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参照秘密级管理★ 启用前试卷类型：A
2023—2024 学年第一学期高三质量检测
高三数学
2024.01
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若 是方程 的一个虚数根，则 （ ）
A.0 B.-1 C. D.-1或
3.已知 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率之积等于 ，
则（ ）
A.当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，并除去 两点
B.当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，并除去 两点
C.当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，并除去 两点
D.当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，并除去 两点
4.已知圆 ，圆 ，则两圆的公切线条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知 ，则 的零点之和为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川的六条
航线.甲､乙､丙､丁､戊､已6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班.
则不同的体验方案有（ ）
A.56种 B.72种 C.96种 D.144种
7.已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何
体体积相等，则截面与上底面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.斜率为 的直线 分别与 轴， 轴交于 两点，且与椭圆 ，在第一象限交于
两点，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一组数据 满足 ，若去掉 后组成一组新数据.则新数据与原数据相
比（ ）
A.极差变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小
10.设 ，则（ ）
A.
B.
C.若 ，则
D. 在 上的投影向量为
11.如图，在正三棱柱 中， 是棱 上任一点，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.正三棱柱 的表面积为
B.三棱锥 的体积为
C. 周长的最小值为
D.三棱锥 外接球的表面积最小值为
12.已知定义在 上的连续函数 ，其导函数为 ，且 ，函数 为
奇函数，当 时 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.
14.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
15.已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 为底面直径， ，点 为底面圆周上的一个动点，
当 的面积取得最大值时， __________.
16. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 上的动点 （不为原点）作 的切线 ，作
学科网（北京）股份有限公司于点 ，直线 与 交于点 ，点 ，则 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列 中， .
（1）求 ；
（2）设 ，求证： .
18.（12分）
如图，直四棱柱 的底面为平行四边形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面
的距离.
19.（12分）
现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用.已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选
择一个场地进行训练.若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为 ；若前一次选择乙场地，那么下
次选择甲场地的概率为 .
（1）设该运动员前两次训练选择甲场地次数为 ，求 ；
（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由.
20.（12分）
学科网（北京）股份有限公司在 中，角 所对的边分别为 .若 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围.
21.（12分）
已知函数 .
（1）若 是增函数，求 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
22.（12分）
已知双曲线 的渐近线方程为 ，过右焦点 且斜率为 的直线 与 相交于 两点.
（1）求 的方程；
（2）①若 点关于 轴的对称点为 ，求证直线 恒过定点 ，并求出点 的坐标；
②若 ，求 面积的最大值.
2023~2024 学年第一学期高三质量检测数学
参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1-4BACD 5-8CCDA
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 10.BCD 11.ABD 12.ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13. 14.-10 15. 16.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）解法1：由题意，得 .
于是有
学科网（北京）股份有限公司当 时，
又 符合 ，所以 .
解法2：由题意，得 ，故 为常数列.
，故 .
（2）
故
18.（1）解法1：证明：连接 ，交 于点 ，连接
，
则 为 的中点，
因为 为 的中点，
所以 ，且 ，
因为 为 的中点，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
解法2：取 中点为 ，连接 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司所以平面 平面 .
又因为 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：由题意知， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､
轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ，
，
.
设异面直线 与 所成角为 ，则
解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，
则
解法1：设平面 的一个法向量为 ，
到平面 的距离为 .
所以 即 取 ，
得 .
所以 ，
即 到平面 的距离为 .
解法2：设 到平面 的距离为 ，则 ，
.
所以
所以 .
所以
又因为 ，即
解得 ，
所以 到平面 的距离为 .
19.解：设 “第 次去甲场地训练”， “第 次去乙场地训练”， .
学科网（北京）股份有限公司则 与 对立， .
（1）依题意， .
.
所以 .
（2）第一次选择甲场地的概率更大.
所以 ，
.
因为 ，所以该运动员第一次选择甲场地的可能性更大.
20.（1）因为 ，整理得
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
由正弦定理得：
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 为锐角三角形， ，所以 ，且 ，
所以
解法
因为 ，所以 ，
所以
即 的取值范围是 .
解法
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，得 ，
所以
即 的取值范围是 .
21.解：（1）由题意 .
因为函数 在其定义域上单调递增，
所以 .
设 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，只须 ，无解.
②当 时，只须 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ，
因为 有两个极值点为 ，
所以 在 上有两个不同的根，
此时方程 在 上有两个不同的根.
则 ，且 ，
解得 .
若不等式 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司则 恒成立.
因为
设 .
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，所以 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为 .
22.解：（1）设双曲线 的方程为
由题意知 ，
解得 .
所以 的方程为 .
（2）①直线 的方程为 ，设 ，则 .
由 ，消 得： .
学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以
直线 的方程为 ，
即
所以直线 恒过定点 .
② 时，
学科网（北京）股份有限公司令
所以
所以 ，在 上单调递减
所以 ，
所以 的最大值为 ，此时 .
学科网（北京）股份有限公司
