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2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题
1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD
于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP ，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD CM+2CE．
解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4-x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，
∴17-x2=9+8x-x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，∴S AD×CG 6×4=12．
△ACD
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中， ，
∴△NBF≌△EAF，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中， ，
∴△ANE≌△ECM，
∴CM=NE，
又∵NF NE MC，∴AF MC+EC，
∴AD MC+2EC．
2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重
合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S，△ABF的面积为S，记S=S-S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；
1 2 1 2
若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB．
（2）存在，
如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2
∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S 最小，
△ABF
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S 的最小值 6×（2 2）=6 6，
△ABF
∴S 2×3 （6 6）=-3 6．
最大值
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，∴FG=1，DG FG ，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF 1，
∴BG ，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH ，EH HC EC，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴ ，
∴ ，
∴EC 1，
∴AE=AC-EC=7 ．
3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h，h，h，求证h2=h·h．
1 2 3 1 2 3证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴ ，
∴ ，
∴PA=2PC．
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h，PD=h，PE=h，
1 2 3
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，
∴∠EAP+∠ACP=90°，
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴ ，即 ，
∴h=2h，
3 2
∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即：h2=h·h．
1 2 3
4．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径
作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．
①当tan∠ACF 时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；
②求 的最大值．
解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDA=90°，
∵OA=OB，
∴OD=OB=OA，
∴∠OBD=∠ODB，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，
即∠EBO=∠EDO，∵CB⊥x轴，
∴∠EBO=90°，
∴∠EDO=90°，
∵点D在⊙E上，
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作FN⊥AC于N，
1
∵FN⊥AC，
1
∴∠ANF=∠ABC=90°，
1
∴△ANF∽△ABC，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴AC 10，即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5，
∴设AN=3k，则NF=4k，AF=5k，
1 1
∴CN=CA-AN=10-3k，
∴tan∠ACF ，解得：k ，
∴ ，，即F（ ，0）．
1
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F作FM⊥CA于M，
2 2
∵△AMF∽△ABC，
2
∴设AM=3k，则MF=4k，AF=5k，
2 2
∴CM=CA+AM=10+3k，
∴tan∠ACF ，
解得： ，
∴AF=5k=2，
2
OF=3+2=5，
2
即F（5，0），
2
故答案为：F（ ，0），F（5，0）．
1 2
②方法1：如图4，∵CB为直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，
∴△CBG∽△CFB，
∴ ，
∴BC2=CG·CF，
CF ，
∵CG2+BG2=BC2，
∴BG2=BC2-CG2，
∴ ，
∴ ，
令y=CG2（64-CG2）=-CG4+64CG2=-[（CG2-32）2-322]=-（CG2-32）2+322，
∴当CG2=32时， ，
此时CG=4 ，
．方法2：设∠BCG=α，则sinα ，cosα ，
∴sinαcosα ，
∵（sinα-cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα，
∵sin2α+cos2α=1，
∴sinαcosα ，即 ，
∴ 的最大值 ．
5．（2019宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不
与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB=90°，
∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，
∴△QBM∽△ABC．
（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形．
（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC 5，
∵△QBM∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得，QM x，BM x，
∵MN∥BC，
∴ ，即 ，
解得，MN=5 x，
则四边形BMNQ的面积 （5 x+x） x （x ）2 ，
∴当x 时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为 ．
6．（2019江西）在图1，2，3中，已知 ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE
为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求 的值．
解：（1）∵四边形AEFG是菱形，
∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，
故答案为：60°．
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠FAE=60°，
∴∠FAD=∠EAB，
故答案为：=．
②证明：如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，
则∠FNB=∠FMB=90°，
∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，
∴∠AFN=∠EFM，
∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，
∴FA=FE，
在△AFN和△EFM中， ，
∴△AFN≌△EFM（AAS）
∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，
∴点F在∠ABC的平分线上．
（3）如图，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠AGF=60°，
∴∠FGE=∠AGE=30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，
∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，
∴GN=2AN，
∵∠DAB=60°，∠H=30°，
∴∠ADH=30°，
∴AD=AH=GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，∴BC=GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，
∴平行四边形ABEN为菱形，
∴AB=AN=NE，
∴GE=3AB，
∴ 3．
7．（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D
不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ECQ=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEP=∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE．
（2）①证明：∵PB=PQ，
∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE=QE，
∵EF∥BQ，
∴PF=BF，
∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，
∴∠APF=∠PAF，
∴∠PAF=∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②四边形AFEP不是菱形，理由如下：
设PD=x，则AP=1-x，
由（1）可得△PDE≌△QCE，
∴CQ=PD=x，
∴BQ=BC+CQ=1+x，
∵点E、F分别是PQ、PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF BQ ，
由①知AP=EF，即1-x ，
解得x ，∴PD ，AP ，
在Rt△PDE中，DE ，
∴PE ，
∴AP≠PE，
∴四边形AFEP不是菱形．
8．（2019陕西）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个
平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使
∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景
区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以
建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面
积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，
∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P，P两点，
1 2
连接BP，PC，PO，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，
1 1 1
∴△BPC的顶点P或P位置时，△BPC的面积最大，
1 2
作PE⊥BC，垂足为E，则OE=3，
1
∴AP=BE=OB-OE=5-3=2，
1
由对称性得AP=8．
2
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A为 BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 上，取 的中点E′，连接E′B，E′D，
则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，
∴S ·BD·EF ·BD·E′A=S ，
△BDE △E′BD
∴S ≤S =2S =1002·sin60°=5000 （m2），
平行四边形BCDE 平行四边形BC′DE′ △E′BD
所以符合要求的 BCDE的最大面积为5000 m2．
9．（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．
矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，
D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，
F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA=6，
∵OD=2，
∴AD=OA-OD=6-2=4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED=∠ABO=30°，
在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED 4 ，
∵OD=2，
∴点E的坐标为（2，4 ）．
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′=2，E′D′=4 ，ME′=OO′=t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM=∠ABO=30°，
∴在Rt△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′ t，
∴S ME′·FE′ t t ，
△MFE′
∵S =O′D′·E′D′=2×4 8 ，
矩形C′O′D′E′∴S=S -S =8 ，
矩形C′O′D′E′ △MFE′
∴S t2+8 ，其中t的取值范围是：00），在△ABC中，D，E分别
是AB，AC的中点．
①若t ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值
范围．解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧 ，就是△ABC的最长的中内弧 ，连接DE，
∵∠A=90°，AB=AC ，D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC 4，DE BC 4=2，
∴弧 2π=π．
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作
EG⊥AC交FP于G，
①当t 时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（ ，1），设P（ ，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC，
∴∠AED=∠ACO=45°，
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF ，
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，
∴m ，
综上所述，m 或m≥1．
②如图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM ，
∴P（t， ），∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∴AE ，
∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE，
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP，
∴AP=PD=PE AE，
由三角形中内弧定义知，PD≤PM，
∴ AE ，AE≤3，即 3，解得：t ，
∵t>0，
∴0
