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2019年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题
1．(2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请
说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中， ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．
2．(2019白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：
△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由
∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：
∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点（不含端点B，C），N 是正方形
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ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=90°．
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解：延长AB至E，使EB=AB，连接EM、EC，
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如图所示：
则EB=BC，∠EBM=90°=∠ABM，
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∴△EBC是等腰直角三角形，
1 1∴∠BEC=∠BCE=45°，
1 1 1 1
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠MCN=90°+45°=135°，
1 1 1
∴∠BCE+∠MCN=180°，
1 1 1 1 1
∴E、C、N三点共线，
1 1
在△ABM和△EBM中， ，
1 1 1 1 1
∴△ABM≌△EBM（SAS），
1 1 1 1 1
∴AM=EM，∠1=∠2，
1 1 1
∵AM=MN，∴EM=MN，∴∠3=∠4，
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∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，
∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，
∴∠AMN=180°﹣90°=90°．
1 1 1
3．(2019江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线 ， ， ，下列结论正确的序号
是_________；
①抛物线 ， ， 都经过点 ；
②抛物线 ， 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
③抛物线 ， ， 与直线 的交点中，相邻两点之间的距离相等.
形成概念（2）把满足 （n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在（2）中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ， ， ，…， ，用含n的代数式表示顶点 的坐标，并写出
该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ， ， ，…， ，其
横坐标分别为： ， ， ，…， （k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都
相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线 分别交“系列平移抛物线”于点 ， ， ，…， ，连接 ， ，判
断 ， 是否平行？并说明理由.
解：（1）①当x=0, ，所以正确；
② 的对称轴分别是直线 ， ， ，所以正确；
③ 与 交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）① ，所以顶点 ，
令顶点 横坐标 ，纵坐标 ， ，
即： 顶点满足关系式 .
②相邻两点之间的距离相等．
理由：根据题意得； ， ，
∴CC 两点之间的铅直高度= ．
n n–1
CC 两点之间的水平距离= ．
n n–1
∴由勾股定理得CC 2=k2+1，
n n–1
∴CC = .
n n–1
③ 与 不平行．
理由：
根据题意得： ， ，
， ．
过C，C 分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，
n n–1所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）.
在Rt△DAC中，
n n
tan∠DAC= ，
n n
在Rt△EA C 中，
n–1 n–1
tan∠EA C = ，
n–1 n–1
∵ ≠ ，
∴tan∠DAC≠tan∠EA C ，
n n n–1 n–1
∴ 与 不平行．
4．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②–①得2S–S=S=22019–1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.
请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．
解：（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②–①得2S–S=S=210–1，
∴S=1+2+22+…+29=210–1；
故答案为：210–1；
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②–①得2S=311–1，
所以S= ，
即3+32+33+34+…+310= ；
故答案为： ；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②–①得：（a–1）S=an+1–1，
a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；
a≠1时，a–1才能做分母，所以S= ，即1+a+a2+a3+a4+…+an= .
5．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知
=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 =100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若 + =45，则x=__________；
②若 – =26，则y=__________；
③若 + = ，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 + 一定能被
__________整除， – 一定能被__________整除， • –mn一定能被__________整除；（请从大于
5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，
连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各
不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的
数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞
数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
解：（1）①∵ =10m+n，
∴若 + =45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若 – =26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由 =100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若 + = ，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵ + =10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则 + 一定能被11整除，
∵ – =10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴ – 一定能被9整除．
∵ • –mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10
（10mn+m2+n2）
∴ • –mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为 时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
6．（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x ，y 那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x 1，y 2时，则点T
（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
解：（1）∵ =2， =4，
∴点C（2，4）是点A、B的融合点；
（2）①由融合点定义知x （t+3），y （2t+3），
则t=3x﹣3，则y （6x﹣6+3）=2x﹣1；
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当∠DHT=90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），
由点T是点D，E的融合点得：m ，
解得：m ，即点E（ ，6）；
（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在；综上所述，符合题意的点为（ ，6）或（6，15）．
7．（2019济宁）阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x，x，
1 2
（1）若x
