文档内容
2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至
9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用
2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母
为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 不共线， 如果 ，那么
A． 且 与 同向 B． 且 与 反向
C． 且 与 同向 D． 且 与 反向
3．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若正四棱柱 的底面边长为1， 与底面 成60°角，则
到底面 的距离为
A． B．1 C． D．
5．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若 为有理数），则
A．45 B．55 C．70 D．80
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
第1页 | 共22页A．324 B．328 C．360 D．648
8．点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且
，则称点 为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A．直线 上的所有点都是“ 点”
B．直线 上仅有有限个点是“ 点”
C．直线 上的所有点都不是“ 点”
D．直线 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点”
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9． ___________。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10．若实数 满足 则 的最小值为__________。
11．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在点
处的切线的斜率为______________。
12．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则
_________； 的小大为____________。
13．若函数 则不等式 的解集为____________。
14．已知数列 满足： 则 ________；
=____________。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
在 中，角 的对边分别为 ， 。
第2页 | 共22页（I）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ，
点 ， 分别在棱 上，且
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点 使得二面角 为直二面角？并说
明理由。
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到
红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望。
18．（本小题共13分）
第3页 | 共22页设函数
（I）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19．（本小题共14分）
已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为
（I）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）设直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线 交
于不同的两点 ，证明 的大小为定值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题共13分）
已 知 数 集 具 有 性 质 ； 对 任 意 的
， 与 两数中至少有一个属于 。
（I）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（Ⅱ）证明： ，且
第4页 | 共22页（Ⅲ）证明：当 时， 成等比数列。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
参考答案解析
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A
9． 10． 11． 12． 13． 14．1，0
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且 ，
∴ ，
∴ .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
又∵ ，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴ .
∴△ABC的面积 .
16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又 ，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
第5页 | 共22页∴ ，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴ ，
∴在Rt△ABC中， ，∴ .
∴在Rt△ADE中， ，
∴ 与平面 所成的角的大小为 .
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角 的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴ .
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时 ，
故存在点E使得二面角 是直二面角.
17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于
事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A
的概率为 .
（Ⅱ）由题意可得， 可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“ ”等价于事件“该学生在路上遇到 次红灯”（ 0，1，2，3，4），
∴ ，
∴即 的分布列是
0 2 4 6 8
∴ 的期望是 .
第6页 | 共22页18．（Ⅰ） ,
曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅱ）由 ，得 ，
若 ，则当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
若 ，则当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 ，则当且仅当 ，即 时，函数 在
内单调递增；
若 ，则当且仅当 ，即 时，函数 在 内单调递增，
综上可知，函数 在区间 内单调递增时， 的取值范围是
.
19．（Ⅰ）由题意，得 ，解得 ，∴ ，
∴所求双曲线 的方程为 .
（Ⅱ）点 在圆 上，
圆在点 处的切线方程为 ，化简得
第7页 | 共22页由 及 得 ，
∵切线 与双曲线C交于不同的两点A、B，且 ，
∴ ，且 ，
设A、B两点的坐标分别为 ，
则 ，∵ ，
且 ，
.
∴ 的大小为 .
.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（Ⅰ）由于 与 均不属于数集 ，∴该数集不具有性质P.
由于 都属于数集 ，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵ 具有性质P，∴ 与 中至少有一个属于A，
由于 ，∴ ，故 .
从而 ，∴
∵ ， ∴ ，故 .
第8页 | 共22页由A具有性质P可知 .
又∵ ， ∴ ，
从而 ，∴ .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时，有 ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，由A具有性质P可知 .
由 ， 得 ， 且 ， ∴ ， ∴
，
即 是首项为1，公比为 成等比数列.
第9页 | 共22页解析
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．在复平面内，复数 对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.
∵ ，∴复数 所对应的点为 ，故选B.
2．已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d，那么 （ ）
A． 且c与d同向 B． 且c与d反向
C． 且c与d同向 D． 且c与d反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的
考查.
取a ，b ，若 ，则c a b ，d a b ，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若 ，则c a b ，d a b ，
即c d且c与d反向，排除C，故选D.
3．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A． ，
B． ，
C． ，
第10页 | 共22页D． .
故应选C.
4．若正四棱柱 的底面边长为1， 与底面 成60°角，则
到底面 的距离为 （ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.
（第4题解答图）
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意， ，如图，
，故选D.
5．“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、
基本运算的考查.
当 时， ，
反之，当 时，有 ，
或 ，故应选A.
6．若 为有理数），则 （ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
【答案】C
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵
，
第11页 | 共22页由已知，得 ，∴ .故选C.
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知
识、基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有 （个），
当0不排在末位时，有 （个），
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 （个）.故选B.
8．点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且
，则称点 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线 上的所有点都是“ 点”
B．直线 上仅有有限个点是“ 点”
C．直线 上的所有点都不是“ 点”
D．直线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点”
【答案】A
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以
及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问
题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设 ，
则 ，
∵ ，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵ 恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
第12页 | 共22页2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9． _________.
【答案】
W
【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、
基本运算的考查.
，故应填 .
10 ． 若 实 数 满 足 则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划方面的基础
知. 属于基础知识、基本运算的考
查.
如图，当 时，
为最小值.
故应填 .
11．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在
处的切线的斜率为_________.
第13页 | 共22页【答案】
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运
算
的考查.
取 ，如图，采用数形结合法，
易得该曲线在 处的切线的斜率为 .
故应填 .
12．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆
上，若 ，则 _________； 的小大为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.
属
于基础知识、基本运算的考查.
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又由余弦定理，得 ，
∴ ，故应填 .
13．若函数 则不等式 的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的
考查.
第14页 | 共22页（1）由 .
（2）由 .
∴不等式 的解集为 ，∴应填 .
14．已知数列 满足： 则 ________；
=_________.
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得 ， .
∴应填1，0.
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
在 中，角 的对边分别为 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等
基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且 ，
∴ ，
∴ .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
又∵ ，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴ .
第15页 | 共22页∴△ABC的面积 .
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ，
点 ， 分别在棱 上，且
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点 使得二面角 为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考
查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又 ，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴ ，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴ ，
∴在Rt△ABC中， ，∴ .
∴在Rt△ADE中， ，
∴ 与平面 所成的角的大小为 .
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角 的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴ .
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时 ，
故存在点E使得二面角 是直二面角.
第16页 | 共22页【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系 ，
设 ，由已知可得
.
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，∴BC⊥AP.
又∵ ，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴ ，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵ ，
∴ .
∴ 与平面 所成的角的大小为 .
（Ⅲ）同解法1.
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到
红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型
随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价
于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件
A的概率为 .
第17页 | 共22页（Ⅱ）由题意可得， 可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“ ”等价于事件“该学生在路上遇到 次红灯”（ 0，1，2，3，
4），
∴ ，
∴即 的分布列是
0 2 4 6 8
∴ 的期望是 .
18．（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考
查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ） ,
曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅱ）由 ，得 ，
若 ，则当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
若 ，则当 时， ，函数 单调递增，
第18页 | 共22页当 时， ，函数 单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 ，则当且仅当 ，即 时，函数 在
内单调递增；
若 ，则当且仅当 ，即 时，函数 在 内单调递增，
综上可知，函数 在区间 内单调递增时， 的取值范围是
.
19．（本小题共14分）
已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）设直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线
交于不同的两点 ，证明 的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和
方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴所求双曲线 的方程为 .
（Ⅱ）点 在圆 上，
圆在点 处的切线方程为 ，
化简得
第19页 | 共22页由 及 得 ，
∵切线 与双曲线C交于不同的两点A、B，且 ，
∴ ，且 ，
设A、B两点的坐标分别为 ，
则 ，
∵ ，
且 ，
.
∴ 的大小为 .
.w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点 在圆 上，
圆在点 处的切线方程为 ，
化简得 .
由 及 得
第20页 | 共22页①
②
∵切线 与双曲线C交于不同的两点A、B，∴ ，
设A、B两点的坐标分别为 ，
则 ，
∴ ，
∴ 的大小为 .
（∵ 且 ，∴ ，从而当 时，
方程①和方程②的判别式均大于零）.
20．（本小题共13分）
已 知 数 集 具 有 性 质 ： 对 任 意 的
， 与 两数中至少有一个属于 .
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（Ⅱ）证明： ，且 ；
（Ⅲ）证明：当 时， 成等比数列.
.k.s.5.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论
等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于 与 均不属于数集 ，∴该数集不具有性质P.
由于 都属于数集 ，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵ 具有性质P，∴ 与 中至少有一个属于A，
由于 ，∴ ，故 .
第21页 | 共22页从而 ，∴
∵ ， ∴ ，故 .
由A具有性质P可知 .
又∵ ，
∴ ，
从而 ，
∴ .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时，有 ，即 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
由A具有性质P可知 .
由 ，得 ，且 ，∴ ，
∴ ，
即 是首项为1，公比为 成等比数列.
第22页 | 共22页
