2024-2025学年第二学期福九联盟（高中）期未联考高中二年级数学科试卷（评分细则）_2025年7月_250730福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试

2024—2025 学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考 高中二年数学科试卷评分细则 一、单选题：每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C B C 二、多选题：每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 BD AD ABD 三、填空题：每小题5分，共15分 12、 18 13、 0.65 14、 2n 君 四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 卷 15、（1）易知函数 f(x)ex ex是奇函数 ------1分 试 f(x)的定义域为R ------2分  中 高 又 f(x)ex e(x) ex ex (ex ex)f(x) ：  f(x)ex ex是定义在R在的奇函数 -----4分 号 （2） f '(x)  ex '   ex ' e 众 x (ex)ex ex ------6分  公 易知xR,ex 0, ex 0，则 f '(x)0恒成立 所以 f(x)在R为增函数 ------7分 （备注： f(x)ex (ex)，易知增函数+增函数是增函数，或用定义法证明单调性） 因为函数 f(x)为R上的奇函数，且为增函数，  3  3 3   f(2kx2) fkx 0 f(2kx2)fkx  f kx -----8分  8  8 8  3  2kx2  kx ，即16kx2 8kx30对任意的xR恒成立 -----9分 8 ①当k 0时，则有30，对任意的xR恒成立，符合题意； -----10分 k 0 ②当k 0时，则有 ，解得3k 0 -----12分 64k2 416k(3)0 综上所述，实数k的取值范围为（3，0]. -----13分a  a a 16、（1） 数列 n为等差数列，设该数列的公差为d ，依题意则有 2d  3  1 ----2分  n  3 1 已知a 1 3,a 3 15，解得d 1 ---------4分 a  数列 n是以3为首项，公差为1的等差数列，  n  a a n  1 (n1)d 3(n1)n2，即a n(n2) ---------7分 n 1 n （备注：公式正确，整理结果错误扣1分） 1 1 11 1  （2）由（1）可得      ---------9分 a n(n2) 2n n2 n 1 1 1 1 1 1 S       ---------10分 n 13 24 35 46 (n1)(n1) n(n2) 1 1 11 1 11 1 1 1 1  11 1   1              2 3 22 4 23 5 2n1 n君1 2n n2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   1         卷   ---------12分 2 3 2 4 3 5 4 6 n1 n1 n n2 试 1 1 1 1   1    2 2 n1 n2 中 3 2n3 高   ---------14分 4 2(n1)(n2) ： 2n3 3  nN  2(n1)(n2) 0 号 则 S n  4 -------15分 众 17、（1）零假设H ：流感暴发公对请假的同学中发烧的人数无关 ---------1分 0 完成列联表如下 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 --------3分 100（15154525）2 225 由列联表可得：2   14.06310.828 x ---------6分 60404060 16 0.001 依据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H 不成立；即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数 0 有影响，此推断犯错误的概率不大于0.001 --------7分（2）设事件A表示“请假的学生是女生”,A表示“请假的学生是男生”；事件B表示“需要输液治疗”， -------8分 依题意得 P(A)0.4，P(A)0.6，P(B A)0.2，P(B A)0.1 ------10分 P(B) P(A)P(B A)P(A)P(B A)0.40.20.60.10.14 -------12分 P(AB) P(A)P(B A) 0.40.2 4  P(AB)    ---------14分 P(B) P(B) 0.14 7 4 答：这名同学是女生的概率为 ---------15分 7 18、(1) 函数 f(x)axex (a0)，易知函数 f(x)的定义域为R,  f '(x)aex 令f '(x)0，解得xlna 君 -------2分 卷 当x变化时， f(x), f '(x)的变化情况如下表所示 试 x  ，lna  lna 中 lna,  高 f '(x) + 0 - ： f(x) 增 号极大值 减 众 故函数 f(x)的增区间为  ，lna  ；减区间为  lna,  -------4分 公 （2）①当lna2时，即ae2时，函数 f(x)在区间[1，2]上单调递增， f(x)  f  2  2ae2 max -------6分 ②当1lna2时，即eae2时，函数 f(x)在区间[1,lna]上单调递增函数 f(x)在区间[lna,2] 上   单调递减，则 f(x)  f lna alnaa -------8分 max   ③当lna1时，即0ae时，函数 f(x)在区间[1，2]上单调递减， f(x)  f 1 ae ------10分 max  2ae2, ae2  综上所述： f(x) alnaa,1a2 （本步骤没写不扣分） max  ae ,0ae  （3）（解法一）当a 1时，若g(x) f(x)恒成立，即ex  mx 在恒成立--（*） ①当m0时，ex 0，符合题意 -------11分②当m0时，因为 mx 有意义，则x0 当x0时，e0 0，m0，符合题意 -------12分 1 1 当x0时，ex  mx lnex ln mx  x lnx lnm0 2 2 1 1 1 2x1 令h(x) x lnx lnm，则h'(x)1  2 2 2x 2x  1 1  1 1 1 1 1 则h(x)在区间0, 上单调递减，在区间 ，单调递增,h(x) h( )  ln  lnm  2 2  min 2 2 2 2 2 依题意要使（*）成立只需h(x) 0，解得0m2e -------15分 min ③当m0时，因为 mx 有意义，则x0， 1 1 1 君 令x 0，则em e0 1 m ，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 m m 卷 试 由①②③可得，满足条件的实数m的取值范围是[0,2e] -------17分 中 高 （3）（（解法二）当a 1时，若g(x) f(x)恒成立，即ex  mx 在恒成立--（*） ： ①当m0时，e0 0，符合题意 -------11分 ②当m0时，因为 mx 有意义 号 ，则x0 当x0时，ex 0，m众(0,)，符合题意 -------12分 公  ex  当x(0,)时，依题意只需证明      m －－－（*） ---13分  x  min 1 ex ex x ex 令h(x) ，则 2 x ex(2x1) -------14分 h'(x)  x x 2x x  1 1  h(x）在区间0，单调递减；在区间 ，单调递增  2 2  1 由（*）可知，h(x) h( ) m,即0m2e -------15 分 min 2 ③当m0时，因为 mx 有意义，则x0， 1 1 1 令x 0，则em e0 1 m ，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 m m 由①②③可得，满足条件的实数m的取值范围是[0,2e] -------17分（3）（（解法三）  mx0 当a 1时，若g(x) f(x)恒成立，即ex  mx 在恒成立  -------11分 e2x mx ①当m0时，xR,恒有e0 0，符合题意 -------12分 ②当m0时，则x0 当x0时，ex 0，m(0,)，符合题意 e2x  当x(0,)时，依题意只需证明     m－－－（*） ------13分 x   min e2x 2e2xxe2x e2x(2x1) 令h(x) ，则h'(x)  -------14分 x x2 x2  1 1  h(x）在区间0，单调递减；在区间 ，单调递增  2 2  -------15 分 1 h(x) h( )m,即0m2e min 2 君 ③当m0时，则x0， 卷 -------16分 1 2 1 令x 0，则em e0 1m ，即与e2x mx恒成立矛盾，舍去 试 m m 由①②③可得，满足条件的实数m的取值范围中是[0,2e] -------17分 高 19、(1)依题意可知X 的所有可能取值为1，： 2，3 -------1分 1 号 事件“X 1”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球；则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中， 1 且从乙盒子中取出1个红球放入甲众盒中，则 2 2 4 P(X 1)   公 -------3分 1 3 3 9 2 1 1 2 4 1 1 1 P(X 2)     P(X 3)   1 3 3 3 3 9 1 3 3 9 (2)依题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3 -------4分 2 1 1 4 1 4 P(X 0) P(X 1)     -------5分 2 1 3 3 9 9 81 2 1 1 2 2 2 4 4 4 4 32 P(X 1) P(X 1)    P(X 2)       -------6分 2 1 3 3 3 3 1 3 3 9 9 9 9 81 1 1 4 1 4 P(X 3) P(X 2)     -------7分 2 1 3 3 9 9 81 41 P(X 2)1P(X 0)P(X 1)P(X 3) 2 2 2 2 81 2 2 1 2 2 1 或P(X 2) P(X 1)  P(X 2)    P(X 3)1 2 1 3 3 1 3 3 3 3 1 -------8分 4 4 4 4 1 41       9 9 9 9 9 81所 以 X 的 分 布 列 如 下表： 2 X 0 1 2 3 2 4 32 41 4 P 81 81 81 81 4 32 41 4 126 14 所以 E(X )0 1 2 3   -------10分 2 81 81 81 81 81 9 (3) 依题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3 n1 1 1 1 P(X 0) P(X 1)   P(X 1) n1 1 3 3 9 1 1 2 2 1 2 2 P(X 1) P(X 0)1P(X 1)    P(X 2)   n1 n n 3 3 3 3 n 3 3 4 4 P(X 0) P(X 1) P(X 2) n 9 n 9 n ------11分 君 2 2 1 2 2 1 P(X 2) P(X 1)  P(X 2)    P(X 3)1 n1 n 3 3 n 3 3 3 卷3 n 4 4  P(X 1) P(X 2)P(X 3) 试 9 n 9 n n ---------12分 中 1 1 1 P(X 3) P(X 2)   P(X 2) n1 n 3 3 9 n 高 ---------13分 P(X 0)P(X 1)P(X 2)P：(X 3)1  n n n n ---------14分 E(X )0P(X 0)1P(X 号1)2P(X 2)3P(X 3) n1 n1 n1 n1 n1 4 5 代入化简可得：E(X ) P( 众 X 0) P(X 1) P(X 2)2P(X 3) n1 n 3 n 3 n n - -----15分 公 1 2    E(X ) P(X 0)P(X 1)P(X 2)P(X 3)  P(X 1) P(X 2)P(X 3) n1 n n n n  3 n 3 n n   1   1 0P(X 0)1P(X 1)2P(X 2)3P(X 3) 3 n n n n 1 1 E(X ) 3 n --------------17分