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高三数学 12 月考
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 设集合 ， ，则集合 （ ）
.
A B. C. D.
2. 已知函数 满足：对任意 ，当 时，都有 成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
的
3. 在 中，内角 ， ， 对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 （ ）
A. 6 B. 1 C. 3 D. 2
4. 如图，正方体 中，点 是 的中点，点 为正方形 内一动点，且 平面 ，
若异面直线 与 所成角为 ，则 的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正四面体 外接球的球心为 ，过点 的平面 与棱 分别相交，记在平面 两
侧的几何体的体积分别为 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
6. 已知 ， ，设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设实数 ，若不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合
题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A.
.
B
C.
学科网（北京）股份有限公司D.
11. 在平面直角坐标系xoy中， 满足 ，其中 ．O为坐标原点， 为
的重心， 为 的外心，下列说法正确的是（ ）
A. B. 存在 ，使得
C. 当 为直角三角形时， D. 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知“ ，不等式 恒成立”为假命题，则实数 的取值范围为__________.
13. 已知函数 的定义域为 ，其图象关于 对称，若当 时， ，则
__________.
14. 在 中， ，且 ，则 __________；若点 满足 ，且 在
上的高为 ，则 的面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： .
16. 设数列 的前n项和 ，数列 满足 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司（2）若数列 的前n项和 ， ，求数列 的前n项和 ．
17. 已知 为坐标原点，向量 ， ，设 ．
（1）求 单调递增区间；
（2）在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，求 的取值范
围．
18. 已知 是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于 中任意两项 ，在 中都存在一
项 ，使得 ；②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项 ，使得
．
（1）若 ，判断 是否满足性质①，说明理由；
（2）若 ，判断 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若 同时满足性质①和性质②，证明： 成等差数列．
19. 对于一个函数 和一个点 ，令函数 ，若 是 极的值点，则称点
是 在 的“边界点”．
（1）对于函数 ，证明：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“边界点”．
（2）对于函数 ，若不存在点 ，使得点 是 在 的“边界点”，求 的取值范围．
（3）对于函数 ，若存在两个不同的点 ，使得点 是 在 的“边界点”，求 的
取值范围．
学科网（北京）股份有限公司ACCCD AAC 9ABD 10AC 11ACD
12
13 8 14 ①. ## ②. ##
15 【小问1详解】
当 时， ，
函数求导得 则
故曲线 在点 处的切线方程为 ,
整理得 ．
【小问2详解】
注意到 时， ，
故 ，故 单调递增；
时， 单调递减．
所以函数 的最大值为 .
故 ．
16【小问1详解】
当n＝1时， ；
由 得 （n≥2），
∴ （n≥2），
又 也符合，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司．
【小问2详解】
，
∴ ．
∴ ，①
∴ ，②
①，②两式相减得： ，
所以 ．
17 【小问1详解】
因为 ，
所以
，
，
，
的单调递增区间为 ．
【小问2详解】
学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，
或 ， ，
即 或 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
故 ．
18 【小问1详解】
由 ，性质①是任意 ，存在 ，
令 ，则 要满足 ，
可得 ，可得 ，
其中 为偶数， 为奇数，所以不成立，
如：当 时， ，不存在这样的 .
【小问2详解】
当 时， ，所以 ，
所以存在 使得数列 满足性质①；
对性质②，取 ， ，
则 成立，所以满足性质②.
【小问3详解】
由 是递增数列，满足性质①和性质②，所以 ，即 ，
当 时， ，
已知 ，所以 ，
又由 ，所以 ，即 .
学科网（北京）股份有限公司取 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，不符合题意，舍去．
若 ，则 ．
因为 ，所以 不是 中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去，
所以 ，则 ，
所以 ，故 成等差数列．
19【小问1详解】
证明： ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则2是 的极小值点，
故存在点 ，使得点 是 在 的“边界点”．
【小问2详解】
．
因为不存在点 ，使得点 是 在 的“边界点”，所以 没有极值点．
若 ，则 没有极值点．
若 ，则当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递堿，在 上单调递增，所以 是 的极大
学科网（北京）股份有限公司值点， 是 的极小值点．
综上， .
【小问3详解】
．
因为存在两个不同的点 ，使得点 是 在 的“边界点”，所以 有2个极值点．
令函数 ．
若 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 最多只有1个零点，即 最多只有1个零点，则 最多只有1个极值点，不符合题意.
若 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
．
要使得 有2个极值点，则 有2个零点，
当 时，不符合题意．
当 时，由 ，解得 ．
此时， ，
，令函数 ，
所以 在 上单调递减， ，即 ．
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 有2个极值点，符合题意．
综上， 的取值范围为 .
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