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《2026届高三第三次月考数学》参考答案
【详解】设数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得 ，即
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C C A B A C ACD BC AB ，因为 ，所以 ，解得 或 （舍）；
1．【答案】B
【分析】由补集运算即可求解.
【详解】由 ，集合 ， 所以 .故选：A
可得： ，
故选：B 8．答案：C
2．【答案】D
【详解】令 ，结合 的图象可得 关于 对称， 关于 对称，
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】 ，
所以 ， ，解得 ，
所以 .
故选：D. 因为 ，所以 ，即 ，
3．【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可得 ， ，再利用等差 即 ，解得 ，所以函数的最小正周期为 .故选：C
数列的性质求解即可.
二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
【详解】由 ， 9．【答案】ACD
【分析】A选项由正弦定理验证结果；B选项由余弦定理验证结果；C选项由三角形面积
公式验证结果；D选项由多个三角形面积的关系得出结果.
，
【详解】A选项：因为 ， ， ，所以 ，
可得 ， ， 所以A选项正确；
则 ． B选项：由余弦定理得， ，因为 ，所以 ，所以B选项
故选：C. 错误；
4．【答案】C
C选项： 的面积为 ，所以C选项正确；
【详解】由 ，则 ，当且仅当 时等号成立，A、B、D为假命
D选项：因为 的平分线交直线 于 ， ，
题，C为真命题；
故选：C
5．答案：A 所以 ，
【详解】因为 的定义域为 ，且 ， 所以 ，即 ，
解得 ，所以D选项正确．
所以 是奇函数，故排除BC，
故选：ACD．
10．答案：BC
又 ，则 ，故排除D，故选：A
【详解】函数 ，对于A，函数 图象的对称中心为
6．答案：B ，而对任意整数 ， ，因此 与 的图象不存
在相同的对称中心，A错误；
【详解】由 ，得 ，即
对于B，函数 图象的对称轴为 ， ，
，
因此 ，所以 .故选：B 即直线 是函数 的图象的对称轴，B正确；
7．答案：A
对于C，由 ，得 或 ，而 ，解得 ，则当 时， 与 的图象有5个公共点，C正确； 13．答案为：3
对于D， ，平移后得到的函数解析式为 【详解】由 可得 ,
，D错误.故选：BC
故 ,
11．答案：AB.
【详解】对于 ：因为 ，所以 ，
,
因为 ，所以 ，所以 ，
且 0，所以数列 是递减的等差数列，
由正弦定理可得 ，故答案为：3
且 ，
则当 时， 最大，故 正确；
14．故答案为：
对于C:由上述分析可知，当 时， 递减，
【详解】由题意，当 时， 是减函数，且 ，
且 ，
当 时， 是减函数，且 ，
所以使得 成立的最小自然数 ，故 错误；
由 且 得， ，则 ， ，
对于 ：因为当 时， ，所以 ；
所以 ，即 ，
当 时， ， ，所以 ；
所以 ，
当 时， ，所以 ；
设 ，则 ，
且 ，
因为 时，所以 恒成立，所以 是增函数，
则有 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 取值范围是 .
所以 中的最小项为 ，故D错误.
故答案为：
故选：AB.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(13分)
12．【答案】
【分析】用累加法直接求解即可. 在 中，设 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
【详解】在数列 ， ， ，所以
（2）设函数 ， ， 时，求 .
【详解】（1）在 中，因为 ，
由余弦定理可得 ...............................................................3分
...............................1分
累加得： ，所以 ．
故答案为： ． ∵
. ..............................1分
∴【详解】（1） ，
（2） ，.............................3分
， .............................1分
， 又 ，
，函数 在 内单调递增， .............................1分
∴ ，. ............................2分 又 ， .............................1分
由函数零点存在性定理知函数 在 内恰有一个零点. .............................1分
∵ ，即： ， .............................1分
(2)设 ，
则 ，. ...........................1分
设 ，
.............................1分 则 ， ............................1分
当 时，此时 ，则 ，
∴
16．(15分)
当 时，此时 ，则 ，
记数列 的前n项和为 ，已知 ，且 .
显然 对 成立， 在 内单调递增， ............................1分
(1)求数列 的通项公式； 若 ，则 ，
必存在 使得 时， ，
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
则此时 在 内单调递增，从而有 ，与已知矛盾...................1分
【详解】（1）由已知， ，即 ，即 ，
若 ，则 ，
所以数列 是公差为3的等差数列 . .......................3分
必存在 使得 时， ，
因为 ，则 . ......................2分 此时 在 内单调递减，从而有 ，与已知矛盾...................1分
当 时， ， ..................1分
因为 ，
显然当 ， ， ，
所以 的通项公式是 . .......................2分
则 ， 在 内单调递减，
（2）因为 ，
当 时， ，
则 ....................2分
则 恒成立（不恒为零）， ..................1分
则 即 在 上单调递增，且 ，
因为 ， ....................2分
则 在 上恒成立， ..................1分
在 内单调递增， ..................1分
则
，即 ，亦即 对任意 恒成立 ...................1分
综上所述，实数 的取值集合为 ．..................1分
.................3分 18．(17分)
2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概
念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必
所以 .............................1分
须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一
个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为
17．(15分)
已知函数 ． 和p.当 时，甲通过前两个环节的概率最大.
(1)试判断 在区间 内零点的个数并说明理由；
(1)求 的值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值集合；(2)取 ，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为 . ； .................2分
（ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； 所以X的分布列为
（ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望.
X 0 1 2 3
【详解】（1）由题意可知： ，. P
X的期望为 . .................1分
解得 ， ..................1分
19．(17分)
甲通过前两个环节的概率为 ， ..................1分
已知函数 ，从点 作 轴的垂线，交 的图象于点 ，过点
构建 ，则 ，
作曲线 的切线交 轴于点 ，再过点 作 轴的垂线，交 的图象于点
，重复这一过程，得到两个点列， ， ，点 的坐标记作 ．
令 ，解得 ；令 ，解得 ； ..................1分
(1)求数列 的通项公式；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减， .................1 (2)求数列 的前 项和 ；
分 (3)证明： ．(切线不等式 )
可知当 时， 取到最大值，即当 时， 取到最大值，
【详解】（1） ， ， .................1分
所以 . .................1分
记 ， ， ，
（2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为 和 ，
切线 ，有 ， .................1分
甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为
代入 坐标可得， ，即 ， .................1分
， .................2分
可得 ，
恰有两人仅通过第一个环节的概率为
故 为公比为2的等比数列，由于 ， ， .................1分
； .................1分
故 ，得 ； .................1分
（ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件 ，
（2）由 ， .................1分
则 ， .................2分 记 ，
有 ，
可得 ， .................1分
作差有 ，
由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3， .................1分
有 ， .................2分
则 ；
有 ， .................1分
；
故 ； .................1分
；
（3）因为 ， .................1分由于 ，故 ， .................1分
故 ，右边证毕； .................1分
因为 ，故 ， .................1分
故 ， .................1分
又根据切线不等式 ，故 ，故有 ， .................1分
综上所述： ． .................1分
