－∠EDF＝120°.在
Rt△DEG中，DE＝6，∠EDF＝30°，∴EG＝DE·sin ∠EDF＝3，DG＝DE·cos ∠EDF＝3，∴DF＝2DG＝6，∴S
＝S －S ＝－×6×3＝12π－9.
阴影 扇形DEF △DEF
第13题解图
14. B 【解析】如解图，连接OC，∵扇形AOB沿着AB折叠，点O落在 上的点C处，∴四边形OACB是菱
形．又∵OA＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°.∵S ＝2S ，∴S
菱形OACB △AOC 阴
＝S －S ＝－2××32＝3π－.
影 扇形AOB 菱形OACB
第14题解图
15. 2－ 【解析】如解图，连接BD交AC于点M.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠AMD＝90°，
∠DAM＝∠BAD＝30°，AM＝AC，DM＝BD，∴在Rt△ADM中，DM＝AD＝1，AM＝AD＝，∴AC＝2AM＝2，
BD＝2DM＝2，∴S ＝AC·BD＝×2×2＝2，S ＝S ＝＝，∴S ＝S －S －S
菱形ABCD 扇形DAE 扇形BCF 阴影 菱形ABCD 扇形DAE 扇形BCF
＝2－－＝2－.
第15题解图
16. C 【解析】如解图，连接OC，OE，过点O作ON⊥CE于点N，∵AC＝AD且∠A＝30°，∴∠ADC＝∠ACD
＝75°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝45°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC
6 7 中考原创好题用＝45°，∴∠EOC＝90°，∵CE＝4，∴ON＝EN＝CN＝2，OE＝OC＝2，∴S ＝S －S ＝－×4×2＝2π
阴影 扇形COE △OEC
－4.
第16题解图
17. － 【解析】如解图，连接BE，由题意得BE＝AB＝2 cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，
BC＝AD＝ cm，∴cos∠EBC＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝60°，CE＝1 cm，∴S ＝S －S －
阴影 矩形ABCD 扇形ABE
S ＝2×－－×1×＝
△ECB
(－)cm2.
第17题解图
18. ＋ 【解析】如解图，设O′A′与 交于点C，连接OC，∵点O′是OB的中点，∴OO′＝OB＝OA＝1，由平
移可得∠CO′O＝90°，∴cos ∠COO′＝＝，∴∠COO′＝60°，∴CO′＝OO′＝，∴S ＝S ＋S －S
阴影 扇形A′O′B′ △COO′ 扇形
＝＋××1－＝＋.
COB
第18题解图
19. － 【解析】如解图，连接OE，OB，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，由尺规作图
知MN垂直平分OA，∴AE＝OE，∵OA＝OE，∴△OAE是等边三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∠AOE＝60°，设
MN与OA交于点G，则EG＝OE·sin ∠AOE＝1×sin 60°＝，∴S ＝S －S －S ＝S －
阴影 扇形AOB △OAB 弓形AE 扇形AOB
S －(S －S )＝－×1×1－(－×1×)＝－－＋＝－.
△OAB 扇形AOE △OAE
6 8 中考原创好题用第19题解图
20. B 【解析】如解图，以点O为圆心，以OD为半径作 ，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴OB＝OD
＝OC＝，∠DOC＝90°，∵∠EOB＝∠FOD，∴S ＝S ，易知△BOE≌△DOF，∴S ＝S －
扇形BOM 扇形DON 阴影 扇形COD
S ＝－×1×1＝－.
△COD
第20题解图
【一题多解】∵在正方形ABCD中，AB＝1，∴⊙O的半径为OB＝AB＝，∵EF过点O，∴由中心对称可得四边
形EBCF的面积等于正方形面积的一半，又∵S ＝S ，∴S ＝S －S －(S －S )
△OBC 正方形ABCD 阴影 半圆 正方形ABCD 扇形BOC △OBC
＝π×()2－×1×1－＋×1×1＝－－＋＝－.
21. 4 【解析】如解图，连接CD，则阴影部分面积为△ABC面积的一半，即×4×4×＝4.
第21题解图
22. 【解析】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，连接AO，AE，根据垂径定理得AD＝BD
＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，∴OD＝DE＝OA，∴∠OAD＝30°，∴∠OAE＝60°，∵OA
＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠E＝60°，在Rt△AOD中，AO＝＝＝2，∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDO＝
90°，DE＝OD，∴△ADE≌BDO(SAS)，∴S ＝S ＝＝.
阴影 扇形AEO
第22题解图
6 9 中考原创好题用【一题多解】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，连接AO，AE，∴AD＝BD＝，∠ODB＝
90°，由折叠可知，OD＝DE＝OB，可得∠OBD＝30°，∠AOB＝120°，∴OB＝＝2，∴S ＝＝，S ＝
扇形AOB △AOB
×2×1＝，S －S ＝－.OE左边阴影部分面积为(S －S )＝－，OE右边阴影部分面积为S
扇形AOB △AOB 扇形AOB △AOB △AOB
＝，整体阴影部分面积为两部分阴影面积之和即为.
23. 2－ 【解析】如解图，连接PB，PC，过点P作PF⊥BC于点F，∵PB＝BC＝PC，∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB·cos 60°＝PB＝1，PF＝PB·sin 60°＝，∴S ＝[S －(S －
阴影 扇形ABP 扇形BPC
S )]×2＝[－(－×2×)]×2＝2－.
△BPC
第23题解图
24. (1)证明：如解图，连接BD，
第24题解图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°，
∴∠FCB＝∠ACB，
∵CF＝CD，BC＝BC，
∴△BCF≌△BCD(SAS).
∴∠F＝∠BDC＝90°，
又∵∠ABF＋∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
7 0 中考原创好题用(2)解：如解图，连接OE，与BD交于点M，
∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，AD＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴AB＝＝4，
∴OB＝2，
∴OE＝OB＝2，
∴∠OEB＝∠ABC.
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，
∴OE∥AC，
∴∠OMB＝∠ADB＝90°，
∴BM＝OM＝2，
∴S ＝S －S ＝－＝π－2.
阴影 扇形BOE △OBE
25. (1)证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CP为半圆O的切线，OC为半圆O的半径，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠BCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
(2)解：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠COB＝∠OAC＋∠OCA＝2∠ACO，
∵∠ABC＝2∠BCP，∠ACO＝∠BCP，
∴∠ABC＝∠COB，
又∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠COB＝∠OCB＝60°，
∴∠P＝90°－∠COB＝30°；
(3)解：由(2)知∠OAC＝30°，
∴BC＝AB，
又∵AB＝4，
∴BC＝2，
7 1 中考原创好题用∴AC＝＝＝2，
∴S ＝×2×2＝2，
△ABC
∴S ＝S －S ＝π×22－2＝2π－2.
阴影 半圆 △ABC
26. C 【解析】由题意得AB＝＝5，∴以AC所在直线为轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥，圆锥的底面圆半
径为4，母线长为5，∴圆锥的侧面积为π×4×5＝20π.
27. D
28. 120° 【解析】由题意可知＝2π×10，解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°.
29. 【解析】如解图，连接AE，AF，AC.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝AC＝2，∵BC，CD是切线，∴AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE＝AF＝AC·sin 60°＝，设圆锥的
底面圆半径为r，则2πr＝＝＝，解得r＝.
第29题解图
30. A 【解析】正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE，CD分别与⊙O相切于
A，C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°－90°－90°－108°－108°＝144°.
31. C 【解析】如解图，连接OC，OD，∵圆的周长为6π，∴2πr＝6π，∴r＝3，∴OC＝OD＝3.∵六边形
ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝60°.∵OG⊥CD，∴OG＝OC·sin ∠OCD＝3×sin 60°＝.
第31题解图
32. A 【解析】如解图，过点B作BG⊥AC于点G，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠F＝∠FAB＝∠ABC
＝120°，AB＝BC＝AF＝EF＝2，∴∠BAC＝∠EAF＝30°，∴∠EAC＝60°.∵BG⊥AC，∴AG＝CG＝AB·cos 30°
＝2×＝，∴AC＝2，∴S ＝＝2π.
阴影
7 2 中考原创好题用第32题解图
33. 【解析】如解图，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，∵正六边形的边长为4 cm，∴正六边形的外
接圆的半径4 cm，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，因而正六边形的外接圆的半径
与内切圆的半径之比为＝.
第33题解图
第二十六讲 概 率
1. D 2. B
3. D 【解析】一次从数字1，2，3中抽取一个数字，会出现三种可能的结果，且抽到每个数的可能性相同，概
率均为.
4. a＋b＝10 【解析】∵一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相
同，即其他颜色的球总数和黄球数量一致，∴a与b的关系是a＋b＝10.
5. 白球
6. 0.5 【解析】由题意可知，硬币出现“正面朝上”的频率约为0.5，∴P(硬币出现“正面朝上”)＝0.5.
7. B 8. B 9. 10. 11. 12. D 13. B
14. 【解析】设大正方形的边长为2a，则⊙O的直径为2a，根据题图可知，小正方形的对角线等于⊙O的直
径为2a，∴小正方形的边长为a，∴P(这个点取在阴影部分)＝＝＝.
15. A 16. B 17. C
18. C 【解析】画树状图如解图，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
∴P(A，B两位同学座位相邻)＝＝.
7 3 中考原创好题用第18题解图
19. 【解析】将红球记为A，A，白球记为B.由题意画树状图如解图．由树状图可知，共有9种等可能的情况，
1 2
其中两次都是红球的情况有4种，∴P(两次摸出的球都是红球)＝.
第19题解图
20. 解：(1)； 【解法提示】∵从这五个纸箱中随机选1个纸箱，有5种等可能的结果，其中所装西瓜的重量为
6 kg的结果有2种，∴P(所选纸箱里西瓜的重量为6 kg)＝.
(2)列表如下：
第二个 6 6 7 7 8
和
第一个
6 12 13 13 14
6 12 13 13 14
7 13 13 14 15
7 13 13 14 15
8 14 14 15 15
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15 kg的结果有4种．
∴P(两个纸箱里西瓜的重量之和为15 kg)＝＝.
21. 解：(1)C；
(2)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)
或画树状图如解图：
第21题解图
由列表(或树状图)可知，共有12种等可能的结果，其中被抽到的两名护士都是共产党员的结果有6种，
7 4 中考原创好题用∴P(被抽到的两名护士都是共产党员)＝＝.
22. 解：(1)三位同学讲故事顺序的所有可能结果有：AAA，AAA，AAA，AAA，AAA，AAA；
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
(2)画树状图如解图：
第22题解图
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中A、A 恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
1 2
∴P(A、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事)＝＝.
1 2
23. 解：(1)，；
【解法提示】转盘甲上共有3个数字，有一个正数8，∴P(转盘甲指针指向正数)＝；转盘乙上共有3个数字，有
两个正数5，7，∴P(转盘乙指针指向正数)＝.
(2)列表如下：
a －1 －6 8
和
b
－4 －5 －10 4
5 4 －1 13
7 6 1 15
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中满足a＋b<0的结果有3种，
∴P(满足a＋b<0)＝＝.
24. 解：(1)列表如下：
甲
1 2 3 4
乙
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
由列表可知，共有8种等可能的结果，分别为(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)；(2)我认为
这个游戏是公平的，理由如下：
由(1)可知，共有8种等可能的结果，其中(a＋b)为奇数，即演奏《月光下的凤尾竹》的结果有4种，分别是(2，
1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)；a＋b为偶数，即演奏《彩云之南》的结果有4种，分别是(1，1)，(3，1)，(2，2)，(4，2).
记演奏《月光下的凤尾竹》为事件A，演奏《彩云之南》为事件B.
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P(A)＝P(B)，
7 5 中考原创好题用∴这个游戏是公平的．
25. B 【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中是两个黑色小正方形和一个白
色小正方形的结果有3种，∴P(恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形)＝.
第25题解图
26. 解：(1)83，85，70；
(2)×500＝200(人).
答：估计该校八年级网络安全意识非常强的人数一共是200人；
(3)设甲组满分学生用A表示，乙组满分的学生用B，B 表示，
1 2
列表如下：
第二个 A B B
1 2
第一个
A (A，B) (A，B)
1 2
B (B，A) (B，B)
1 1 1 2
B (B，A) (B，B)
2 2 2 1
或画树状图如解图：
第26题解图
由列表(或树状图)可知，共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的
结果有4种．
∴P(抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组)＝＝.
27. 解：(1)40，0.25；
【解法提示】由频数分布直方图可知，成绩在 75.5≤x<80.5 的学生人数为 2 名，由表格可知成绩在
75.5≤x<80.5的频率为0.05，∴本次随机抽取的总人数n＝2÷0.05＝40(名)；成绩在80.5≤x<85.5的学生人数
为40－2－15－11－2＝10(名)，∴a＝＝0.25.
(2)补全频数分布直方图如解图①；
7 6 中考原创好题用学生成绩频数分布直方图
第27题解图①
(3)由(1)知n＝40，成绩在80.5≤x＜85.5的学生人数为10名．
∴这40名学生成绩的平均分为×(78×2＋83×10＋88×15＋93×11＋98×2)＝88.125(分)，
答：这40名学生成绩的平均分为88.125分；
(4)记成绩在75.5≤x<80.5的两名学生为A，B，成绩在95.5≤x<100.5的两名学生为C，D，画树状图如解图②，
第27题解图②
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选取的两名学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一
名的结果有8种，
∴P(选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名)＝＝.
28. 解：(1)400，60，D；
【解法提示】由频数直方图可知成绩在C组的学生有96人，所占比例为24%，∴本次调查的总人数为96÷24%
＝400(人)；成绩在B组的学生所占比例为15%，∴m＝400×15%＝60；∵本次抽取的学生总人数为400人，
中位数为这400名学生成绩按照从小到大的顺序排序，第200名、第201名学生的平均成绩，∴所抽取的学
生成绩的中位数在D组．
(2)补全学生成绩频数直方图如解图①；
7 7 中考原创好题用第28题解图①
【解法提示】由(1)可知m＝60，成绩在E组的学生人数为400－20－60－96－144＝80(人).
(3)×3000＝1680(人)，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
(4)画树状图如解图②，
第28题解图②
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴P(抽取同学中恰有一名男生和一名女生)＝＝.
7 8 中考原创好题用
