沪教版数学必修第一册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

普通高中教科书 S H U X U E 普 通 高 必 修 中 教 科 书 第 一 册 上 海 教 育 出 版 社 上 海 教 育 出 版 社 数 学 必 修 SHUXUE 普通高中教科书 必 修 第 一 册 第 一 册 易文网：w w w .e w e n.c o 定 价： 11.90元主 编 李大潜 王建磐 副 主 编 应坚刚 鲍建生 本册编写人员 王伟叶 傅吉祥 王春明 王志强 潘 奋 吴泉水 高卫国 邱维元 责任编辑 张莹莹 装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉 本册教材图片提供 全景网（封面一幅图， P1一幅图，封底一幅图）；图虫网（P23一幅图， P98一幅图，P105一幅图，P128一幅图）；壹图网（P75一幅图）；上海教育出版社有限公司 （P70一幅图） 插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇 普通高中教科书 数学 必修 第一册 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写 出 版 上海教育出版社有限公司（上海市永福路123号） 发 行 上海新华书店 印 刷 上海中华印刷有限公司 版 次 2020年7月第1版 印 次 2021年7月第3次 开 本 890×1240 1/16 印 张 9.5 字 数 164 千字 书 号 978-7-5720-0183-3/G·0140 定 价 11.90 元 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64377165 全国物价举报电话：12315 声明 按照《中华人民共和国著作权法》第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支 付报酬. 著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.前言 前 言 数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课．认真学习数学，努 力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言， 为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严 格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特 有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智 慧，更有竞争力，终身受用不尽．从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学 教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十 分深远的． 中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础， 编写教材也要力求遵循这一根本宗旨．那种以种种名义，将一些“高级”或“时 髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道” 的做法，是不可取的．同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免 知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法．人为地 将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思 维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习 的负担，是不值得效法的．在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而 精”“简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可 能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学 成为广大学生喜闻乐见的一门课程． 怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的．作为 一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰 这三个方面．这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节．三者的关键是 深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更 好地实现另外两方面的要求．如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为 荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的．表达能 力的培养也要引起足够的重视．要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别 １ 书书书前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了 数学吗？！ 为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理 念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更 好地发挥引路和示范的作用．书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅， 但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意．各章末的内容提要，简明 扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助．各章的主体 内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的．希 望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所 碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学 能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权． 本套教材涵盖《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》所规定的必修课程和 选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中 必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容．必修前三册和选择性必 修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学 知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于 强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合 性．因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含 比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现 数学建模的教学目标． ２０２０年６月 ２目 录 第１章 集合与逻辑 １．１ 集合初步 ２ １．２ 常用逻辑用语 １３ 内容提要 ２０ 复习题 ２０ 第２章 等式与不等式 ２．１ 等式与不等式的性质 ２４ ２．２ 不等式的求解 ３４ ２．３ 基本不等式及其应用 ４６ 内容提要 ５５ 复习题 ５６ 第３章 幂、指数与对数 ３．１ 幂与指数 ６０ ３．２ 对数 ６６ 内容提要 ７６ 复习题 ７６ 第４章 幂函数、指数函数与对数函数 ４．１ 幂函数 ８０ ４．２ 指数函数 ８６ １ 书书书目录 ４．３ 对数函数 ９３ 内容提要 １０２ 复习题 １０２ 第５章 函数的概念、性质及应用 ５．１ 函数 １０６ ５．２ 函数的基本性质 １１５ ５．３ 函数的应用 １２７ ５．４ 反函数 １３６ 内容提要 １４１ 复习题 １４２ ２１ 第 章 数学语言十分精确，不容易产生歧义．集 合是现代数学语言的重要组成部分．使用集合 的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对 集合与逻辑 象，更好地描述所研究的对象之间的关系． 数学作为很多其他学科的基础和工具，其 内涵及语言都是按照逻辑的方式来组织的．根 据正确的前提，按照严格的逻辑推理，总是能 够得到正确的结论． 在数学语言的表达方面，有一些公认的特 殊约定，努力学习并遵循这些约定，能够更好 地在数学领域里与他人开展交流，对进一步的 学习和研究都非常有益． 书书书１ 集合与逻辑 １．１ 集合初步 １ 集合 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一 起或归为一类．例如： （１）申辉中学高一（１）班的全体学生； （２）所有不大于１００的自然数； （３）直线犾上的所有点； 康托（Ｇ．Ｃａｎｔｏｒ，１８４５— （４）不等式２狓＋１≤０的所有解； １９１８），德国数学家，集 （５）太阳系的所有行星． 合论创始人． 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（ｓｅｔ），简称 集．集合通常用大写字母犃、犅、犆……表示． 集合所含的各个对象叫做该集合的元素（ｅｌｅｍｅｎｔ）．元素通 常用小写字母犪、犫、犮……表示． 如果犪是集合犃的元素，就记作犪∈犃，读作“犪属于犃”； 如果犪不是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪不属于犃”．例 如，若犃是由数１、３、５、７、９组成的集合，则１∈犃，２犃． 集合的元素是确定的．也就是说，给定一个集合，一个对象 在不在这个集合中就确定了．例如，“我国的直辖市”组成一个集 合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，而杭州、南京、深 圳等城市不在这个集合中． 一些不确定的对象不能组成一个集合．例如，“我们班里高 个子的同学”不能组成一个集合．因为“高个子”的标准不够明确、 具体，所以“我们班里高个子的同学”是不确定的． 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同 一个集合中是不能重复出现的． 如果两个集合犃与犅的组成元素完全相同，就称这两个集 合相等，记作犃＝犅． 元素个数有限的集合称为有限集，否则就称为无限集． 例１ 判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由： （１）６的正整数倍的全体组成的集合； ２１．１ 集合初步 （２）６００的正约数的全体组成的集合； （３）２０１９年在上海出生的所有人组成的集合； （４）给定的一条长度为１的线段上的所有点组成的集合． 解 （１）６的正整数倍可表示为６狀，其中狀是正整数．因为 正整数有无限个，所以６的正整数倍的全体组成的集合是一个无 限集． （２）６００的正约数一定是小于或等于６００的正整数，其个数 不超过６００．所以６００的正约数的全体组成的集合是一个有限集． （３）虽然２０１９年出生在上海的人比较多，但总数还是有限 的．所以２０１９年在上海出生的所有人组成的集合是一个有限集． （４）因为该线段的二等分点、三等分点、四等分点……都是 该集合中的元素，所以一条给定的长度为１的线段上的所有点组 成的集合是一个无限集． 数学中，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集．常用 的数集可用以下特定的符号来表示，见表１１． 表１１ 常用数集的符号 数集 符号 自然数集 犖 整数集 犣 有理数集 犙 实数集 犚 例２ 用符号“∈”或“”填空： （１）０ 犖； （２）１ 犣； （３）槡２ 犙； （４）－槡π 犚． 解 （１）０∈犖．（２）１∈犣．（３）槡２犙．（４）－槡π∈犚． 不含有任何元素的集合称为空集，记作．引进空集是有必 要的．例如，方程狓２＋１＝０没有实数解，我们就说它的实数解 组成的集合是空集．又如，当两条直线平行时，它们没有公共 点，就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集．在以后学习 交集时，我们还将进一步体会到引入空集的必要性． 练习１．１（１） １．判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不 能组成集合，请说明理由． （１）上海市现有各区的名称； ３１ 集合与逻辑 （２）末位是３的自然数； （３）比较大的苹果． ２．用符号“∈”或“”填空： １ （１） 犖； （２）５ 犣； ２ （３）－２ 犙； （４）π 犚． ２ 集合的表示方法 除了用自然语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表示 集合． 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这 种表示集合的方法叫做列举法．例如，方程狓２－３狓＋２＝０的所有 解组成的集合可以表示为｛１，２｝，也可以表示为｛２，１｝．这是因为 在讨论集合时，不考虑其元素的顺序． 例３ 用列举法表示下列集合： （１）所有不大于１０的正整数组成的集合； （２）方程（狓－１）（狓－２）（狓－３）（狓－４）＝０的所有解组成的 集合； （３）集合｛１，２，３，４｝中任意两个不同元素之和组成的集合． 解 （１）所有不大于１０的正整数组成的集合是｛１，２，３，４，５， ６，７，８，９，１０｝． （２）该方程的所有解组成的集合是｛１，２，３，４｝． （３）该集合中任意两个不同元素之和组成的集合是｛３，４，５，６，７｝． 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的 无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示．例如， 全体正偶数组成的集合可以表示为｛２，４，６，…，２狀，…｝． 集合还有另外一种表示方法． 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条 “集合中所有元素 竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特 具有的共同特征”是 指： 征，即 （１）在该集合中 的元素都具有这个特 犃＝｛狓｜狓满足性质狆｝． 征； （２）不在该集合 这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程狓２－３狓＋２＝０的 中的元素不具有这个 所有解组成的集合可以表示为｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．又如，函数 特征． 狔＝狓图像上的所有点组成的集合可以表示为｛（狓，狔）｜狔＝狓｝． ４１．１ 集合初步 例４ 选择适当的方法表示下列集合： （１）大于０且小于１０的全体偶数组成的集合犃； （２）被３除余２的所有自然数组成的集合犅； （３）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成 的集合犆． 解 （１）用列举法：犃＝｛２，４，６，８｝． （２）用描述法：犅＝｛狀｜狀＝３犽＋２，犽∈犖｝． （３）因为第二象限中所有点（狓，狔）具有的特征是狓＜０且 狔＞０，而第四象限中所有点具有的特征是狓＞０且狔＜０，所以第 二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为狓狔＜０，于 是可用描述法表示该集合： 犆＝｛（狓，狔）｜狓狔＜０｝． 数学中，常常需要表示满足一些不等式的全体实数所组成的 集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 当犪、犫∈犚且犪＜犫时，规定： 满足不等式犪≤狓≤犫的全体实数狓组成的集合称为一个 闭区间，记作 ［犪，犫］． 满足不等式犪＜狓＜犫的全体实数狓组成的集合称为一个 开区间，记作 （犪，犫）． 闭区间与开区间在数轴上的表示，如图１１１所示． ［犪，犫］ （犪，犫） 图１１１ 满足不等式犪≤狓＜犫或犪＜狓≤犫的全体实数狓所组成的集 合称为一个半开半闭区间，分别记作 ［犪，犫）或 （犪，犫］． 半开半闭区间在数轴上的表示，如图１１２所示． ［犪，犫） （犪，犫］ 图１１２ 这里的实数犪、犫统称为这些区间的端点． 此外，满足不等式狓≥犪，狓＞犪，狓≤犫或狓＜犫的全体实数 狓所组成的集合可分别用区间表示为 ［犪，＋∞），（犪，＋∞）， 符号“∞”读作“无 穷大”． （－∞，犫］或 （－∞，犫）． 实数集犚可用区间表示为 （－∞，＋∞）． ５１ 集合与逻辑 例５ 用区间表示下列集合： 结合例题，试比 （１）｛狓｜１≤狓＜２｝； 较分别用自然语言、 （２）不等式２狓≤６的所有解组成的集合． 列举法、描述法和区 间表示集合时，其各 解 （１）该集合可用区间［１，２）表示． 自的特点和适用对象． （２）因为不等式２狓≤６的解是狓≤３，所以它的所有解组成 的集合是 （－∞，３］． 练习１．１（２） １．用列举法表示下列集合： （１）能整除１０的所有正整数组成的集合； （２）绝对值小于４的所有整数组成的集合． ２．用描述法表示下列集合： （１）全体偶数组成的集合； （２）平面直角坐标系中狓轴上所有点组成的集合． ３．用区间表示下列集合： （１）｛狓｜－１＜狓≤５｝； （２）不等式－２狓＞６的所有解组成的集合． ３ 集合之间的关系 考察以下四组集合： （１）犆是申辉中学高一（１）班的全体学生组成的集合，犇是 申辉中学全体学生组成的集合； （２）犆是一平面上所有矩形组成的集合，犇是该平面上所有 平行四边形组成的集合； （３）犆＝｛２，３｝，犇＝｛狓｜狓２－５狓＋６＝０｝； （４）犆＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝，犇＝｛狓｜狓是奇数｝． 容易发现，在上述每组集合中，集合犆中的每个元素都属 于集合犇．两个集合之间的这种关系是十分常见的． 定义 对于两个集合犃与犅，如果集合犃的每个元素都是 集合犅的元素，那么集合犃叫做集合犅的子集（ｓｕｂｓｅｔ），记作 犃犅（或犅犃），读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）． 对任何集合犃，规定 犃． ６１．１ 集合初步 我们常用文氏图（Ｖｅｎｎｄｉａｇｒａｍ）来直观表示集合以及集合之 间的关系．图１１３是犃犅的文氏图． 上述四组集合中的每组都有犆犇．但是，第（１）（２）组与第 （３）（４）组是有区别的．在第（１）（２）组中，集合犇中有些元素不属 于集合犆，即犇不是犆的子集；而在第（３）（４）组中，集合犇中 的每个元素都属于集合犆，即犇犆． 对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： 图１１３ （１）犃犃； （２）若犃犅且犅犃，则犃＝犅； （３）传递性：若犃犅且犅犆，则犃犆． 集合关系中的“若 犃犅且犅犃，则犃 由此，对第（３）（４）组集合，犆＝犇成立；而对第（１）（２）组集 ＝犅”与实数大小关系 中“若犪≤犫且犫≤犪， 合，犆＝犇不成立．为此，我们引入真子集的概念． 则犪＝犫”类似． 定义 对于两个集合犃与犅，如果犃犅，且犅中至少有 一个元素不属于犃（即犅不是犃的子集），那么称集合犃是集合 犅的真子集（ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ），记作犃犅（或犅犃），读作“犃真 包含于犅”（或“犅真包含犃”）． 对第（１）（２）组集合，犆犇成立． 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 犖犣犙犚． 例６ 确定狓与狔，使得集合｛２狓，狓＋狔｝＝｛４，８｝． 解 由集合相等的定义，可知 烄２狓＝４， 烄２狓＝８， 此处为什么有两 或 种情况？ 烅 烅 烆狓＋狔＝８ 烆狓＋狔＝４． 烄狓＝２， 烄狓＝４， 分别解得 或 烅 烅 烆狔＝６ 烆狔＝０． 例７ 确定下列每组中两个集合之间的关系： （１）犃＝｛狀｜狀是１２的正约数｝，犅＝｛１，２，３，６｝； （２）犆＝｛狀｜狀＝３犽＋１，犽∈犖｝，犇＝｛狀｜狀＝３犿－２，犿∈犖｝． 解 （１）因为犃＝｛１，２，３，４，６，１２｝，所以犅犃． （２）因为当犽∈犖时，犆中的元素狀＝３犽＋１＝３（犽＋１）－２ 必定属于犇，所以犆犇． 又因为－２∈犇，而－２犆，所以犆犇． 例８ 写出集合｛犪，犫，犮｝的所有子集，并指出哪些是真子集． 解 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集１个：空集； ７１ 集合与逻辑 含１个元素的子集３个：｛犪｝，｛犫｝，｛犮｝； 含２个元素的子集３个：｛犪，犫｝，｛犪，犮｝，｛犫，犮｝； 含３个元素的子集１个：｛犪，犫，犮｝． 除集合｛犪，犫，犮｝本身外，其余７个都是真子集． 练习１．１（３） １．判断下列说法是否正确，并简要说明理由： （１）若犪∈犃且犃犅，则犪∈犅； （２）若犃犅且犃犆，则犅＝犆； （３）若犃犅且犅犆，则犃犆． ２．用符号“”“＝”或“”填空： （１）｛犪｝ ｛犪，犫，犮｝； （２）｛犪，犫，犮｝ ｛犪，犮｝； （３）｛１，２｝ ｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝． ３．写出所有满足｛犪｝犕｛犪，犫，犮，犱｝的集合犕． ４ 集合的运算 先看一个校园生活的例子．申辉中学高一年级的学生报名参 加数学建模社与理学社．这样，除该校高一年级的全体学生组成 的集合犝外，还有参加数学建模社的学生组成的集合犃，参加 理学社的学生组成的集合犅，两个社都参加的学生组成的集合 犆，两个社中至少参加一个的学生组成的集合犇，还有未参加数 学建模社的学生组成的集合犈，等等． 可以看到，集合犃、犅、犆、犇、犈等都是集合犝的子集， 当集合犝、犃、犅 集合犆是由集合犃与犅的公共元素组成的，集合犇是由集合犃 确定时，如何确定集 合犆、犇、犈呢？ 与犅的所有元素组成的，集合犈是由集合犝中去掉犃中的元素 后剩下的元素组成的． 本节我们要从已知的集合出发，通过“交”“并”“补”的运算得 到新的集合． 首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个 新的集合． 定义 由既属于集合犃又属于集合犅的所有元素组成的集 合，叫做集合犃与犅的交集（ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ），记作犃∩犅（读作“犃 交犅”），即 犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃且狓∈犅｝． ８１．１ 集合初步 可以用文氏图直观地反映犃∩犅的几种不同情况，如图１１４ 所示． 对照图１１４的 三种情况，请各举一 实例． （１） （２） （３） 图１１４ 图１１４（１）表示集合犃与犅既有公共元素又都有非公共元 素的情况，此时阴影部分犃∩犅既是犃的真子集又是犅的 真子集；图１１４（２）表示集合犃是犅的子集的情况，此时 犃∩犅＝犃；图１１４（３）表示集合犃与犅没有公共元素的情况， 此时犃∩犅＝． 例９ 已知集合 犃＝｛（狓，狔）｜２狓＋狔＝５｝，犅＝｛（狓，狔）｜３狓＋２狔＝８｝． 求犃∩犅． 解 由题意，（狓，狔）∈犃∩犅表示（狓，狔）既属于犃又属于 犅，即（狓，狔）是方程组 例９中，犃∩犅 表示二元一次方程组 烄２狓＋狔＝５， 的所有解组成的集合． 烅 它可以理解为两个一 烆３狓＋２狔＝８ 次函数狔＝－２狓＋５ 的解，所以狓＝２，狔＝１．于是，犃∩犅＝｛（２，１）｝． 与狔＝－ ３ 狓＋４的图 ２ 像的交点组成的集合． 其次，我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一 个新的集合． 定义 由所有属于集合犃或属于集合犅的元素所组成的集 合，叫做集合犃与犅的并集（ｕｎｉｏｎ），记作犃∪犅（读作“犃并 犅”），即 犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃或狓∈犅｝． 可以用文氏图直观地反映犃∪犅的几种不同情况，如图 １１５所示，其中阴影部分表示犃∪犅． 对照图１１５的 三种情况，请各举一 实例． （１） （２） （３） 图１１５ ９１ 集合与逻辑 图１１５（１）表示集合犃与犅既有公共元素又都有非公共元 素的情况，此时犃和犅都是犃∪犅的真子集；图１１５（２）表示 集合犃是犅的子集的情况，此时犃∪犅＝犅；图１１５（３）表示集 合犃与犅没有公共元素的情况． 例１０ 已知集合 犃＝（－２，２），犅＝（－３，－１）∪（１，＋∞）． 求犃∩犅及犃∪犅． 解 在数轴上标出集合犃与犅，如图１１６所示． 图１１６ 于是犃∩犅＝（－２，－１）∪（１，２），犃∪犅＝（－３，＋∞）． 例１１ 已知集合犃＝｛１，２｝，求所有满足犃∪犅＝｛１，２，３｝的 集合犅． 解 因为犅犃∪犅＝｛１，２，３｝，所以犅的元素只能在 １、２、３中取．为了使得犃∪犅中有３，３必须是犅的一个元素． 至于１、２是否为犅的元素，不会影响犃∪犅的结果． 因此，满足条件的集合犅一共有４个：｛３｝，｛１，３｝， ｛２，３｝，｛１，２，３｝． 最后，我们介绍全集与补集． 在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子 集或元素．例如，求方程的实数解时，所有解组成的集合一定是 实数集犚的一个子集；求三角形的内角的大小时，如果以度（°） 为单位，那么角的度数一定是开区间（０，１８０）中的一个元素；等 等．这个确定的集合称为全集（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｓｅｔ），常用符号犝表示． 它含有我们所要研究问题的全部可能的元素． 定义 设犝为全集，犃是犝的子集．由犝中所有不属于犃 的 元 素 组 成 的 集 合 称 为 集 合 犃 在 全 集 犝 中 的 补 集 （ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），记作犃（读作“犃补”），即 犃＝｛狓｜狓∈犝且狓犃｝． 有时为了强调全集犝，集合犃在全集犝中的补集犃也可以 记作瓓犃． 犝 当全集为实数集犚时，有理数集犙的补集犙就是全体无理 １ ０１．１ 集合初步 数组成的集合． 可以用文氏图直观地反映犃，如图１１７，其中阴影部分表 示集合犃在全集犝中的补集犃． 例１２ 设全集犝＝｛犪，犫，犮，犱，犲｝，集合犃＝｛犪，犫，犮｝， 图１１７ 集合犅＝｛犮，犱｝．分别求：犃∪犅，犃∩犅，犃∩犅及犃∪犅． 解 由条件，可得 犃∪犅＝｛犪，犫，犮，犱｝，犃＝｛犱，犲｝，犅＝｛犪，犫，犲｝． 所以 犃∪犅＝｛犲｝，犃∩犅＝｛犲｝． 而犃∩犅＝｛犮｝，所以 犃∩犅＝｛犪，犫，犱，犲｝，犃∪犅＝｛犪，犫，犱，犲｝． 练习１．１（４） １．设犃为全集犝的任一子集，则 （１）犃＝ ；（犃表示犃的补集犃的补集） （２）犃∩犃＝ ； （３）犃∪犃＝ ． ２．已知全集为犚，集合犃＝｛狓｜－２＜狓≤１｝．求犃． ３．已知集合犃＝｛１，２，３，４，５｝，犅＝｛２，４，６，８｝，犆＝｛３，４，５，６｝．求： （１）（犃∩犅）∪犆，（犃∪犆）∩（犅∪犆）； （２）（犃∪犅）∩犆，（犃∩犆）∪（犅∩犆）． 习题１．１ 犃组 １．用列举法表示下列集合： （１）１０以内的所有素数组成的集合； （２）｛狔｜狔＝狓－１，０≤狓≤３，狓∈犣｝． ２．用描述法表示下列集合： （１）被３除余１的所有自然数组成的集合； （２）比１大又比１０小的所有实数组成的集合； （３）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合． ３．集合｛（狓，狔）｜狓狔＞０，狓、狔为实数｝是指 （ ） Ａ．第一象限内的所有点组成的集合； １ １１ 集合与逻辑 Ｂ．第三象限内的所有点组成的集合； Ｃ．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合； Ｄ．不在第二象限也不在第四象限内的所有点组成的集合． ４．用符号“”“＝”或“”连接集合犃与犅： （１）犃＝｛狓｜狓２－２狓＋１＝０｝，犅＝｛狓｜狓２－１＝０｝； （２）犃＝｛１，２，４，８｝，犅＝｛狓｜狓是８的正约数｝． ５．已知集合犃＝｛１｝，犅＝｛狓｜狓２－３狓＋犪＝０｝．是否存在实数犪，使得犃犅？若存 在，求犪的值；若不存在，说明理由． ６．已知集合犃＝｛狓，狔｝，犅＝｛２狓，２狓２ ｝，且犃＝犅．求集合犃． ７．已知集合犃＝｛狓｜狓≤７｝，犅＝｛狓｜狓＜２｝，犆＝｛狓｜狓＞５｝．求：犃∩犅，犃∩犆， 犃∩（犅∩犆）． ８．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜狔＝－狓＋１｝，犅＝｛（狓，狔）｜狔＝狓２－１｝．求犃∩犅． ９．已知全集犝＝犚，集合犃＝｛狓｜４－狓＞２狓＋１｝．求犃． 犅组 １．已知集合犃＝｛２，（犪＋１） ２ ，犪２＋３犪＋３｝，且１∈犃．求实数犪的值． ２．已知集合犃＝｛狓｜狓＝２狀＋１，狀∈犣｝，犅＝｛狓｜狓＝４狀－１，狀∈犣｝．判断集合犃与 犅的包含关系，并证明你的结论． ３．设犪是实数，集合犕＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝，犖＝｛狔｜犪狔＋２＝０｝．是否存在犪，使 得犖犕？若存在，求这些犪的值；若不存在，说明理由． ４．已知集合犃＝｛１，４，狓｝，犅＝｛１，狓２ ｝，且犃∪犅＝犃．求狓的值及集合犃、犅． １ ２１．２ 常用逻辑用语 １．２ 常用逻辑用语 １ 命题 在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以 判断其真假的语句叫做命题（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命题通常用陈述句表 述．其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做 假命题．例如，“４能被２整除”是真命题，“３能被２整除”是假 命题． 例１ 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真 命题还是假命题？为什么？ （１）个位数字是５的自然数能被５整除； （２）凡直角三角形都相似； （３）请起立； （４）若两个角互为补角，则这两个角不相等； （５）若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形 全等； （６）你是高一学生吗？ （７）狓＞３． 解 语句（３）（６）（７）不是命题；语句（１）（２）（４）（５）是命题，其 中语句（１）（５）是真命题，语句（２）（４）是假命题． （１）这是一个真命题．因为个位数字是５的自然数可写成 １０犽＋５的形式（犽∈犖），而１０犽＋５＝５（２犽＋１），它总能被５整 除，所以个位数字是５的自然数能被５整除． （２）因为三个角分别为９０°、４５°、４５°的直角三角形与三个 角分别为９０°、６０°、３０°的直角三角形是不相似的，所以“凡直角 三角形都相似”是一个假命题． （３）“请起立”无法判定真假，它不是一个命题． （４）取一个角为９０°，另一个角也为９０°，它们是互补的，同 时它们也是相等的，所以“若两个角互为补角，则这两个角不相 等”是一个假命题． １ ３１ 集合与逻辑 （５）这是一个真命题，它是两个三角形全等的一个判定 定理． （６）因为“你是高一学生吗？”不是陈述句，无法判断其真假， 所以它不是命题． （７）虽然“狓＞３”是陈述句，但是它包含一个可变的对象狓， 无法判断其真假，因此它不是命题．当狓被赋予不同的值时，它 就成为不同的命题．例如，当狓＝４时，“狓＞３”是真命题；当 狓＝１时，“狓＞３”是假命题． 例１中命题（４）与（５）具有“若α，则 β ”的形式．在保持含义 “若α，则β”形 不变的前提下，例１中命题（１）与（２）也可改写为这种形式： 式的命题也可写为“如 果α，那么β”的形式． 若一个自然数的个位数字是５，则这个自然数能被５整除； 若两个三角形都是直角三角形，则它们相似． 在形如 “若α，则 β ” 的命题中，陈述句α称为条件， β 称为结论． 命题“若α，则 β ”是真命题，是指所有满足条件α的对象都 满足结论 β．用集合的语言描述即 ｛狓｜狓满足α｝｛狓｜狓满足 β ｝． 所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明，如例１中 的（１）与（５）． 命题“若α，则 β ”是假命题，是指存在满足条件α的对象， 它不满足结论 β．所以，要确定这类命题是假命题，可用处理 这种方法在数学 例１中（２）与（４）的方法，举一个满足条件α而不满足结论 β 的例 上称为举反例． 子就可以了． 定义 如果命题“若α，则 β ”是真命题，那么就称α推出 β ， 记作αβ （或 βα）． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若αβ 且 βγ，则αγ． 它是逻辑推理的基础． 例２ 将下列命题改写成“若α，则 β ”的形式，并判断 “αβ ”是否成立． （１）等腰三角形的两底角相等； （２）凡是素数都是奇数； （３）对顶角相等． 解 （１）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相 １ ４１．２ 常用逻辑用语 等．这是一个真命题．所以，“αβ ”成立． （２）若狀是素数，则狀是奇数．这是一个假命题，因为２是 素数，但它是偶数．所以，“αβ ”不成立． （３）若两个角是对顶角，则这两个角相等．这是一个真命题． 所以，“αβ ”成立． 练习１．２（１） １．举几个生活中的命题的例子，并判断其真假． ２．判断下列命题的真假，并说明理由： （１）所有偶数都不是素数； （２）｛１｝是｛０，１，２｝的真子集； （３）０是｛０，１，２｝的真子集； （４）如果集合犃是集合犅的子集，那么犅不是犃的子集． ３．用“”表示下列陈述句α与 β 之间的推出关系： （１）α：△犃犅犆是等边三角形， β ：△犃犅犆是轴对称图形； （２）α：狓２＝４， β ：狓＝２． ２ 充分条件与必要条件 先看一个例子：我们要培养的是德智体美劳全面发展的社会 主义建设者和接班人．显然，对于这样“全面发展”的学生来说，其 学习成绩一定是好的；反过来，学习成绩好的学生不一定是“全面 发展”的，因为可能其他方面不是很好．也就是说，“学习成绩好” 对于“全面发展”是不可缺少的，但只有“学习成绩好”还不够． 定义 对于两个陈述句α与 β ，如果αβ ，就称α是 β 的充 分条件（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），亦称 β 是α的必要条件（ｎｅｃｅｓｓａｒｙ 该定义中，“充 分”二字说明“α成立 ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）． 时，β一定成立”；而 “必要”二字说明“β不 由例２知道，“一个三角形是等腰三角形”是“一个三角形有 成立时，α一定不成 立”． 两个角相等”的充分条件，“两个角相等”是“两个角是对顶角”的 必要条件，而“一个数是素数”不是“一个数是奇数”的充分条件． 例３ 判断下列各组中的α分别是 β 的什么条件，并说明 理由． （１）α：四边形犃犅犆犇是正方形， β ：四边形犃犅犆犇的四个 内角都是直角； １ ５１ 集合与逻辑 （２）α：狓２ 是有理数， β ：狓是有理数． 解 （１）因为正方形的四个内角都是直角，所以命题“若α， 则 β ”是真命题，α是 β 的充分条件． 反之，因为四个内角都是直角的四边形也可以是长宽不相等 的矩形，所以命题“若 β ，则α”是假命题，α不是 β 的必要条件． 狉 狉２ （２）因为有理数 （狉、狊∈犣）的平方 必是一个有理数， 下一小节将给出 狊 狊２ 槡２是无理数的证明． 所以“若 β ，则α”是真命题，α是 β 的必要条件． 反之，因为（槡２） ２＝２是有理数，但槡２是无理数，所以“若 α，则 β ”是假命题，α不是 β 的充分条件． 定义 对于两个陈述句α与 β ，如果既有αβ ，又有 βα， 就称α是 β 的充分必要条件，简称充要条件，记作αβ ，读作 “α与 β 等价”或“α成立当且仅当 β 成立”． 例如，“三角形的两个内角相等”是“三角形的两条边相等” 的充要条件；“实数狓、狔满足｜狓｜＝｜狔｜”是“实数狓、狔满足 （狓＋狔）（狓－狔）＝０”的充要条件． 例４ 已知犿是实数，集合 犕＝｛２，３，犿＋６｝，犖＝｛０，７｝． 求证：“犿＝１”是“犕∩犖＝｛７｝”的充要条件． 证明 先证充分性（即证犿＝１犕∩犖＝｛７｝）．当犿＝１时， 犕＝｛２，３，７｝．又因为犖＝｛０，７｝，所以犕∩犖＝｛７｝． 再证必要性（即证犕∩犖＝｛７｝犿＝１）．当犕∩犖＝｛７｝时， 由７∈犕，得犿＋６＝７，因此犿＝１． 综上所述，“犿＝１”是“犕∩犖＝｛７｝”的充要条件． 练习１．２（２） １．已知α：四边形犃犅犆犇的两组对边分别平行， β ：四边形犃犅犆犇为矩形，γ：四边 形犃犅犆犇的两组对边分别相等．用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分又非必 要”填空： （１）α是 β 的 条件； （２） β 是γ的 条件； （３）α是γ的 条件． ２．设α：１≤狓＜４， β ：狓＜犿，α是 β 的充分条件．求实数犿的取值范围． １ ６１．２ 常用逻辑用语 ３ 反证法 反证法是数学中常用的证明方法之一．下面，我们学习如何 用反证法证明一些命题． 在前面已经提到，要判断命题“若α，则 β ”是假命题，只要 存在一个满足条件α但不满足结论 β 的对象就行了．但是要判断 数学命题中的“所 有”也可称为“对任意 命题“若α，则 β ”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象 给定的一个”或“对每 一个”． 都满足结论 β．有时直接验证这一点并不是一件容易的事． 例５ 设狀∈犣．证明：若狀２ 是偶数，则狀也是偶数． 证明 假设结论“狀是偶数”不成立，即假设狀是奇数．由狀 是奇数，可设狀＝２犽＋１，犽∈犣． 因为 狀２＝（２犽＋１） ２＝４犽２＋４犽＋１＝４（犽２＋犽）＋１， 这说明狀２ 是奇数，与已知条件狀２ 是偶数矛盾． 所以，一开始的假设不成立，即狀是偶数． 例５的证明方法与以前的证明方法不同．它首先假设结论 β 不成立（ 为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 β “ β 为假”是不可能发生的，即结论 β 是正确的．这样的证明方法 叫反证法． 应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即 否定命题的结论．这一步是十分关键的．只有这一步表述对了， 接下来的逻辑推理才有意义． 数学上一些常用的否定形式见表１２． 表１２ 一些常用的否定形式 陈述句α α的否定形式 狓＞１ 狓≤１ 狓＞１或狔＞１ 狓≤１且狔≤１ 集合犃中满足性质狆的元素 集合犃中满足性质狆的元素 元素个数一般指 至少有两个 最多有一个 正整数． 所有的犪∈犃满足性质狆 至少存在一个犪∈犃不满足性质狆 所有的犪∈犃不满足性质狆 至少存在一个犪∈犃满足性质狆 例６ 设狓、狔∈犚．证明：若狓＋狔＞２，则狓＞１或狔＞１． 证明 用反证法证明． １ ７１ 集合与逻辑 假设狓≤１且狔≤１，则狓＋狔≤２，这与已知条件狓＋狔＞２ 矛盾． 结论“狓＞１或狔 ＞１”不成立，即“狓与 所以假设不成立，即狓＞１或狔＞１． 狔中至少有一个大于 １”不成立．也就是“狓 例５和例６证明的都是“若α，则 β ”形式的命题．对一些其 与狔都不大于１”． 他形式的命题，也可用反证法证明． 例７ 证明：槡２是无理数． 例７的证明是历 史上著名的一个反证 证明 用反证法证明． 法证明． 假设槡２是有理数．则可设 犿 槡２＝ ， 一个实数是有理 狀 数当且仅当它可以表 犿 其中犿与狀是互素的正整数．于是犿＝槡２狀．两边平方，得 示成两个整数的商 ． 狀 犿２＝２狀２．所以，犿２ 是偶数．由例５，知犿也是偶数．于是，可 如果犿与狀有大于１ 的公因数，总可以进 设犿＝２犽，犽为正整数．将其代入犿２＝２狀２ ，得２狀２＝４犽２ ，即 行约分，所以不妨设 犿与狀是互素的． 狀２＝２犽２ ，故狀２ 是偶数．再根据例５，知狀也是偶数．于是犿、狀 有公因数２，这与犿、狀互素的假设矛盾． 所以假设不成立，即槡２是无理数． 练习１．２（３） １．设狀∈犣．证明：若狀３ 是奇数，则狀是奇数． ２．证明：对于三个实数犪、犫、犮，若犪≠犮，则犪≠犫或犫≠犮． 习题１．２ 犃组 １．判断下列语句是否为命题： （１）有的正方形是三角形； （２）任意一个三角形的内角和都为１８０°； （３）１是自然数吗？ （４）３＞π； （５）２∈（０，５），且２∈犣． ２．判断下列命题的真假，并说明理由： （１）如果犪、犫都是奇数，那么犪＋犫是偶数； （２）一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； （３）如果犃∩犅＝犃，那么犃∪犅＝犅． １ ８１．２ 常用逻辑用语 ３．如果犪、犫、犮为实数，设α：犪＝犫＝犮＝０； β ：犪、犫、犮中至少有一个为０； γ：犪２＋槡犫＋｜犮｜＝０．那么α β ；α γ； β γ．（用符号“”“”或 “”填空） ４．下列各组中，α是 β 的什么条件？ （１）α：四边形犃犅犆犇的四条边等长， β ：四边形犃犅犆犇是正方形； （２）α：△犃犅犆与△犇犈犉全等， β ：△犃犅犆与△犇犈犉的周长相等； （３）α：狓是２的倍数， β ：狓是６的倍数； （４）α：集合犃犅，犅犆，犆犃， β ：集合犃＝犅＝犆； （５）α：犃∩犅＝犃∩犆， β ：犅＝犆． ５．已知犾、犿都是自然数，试判断“犾＋犿是偶数”与“犾、犿都是偶数”是否等价，并说 明理由． ６．证明：“四边形犃犅犆犇是平行四边形”是“四边形犃犅犆犇的对角线互相平分”的充要 条件． 犅组 １．判断下列命题的真假，并说明理由： （１）若犃∩犅＝，犆犅，则犃∩犆＝； 犫 （２）若犪、犫∈犚，则关于狓的方程（犪＋１）狓＋犫＝０的解为狓＝－ ． 犪＋１ ２．已知犪为实数．写出关于狓的方程犪狓２＋２狓＋１＝０至少有一个实根的一个充要条 件、一个充分非必要条件和一个必要非充分条件． ３．若α：｛２｝犅｛２，３，４｝， β ：犅＝｛２，４｝，则α是 β 的 （ ） Ａ．充分非必要条件； Ｂ．必要非充分条件； Ｃ．充要条件； Ｄ．既非充分又非必要条件． ４．已知α：狓＜３犿－１或狓＞－犿， β ：狓＜２或狓≥４． （１）若α是 β 的充分条件，求实数犿的取值范围； （２）若α是 β 的必要条件，求实数犿的取值范围． １ ９１ 集合与逻辑 内容提要 １．集合的概念与表示： （１）集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征．常 用数集有犖、犣、犙、犚等． （２）空集是不含任何元素的集合． （３）当犪、犫∈犚，且犪＜犫时，满足犪＜狓＜犫的所有实数狓组成的集合记作开区间 （犪，犫），满足犪≤狓≤犫的所有实数狓组成的集合记作闭区间［犪，犫］． ２．集合的关系与运算： （１）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合． （２）集合犃与犅的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作犃∩犅；集 合犃与犅的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作犃∪犅． （３）对于全集犝，其任一子集犃均有补集．一个集合犃的补集是指在全集犝中而不 在犃中的所有元素组成的集合，记作犃． ３．命题： （１）命题是指能判断其真假的语句． （２）命题有真、假两类． ４．充分条件与必要条件： （１）当αβ 时，α是 β 的充分条件， β 是α的必要条件． （２）当αβ 时，α是 β 的充要条件．此时，在推理过程中α与 β 能互相替换． ５．反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法． 复习题 犃组 １．用列举法表示下列集合： （１）十二生肖组成的集合； （２）中国国旗上所有颜色组成的集合． ２．用描述法表示下列集合： （１）平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合； （２）３的所有倍数组成的集合． ３．（１）若α：狓２－５狓＋６＝０， β ：狓＝２，则α是 β 的 条件； （２）若α：四边形犃犅犆犇是正方形， β ：四边形犃犅犆犇的两条对角线互相垂直平分， 则α是 β 的 条件． ２ ０复习题 ４．已知方程狓２＋狆狓＋４＝０的所有解组成的集合为犃，方程狓２＋狓＋狇＝０的所有解组成 的集合为犅，且犃∩犅＝｛４｝．求集合犃∪犅的所有子集． ５．已知集合犃＝（－２，１），犅＝（－∞，－２）∪［１，＋∞）．求：犃∪犅，犃∩犅． ６．已知全集犝＝（－∞，１）∪［２，＋∞），集合犃＝（－１，１）∪［３，＋∞）．求犃． ７．已知集合犃＝｛狓｜狓２＋狆狓＋狇＝０｝，犅＝｛狓｜狓２－狓＋狉＝０｝，且犃∩犅＝｛－１｝， 犃∪犅＝｛－１，２｝．求实数狆、狇、狉的值． ８．设犪是实数．若狓＝１是狓＞犪的一个充分条件，则犪的取值范围为 ． ９．已知陈述句α是 β 的充分非必要条件．若集合犕＝｛狓｜狓满足α｝，犖＝｛狓｜狓满足 β ｝， 则犕与犖的关系为 （ ） Ａ．犕犖； Ｂ．犕犖； Ｃ．犕＝犖； Ｄ．犕∩犖＝． １０．证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形． 犅组 １．若集合犕＝｛犪｜犪＝狓＋槡２狔，狓、狔∈犙｝，则下列结论正确的是 （ ） Ａ．犕犙； Ｂ．犕＝犙； Ｃ．犕犙； Ｄ．犕犙． ２．若α是 β 的必要非充分条件， β 是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则 δ是α的 条件，γ是α的 条件． ３．已知全集犝＝｛狓｜狓为不大于２０的素数｝．若犃∩犅＝｛３，５｝，犃∩犅＝｛７，１９｝， 犃∪犅＝｛２，１７｝，则犃＝ ，犅＝ ． ４．已知集合犘＝｛狓｜－２≤狓≤５｝，犙＝｛狓｜狓≥犽＋１且狓≤２犽－１｝，且犙犘．求实数 犽的取值范围． ５．已知全集犝＝犚，集合犃＝｛狓｜狓≤犪－１｝，犅＝｛狓｜狓＞犪＋２｝，犆＝｛狓｜狓＜０或狓≥ ４｝，且犃∪犅犆．求实数犪的取值范围． ６．已知集合犃＝｛狓｜（犪－１）狓２＋３狓－２＝０｝．是否存在这样的实数犪，使得集合犃有 且仅有两个子集？若存在，求出实数犪的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由． ７．证明：３槡２是无理数． 拓展与思考 １．设犪、犫是正整数．求证：若犪犫－１是３的倍数，则犪与犫被３除的余数相同． ２．已知非空数集犛满足：对任意给定的狓、狔∈犛（狓、狔可以相同），有狓＋狔∈犛且 狓－狔∈犛． （１）哪个数一定是犛中的元素？说明理由； （２）若犛是有限集，求犛； （３）若犛中最小的正数为５，求犛． ２ １２ 第 章 数量关系是数学重要的研究对象，相等关 系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与 等式 不等式则是表示相应数量关系的基本工具．等 式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛 与不等式 的应用． 我们将通过类比方法，学习有关等式与不 等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解 和证明一些基本的不等式．求解不等式通常有 两种方法，一种是代数方法，另一种是用函数观 点求解．在本章中，我们采用代数方法求解不 等式，而用函数观点求解将在后续章节加以学 习．在学习过程中，要注意等式与不等式之间 的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别 注意不等式取到等号的条件． 书书书２ 等式 与不等式 ２．１ 等式与不等式的性质 １ 等式的性质与方程的解集 数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是 最基本的数量关系．现实世界中存在着大量的相等和不等关系． 例如，圆的周长犆与其直径犱的比值等于一个常数π，直角三角 形的斜边长大于直角边长等． １ 最常见的相等关系是数量之间的相等，如ｓｉｎ３０°与 相等， ２ １ 并可表示为ｓｉｎ３０°＝ ．用等号“＝”把两个表达式连接起来，所 ２ 得的式子称为等式（ｅｑｕａｌｉｔｙ）． 等式具有以下性质： （１）传递性 设犪、犫、犮均为实数， 如果犪＝犫，且犫＝犮，那么犪＝犮． （２）加法性质 设犪、犫、犮均为实数， 如果犪＝犫，那么犪＋犮＝犫＋犮． （３）乘法性质 设犪、犫、犮均为实数， 如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮． 当一个等式成立时，由上面的性质，在等式两边减去同一个 数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立． 例１ 设犪、犫、犮、犱是实数，判断下列命题的真假，并 说明理由： （１）如果犪＝犫，且犮＝犱，那么犪＋犮＝犫＋犱； （２）如果犪＝犫，且犮＝犱，那么犪犮＝犫犱； １ １ （３）如果犪＝犫≠０，那么 ＝ ； 犪 犫 （４）如果犪＝犫，那么犪狀＝犫狀 ，其中狀是正整数； （５）如果犪犮＝犫犮，那么犪＝犫； （６）如果（犪－犫） ２＋（犫－犮） ２＝０，那么犪＝犫＝犮． ２ ４２．１ 等式与不等式的性质 解 （１）（２）（３）（４）（６）都是真命题；（５）是假命题． （１）（２）可由等式的加法性质、乘法性质及等式的传递性得到． １ （３）在犪＝犫的两端同乘 可得到． 犪犫 （４）将（２）中的犮换成犪，犱换成犫，可得犪２＝犫２ ，并反复用 乘法性质可得． （５）因为当犮＝０时，即使犪≠犫，仍有犪犮＝犫犮＝０． （６）若犪、犫、犮不都相等，不妨设犪与犫不相等，则条件等 式的左边为正数，而右边为零，矛盾，因而等式成立． 我们知道，含有未知数的等式称为方程（ｅｑｕａｔｉｏｎ）．使得方 程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解（ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ）．以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集 （ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔｏｆａｎｅｑｕａｔｉｏｎ）． 方程的解和未知数的取值范围有关．同一方程在未知数的不 同取值范围内求解，其解集不一定相同．例如，方程 （ ） １ 狓－ （狓－１）（狓－槡２）＝０ ２ 烄 １烌 在自然数集中的解集为｛１｝，在有理数集中的解集为 烅１，烍 ，而 烆 ２烎 烄 １ 烌 在实数集中的解集为 烅１， ，槡２烍． 烆 ２ 烎 在本章中，都是在实数集中求解方程． 例２ 设犪、犫∈犚，求关于狓的方程犪狓＝犫的解集． 烄犫烌 解 当犪≠０时，解集为 烅 烍 ； 烆犪烎 当犪＝０，犫＝０时，解集为犚； 当犪＝０，犫≠０时，解集为． 例３ 设犽∈犚，求关于狓与狔的二元一次方程组 烄狔＝２狓＋１， 烅 的解集． 烆狔＝犽狓＋３ 解 两式相减，得（２－犽）狓＝２． ２ ６－犽 当犽≠２时，将狓＝ 代入方程狔＝２狓＋１，得狔＝ ． ２－犽 ２－犽 （ ） 烄 ２ ６－犽烌 此时，原方程组的解集为 烅 ， 烍． 烆２－犽 ２－犽烎 当犽＝２时，方程 （２－犽）狓＝２无解，从而原方程组无解， 其解集为． ２ ５２ 等式 与不等式 练习２．１（１） １．设犪、犫、犮、犱是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （１）若犪２＝犫２ ，则犪＝犫； （２）若犪（犮２＋１）＝犫（犮２＋１），则犪＝犫； （３）若犪犫＝０，则犪＝０或犫＝０； 犪 犫 犪＋犫 犪 （４）若 ＝ ，且犮＋犱≠０，则 ＝ ． 犮 犱 犮＋犱 犮 ２．设犪∈犚，求关于狓的方程犪狓＝犪２＋狓－１的解集． 烄狔＝犽狓＋１， ３．设犽∈犚，求关于狓与狔的二元一次方程组 烅 的解集． 烆狔＝２犽狓＋３ 一元二次方程的解集 ２ 及根与系数的关系 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根（ｒｏｏｔ）．如果一元 二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做重根（ｄｏｕｂｌｅｒｏｏｔ）． 重根在解集中只能出现一次． 在初中已经学过如何求一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）的根，下面让我们来表示其相应的解集． 例４ 求一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的解集． 解 原方程解的情况由其判别式Δ＝犫２－４犪犮的符号决定： 当Δ＞０时，解集为 烅 烄－犫＋槡犫２－４犪犮 ， －犫－槡犫２－４犪犮 烍 烌 ， 烆 ２犪 ２犪 烎 简记为 烅 烄－犫±槡犫２－４犪犮 烍 烌 ． 烆 ２犪 烎 烄 犫烌 当Δ＝０时，解集为 烅－ 烍． 烆 ２犪烎 当Δ＜０时，解集为． 例５ 证明：犪＝犪，犫＝犫，犮＝犮是等式 １ ２ １ ２ １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２＋犫狓＋犮 １ １ １ ２ ２ ２ 恒成立的充要条件． 证明 先证充分性．若犪＝犪，犫＝犫，犮＝犮，则等式 １ ２ １ ２ １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２＋犫狓＋犮 １ １ １ ２ ２ ２ 自然恒成立． ２ ６２．１ 等式与不等式的性质 再证必要性．由于等式 犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２＋犫狓＋犮 １ １ １ ２ ２ ２ 恒成立，分别令狓＝０，１，－１，并代入上式，得 等式犪狓２＋犫狓 １ １ ＋犮＝犪狓２＋犫狓＋犮 烄犮＝犮， 恒成 １ 立， ２ 即该等 ２ 式对 ２ １ ２ 任意实数狓都成立． 烅犪＋犫＋犮＝犪＋犫＋犮， １ １ １ ２ ２ ２ 烆犪－犫＋犮＝犪－犫＋犮， １ １ １ ２ ２ ２ 由此，得 犪＝犪，犫＝犫，犮＝犮． １ ２ １ ２ １ ２ 例４告诉我们，给定了一个一元二次方程的系数，就可以确 定该方程的根和解集．反过来，如果已知一个一元二次方程的两 个根，能否确定此方程的系数呢？描述一元二次方程根与系数关 系的韦达定理就回答了这一问题． 韦达定理 若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的 两个根为狓、狓，则 １ ２ 犫 犮 韦达（Ｆ．Ｖｉèｔｅ，１５４０— 狓＋狓＝－ ，狓狓＝ ． １ ２ 犪 １ ２ 犪 １６０３），法国数学家． 证明 因为一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根为狓、 １ 狓，所以二次三项式犪狓２＋犫狓＋犮可以因式分解为 请用求根公式验 ２ 证韦达定理． 犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓）（狓－狓）． １ ２ 由于 犪（狓－狓）（狓－狓）＝犪狓２－犪（狓＋狓）狓＋犪狓狓， １ ２ １ ２ １ ２ 从而等式犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２－犪（狓＋狓）狓＋犪狓狓 恒成立．由 １ ２ １ ２ 例５知，该等式两边的对应项系数应相等．因此 犫 犮 狓＋狓＝－ ，狓狓＝ ． １ ２ 犪 １ ２ 犪 例６ 已知方程狓２＋狓－３＝０的两个根为狓、狓，求下 １ ２ 列各式的值： （１）狓２狓＋狓２狓； （２）｜狓－狓｜． １ ２ ２ １ １ ２ 解 由韦达定理，得狓＋狓＝－１，狓狓＝－３． １ ２ １ ２ （１）狓２狓＋狓２狓＝狓狓（狓＋狓）＝－３×（－１）＝３． １ ２ ２ １ １ ２ １ ２ （２）｜狓－狓｜＝槡（狓－狓） ２＝槡（狓＋狓） ２－４狓狓 １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ＝槡（－１） ２－４×（－３）＝槡１３． 练习２．１（２） １．求一元二次方程犪狓２－４狓＋２＝０（犪≠０）的解集． ２ ７２ 等式 与不等式 ２．已知方程２狓２＋４狓－３＝０的两个根为狓、狓，求下列各式的值： １ ２ １ １ （１）狓２狓＋狓２狓； （２） ＋ ； １ ２ ２ １ 狓 狓 １ ２ （３）狓２＋狓２ ； （４）狓３＋狓３． １ ２ １ ２ ３ 不等式的性质 两个实数之间不仅可以有相等关系，还可以有大小关系． 对于两个实数犪、犫，如果犫－犪是正数，就称犫大于犪，记 为犫＞犪；如果犫－犪是负数，就称犫小于犪，记为犫＜犪；如果 犫－犪是零，就称犫等于犪，记为犫＝犪．这就是说 犫＞犪犫－犪＞０； 犫＝犪犫－犪＝０； 犫＜犪犫－犪＜０． 这是研究一切不等式的基础． 显然，对于任意给定的两个实数犪、犫， 犫＞犪犪＜犫． 根据实数的大小关系，对任何两个给定的实数犪、犫，或者 犪＞犫，或者犪＜犫，或者犪＝犫，三者中有且只有一种情况成立． 通常，符号犫≥犪（读作犫大于等于犪）表示犫＞犪或犫＝犪；符 号犫≤犪（读作犫小于等于犪）表示犫＜犪或犫＝犪． 大于号＞，小于号＜，大于等于号≥，小于等于号≤都称 为不等号．用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式 （ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）． 根据实数间的大小关系，类比于等式性质，我们可以得到不 等式的基本性质． （１）传递性 设犪、犫、犮均为实数， 如果犪＞犫，且犫＞犮，那么犪＞犮． 证明 因为犪＞犫，所以犪－犫＞０． 同理，由犫＞犮，有犫－犮＞０． 由于两个正数的和是正数，于是 犪－犮＝（犪－犫）＋（犫－犮）＞０， 即犪＞犮． ２ ８２．１ 等式与不等式的性质 （２）加法性质 设犪、犫、犮均为实数， 不等式加法性质 如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮． 表明：在不等式的两 边加上（或减去）同一 个实数，不等号的方 证明 因为犪＞犫，所以犪－犫＞０． 向不变． 于是有 （犪＋犮）－（犫＋犮）＝犪－犫＞０， 即犪＋犮＞犫＋犮． 不等式乘法性质 表明：在不等式的两 边乘（或除以）同一个 （３）乘法性质 设犪、犫、犮均为实数， 正数，不等号的方向 如果犪＞犫，且犮＞０，那么犪犮＞犫犮； 不变．但若乘（或除 以）同一个负数，不等 如果犪＞犫，且犮＜０，那么犪犮＜犫犮． 号的方向要改变． 证明 显然，犪犮－犫犮＝（犪－犫）犮． 等式与不等式的 因为犪＞犫，所以犪－犫＞０． 性质有什么相同点和 不同点？ 当犮＞０时，（犪－犫）犮＞０，所以犪犮＞犫犮； 当犮＜０时，（犪－犫）犮＜０，所以犪犮＜犫犮． 例７ 证明：如果犪＋犫＞犮，那么犪＞犮－犫；反之亦然． 证明 若犪＋犫＞犮，利用不等式的加法性质，在不等式两边 同加－犫，即得犪＞犮－犫． 反过来，若犪＞犮－犫，仍利用不等式的加法性质，在不等式 两边同加犫，即得犪＋犫＞犮． 例７表明，将不等式中的任一项改变符号后，可以从不等式 的一边移到不等式的另一边．在研究不等式时，移项常用于化简 一个不等式． 例８ 已知犪＞犫，犮＞犱．求证：犪＋犮＞犫＋犱． 例８表明，由 证明 因为犪＞犫，犮＞犱，所以犪－犫＞０，犮－犱＞０． 犪＞犫，犮＞犱 可推出 于是 犪＋犮＞犫＋犱． 这称为不等式的同向 （犪＋犮）－（犫＋犱）＝（犪－犫）＋（犮－犱）＞０， 可加性． 即犪＋犮＞犫＋犱． 例９ 已知犪＞犫，犮＞犱．求证：犪－犱＞犫－犮． 证明 因为犪＞犫，犮＞犱，所以犪－犫＞０，犮－犱＞０． 于是 犪－犱－（犫－犮）＝（犪－犫）＋（犮－犱）＞０， 即犪－犱＞犫－犮． ２ ９２ 等式 与不等式 １ １ 例１０ （１）已知犪＞犫＞０，求证： ＞ ＞０； 犫 犪 较大的数的倒数 是否一定比较小的数 犪 犫 （２）已知犪＞犫＞０，犮＞犱＞０．求证： ＞ ． 的倒数小？ 犱 犮 证明 （１）因为犪＞犫＞０，所以犪犫＞０． １ 由不等式的乘法性质，在不等式犪＞犫的两边同时乘 ，得 犪犫 犪 犫 １ １ ＞ ，即 ＞ ＞０． 犪犫犪犫 犫 犪 １ １ （２）因为犮＞犱＞０，利用（１）的结论，有 ＞ ＞０． 犱 犮 犪 犪 又因为犪＞犫＞０，由不等式的乘法性质，有 ＞ ＞０及 犱 犮 犪 犫 犪 犫 ＞ ＞０，从而由不等式的传递性得到 ＞ ． 犮 犮 犱 犮 练习２．１（３） １．设犪、犫、犮、犱为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （１）如果犪＞犫，犮＞犱，那么犪＋犱＞犫＋犮； （２）如果犪犫＞犪犮，那么犫＞犮； （３）如果犪≥犫且犪≤犫，那么犪＝犫； １ １ 犪 犫 （４）如果犪＞犫， ＞ ，那么 ＞ ； 犮 犱 犮 犱 犫 犱 （５）如果 ＞ ，那么犫犮＞犪犱． 犪 犮 １ １ ２．设犪犫＞０，求证：犪＞犫是 ＜ 的充要条件． 犪 犫 例１１ （１）已知犪＞犫＞０，犮＞犱＞０．求证：犪犮＞犫犱； （２）已知犪＞犫＞０，求证：犪狀＞犫狀 ，其中狀是正整数． 证明 （１）因为犪＞犫，犮＞０，所以犪犮＞犫犮．又因为犮＞犱， 犫＞０，所以犫犮＞犫犱．由不等式的传递性，得犪犮＞犫犱． （２）将（１）结论中的犮换成犪，犱换成犫，就得到犪２＞犫２＞０． 结合犪＞犫＞０，再次利用（１）的结论，可得犪３＞犫３＞０，反复运用 （１）的结论，最终就得到犪狀＞犫狀． 例１２ 已知犪、犫为正数，狀为正整数．求证：如果 犪狀＞犫狀 ，那么犪＞犫． 证明 利用反证法．首先根据实数的性质可知，在犪＞犫， 犪＜犫及犪＝犫三者中有且仅有一个成立．假定结论犪＞犫不成立， ３ ０２．１ 等式与不等式的性质 那么或者犪＜犫，或者犪＝犫． 如果犪＜犫，由于犪、犫都是正数，利用例１１（２）的结论，那 么两边狀次乘方，可得犪狀＜犫狀 ，与假设犪狀＞犫狀 矛盾； 如果犪＝犫，两边狀次乘方得犪狀＝犫狀 ，同样与假设犪狀＞犫狀 矛盾． 综上所述，犪≤犫不可能成立，因此犪＞犫． 为比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的 符号．要比较两个表达式犃及犅的大小，同样可以采用类似的 方法．例如，要证明犃＞犅，只需证明犃－犅＞０；同样地，要证 明犃＜犅，只需证明犃－犅＜０． 定理 对任意的实数犪和犫，总有 犪２＋犫２≥２犪犫， 且等号当且仅当犪＝犫时成立． 证明 因为 犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫） ２≥０， 所以 犪２＋犫２≥２犪犫， 而且当且仅当犪－犫＝０即犪＝犫时，不等式中等号成立． 例１３ 设犪是实数，比较 （犪＋１） ２ 与犪２－犪＋１的值的 大小． 解 （犪＋１） ２－（犪２－犪＋１）＝犪２＋２犪＋１－犪２＋犪－１＝３犪． 当犪＞０时，（犪＋１） ２＞犪２－犪＋１； 当犪＝０时，（犪＋１） ２＝犪２－犪＋１； 当犪＜０时，（犪＋１） ２＜犪２－犪＋１． 练习２．１（４） １．设犪、犫、犮是实数，判断下列命题的真假，并说明理由． （１）如果犪犮２＞犫犮２ ，那么犪＞犫； 犮 （２）如果犪犫＞犮，那么犪＞ ； 犫 （３）如果犪＞犫≥０，那么槡犪＞槡犫． ２．设狓是实数，比较狓２＋４与４狓的值的大小． ３ １２ 等式 与不等式 习题２．１ 犃组 １．设犪∈犚，求关于狓的方程犪狓＝２的解集． 烄狔＝－２狓＋１， ２．设犽∈犚，求关于狓与狔的二元一次方程组 烅 的解集． 烆狔＝犽狓－３ ３．设犪∈犚，求一元二次方程狓２－２犪狓＋犪２－４＝０的解集． ４．已知等式２狓２＋３狓＋５＝犪（２狓＋１）（狓＋１）＋犮恒成立，求常数犪、犮的值． ５．已知一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两实根为狓、狓，求证： １ ２ 槡犫２－４犪犮 狓－狓 ＝ ． ２ １ 犪 ６．已知一元二次方程狓２＋３狓－３＝０的两个实根分别为狓、狓，求作二次项系数是 １ ２ １，且分别以下列数值为根的一元二次方程： （１）－狓，－狓； （２）２狓＋１，２狓＋１； １ ２ １ ２ １ １ （３） ， ； （４）狓２ ，狓２． 狓 狓 １ ２ １ ２ ７．设犪、犫、犮、犱为实数，判断下列命题的真假： （１）若犪＞犫≥０，则犪２＞犫２ ； （２）若槡犪＞槡犫，则犪＞犫； 犪 犫 （３）若犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，则 ＞ ； 犮 犱 犫 （４）若 ＞０，则犪犫＞０； 犪 （５）若犪＞犫＞０，则犪２＞犪犫＞犫２ ； （６）若槡犪＞犫，则犪＞犫２． ８．选择题： （１）如果犪２＞犫２ ，那么下列不等式中成立的是 （ ） Ａ．犪＞０＞犫； Ｂ．犪＞犫＞０； Ｃ．｜犪｜＞｜犫｜； Ｄ．犪＞｜犫｜． （２）如果犪＜犫＜０，那么下列不等式中成立的是 （ ） 犪 １ １ １ １ Ａ． ＜１； Ｂ．犪２＞犪犫； Ｃ． ＜ ； Ｄ． ＜ ． 犫 犫２ 犪２ 犪 犫 （３）如果犪＜０＜犫，那么下列不等式中成立的是 （ ） Ａ．槡－犪＜槡犫； Ｂ．犪２＜犫２ ； Ｃ．犪３＜犫３ ； Ｄ．犪犫＞犫２． ９．证明：“犪＞０且犫＞０”是“犪＋犫＞０且犪犫＞０”的充要条件． ３ ２２．１ 等式与不等式的性质 １０．设狓是实数，比较 （狓＋１）（狓２－狓＋１）与 （狓－１）（狓２＋狓＋１）的值的大小． １１．试比较下列各数的大小，并说明理由： （１）３＋槡３与２＋槡５； （２）槡３＋槡５与槡２＋槡６． １２．设犪、犫为实数，比较犪２＋犫２ 与２犪－２犫－２的值的大小． １３．已知犪＞犫，犮＞犱．求证：犪犮＋犫犱＞犪犱＋犫犮． １４．已知犪≥－１，求证：犪３＋１≥犪２＋犪． １５．已知犪、犫为任意给定的正数，求证：犪３＋犫３≥犪犫２＋犫犪２ ，并指出等号成立的 条件． 犅组 １．设犪为实数，求关于狓的方程２狓＋犪２＝犪狓＋４的解集． ２．设犿为实数，求关于狓的方程 （犿＋１）狓２＋６犿狓＋９犿＝１的解集． ３．已知等式２狓２－３狓－１＝犪（狓－１） ２＋犫（狓－１）＋犮恒成立，其中犪、犫、犮为常数． 求犪－犫＋犮的值． ４．对一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），证明：犪犮＜０是该方程有两个异号实根的 充要条件． ５．已知一元二次方程２狓２＋狓－３＝０的两个实根分别为狓、狓，求作二次项系数是 １ ２ １，且分别以下列数值为根的一元二次方程： （１）狓＋狓，狓狓； （２）２狓２＋１，２狓２＋１； １ ２ １ ２ １ ２ 狓 狓 （３） ２， １； （４）狓４ ，狓４． 狓 狓 １ ２ １ ２ ６．已知一元二次方程狓２－２犿狓＋犿－１＝０的两实根为狓、狓，且狓２＋狓２＝４．求实 １ ２ １ ２ 数犿的值． ７．已知实数犪、犫、犮满足犪＋犫＋犮＝０，且犪＞犫＞犮．求证：犪＞０且犮＜０． ８．设狊＝犪＋犫，狆＝犪犫（犪、犫∈犚），写出“犪＞１且犫＞１”用狊、狆表示的一个充要条件， 并证明． 犫 ９．原有酒精溶液犪（单位：ｇ），其中含有酒精犫（单位：ｇ），其酒精浓度为 ．为增加 犪 犫＋狓 酒精浓度，在原溶液中加入酒精狓（单位：ｇ），新溶液的浓度变为 ．根据这一事实， 犪＋狓 犫 犫＋狓 可提炼出如下关于不等式的命题：若犪＞犫＞０，狓＞０，则 ＜ ＜１．试加以证明． 犪 犪＋狓 ３ ３２ 等式 与不等式 ２．２ 不等式的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值 称为该不等式的解（ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．一个不等式的解的 全体所组成的集合称为此不等式的解集（ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔｏｆａｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．求不等式解集的过程称为不等式的求解或解不等式 （ｓｏｌｖｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．将含有相同未知数的多个不等式联立起来， 就得到不等式组．解不等式组就是求不等式组中的所有不等式的 解集的交集． 解方程时，往往要先将原先比较复杂的方程变形化为较简单 的方程，再通过解这个比较简单的方程来求出原方程的解．同 理，解不等式时，常常要通过等价变形，将原不等式化为较简单 的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集． 一元一次不等式 １ 及一元一次不等式组的求解 例１ 设犪为实数，求关于狓的不等式犪狓＜１的解集． 解 由不等式的性质，可得： （ ） １ 当犪＞０时，解集为 －∞， ； 犪 当犪＝０时，解集为犚； （ ） １ 当犪＜０时，解集为 ，＋∞ ． 犪 例２ 设犪为实数，解关于狓的一元一次不等式组 我们可以在数轴 烄２狓＋犪＞０， 上表示例２中的不等式 烅 组的解集，如图２２１ 烆３狓－６犪＜０． 所示． 烄２狓＞－犪， 解 根据不等式的性质，原不等式组等价于 烅 烆３狓＜６犪， 整理得 烄 犪 狓＞－ ， ２ 烅 烆狓＜２犪． （ ） 犪 因此，当犪＞０时，解集为 － ，２犪；当犪≤０时，解 ２ 图２２１ 集为． ３ ４２．２ 不等式的求解 ２ 一元二次不等式的求解 在交通事故中，交通管理部门往往通过测量肇事汽车的刹车 距离来推断该车辆实施刹车前的行驶速度，并作为断定司机在肇 事前是否有超速违章行为的重要参考依据． 假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于 ２０ｍ，试推断该汽车在刹车前的车速是否超过该水泥道路上机 此刹车案例参考 了由吉奥丹诺（Ｆ．Ｒ． 动车的限速规定３０ｋｍ／ｈ．在一般情况下，我们可以采用如下 Ｇｉｏｒｄａｎｏ）等著、叶其 孝等译的《数学建模》 数学模型来描述该种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离 一书．为便于理解， 原始模型中的距离单 犱（单位：ｍ）与刹车前的车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）之间的关系： 位英里、英尺换算为 千米、米，参数值也 犱＝０．２０８５狏＋０．００６４狏２． 做了相应调整． 因此，我们需要通过求解不等式０．２０８５狏＋０．００６４狏２＞２０来 判断狏是否大于３０ｋｍ／ｈ．这就是一个一元二次不等式的求解 问题． 定义 设犪、犫、犮为实数，且犪≠０，形如 犪狓２＋犫狓＋犮＞０（＜０，≥０或≤０） 的不等式统称为一元二次不等式（ｑｕａｄｒａｔｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅ ｖａｒｉａｂｌｅ）． 让我们先来看两个例子． 请参照图２２１， 例３ 解不等式 （狓－３）（狓＋１）＞０． 在数轴上表示出例３ 的解集． 解 利用不等式的性质，原不等式等价于两个一次式狓－３ 烄狓＋１＞０， 烄狓＋１＜０， 和狓＋１同号，即等价于不等式组 烅 或 烅 烆狓－３＞０ 烆狓－３＜０． 烄狓＞－１， 烄狓＜－１， 由此得 或 烅 烅 烆狓＞３ 烆狓＜３． 因此，原不等式的解集为这两个不等式组解集的并集 （－∞，－１）∪（３，＋∞）． 例４ 解不等式 （狓－１）（狓＋４）＜０． 解 利用不等式的性质，原不等式等价于 烄狓－１＜０， 烄狓－１＞０， 或 烅 烅 烆狓＋４＞０ 烆狓＋４＜０． 烄狓＜１， 由第一组不等式，得 烅 其解集为（－４，１）；而由第二 烆狓＞－４， ３ ５２ 等式 与不等式 烄狓＞１， 组不等式，得 烅 其解集为． 烆狓＜－４， 因此，原不等式的解集为（－４，１）． 下面，我们来讨论如何求解一般的一元二次不等式 犪狓２＋犫狓＋犮＞０与犪狓２＋犫狓＋犮＜０． 不失一般性，我们总假设二次项系数犪＞０．因为当犪＜０时，只 要在原不等式两边同乘－１，并改变不等号的方向，就可以转化 为犪＞０的情形． 通过例３和例４，我们可以发现：一元二次不等式的求解与 相应的一元二次方程的求解密切相关． 事实上，当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮 ＝０有两个不同的实根，记为狓、狓，其中狓＜狓．利用因式 １ ２ １ ２ 分解，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪（狓－狓）（狓－狓）＞０，且 １ ２ 由于犪＞０，原不等式等价于（狓－狓）（狓－狓）＞０．类似于例３， １ ２ 易知不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集为（－∞，狓）∪（狓，＋∞）．相 １ ２ 应地，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０等价于（狓－狓）（狓－狓）＜０．类似 １ ２ 于例４，易知不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０的解集为（狓，狓）． １ ２ 同理，当犪＞０时，不等式犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于（狓－狓） １ （狓－狓）≥０，其解集为 （－∞，狓］∪ ［狓，＋∞）；而不等式 ２ １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于（狓－狓）（狓－狓）≤０，其解集为［狓，狓］． １ ２ １ ２ 设方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪＞０）的判别式Δ＝犫２－４犪犮＞０， 其两根记为狓、狓，且狓＜狓，则可将上述不等式的求解结果 １ ２ １ ２ 总结成下表： 表２１ 犪＞０，Δ＞０ 犪狓２＋犫狓＋犮＞０ 解集为（－∞，狓）∪（狓，＋∞） １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮＜０ 解集为（狓，狓） １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮≥０ 解集为（－∞，狓］∪［狓，＋∞） １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮≤０ 解集为［狓，狓］ １ ２ １ 例５ 解不等式 －２狓２＋３狓－ ≥０． ２ １ 解 将不等式两边乘－１，原不等式就化为２狓２－３狓＋ ≤０． ２ １ ３±槡５ 相应的一元二次方程２狓２－３狓＋ ＝０的两根为 ． ２ ４ ３ ６２．２ 不等式的求解 熿３－槡５３＋槡５燄 对照表２１，可知原不等式的解集为 ， ． 燀 ４ ４ 燅 对前面提到的判别超速问题，只要求出相应的一元二次不等 式０．２０８５狏＋０．００６４狏２＞２０的解集即可．利用前面的方法，容易解 －０．２０８５－槡０．２０８５２－４×０．００６４×（－２０） 得狏＜ ｋｍ／ｈ（舍去） ２×０．００６４ －０．２０８５＋槡０．２０８５２－４×０．００６４×（－２０） 或狏＞ ｋｍ／ｈ（约为 ２×０．００６４ ４１．９ｋｍ／ｈ）． 由此可推断出该肇事汽车在刹车前的车速大于４１ｋｍ／ｈ，超 过该道路上机动车的限速规定３０ｋｍ／ｈ．这个推断将成为交通管 理部门认定事故责任的重要依据之一． 练习２．２（１） １．设犪≠１，解关于狓的不等式：犪狓＜犪２＋狓－１． ２．填空题： （１）（狓－２）（狓＋３）＜０的解集是 ； （２）（２－狓）（狓＋３）＜０的解集是 ； （３）（狓－２）（狓＋３）≥０的解集是 ． ３．求下列不等式的解集： （１）－８狓≤３狓２＋４； （２）－狓２＜２狓－４． 一元二次不等式的求解与相应的一元二次方程的求解紧密相 关．我们已经知道，当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，如何求解不等式 犪狓２＋犫狓＋犮＞０（＜０，≥０或≤０）．那么，当Δ＝犫２－４犪犮≤０时， 情况又如何呢？ 不失一般性，我们仍然只讨论犪＞０的情形． 先看 两 个 简 单 的 例 子：狓２ ＞０ 的 解 集 为 （－∞，０）∪ （０，＋∞），而（狓－１） ２＋１＜０的解集为． 再看一般的情况，首先讨论Δ＝犫２－４犪犮＝０的情形．这时，一 犫 元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有重根狓＝狓＝－ ．由因式分解， １ ２ ２犪 不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪（狓－狓） ２＞０．又由于犪＞０，原不 １ 等式等价于（狓－狓） ２＞０，其解集为（－∞，狓）∪（狓，＋∞）．相应 １ １ １ 地，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０等价于（狓－狓） ２＜０，其解集为． １ 同理，不等式犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于（狓－狓） ２≥０，其解集为 １ 犚；而不等式犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于（狓－狓） ２≤０，其解集为｛狓｝． １ １ ３ ７２ 等式 与不等式 其次讨论 Δ＝犫２－４犪犮＜０的情形．这时，一元二次方程 犪狓２＋犫狓＋犮＝０没有实根．犪狓２＋犫狓＋犮无法在实数范围内因式 （ ） 犫 ２ 分解．由配方法，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪狓＋ ＋ ２犪 （ ） ４犪犮－犫２ 犫 ２ ＞０，移项并在不等式两边同时除以犪，可得狓＋ ＞ ４犪 ２犪 犫２－４犪犮 犫２－４犪犮 ．因为Δ＜０， ＜０，所以上述不等式的解集为犚． ４犪２ ４犪２ （ ） 犫 ２ 犫２－４犪犮 相应地，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０等价于狓＋ ＜ ，其 ２犪 ４犪２ 解集为． （ ） 犫 ２ 犫２－４犪犮 同理，不等式犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于狓＋ ≥ ，其 ２犪 ４犪２ （ ） 犫 ２ 犫２－４犪犮 解集为犚；而不等式犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于狓＋ ≤ ， ２犪 ４犪２ 其解集为． 上述结果可总结成下表： 表２２ 犪＞０，Δ＝０ 犪＞０，Δ＜０ 解集为（－∞，狓） 犪狓２＋犫狓＋犮＞０ １ 犪狓２＋犫狓＋犮＞０ 解集为犚 ∪（狓，＋∞） １ 犪狓２＋犫狓＋犮＜０ 解集为 犪狓２＋犫狓＋犮＜０ 解集为 犪狓２＋犫狓＋犮≥０ 解集为犚 犪狓２＋犫狓＋犮≥０ 解集为犚 犪狓２＋犫狓＋犮≤０ 解集为｛狓｝ 犪狓２＋犫狓＋犮≤０ 解集为 １ 例６ 解下列不等式： （１）狓２≤４狓－４； （２）狓（狓＋１）≥７狓－９； （３）４狓２－４狓＋３＞０； （４）狓２≤狓－２． 解 （１）将原不等式移项，得狓２－４狓＋４≤０，即（狓－２） ２≤０． 此时，相应的判别式Δ＝犫２－４犪犮＝０，原不等式的解集为｛２｝． （２）将原不等式移项并整理，得狓２－６狓＋９≥０，相应的判 别式Δ＝犫２－４犪犮＝０，原不等式解集为犚． （３）相应的判别式Δ＝犫２－４犪犮＝－３２＜０，故由表２２知， 原不等式的解集为犚． （４）将原不等式移项，得狓２－狓＋２≤０，相应的判别式 Δ＝犫２－４犪犮＝－７＜０，故由表２２知，原不等式的解集为． ３ ８２．２ 不等式的求解 练习２．２（２） １．解下列不等式： （１）狓＋２＞－狓２ ； （２）－狓２＋３狓－４＞０； （３）９狓２－６狓＋１＞０； （４）４狓－狓２＞４； １ ２ （５）２狓２＋１≥狓； （６）狓２＋ ≥ 狓． ９ ３ ２．写出一个一元二次不等式，使它的解集分别为： （１）（３－槡２，３＋槡２）； （２）（－∞，３－槡２］∪［３＋槡２，＋∞）； （３）犚； （４）． 烄狓－３＞０， 例７ 解不等式组 烅 烆狓２－３狓－４＞０． 烄狓－３＞０， 解 原不等式组等价于 烅 即 烆 （狓－４）（狓＋１）＞０， 烄狓＞３， 烅 烆狓＞４或狓＜－１． 解得狓＞４． 因此，原不等式组的解集为（４，＋∞）． 例８ 若关于狓的不等式 狓２＋（犽－１）狓＋４＞０ 的解集为犚，求实数犽的取值范围． 解 因为不等式狓２＋（犽－１）狓＋４＞０的解集为犚，由表２１ 及表２２，可知方程狓２＋（犽－１）狓＋４＝０的判别式 Δ＝（犽－１） ２－１６＜０， 即 （犽＋３）（犽－５）＜０，解得 －３＜犽＜５． 所以，当犽∈（－３，５）时，不等式狓２＋（犽－１）狓＋４＞０的解 集为犚． 例９ 已知一元二次不等式狓２＋犫狓＋犮＜０的解集为 （１，２），求实数犫、犮的值以及不等式犫狓２－５狓＋犮≤０的解集． 解 由题意，并对照表２１及表２２，可知一元二次方程 狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根是１和２．利用根与系数的关系，得 犫＝－（１＋２）＝－３，犮＝１×２＝２． 将犫、犮的值代入不等式犫狓２－５狓＋犮≤０，得－３狓２－５狓＋２≤０， 即３狓２＋５狓－２≥０，也就是（３狓－１）（狓＋２）≥０，其解集为 ［ ） １ （－∞，－２］∪ ，＋∞ ． ３ ３ ９２ 等式 与不等式 练习２．２（３） １．求下列不等式组的解集： 烄狓２－２狓－３＞０， 烄狓２－２狓－１５≥０， （１） 烅 （２） 烅 烆狓－１＞０； 烆狓２－４狓－１２＜０． ２．若关于狓的不等式狓２－狓＋犿＜０的解集为，求实数犿的取值范围． ３．已知一元二次不等式狓２－犪狓－犫＜０的解集为（２，３），求实数犪、犫的值及不等式 犫狓２－犪狓－１＞０的解集． ３ 分式不等式的求解 下面，我们将利用一元一次不等式（组）和一元二次不等式 （组）的解法求解一些简单的含有分式的不等式． 犪狓＋犫 例如，求解分式不等式 ＞０．该不等式等价于分子和 犮狓＋犱 烄犪狓＋犫＞０， 烄犪狓＋犫＜０， 分母同号，即 或 这样，就可将分式 烅 烅 烆犮狓＋犱＞０ 烆犮狓＋犱＜０． 不等式化为不等式组求解．另外，分子和分母同号也等价于 （犪狓＋犫）（犮狓＋犱）＞０，这也能将分式不等式化为整式不等式 求解． 狓＋３ 例１０ 解不等式 ＞０． ４－狓 解 原不等式等价于狓＋３与４－狓同号，也就是 （狓＋３）（４－狓）＞０， 即 （狓＋３）（狓－４）＜０． 所以，原不等式的解集为（－３，４）． ５狓＋３ 例１１ 解不等式 ≤３． 狓－１ ２狓＋６ 解 移项并整理，可将原不等式化为 ≤０． 狓－１ 另外，要使原不等式左边的分式有意义，要求狓－１≠０． 于是，原不等式可转化为 烄（２狓＋６）（狓－１）≤０， 烅 烆狓－１≠０， ４ ０２．２ 不等式的求解 即 烄－３≤狓≤１， 烅 烆狓≠１． 所以，原不等式的解集为［－３，１）． 狓＋５ 例１２ 解不等式 ≤１． 狓２＋２狓＋３ 解 对所有实数狓，都有狓２＋２狓＋３＝（狓＋１） ２＋２＞０．在 原不等式两边同时乘狓２＋２狓＋３，可将原不等式等价地转化 为狓＋５≤狓２＋２狓＋３． 移项并整理，得狓２＋狓－２≥０，即 （狓－１）（狓＋２）≥０． 所以，原不等式的解集为 （－∞，－２］∪［１，＋∞）． 例１３ 某服装公司生产的衬衫每件定价８０元，在某城市 年销售８万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以 降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额 的狉％（即每１００元销售额收取狉元），为确保单件衬衫的利润保 ８０ 持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到 元，但提价 １－狉％ 后每年的销量会减少０．６２狉万件．求狉的取值范围，以确保代理 商每年收取的代理费不少于１６万元． 解 代理商每年可销售（８－０．６２狉）万件衬衫，每件衬衫的价 ８０ ８０ 格为 元，因此年销售额为 （８－０．６２狉）万元，代理 １－狉％ １－狉％ ８０ 商收取的年代理费为 （８－０．６２狉）狉％万元． １－狉％ 依题意，得 ８０ （８－０．６２狉）狉％≥１６， １－狉％ 且 烄０＜１－狉％＜１， 烅 烆８－０．６２狉＞０． 经整理，得３１狉２－４１０狉＋１０００≤０，即（狉－１０）（３１狉－１００）≤０， ４００ 且０＜狉＜ ． ３１ １００ 解得 ≤狉≤１０． ３１ 熿１００ 燄 因此，所求狉的取值范围是 ，１０ ． 燀３１ 燅 ４ １２ 等式 与不等式 练习２．２（４） 解下列不等式： ３－２狓 ２狓－１ （１） ＜０； （２） ≤０； 狓－１ 狓＋２ ２狓－１ ４＋狓 （３） ＞２； （４） ≥２； 狓－１ ２＋狓 狓－１ ４－狓 （５） ＞１； （６） ≤－１． 狓２－４狓＋５ 狓２＋狓＋１ ４ 含绝对值不等式的求解 我们知道，狓表示实数狓在数轴上所对应的点到坐标原点 的距离．根据绝对值的定义和几何意义，可以求解一些基本的含 绝对值的不等式． 例如，当犪＞０时，不等式 狓＜犪 －犪＜狓＜犪，从而 狓＜犪的解集为 （－犪，犪）；狓＞犪狓＞犪或狓＜－犪，从而 狓＞犪的解集为（－∞，－犪）∪（犪，＋∞）（图２２２）． 例１４ 解不等式狓－１ ＜２． 解 原不等式等价于 图２２２ －２＜狓－１＜２． 将上述不等式中的各项同加１，得－１＜狓＜３． 所以，原不等式的解集为（－１，３）． 例１５ 解不等式 ２狓＋１ ≥３． 解 原不等式等价于 ２狓＋１≥３或２狓＋１≤－３． 解这两个不等式，得狓≥１或狓≤－２． 所以，原不等式的解集为（－∞，－２］∪［１，＋∞）． 例１６ 解不等式 １－２狓＞狓． 为去掉不等式中 的绝对值符号，先求 １ 出方程１－２狓＝０的 解 当狓＞ 时，原不等式化为２狓－１＞狓，即狓＞１．此时， ２ １ 根，再用这个根狓＝ ２ 不等式的解为狓＞１． 将实数轴划分为两个 部分，分段进行讨论． １ １ 当狓≤ 时，原不等式化为１－２狓＞狓，即狓＜ ．此时，不 ２ ３ ４ ２２．２ 不等式的求解 １ 等式的解为狓＜ ． ３ （ ） １ 综上所述，原不等式的解集为 －∞， ∪（１，＋∞）． ３ 例１７ 解不等式｜狓－３｜＋｜狓－５｜＜４． 为去掉不等式中的 解 当狓≥５时，原不等式化为狓－３＋狓－５＜４，可解得 两个绝对值符号，先分 别求出方程 狓－３ ＝０ 狓＜６．此时，不等式的解为５≤狓＜６． 及 狓－５ ＝０的根， 当３≤狓＜５时，原不等式化为狓－３＋５－狓＜４，即２＜４， 再用这两个根狓＝３及 狓＝５将实数轴划分为 它始终成立．此时，不等式的解为３≤狓＜５． 三个区间，分段进行讨 论． 当狓＜３时，原不等式化为３－狓＋５－狓＜４，可解得狓＞２． 此时，不等式的解为２＜狓＜３． 综上所述，原不等式的解集为［５，６）∪［３，５）∪（２，３）＝（２，６）． 练习２．２（５） 解下列不等式： （１）｜狓＋３｜＜４； （２）｜１－２狓｜＞３； （３）｜２狓－３｜＜３狓－２； （４）｜狓＋１｜＋｜狓－４｜＞７． 习题２．２ 犃组 １．解下列不等式（组）： 烄３狓－２（５－３狓）＞８， （１）２（狓＋１）－３（狓－２）＞８； （２） 烅 烆２狓≤２（２狓＋３）． ２．解下列关于狓的不等式： （１）犪狓＋４＜２狓＋犪２ ，其中犪＞２； （２）犿狓＋１＞狓＋犿３ ，其中犿＜１； （３）（狆－狇）狓＜狆２－狇２ ，其中狆≠狇． ３．解下列不等式： （１）（狓－２）（３－狓）≤０； （２）狓（狓＋２）≤３（狓＋２）； （３）（１－狓）（２－狓）＜０； （４）２（狓＋１）（狓＋３）＞（狓＋３）（狓＋４）． ４．设全集为犚，集合犃＝｛狓｜狓２－２狓－３≥０｝，犅＝｛狓｜狓２＋狓－２＜０｝．求： （１）犃∪犅； （２）犃∩犅； （３）犃∩犅； （４）犃∪犅． ５．已知下列关于狓的方程有两个不同实根，求实数犽的取值范围： （１）狓２＋（犽＋３）狓＋犽２＝０； （２）３狓２＋２犽狓＋犽＝０． ４ ３２ 等式 与不等式 ６．若下列关于狓的方程有实数解，求实数犽的取值范围： （１）狓２＋犽狓－犽＋３＝０； （２）狓２＋２槡２狓＋犽（犽－１）＝０． ７．解下列不等式： １ （１） 狓２≤２狓－３； （２）４狓２≥１２狓－９； ３ １ ４ ２ （３）狓２－狓＋ ＜０； （４）狓２＋ ＞ 狓． ４ ９ ３ ８．解下列不等式： （１）狓２＋狓＋１＞０； （２）３－２槡２狓≥－狓２ ； （３）２狓２＋３狓＋４＜０； （４）狓２≤３狓－４． ９．已知关于狓的一元二次方程２狓２＋犪狓＋１＝０无实数解，求实数犪的取值范围． １０．已知关于狓的一元二次不等式狓２＋犪狓＋犫＜０的解集为（－３，－１），求实数犪及犫 的值． １１．解下列不等式组： 烄６－狓－狓２≤０， 烄４狓２－２７狓＋１８＞０， （１） 烅 （２） 烅 烆狓２＋３狓－４＜０； 烆狓２－６狓＋４＜０； 烄３狓２＋狓－２≥０， （３） 烅 烆４狓２－１５狓＋９＞０． １２．解下列不等式： 狓＋１ １ （１） ＞０； （２） ＜１； 狓－２ 狓 ２ ５ （３） ≥１； （４） ≤２； ３－４狓 狓＋２ ４狓＋３ （５） ＞５． 狓－１ １３．当关于狓的方程４犽－３狓＝２（犽＋２）狓的解分别满足以下条件时，求实数犽的取值 范围． （１）正数； （２）负数． １４．解下列不等式： （１） １－４狓＜５； （２）狓－４ ＜２狓； （３） ３狓－４ ≥狓＋２； （４）狓＋２ ＋狓－３ ＜７． １５．某船从甲码头顺流航行７５ｋｍ到达乙码头，停留３０ｍｉｎ后再逆流航行１２６ｋｍ到 达丙码头．如果水流速度为４ｋｍ／ｈ，该船要在５ｈ内（包含５ｈ）完成整个航行任务，那么 船的速度至少要达到多少？ 犅组 １．设犪、犫∈犚，解关于狓的不等式犪狓＞犫． ４ ４２．２ 不等式的求解 ２．设犪∈犚，解下列关于狓的不等式： （１）（狓－犪）（狓＋３）≥０； （２）（狓－犪）（狓－２犪）＞０； （３）狓（狓－犪）≥（犪＋１）（狓－犪）． （ ） １ ３．已知关于狓的不等式狓２＋犫狓＋犮＞０的解集是 －∞， ∪（２，＋∞），求实数犫及犮 ２ 的值，并求狓２－犫狓＋犮≤０的解集． ４．解下列不等式： １ （１）２＜ ≤３； ３狓－１ １ （２） ＞狓； 狓 １ 狓 （３） ≤１－ ． 狓－４ ４－狓 ５．解下列不等式： ３狓２＋２狓＋１ 狓－１ （１） ≤１； （２） ≥０． 狓２＋狓＋２ 狓２－４狓＋４ ６．解下列不等式： （１）１＜ １－２狓≤７； （２）３＜狓－２ ＜６； 狓 狓 （３）狓＋２ － ３－２狓＜１； （４） ＞ ． 狓＋１ 狓＋１ 烄（２狓－３）（３狓＋２）≤０， ７．若关于狓的不等式组 烅 没有实数解，求实数犪的取值范围． 烆狓－犪＞０ １ ８．若关于狓的不等式２犽狓２＋犽狓＋ ＞０对于一切实数狓都成立，求实数犽的取值 ８ 范围． ４ ５２ 等式 与不等式 ２．３ 基本不等式及其应用 在本章前两节中，我们学习了一些不等式的性质、求解和证 明．在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如 平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式． １ 平均值不等式及其应用 犪＋犫 对于正数犪、犫，称 是犪、犫的算术平均值（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ２ ｍｅａｎ），并称 槡犪犫是犪、犫的几何平均值（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎ）．当 犪、犫分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值时，其算术 犪＋犫 平均值 可以理解为这两次测量值的平均．当犪、犫分别表示 ２ 一个矩形的两边边长时，其几何平均值槡犪犫可以理解为与此矩形 面积相同的正方形的边长． 下面的不等式是经典的平均值不等式： 在犪及犫有可能 定理（平均值不等式） 两个正数的算术平均值大于等 为零时，平均值不等 于它们的几何平均值，即对于任意的正数犪、犫，有 式也显然成立．因此， 对于任意的非负实数 犪＋犫 犪、犫，平均值不等式 ≥槡犪犫， ２ 都成立． 且等号当且仅当犪＝犫时成立． 证明 因为 犪＋犫 （槡犪－槡犫） ２ －槡犪犫＝ ≥０， ２ ２ 所以 犪＋犫 ≥槡犪犫， ２ 而且当且仅当槡犪－槡犫＝０即犪＝犫时，不等式中等号成立． １ 例１ 已知狓＞０，求证：狓＋ ≥２，并指出等号成立的条件． 狓 证明 因为狓＞０，由平均值不等式，得 ４ ６２．３ 基本不等式及其应用 １ １ 槡 狓＋ ≥２ 狓· ＝２， 狓 狓 １ 且等号只有当狓＝ ，即狓２＝１时才成立．由于狓＞０，因此 狓 狓＝１． １ 所以，当且仅当狓＝１时，狓＋ ＝２． 狓 犫 犪 例２ 已知犪犫＞０，求证： ＋ ≥２，并指出等号成立的 犪 犫 条件． 犫 犪 证明 因为犪犫＞０，所以犪、犫同号，因而 ＞０， ＞０． 犪 犫 由平均值不等式，得 犫 犪 犫 犪 槡 ＋ ≥２ · ＝２， 犪 犫 犪 犫 犫 犪 且等号当且仅当 ＝ ，即犪＝犫时才成立． 犪 犫 除了平均值不等式，还有一些常用的不等式． 定理 对于任意的实数犪、犫，有 （ ） 犪＋犫２ ≥犪犫， ２ 且等号当且仅当犪＝犫时成立． 证明 对任意给定的实数犪、犫，总有犪２＋犫２≥２犪犫，且等号 当且仅当犪＝犫时成立．于是 犪２＋犫２＋２犪犫≥４犪犫， 从而 （犪＋犫） ２≥４犪犫， 即 （ ） 犪＋犫２ ≥犪犫． ２ 从而原不等式成立，且等号当且仅当犪＝犫时成立． 包括平均值不等式在内的上述一些不等式常常可被应用 于对一些量做估计，特别是可用于求解一些最大值或最小值 问题． ４ ７２ 等式 与不等式 例３ 设狓∈犚，求二次函数狔＝狓（４－狓）的最大值． （ ） 犪＋犫２ 解 由不等式 ≥犪犫，推得 ２ （ ） 狓＋４－狓２ 狓（４－狓）≤ ＝４． ２ 于是，当狓＝４－狓，即狓＝２时，狔取得最大值４． 练习２．３（１） １．设犪是正数，求证：犪＋１≥２槡犪． １ ２．证明：若狓＜０，则狓＋ ≤－２，并指出等号成立的条件． 狓 １ 例４ 设犪、犫为正数，且犪＋２犫＝１，比较犪犫的值与 ８ 的大小． 解 因为 （ ） １ １犪＋２犫２ １ 犪犫＝ （犪·２犫）≤ ＝ ， ２ ２ ２ ８ １ １ １ 所以犪犫≤ ，当且仅当犪＝２犫且犪＋２犫＝１，即犪＝ 且犫＝ ８ ２ ４ １ １ 时，才有犪犫＝ ；而在其他情形，均有犪犫＜ ． ８ ８ 例５ 证明： （１）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； （２）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小． 证明 （１）设矩形的周长为常数犾（犾＞０），而其长、宽分 别为狓、狔（狓＞０，狔＞０），就有２狓＋２狔＝犾．此矩形的面积为 犛＝狓狔．由平均值不等式，有 （ ） （ ） 狓＋狔２ 犾２ 犛＝狓狔≤ ＝ ， ２ ４ 犾 犾２ 当且仅当狓＝狔＝ ，即矩形为正方形时，面积犛取得最大值 ． ４ １６ （２）设矩形的面积为常数犛（犛＞０），而其长、宽仍分别设为 狓、狔（狓＞０，狔＞０），就有狓狔＝犛．此矩形的周长为犾＝２（狓＋狔）． 由平均值不等式，有 狓＋狔 ≥槡狓狔＝槡犛． ２ ４ ８２．３ 基本不等式及其应用 所以，犾＝２（狓＋狔）≥４槡犛，且当且仅当狓＝狔＝槡犛，即矩形为 正方形时，周长犾取最小值４槡犛． 狓＋狔 由例５可知，根据平均值不等式槡狓狔≤ （狓＞０，狔＞０）， ２ 当乘积狓狔为定值时，和狓＋狔有最小值；而当和狓＋狔为定值 时，乘积狓狔有最大值．此外，当且仅当狓＝狔时，才取得相应 的最小值或最大值． 例６ 某新建居民小区欲建一面积为７００ｍ２ 的矩形绿地， 并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽 ３ｍ，东西两侧人行道宽４ｍ，如图２３１所示（图中单位：ｍ）． 问如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小．（结果 精确到０．１ｍ） 解 设矩形绿地的南北侧边长为狓ｍ，则其东西侧边长为 图２３１ ７００ ｍ，人行道的占地面积（记为犛（ｍ２ ））为 狓 （ ） ７００ （狓＋８） ＋６ －７００， 狓 即 ５６００ 犛＝６狓＋ ＋４８． 狓 利用平均值不等式，有 ５６００ ５６００ 槡 ６狓＋ ≥２ ６狓· ＝２槡３３６００＝８０槡２１， 狓 狓 ５６００ ７ 槡 且当且仅当６狓＝ ，即狓＝２０ ≈３０．６（ｍ）时，犛达到最小 狓 ３ ７００ 值４８＋８０槡２１（ｍ２ ），此时 ≈２２．９（ｍ）． 狓 所以，当设计绿地的南北侧边长约为３０．６ｍ，东西侧边长约 为２２．９ｍ时，人行道的占地面积最小． 练习２．３（２） １．用一根长为犾的铁丝制成一个矩形框架．当长和宽分别为多少时，该框架的面积 最大？ ２．在面积为π的圆中作一个内接矩形，使它的面积最大．求此矩形面积的最大值及此 时矩形的各边长． ４ ９２ 等式 与不等式 ２ 三角不等式 在后续向量、复数等内容的学习中，下述三角不等式将起着 重要的作用，且其几何意义将十分明显． 这个不等式与三角 定理（三角不等式） 两个实数和的绝对值小于等于它 形两边之和大于第三边 们绝对值的和，即对于任意给定的实数犪、犫，有 相似，故称为三角不等 式（ｔｒｉａｎｇｌｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）． 犪＋犫≤犪＋犫， 且等号当且仅当犪犫≥０时成立． 证明 因为犪＋犫≤犪＋犫等价于 请通过讨论犪、犫 犪＋犫２≤（犪＋犫）２ ， 的符号证明三角不等 式． 即犪２＋２犪犫＋犫２≤犪２＋２犪犫＋犫２ ，也即２犪犫≤２｜犪犫｜，所以三角 不等式成立，且等号当且仅当犪犫≥０时成立． 例７ 已知犪、犫为实数，求证：犪＋犫＋犪－犫≥２犪． 证明 因为（犪＋犫）＋（犪－犫）＝２犪，由三角不等式，有 （犪＋犫）＋（犪－犫）≤｜犪＋犫｜＋｜犪－犫｜， 即 ｜２犪｜≤｜犪＋犫｜＋｜犪－犫｜， 所以 犪＋犫＋犪－犫≥２犪． 例８ 已知犪、犫为实数，求证：犪－犫≤犪－犫，并 指出等号成立的条件． 证明 ｜犪｜－｜犫｜≤｜犪－犫｜等价于｜犪｜≤｜犪－犫｜＋｜犫｜．由三 角不等式，有 犪－犫＋犫≥｜（犪－犫）＋犫｜＝｜犪｜， 所以 犪－犫≤犪－犫， 且等号当且仅当（犪－犫）犫≥０，即犪犫≥犫２ 时成立． 例９ 证明：｜狓－３｜＋狓－５ ≥２对所有实数狓恒成立， 并求等号成立时狓的取值范围． 证明 因为｜狓－５｜＝｜５－狓｜，由三角不等式，有 ｜狓－３｜＋｜狓－５｜＝｜狓－３｜＋｜５－狓｜≥｜狓－３＋５－狓｜＝２， 所以 ｜狓－３｜＋｜狓－５｜≥２， ５ ０２．３ 基本不等式及其应用 且等号当且仅当（狓－３）（５－狓）≥０，即（狓－３）（狓－５）≤０时成立． 因此，｜狓－３｜＋｜狓－５｜≥２对所有实数狓恒成立，且当且 仅当狓∈［３，５］时，等号成立． 练习２．３（３） １．已知犪、犫∈犚．求证：犪＋犫＋犪－犫≥２犫． １ １ ２．已知实数犪、犫满足犪＜ ，犫＜ ．证明下列各式： ２ ２ （１）犪＋犫＜１； （２）犪－犫＜１． 习题２．３ 犃组 １．如果实数犪、犫同号，那么下列命题中正确的是 （ ） Ａ．犪２＋犫２＞２犪犫； Ｂ．犪＋犫≥２槡犪犫； １ １ ２ 犫 犪 Ｃ． ＋ ＞ ； Ｄ． ＋ ≥２． 犪 犫 犪 犫 槡犪犫 犪＋犫 ２．设犪＞犫＞０，将四个正数犪、犫、槡犪犫、 按从小到大的顺序排列，并说明理由． ２ ２ ３．已知犪、犫为正数，求证： ≤槡犪犫，并指出等号的成立条件． １ １ ＋ 犪 犫 ４．设犪、犫∈犚，求证：犪２＋２犫２＋１≥２犫（犪＋１）． ５．设狓∈犚，求二次函数狔＝（狓－１）（５－狓）的最大值． ６．已知直角三角形斜边长等于１０ｃｍ，求直角三角形面积的最大值． ７．已知犪、犫、犮为实数，求证：犪－犫≤犪－犮＋犮－犫． ８．设狓∈犚，求方程｜狓－２｜＋｜２狓－３｜＝｜３狓－５｜的解集． 犅组 １ １．设０＜犪＜犫，且犪＋犫＝１，请将犪、犫、 、２犪犫、犪２＋犫２ 从小到大排列，并说明 ２ 理由． 犪２＋２犪＋１ ２．已知犪为正数，比较 的值与４的大小． 犪 （ ） １ １ ３．已知犪、犫为正数，求证：（犪＋犫） ＋ ≥４． 犪 犫 ５ １２ 等式 与不等式 ４．已知犪、犫是互不相等的正数，求证：（犪２＋１）（犫２＋１）＞４犪犫． 犺 犺 ５．证明：对于正数犺，如果狓－犪＜ ，狔－犪＜ ，那么狓－狔＜犺． ２ ２ ６．已知直角坐标平面上的三点犃（狓，狔）、犅（狓，狔）、犆（狓，狔），记 １ １ ２ ２ ３ ３ 犱（犃，犅）＝狓－狓 ＋狔－狔 ， ２ １ ２ １ 犱（犅，犆）＝狓－狓 ＋狔－狔 ， ３ ２ ３ ２ 犱（犆，犃）＝狓－狓 ＋狔－狔 ． １ ３ １ ３ 求证：犱（犃，犅）≤犱（犅，犆）＋犱（犆，犃）． ７．已知犪、犫、犮是实数，求证：犪＋犫＋犮≤犪＋犫＋犮． ８．证明：狓＋２－狓－１≥－３，对所有实数狓均成立，并求等号成立时狓的取值范围． 探究与实践 利用等式证明不等式 下图（图２３２）称为弦图，是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为 证明勾股定理所绘制．此图曾作为２００２年在北京召开的第２４届国际数学家大会的会标． （图２３３） 图２３２ 图２３３ 赵爽运用图形割补后面积不变的原理，通过构造相应的几何图形来证明勾股定理． “按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差 １ 实，亦成弦实．”其证明过程可用字母表示为４× 犪犫＋（犪－犫） ２＝犮２ ，化简即得勾股定理 ２ 犪２＋犫２＝犮２． 弦图不仅能用于证明等式，也能用于证明不等式．事实上，利用弦图得到的等式 ２犪犫＋（犪－犫） ２＝犪２＋犫２ ，可推出：犪２＋犫２≥２犪犫，且等号当且仅当犪＝犫时成立． 运用这样的想法，我们可以由等式出发证明一些不等式．例如，容易证明（犪＋犫＋犮） ［（犪－犫） ２＋（犫－犮） ２＋（犮－犪） ２ ］＝２（犪３＋犫３＋犮３－３犪犫犮）成立．由此，可以推出：对于非负 实数犪、犫、犮，有犪３＋犫３＋犮３≥３犪犫犮，且等号当且仅当犪＝犫＝犮时成立．又如，由（犪２＋ ５ ２２．３ 基本不等式及其应用 犫２ ）（狓２＋狔２ ）＝（犪狓＋犫狔） ２＋（犪狔－犫狓） ２ ，可以推得：（犪２＋犫２ ）（狓２＋狔２ ）≥（犪狓＋犫狔） ２ ，且 等号当且仅当犪狔＝犫狓时成立． 请仿照上述例子，计算（犪２＋犫２＋犮２ ）（狓２＋狔２＋狕２ ）－（犪狓＋犫狔＋犮狕） ２ ，并看由此能否 得到一个相应的不等式． 课后阅读 调和平均值与算术平均值不等式 船速一定的汽船，在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离，所需的时间是否一 样？有人认为二者所需的时间是一样的，他们的理由是：当河水有流速时，汽船逆流上行 虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静 水中往返一次所需的时间一样． 上面的说法貌似有理，但事实却并非如此．为说明这一点，只需做一下简单的计算就 可以了．设汽船在静水中航行的速度为狏 ，河水的流速为狏 ，汽船在河流中航行的单程 静 水 距离为犔．那么汽船逆流上行的实际速度是狏 ＝狏 －狏 ，而顺流下行的实际速度是 上 静 水 狏 ＝狏 ＋狏 ．这样汽船往返一次所需的总时间是 下 静 水 犔 犔 犔 犔 ２犔狏 ２犔 ＋ ＝ ＋ ＝ 静 ＝ （ ）， 狏 狏 狏 －狏 狏 ＋狏 狏２ －狏２ 狏２ 上 下 静 水 静 水 静 水 狏 １－ 水 静 狏２ 静 ２犔 它总是大于汽船在静水中往返一次的时间 ，且河水流速愈大，二者的差距愈大． 狏 静 由上式，我们可以看到，汽船在有流速的河中行驶的平均速度是 ２犔 ２ ＝ ， 犔 犔 １ １ ＋ ＋ 狏 狏 狏 狏 上 下 上 下 它也是汽船上、下航行速度狏 、狏 的某种平均值，称为调和平均值．而汽船上、下航行 上 下 速度狏 、狏 的算术平均值 上 下 狏 ＋狏 上 下＝狏 ２ 静 正是汽船在静水中航行的速度．注意到 （ ） ２ 狏２ 狏 ＋狏 ＝狏 １－ 水 ≤狏 ＝ 上 下， １ １ 静 狏２ 静 ２ ＋ 静 狏 狏 上 下 就说明调和平均值总小于等于算术平均值． 犪＋犫 事实上，对此有一个一般性的结论：对任意给定的两个正数犪、犫，已知 为其算 ２ ５ ３２ 等式 与不等式 ２ 术平均值，并定义 为其调和平均值（ｈａｒｍｏｎｉｃｍｅａｎ），就有 １ １ ＋ 犪 犫 ２ 犪＋犫 ≤ ， １ １ ２ ＋ 犪 犫 且等号当且仅当犪＝犫时成立，即调和平均值必小于等于算术平均值． 历史上著名的迈克耳孙 莫雷实验（１８８７年）正是利用上述原理而设计的．过去人们认 为光既然是一种波，而波的传播是需要媒介的，如声波的传播需要空气做媒介，水波的传 播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们 想象整个宇宙空间（包括真空）中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质———以太．当地球 以３０ｋｍ／ｓ的速度绕太阳运动时，必定会有强烈的“以太风”迎面吹来．这样，和上面的例 子一样，光线迎“以太风”传播一定距离再反射回来所花费的时间，和光线垂直于“以太风” 方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间，就应该是不相等的．迈克耳孙 （Ａ．Ｍｉｃｈｅｌｓｏｎ）和莫雷（Ｅ．Ｍｏｒｌｅｙ）依此原理设计了一个实验，证明了两束光所花费的时间 并无不同，从而说明地球相对以太是静止的，或者以太根本就不存在．随着爱因斯坦相对 论的建立，以太学说逐渐被学界所抛弃． １９０７年，迈克耳孙因“发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究”，获 得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙 莫雷实 验解决了当年普遍困惑物理学界的问题，而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的 知识！ ５ ４内容提要 内容提要 １．实数大小的比较： 犪＞犫犪－犫＞０；犪＝犫犪－犫＝０；犪＜犫犪－犫＜０． ２．等式的基本性质： 传递性 如果犪＝犫，且犫＝犮，那么犪＝犮． 加法性质 如果犪＝犫，犮∈犚，那么犪＋犮＝犫＋犮． 乘法性质 如果犪＝犫，犮∈犚，那么犪犮＝犫犮． ３．不等式的基本性质： 传递性 如果犪＞犫，且犫＞犮，那么犪＞犮． 加法性质 如果犪＞犫，犮∈犚，那么犪＋犮＞犫＋犮． 乘法性质 如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮；如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮． ４．不等式的常用性质： 如果犪＞犫，犮＞犱，那么犪＋犮＞犫＋犱． １ １ 如果犪＞犫＞０，那么 ＞ ＞０． 犫 犪 如果犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，那么犪犮＞犫犱＞０． 如果犪＞犫＞０，那么犪狀＞犫狀＞０，其中狀是正整数． 如果犪狀＞犫狀＞０，其中犪＞０，犫＞０，狀是正整数，那么犪＞犫＞０． ５．一元二次方程的根与系数关系： 犫 犮 设犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两根为狓、狓，则狓＋狓＝－ ，狓狓＝ ． １ ２ １ ２ 犪 １ ２ 犪 ６．一元二次不等式的求解（下表中均假设犪＞０，而Δ＝犫２－４犪犮）： Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 犪狓２＋犫狓＋犮＝０ 有两不同实根狓＜狓 有两相同实根狓＝狓 无实根 １ ２ １ ２ 解集为 解集为 犪狓２＋犫狓＋犮＞０ 解集为犚 （－∞，狓）∪（狓，＋∞） （－∞，狓）∪（狓，＋∞） １ ２ １ １ 解集为 犪狓２＋犫狓＋犮≥０ 解集为犚 解集为犚 （－∞，狓］∪［狓，＋∞） １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮＜０ 解集为（狓，狓） 解集为 解集为 １ ２ 犪狓２＋犫狓＋犮≤０ 解集为［狓，狓］ 解集为｛狓｝ 解集为 １ ２ １ ７．基本不等式： 犪＋犫 平均值不等式 ≥槡犪犫（犪＞０，犫＞０），当且仅当犪＝犫时等号成立． ２ 常用不等式 犪２＋犫２≥２犪犫，当且仅当犪＝犫时等号成立． （ ） 犪＋犫２ ≥犪犫，当且仅当犪＝犫时等号成立． ２ 三角不等式 犪＋犫≤犪＋犫，当且仅当犪犫≥０时等号成立． ５ ５２ 等式 与不等式 复习题 犃组 １．设一元二次方程２狓２－６狓－３＝０的两个实根为狓、狓，求下列各式的值： １ ２ （１）（狓＋１）（狓＋１）； （２）（狓２－１）（狓２－１）． １ ２ １ ２ 犫＋２犪 犪 ２．设犪＞犫＞０，比较 与 的值的大小． 犪＋２犫 犫 ３．已知狓＞狔，求证：狓３－狔３＞狓２狔－狓狔２． ４．若关于狓的不等式 （犪＋１）狓－犪＜０的解集为（２，＋∞），求实数犪的值，并求不等 式 （犪－１）狓＋３－犪＞０的解集． ５．解下列一元二次不等式： （１）－狓２＋１１＜－２狓－４； （２）３狓２＜１３狓＋１０； （３）６狓＋２≥５狓２ ； （４）狓２≤８（１－狓）； （５）－狓２≥９（９－２狓）； （６）３（狓－３）≤狓２． ６．试写出一个二次项系数为１的一元二次不等式，使它的解集分别为： （１）（ －∞，槡２ ） ∪ （ 槡２，＋∞ ）； （２）［ ２－槡３，２＋槡３ ］． ７．求不等式５≤狓２－２狓＋２＜２６的所有正整数解． ８．解下列分式不等式： ２狓＋１ ３狓 （１） ＞－３； （２） ≥１． 狓＋７ 狓２＋２ ９．设关于狓的不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０与犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集分别为犃、犅， １ １ １ ２ ２ ２ 试用集合运算表示下列不等式组的解集： 烄犪狓２＋犫狓＋犮＞０， （１） 烅 １ １ １ 烆犪狓２＋犫狓＋犮＞０； ２ ２ ２ 烄犪狓２＋犫狓＋犮≤０， （２） 烅 １ １ １ 烆犪狓２＋犫狓＋犮＞０； ２ ２ ２ 烄犪狓２＋犫狓＋犮≤０， （３） 烅 １ １ １ 烆犪狓２＋犫狓＋犮≤０． ２ ２ ２ １０．解下列含绝对值的不等式： （１） ２狓－１ ≤狓； （２） ２狓＋１ ＋狓－２ ＜８． １１．已知犪、犫是正数，求证：槡（１＋犪）（１＋犫）≥１＋槡犪犫． ５ ６复习题 １２．如图，在直角三角形犃犅犆中，犃犇垂直于斜边犅犆，且垂足为犇．设犅犇及犆犇 的长度分别为犪与犫． （１）求斜边上的高犃犇与中线犃犈的长； （２）用不等式表示斜边上的高犃犇与中线犃犈长度的大小关系． （第１２题） （第１３题） １３．如图，已知直角梯形犃犅犆犇的顶点犃（犪，０）、犅（犫，０）位于狓轴上，顶点犆、犇落 在函数狔＝｜狓｜的图像上，犕、犖分别为线段犃犅、犆犇的中点，犗为坐标原点，犙为线段 犗犆与线段犕犖的交点． （１）求中点犕的坐标，以及线段犕犙、犕犖的长度； （２）用不等式表示犕犙、犕犖长度的大小关系． 犅组 １．已知一元二次方程狓２＋狆狓＋狆＝０的两个实根分别为α、 β ，且α２＋β２＝３．求实数 狆的值． ２．已知一元二次方程２狓２－４狓＋犿＋３＝０有两个同号实根，求实数犿的取值范围． ３．设犪、犫∈犚，已知关于狓的不等式（犪＋犫）狓＋（犫－２犪）＜０的解集为（１，＋∞）， 求不等式（犪－犫）狓＋３犫－犪＞０的解集． ４．解下列不等式： １ （１）－２＜ ≤３； （２）２＜｜狓＋１｜≤３． ２狓＋１ 烄 ２狓－１ 烌 ５．已知集合犃＝｛狓｜狓－犪＜２｝，犅＝烅狓 ＜１烍 ，且犃犅．求实数犪的取值 烆 狓＋２ 烎 范围． １ ６．证明：若狓＞－１，则狓＋ ≥１，并指出等号成立的条件． 狓＋１ １ １ ７．设犪、犫为正数，且犪＋犫＝２．求 ＋ 的最小值． 犪 犫 犫＋犮犮＋犪 犪＋犫 ８．已知犪、犫、犮都是正数，求证： ＋ ＋ ≥６． 犪 犫 犮 ５ ７２ 等式 与不等式 ９．设实数狓、狔满足狓＋狔＝１，求狓狔的最大值． １０．已知犪、犫为实数，求证：犪＋犫≤犪＋犫＋犪－犫，并指出等号成立的条件． １１．已知犪、犫是实数， （１）求证：犪２＋犪犫＋犫２≥０，并指出等号成立的条件； （２）求证：如果犪＞犫，那么犪３＞犫３． 拓展与思考 １．解下列不等式： ３狓－１１ （１） ≤１； （２） ３－２狓≥狓＋１ ． 狓２－６狓＋９ ２．已知集合犃＝｛狓｜狓２－２狓－３＞０｝，犅＝｛狓｜狓２＋狆狓＋狇≤０｝．若犃∪犅＝犚，且 犃∩犅＝［－２，－１），求实数狆及狇的值． ３．已知实数０＜犪＜犫，求证： ２犪犫 犪＋犫 槡 犪２＋犫２ 犪＜ ＜槡犪犫＜ ＜ ＜犫． 犪＋犫 ２ ２ ４．方程（狓－１）（狓－２）（狓－３）＝０的三个根１、２、３将数轴划分为四个区间，即 （－∞，１），（１，２），（２，３），（３，＋∞）．试在这四个区间上分别考察（狓－１）（狓－２）（狓－３）的 符号，从而得出不等式（狓－１）（狓－２）（狓－３）＞０与（狓－１）（狓－２）（狓－３）＜０的解集． 一般地，对狓、狓、狓∈犚，且狓≤狓≤狓，试分别求不等式 １ ２ ３ １ ２ ３ （狓－狓）（狓－狓）（狓－狓）＞０与（狓－狓）（狓－狓）（狓－狓）＜０ １ ２ ３ １ ２ ３ 的解集．（提示：狓、狓、狓 相互之间可能相等，需要分情况讨论） １ ２ ３ ５ ８３ 第 章 关于幂我们并不陌生，在初中时已经学过 正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了 幂、指数 将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程．本 章通过定义分数指数幂，将指数从整数拓展到 与对数 有理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从 有理数拓展到实数．这为下一章用幂函数描述 变量之间的相应关系作好准备． 本章还将学习对数这一个新的概念，它是 指数运算的逆运算．１６世纪末，随着当时天 文、航海及工程实践的迅速发展，大量多位数 乘除及开方的计算困扰着那时的科学家和工程 师．在简化计算的迫切需求下，对数这个概念 得以诞生，并在实际计算中得到广泛应用．现 在，功能强大的现代计算器使多位数的乘除及 开方计算变得非常方便，对数用于简化计算的 功能已经完成了其历史任务．但是，对数这个 概念及对数函数的种种性质在现代数学和其他 科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重 要的位置． 书书书３ 幂、指数 与对数 ３．１ 幂与指数 １ 指数幂的拓展 在初中我们已经学过正整数指数幂的定义和运算性质． 如果犪是一个实数，狀是一个正整数，那么称 犪的狀次方叫做犪 犪狀＝犪·犪·…·犪 的狀次幂，记作犪狀． 烏 烐 烑 称犪为幂的底数（简称 狀个犪 为底），狀为幂的指数． 为犪的狀次幂．正整数指数幂满足如下的运算性质： 对任意给定的实数犪、犫及正整数狊、狋，有 同底数的幂相乘， （１）犪狊犪狋＝犪狊＋狋 ； 底数不变，指数相加． （２）（犪狊 ） 狋＝犪狊狋 ； （３）（犪犫） 狋＝犪狋犫狋． 为了定义整数指数幂，我们在保证上述幂的运算性质仍然成 立的条件下定义犪０ 及犪－狀 （狀为正整数）． 假设性质（１）对所有的整数狊、狋均成立，则当狊＝１，狋＝０ 时，有 犪＝犪１＋０＝犪１ ·犪０＝犪·犪０． 所以，当犪≠０时，犪０＝１． 当狊＝狀，狋＝－狀时，有 犪狀＋（－狀）＝犪狀 ·犪－狀＝犪０＝１． １ 所以，当犪≠０时，犪－狀＝ ． 犪狀 因此，当犪≠０时，可以定义 烄犪０＝１， 犪０＝１（犪≠０）． 烅 １ 犪－狀＝ ． 烆 犪狀 这样，可以证明对任意给定的非零实数犪、犫及整数狊、狋，上述 幂的运算性质（１）至（３）仍然成立． 在定义了整数指数幂后，就会问：能否定义有理数指数幂 呢？答案是肯定的．为此先拓展根式的概念． ６ ０３．１ 幂与指数 一般地，如果狀为大于１的整数，且狓狀＝犪，那么狓叫做犪 的狀次方根． 当狀是奇数时，由于正数的狀次方是一个正数，负数的狀次 方是一个负数，因此犪的狀次方根是唯一存在的，且可用狀槡犪表示． 例如，因为２５＝３２，所以 槡５３２＝２；因为（－２） ５＝－３２，所以 槡５－３２＝－２． 但当狀是偶数时，由于互为相反数的两个数的狀次方是同一 个数，因此一个正数的狀次方根有两个，它们互为相反数．这 时，正数犪的正的狀次方根用狀槡犪表示，而负的狀次方根用－狀槡犪 表示，它们可以合并简写成±狀槡犪（犪＞０）．例如，１６的４次方根 可以表示为槡４１６＝２及－槡４１６＝－２，简记为±槡４１６＝±２．显然， 负数没有偶数次方根． ０的任何次方根都是０，记作狀槡０＝０． 式子狀槡犪叫做犪的狀次根式，这里狀叫做根指数，犪叫做被 开方数． １ 例１ （１）求－ 的５次方根； ３２ （２）求８１的４次方根． （ ） １ １ ５ １ １ 解 （１）因为 － ５ ＝－ ，所以 槡 － ＝－ ． ２ ３２ ３２ ２ （２）因为（±３） ４＝８１，所以±槡４８１＝±３． 例２ 求下列各根式的值： （１）槡５（－２） ５ ； 当狀为奇数时， （２）槡６（－８） ２． 狀槡犪狀＝犪； 当狀为偶数时， 解 （１）槡５（－２） ５＝－２． 狀槡犪狀＝｜犪｜． （２）槡６（－８） ２＝槡６８２＝槡６２６＝２． 练习３．１（１） ３２ １．求－ 的５次方根． ２４３ ２．求９的４次方根． ３．求下列各根式的值： （１）槡５（－４） ５ ； （２）槡６（犪－犫） ６ （其中犪＜犫）． ６ １３ 幂、指数 与对数 为了定义有理数指数幂，我们首先定义正数的有理数指数 幂，使得整数指数幂的三条运算性质对有理数指数幂仍然成立． 设犪＞０，狊为有理数，我们定义犪狊． １ 当狊＝ ，而狀是正整数时，若狀＝１，则犪１＝犪，这种情况 狀 狀 犪 狀 １＝狀槡犪（犪＞０，狀 为大于１的整数）． 比较特殊，无需定义；若狀大于１，则定义犪１＝狀槡犪，即为犪的狀 狀 次根式，它是方程狓狀＝犪的唯一正数解． 犿 当狊＝ ，而犿是一个整数，狀是一个大于１的整数时， 当犪＜０且狀是正 狀 奇数时，存在唯一的 定义 实数狓，使得 狓狀＝犪＜０， 犪犿＝（犪犿 ）１＝狀槡犪犿． 此时犪１能被定义． 狀 狀 狀 当犪＜０且狀是正 犿 犿′ 可以证明，当 ＝ 且犿′为整数及狀′为大于１的整数时，总成 偶数时，因为不存在 狀 狀′ 实数狓，使得 狓狀＝犪＜０， 立犪犿＝犪犿′． 狀 狀′ 故不能定义犪１． 狀 犿 当犪＝０且狀是正 当狊为有理数时，它总可表示为两个互素整数的商 ，其中 狀 整数时， 也可定义 ０ 狀 １＝０． 犿是整数，而狀是正整数，可定义犪狊＝犪犿． 狀 １ 根据 次幂的定义，有（犪１）狀＝犪．再由分数指数幂的定义 狀 狀 与整数指数幂的运算性质（２），有 （犪１）犿＝（犪１）狀犿＝［（犪１）狀犿］１＝［（（犪１）狀）犿］１＝（犪犿 ）１． 狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 一般地，在狀为 因此，也可以把犪犿等价地定义为 大于１的整数，且犿 狀 为整数时，对所有使 犪犿＝（犪１）犿＝（狀槡犪） 犿． 得狀槡犪犿有意义的实数 狀 狀 犪，都可定义 利用整数指数幂的运算性质（１）至（３），可以证明这三条性质 犪 狀 犿＝狀槡犪犿． 对有理数指数幂仍然成立．我们也可以证明以下的幂的基本不等 式：当实数犪＞１，有理数狊＞０时，不等式犪狊＞１成立． 例３ 求下列各式的值： （１）４３； ２ （ ） ８１ －３ （２） ４． ６２５ 解 反复利用有理数指数幂的运算性质，可得 （１）４３＝（２２ ）３＝２３＝８． ２ ２ （ ） （ ） （ ） （ ） ８１ －３ ６２５ ３ 熿６２５ １燄３ ５ ３ １２５ （２） ４＝ ４＝ ４ ＝ ＝ ． ６２５ ８１ 燀 ８１ 燅 ３ ２７ 例４ 用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０）： （１）槡３犪２ ； ６ ２３．１ 幂与指数 （２）犪３ ·槡４犪３ ； 槡 （３） 犪槡犪． 解 由有理数指数幂的定义和运算性质，可得 （１）槡３犪２＝犪２． ３ （２）犪３ ·槡４犪３＝犪３ ·犪３＝犪３＋３＝犪１５． ４ ４ ４ 槡 （３） 犪槡犪＝（犪·犪１）１＝（犪３）１＝犪３． ２ ２ ２ ２ ４ 下面我们考虑正数的无理数指数幂，在上述对正数的有理数 指数幂定义的基础上，可以证明：对任意一个正数犪与任意一个 这个证明要用到 无理数由有理数逼近 无理数狊，可确定一个唯一的实数，记作犪狊 ，使得上述有理数指 的性质，相当繁复， 此处略去不讲． 数幂的三条运算性质与幂的基本不等式对所有的实数犪狊 都成立． 我们把这个实数犪狊 定义为犪的狊次幂． 这样，当指数幂从正整数拓展到实数时，我们要求底犪 是一个正数．此时指数幂满足以下的运算性质与幂的基本不 等式． 性质 对任意给定的正数犪、犫及实数狊、狋，有 犪狊犪狋＝犪狊＋狋 ， （犪狊 ） 狋＝犪狊狋 ， （犪犫） 狋＝犪狋犫狋． 定理 当犪＞１，狊＞０时，犪狊＞１． 此定理常称为幂 的基本不等式，在后 面学习中还会用到． 例５ 化简下列各式： （１）（狓槡３） 槡３ ·槡狓（其中狓＞０）； ２ （犪２犫１）（－３犪１犫１） （２） ３ ２ ２ ３ （其中犪＞０，犫＞０）． １ 犪１犫５ ３ ６ ６ 解 （１）反复应用上述运算性质，可得 （狓槡３） 槡３ ·槡狓＝狓槡３×槡３ ·狓１＝狓３·狓１＝狓３＋１＝狓２． ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ （２）由有理数指数幂的运算性质，可得 （犪２犫１）（－３犪１犫１） ３ ２ ２ ３ ＝（－３×３）犪２＋１－１犫１＋１－５＝－９犪犫０＝－９犪． １ ３ ２ ６ ２ ３ ６ 犪１犫５ ３ ６ ６ ６ ３３ 幂、指数 与对数 练习３．１（２） １．求下列各式的值： （１）１００１； ２ （２）８－２． ３ ２．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０）： （１）犪１０·槡５犪３ ； ３ （２） 槡３犪槡３犪． ３．化简下列各式： （１）（犪３＋槡３ ） ３－槡３ （其中犪＞０）； ４犪２犫２ （２） （３ ）（其中犪＞０，犫＞０）． ２ （犪１犫５）－ 犪１犫 ６ ６ ３ ２ ４．已知０＜犪＜１，狊＞０．求证：０＜犪狊＜１． 习题３．１ 犃组 １．（１）求－６４的立方根； （２）求２５６的４次方根． ２．求下列各根式的值： ５２４３ 槡 （１） ； （２）－槡３０．１２５； ３２ （３）槡７（－２） ７ ； （４）槡６（－２７） ２． ３．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中狓＞０，狔＞０）： （１）槡３狓５ ； （２）（槡５狓） ３ ； 槡 ７狓３ （３）槡７狓３狔４ ； （４） ． 狔４ ４．用根式的形式表示下列各式（其中犪＞０）： （１）犪２； （２）犪３； ３ ４ （３）犪－２； （４）犪－５． ５ ２ ５．求下列各式中狓的值（其中狓＞０）： （１）狓３＝２７； （２）狓４＝１２１； １６ （３）狓３＝１０００； （４）狓－４＝ ． ２ ３ ６２５ ６ ４３．１ 幂与指数 ６．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０，犫＞０）： （１）犪１犪１； （２） 槡３犪槡犪； ３ ４ （ ） 犪－３犫４ －１ （３）（犪１犫－３） ８ ； （４） ３． ４ ８ 槡犫 ７．化简下列各式（其中犪＞０，犫＞０）： （２犪２犫１）（－６犪１犫１） （１） ３ ２ ２ ３ ； ３犪１犫５ ６ ６ （２）（犪２－槡３犫） ２＋槡３ ·犫２－槡３． 犅组 １．当狓＜０时，求｜狓｜＋槡６狓６＋２槡３狓３ 的值． 犪３狓＋犪－３狓 ２．设犪２狓＝２，且犪＞０．求 的值． 犪狓＋犪－狓 ３．设犪＞犫＞０，求证：犪犪犫犫＞（犪犫）犪＋犫． ２ ６ ５３ 幂、指数 与对数 ３．２ 对数 １ 对数的定义 想象这样一个场景，某人在银行存入１万元，若年利率为 ５％，且按年计复利，经过多少年１万元存款才能连本带利超过 ５万元呢？ 年利率为５％的意思是一年之后１万元变成１×（１＋５％）＝ 纳皮尔（Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，１５５０— １．０５万元．按年计复利的意思是每过一年自动将连本带利作为本 １６１７），苏格兰数学家，对 金再次存入银行生息．这样，经过狀年后，存款连本带利的总数 数的发明者． 应达到１．０５狀 万元．根据题意，我们要回答，当狀是多少时， １．０５狀＞５？ 实际上，如果能够找到一个数狓，使得１．０５狓＝５，那么狀就 是大于狓的最小整数． 抽象一下上面的问题：设犪＞０，犖＞０，要找狓，使得 犪狓＝犖． ① 要讨论这个问题，首先要假设犪＞０，以保证对所有的狓， 犪狓 都有定义．还要假设犪≠１，因为如果犪＝１，犪狓 就恒等于１， 在犖＞０且犖≠１时，方程①无解；而在犖＝１时，方程①有解 但不唯一． 此外，在犪＞０，且犪≠１时，只要犖＞０，方程犪狓＝犖总有 唯一的解． 对数的底是不等 定义 在犪＞０，犪≠１，且犖＞０的条件下，唯一满足 于１的正数． 犪狓＝犖的数狓，称为犖以犪为底的对数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ），并用符号 ｌｏｇ犖表示，而犖称为真数． “ｌｏｇ”是拉丁文 犪 ｌｏｇａｒｉｔｈｍｕｓ的缩写． 这样，在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于１的正 数，并且假设真数是正数．另外，由定义，对数ｌｏｇ犖这个记号 犪 表示满足方程犪狓＝犖的唯一确定的数狓．因此 犪ｌｏｇ犪 犖＝犖． ② 这个式子看起来很玄妙，但不过是对数定义的另一个表达方式而 ６ ６３．２ 对数 已，也充分说明对数运算是指数运算的逆运算． 由此恒等式可以推出，若两个正数犕、犖的对数ｌｏｇ犕与 犪 ｌｏｇ犖相等，则犕＝犖，即若同一个底的两个对数相等，则其真 犪 数必相等．这是因为 犕＝犪ｌｏｇ犕＝犪ｌｏｇ犖＝犖． 犪 犪 此外，因为犪０＝１，犪１＝犪，易见 ｌｏｇ１＝０，ｌｏｇ犪＝１． 犪 犪 在一些特殊情况下，可以写出对数的具体数值，而在一般情 况下，估算对数的精确值极为困难，需要查阅有关的对数表或利 用计算器来得到对数的近似值． 例１ 求下列各式的值： （１）ｌｏｇ８； ２ （２）ｌｏｇ槡２； ２ （３）ｌｏｇ０．００００１． １０ 解 （１）因为２３＝８，即３是方程２狓＝８的唯一解，所以由 定义得ｌｏｇ８＝３． ２ １ （２）因为２１＝槡２，所以ｌｏｇ槡２＝ ． ２ ２ ２ （３）因为１０－５＝０．００００１，所以ｌｏｇ０．００００１＝－５． １０ 对数的底犪（犪＞０且犪≠１）原则上可以任意选取，数学上常 用两个特殊的底构成的对数． 以１０ 为底的对数称为 常用对数 （ｃｏｍｍｏｎｌｏｇａｒｉｔｈｍ）． ｌｏｇ犖通常记为ｌｇ犖．在中学阶段，我们主要采用常用对数， １０ 因为在日常生活中用的数字是十进制表示的． 以无理数ｅ（ｅ的值约为２．７１８２８…）为底的对数称为自然对数 （ｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈｍ）．ｌｏｇ犖通常记为ｌｎ犖．虽然自然对数在日常 ｅ 生活中不常使用，但在高等数学和其他科学领域中却十分有用， 大家将来学到高等数学时，会很容易地看到这一点． 例２ 求下列各式中狓的值： （１）ｌｏｇ狓＝－１； ２ （２）ｌｏｇ狓＝３； １ ２ （３）ｌｎ狓＝－１． １ 解 （１）由ｌｏｇ狓＝－１，得狓＝２－１＝ ． ２ ２ ６ ７３ 幂、指数 与对数 （ ） １ １ １ （２）由ｌｏｇ狓＝３，得狓＝ ３ ＝ ＝ ． １ ２ ２３ ８ ２ １ （３）由ｌｎ狓＝－１，得狓＝ｅ－１＝ ． ｅ 练习３．２（１） １．以下对数式中，与指数式５狓＝６等价的是 （ ） Ａ．ｌｏｇ６＝狓； Ｂ．ｌｏｇ狓＝６； ５ ５ Ｃ．ｌｏｇ狓＝５； Ｄ．ｌｏｇ６＝５． ６ 狓 ２．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ２５； （２）ｌｏｇ２７； ５ １ ３ （３）ｌｏｇ槡２； （４）２ｌｏｇ３． ２ ４ ３．求下列各式中狓的值： （１）ｌｏｇ狓＝２； （２）ｌｏｇ４＝２． ４ 狓 ２ 对数的运算性质 引进对数的初衷是为了处理多位数的乘除及开方．在本节中 可以看到，对数可以把乘除运算转变为加减运算，并把乘方开方 运算转化为乘除运算．这为多位数的乘除及开方运算提供了一条 简便的途径． 我们知道指数的运算性质：对任意给定的正数犪及实数狊、 狋，有 犪狊＋狋＝犪狊犪狋 ， 通俗地说，指数可以把加减转化为乘除．这个性质在对数中怎么 体现呢？ 在本节中，我们总假设犪＞０，且犪≠１． 设犕＞０，犖＞０，令犫＝ｌｏｇ犕，犮＝ｌｏｇ犖，就有犪犫＝犕， 犪 犪 犪犮＝犖，因此 犕犖＝犪犫犪犮＝犪犫＋犮． 从而，由对数的定义，有 ｌｏｇ（犕犖）＝犫＋犮＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖． 犪 犪 犪 由此可得下述对数运算的基本性质． 对数性质１ 当犕＞０，犖＞０时， ｌｏｇ（犕犖）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖． 犪 犪 犪 ６ ８３．２ 对数 由性质１可以推出 （ ） 犕 犕 ｌｏｇ犕＝ｌｏｇ ·犖 ＝ｌｏｇ ＋ｌｏｇ犖， 犪 犪 犖 犪犖 犪 从而得到 对数性质２ 当犕＞０，犖＞０时， 对数化乘为加、 化除为减． 犕 ｌｏｇ ＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖． 犪犖 犪 犪 对数性质１与２可以通俗地解释为：对数把乘除运算转化为 加减运算． 设犖＞０，令犫＝ｌｏｇ犖，则犖＝犪犫．由（犪犫 ） 犮＝犪犫犮 ，得 犪 犪犫犮＝犖犮 ，从而由对数的定义，犫犮＝ｌｏｇ犖犮．所以，我们有 犪 对数性质３ 当犖＞０时，对任何给定的实数犮， ｌｏｇ犖犮＝犮ｌｏｇ犖． 犪 犪 特别地，当犮为大于１的正整数狀时，乘方转化为乘；当 １ 对数化乘方为乘、 犮＝ 时，开方转化为除．这说明：对数把乘方及开方分别转化 化开方为除． 狀 为乘与除． 例３ 求下列各式的值： （１）ｌｏｇ（９４×３２ ）； ３ （２）ｌｏｇ槡５９； ３ （３）２ｌｏｇ１０＋ｌｏｇ３－ｌｏｇ１２． ５ ５ ５ 解 反复应用上述对数性质，可得 （１）ｌｏｇ（９４×３２ ）＝ｌｏｇ９４＋ｌｏｇ３２ ３ ３ ３ ＝４ｌｏｇ９＋２ｌｏｇ３ ３ ３ ＝４ｌｏｇ３２＋２ ３ ＝４×２ｌｏｇ３＋２ ３ ＝４×２＋２ ＝１０． ２ ２ （２）ｌｏｇ槡５９＝ｌｏｇ３２＝ ｌｏｇ３＝ ． ３ ３ ５ ５ ３ ５ （３）２ｌｏｇ１０＋ｌｏｇ３－ｌｏｇ１２ ５ ５ ５ １０２×３ ＝ｌｏｇ ５ １２ ＝ｌｏｇ２５＝２． ５ ６ ９３ 幂、指数 与对数 例４ 已知ｌｏｇ２＝犪，５犫＝３，用犪及犫表示ｌｏｇ１２． ５ ５ 解 因为５犫＝３，所以ｌｏｇ３＝犫． ５ 因此 ｌｏｇ１２＝ｌｏｇ（２２×３）＝２ｌｏｇ２＋ｌｏｇ３＝２犪＋犫． ５ ５ ５ ５ 例５ 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指 标．其值狔［单位：ｄＢ（分贝）］定义为 犐 狔＝１０ｌｇ ． 犐 ０ 其中，犐为声场中某点的声强度，其单位为 Ｗ／ｍ２ （瓦／平方米）， 犐＝１０－１２Ｗ／ｍ２ 为基准值． ０ （１）如果犐＝１０Ｗ／ｍ２ ，求相应的声强级； （２）声强级为６０ｄＢ时的声强度犐 是声强级为５０ｄＢ时的声 ６０ 强度犐 的多少倍？ ５０ 解 （１）当犐＝１０Ｗ／ｍ２ 时， 犐 １０ 狔＝１０ｌｇ ＝１０ｌｇ ＝１０ｌｇ１０１３＝１３０（ｄＢ）． 犐 １０－１２ ０ 因此，当犐＝１０Ｗ／ｍ２ 时，相应的声强级为１３０ｄＢ． （２）由题意，得 一般地，正常交 谈的声音是６０ｄＢ，闹 烄 犐 市区的声音是８０ｄＢ， ６０＝１０ｌｇ ６０， 犐 飞机起飞时的声音大 ０ 约是１２０ｄＢ． 烅 犐 ５０＝１０ｌｇ ５０． 烆 犐 ０ 两式相减，得 （ ） 犐 犐 犐 １０＝１０ｌｇ ６０－ｌｇ ５０ ＝１０ｌｇ ６０， 犐 犐 犐 ０ ０ ５０ 犐 犐 即ｌｇ ６０＝１，所以 ６０＝１０． 犐 犐 ５０ ５０ 因此，声强级为６０ｄＢ时的声强度犐 是声强级为５０ｄＢ时的 ６０ 声强度犐 的１０倍． ５０ 练习３．２（２） １．已知犃＝ｌｏｇ狓，犅＝ｌｏｇ狔（犪＞０且犪≠１）．用犃及犅表示下列各式： 犪 犪 狓２ （１）ｌｏｇ狓狔； （２）ｌｏｇ ． 犪 犪槡狔 ２．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ３＋ｌｏｇ５； （２）ｌｏｇ槡３４； １５ １５ ２ １ （３）ｌｏｇ槡１０－ ｌｏｇ２５０． ５ ２ ５ ３．已知ｌｏｇ３＝犪，７犫＝２．用犪及犫表示ｌｏｇ７２． ７ ７ ７ ０３．２ 对数 ３ 对数的换底 下面将介绍对数换底公式．不同底的对数可以很方便地互相 转换． 如前所述，对数的底犪总是为不等于１的正数． 设犫＞０且犫≠１为另一个底，且犖＞０．令犮＝ｌｏｇ犖，即 犫 犫犮＝犖．由对数性质３，得 ｌｏｇ犖＝ｌｏｇ犫犮＝犮ｌｏｇ犫＝ｌｏｇ犖·ｌｏｇ犫， 犪 犪 犪 犫 犪 因此得到 对数换底公式 当犖＞０时， ｌｏｇ犖 ｌｏｇ犖＝ 犪 ． 犫 ｌｏｇ犫 犪 它把以犫为底的对数换成两个以犪为底的对数的商，其中ｌｏｇ犫 犪 只与两个底的值有关，而与真数犖无关． 例如，估算ｌｏｇ３，可先应用换底公式，得 ２ ｌｇ３ ｌｏｇ３＝ ． ２ ｌｇ２ 再利用计算器上的常用对数功能键，得ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１． 因此 ０．４７７１ ｌｏｇ３≈ ≈１．５８５０． ２ ０．３０１０ 例６ 求下列各式的值： （１）ｌｏｇ２５×ｌｏｇ４×ｌｏｇ９； ２ ３ ５ １ ｌｇ１３．５ （２） ＋ ． ｌｏｇ３ ｌｇ３ ２ 解 （１）把所有的对数换成同一个底，如都换成以２为底， 得到 对数运算中，用 换底公式将不同的底 ｌｏｇ２５×ｌｏｇ４×ｌｏｇ９＝ｌｏｇ５２×ｌｏｇ２２×ｌｏｇ３２ 换成同一个底是一种 ２ ３ ５ ２ ３ ５ 常用的方法． ｌｏｇ２２ ｌｏｇ３２ ＝ｌｏｇ５２× ２ × ２ ２ ｌｏｇ３ ｌｏｇ５ ２ ２ ２ｌｏｇ２ ２ｌｏｇ３ ＝２ｌｏｇ５× ２ × ２ ２ ｌｏｇ３ ｌｏｇ５ ２ ２ ＝２×２×２＝８． ７ １３ 幂、指数 与对数 ｌｇ３ （２）将所有的对数统一换成常用对数，因ｌｏｇ３＝ ，有 ２ ｌｇ２ １ ｌｇ１３．５ ｌｇ２ ｌｇ１３．５ ｌｇ２７ ｌｇ３３ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝３． ｌｏｇ３ ｌｇ３ ｌｇ３ ｌｇ３ ｌｇ３ ｌｇ３ ２ 例７ 设犪＞０，犪≠１，且犖＞０．求证：若犿≠０，则 狀 ｌｏｇ 犖狀＝ ｌｏｇ犖． 犪犿 犿 犪 证明 应用换底公式将底换成犪，并利用ｌｏｇ犪＝１，得 犪 ｌｏｇ犖狀 狀ｌｏｇ犖 ｌｏｇ 犖狀＝ 犪 ＝ 犪 ． 犪犿 ｌｏｇ犪犿 犿 犪 练习３．２（３） １．求下列各式的值： １ （１）ｌｏｇ ； ８４ （２）ｌｏｇ犫·ｌｏｇ犮·ｌｏｇ犪（犪、犫、犮均为不等于１的正数）； 犪 犫 犮 （３）３２＋ｌｏｇ４ ； ９ ｌｏｇ２×ｌｏｇ９ （４） ５ ７ ． １ ｌｏｇ ×ｌｏｇ２ ５３ ７ ２．已知ｌｏｇ２＝犪，用犪表示ｌｏｇ９６． ３ ２ １ ３．设犪、犫是两个不等于１的正数，求证：ｌｏｇ犪＝ ． 犫 ｌｏｇ犫 犪 习题３．２ 犃组 １．把下列指数式写成对数式： （１）３４＝８１； （２）５－１＝狓． ２ ２．将下列对数式写成指数式： １ （１）ｌｏｇ２７＝－３； （２）ｌｏｇ ＝－３． １ ２８ ３ ３．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ２７； （２）ｌｏｇ８； ３ １ ２ １ （３）ｌｎ ＋ｌｇ槡１０． ｅ ７ ２３．２ 对数 ４．求下列各式中狓的值： １ （１）ｌｏｇ狓＝５； （２）ｌｏｇ ＝狓； ２ 槡５ １２５ １ （３）ｌｏｇ４＝ ． 狓 ２ ５．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ（２×３槡２）； （２）ｌｏｇ３＋ｌｏｇ７； ２ ２１ ２１ １ （３）ｌｏｇ槡６－ ｌｏｇ１５０； （４）３ｌｏｇ１＋ｌｏｇ４８－ｌｏｇ３； ５ ２ ５ ３ ２ ２ ３ ７ １ （５）３ｌｏｇ －ｌｏｇ ＋ ｌｏｇ４＋ｌｏｇ７． ３２ ３４ ２ ３ ３ ６．已知犃＝ｌｏｇ狓，犅＝ｌｏｇ狔，犆＝ｌｏｇ狕（犪＞０且犪≠１）．用犃、犅及犆表示下列各式： 犪 犪 犪 狓狔 （１）ｌｏｇ（狓狔２ ）； （２）ｌｏｇ ； 犪 犪槡狕 （３）ｌｏｇ（狓２狔２ ）＋ｌｏｇ（狔槡狓）． 犪 犪 ７．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ２槡２； （２）ｌｏｇ３×ｌｏｇ２； ４ ２ ９ ３ ３ （３） ＋ ； ｌｏｇ６ ｌｏｇ６ ２ ３ （４）（ｌｏｇ３＋ｌｏｇ３）（ｌｏｇ２＋ｌｏｇ２）＋ｌｏｇ槡４３２． ４ ８ ３ ９ １ ２ ８．已知犪＝ｌｇ５，用犪表示ｌｇ２和ｌｇ２０． 犅组 １．求下列各式中狓的取值范围： （１）ｌｏｇ（１－３狓）； （２）ｌｏｇ（狓２＋狓）（犪＞０且犪≠１）． ２ 犪 ２．求下列各式的值： （１）ｌｏｇ８－ｌｏｇ３－ｌｏｇ４； （２）２ｌｏｇ５×３ｌｏｇ５ ； ４ １ 槡２ ６ ６ ９ （３）（ｌｇ５０） ２＋ｌｇ２×ｌｇ５０２＋（ｌｇ２） ２． ３．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设犐为地震时所散发出来的相对能量程 ２ 度，则里氏震级度量狉可定义为狉＝ ｌｇ犐＋２．求７．８级地震和６．９级地震的相对能量比 ３ 值．（结果精确到个位） ４．已知ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫．用犪及犫表示ｌｏｇ３及ｌｏｇ２５． ２ １２ １ １ ５．已知５．４狓＝３，０．６ 狔 ＝３．求 － 的值． 狓 狔 ６．设犪、犫、犮、犱均为正数，且犪、犮均不为１．求证： ｌｏｇ犫·ｌｏｇ犱＝ｌｏｇ犱·ｌｏｇ犫． 犪 犮 犪 犮 ７ ３３ 幂、指数 与对数 课后阅读 用对数简化计算 让我们用一个例子说明怎样应用对数来简化计算． 假设我们要计算两个九位数的乘积 ８６７４３２６９１×３４５７２３９０１． 直接计算费时费力，怎样利用对数来简化计算呢？ 先求此乘积以１０为底的对数 ｌｇ（８６７４３２６９１×３４５７２３９０１）． 由对数性质１，它等于ｌｇ８６７４３２６９１＋ｌｇ３４５７２３９０１． 要直接计算这些对数自然十分困难，但是如果已编制了一个常用对数表，可以查真数 在１到１０之间的常用对数（实用中的对数表正是如此），就可以得知 ｌｇ８６７４３２６９１≈ｌｇ（８．６７４３×１０８ ）＝８＋ｌｇ８．６７４３≈８．９３８２， 其中ｌｇ８．６７４３≈０．９３８２是查表得到的．类似地，可得ｌｇ３４５７２３９０１≈８．５３８７．这样所求 乘积之对数为 ｌｇ８６７４３２６９１＋ｌｇ３４５７２３９０１≈８．９３８２＋８．５３８７＝１７．４７６９＝１７＋０．４７６９． 为了最终求得所需要的乘积８６７４３２６９１×３４５７２３９０１，还需要查一个反对数表（实际 上是一个以１０为底，而指数在０到１之间的指数表），就得到０．４７６９≈ｌｇ２．９９８５，即 １００．４７６９≈２．９９８５，从而 １７＋０．４７６９≈１７＋ｌｇ２．９９８５＝ｌｇ（２．９９８５×１０１７ ）， 即原乘积的常用对数约等于ｌｇ（２．９９８５×１０１７ ）．由于同底的两个对数相等，其真数必相 等，就得到 ８６７４３２６９１×３４５７２３９０１≈２．９９８５×１０１７． （现在，用普通的计算器可以得到更精确的值 ８６７４３２６９１×３４５７２３９０１≈２．９９８９２２１３８×１０１７ ） 由上所述，利用一个常用对数表及一个反对数表，就可以通过转化为对数大大简化任 何两个大数（多位数）的乘除及开方运算．这正如恩格斯（Ｆ．Ｅｎｇｌｅｓ）所指出的：“这种从一 个形态到另一个相反形态之转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学最有力的模杆之 一，如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算．”（《自然辩证法》） 然而，制作一个有实际用处的对数表是一项浩大的工程，假如按步长０．００１从１变化 到１０，就有１万个对数要计算．而要算一个数的对数使得精度达到四位小数，也绝不是一 件容易的事．然而，如果制成了对数表，就可以一劳永逸地为其他人所用，意义是十分重 大的． ７ ４３．２ 对数 对 数 简 史 对数是纳皮尔发明的，其出现事先似乎毫无征兆，但它绝不是从天上掉下来的，而是 源自当时在天文、航海及工程实践中迫切需要简化大量繁杂计算的实际需要．纳皮尔从 １５９４年到１６１４年花了二十年的时间造出了第一个对数表，他说过：“要实际应用数学， 我看最大的障碍就是处理很大数字的相乘、相除，或是求取二次或三次方根，……因此我 开始思考，有没有什么方法可以去除这些障碍．”由于对数不仅能将乘除运算化为加减运 算，而且能将乘方、开方运算化为乘除运算，一下子将人们从繁复的计算中解放出来，无 异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命．德国天文学家开普勒（Ｊ．Ｋｅｐｌｅｒ）是最早 使用对数的人之一，他成功地在行星轨道的计算中运用了对数．法国数学家、天文学家拉 普拉斯（Ｐ．Ｓ．Ｌａｐｌａｃｅ）曾说过：“对数的发明让天文学家的寿命都延长了，因为少做了很 多苦工．”恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为最重要的数学方法． 在清代初年（１７ 世纪中叶）对数传到了中国，１６５３年薛凤柞与波兰人穆尼阁 （Ｊ．Ｎ．Ｓｍｏｇｏｌｅｈｓｈｉ）共同编译出版了《比例对数表》一书，正式将对数介绍到中国，薛凤柞 还将对数应用到历法计算中．后来，康熙皇帝组织编撰《数理精蕴》一书，在其下篇·卷三 十八“对数比例”一节中，一开始就说：“对数比例乃西士若往·纳白尔（ＪｏｈｎＮａｐｉｅｒ）所作， 以假数与真数对列成表，故名对数表．”这个假数，我们现在叫“对数”，而若往·纳白尔 就是我们现在所述的纳皮尔． 在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就很快受 到了整个科学界的热烈欢迎．对数的发明，无疑是人类认识史上一个极大的飞跃与革命， 在人类文明的进程中起了划时代的作用．自纳皮尔１６１４年发明对数以来，一直到袖珍计 算器的出现，对数以及根据对数的原理所设计的一些计算仪器，一直是进行复杂计算的有 效方法和工具．根据对数原理设计的计算仪器，最著名的就是后来为科学家和工程师广泛 使用的计算尺，它在长达３５０年的时间中，一直是科学家与工程师的忠实伴侣和有力工 具．自２０世纪７０年代初期袖珍计算器上市以后，计算尺才失去市场，并随着计算机的飞 速发展而彻底退出了历史舞台，对数在计算中无可替代的 地位也一去而不复返了．但是，对数的概念及对数函数的 种种性质在众多数学分支及科学领域中至今一直发挥着重 要的作用，并且有增无减．对数从计算的有力工具向科学 的重要方法的转化，在数学的发展史上留下了浓墨重彩的 篇章，记录着人类不断走向文明进步的光辉历程． ７ ５３ 幂、指数 与对数 内容提要 １．指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂． ２．幂的运算性质：对任意给定的正数犪、犫及实数狊、狋， （１）犪狊犪狋＝犪狊＋狋 ； （２）（犪狊 ） 狋＝犪狊狋 ； （３）（犪犫） 狋＝犪狋犫狋． ３．对数的定义：当犪是不等于１的正数，犖＞０时，犖以犪为底的对数ｌｏｇ犖是满足 犪 犪狓＝犖 的唯一的数狓． ４．对数的基本性质：设犪是不等于１的正数，犕及犖是任意给定的正数，犮是任意 给定的实数． （１）ｌｏｇ１＝０； 犪 （２）ｌｏｇ犪＝１； 犪 （３）ｌｏｇ （犕犖）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖； 犪 犪 犪 犕 （４）ｌｏｇ ＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖； 犪犖 犪 犪 （５）ｌｏｇ犖犮＝犮ｌｏｇ犖； 犪 犪 ｌｏｇ犖 （６）（换底公式）如果犫也是一个不等于１的正数，那么ｌｏｇ犖＝ 犪 ． 犫 ｌｏｇ犫 犪 复习题 犃组 １．填空题： （１）若狓３＝５，则狓＝ ；若３狓＝５，则狓＝ ． （２）将槡４犪槡３犪（犪＞０）化成有理数指数幂的形式为 ． ２ （３）若ｌｏｇ狓＝－ ，则狓＝ ． ８ ３ （４）若ｌｏｇ犫·ｌｏｇ犪＝３（犪＞０且犪≠１），则犫＝ ． 犪 ５ ２．选择题： （１）若ｌｇ犪与ｌｇ犫互为相反数，则有 （ ） Ａ．犪＋犫＝０； Ｂ．犪犫＝１； 犪 Ｃ． ＝１； Ｄ．以上答案均不对． 犫 ７ ６复习题 （２）设犪＞０，下列计算中正确的是 （ ） Ａ．犪２·犪３＝犪； Ｂ．犪２÷犪３＝犪； ３ ２ ３ ２ Ｃ．犪－４ ·犪４＝０； Ｄ．（犪２）３＝犪． ３ ２ ３．已知１０ α ＝３，１０ β ＝４．求１０ α＋β 及１０ α－β ２ 的值． ４．求下列各式的值： １ １ （１） ＋ ； （２）４槡２＋１×２３－２槡２×８－２． ４狓＋１ ４－狓＋１ ３ 槡 犪２ ５．已知ｌｇ犪＜１，化简 （ｌｇ犪） ２－ｌｇ ． １０ ６．已知犿＝ｌｏｇ１０，求２犿－犿ｌｇ２－４的值． ２ 犅组 １．填空题： （１）若４狓＝２－１，４ 狔 ＝槡３３２，则２狓－３狔＝ ． ２ （２）若ｌｏｇ（ｌｏｇ狓）＝１，则狓＝ ． ３ ４ ２ １ （３）若３犪＝７犫＝６３，则 ＋ 的值为 ． 犪 犫 ２．已知ｌｏｇ９＝犪，１８犫＝５，则ｌｏｇ４５等于 （ ） １８ ３６ 犪＋犫 犪＋犫 犪＋犫 犪＋犫 Ａ． ； Ｂ． ； Ｃ． ； Ｄ． ． ２＋犪 ２－犪 ２犪 犪２ ３．设ｌｏｇ犪＞０，ｌｏｇ犫＞０，且ｌｏｇ犪·ｌｏｇ犫＝１．求ｌｏｇ （犪犫）的最小值． ０．２ ０．２ ０．２ ０．２ ０．２ （１＋２狓 ）（１＋２２狓 ）（１＋２４狓 ）（１＋２８狓 ）（１＋２１６狓 ） ４．化简 （其中狓≠０）． １－２３２狓 ５．已知犪＞１，犫＞０．求证：对任意给定的实数犽，犪２犫＋犽－犪犫＋犽＞犪犫＋犽－犪犽． 拓展与思考 １．甲、乙两人同时解关于狓的方程：ｌｏｇ狓＋犫＋犮ｌｏｇ２＝０．甲写错了常数犫，得两根 ２ 狓 １ １ １ 及 ；乙写错了常数犮，得两根 及６４．求这个方程的真正根． ４ ８ ２ ２．已知犪、犫及犮是不为１的正数，且ｌｇ犪＋ｌｇ犫＋ｌｇ犮＝０．求证： １ 犪１＋１·犫１＋１ ·犮１＋１＝ ． ｌｇ犫 ｌｇ犮 ｌｇ犮 ｌｇ犪 ｌｇ犪 ｌｇ犫 １０００ ７ ７４ 第 章 初中已经学过一些基本的初等函数，如正 幂函数、 比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 等．函数是描述客观世界中变量之间相互关系 指数函数 和变化规律的重要语言和工具．例如，一次函 数可描述匀速运动，二次函数可描述匀加速运 与对数函数 动等． 本章我们将在上一章的基础上，通过固定 等式犪犫＝犮中的三个量犪、犫、犮中的一个量， 研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三 种基本而应用广泛的函数———幂函数、指数函 数和对数函数．要学会用函数图像和代数运算 的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴 含的规律．同时，要通过建立数学模型，解决 一些简单的实际问题，并体会这些函数在解决 有关实际问题中的作用．这些都将为下一章“函 数的概念、性质及应用”的学习奠定基础． 书书书４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 ４．１ 幂函数 １ 幂函数的定义与图像 在初中阶段我们已经学过正比例函数如狔＝狓，反比例函数 １ 如狔＝ 即狔＝狓－１ ，以及二次函数如狔＝狓２ 等函数的图像与 狓 性质． 这三个函数的共同特征都是将幂的指数犪固定，底数取为变 量狓，而研究幂狓犪 随狓的变化而变化的规律．用 狔＝狓犪 来描述狔与狓之间的关系就得到了幂函数． 定义 当指数犪固定，等式 幂函数的指数 狔＝狓犪 犪∈犚． 确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为指数为犪的幂函数 （ｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 使得狓犪 有意义的狓的取值范围，称为此幂函数的定义域． 幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数犪的值有关． 例１ 求下列函数的定义域： （１）狔＝狓３ ； （２）狔＝狓１； ２ （３）狔＝狓－２． ３ 解 （１）对一切实数狓该函数都有意义，所以其定义域 是犚． （２）狔＝狓１＝槡狓，当狓≥０时，该函数才有意义，所以其定 ２ 义域是 ［０，＋∞）． １ （３）狔＝狓－２＝ ，当狓≠０时，该函数才有意义，所以其 ３ 槡３狓２ 定义域是（－∞，０）∪（０，＋∞）． ８ ０４．１ 幂函数 函数图像是直观理解变量间关系的一个重要手段．下面我们 考察幂函数狔＝狓犪 的图像及性质． 在平面直角坐标系中把满足狔＝狓犪 的一切点（狓，狔）描绘出 来，就构成幂函数狔＝狓犪 的图像．需要注意，幂函数的图像依赖 作出函数的大致 于指数犪的值，可以有不同的形状． 图像的步骤可以是： 列表—描点—连线． 例２ 分别作出幂函数狔＝狓１及狔＝狓３ 的大致图像． ２ 解 幂函数狔＝狓１的定义域为所有的非负数，我们在其图像 狓 狔＝狓１ ２ ２ ０ ０ 上取一些特殊的点．由 （ ） ０．２５ ０．５ １ １ １ ０１＝０， ２＝ ，１１＝１，４１＝２，９１＝３， ０．５ ０．７０７１ ２ ４ ２ ２ ２ ２ １ １ 就得到幂函数狔＝狓１的图像过下面的点： ２ １．４１４２ ２ （ ） １ １ ４ ２ （０，０）、 ， 、（１，１）、（４，２）、（９，３）． ４ ２ ６ ２．４４９５ 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地作出其图像，如图 ９ ３ ４１１（１）所示． 幂函数狔＝狓３ 的定义域为所有实数．由 （ ） １ １ ３ （－３） ３＝－２７，（－２） ３＝－８，（－１） ３＝－１， － ＝－ ， ２ ８ （ ） １ １ ３ ０３＝０， ＝ ，１３＝１，２３＝８，３３＝２７， ２ ８ 就得到幂函数狔＝狓３ 的图像过下面的点： （ ） １ １ （－３，－２７）、（－２，－８）、（－１，－１）、 － ，－ 、 ２ ８ （ ） １ １ （０，０）、 ， 、（１，１）、（２，８）、（３，２７）． ２ ８ 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地作出其图像，如图 ４１１（２）所示． （１） （２） 图４１１ 因为幂函数狔＝狓３ 的定义域为一切实数，若点（狓，狔）在幂 ０ ０ 函数狔＝狓３ 的图像上，就有狔＝狓３．而点（狓，狔）关于原点的对 ０ ０ ０ ０ 称点易知是（－狓，－狔），如图４１２所示．由狔＝狓３ ，得－狔＝ 图４１２ ０ ０ ０ ０ ０ ８ １４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 （－狓） ３ ，因此点（－狓，－狔）也落在幂函数狔＝狓３ 的图像上．这 ０ ０ ０ 说明幂函数狔＝狓３ 的图像关于原点成中心对称． 例３ 作出幂函数狔＝狓－２的大致图像． ３ （ ） （ ） （ ） 解 因为（－１） －２＝ 槡 ３ － １ ２ ＝１， － 槡２ －２ ３＝槡 ３ － ４ ２ ３ １ ４ 槡２ （ ） （ ） （ ） ＝３槡８＝２， 槡２ －２ ３＝槡 ３ ４ ２ ＝３槡８＝２，１－２＝ 槡 ３ １ ２ ＝１，所以 ４ ３ １ 槡２ 幂函数狔＝狓－２的图像必过下面的点： ３ （ ） （ ） 槡２ 槡２ （－１，１）、 － ，２ 、 ，２ 、（１，１）． ４ ４ 再使用计算器多采集一些点，可以粗略作出此幂函数的图像，如 图４１３所示． 图４１３ 由例１，可知幂函数狔＝狓－２的定义域为不等于０的一切实 ３ 数．若点（狓，狔）在幂函数狔＝狓－２的图像上，则有狔＝狓－２．而 ０ ０ ３ ０ ０３ 点（狓，狔）关于狔轴的对称点易知是（－狓，狔），如图４１４所 ０ ０ ０ ０ １ １ 示．由狔＝狓－２，且（－狓） －２＝ ＝ ＝狓－２，易知同 ０ ０３ ０ ３ 槡３（－狓） ２ 槡３狓２ ０３ ０ ０ 时有狔＝（－狓） －２，从而点（－狓，狔）也落在幂函数狔＝狓－２的 图４１４ ０ ０ ３ ０ ０ ３ 图像上．这说明幂函数狔＝狓－２的图像关于狔轴成轴对称． ３ 练习４．１（１） １．若幂函数狔＝狓犪 的图像经过点（３，槡３），求此幂函数的表达式． ２．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像： （１）狔＝狓１； ３ （２）狔＝狓－１； ２ （３）狔＝狓４． ３ ３．若幂函数狔＝狓－犿２＋２犿＋３ （犿为整数）的定义域为犚，求犿的值． ８ ２４．１ 幂函数 ２ 幂函数的性质 由前述，不管指数犪取何值，当狓＞０时，幂函数狔＝狓犪 总 是有定义的，且其函数值狔＞０．这说明，幂函数狔＝狓犪 在第一 象限总有图像，其图像随指数犪取值的不同，可分为两种情况． （１）犪＞０的情况．此时观察幂函数狔＝狓犪 在第一象限的图 像，不难发现，当指数０＜犪＜１时，相应的图像类似图４１５中 当犪＝０时，幂函 数狔＝狓０＝１（狓≠０）的 狔＝狓１的图像；当指数犪＞１时，相应的图像类似图４１５中 图像是平行于狓轴、 ２ 并在狓轴上方一个单 狔＝狓３ 的图像；而当犪＝１时，幂函数狔＝狓的图像是一条经过 位的一条直线（除去点 原点的直线． （０，１））． 当犪＝１时，幂函 观察图４１５所示的幂函数狔＝狓犪 （犪＞０）在第一象限的图 数狔＝狓的图像是经 过原点的一条直线． 像，可发现图像由左至右是上升的，也就是说，随着自变量狓的 不断增大，函数值狔也不断增大．这是因为当犪＞０时，若 狓 狓＞狓＞０，则 ２＞１，从而由幂的基本不等式，得 ２ １ 狓 １ （ ） 狓 犪 ２ ＞１， 狓 １ 即狓犪＞狓犪．这说明在区间（０，＋∞）上幂函数狔＝狓犪 （犪＞０）的函 ２ １ 数值狔随着狓的（严格）增大而（严格）增大．此时称幂函数狔＝狓犪 （犪＞０）在区间（０，＋∞）上是严格增函数． 图４１５ （２）犪＜０的情况．此时幂函数狔＝狓犪 在第一象限的图像类 似图４１５中狔＝狓－２的图像．该图像由左至右是下降的，也就 ３ 是说，在区间（０，＋∞）上幂函数狔＝狓犪 （犪＜０）的函数值狔随着狓 的（严格）增大而（严格）减小．此时称幂函数狔＝狓犪 （犪＜０）在区间 （０，＋∞）上是严格减函数． 因为１犪＝１，所以无论犪＞０还是犪＜０，幂函数的图像均经 过点（１，１）． 例４ 比较下列各题中两个数的大小： （１）２．５－２ 与１．８－２ ； （２）１．３２４与 （－槡２）４． ５ ５ 解 （１）考虑幂函数狔＝狓－２．由于指数小于０的幂函数在 区间（０，＋∞）上是严格减函数，因此２．５－２＜１．８－２． （２）考虑幂函数狔＝狓４．由于 ５ （－槡２）４ ５ ＝ 槡５（－槡２） ４＝ 槡５（槡２） ４＝槡２４ ５ ， 而指数大于０的幂函数在区间（０，＋∞）上是严格增函数，因此 ８ ３４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 １．３２４＜槡２４， ５ ５ 故 １．３２４＜（－槡２）４． ５ ５ 下面我们研究一些函数图像之间的关系． １ １ 例５ 已知函数狔＝ 和狔＝ ，说明这两个函数图像 狓 狓－２ 之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像． （ ） １ １ 解 在幂函数狔＝ 的图像上任取一点犘犪， ，易得点 狓 犪 （ ） １ １ 犘′犪＋２， 一定在函数狔＝ 的图像上，而将点犘向右平移２个 犪 狓－２ １ 单位就与点犘′重合．反之亦然．因此，将函数狔＝ 的图像向右平移 狓 １ １ ２个单位就得到函数狔＝ 的图像．反之，将函数狔＝ 的图像 狓－２ 狓－２ 图４１６ １ 向左平移２个单位就得到函数狔＝ 的图像，如图４１６所示． 狓 １ 狓－１ 例６ 已知函数狔＝ 和狔＝ ，说明这两个函数 狓－２ 狓－２ 图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致 图像． （ ） 狓－１ １ １ 解 将狔＝ 整理变形，得狔＝１＋ ．若点犙犪， 狓－２ 狓－２ 犪－２ （ ） １ １ 在函数狔＝ 的图像上，则点犙′犪，１＋ 就一定在函数 狓－２ 犪－２ １ 狔＝１＋ 的图像上，即将点犙向上平移１个单位就与点犙′重 狓－２ １ 合．反之亦然．因此，将函数狔＝ 的图像向上平移１个单位就 狓－２ 图４１７ 狓－１ 狓－１ 得到函数狔＝ 的图像．反之，将函数狔＝ 的图像向下平 狓－２ 狓－２ １ 移１个单位就得到函数狔＝ 的图像，如图４１７所示． 狓－２ 练习４．１（２） １．（１）已知函数狔＝狓２和狔＝（狓－１）２，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一 ３ ３ 平面直角坐标系中作出它们的大致图像； （２）已知函数狔＝狓２和狔＝狓２＋１，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面 ３ ３ 直角坐标系中作出它们的大致图像． ２．比较下列各题中两个数的大小： （１）２．５－３ 与３．１－３ ； （２）１．７３与１．６３． ２ ２ ８ ４４．１ 幂函数 －狓－１ ３．作出函数狔＝ 的大致图像． 狓＋２ 习题４．１ 犃组 １．若幂函数狔＝狓犪 的图像经过点（４槡３，３），求此幂函数的表达式． ２．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像： （１）狔＝狓１； （２）狔＝狓－２ ； （３）狔＝狓－３． ５ ４ ３．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率狏（单位： ｃｍ３ ／ｓ）与管道半径狉（单位：ｃｍ）的四次方成正比．若在半径为３ｃｍ的管道中，某气体的 速率为４００ｃｍ３ ／ｓ，求该气体通过半径为５ｃｍ的管道时的速率．（结果精确到１ｃｍ３ ／ｓ） ４．比较下列各题中两个数的大小： （１）３．１－１与３．２－１； （２）（犪＋２）１与犪１． ２ ２ ３ ３ ５．下列幂函数在区间（０，＋∞）上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①狔＝狓１； ②狔＝狓１； ③狔＝狓２； ④狔＝狓－１． ２ ３ ３ ３ 狓－１ ６．作出函数狔＝ 的大致图像． 狓＋２ 犅组 １．填空题： （１）幂函数狔＝狓狀（狀＋１）（狀为正整数）的图像一定经过 象限． （２）若幂函数狔＝狓狊 在０＜狓＜１时的图像位于直线狔＝狓的上方，则狊的取值范 围是 ． ２．下列命题中，正确的是 （ ） Ａ．当狀＝０时，函数狔＝狓狀 的图像是一条直线； Ｂ．幂函数狔＝狓狀 的图像都经过（０，０）和（１，１）两个点； Ｃ．若幂函数狔＝狓狀 的图像关于原点成中心对称，则狔＝狓狀 在区间（－∞，０）上是严 格增函数； Ｄ．幂函数的图像不可能在第四象限． ３．写出一个图像经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式． 犪狓＋１ ４．已知函数狔＝ （常数犪∈犣）．问：是否存在整数犪，使该函数在区间［１，＋∞） 狓＋２ 上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的犪；若不存在，请 说明理由． ８ ５４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 ４．２ 指数函数 １ 指数函数的定义与图像 研究这样一个问题：一张纸对折一次，由１层变为２层，再 对折一次，由２层变为４层，……，对折狓次后，层数狔与对折 次数狓的函数关系为狔＝２狓． 将幂的底数犪固定，指数用变量狓代替，研究幂犪狓 随狓变 化而变化的规律，即用 狔＝犪狓 来描述狔与狓之间的关系，就得到指数函数． 这里首先要假设犪＞０，以保证对所有的实数狓，犪狓 都有意 义．还要假设犪≠１，因为如果犪＝１，犪狓 就恒等于１，这种极为 特殊的情况不必专门研究． 定义 当底数犪固定，且犪＞０，犪≠１时，等式 规定指数函数底 狔＝犪狓 犪＞０且犪≠１． 确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为底为犪的指数函数 （ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 因为对所有实数狓，犪狓 都是有意义的，所以指数函数的定 义域是全体实数． 在平面直角坐标系中，满足狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的一切点 （狓，狔）构成指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的图像． 例１ 若指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的图像经过 点（２，９），求该指数函数的表达式． 解 因为指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的图像经过点 （２，９），所以９＝犪２ （犪＞０且犪≠１），解得犪＝３． 因此，该指数函数的表达式为狔＝３狓． 例２ 分别作出指数函数狔＝２狓 及狔＝３狓 的大致图像． 解 先在相应的图像上取一些特殊的点． １ １ 由２－２＝ ，２－１＝ ，２０＝１，２１＝２，２２＝４，可知指数函数 ４ ２ ８ ６４．２ 指数函数 狔＝２狓 的图像必经过下面的点： （ ） （ ） １ １ －２， 、 －１， 、（０，１）、（１，２）、（２，４）． ４ ２ 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地作出其图像． １ １ 由３－２＝ ，３－１＝ ，３０＝１，３１＝３，３２＝９，可知指数函数 ９ ３ 狔＝３狓 的图像必经过下面的点： （ ） （ ） １ １ －２， 、 －１， 、（０，１）、（１，３）、（２，９）． ９ ３ 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地作出其图像． 我们把这两个图像放在同一个平面直角坐标系中以便观察比 较，如图４２１所示． 图４２１ （ ） １ 例３ 作出指数函数狔＝ 狓的大致图像． ２ （ ） （ ） （ ） （ ） １ １ １ １ １ 解 由 －２ ＝４， －１ ＝２， ０ ＝１， １ ＝ ， ２ ２ ２ ２ ２ （ ） （ ） １ １ １ ２ ＝ ，可知指数函数狔＝ 狓的图像必经过下面的点： ２ ４ ２ （ ） （ ） １ １ （－２，４）、（－１，２）、（０，１）、 １， 、 ２， ． ２ ４ 类似地，可以粗略作出其相应的图像，如图４２２所示． 图４２２ 练习４．２（１） １．判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： （１）狔＝狓； （２）狔＝狓３ ； （３）狔＝ｅ狓 ； （４）狔＝３槡狓； （５）狔＝２－狓 ； （６）狔＝２狓． ２．求下列函数的定义域： （１）狔＝３狓 ； （２）狔＝３１ ． 狓－２ ３．在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的大致图像： （ ） １ 狓 （１）狔＝４狓 ； （２）狔＝ ． ４ ２ 指数函数的性质 由前述两种指数函数的图像可见，它们的图像均在狓轴的上 方．这是因为当犪＞０时，对一切实数狓，犪狓 均大于０．因此，我 们有如下的性质： ８ ７４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的函数值恒大于０． 因为犪０＝１，所以指数函数狔＝犪狓 的图像均经过点（０，１）． 因此，我们有如下的性质： 指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的图像都经过定点（０，１）． 由例２和例３可见，指数函数狔＝犪狓 的图像可分为两种 情况． （１）犪＞１的情况．此时指数函数狔＝犪狓 的图像类似图４２１ 中狔＝２狓 的图像，当狓＞０时，函数值大于１，其图像在直线 狔＝１的上方；而当狓＜０时，函数值小于１且大于０，其图像在 直线狔＝１的下方，且位于狓轴的上方． （２）０＜犪＜１的情况．此时指数函数狔＝犪狓 的图像类似图 （ ） １ ４２２中狔＝ 狓的图像，当狓＞０时，函数值小于１且大于０， ２ 其图像在直线狔＝１的下方，且位于狓轴的上方；而当狓＜０时， 函数值大于１，其图像在直线狔＝１的上方． 这两种情况在同一平面直角坐标系中的图像如图４２３所示． （ ） １ 易见这两个指数函数狔＝２狓 与狔＝ 狓的图像关于狔轴对称． ２ 一般地说，由指数幂的运算性质 犪狓＝（犪－１ ） －狓 ， ０ ０ 容易看到：若（狓，狔）为指数函数狔＝犪狓 图像上的一点，则 ０ ０ （－狓，狔）必为指数函数狔＝（犪－１ ） 狓 图像上的点，反之亦然．由 图４２３ ０ ０ 于（狓，狔）及（－狓，狔）两点关于狔轴对称，因此指数函数狔＝犪狓 ０ ０ ０ ０ 及狔＝（犪－１ ） 狓 的图像必关于狔轴对称． 指数函数狔＝犪狓 观察图４２１中两个指数函数的图像，它们的底都大于１， 的图像与指数函数 图像由左至右是上升的，也就是说，随着自变量狓的不断增大， 狔＝（犪－１）狓的图像关于 狔轴对称． 函数值狔也不断增大，这点也可以证明如下： 当犪＞１时，若狓＞狓，则狓－狓＞０，由幂的基本不等式有 ２ １ ２ １ 犪狓－狓＞１， ２ １ 即犪狓＞犪狓．此时，称指数函数狔＝犪狓 （犪＞１）在犚上是严格增函 ２ １ 数，即函数值狔随着狓的（严格）增大而（严格）增大． 同理可证：当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓 在犚上是严格 减函数． 因此，我们有 指数函数的单调性 当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓 在 犚上是严格增函数；当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓 在犚 上是严格减函数． ８ ８４．２ 指数函数 指数函数的图像与性质可总结见下表４１： 表４１ 狔＝犪狓 犪＞１ ０＜犪＜１ 图像 （１）图像都在狓轴上方，无限趋近于狓轴，但永不相交． 图像特征 （２）过点（０，１）． （３）由左至右图像上升． （３）由左至右图像下降． （１）定义域为犚，函数值恒正． 函数性质 （２）当狓＝０时，狔＝１． （３）在犚上是严格增函数． （３）在犚上是严格减函数． 例４ 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的 大小： （１）１．７２．５ 与１．７３ ； （ ） （ ） （２） ３ １ ６与 ４ －１ ５； ４ ３ （３）犪１与犪１ （犪＞０且犪≠１）． ２ ３ 解 （１）由于底数犪大于１的指数函数狔＝犪狓 在犚上是严 格增函数，因此１．７２．５＜１．７３． （ ） （ ） （２）由于 ４ －１ ５＝ ３ １ ５，且底数犪小于１大于０的指数函 ３ ４ 数狔＝犪狓 在犚上是严格减函数，因此 （ ） （ ） ３ １ ４ －１ ６＞ ５． ４ ３ （３）当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓 在犚上是严格减函数， 故犪１＜犪１； ２ ３ 当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓 在犚上是严格增函数，故犪１＞犪１． ２ ３ 例５ 求下列不等式的解集： １ （１）３狓＞ ； ２７ （２）犪狓２－２狓＋３＞犪６ （０＜犪＜１）． ８ ９４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 １ 解 （１）将 写成３－３ ，因为指数函数狔＝３狓 在犚上是严 ２７ 格增函数，所以狓＞－３．故原不等式的解集为（－３，＋∞）． （２）当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓 在犚上是严格减函数， 因此有狓２－２狓＋３＜６，整理得狓２－２狓－３＜０，解得－１＜狓＜３． 故原不等式的解集为（－１，３）． 练习４．２（２） １．比较下列各题中两个数的大小： （１）１．４０．３ 与１．４０．４ ； （２）０．３１．４ 与０．３１．５ ； （ ） １ （３）犪－３．１４ 与 π （犪＞０且犪≠１）． 犪 ２．已知犪＞０且犪≠１．若犿＞狀，且犪犿＜犪狀 ，求实数犪的取值范围． ３．求下列不等式的解集： （１）３狓＞３０．５ ； （２）０．２狓＜２５． 例６ 已知指数函数狔＝犪狓 （犪＞１）在区间［１，２］上的最大 犪 值比最小值大 ，求实数犪的值． ３ 解 当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓 在区间［１，２］上是严格增函 数．所以，在区间［１，２］上，当狓＝２时，该指数函数取到最大值 犪 犪２ ；当狓＝１时，该指数函数取到最小值犪．由题意，得犪２－犪＝ ， ３ ４ 解得犪＝ ． ３ 指数函数在生产实际和科学研究中有很多应用．银行存款和 贷款、ＧＤＰ的增长、人口增长等都可能涉及指数函数．我们用以 下的例子来体会“指数增长”． 例７ 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为 犽，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为２０％． 试建立该物种的种群数量增长模型，并预测３０年后该物种的种 群数量约为现有种群数量的多少倍．（结果精确到个位） 解 设经过１年后，该种群数量为 狔＝犽＋犽·２０％＝犽（１＋２０％）； １ ９ ０４．２ 指数函数 经过２年后，该种群数量为 狔＝犽（１＋２０％）＋犽（１＋２０％）·２０％ ２ ＝犽（１＋２０％） ２ ； 当犪＞１时，不仅 …… 犪狓随着狓的增长而增 以此类推，经过狀（狀为正整数）年后，该种群数量为狔＝ 长，且因为犪狓＋１－犪狓 狀 ＝犪狓（犪－１），随着狓 犽（１＋２０％） 狀． 的增长，犪狓增长得越 来越快．这就是所谓 当狀＝３０时，该种群数量为狔 ＝犽（１＋２０％） ３０≈２３７犽． 的“指数增长”． ３０ 因此，若不加控制，该种群的数量在３０年之后约为现在的 ２３７倍，从而可能极大地破坏当地生态系统的稳定，这说明指数 函数可以用于预测种群数量，便于及早进行干预． 练习４．２（３） 犪 １．已知指数函数狔＝犪狓 （０＜犪＜１）在区间［１，２］上的最大值比最小值大 ，求实数犪 ３ 的值． ２．某服装店对原价分别为１７５元和２００元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每 天降价５％，直到其售完为止；乙服装每天降价７％，直到其售完为止．假设两种服装在 １０天内均没有售完，几天后甲服装的售价将高于乙服装的售价？ 习题４．２ 犃组 １．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） （ ） １ 狓 ①狔＝（－４） 狓 ； ②狔＝ ； ③狔＝４狓 ； ④狔＝狓－４ ； ⑤狔＝（槡４） 狓． ４ ２．求下列函数的定义域： （１）狔＝２槡３－狓 ； （２）狔＝０．１１． 狓 ３．在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些函数图像间的关系： （ ） （ ） （ ） ３ ２ ２ 狓 狓 狓 （１）狔＝ ； （２）狔＝ ； （３）狔＝ －１． ２ ３ ３ ４．已知指数函数狔＝（犿－２） 狓 在犚上是严格减函数，求实数犿的取值范围． ５．已知常数犪＞０且犪≠１．假设无论犪取何值，函数狔＝犪２－狓 的图像恒经过一个定点， 求此定点的坐标． ６．比较下列各题中两个数的大小： （ ） 槡３ １ （１）１．２２．６ 和１．２２．６１ ； （２）（槡３） －１和 ２． ３ ３ ９ １４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 ７．求下列不等式的解集： （ ） １ １ 槡狓 （１）３狓２－２狓＋３＜３２狓 ； （２） ≤ ． ３ ８１ ８．已知指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）在区间［１，２］上的最大值与最小值之和等于６， 求实数犪的值． ９．某公司去年购置平板电脑５０台，并计划从今年起，新购置的平板电脑数将按每年 ５％的比例增长．求从今年起的第１０年新购置的平板电脑数．（结果精确到１台） 犅组 １．在同一平面直角坐标系中，指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）和一次函数狔＝犪（狓＋１） 的图像关系可能是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （第１题） ２．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积狔（单位：ｍ２ ）与时间 狋（单位：月）的关系：狔＝犪狋 （犪＞０且犪≠１）．以下结论： ① 这个指数函数的底数是２； ② 第５个月时，浮萍的面积就会超过３０ｍ２ ； ③ 浮萍面积从４ｍ２ 到１２ｍ２ 需要经过１．５个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等． 其中，正确结论的序号是 （ ） Ａ．①②③； Ｂ．①②③④； Ｃ．②③④； Ｄ．①②． （第２题） ３．若狓＞０时，指数函数狔＝（犪２－１） 狓 的值总大于１，求实数犪的取值范围． ４．若－１＜狓＜０，比较３狓 ，３－狓 及３２狓 的大小． ５．设犪＞１，若犪狓２＋２狓＋１＜犪２狓２－３狓＋１ ，求实数狓的取值范围． ６．若函数狔＝５狓＋１＋犿的图像不经过第二象限，求实数犿的取值范围． ９ ２４．３ 对数函数 ４．３ 对数函数 １ 对数函数的定义与图像 我们已经学过幂函数及指数函数．本节我们将利用对数来引 入对数函数． 前面我们已经知道什么是正数犖以犪为底的对数ｌｏｇ犖， 犪 其中犪＞０且犪≠１． 现在，将对数的底数犪固定，而将真数犖用变量狓代替， 以研究对数的值ｌｏｇ狓随狓变化而变化的规律．用 犪 狔＝ｌｏｇ狓 犪 来描述狔与狓的关系就是对数函数． 定义 当底数犪固定，且犪＞０，犪≠１时，狓以犪为底的 对数 规定对数函数的 底犪＞０且犪≠１． 狔＝ｌｏｇ狓 犪 确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为底为犪的对数函数 （ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 因为只有当狓＞０时，ｌｏｇ狓才有意义，所以对数函数的定 犪 义域是全体正数． 例１ 求下列函数的定义域： （１）狔＝ｌｏｇ（狓－１）； ２ （２）狔＝ｌｏｇ（狓２－４狓－５）（常数犪＞０且犪≠１）． 犪 解 （１）当狓－１＞０，即狓＞１时，该函数才有意义，所以 该函数的定义域是（１，＋∞）． （２）当狓２－４狓－５＞０时，该函数才有意义，而 狓２－４狓－５＝（狓＋１）（狓－５）， 不等式狓２－４狓－５＞０的解是狓＜－１或狓＞５，所以该函数的定 义域是（－∞，－１）∪（５，＋∞）． 前面已经看到，函数图像是直观理解变量间关系的一个重要 ９ ３４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 手段．下面我们来考察对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像及其性质，这 犪 里总假设犪＞０且犪≠１． 在平面直角坐标系中，把满足狔＝ｌｏｇ狓的一切点（狓，狔）描 犪 绘出来就构成对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像．像以前学习过的其他 犪 函数一样，对数函数的图像也是一条曲线． 例２ 分别作出对数函数狔＝ｌｏｇ狓及狔＝ｌｏｇ狓的大致图像． ２ ３ １ 解 先取此图像上的一些特别的点，由ｌｏｇ ＝－２， ２ ４ １ ｌｏｇ ＝－１，ｌｏｇ１＝０，ｌｏｇ２＝１，ｌｏｇ４＝２，所以对数函数 ２２ ２ ２ ２ 狔＝ｌｏｇ狓的图像必经过下面的点： ２ （ ） （ ） １ １ ，－２ 、 ，－１ 、（１，０）、（２，１）、（４，２）． ４ ２ 再使用计算器多采集一些点，就可以粗略地作出其图像． １ １ 因为ｌｏｇ ＝－２，ｌｏｇ ＝－１，ｌｏｇ１＝０，ｌｏｇ３＝１， ３９ ３３ ３ ３ ｌｏｇ９＝２，所以对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像必经过点： ３ （ ） （ ） ３ １ １ ，－２ 、 ，－１ 、（１，０）、（３，１）、（９，２）． ９ ３ 再多采集一些点，就可以粗略地作出其图像． 图４３１ 我们把这两个图像放在同一个图上以便观察比较，如图４３１ 所示． 例３ 作出对数函数狔＝ｌｏｇ狓的大致图像． １ ２ １ １ 解 因为ｌｏｇ ＝２，ｌｏｇ ＝１，ｌｏｇ１＝０，ｌｏｇ２＝－１， １４ １２ １ １ ２ ２ ２ ２ ｌｏｇ４＝－２，所以该函数的图像经过下面的点： １ ２ （ ） （ ） １ １ ，２ 、 ，１ 、（１，０）、（２，－１）、（４，－２）． ４ ２ 图４３２ 类似地，可以粗略地作出其相应的图像，如图４３２所示． 练习４．３（１） １．若对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且犪≠１）的图像经过点（４，２），求此对数函数的表达式． 犪 ２．求下列函数的定义域： ２＋狓 （１）狔＝ｌｏｇ ； （２）狔＝ｌｏｇ（４－狓２ ）（常数犪＞０且犪≠１）． ２１－狓 犪 ３．在同一平面直角坐标系中作出狔＝ｌｇ狓及狔＝ｌｏｇ 狓的大致图像． ０．１ ９ ４４．３ 对数函数 ２ 对数函数的性质 由上述，对数函数的图像可分为两种情况： （１）犪＞１的情况．此时，对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像类似图 犪 ４３１中狔＝ｌｏｇ狓的图像．当狓＞１时，函数值大于零，其图像在 ２ 狓轴的上方；而当０＜狓＜１时，函数值小于零，其图像在狓轴 的下方． （２）０＜犪＜１的情况．此时，对数函数图像类似图４３２中 狔＝ｌｏｇ狓的图像．当狓＞１时，函数值小于零，其图像在狓轴的 １ ２ 下方；当０＜狓＜１时，函数值大于零，其图像在狓轴的上方． 这两种情况下的图像可见图４３３中两个对数函数狔＝ｌｏｇ狓 ２ 与狔＝ｌｏｇ狓的图像．它们看上去关于狓轴对称，实际上也的确 １ ２ 如此．事实上，由换底公式 ｌｏｇ狓＝－ｌｏｇ 狓 犪 犪－１ 可得，在０＜犪＜１时，底犪小于１的对数函数狔＝ｌｏｇ狓与底 函数狔＝ｌｏｇ 犪 狓的 犪 图像与狔＝ｌｏｇ 狓的 犪－１ 大于１的对数函数狔＝ｌｏｇ 狓恰相差一个符号，它们的图像 图像关于狓轴对 犪－１ 称． 犪－１ 关于狓轴对称． 图４３３ 因为犪０＝１或者ｌｏｇ１＝０，所有指数函数狔＝犪狓 的图像均经 犪 过点（０，１），而所有对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像均经过点（１，０）， 犪 所以我们有如下的性质： 对数函数的图像总是经过点（１，０）． 因为狔＝ｌｏｇ狓是犪 狔 ＝狓的解，所以说对数运算是指数运算 犪 的一种逆运算．作为函数，称对数函数狔＝ｌｏｇ狓是指数函数 反函数的概念将 犪 在下一章学习． 狔＝犪狓 的反函数． 指数函数狔＝犪狓 的图像与其反函数即对数函数狔＝ｌｏｇ狓的 犪 图像之间有什么关系呢？它们的关系是：对数函数狔＝ｌｏｇ狓的 犪 ９ ５４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 图像与指数函数狔＝犪狓 的图像关于直线狔＝狓是对称的．这就 是说，对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像关于直线狔＝狓对称的图像就 指数函数狔＝犪狓 犪 的图像与其反函数对 是指数函数狔＝犪狓 的图像．事实上，若点（狓，狔）在对数函数 数函数狔＝ｌｏｇ狓的图 ０ ０ 像关于直线狔 犪 ＝狓对 狔＝ｌｏｇ狓的图 像 上， 就 有狔 ＝ｌｏｇ狓， 即狓 ＝犪 狔 ．而 点 称． 犪 ０ 犪 ０ ０ ０ （狓，狔）关于直线狔＝狓的对称点就是（狔，狓），由于狓＝犪 狔 ， ０ ０ ０ ０ ０ ０ 因此（狔，狓）必落在指数函数狔＝犪狓 的图像上．反之亦然．如图 ０ ０ 点（狓，狔）关于 ４３４所示． ０ ０ 直线狔＝狓的对称点 是（狔，狓），将在下 ０ ０ 一章证明． 图４３４ 观察图４３１中的两个对数函数图像，它们的底都大于１， 且都是递增的，即在自变量狓增大时，函数值狔也增大．这点在 理论上也可以证明．为此，先证明下面的定理． 此定理又称为对 定理 当犪＞１，犖＞１时，ｌｏｇ犖＞０． 犪 数的基本不等式． 证明 用反证法证明．如果狓＝ｌｏｇ犖≤０，由指数函数的性 犪 质，就可得犖＝犪狓≤１，与犖＞１矛盾． 对数函数的单调性 当犪＞１时，对数函数狔＝ｌｏｇ狓 犪 在区间（０，＋∞）上是严格增函数；当０＜犪＜１时，对数函 数狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严格减函数． 犪 狓 证明 当犪＞１时，如果狓＞狓＞０，那么 ２＞１，由上面的 ２ １ 狓 １ 定理可得 狓 ｌｏｇ ２＞０， 犪狓 １ 即ｌｏｇ狓＞ｌｏｇ狓．这说明对数函数狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上 犪 ２ 犪 １ 犪 是严格增函数，即狔随着狓的（严格）增大而（严格）增大． 当０＜犪＜１时的结论，其证明留作课后练习． 关于对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图像与性质的总结见表４２． 犪 ９ ６４．３ 对数函数 表４２ 狔＝ｌｏｇ狓 犪＞１ ０＜犪＜１ 犪 图像 （１）图像都在狔轴右侧，无限趋近于狔轴，但永不相交． 图像特征 （２）过点（１，０）． （３）由左至右图像上升． （３）由左至右图像下降． （１）定义域为（０，＋∞）． （２）当狓＝１时，狔＝０． 函数性质 （３）在区间（０，＋∞）上是 （３）在区间（０，＋∞）上是 严格增函数． 严格减函数． 例４ 利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数 的大小． （１）ｌｏｇ５与ｌｏｇ６； ２ ２ （２）ｌｏｇ０．１与ｌｏｇ０．２（犪＞０且犪≠１）； 犪 犪 （３）ｌｏｇ７与ｌｏｇ７． ５ ６ 解 （１）因为犪＞１时对数函数狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上 犪 是严格增函数，所以ｌｏｇ５＜ｌｏｇ６． ２ ２ （２）因为０＜犪＜１时对数函数狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是 犪 严格减函数，故ｌｏｇ０．１＞ｌｏｇ０．２；而当犪＞１时，对数函数在区间 犪 犪 （０，＋∞）上是严格增函数，故ｌｏｇ０．１＜ｌｏｇ０．２． 犪 犪 （３）需要换成同底数的对数之后才易于进行比较．由换底公 式，得 １ １ ｌｏｇ７＝ ，ｌｏｇ７＝ ， ５ ｌｏｇ５ ６ ｌｏｇ６ ７ ７ 由ｌｏｇ６＞ｌｏｇ５＞０，故ｌｏｇ７＞ｌｏｇ７． ７ ７ ５ ６ 例５ 比较８９９９ 与９９８９ 的大小． 解 取以１０为底的对数，由对数函数单调性，只需要比较 两个对数ｌｇ８９９９＝９９ｌｇ８９与ｌｇ９９８９＝８９ｌｇ９９的大小就足够了． 由计算器得９９ｌｇ８９≈１９２．９９，８９ｌｇ９９≈１７７．６１，因为 １９２．９９＞１７７．６１， 所以 ８９９９＞９９８９． ９ ７４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 练习４．３（２） １．已知常数犪＞０且犪≠１，假设无论犪取何值，函数狔＝ｌｏｇ（狓－１）的图像恒经过一 犪 个定点，求此点的坐标． ２．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个对数的大小： （１）ｌｏｇ ３和ｌｏｇ ６； ０．２ ０．２ （２）ｌｏｇ ３和ｌｏｇ ３． ０．２ ０．３ ３．设０＜犪＜１，求证：对数函数狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严格减函数． 犪 例６ 试利用对数函数单调性来估算对数ｌｏｇ３的第一位 ２ 小数的值． 解 因为２１＝２＜３＜４＝２２ ，由对数函数单调性，所以 １＜ｌｏｇ３＜２． ２ 又因为９＞８，即３＞２槡２＝２１．５ ，再次由对数函数单调性，得 ｌｏｇ３＞１．５． ２ 现在比较ｌｏｇ３与１．６．这等价于比较３与２１．６＝２８，即比较 ２ ５ ３５ 与２８．由于３５＝２４３＜２５６＝２８ ，因此３＜２１．６．再由对数函数的 单调性，得 ｌｏｇ３＜１．６． ２ 最后我们得到 １．５＜ｌｏｇ３＜１．６． ２ 因此ｌｏｇ３的第一位小数是５． ２ 从这个例子可以看出估算对数的更多位精确小数的困难程度． 例７ 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度狏（单位： ｋｍ／ｓ）和燃料的质量犕（单位：ｋｇ）、火箭（除燃料外）的质量犿 ０ （单位：ｋｇ）之间的关系是 （ ） 犕 狏＝２ｌｎ １＋ ， 犿 ０ 这里ｌｎ表示以ｅ为底的自然对数．问当燃料质量至少是火箭质量 的多少倍时，火箭的最大速度才能超过８ｋｍ／ｓ．（结果精确到 ０．１倍） 解 根据题意，得 （ ） 犕 ２ｌｎ １＋ ＞８， 犿 ０ ９ ８４．３ 对数函数 （ ） 犕 ｌｎ １＋ ＞４， 犿 ０ 犕 １＋ ＞ｅ４ ， 犿 ０ 犕 ＞ｅ４－１≈５４．６－１＝５３．６． 犿 ０ 所以，当燃料质量至少是火箭质量的５３．６倍时，火箭的最 大速度才能超过８ｋｍ／ｓ． 例８ 现在我们可以回答必修课程３．２节一开始提出的问 题：在年利率为５％，且按年计复利的条件下，１万元钱存多少 年会超过５万元？ 解 问题是要找到一个最小的整数狀，使得 （１＋０．０５） 狀＞５． 这等价于狀＞ｌｏｇ ５．用计算器求精确到五位小数的常用对数值， １．０５ 可得ｌｇ５≈０．６９８９７，ｌｇ１．０５≈０．０２１１９．由换底公式可得 ｌｇ５ ０．６９８９７ ｌｏｇ ５＝ ≈ ≈３２．９８５８４． １．０５ ｌｇ１．０５ ０．０２１１９ 所以，存３３年会超过５万元． 最后，从函数的角度看，对数的换底公式说的是两个底数不 同的对数函数实际上只相差一个常数倍．事实上，设犪、犫都是 不等于１的正数，那么以犪为底的对数函数狔＝ｌｏｇ狓和以犫为 犪 底的对数函数狔＝ｌｏｇ狓仅相差一个常数倍，即 犫 １ ｌｏｇ狓＝ ｌｏｇ狓，狓＞０， 犫 ｌｏｇ犫 犪 犪 其中，因为ｌｏｇ犫不包含自变量狓，在自变量狓的变化过程中是 犪 不变的，称为常量．例如， １ ｌｇ狓＝ ｌｏｇ狓， ｌｏｇ１０ ２ ２ 图４３５ 函数狔＝ｌｇ狓和狔＝ｌｏｇ狓的图像比较如图４３５所示． ２ 练习４．３（３） １．动物死亡后，体内碳的放射同位素 １４Ｃ的含量每年衰减０．０１２％，设在动物死亡的 时刻狋＝０时， １４Ｃ的含量为犪． （１）写出 １４Ｃ的含量狔随时间狋变化的函数表达式； （２）问至少经过多少年， １４Ｃ的含量才能低于原来的９０％． ２．利用对数函数的单调性来估算对数ｌｏｇ５的第一位小数的值． ２ ９ ９４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 习题４．３ 犃组 １．求下列函数的定义域： （１）狔＝ｌｏｇ（狓＋１２）（常数犪＞０且犪≠１）； 犪 １ （２）狔＝ｌｏｇ ． ２狓２－２狓＋５ ２．已知对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且犪≠１）的图像经过点（３，２）．若点犘（犫，４）为此函 犪 数图像上的点，求实数犫的值． ３．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出这些函数图像之间的关系． （１）狔＝ｌｏｇ狓； （２）狔＝ｌｏｇ狓； ３ １ （ ） ３ １ 狓 （３）狔＝ ． ３ ４．已知常数犪＞０且犪≠１，假设无论犪取何值，函数狔＝ｌｏｇ狓－１的图像恒经过一个 犪 定点．求此点的坐标． ５．根据下列不等式，确定底数犪的取值范围： （１）ｌｏｇ０．２＜ｌｏｇ０．１； （２）ｌｏｇπ＞ｌｏｇｅ． 犪 犪 犪 犪 ６．已知狔＝ｌｏｇ 狓在区间（０，＋∞）上是严格减函数，求实数犪的取值范围． 犪２－１ ７．已知对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞１）在区间［１，２］上的最大值比最小值大１，求犪的值． 犪 犅组 １．若犪＞犫＞犮＞１，则下列不等式不成立的是 ．（填写所有不成立的不等式的 序号） １ １ １ １ ①ｌｏｇ犫＞ｌｏｇ犮；②ｌｏｇ ＞ｌｏｇ ；③ｌｏｇ犫＞ｌｏｇ犮；④ｌｏｇ ＞ｌｏｇ ． 犪 犪 犪犫 犪犮 １ １ １犫 １犮 犪 犪 犪 犪 ２．设常数犪＞０且犪≠１，求函数狔＝ｌｏｇ（犪－犪狓 ）的定义域． 犪 ３．根据下列不等式，比较正数犿及狀的大小： （１）ｌｏｇ犿＜ｌｏｇ狀； ３ ３ （２）ｌｏｇ犿＜ｌｏｇ狀（犪＞０且犪≠１）； 犪 犪 （３）ｌｏｇ犖＜ｌｏｇ犖 （０＜犿＜１，０＜狀＜１，０＜犖＜１）． 犿 狀 ４．设０＜犪＜１，若ｌｏｇ（４狓２－１）＜ｌｏｇ（－２狓２＋狓＋１），求实数狓的取值范围． 犪 犪 ５．比较２２２３ 与２３２２ 的大小． ６．如果 ２３７Ｕ在不断的裂变中，每天所剩留质量与前一天剩留质量相比，按同一比例 １０ ０４．３ 对数函数 减少，且经过７天裂变，剩余的质量是原来的５０％．计算至少要经过多少天裂变，其剩留 质量才小于原来的１０％． 探究与实践 幂函数、指数函数与对数函数增长速度的比较 我们已经知道，如果指数函数的底数犪大于１，当自变量狓增大时，指数函数狔＝犪狓 增 长得非常快，称为“指数增长”．类似地，可以分析底数犪大于１的对数函数狔＝ｌｏｇ狓的增长 犪 速度． （１）计算函数狔＝０．０１狓和狔＝ｌｇ狓当狓＝１０２ ，１０４ ，１０６ ，１０８ ，１０１０ 时的值，并由此 比较两个函数的增长速度． （２）计算函数狔＝狓０．１ 和狔＝ｌｇ狓当狓＝１０１０ ，１０２０ ，１０５０ ，１０１００ ，１０２００ 时的值，并由此 比较两个函数的增长速度． （３）计算函数狔＝１．１狓 和狔＝ｌｇ狓当狓＝１０２ ，１０４ ，１０６ ，１０８ ，１０１０ 时的值，并由此比 较两个函数的增长速度． 通过上述比较，你对对数函数的增长速度有何体会？ 课后阅读 火箭速度的计算公式 航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（Ｋ．Ｅ．Ｔｓｉｏｌｋｏｖｓｋｙ）于１９０３年给出火箭速度 的计算公式 （ ） 犕 狏＝犞ｌｎ１＋ ． ０ 犿 ０ 其中，犞 是燃料相对于火箭的喷射速度，犕是燃料的质量，犿 是火箭（除去燃料）的质 ０ ０ 量，狏是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．可以看出狏与犕是对数函数的关系，由于对 （ ） 犕 数函数增长速度很慢，通过大量增加燃料 即增加 难以达到航天器绕地球运行所需要 犿 ０ 的第一宇宙速度，据此他又提出了采用多级火箭发射航天器的设想． 现代运载火箭大多采用三级火箭，当第一级火箭的燃料用完时，点燃第二级火箭并抛 弃第一级火箭，这相当于大大减小第二级火箭推进时的犿，从而在第二级火箭燃料用完 ０ 时航天器可以达到较高的速度．然后类似地点燃第三级火箭并抛弃第二级火箭，最终可以 将航天器送入太空轨道． １ ０１４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 内容提要 １．幂函数狔＝狓犪 的定义域由指数犪决定．随着指数犪的不同，幂函数的定义域是不 同的． ２．幂函数狔＝狓犪 有单调性：当犪＞０时，它在区间（０，＋∞）上是严格增函数；而当 犪＜０时，它在区间（０，＋∞）上是严格减函数． ３．指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的定义域是全体实数． ４．指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）有单调性：当犪＞１时，它在犚上是严格增函数； 而当０＜犪＜１时，它在犚上是严格减函数． ５．对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且犪≠１）的定义域是全体正实数． 犪 ６．对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且犪≠１）有单调性：当犪＞１时，它在区间（０，＋∞）上是 犪 严格增函数；而当０＜犪＜１时，它在区间（０，＋∞）上是严格减函数． 复习题 犃组 １．填空题： （１）若点（２，槡２）在幂函数狔＝狓犪 的图像上，则该幂函数的表达式为 ； 若点（２，槡２）在指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）的图像上，则该指数函数的表达式为 ；若点（槡２，２）在对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且犪≠１）的图像上，则该对数 犪 函数的表达式为 ． （２）若幂函数狔＝狓犽 在区间（０，＋∞）上是严格减函数，则实数犽的取值范围为 ． （３）已知常数犪＞０且犪≠１，假设无论犪为何值，函数狔＝犪狓－２＋１的图像恒经过一 个定点．则这个点的坐标为 ． ２．选择题： （１）若指数函数狔＝犪狓 （犪＞０且犪≠１）在犚上是严格减函数，则下列不等式中，一定 能成立的是 （ ） Ａ．犪＞１； Ｂ．犪＜０； Ｃ．犪（犪－１）＜０； Ｄ．犪（犪－１）＞０． １０ ２复习题 （２）在同一平面直角坐标系中，一次函数狔＝狓＋犪与对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０且 犪 犪≠１）的图像关系可能是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （第２（２）题） ３．求下列函数的的定义域： （１）狔＝（狓－１）５； （２）狔＝３槡狓－１ ； ２ １＋狓 （３）狔＝ｌｇ ． １－狓 ４．比较下列各题中两个数的大小： （１）０．１０．７ 与０．２０．７ ； （２）０．７０．１ 与０．７０．２ ； （３）ｌｏｇ ０．１与ｌｏｇ ０．２． ０．７ ０．７ （ ） １ ５．设点（槡２，２）在幂函数狔＝狓犪 的图像上，点 －２， 在幂函数狔＝狓犫 的图像上． １ ４ ２ 当狓取何值时，狔＝狔？ （ ）１ ２ ２ ６．设犪＝ 狓 ，犫＝狓３及犮＝ｌｏｇ狓，当狓＞１时，试比较犪、犫及犮之间的大小关系． ３ ２ ２ ３ ７．设常数犪＞０且犪≠１，若函数狔＝ｌｏｇ（狓＋１）在区间［０，１］上的最大值为１，最小值 犪 为０，求实数犪的值． ８．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少１０％，那么至少需要将多少块这样的玻璃 １ 重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的 ？ ３ 犅组 １．填空题： （１）已知犿∈犣，设幂函数狔＝狓犿２－４犿 的图像关于原点成中心对称，且与狓轴及狔轴 均无交点，则犿的值为 ． （２）设犪、犫为常数，若０＜犪＜１，犫＜－１，则函数狔＝犪狓＋犫的图像必定不经过第 象限． ２．选择题： （１）若犿＞狀＞１，而０＜狓＜１，则下列不等式正确的是 （ ） Ａ．犿狓＜狀狓 ； Ｂ．狓犿＜狓狀 ； Ｃ．ｌｏｇ犿＞ｌｏｇ狀； Ｄ．ｌｏｇ狓＜ｌｏｇ狓． 狓 狓 犿 狀 １ ０３４ 幂函数、 指数函数 与对数函数 （ ） 犫 （２）在同一平面直角坐标系中，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓与指数函数狔＝ 狓的图 犪 像关系可能为 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （第２（２）题） （ ） ３ ３．设犪为常数且０＜犪＜１，若狔＝ｌｏｇ 狓在犚上是严格增函数，求实数犪的取值 犪５ 范围． （ ） １ ４．在同一平面直角坐标系中，作出函数狔＝ 狓及狔＝狓１的大致图像，并求方程 ２ ２ （ ） １ 狓 ＝狓１的解的个数． ２ ２ （ ） ５．已知集合犃＝烅 烄 狔狔＝ １ 狓 ，狓∈［－２，０）烍 烌 ，用列举法表示集合犅＝｛狔｜狔＝ｌｏｇ狓，狓 烆 ２ 烎 ３ ∈犃且狔∈犣｝． 拓展与思考 １．ｌｏｇ３是有理数吗？请证明你的结论． ２ ２．仅利用对数函数的单调性和计算器上的乘方功能来确定对数ｌｏｇ３第二位小数的值． ２ １０ ４５ 第 章 在初中和上一章中，我们已学习了一次函 数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函 函数的概念、 数及对数函数．这些函数的共同点是有两个变 量，当其中的一个变量在某个范围内变化时， 性质及应用 另一个变量就按照某种规则随之变化．这种一 个变量随着另一个变量的变化而变化的对应关 系，在数学上就称为函数．在对二次函数、幂 函数、指数函数与对数函数的研究中，已经可 以看到不同的函数间有一些共同的性质，本章 将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用 严格的数学语言加以描述． 函数是刻画世间万物之间联系的有力工 具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展 规律，从而深化人们的认识．函数概念的引入， 使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到 无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数 学．学好函数，对进一步学习以后的一些数学 知识，如三角、微积分等，都是非常必要的． 书书书５ 函数的概念、 性质及应用 ５．１ 函数 １ 函数 我们已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次 函数、幂函数、指数函数及对数函数等． 例如，对于正比例函数狔＝２狓，变量狓的取值范围是犚，其 对应关系是将一个实数对应到它的２倍．当变量狓＝１时，对应 得到唯一的值狔＝２×１＝２；当变量狓＝－３时，对应得到唯一的 值狔＝２×（－３）＝－６；当变量狓取遍一切实数时，对应得到所 有的实数狔． 又如，对于对数函数狔＝ｌｏｇ狓，变量狓的取值范围是（０，＋∞）． ３ 其对应关系是将（０，＋∞）中的实数对应到它的以３为底的对数． １ 当变量狓＝ 时，对应得到唯一的值狔＝－１；当变量狓＝１时， ３ 对应得到唯一的值狔＝０；当变量狓取遍一切正数时，对应得到 所有的实数狔． 在这些例子中，都出现了两个处于变化之中的量，其中一个 量之值随另一个量之值的确定而按一定的对应关系唯一确定，从 而随着另一个量在一定范围内的变化而相应地发生变化．在用数 学工具解决实际问题的过程中，我们还会遇到其他一些类似的情 况．由此可抽象出函数的概念． 定义 设犇是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对 对应关系常用小 应关系犳，使对集合犇中的任意给定的狓，都有唯一的实数狔与 写字母，如犳、犵、犺 等表示． 之对应， 就称这个对应关系犳为集合犇 上的一个 函数 （ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作 狔＝犳（狓），狓∈犇． 其中，狓叫做自变量（ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅ），其取值范围（数集 犇）称为该函数的定义域（ｄｏｍａｉｎ）． 此时，就称狔是狓的函数．当自变量狓取值狓 时，由对应 ０ 关系犳所确定的对应于狓 的值狔，称为函数在狓 处的函数值， ０ ０ ０ １０ ６５．１ 函数 记作狔＝犳（狓）． ０ ０ 所有函数值组成的集合｛狔｜狔＝犳（狓），狓∈犇｝称为这个函数 的值域（ｒａｎｇｅ）． 根据函数的定义，在定义域和对应关系确定的时候，这个函 数就完全被确定了，从而值域也随之被确定．因此，定义域和对 应关系称为函数的两个要素． 在之前学习具体的函数，如幂函数、指数函数及对数函数 的时候，我们往往只写出反映函数对应关系的表达式，如 狔＝狓１，狔＝２狓 ，狔＝ｌｏｇ狓等，而不明显地写出其定义域．此 ２ ３ 时，函数狔＝犳（狓）的定义域由使得其表达式犳（狓）有意义的全 体实数组成． 例１ 求下列函数的定义域： １ （１）狔＝ ； 狓２－１ （２）狔＝ｌｏｇ（狓＋１）； ２ 槡狓＋３ （３）狔＝ ． 狓－１ 解 （１）定义域犇＝｛狓｜狓２－１≠０｝＝｛狓｜狓≠±１｝． （２）定义域犇＝｛狓｜狓＋１＞０｝＝（－１，＋∞）． （３）解不等式组 烄狓＋３≥０， 烅 烆狓－１≠０， 得 狓≥－３且狓≠１． 故定义域犇＝［－３，１）∪（１，＋∞）． 在实际问题中，有关函数的定义域应该受到问题实际意义的 制约．例如，某物体作自由落体运动时，其位移狊关于时间狋的 １ 函数可表示为狊＝ 犵狋２ ，其中的自变量狋就受到０≤狋≤犜的限制 ２ （犵是重力加速度，而犜表示下落的总时间）． 除定义域外，函数的另一要素是对应关系． 如果两个函数的定义域和对应关系都完全一致，就称这两个 函数是相同的． 这样，狔＝狓２ 与狔＝狓２ ，狓∈［－１，１］是两个不同的函数． 此外，同一个对应关系可能有不同的表述形式．例如，狔＝狓 与狔＝（槡３狓） ３ 实际上是相同的． １ ０７５ 函数的概念、 性质及应用 例２ 判断下列函数与函数狔＝狓是否相同，并说明理由： （１）狔＝（槡狓） ２ ； （２）狔＝ｌｎｅ狓 ； 狓２ （３）狔＝ ； （４）狔＝槡４狓４． 狓 解 （１）负数不属于狔＝（槡狓） ２ 的定义域，因此该函数的定 你能再举出几组 义域与狔＝狓的定义域不同，它与狔＝狓不是相同的函数． 对应关系一致、但表 述形式不同的两个相 （２）狔＝ｌｎｅ狓＝狓ｌｎｅ＝狓的定义域为犚，并且其对应关系是 同的函数吗？ 将任一给定的实数狓 对应到狓，与狔＝狓的对应关系一致，因 ０ ０ 此该函数与狔＝狓是相同的函数． 狓２ （３）０不在狔＝ 的定义域中，因此该函数的定义域与 狓 狔＝狓的定义域不同，从而与狔＝狓不是相同的函数． （４）狔＝槡４狓４ 的对应关系将－１对应到了１，而不是－１，它 与狔＝狓的对应关系不同，因此该函数与狔＝狓不是相同的函数． 在例２中，只有狔＝ｌｎｅ狓 的对应关系和定义域与狔＝狓的相 同，它们是相同的函数． 根据已经学过的一些简单函数的值域，可以求得稍复杂函数 的值域． １ 例３ 求函数狔＝ 的值域． ２狓＋１ 解 该函数的定义域为犚． 根据指数函数的性质，当狓取遍所有实数时，２狓 的取值范 围为 （０，＋∞），因而２狓＋１的取值范围为 （１，＋∞）． 又根据不等式的性质，令狋＝２狓＋１，当狋取遍 （１，＋∞）中 １ 所有数时， 的取值范围为 （０，１）． 狋 １ 因此，函数狔＝ 的值域为 （０，１）． ２狓＋１ 练习５．１（１） １．求下列函数的定义域： １ （１）狔＝槡（狓－２）（狓＋３）； （２）狔＝ ． １－槡狓－１ ２．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是 （ ） Ａ．狔＝｜狓｜与狔＝（槡狓） ２ ； Ｂ．狔＝狓与狔＝ｅｌｎ狓 ； （ ） １ Ｃ．狔＝狓与狔＝槡５狓５ ； Ｄ．狔＝狓与狔＝ －１ ． 狓 １０ ８５．１ 函数 ３．求下列函数的值域： （１）狔＝（ｌｇ狓） ２＋１，狓∈（０，＋∞）； （２）狔＝３狓２－４狓＋１，狓∈［０，１］． ２ 函数的表示方法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表 示函数的方法称为解析法． 例如，狔＝３狓＋２，狔＝狓２ ＋２狓＋１，狔＝ 槡狓２＋１ （狓∈［０，１］），狔＝ｌｏｇ（２狓－１）等都是用解析法表示的函数．作自 ２ １ 由落体运动的物体的位移狊与时间狋满足狊＝ 犵狋２ ，狋∈［０，犜］（犵 ２ 是重力加速度），也是用解析法来表示的函数． 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关 系的方法称为列表法，列表法通常用在定义域为有限集的情况． 例如，表５１列出了国家统计局网站上发布的２０００年至 ２０１６年的国内生产总值（ＧＤＰ）． 表５１ ２０００年至２０１６年中国犌犇犘变化表 年份 ＧＤＰ／亿元 年份 ＧＤＰ／亿元 ２０００ １００２８０ ２００９ ３４８５１８ ２００１ １１０８６３ ２０１０ ４１２１１９ ２００２ １２１７１７ ２０１１ ４８７９４０ ２００３ １３７４２２ ２０１２ ５３８５８０ ２００４ １６１８４０ ２０１３ ５９２９６３ ２００５ １８７３１９ ２０１４ ６４１２８１ ２００６ ２１９４３９ ２０１５ ６８５９９３ ２００７ ２７００９２ ２０１６ ７４００６１ ２００８ ３１９２４５ 注：未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的地区生产总值数据． 从上表中可以看出，当自变量年份（２０００至２０１６中的整数） 确定时，可按照表中所给出的对应关系，查到该年度我国的 ＧＤＰ值作为函数值．该函数的定义域为｛２０００，２００１，２００２，…， ２０１６｝，是一个有限集． 我们知道，对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，其定义域犇中每一 个狓的值都有唯一的一个狔值与之对应．把这两个对应的数构成 的有序实数对（狓，狔）作为点犘的坐标，记作犘（狓，狔）．所有这些 点组成的集合犌叫做函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像（ｇｒａｐｈ），即 １ ０９５ 函数的概念、 性质及应用 犌＝｛（狓，狔）｜狔＝犳（狓），狓∈犇｝． 可以看出，如果对定义域犇中的实数狓，有犳（狓）＝狔， ０ ０ ０ 该函数的图像会 那么点犘（狓，狔）一定在该函数的图像上；反之，如果点 出现在第二或第四象 ０ ０ 限吗？为什么？ 犘（狓，狔）在该函数的图像上，那么必有狓∈犇，且狔＝犳（狓）． ０ ０ ０ ０ ０ 常见的一次函数、二次函数、幂函数、指数函数及对数函数 的图像，已经在初中和上一章中学过了． 狓 例４ 作出函数狔＝ 的大致图像． 狓２＋１ ５ ３ 解 取自变量狓的值分别为－３、－ 、－２、－ 、－１、 需要注意的是， ２ ２ 绘制在纸上的或计算 １ １ ３ ５ 机屏幕上的函数图像， － 、０、 、１、 、２、 、３，计算出相应的函数值．在平面 终究只是大致的图像， ２ ２ ２ ２ 它们无法精确地表示 直角坐标系中标出相应的点，并用光滑的曲线连接这些点，得大 一个函数．但大致的 图像能够帮助我们直 致图像如图５１１所示． 观地了解函数的性质， 从而能更好地发现和 研究有关函数的性质． “数形结合”的方法是 研究函数的重要方法 之一． 图５１１ 利用函数的图像来表示函数的方法称为图像法． 例５ 以下图形中，哪些是函数的图像，哪些不是？ （１） （２） （３） （４） 图５１２ １１ ０５．１ 函数 解 （１）这是函数的图像．该函数的定义域是由有限个数构 成的集合，定义域中每个自变量的值对应的函数值唯一确定． （２）这是函数的图像．该函数的定义域是区间［０，犪］，定义 域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定． （３）这不是函数的图像．如图５１３，狓 对应了狔 和狔． ０ １ ２ 在检验平面直角 坐标系中的一个图形 是否为函数的图像时， 需要注意该图形反映 的对应关系是否符合 函数的定义，即定义 域中的每一个狓的值 是否对应到唯一的一 图５１３ 个狔的值． （４）这是函数的图像．该函数的定义域是区间［０，犪］，定义 域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定． 前文中２０００年至２０１６年中国国内生产总值（ＧＤＰ）关于年份 的函数，也可以用图像法表示，如图５１４所示． 图５１４ 函数图像上所有点的横坐标的集合就是该函数的定义域，而 纵坐标的集合就是该函数的值域． 在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有 不同的表达式．例如，函数狔＝｜狓｜就是通过 分段表示法也是 一种解析法．用分段 烄狓， 狓≥０， 表示法表示一个函数 狔＝烅 时，其定义域就是每 烆－狓，狓＜０ 一部分中自变量的取 来定义的．这样表示函数的方法叫做分段表示法． 值范围的并集． 例６ 某车辆装配车间每２ｈ装配完成一辆车．按照计划， 该车间今天生产８ｈ．用解析法和图像法分别表示从当天开始生 产的时刻起所经过的时间狓（单位：ｈ）与装配完成的车辆数狔（单 位：辆）之间的函数狔＝犳（狓）． 解 由题意，当狓∈［０，２）时，狔＝０；当狓∈［２，４）时， １ １１５ 函数的概念、 性质及应用 狔＝１；当狓∈［４，６）时，狔＝２；当狓∈［６，８）时，狔＝３；当 狓＝８时，狔＝４． 可以用如下的分段表示法表示狔与狓之间的函数关系： 烄０，０≤狓＜２， １，２≤狓＜４， 狔＝烅２，４≤狓＜６， ３，６≤狓＜８， 烆４，狓＝８． 该函数的大致图像如图５１５所示． 图５１５ 数学上，常用 ［狓］表示不大于狓的最大整数．注意到当 不大于狓的最大 狓 熿狓燄 整数，称为实数狓的 ２犽≤狓＜２犽＋２（犽∈犣）时，犽≤ ＜犽＋１，从而 ＝犽．使用此 整数部分． ２ 燀２燅 熿狓燄 符号，例６中的函数可以简洁地表示为狔＝ ，狓∈［０，８］． 燀２燅 练习５．１（２） １．作下列函数的大致图像： （１）狔＝－｜狓｜； （２）狔＝槡狓＋２； １ ２狓－１ （３）狔＝ ； （４）狔＝ ． 狓２＋１ 狓－１ ２．根据下图的函数图像，用解析法表示狔关于狓的函数． （第２题） １１ ２５．１ 函数 习题５．１ 犃组 １．求下列函数的定义域： １ （１）狔＝ ； （２）狔＝槡４－３狓－狓２ ； 狓２＋２狓－３ １ １ （３）狔＝槡狓－２＋槡狓＋３； （４）狔＝ ＋ ． ｌｇ（狓＋２） 槡５－狓 ２．设狆、狇是常数，函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝狓２＋狆狓＋狇．若犳（１）＝犳（２）＝０， 求犳（－１）． ３．观察下列函数的图像，并写出它们的值域： （１） （２） （３） （第３题） 犅组 １．设犪是常数，求下列函数的定义域： １ （１）狔＝ ； （２）狔＝槡狓（狓－犪）． ｜狓｜－犪 烄２狓（３＋狓），狓≥０， ２．已知函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝烅 求犳（２），犳（－４）及 烆２狓（３－狓），狓＜０． 犳（－犪），其中犪为实数． 课后阅读 函数概念的形成和发展 １７世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代，在对天文和航海技术的探索中，科 学家们往往需要研究一些运动中的对象，如天体位置、航海中经纬度等．这些问题的实质 １ １３５ 函数的概念、 性质及应用 都是分析研究两个变化中的量之间的关系，并据此描述物体的变化规律．这是函数概念产 生和发展的背景． 在１７世纪早期，意大利科学家伽利略（Ｇ．Ｇａｌｉｌｅｉ）、法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）等 在他们的著作中已经注意到了一个变量对另一个变量的依赖关系，但并没有提炼出函数的概 念．１７世纪后期，英国数学家牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ）和德国数学家莱布尼茨（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ）在分别 创立微积分时，考虑的主要对象还是曲线，而牛顿则一直用“流量”一词来表示变量之间的 关系． “函数”（ｆｕｎｃｔｉｏｎ）一词作为数学概念首先由莱布尼茨引入，用于描述随曲线变化而变 化的几何量，如坐标、切线等．此后，瑞士数学家约翰·伯努利（ＪｏｈｎＢｅｒｎｏｕｌｌｉ）首次给出 了明确的函数定义，他将函数描述为“由变量和常量以某种方式组成的量”．将函数作为中 心概念进行数学研究并作为微积分基础的是瑞士数学家欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）．欧拉称变量的函 数是一个解析表达式，引入了函数符号犳（狓）并沿用至今．欧拉还将函数分成代数函数（由 四则运算和开根等运算组成的函数）和超越函数（含指数、对数、三角运算等的函数），他 也是第一个将正弦、余弦等当作函数处理的数学家．欧拉的很多数学发现基于他的函数观 点．在１７５５年，欧拉将函数的定义修改为：如果某些变量以某种方式依赖于另一些变量， 即当后面的变量变化时，前面的变量也随之变化，那么称前面的变量是后面变量的函数． 在欧拉时代，人们还是习惯于用表达式来表示函数．随着对微积分研究的深入，１８世 纪末１９世纪初，人们对函数的认识有了进一步提高．德国数学家狄利克雷（Ｐ．Ｇ．Ｌ． Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ）于１８３７年提出了如下的函数的定义：若对于狓的每一个值，狔总有一个唯一确 定的值与之对应，则称狔是狓的函数．这个定义较清楚地说明了函数概念的本质是对应关 系，这个对应关系可以用公式、图像、表格或其他形式表示．这个概念非常清晰，很快被 数学家所接受．到１９世纪７０年代以后，随着集合论的出现，就有了使用规范的集合语言 表述的函数定义，函数概念也就更加精确了． 中文“函数”一词是由我国清代数学家李善兰在１８５９年和英国人伟烈亚力（Ａ．Ｗｙｌｉｅ） 合译《代微积拾级》时从英文“ｆｕｎｃｔｉｏｎ”翻译而来，这一名词一直使用至今． 从上面介绍可以看出，历史上函数概念的建立是从模糊到清晰、从朴素到深入逐步完 善的，这符合人们认识事物的一般规律．了解函数概念的发展历史，对于我们更好地理解 函数这一重要的数学概念会有很大的帮助． １１ ４５．２ 函数的基本性质 ５．２ 函数的基本性质 函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语 言和工具．了解了函数，就把握了相应事物的变化规律．为了深 入了解函数，有必要研究其有关的性质，因此，学习函数的性质 非常重要． 函数的性质是多种多样的，且不同的函数有不同的性质． 关于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数， 我们已经接触过很多研究其性质的方法，且已经知道了不少结 论．本节将以此为出发点，概括函数的一些常见的性质． １ 函数的奇偶性 在生活中，我们经常遇到对称的图形．拱桥的桥面形成的 弧，就可以视为是轴对称的．如果把桥面抽象成一条曲线，以曲 线的最高点为原点，过原点作一水平直线为狓轴，再过原点作一 竖直直线为狔轴，那么这条由拱桥桥面抽象出的曲线就成为一个 图５２１ 函数的图像，并且该图像的一个特点是关于狔轴成轴对称，如图 ５２１所示． 在学习二次函数和幂函数时，我们知道，形如狔＝犪狓２＋犮 （犪≠０）的二次函数和幂函数狔＝狓－２的图像都是关于狔轴成轴对 ３ 称的，如图５２２所示． 图５２２中的这 两个函数的图像都具 有关于狔轴成轴对称 的共同特征，其相应 的自变量与函数值的 对应关系是如何体现 这个特征的？ 狔＝狓２－１ 狔＝狓－２ ３ 图５２２ 一个图形关于某条直线犾成轴对称，是指该图形上的任意一 点关于直线犾的对称点也在此图形上． １ １５５ 函数的概念、 性质及应用 现在，我们来探究“函数的图像关于狔轴成轴对称”这一条件 的等价表达形式． 在函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像犌上任取一点犘（狓，狔），就有 １ １ 狓∈犇，并且狔＝犳（狓）． １ １ １ 点犘（狓，狔）关于狔轴的对称点为犘′（－狓，狔）（图５２３）． １ １ １ １ 如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像关于狔轴成轴对称，那么 犘′（－狓，狔）也在图像犌上，即 １ １ －狓∈犇，并且狔＝犳（－狓）． １ １ １ 这说明，如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像关于狔轴成轴对 称，那么对于任意给定的狓∈犇，均有 －狓∈犇，并且犳（狓）＝犳（－狓）． 图５２３ 反之，如果对于任意给定的狓∈犇，均有－狓∈犇，并且 犳（狓）＝犳（－狓），那么对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像上的任 一点犙（狓，狔），它关于狔轴的对称点犙′（－狓，狔），由于满 ２ ２ ２ ２ 足－狓∈犇，并且狔＝犳（－狓），也必在此函数的图像上．因 ２ ２ ２ 此，该函数的图像关于狔轴成轴对称． 总结一下，就得到下述关于偶函数的定义： 定义 对于函数狔＝犳（狓），如果对于其定义域犇中任意给 定的实数狓，都有－狓∈犇，并且 犳（－狓）＝犳（狓）， 就称函数狔＝犳（狓）为偶函数（ｅｖｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 根据上述推导及定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图 像关于狔轴成轴对称的函数． 根据上述性质，如果要得到偶函数狔＝犳（狓）的图像，只需 要获得其在定义域中狓≥０（或狓≤０）部分的图像就可以了．同理， 如果要研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中狓≥０（或 狓≤０）部分的性质就可以了． 例１ 证明：函数狔＝２狓４－３狓２ 是一个偶函数． 证明 函数狔＝２狓４－３狓２ 的定义域为犚． 记犳（狓）＝２狓４－３狓２．在犚中任取一个实数狓，都有－狓∈犚， 并且 犳（－狓）＝２（－狓） ４－３（－狓） ２＝２狓４－３狓２＝犳（狓）． 因此，狔＝２狓４－３狓２ 是一个偶函数． 除了轴对称外，中心对称也是平面上非常重要的一类对称关 系．一个图形关于某个点犘成中心对称，是指该图形上的任意一 点关于点犘的对称点也在此图形上． 函数狔＝狓３ 的图像就关于原点成中心对称．相应地，类似于 偶函数，我们把满足以下条件的函数称为奇函数． １１ ６５．２ 函数的基本性质 定义 对于函数狔＝犳（狓），如果对于其定义域犇中的任意 给定的实数狓，都有－狓∈犇，并且 犳（－狓）＝－犳（狓）， 就称函数狔＝犳（狓）为奇函数（ｏｄｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 类似于偶函数图像性质的推导，可以知道，奇函数就是图像 关于原点成中心对称的函数．并且，已知奇函数在其定义域中 根据奇函数的图 狓≥０（或狓≤０）部分的图像（或性质），可以推导出其另一部分的 像特征，你能从已学 的函数（如一次函数、 图像（或性质）． 幂函数）中举出几个奇 １ 函数的例子吗？ 例２ 证明：狔＝狓３－ 是一个奇函数． 狓 １ 证明 函数狔＝狓３－ 的定义域为犇＝｛狓｜狓≠０｝． 狓 １ 记犳（狓）＝狓３－ ．在犇中任取一个实数狓，都有－狓≠０， 狓 因此－狓∈犇，并且 （ ） １ １ 犳（－狓）＝（－狓） ３－ ＝－狓３－ ＝－犳（狓）． －狓 狓 １ 因此，狔＝狓３－ 是一个奇函数． 狓 例３ 是否存在定义在犚上的，且既是奇函数又是偶函 数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说 明理由． 解 这样的函数是存在的，函数狔＝０，狓∈犚就是一个满足 这些条件的函数． 设满足这些条件的函数为狔＝犳（狓）．对任一给定的实数狓， ０ 因该函数是奇函数，故犳（－狓）＝－犳（狓）；另一方面，因该函数 ０ ０ 是偶函数，故犳（－狓）＝犳（狓）．因此犳（狓）＝－犳（狓），即 ０ ０ ０ ０ 犳（狓）＝０．所以这样的函数只有一个，即狔＝０，狓∈犚． ０ 练习５．２（１） １．奇函数的图像是不是一定通过原点？偶函数的图像是不是一定与狔轴相交？请说 明理由． ２．如图，已知偶函数狔＝犳（狓）在狔轴及狔轴一侧的部分图像，作出狔＝犳（狓）的大致图像． （１） （２） （第２题） １ １７５ 函数的概念、 性质及应用 ３．证明下列函数是奇函数： （１）狔＝２狓－２－狓 ； （２）狔＝ｌｏｇ（１＋狓）－ｌｏｇ（１－狓）． ２ ２ 在判断一个比较复杂的函数的奇偶性的时候，往往采取“先 可以从函数值的 猜后证”的方法． 角度来猜测，也可以 借助函数图像的几何 例４ 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： 直观． （１）狔＝（狓－１） ２ ，狓∈犚； 烄狓（狓＋１），狓＞０， （２）狔＝烅 烆狓（１－狓），狓＜０． 解 （１）因为当狓＝１时，狔＝０；而当狓＝－１时，狔＝４， 两者不相等，所以狔＝（狓－１） ２ 不是偶函数； 又因为０≠－４，所以狔＝（狓－１） ２ 亦不是奇函数． 综上所述，函数狔＝（狓－１） ２ 既不是奇函数，又不是偶函数． （２）经试验，发现当狓＝１时，狔＝２，而当狓＝－１时， 狔＝－２；又当狓＝１０时，狔＝１１０，而当狓＝－１０时，狔＝－１１０； 等等．猜测该函数可能是奇函数． 烄狓（狓＋１），狓＞０， 该函数的定义域为｛狓｜狓≠０｝．记犵（狓）＝烅 烆狓（１－狓），狓＜０． 对任意给定的狓＞０，犵（狓）＝狓（狓＋１）．因－狓＜０，故 也可以将狔＝犵（狓） 犵（－狓）＝（－狓）［１－（－狓）］＝－狓（１＋狓）＝－犵（狓）． 表示为狔＝狓（１＋｜狓｜）， 狓≠０．以此证明该函数 而对任意给定的狓＜０，犵（狓）＝狓（１－狓）．因－狓＞０，故 是奇函数． 犵（－狓）＝（－狓）［１＋（－狓）］＝－狓（１－狓）＝－犵（狓）． 综上所述，狔＝犵（狓）确实是奇函数． 犪狓＋１ 例５ 是否存在正数犪，使函数狔＝ 是偶函数？ ２狓 犪狓＋１ １＋犪 ２ 解 记犳（狓）＝ ．由犳（１）＝ ，犳（－１）＝ ＋２，若 为了表明存在性， ２狓 ２ 犪 寻找必要条件的过程 １＋犪 ２ 不是必须表达出来的． 狔＝犳（狓）是偶函数，就应有 ＝ ＋２．解这个方程，得犪＝－１ ２ 犪 （舍去）或犪＝４． 因此，狔＝犳（狓）是偶函数的一个必要条件是犪＝４． ４狓＋１ 另一方面，当犪＝４时，犳（狓）＝ ＝２狓＋２－狓 ，其定义域 ２狓 为犚．对任意给定的狓∈犚，都有－狓∈犚，并且 犳（－狓）＝２－狓＋２－（－狓）＝２－狓＋２狓＝犳（狓）． １１ ８５．２ 函数的基本性质 因此，当犪＝４时，狔＝犳（狓）是偶函数． 综上所述，满足条件的正数犪存在． 例６ 已知函数狔＝犳（狓），狓∈犚，且当狓≥０时， 犳（狓）＝２狓３＋２狓－１． （１）若函数狔＝犳（狓）是偶函数，求犳（－２）； （２）狔＝犳（狓）是否可能是奇函数？若可能，求犳（狓）的表达 式；若不可能，说明理由． 解 （１）若狔＝犳（狓）是偶函数，应有犳（－２）＝犳（２）．而 犳（２）＝２×２３＋２２－１＝１９，因此犳（－２）＝１９． （２）若狔＝犳（狓）是奇函数，当狓＜０时，应有 犳（狓）＝－犳（－狓）＝－［２（－狓） ３＋２－狓－１］＝２狓３－２－狓＋１． 在例６（２）的解 答中我们并没有验证 此外，当狓＝０时， “当狓＞０时，犳（狓） ＝－犳（－狓）”．事实 犳（狓）＝２×０３＋２０－１＝０＝－犳（－狓）． 上，这是由“当狓＜０ 因此，狔＝犳（狓）可能是奇函数，此时 时，犳（－狓）＝－犳（狓）” 所蕴涵的． 烄２狓３＋２狓－１，狓≥０， 犳（狓）＝烅 烆２狓３－２－狓＋１，狓＜０． 练习５．２（２） １．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： １ １ （１）狔＝｜狓｜； （２）狔＝ － ； １＋狓 １－狓 ） （３）狔＝狓３－狓，狓∈［－３，３ ； （４）狔＝０，狓∈［－１，１］． ２．已知犪是实数，而定义在犚上的函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝｜狓－犪｜． （１）是否存在实数犪，使得狔＝犳（狓）是奇函数？说明理由； （２）是否存在实数犪，使得狔＝犳（狓）是偶函数？说明理由． ２ 函数的单调性 在现实生活中，有不少在一定范围内随着时间的增加而增加 １ （或减少）的量，如自由落体运动的位移狊＝ 犵狋２ ，狋∈［０，犜］就 ２ 是如此．作出位移狊关于时间狋的函数图像，如图５２４所示． 从图像上看，随着时间的增大，位移的确随之增大．这就是一种 单调现象．此外，通过一个电阻的电流随其两端电压的增大而增 大；许多物质在水中的溶解度随温度的升高而增加；山区的气温 图５２４ 随海拔高度的升高而降低等，都是单调现象． １ １９５ 函数的概念、 性质及应用 在学习指数函数及对数函数时，我们已经了解到如下的 事实： 当犪＞１时，函数狔＝犪狓 与函数狔＝ｌｏｇ狓的图像都表现出 犪 “狔随狓的增大而增大”的趋势；而当０＜犪＜１时，函数狔＝犪狓 与 函数狔＝ｌｏｇ狓的图像却都表现出“狔随狓的增大而减小”的趋势． 犪 图像上这样的趋势在函数性质的研究中被称为单调性，它是 函数重要的性质之一．借助于单调性，就能够更好地掌握函数值 的变化规律． 借助指数和对数运算的性质，必修课程第４章中已经证明了， 若狓＞狓， 当犪＞１ 时，犪狓 ＞犪狓 及ｌｏｇ狓 ＞ｌｏｇ狓； 而 当 １ ２ １ ２ 犪１ 犪２ ０＜犪＜１时，犪狓＜犪狓 及ｌｏｇ狓＜ｌｏｇ狓．这样，我们就解释了为 １ ２ 犪 １ 犪 ２ 何这些函数的图像会表现出相应的单调性趋势．概括起来，可对 一般函数给出其单调性的定义． 定义 对于定义在犇上的函数狔＝犳（狓），设区间犐是犇的 一个子集．对于区间犐上的任意给定的两个自变量的值狓、狓， １ ２ 当狓＜狓 时，如果总有 １ ２ 犳（狓）≤犳（狓）， １ ２ 就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是增函数（ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ）；而 如果总有 犳（狓）≥犳（狓）， １ ２ 就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是减函数（ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ）． 特别地，如果总有 根据定义，严格 犳（狓）＜犳（狓）， 增函数是增函数，严 １ ２ 格减函数是减函数． 就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是严格增函数（ｓｔｒｉｃｔｌｙｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）；而如果总有 犳（狓）＞犳（狓）， １ ２ 就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是严格减函数（ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）． “严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性． 例如，狔＝２狓在区间（－∞，＋∞）上是严格增函数；狔＝狓２ 在 你能用定义证明 区间（－∞，０］上是严格减函数，在区间［０，＋∞）上是严格增函 初中学过的一次函数 和反比例函数的单调 数；狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严格增函数；等等． ２ 性吗？ 根据已经学习过的实数幂的性质，对于幂函数狔＝狓狉 ，当 狉＞０时，该函数在区间（０，＋∞）上是严格增函数；而当狉＜０ 时，该函数在区间（０，＋∞）上是严格减函数． 根据指数及对数的运算性质，当犪＞１时，狔＝犪狓 在区间 （－∞，＋∞）上是严格增函数，狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严 犪 １２ ０５．２ 函数的基本性质 格增函数；而当０＜犪＜１时，狔＝犪狓 在区间（－∞，＋∞）上是严 格减函数，狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严格减函数． 犪 例７ 证明：函数狔＝狓２－２狓在区间（－∞，１］上是严格 减函数． 证明 记犳（狓）＝狓２－２狓．设狓、狓 是区间（－∞，１］上任 １ ２ 意给定的两个实数，且狓＜狓，我们有 １ ２ 犳（狓）＝狓２－２狓，犳（狓）＝狓２－２狓． １ １ １ ２ ２ ２ 由于 犳（狓）－犳（狓）＝（狓２－２狓）－（狓２－２狓） １ ２ １ １ ２ ２ ＝（狓２－狓２ ）－２（狓－狓） １ ２ １ ２ ＝（狓－狓）（狓＋狓－２）， １ ２ １ ２ 又狓－狓＜０，且狓＋狓－２＜１＋１－２＝０，故 １ ２ １ ２ 犳（狓）－犳（狓）＞０， １ ２ 即犳（狓）＞犳（狓）． １ ２ 因此，函数狔＝狓２－２狓在区间（－∞，１］上是严格减函数． 对于一般的二次函数狔＝犳（狓），其中犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮 （犪≠０），通过配方法，得到 （ ） 犫 ２ ４犪犮－犫２ 犳（狓）＝犪狓＋ ＋ ． ２犪 ４犪 （ ） 犫 ４犪犮－犫２ 因此，点 － ， 被称为该二次函数的图像的顶点，它 ２犪 ４犪 是相应曲线（抛物线）的最高点或最低点． 先考察犪＞０的情形．设狓、狓 是任意给定的两个实数，且 １ ２ ［ ］ 犫 狓＜狓，我们有犳（狓）－犳（狓）＝犪（狓－狓）（狓＋狓）＋ ． １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 犪 犫 犫 当狓＜狓≤－ 时，由狓－狓＜０以及狓＋狓＋ ＜０，可得 １ ２ ２犪 １ ２ １ ２ 犪 犫 犳（狓）＞犳（狓）；而当－ ≤狓＜狓 时，由狓－狓＜０以及 １ ２ ２犪 １ ２ １ ２ 犫 狓＋狓＋ ＞０，可得犳（狓）＜犳（狓）． １ ２ 犪 １ ２ （ ］ 犫 因此，当犪＞０时，函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮在区间 －∞，－ ２犪 ［ ） 犫 上是严格减函数，在区间 － ，＋∞ 上是严格增函数． ２犪 类似地， 当犪＜０ 时， 函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮在区间 （ ］ ［ ） 犫 犫 －∞，－ 上是严格增函数，在区间 － ，＋∞ 上是严格减 ２犪 ２犪 １ ２１５ 函数的概念、 性质及应用 函数． 由上述二次函数的单调性可知，二次函数图像的上升与下降 的趋势恰好以它对应的抛物线的顶点为分界点． 例８ 判断函数狔＝ｌｏｇ（３狓＋２）在其定义域上的单调性， ２ 并说明理由． 解 设狓、狓 是定义域犇＝｛狓｜３狓＋２＞０｝上任意给定的 １ ２ 两个实数，且狓＜狓，易知０＜３狓＋２＜３狓＋２．因为函数 １ ２ １ ２ 狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是严格增函数，所以ｌｏｇ（３狓＋２）＜ ２ ２ １ ｌｏｇ（３狓＋２）． ２ ２ 因此，狔＝ｌｏｇ（３狓＋２）在其定义域上是严格增函数． ２ 练习５．２（３） １．小明说：“如果当狓＞０时，总有犳（狓）＞犳（０），那么函数狔＝犳（狓）在区间［０，＋∞）上 是严格增函数．”他的说法是否正确？说明理由． ２ ２．证明：函数狔＝ 在区间（－∞，０）上是严格减函数． 狓３ ３．构造一个二次函数，使得它在区间［－１，１］上是严格减函数，并说明理由． 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个 区间而言的．有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是 在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数． 定义 如果函数狔＝犳（狓）在某个区间犐上是增（减）函数， 一般来说，所讨 那么就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是单调函数（ｍｏｎｏｔｏｎｉｃ 论的单调区间总是指 满足这一要求的“最 ｆｕｎｃｔｉｏｎ），并称区间犐是函数狔＝犳（狓）的一个单调区间． 大”的单调区间． 例９ 判断函数狔＝狓２－２狓，狓∈［－２，２］的单调性，并 求出它的单调区间． 你能用上一节课 解 记犳（狓）＝狓２－２狓．犳（０）＝犳（２）＝０，而犳（１）＝－１，因 学习的一般二次函数 的单调性结论来求这 此狔＝狓２－２狓在区间［－２，２］上既不是增函数，也不是减函数． 个函数的单调区间吗？ 对区间犐上任意给定的两个实数狓、狓，总有 １ ２ 犳（狓）－犳（狓）＝（狓－狓）（狓＋狓－２）． １ ２ １ ２ １ ２ 当狓＜狓，且狓、狓∈［－２，１］时，总有狓＋狓－２＜０ １ ２ １ ２ １ ２ 及狓－狓＜０，故犳（狓）－犳（狓）＞０，从而函数狔＝狓２－２狓， １ ２ １ ２ 狓∈［－２，２］在区间［－２，１］上是严格减函数． 类似地，当狓＜狓，且狓、狓∈［１，２］时，总有狓＋狓－２ １ ２ １ ２ １ ２ ＞０及狓－狓＜０，故犳（狓）－犳（狓）＜０，从而函数狔＝狓２－２狓， １ ２ １ ２ 狓∈［－２，２］在区间［１，２］上是严格增函数． 因此，函数狔＝狓２－２狓，狓∈［－２，２］的单调区间有［－２，１］ 和［１，２］． １２ ２５．２ 函数的基本性质 例１０ 设狔＝犳（狓）是偶函数，且它在区间［－２，－１］上 是严格减函数，判断它在区间［１，２］上的单调性，并说明理由． 解 设狓、狓 是区间［１，２］上任意给定的两个实数，且 １ ２ 狓＜狓，则－狓、－狓∈［－２，－１］，且－狓＜－狓． １ ２ １ ２ ２ １ 因为函数狔＝犳（狓）在区间［－２，－１］上是严格减函数，所以 犳（－狓）＞犳（－狓）．又因为狔＝犳（狓）是偶函数， 所以 ２ １ 犳（狓）＝犳（－狓）＞犳（－狓）＝犳（狓）． ２ ２ １ １ 因此，狔＝犳（狓）在区间［１，２］上是严格增函数． 例１０展示了如何利用函数的奇偶性来研究函数的其他性质． 练习５．２（４） １．根据下列函数狔＝犳（狓）的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以 及在每一个单调区间上函数的单调性． （１） （２） （第１题） ２．判断函数狔＝｜狓＋１｜，狓∈［－２，２］的单调性，并求出其单调区间． ３．设狔＝犳（狓）是奇函数，且它在区间（－３，０］上是严格增函数． （１）求证：它在区间［０，３）上是严格增函数； （２）狔＝犳（狓）是否在区间（－３，３）上是严格增函数？说明理由． ３ 函数的最值 在必修课程第２章中，我们已经利用不等式的性质及基本不 等式求解了一些代数式的最大值和最小值．对于只有一个未知数 １ 的代数式，如狓＋ ，狓２－２狓等，当狓的值改变时，相应代数 狓 式的值也随之改变，从而都可以将它们看成是自变量狓的函数． 函数值的大小变化趋势是函数的单调性研究所关心的内容．而在 １ ２３５ 函数的概念、 性质及应用 生产和生活中，除了函数值的大小变化趋势之外，往往也关心函 数何时取到最大值（最小值），以及最大值（最小值）为多少等 问题． 定义 函数狔＝犳（狓）在狓 处的函数值是犳（狓），对于定义 ０ ０ 域内任意给定的狓，如果 最大值与最小值 统称为最值． 犳（狓）≥犳（狓） ０ 都成立，那么犳（狓）就叫做函数狔＝犳（狓）的最小值（ｍｉｎｉｍｕｍ）； ０ 相反，如果 犳（狓）≤犳（狓） ０ 都成立，那么犳（狓）就叫做函数狔＝犳（狓）的最大值（ｍａｘｉｍｕｍ）． ０ 例１１ 求函数狔＝２狓２－３狓＋１，狓∈犚的最大值与最 小值． （ ） ３ １ １ 解 由于狔＝２狓２－３狓＋１＝２狓－ ２ － ≥－ ，且当 ４ ８ ８ ３ 狓＝ 时上述不等式中的等号可以取到，因此该函数的最小值 ４ １ 为－ ． ８ 由二次函数的单调性可知，该函数无最大值． 对于定义在闭区间［犪，犫］上的单调函数狔＝犳（狓），它的最大 值和最小值一定能在区间的端点犪和犫处取到．因此，对于具有 单调性的函数，可以借助其单调性来求得其最值． ２ 例１２ 求函数狔＝ ，狓∈［１，２］的最大值与最小值． 狓 ２ 解 由于函数狔＝ 在区间［１，２］上是严格减函数，因此， 狓 其最大值在左端点狓＝１处取到，其值为２；而最小值在右端点 狓＝２处取到，其值为１． 例１３ 已知犪＜２，求函数狔＝｜狓－１｜，狓∈［犪，２］的最 大值． 解 对于函数狔＝｜狓－１｜，当狓≥１时，狔＝狓－１；而当 狓≤１时，狔＝－狓＋１．因此，狔＝｜狓－１｜在区间［１，＋∞）上是严 格增函数，在区间（－∞，１］上是严格减函数． 情形一：当１≤犪＜２时，狔＝｜狓－１｜在区间［犪，２］上是严格 增函数，如图５２５（１）所示．此时函数的最大值为１． １２ ４５．２ 函数的基本性质 情形二：当犪＜１时，狔＝｜狓－１｜在区间［犪，１］上是严格减函 数，而在区间［１，２］上是严格增函数，如图５２５（２）所示．从而 此时函数的最大值为｜２－１｜与｜犪－１｜中的较大者．因此，当犪＜０ 时，该函数的最大值为｜犪－１｜＝１－犪；而当０≤犪＜１时，该函 数的最大值为１． （１） （２） 图５２５ 综上所述，当犪＜０时，该函数的最大值为１－犪；当 ０≤犪＜２时，该函数的最大值为１． 练习５．２（５） （ ） １ １．求函数狔＝ 狓 ，狓∈［１，３］的最大值与最小值． ２ ２．求下列函数的最大值与最小值： （１）狔＝１－狓２ ； （２）狔＝１－狓２ ，狓∈［－１，２］； （３）狔＝２狓２－８狓； （４）狔＝２狓２－８狓，狓∈［０，１］． ３．已知犪＞－２，求函数狔＝狓２＋１，狓∈［－２，犪］的最大值． 习题５．２ 犃组 １．若函数狔＝犳（狓）的定义域为犚，则狔＝犳（狓）为奇函数的充要条件为 （ ） Ａ．犳（０）＝０； Ｂ．对任意狓∈犚，犳（狓）＝０都成立； Ｃ．存在某个狓∈犚，使得犳（狓）＋犳（－狓）＝０； ０ ０ ０ Ｄ．对任意给定的狓∈犚，犳（狓）＋犳（－狓）＝０都成立． ２．证明下列函数狔＝犳（狓）为偶函数： 狓（２狓－１） （１）犳（狓）＝狓２＋狓－２ ； （２）犳（狓）＝ ． ２狓＋１ ３．证明下列函数狔＝犳（狓）为奇函数： ｅ狓－ｅ－狓 （１）犳（狓）＝狓－３ ； （２）犳（狓）＝ ． ２ １ ２５５ 函数的概念、 性质及应用 ４．判断下列函数狔＝犳（狓）的奇偶性，并说明理由： （１）犳（狓）＝２狓＋３槡狓； （２）犳（狓）＝２狓４－狓２ ； １－狓 （３）犳（狓）＝狓２－狓； （４）犳（狓）＝ ； １＋狓 １－狓 （５）犳（狓）＝ｌｇ ． １＋狓 １ ５．证明：函数狔＝狓－ ，狓∈（－∞，０）是严格增函数． 狓 ６．证明：函数狔＝ｌｇ（１－狓）在其定义域上是严格减函数． ７．求下列函数的最大值与最小值，并写出取最值时相应自变量的值： （１）狔＝狓２－４狓－２； （２）狔＝６狓－３狓２ ； （３）狔＝－狓２－４狓－３，狓∈［－３，１］； （４）狔＝狓２－２狓－３，狓∈［－２，０］． ８．求函数狔＝ｌｏｇ （狓＋２），狓∈［２，６］的最大值与最小值． １ ２ ４ ９．已知狔＝狓２＋狆狓＋狇和狔＝狓＋ 都是定义在［１，４］上的函数，且在狓 处同时取到 狓 ０ 相同的最小值．求狔＝狓２＋狆狓＋狇的最大值． 犅组 １．已知实数犫＜２，而函数狔＝狓２＋犪狓＋１，狓∈［犫，２］是偶函数．求实数犪、犫的值． ２．判断下列函数狔＝犳（狓）的奇偶性，并说明理由： （ ） １０狓－１０－狓 １ １ （１）犳（狓）＝ ； （２）犳（狓）＝狓 ＋ ． １０狓＋１０－狓 ２狓－１ ２ ３．当表达式犳（狓）＝ 时，函数狔＝犳（狓）同时满足以下条件： ① 不是偶函数； ② 在区间（－∞，－１）上是严格减函数； ③ 在区间（０，１）上是严格增函数． ４．作出函数狔＝狓２－２｜狓｜的大致图像，并分别写出它的定义域、奇偶性、单调区间 及最小值． １ ５．研究函数狔＝ 的定义域、奇偶性、单调性及最大值． １＋狓２ ６．如果函数狔＝狓２－２犿狓＋１在区间（－∞，２］上是严格减函数，那么实数犿的取值范 围为 ． ７．设狋是实数，且狋＜４．求函数狔＝｜２狓＋１－８｜，狓∈［狋，４］的最小值． １２ ６５．３ 函数的应用 ５．３ 函数的应用 １ 函数关系的建立 在研究某些数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变 量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系． 例１ 如图５３１，一个边长为犪、犫（犪＜犫）的长方形被 分别平行于长与宽的两条直线所分割，试用解析法将图中阴影部 分的总面积犛表示为狓的函数． 解 因为左上角阴影部分的面积犛＝狓２ ，而右下角阴影部 １ 分的面积犛＝（犪－狓）（犫－狓），所以阴影部分的总面积 图５３１ ２ 犛＝犛＋犛＝狓２＋（犪－狓）（犫－狓）． １ ２ 因此，所求函数为犛＝２狓２－（犪＋犫）狓＋犪犫，狓∈（０，犪）． 例２ 如图５３２，四边形犗犃犅犆是平面直角坐标系中边 长为１的正方形．一直线狔＝－狓＋狋（狋∈（０，２））与正方形犗犃犅犆 相交，将正方形分为两个部分，其中包含原点犗的部分的面积 记为犛．试将犛表示为狋的函数． 解 狋是直线狔＝－狓＋狋在狔轴上的截距． 图５３２ 情形一：当０＜狋≤１时，设该直线与线段犗犆交于点犈，并 与线段犗犃交于点犇，如图５３３所示． 此时，包含点犗的部分是直角三角形犗犇犈．由于犗犇＝犗犈 ＝狋，因此 １ １ 犛＝ 犗犇·犗犈＝ 狋２． ２ ２ 图５３３ 情形二：当１＜狋＜２时，设该直线与线段犅犆交于点犈，并 与线段犃犅交于点犇，如图５３４所示． 此时，包含点犗的部分是五边形犗犃犇犈犆，它可以看成是正 方形犗犃犅犆除去直角三角形犅犇犈所得的部分，由于犅犇＝犅犈＝ ２－狋，因此 １ １ １ 犛＝犗犃·犗犆－ 犅犇·犅犈＝１－ （２－狋） ２＝－ 狋２＋２狋－１． 图５３４ ２ ２ ２ １ ２７５ 函数的概念、 性质及应用 综上所述，可以分段表示犛关于狋的函数如下： 烄１ 狋２ ， ０＜狋≤１， ２ 犛＝烅 １ － 狋２＋２狋－１，１＜狋＜２． 烆 ２ 当我们用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关 变量及其关系表示出来，这显示了建立变量之间的函数关系的重 要性． 例３ 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形 居室，如图５３５所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为 ３０ｍ，那么当宽狓（单位：ｍ）为多少时，才能使所建造的居室总 图５３５ 面积最大？居室的最大总面积是多少？ 解 由题意，应有０＜狓＜１０． 如果把建筑材料全部用完，那么此两间居室的总长应为 （３０－３狓）ｍ． 设居室的总面积为狔ｍ２ ，则 狔＝狓（３０－３狓）＝－３（狓－５） ２＋７５，０＜狓＜１０． 所以，当居室的宽为５ｍ时，其总面积最大，且最大总面积 为７５ｍ２． 例４ 某小区要建造一个直径为１６ｍ的圆形喷水池，并 在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离 池中心３ｍ的地方达到最高高度４ｍ．各方向喷来的水柱在池中 心上方某一点汇合，求该点离水面的高度． 解 过水池的中心任取一个竖直截面，如图５３６所示．根 据力学的原理，喷出的水珠轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任 何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．为 了建立水平距离狓（单位：ｍ）与离水面的高度狔（单位：ｍ）之间 的函数关系狔＝犳（狓），建立如图５３６所示的直角坐标系． 图５３６ 设图中右半部分的曲线所对应的函数表达式为 １２ ８５．３ 函数的应用 狔＝－犪（狓－犫） ２＋犮，０≤狓≤８， 其中点（犫，犮）是此抛物线的顶点．由题意，可得犫＝３，犮＝４． 又由犳（８）＝０，解得犪＝０．１６． 这样，该汇合点离水面的高度应为 犺＝犳（０）＝－０．１６×（０－３） ２＋４＝２．５６（ｍ）． 练习５．３（１） １．已知一等腰三角形的周长为１２ｃｍ，试将该三角形的腰长狔（单位：ｃｍ）表示为底边 长狓（单位：ｃｍ）的函数． ２．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△犗犃犅是边长为２的等边三角形．用直线 犾：狓＝狋（０＜狋＜２）截这个三角形，记截得的靠近狔轴的部分的面积为犛．试将犛表示为狋的 函数． （第２题） ３．某商场购物优惠活动如下：一次购物总额不超过５００元的不予优惠；一次购物总额 超过５００元但不超过１０００元的，按标价给予９折优惠；一次购物总额超过１０００元的，其 中的１０００元按上述标准给予优惠，而超过１０００元的部分给予７折优惠．设某位顾客一次 购物总额为狓元，而优惠后实际付款额为狔元．试写出狔关于狓的函数关系． ２ 用函数观点求解方程与不等式 我们知道：一元一次方程总可以化简为犪狓＋犫＝０的形式， 而一元二次方程总可以化简为犪狓２＋犫狓＋犮＝０的形式．一般地， 在求解含有一个未知数的方程时，经过适当地化简，总可以化为 在一定的范围犇内求解形如犳（狓）＝０的方程，这里狔＝犳（狓）， 狓∈犇是一个函数． 在学习了函数及其性质之后，我们可用函数的观点来考察方 程犳（狓）＝０的求解． 定义 对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，如果存在实数犮∈犇，使得 犳（犮）＝０， 就把犮叫做该函数的零点（ｚｅｒｏ）． １ ２９５ 函数的概念、 性质及应用 函数狔＝犳（狓），狓∈犇的零点，就是方程犳（狓）＝０在集合 犇中的解，也是该函数狔＝犳（狓）的图像与狓轴的交点的横坐 标．这就将方程犳（狓）＝０的求解与求函数狔＝犳（狓）的零点联系 起来． 例５ 方程狓３＋２狓＝９９是否有整数解？说明理由． 解 记犳（狓）＝狓３＋２狓－９９． 对任意给定的狓、狓∈犚，当狓＜狓 时，根据不等式的性 １ ２ １ ２ 质，可得狓３＜狓３ ，并且２狓＜２狓，因此犳（狓）＜犳（狓），故函 １ ２ １ ２ １ ２ 数狔＝犳（狓）在其定义域上是一个严格增函数． 经计算，得 犳（４）＝－２７＜０，犳（５）＝３６＞０． 由单调性可知，当狀∈犣，且狀＜４时，犳（狀）＜犳（４）＜０；而 当狀∈犣，且狀＞５时，犳（狀）＞犳（５）＞０． 因此，任一整数一定不是函数狔＝狓３＋２狓－９９的零点，从 而方程狓３＋２狓＝９９没有整数解． 从上述解答的过程中可以看到，原先在解方程时，我们的观 点是静态的，而一旦引入函数的观点，就可以利用函数的性质尝 试用动态的观点审视方程的求解了． 在必修课程第２章中，我们已经学过解一元二次不等式．现 在我们同样可以用函数的观点来审视一元二次不等式的求解． 我们在必修课程第２章中已经知道，对于一元二次不等式 犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）， 可先考察它对应的方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０，而该方程的解集可能有 两个元素，可能只有一个元素，也可能为空集． 记Δ＝犫２－４犪犮．当Δ＞０时，该方程的解集可记为｛狓，狓｝， １ ２ 其中狓＜狓．此时函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的大致图像如图５３７ １ ２ 所示． 这个图像可以帮助我们回忆二次函数的单调性．根据本章 ５．２节中关于二次函数单调性的结论，函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮 （ ］ ［ ） 犫 犫 图５３７ 在区间 －∞，－ 上是严格减函数，而在区间 － ，＋∞ 上 ２犪 ２犪 是严格增函数． 此外，狓 及狓 是该函数的两个零点；在图像上，狓 及狓 １ ２ １ ２ 狓＋狓 犫 是相应抛物线与狓轴的交点的横坐标，且 １ ２＝－ ． ２ ２犪 １３ ０５．３ 函数的应用 这样，求解不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０），就是要求函数 狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪＞０）的图像上位于狔＞０部分的所有点的横坐 标．因此，根据单调性及零点的位置，参照函数的图像，可以很 容易地得到不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）的解集为（－∞，狓）∪ １ （狓，＋∞）．由此可见，借助于构造一个与不等式有关的函数， ２ 如果这个函数的单调性与零点比较容易确定，就可以较便捷地求 解相应的不等式． 这样，可将二次项系数为正的一元二次不等式的解集总结 如下． 表５２ 二次项系数犪＞０时，二次不等式与相应二次函数的联系 犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮 犫２－４犪犮＞０ 犫２－４犪犮＝０ 犫２－４犪犮＜０ 零点 狓、狓（狓＜狓） 狓 不存在 １ ２ １ ２ ０ 大致图像 犳（狓）＞０的解集 （－∞，狓）∪（狓，＋∞） ｛狓｜狓≠狓｝ 犚 １ ２ ０ 犳（狓）＜０的解集 （狓，狓）   １ ２ 例６ 用函数的观点在区间（０，＋∞）上解不等式狓４＋狓＞２． 解 记犳（狓）＝狓４＋狓． 对任意给定的狓、狓∈（０，＋∞），当０＜狓＜狓 时，有 １ ２ １ ２ 狓４＜狓４ ，故 １ ２ 狓４＋狓＜狓４＋狓． １ １ ２ ２ 因此，狔＝犳（狓）在区间（０，＋∞）上是严格增函数． 由函数狔＝犳（狓）的单调性，并注意到犳（１）＝１４＋１＝２，可 知在区间（０，＋∞）上，犳（狓）＞２当且仅当狓＞１． 因此，在区间（０，＋∞）上不等式狓４＋狓＞２的解集为（１，＋∞）． 练习５．３（２） １．利用函数与不等式的关系，在犪＜０时，求解实系数一元二次不等式犪狓２＋犫狓 ＋犮≤０． ２．用函数的观点解不等式：２狓＋ｌｏｇ狓＞２． ２ １ ３１５ 函数的概念、 性质及应用 ３ 用二分法求函数的零点 在建立了函数关系后，常常会遇到一些解方程的问题．如果 相应的函数是一次函数或者二次函数，就可以用已经学习过的求 根公式来求解．但是遇到一些更复杂的函数，相应的方程如何求 解呢？此时，要求得问题的精确解答，通常是做不到的，而基于 实际问题的需要，往往只要求得具有足够精度的近似解就可以 了．本课我们将利用上一节课的思想，将求方程的近似解的问题 转化为求函数的近似零点的问题，再利用函数的性质来求得方程 的近似解． 我们来看一个例子：在一块边长为１３ｃｍ的正方形金属薄片 的四个角上都剪去一个边长为狓ｃｍ的小正方形，做成一个容积 是１４０ｃｍ３ 的无盖长方体盒子，如图５３８所示（图中单位： ｃｍ）．问：狓是多少？（结果精确到０．１ｃｍ） 图５３８ 根据要求，得狓（１３－２狓） ２＝１４０，我们的目标就是求该方程 （ ） １３ 在区间 ０， 上的实根． ２ １３ 令犳（狓）＝狓（１３－２狓） ２－１４０，０＜狓＜ ．上述方程的实根就 ２ 是函数狔＝犳（狓）的零点，先用描点法作出该函数的大致图像如下： 图５３９ １３ ２５．３ 函数的应用 从图像上可以看出，函数狔＝犳（狓）在区间（１，２）和区间 （３，４）上各有一个零点． 我们学过的一次 函数、二次函数、反 定理 如果在区间［犪，犫］上，函数狔＝犳（狓）的图像是 比例函数、幂函数、 指数函数、对数函数 一段连续曲线，并且犳（犪）·犳（犫）＜０，那么狔＝犳（狓）在区 以及必修课程第７章 将要学习的三角函数 间（犪，犫）上一定有零点． 等，在包含于定义域 的任一区间上，图像 都是连续的曲线． 下面用二分法寻求该函数在区间（３，４）上的零点的近似值． 二分法的思想非常直接和简单：在确定了区间（犪，犫）上一定 有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零 点，而含有零点的区间的长度变为原先的一半．反复执行这种 “一分为二”的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从 而容易求得其近似值了． 因为犳（３）＝７＞０，犳（４）＝－４０＜０，所以此函数狔＝犳（狓）在 区间（３，４）上至少有一个有零点． ３＋４ 取（３，４）的中点狓＝ ＝３．５，计算可得犳（３．５）＝－１４＜０．因 １ ２ 为犳（３）·犳（３．５）＜０，所以狔＝犳（狓）在区间（３，３．５）上一定有零点． 将这一步骤重复若干次，见表５３： 表５３ 用二分法求函数零点的一个例子 步骤 犔（左端点）犕（中点）犚（右端点）犳（犔） 犳（犕） 犳（犚） １ ３ ３．５ ４ ＋ － － ２ ３ ３．２５ ３．５ ＋ － － ３ ３ ３．１２５ ３．２５ ＋ ＋ － ４ ３．１２５ ３．１８７５ ３．２５ ＋ － － ５ ３．１２５ ３．１５６２５ ３．１８７５ ＋ ＋ － 注意到区间（３．１５６２５，３．１８７５）中的所有数精确到０．１时的近 似值都是３．２，所以狔＝犳（狓）在区间（３，４）上零点的近似值是３．２． 按同样的操作方法，可以求得狔＝犳（狓）在区间（１，２）上的零 点近似值是１．３． 综上所述，上述问题中所剪去的小正方形的边长约是１．３ｃｍ 或３．２ｃｍ． 可以看到，在二分法的实际操作中，从第二步起，每一步只 需要计算一个函数值，并判断它的符号，同时，所考虑的区间长 度减半． １ ３３５ 函数的概念、 性质及应用 二分法的这些步骤中，每一步都是明确的．尽管每一步的计 算可能不一定简单，而且可能需要重复较多的步骤才能得到具有 有兴趣的同学可 以设计一个二分法求 足够精度的零点近似值，但根据这一算法不断重复同一类计算的 函数零点的程序． 特点，可利用计算机强大的计算功能，通过编制计算机程序，很 高效地求出零点的近似值． 练习５．３（３） １．对于在区间［犪，犫］上的图像是一段连续曲线的函数狔＝犳（狓），如果犳（犪）·犳（犫）＞０， 那么是否该函数在区间（犪，犫）上一定无零点？说明理由． ２．已知函数狔＝２狓３－３狓２－１８狓＋２８在区间（１，２）上有且仅有一个零点．试用二分法 求出该零点的近似值．（结果精确到０．１） 习题５．３ 犃组 １．某企业去年四个季度生产某种型号机器的数量狔（单位：万台）与季度狓的函数关 系如下表所示： 狓／季度 １ ２ ３ ４ 狔／万台 １０ １２ １４ １６ 试写出该函数的定义域，并作出其大致图像． ２．某地区住宅电话费收取标准为：接通后３分钟内（含３分钟）收费０．２０元，以后每 分钟（不足１分钟按１分钟计）收费０．１０元．如果一次通话时间为狋（单位：ｍｉｎ），写出通 话费狔（单位：元）关于通话时间狋的函数关系． ３．求函数狔＝槡２狓＋１－狓＋１的零点． ４．已知函数狔＝狓３＋狓２＋狓－１在区间（０，１）上有且仅有一个零点，用二分法求该零点 的近似值．（结果精确到０．１） 犅组 １．已知某气垫船的最大船速是４８海里／时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成 正比．当船速为３０海里／时时，船每小时的燃料费用为６００元，而其余费用（不论船速为 多少）都是每小时８６４元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距１００海里． （１）试把船每小时使用的燃料费用犘（单位：元）表示成船速狏（单位：海里／时）的函数； （２）试把船从甲地到乙地所需的总费用狔（单位：元）表示成船速狏（单位：海里／时）的函数； （３）当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？ ２．为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计 费规则如下：０至６ｋｍ（含６ｋｍ）票价３元；６至１６ｋｍ（含１６ｋｍ）票价４元；１６ｋｍ以上 １３ ４５．３ 函数的应用 每６ｋｍ（不足６ｋｍ时按６ｋｍ计）票价递增１元，但总票价不超过８元． （１）试作出票价狔（单位：元）关于路程狓（单位：ｋｍ）的函数的大致图像； （２）某人买了５元的车票，他乘车的路程不能超过多少？ ３．某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器１２台和６台，现决定销售给犃市１０ 台、犅市８台．已知上海调运一台机器到犃、犅市的运费分别为４００元和８００元；杭州调 运一台机器到犃、犅市的运费分别为３００元和５００元．设从上海调运狓台机器往犃市，求 总运费狔（单位：元）关于狓（单位：台）的函数关系． ４．证明：方程ｌｇ狓＋２狓＝１６没有整数解． ２ ５．解不等式： ≥３狓－１． 狓２ １ ３５５ 函数的概念、 性质及应用 ５ ．４ 反函数  １ 反函数的概念 在进行摄氏度（℃）和华氏度（）两种温度单位换算时会发 现，有时选用相同的数据如表５４所示，但所建立的函数关系和 作出的图像不同，如图５４１所示． 表５４ 华氏度与摄氏度的转换 摄氏度／℃ ０ ２０ ３５ １００ １１５ 华氏度／ ３２ ６８ ９５ ２１２ ２３９ （１） （２） 图５４１ 这是为什么呢？原来这两个函数所选取的自变量和函数值恰 好相反．看似完全不同的两个函数关系式和图像都正确反映了两 种温度单位之间的转换关系，前者将摄氏度转换为华氏度，而后 者恰好相反． 从函数表达式来看，在函数狔＝１．８狓＋３２中，狓是自变量， 狔是狓的函数．但从狔＝１．８狓＋３２这个关系式中解出狓，就得到 狔－３２ 了狓＝ ．这样，根据这一转换关系，对于在某一个范围内的 １．８ 每一个狔值，同样有唯一的狓与之对应．也就是说，也可以把狔看 狔－３２ 成自变量，狓作为狔的函数．这时，我们就说函数狓＝ 是函 １．８ 数狔＝１．８狓＋３２的反函数． １３ ６５．４ 反函数 由于习惯上函数的自变量用狓表示，在图像上作为点的横 坐标，而函数值用狔表示，在图像上作为点的纵坐标，因此 狓－３２ 狔＝１．８狓＋３２的反函数通常写成狔＝ ． １．８ 定义 对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，记其值域为犳（犇）．如果 对犳（犇）中的任意给定的一个值狔，在犇中满足犳（狓）＝狔的狓 值只有一个，那么由此得到的狓关于狔的函数叫做狔＝犳（狓）， 狓∈犇的反函数（ｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作狓＝犳－１ （狔），狔∈犳（犇）． 由于自变量习惯上常用狓表示，而函数值常用狔表示，因此通 常把该函数改写为 狔＝犳－１ （狓），狓∈犳（犇）． 狓 例如，函数狔＝２狓的反函数为狔＝ ，函数狔＝３狓＋１的反 ２ 狓－１ 函数为狔＝ ． ３ 一个定义域为犇的函数狔＝犳（狓）存在反函数，当且仅当对于 其值域犳（犇）中的每一个值狔，在定义域犇中仅存在一个狓，满 ０ ０ 足犳（狓）＝狔．也就是说，如果函数狔＝犳（狓）在定义域犇上不同 ０ ０ 的狓处所取到的函数值也不相同，那么狔＝犳（狓）就存在反函数． 因此，在定义域上的严格增函数或严格减函数均存在反函数． 从反函数的定义可知：如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇存在反函 数狔＝犳－１ （狓），狓∈犳（犇），那么函数狔＝犳－１ （狓），狓∈犳（犇）的反 函数就是狔＝犳（狓），狓∈犇．也就是说，狔＝犳（狓）及狔＝犳－１ （狓）是 互为反函数的． 函数狔＝犳－１ （狓）的定义域就是狔＝犳（狓）的值域，函数 狔＝犳－１ （狓）的值域就是函数狔＝犳（狓）的定义域． 例１ 若犳（狓）＝ｌｏｇ狓，并设狔＝犳－１ （狓）是狔＝犳（狓）的 ３ 反函数，求犳－１ （２），犳－１ （犪）． 解 设犳－１ （２）＝狋，根据反函数的定义，可得犳（狋）＝２，即 ｌｏｇ狋＝２，因此狋＝９，即犳－１ （２）＝９． ３ 类似地，设犳－１ （犪）＝犫，可得犳（犫）＝ｌｏｇ犫＝犪，即犫＝３犪 ， ３ 因此犳－１ （犪）＝３犪． 一般地，当犪＞０，犪≠１时，解关于狓的方程狔＝ｌｏｇ狓，得 犪 狓＝犪 狔 ．因此，当犪＞０，犪≠１时，狔＝犪狓 与狔＝ｌｏｇ狓互为反 犪 函数． １ ３７５ 函数的概念、 性质及应用 例２ 求下列函数的反函数： （１）狔＝４狓＋２； （２）狔＝狓２＋１，狓∈［１，３］； ３狓＋１ （３）狔＝ ． ４狓＋２ 解 （１）该函数的值域为犚．解关于狓的方程狔＝４狓＋２， 在例２（１）中，使 狔－２ 狓－２ 狓－２ 得狓＝ ．因此，相应的反函数为狔＝ ． 得表达式狔＝ 有 ４ ４ ４ 意义的狓的范围已经 （２）该函数的值域为［２，１０］． 是狔＝４狓＋２的值域犚 了，因此此处反函数 在狓∈［１，３］，狔∈［２，１０］的前提下，解关于狓的方程狔＝狓２＋１， 的定义域不必明显地 写出．例２（３）不注明 得狓＝槡狔－１．因此，相应的反函数为狔＝槡狓－１，狓∈［２，１０］． 反函数的定义域的理 ３狓＋１ ３ １ 烄 ３烌 由类似． （３）由狔＝ ＝ － 可知，该函数的值域为 烅狔狔≠ 烍． ４狓＋２ ４ ８狓＋４ 烆 ４烎 １ ３ ３狓＋１ 在狓≠－ ，狔≠ 的前提下，解关于狓的方程狔＝ ， ２ ４ ４狓＋２ １－２狔 得狓＝ ． ４狔－３ １－２狓 因此，相应的反函数为狔＝ ． ４狓－３ 练习５．４（１） １．求函数狔＝狓２＋２狓，狓∈［０，＋∞）的反函数的定义域． ２．求下列函数的反函数： ３ （１）狔＝３狓＋２； （２）狔＝－ ； 狓 （３）狔＝狓２ ，狓∈（－∞，０］； （４）狔＝槡狓＋１． 烄狓， －１≤狓≤０， ３．判断函数狔＝烅 是否存在反函数．若存在反函数，求出它的反 烆１－狓， ０＜狓＜１ 函数；若不存在反函数，说明理由． ２ 反函数的图像 为了研究函数与其反函数的图像的特征，我们需要一个如下 的命题： 命题 在平面直角坐标系中，点犘（犪，犫）与点犘′（犫，犪） 关于直线狔＝狓成轴对称． １３ ８５．４ 反函数 证明 当犪＝犫时，点犘与犘′重合，且在直线狔＝狓上，结 论成立． 当犪≠犫时，点犘与犘′是不重合的两点，要证明它们关于直 线狔＝狓成轴对称，即证直线狔＝狓是线段犘犘′的垂直平分线． 线段犘犘′的垂直平分线即点集｛犙（狓，狔）｜｜犙犘｜＝｜犙犘′｜｝．由 两点（狓，狔）及（狓，狔）之间的距离公式槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２ ， １ １ ２ ２ １ ２ １ ２ 该集合也可以表示为 ｛犙（狓，狔）｜槡（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝槡（狓－犫） ２＋（狔－犪） ２ ｝， 即 ｛犙（狓，狔）｜犪狓＋犫狔＝犫狓＋犪狔｝． 因犪≠犫，故该集合为｛犙（狓，狔）｜狓＝狔｝． 所以，线段犘犘′的垂直平分线是直线狔＝狓，因而点犘（犪，犫） 与点犘′（犫，犪）关于直线狔＝狓对称． 作为指数函数和对数函数的图像关系在一般函数中的推广， 我们有 性质 互为反函数的两函数的图像关于直线狔＝狓成 轴对称． 证明 设函数狔＝犳（狓），狓∈犇的反函数为狔＝犳－１ （狓）， 狓∈犳（犇）． 若犘（犪，犫）为函数狔＝犳（狓）图像上任取的一点，则必有 犪∈犇，且犫＝犳（犪）．这样，犫＝犳（犪）∈犳（犇），且根据反函数的 定义，犪＝犳－１ （犫），因此犘（犪，犫）关于直线狔＝狓的对称点 犘′（犫，犪）在函数狔＝犳－１ （狓）的图像上． 另一方面，因为狔＝犳－１ （狓）的反函数是狔＝犳（狓），由上述， 狔＝犳－１ （狓）图像上任一点犙关于直线狔＝狓的对称点犙′在函数 狔＝犳（狓）的图像上． 综上所述，互为反函数的两函数的图像关于直线狔＝狓成轴 对称． 在求一个函数狔＝犳（狓）的反函数时，一般要经历下述三个 步骤：求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；解方程 狔＝犳（狓），求出狓关于狔的函数表达式；再交换狓与狔． 正是将狓和狔对换，即将点的横纵两个坐标作了对换，才 导致了函数与其反函数的图像关于直线狔＝狓对称． 例３ 求函数狔＝狓３ 的反函数，并在同一坐标系中作出 函数狔＝狓３ 和它的反函数的图像． 解 狔＝狓３ 的值域是 犚．解关于狓的方程狔＝狓３ ，得 １ ３９５ 函数的概念、 性质及应用 狓＝３槡狔，因此其反函数为狔＝槡３狓． 同一坐标系中，狔＝狓３ 的图像与狔＝３槡狓的图像如图５４２ 所示，它们关于直线狔＝狓对称． 例４ 已知函数狔＝犪狓＋犫的图像经过点（１，７），而其反 函数的图像经过点（４，０），求实数犪、犫的值． 解 由狔＝犪狓＋犫的图像经过点（１，７），可知７＝犪１＋犫＝ 犪＋犫．此外，其反函数的图像经过点（４，０），也就是狔＝犪狓＋犫 的图像经过点（０，４），故４＝犪０＋犫＝１＋犫． 图５４２ 由此解得犪、犫的值分别为４、３． 练习５．４（２） １．定义在犚上的偶函数存在反函数吗？说明理由． ２．下列各图中，存在反函数的函数狔＝犳（狓）的图像只可能是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （第２题） ３．已知函数狔＝犳（狓），狓∈犇存在反函数狔＝犳－１ （狓），狓∈犳（犇）．函数狔＝犳（狓＋１） 与狔＝犳－１ （狓＋１）是否一定互为反函数？说明理由． 习题５．４ 犃组 １．已知函数狔＝狓２－４狓－５，狓∈［１，３］，判断其是否存在反函数．若存在，求出反函 数；若不存在，说明理由． ２．求下列函数的反函数： 狓 （１）狔＝－狓３ ； （２）狔＝ ； （３）狔＝狓２＋１，狓∈（－∞，０）． 狓＋２ ３．求下列函数的反函数： （１）狔＝１０狓＋１； （２）狔＝ｌｏｇ（狓＋１）； （３）狔＝ｌｏｇ（２狓）． ２ ２ ４．已知犳（狓）＝１－ｌｏｇ狓，设狔＝犳－１ （狓）是狔＝犳（狓）的反函数．求犳－１ （－３）的值． ２ （ ） 犪 １ ５．已知函数狔＝ 的反函数的图像经过点 ，１ ，求实数犪的值． 狓＋１ ２ １４ ０内容提要 内容提要 １．函数的概念： （１）设犇是一个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系犳，使对集合犇中任意 给定的狓，都有唯一的实数狔与之对应，就称这个对应关系犳为集合犇上的一个函数． （２）定义域和对应关系是函数的两个重要要素．函数的值域由其定义域和对应关系决 定．两个函数的定义域和对应关系都相同（形式上未必相同）时，两个函数是相同的． （３）函数的图像是表示函数性质的直观有力的工具． ２．函数的性质： （１）如果对定义域犇中的任意给定的狓，均有－狓∈犇，并且犳（狓）＝犳（－狓），那么 称狔＝犳（狓），狓∈犇是一个偶函数；如果对定义域犇中的任意给定的狓，均有－狓∈犇，并 且犳（狓）＝－犳（－狓），那么称狔＝犳（狓），狓∈犇是一个奇函数．函数的奇偶性刻画了函数 图像关于原点及狔轴的对称性． （２）对于定义在犇上的函数狔＝犳（狓），设区间犐是犇的子集．对于区间犐上的任意 给定的两个自变量的值狓、狓，当狓＜狓 时，如果总有犳（狓）＜犳（狓）（犳（狓）≤ １ ２ １ ２ １ ２ １ 犳（狓）），就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是严格增函数（增函数）；如果总有犳（狓）＞犳（狓） ２ １ ２ （犳（狓）≥犳（狓）），就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是严格减函数（减函数）．这种单调性刻 １ ２ 画了函数图像上升或下降的趋势． （３）设函数狔＝犳（狓）在狓 处的函数值是犳（狓）．对于定义域内任意给定的狓，如果 ０ ０ 不等式犳（狓）≥犳（狓）都成立，那么犳（狓）叫做函数狔＝犳（狓）的最小值；如果不等式 ０ ０ 犳（狓）≤犳（狓）都成立，那么犳（狓）叫做函数狔＝犳（狓）的最大值．最大值与最小值分别为 ０ ０ 函数图像的最高点与最低点的纵坐标． ３．函数的应用： （１）在建立函数关系时，需要注意其定义域． （２）依靠函数狔＝犳（狓），可以用动态的观点来考察方程犳（狓）＝０的求解，以及不等 式犳（狓）＞０的求解． （３）对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，若存在犮∈犇，且犳（犮）＝０，则称犮是函数 狔＝犳（狓），狓∈犇的一个零点．零点是指函数图像与狓轴交点的横坐标．对于图像是连续 曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段． ４．反函数：  （１）反函数来源于解关于狓的方程犳（狓）＝狔所得到的对应关系． （２）如果函数狔＝犳（狓）在定义域犇上不同的狓处所取到的函数值也不相同，那么 狔＝犳（狓）就存在反函数．在定义域上严格单调的函数必存在反函数． （３）函数狔＝犳（狓）的图像与其反函数狔＝犳－１ （狓）的图像关于直线狔＝狓成轴对称． １ ４１５ 函数的概念、 性质及应用 复习题 犃组 １ １．求函数狔＝ ＋槡狓２－１的定义域． ２－狓 ２．判断下列函数狔＝犳（狓）的奇偶性，并说明理由： １ １ （１）犳（狓）＝ 狓－３ ＋ 狓＋３ ； ２ ２ ２ （２）犳（狓）＝狓３＋ ； 狓 （３）犳（狓）＝狓２ ，狓∈（犽，２）（其中常数犽＜２）． ３．已知犿、狀是常数，而函数狔＝（犿－１）狓２＋３狓＋（２－狀）为奇函数．求犿、狀的值． ４ ４．求函数狔＝狓＋ 的单调区间． 狓 ５．分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间： （１）狔＝｜狓２－４狓｜； （２）狔＝２｜狓｜－３． ６．已知二次函数狔＝犳（狓），其中犳（狓）＝犪狓２－２犪狓＋３－犪（犪＞０）．比较犳（－１）和 犳（２）的大小． ７．已知犽是常数，设α、 β 是二次方程狓２－２犽狓＋犽＋２０＝０的两个实根．问：当犽为 何值时，（α＋１） ２＋（ β＋１） ２ 取到最小值？ ８．邮局规定：当邮件质量不超过１００ｇ时，每２０ｇ邮费０．８元，且不足２０ｇ时按２０ｇ 计算；超过１００ｇ时，超过１００ｇ的部分按每１００ｇ邮费２元计算，且不足１００ｇ按１００ｇ 计算；同时规定邮件总质量不得超过２０００ｇ．请写出邮费关于邮件质量的函数表达式，并 计算５０ｇ和５００ｇ的邮件分别收多少邮费． ９．若函数狔＝（犪２＋４犪－５）狓２－４（犪－１）狓＋３的图像都在狓轴上方（不含狓轴），求实 数犪的取值范围． 犅组 １．已知狔＝犳（狓）是奇函数，其定义域为犚；而狔＝犵（狓）是偶函数，其定义域为犇． 判断函数狔＝犳（狓）犵（狓）的奇偶性，并说明理由． ２．设函数狔＝狓２＋１０狓－犪＋３，当狓∈［－２，＋∞）时，其函数值恒大于等于零．求实 数犪的取值范围． ３．已知函数狔＝－狓２＋２犪狓＋１－犪，狓∈［０，１］的最大值为２．求实数犪的值． ４．设犳（狓）＝狓２＋犪狓＋１．若对任意给定的实数狓，犳（２＋狓）＝犳（２－狓）恒成立，求实 １４ ２复习题 数犪的值． ５．已知狔＝犳（狓）是定义在（－１，１）上的奇函数，在区间［０，１）上是严格减函数，且 犳（１－犪）＋犳（１－犪２ ）＜０．求实数犪的取值范围． ６．已知犳（狓）＝２－狓２ 及犵（狓）＝狓．定义犺（狓）如下：当犳（狓）≥犵（狓）时，犺（狓）＝犵（狓）； 而当犳（狓）＜犵（狓）时，犺（狓）＝犳（狓）．求函数狔＝犺（狓）的最大值． 拓展与思考 狓 １．试讨论函数狔＝ 的单调性． １－狓２ ２．作出函数狔＝（狓２－１） ２－１的大致图像，写出它的单调区间，并证明你的结论． ３．已知函数狔＝犳（狓）为偶函数，狔＝犵（狓）为奇函数，且犳（狓）＋犵（狓）＝狓２＋２｜狓－１｜＋３． 求狔＝犳（狓）及狔＝犵（狓）的表达式．  ４．设函数狔＝犳（狓），狓∈犚的反函数是狔＝犳－１ （狓）． （１）如果狔＝犳（狓）是奇函数，那么狔＝犳－１ （狓）的奇偶性如何？ （２）如果狔＝犳（狓）在定义域上是严格增函数，那么狔＝犳－１ （狓）的单调性如何？ １ ４３后记 后 记 本套高中数学教材根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（２０１７年 版）》编写并经国家教材委员会专家委员会审核通过． 本教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研 究基地（上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地）联合主持编写的． 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求，努力符合教育规律和高中学生 的认知规律，结合上海城市发展定位和课程改革基础，并力求充分体现特 色．希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验，对扎实推进数学的基 础教育发挥积极的作用． 本册教材是必修第一册，共为五章，各章编写人员分别为 王伟叶、傅吉祥（第１章） 王春明、王志强（第２章） 潘奋、吴泉水、高卫国（第３章、第４章） 王伟叶、邱维元（第５章） 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会专家工作委员会、上海市教育委 员会教学研究室全程组织、指导和协调了教材编写工作．在编写过程中，两 个基地所在单位给予了大力支持，基地的全体同志积极参与相关的调研、讨 论及评阅工作，发挥了重要的作用．上海市不少中学也热情地参与了有关的 调研及讨论工作．上海教育出版社有限公司不但是编辑出版单位，而且自始 至终全面介入了编写工作．我们对所有这些单位和相关人员的参与、支持和 鼓励表示衷心感谢． 限于编写者的水平，也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验，不妥及疏 漏之处在所难免，恳请广大师生及读者不吝赐教．宝贵意见请通过邮箱 ｇａｏｚｈｏｎｇｓｈｕｘｕｅ＠ｓｅｐｈ．ｃｏｍ．ｃｎ反馈，不胜感激． ２０２０年７月 书书书普通高中教科书 S H U X U E 普 通 高 必 修 中 教 科 书 第 一 册 上 海 教 育 出 版 社 上 海 教 育 出 版 社 数 学 必 修 SHUXUE 普通高中教科书 必 修 第 一 册 第 一 册 定 价： 11.90元