高三年级 月检测训练 数学试题
12
一、选择题本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求
的
: 8 5 40 .
.
{ | 1}
已知集合 A={x∣x2−2x−3≥0},B= x lnx≥ 则 A∪B=
2
1. ,
[3,+∞) (−∞,−1]∪[√e,+∞)
A. B.
(−∞,−1]∪[3,+∞) [−1,√e]
C. D.
已知复数 z 满足 2z+1=(3−z)i 则 z⋅´z=
2. ,
2√2 √2
A. 4 B. C. 2 D.
1 1 1 1
已知 a>0,b>0,√ab= + 则 + 的最小值为
a b log 2 log 2
a b
3. ,
√2
A. 3 B. 2 C. D. 1
已知点 G 为 △ABC 的重心若 ⃗BG=λ⃗BC+μ⃗AG 则 λ−μ=
4. , ,
3
2
A. 0 B. 1 C. D. 3
S
已知数列 {a } 的前 n 项和为 S 且满足 a =−5,a = n+2(n−1) 若对任意 n∈N∗ λ≤S 恒成立
n n 1 n n n
5. , , . ,
则实数 λ 的取值范围是
(−∞,−3] (−∞,−5]
A. B.
(−∞,−3] (−∞,−2]
C. D.
图 是古书《天工开物》中记载的简车图 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具 在农业上得到广泛应
用 在图 中一个半径为 2m 的筒车按逆时针方向每分钟转 圈简车的轴心 O 距水面的高度为 √3m
6. 1 . .
设筒车上的某个盛水桶 P 看作点 到水面的距离为 d 单位 m 若在水面下则 d 为负数 若以盛水桶 P
. 2 , 1.5 , .
( ) ( : ) ( ),( π π)
刚浮出水面时开始计时 d 与时间 t 单位 之间的关系为 d=Asin(ωt+φ)+K A>0,ω>0,− <φ<
2 2
则 φ= , ( :s) ,
图 图
1 2
π π π π
− −
3 6 6 3
A. B. C. D.
y2
已知双曲线 C:x2− =1(m>0) 的左、右焦点分别为 F ,F 过点 F 作圆 O:x2+ y2=1 的切线 交双
m2 1 2 1
7. , .
π
曲线 C 的右支于点 M 若 ∠F M F = 则实数 m=
1 2 3
, ,
√3
2+√3 1+√3 1+
3
A. B. C. 2 D.
{ex(2x−1),x>0,
已知函数 f (x)= g(x)=f (x)+f (−x) 若 y=g(x) 恰有 个零点则实数 k 的取值范围
k(x+1),x<0,
8. , 4 ,
是
(−∞,1) (
4e
3
2,+∞
) (
1,4e
3
2
) (1,+∞)
A. B. C. D.
二、选择题本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的选项中 有多项符合题目 要求全部选对的
得 分 部分选对的得部分分 有选错的得 分
: 3 , 6 , 18 . , .
6 , , 0 .
已知一组数据 x ,x ,x ,⋯,x 的平均数为 x´(x´≠0) 将这组数据分别加上它们的平均数得到一组新数据
1 2 3 n
9 x .1 +x´ ,x 2 +x´ ,x 3 +x´ ,⋯,x n +x´ 则新数据与原数据相比 , ,
,
极差相同 平均数不同 方差不同 中位数相同
A. B. C. D.
1
已知函数 f (x)=sinπx,g(x)=x− −lnx,h(x)=f (x)⋅g(x) 则下列说法正确的是
x
10. ,(1)
g +g(x)=0 不等式 g(x)>0 的解集为 (0,1)
x
A. B.
(16) ( 3 )
h <h 为函数 h(x) 的极大值点
3 11
C. D. 1
已知正四棱锥 P−ABCD 的底面边长为 高为 h 该正四棱锥的顶点 P 在正方体
1 A 1 B . CD−A 1 B 1 C 1 D 1 的内部 包括表面 则下列1,结论正确, 的是
( ),
h的取值范围是 (0,1]
A.
√3 √2
若正四棱锥 P−ABCD 的侧棱长为 ，则 h=
2 2
B.
当点 P 为正方体 ABCD−A B C D 的上底面 A B C D 的中心时正四棱锥 P−ABCD 外接球
1 1 1 1 1 1 1 1
9π
C. ,
的表面积为
4
当点 P 为正方体 ABCD−A B C D 的内切球球心时正方体 ABCD−A B C D 的内切球与正四
1 1 1 1 1 1 1 1
π
D. ,
棱锥 P−ABCD 的公共部分的体积为
36
三、填空题本题共 小题，每小题 分，共 分
: 3 5 15 .
已知 ( x+ 2) n (n∈N∗) 的展开式中第 项系数与第 项系数之比为 则 n 的值为
x
12. , 6 7 3:1, _____.
已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F 斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点 则
|1|3F. M|−|FN|| . 1 .
的值为
|MN|
_____.
已知 α,β∈R,(sinα−|sinβ|)⋅(cosβ−|cosα|)=0 则 sinα+cosβ−2 的最小值为
14. , _____.
四、解答题本题共 小题 共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
: 5 , 77 . .
本小题满分 分
15. ( 13 ) A b+c
在 △ABC 中角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c 且满足 cos2 =
2 2c
, , .求角 C 的大小；
(1)
tan A
若点 D 在边 AB 上，且满足 AB=3AD ，求 的值
tan∠ACD
(2) .
本小题满分 分
16. ( 15 )
个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 个单位长度 相对于原点 O ，质点向右移动了 i(i∈N)
个单位长度后位置记为 i 向左移动了 i(i∈N) 个单位长度后位置记为一 i 已知质点每次向右移动的概率
(1)1 1 (
为 p(0<p<1) 记 X 为质点从原点 O 出发，移动 次后的位置，求满足随机变量 X 的期望大于 的 p
, ).
的取值范围；
. 2 0
个质点从平面直角坐标系中某点 A 出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动 个单位长度求
该质点经过 次移动后回到点 A 的概率
(2)1 1 ,
4 .
本小题满分 分
1 如 7 图 . ( ，在斜三棱柱 15 AB ) C−A B C 中， ∠BAC=90∘,AB=AC ， ∠A AB=∠A AC,O 是 BC 的中
1 1 1 1 1
点
.
求证平面 BCC B 上平面 A AO ；
1 1 1
(1) :
若 A O⊥ 底面 ABC ，且直线 A A 与底面 ABC 所成角为 60∘ ， D 是棱 BB 的中点求平面
1 1 1
( A 2) C 1 D 与平面 ABC 夹角的余弦值 ,
.
本小题满分 分
18. ( 17 )
x2 y2
已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F (−2,0) F (2.0) 且椭圆 C 过点 (√2,√3) 椭
a2 b2 1 2
. . ,
圆的下顶点为 E
.
求椭圆 C 的方程
(1) :过右焦点 F 。的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点 点 A 在点 B 的上方 ，与 y 轴交于点 P 点
P 在点 E 的下方 Q为点 P 关于原点的对称点， QB 交 x 轴于点 R ，设
(2) ( ) (
△PBQ⋅△BF
2
Q⋅). △ AF
2
Q 的面积分别为 S
1
,S
2
,S
3
.
S +S
① 若直线 l 的斜率为 ，求 1 3 的值；
S +S
2 3
2
②是否存在直线 l ，使 Q ， R ， F ， A 四点共圆？若存在，试判断直线 l 的条数；若不存在 请说明
2
理由
.
.
本小题满分 分
19. ( 17 )
约翰・卡尔・弗里德里希高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”之称 函数 y=[x] 称为高斯函数，其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数如
·
2cosx
[1.2]=1,[−1.3]=− . 2 已知函数 f (x)= ,
x
. .
当 x=4 和 x=5 时求 [f (x)] 的值
(1) , ;
设 g(x)=√x+45−√x+5,x =5,x =g(x ),n∈N∗
1 n+1 n
(2) .
n
① 求 ∑[f (x,)] 的表达式 (g(5)>3.9,g(3.9)<4.1,g(4.1)>3.9)
i=1
;
[ n ]
② 求 ∑ x 的表达式
i
i=1
.
