文档内容
2019年中考数学真题分类训练——专题二十一：规律探索题
一、选择题
1．（2019菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O出发，按“向上→向右
→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点
A，第二次移动到点A，…，第n次移动到点A，则点A 的坐标是
1 2 n 2019
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
【答案】C
2．（2019张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到
正方形OABC，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA B C ，那么点A 的坐标是
1 1 1 2019 2019 2019 2019
A．（ ，- ） B．（1，0）
C．（- ，- ） D．（0，-1）
【答案】A
3．（2019武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组
数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a
【答案】C
4．（2019枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的
是
A． B． C． D．
【答案】D
5．（2019达州）a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒数为 =-1，-1的差
倒数 ，已知a=5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数……，依此类推，a
1 2 1 3 2 4 3 2019
的值是
A．5 B．- C． D．
【答案】D
6．（2019济宁）已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是 ．如果a=-2，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数……依此类推，那么
1 2 1 3 2 4 3
a+a+…+a 的值是
1 2 100
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
7．（2019株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a，b）构成一个数组M={a，b}（其
k k K k k
中k=1，2…S，且将{a，b}与{b，a}视为同一个数组），若满足：对于任意的M={a，b}和M={a，b}
k k k k i i i j j j
（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a+b≠a+b，则S的最大值
i i j j
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
8．（2019十堰）一列数按某规律排列如下： ，…，若第n个数为 ，则
n=
A．50 B．60 C．62 D．71
【答案】B
9．（2019常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律
可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
10．（2019贺州）计算 的结果是
A． B． C． D．
【答案】B二、填空题
11．（2019天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个
图形中共有__________个〇．
【答案】6058
12．（2019衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x
轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 的值为__________．
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F，摆放第三个“7”字图形得顶点F，依此
1 2
类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F ，…，则顶点F 的坐标为__________．
n-1 2019
【答案】（1） ；（2）
13．（2019连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等
分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角
形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，
2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．
【答案】（2，4，2）
14．（2019广安）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为直角边作Rt△OAA，并
1 1 1 2
使∠AOA=60°，再以OA为直角边作Rt△OAA，并使∠AOA=60°，再以OA为直角边作Rt△OAA，并使
1 2 2 2 3 2 3 3 3 4
∠AOA=60°……按此规律进行下去，则点A 的坐标为__________．
3 4 2019
【答案】（-22017，22017 ）
15．（2019怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的
总面积是__________．【答案】n-1
16．（2019滨州）观察下列一组数：
a= ，a= ，a= ，a= ，a= ，…，
1 2 3 4 5
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a=__________．（用含n的式子表示）
n
【答案】
17．（2019台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的
整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为 1，2，3，…，接着把编号是3的整
数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程
中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．
【答案】3
18．（2019黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个
数是__________．【答案】625
19．（2019安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于
第45行、第7列的数是__________．
【答案】2019
20．（2019咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是
412，则这三个数的和是__________．
【答案】-384
21．（2019海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如
果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．
【答案】0；2
22．（2019武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是
__________．
【答案】13a+21b
23．（2019甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个
菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010
24．a，a，a，a，a，a，…，是一列数，已知第1个数a=4，第5个数a=5，且任意三个相邻的数之
1 2 3 4 5 6 1 5
和为15，则第2019个数a 的值是__________．
2019
【答案】6
三、解答题
25．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②-①得2S-S=S=22019-1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．
解：（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②-①得2S-S=S=210-1，
∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②-①得2S=311-1，
所以S= ，
即3+32+33+34+…+310= ，故答案为： ．
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S= ，
即1+a+a2+a3+a4+…+an= ．
26．（2019安徽）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
解：（1）第6个等式为： ，故答案为： ．
（2） ，
证明：∵右边= =左边．
∴等式成立，
故答案为： ．
27．（2019张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一
项，记为a，排在第二位的数称为第二项，记为a，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a．所
1 2 n
以，数列的一般形式可以写成：a，a，a，…，a，…．
1 2 3 n
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a=1，
1
a=3，公差为d=2．
2
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．
（2）如果一个数列a，a，a，…，a，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a-a=d，
1 2 3 n 2 1
a-a=d，a-a=d，…，a-a =d，…．
3 2 4 3 n n-1
所以a=a+d，
2 1
a=a+d=（a+d）+d=a+2d，
3 2 1 1
a=a+d=（a+2d）+d=a+3d，
4 3 1 1……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a=a+__________d．
n 1
（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？
解：（1）根据题意得，d=10-5=5．
∵a=15，a=a+d=15+5=20，a=a+d=20+5=25，故答案为：5；25．
3 4 3 5 4
（2）∵a=a+d，a=a+d=（a+d）+d=a+2d，
2 1 3 2 1 1
a=a+d=（a+2d）+d=a+3d，……
4 3 1 1
∴a=a+（n-1）d，故答案为：n-1．
n 1
（3）根据题意得，
等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a=-5-2（n-1），
n
则-5-2（n-1）=-4041，
解之得：n=2019，
∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．
