广东省执信中学、汕头市金山中学、深圳外国语学校2026届高三上学期联合调研考试数学Word版含答案

广东省执信中学、汕头市金山中学、深圳外国语学校2026届高三上学期联 合调研考试数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若复数 ，则 （ ） A．2 B． C．4 D．5 3．已知直线 ， ， 是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ， ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ， ，则 4．已知数列 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．平行四边形 中， , 点P在边CD上，则 的取值范围是（ ） A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0] 6．在等差数列 中，公差 是 与 的等比中项．已知数列 成等比数 列，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D．7．已知函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位得 到的．若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数 ，则（ ） A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 关于原点对称 C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增 10．函数 的所有极值点从小到大排列成数列 ，设 是 的前 项和，则下列 结论中正确的是（ ） A．数列 为等差数列 B． C． D． 11．已知正方体 棱长为2，如图， 为棱 上的动点， 平面 ．下面说法正确的 是（ ）A．直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B．点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点 为 的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知 为 中点，当 的和最小时， 的长度为 三、填空题 12．已知平面向量 ， ，若 ，则 . 13．在△ABC中， ，面积为12，则 = ． 14．当 时，函数 的图象在直线 的下方，则实数 的取值范围是 ． 四、解答题 15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线交BC于点D，且 ，求 面积的最小值． 16．已知 的周长为12，顶点 的坐标分别为 为动点． (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)过原点作两条关于 轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线 交于两点，求这四点所对 应的四边形的面积的最大值．17．如图，在五面体ABCDE中， 平面ABC， ， ， . (1)求证：平面 平面ACD； (2)若 ， ，五面体ABCDE的体积为 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值. 18．已知 且 ，函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围． 19．已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项和． (1)求数列 的通项公式； (2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当 时， 都有 成立，求m的最大值． 参考答案 1．B 【详解】由题设 ，所以 ，故其中元素共有4个. 故选：B 2．B 【详解】因为复数 ，所以 ， 所以 ， 故选：B 3．D 【详解】若 ， ， ， ，则 或 ，故选项A不正确； 若 ， ，则 或 ，故选项B不正确； 若 ， ， ，则 或 ，故选项C不正确； 由面面垂直的性质定理可知选项D正确. 故选：D. 4．A 【详解】 数列满足 ，则 ， ， 则 ， 故选：A. 5．A 【详解】∵ , ，∴ ，∴ ，A=60°， 以A为原点，以AB所在的直线为 轴，以AB的垂线为 轴，建立如图所示的坐标系， ∴A(0,0),B(4,0), ， 设 ，∴ ， ∴ ， 设 ，∴ 在 上单调递减,在 上单调递增，结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： ，函数的最大值为 ， 则 的取值范围是[−1,8]， 本题选择A选项. 6．B 【详解】依题意 ，即 ，解得 ，故 ． 新数列 ，记为 ，则 为等比数列， 所以公比 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ． 故选：B 7．A 【详解】由题知，函数 在 上仅有一个零点， 所以 ，所以 ， 令 ，得 ，即 . 若第一个正零点 ，则 （矛盾），因为函数 在 上仅有一个零点， 所以 ，解得 . 故选：A 8．D 【详解】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，或 ， 当 时， ，此时 ； ，故 ； ， ； 当 时， ，此时 ， ，故 ； ， ； 故ABC均错误； D选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是 ，均有 ，所以 ，故只需证 即可，设 （ 且 ），则 ，令 （ 且 ），则 ，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以 在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，因为 ，所以 ，结论得证，D正确 故选：D 9．AD 【详解】函数 定义域为 ， ， 则函数 为偶函数，曲线 关于 轴对称. 则选项A判断正确；选项B判断错误； 当 时， ， ， 则当 时， ， 单调递增，则选项C判断错误； 当 时， ， ， 则当 时， ， 单调递增，则选项D判断正确. 故选：AD 10．BC 【详解】由 ，令 ，得 或 ， ， 由正弦函数的图象和性质可得函数 的极值点为 或 ， ， 又 ，则 ， ， ， ，…，对于A，数列 的奇数项成首项为 ，公差为 的等差数列，偶数项成首项为 ，公差为 的等差数 列，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ， ，故C正确； 对于D，由 ，则 ，故D错误. 故选：BC. 11．AC 【详解】对于A选项，以点D为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ， 则点 、 、设点 ， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ， ，， 所以，直线 与平面 所成角的正弦值范围为 ，A选项正确； 对于B选项，当 与 重合时，连接 ， 在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ， ∵四边形 是正方形，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，同理可证 ， ， 平面 ， 平面 ， 易知 是边长为 的等边三角形，其面积为 ，周长为 . 分别取棱 , , , , , 的中点 ， 易知六边形 是边长为 的正六边形，且平面 平面 ， 正六边形 的周长为 ，面积为 ， 则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B选项错误； 对于C选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ，平面 ， 平面 ， ，即 ，得 ， ， 所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点，则 ， ， 而 ， ， 且 ， 由空间中两点间的距离公式可得 ， ， ，所以，四边形 为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，将矩形 与矩形 沿 摊平为一个平面，如下图所示： 若 最短，则 三点共线， ， ，又 ， ，D选项错误. 故选：AC. 12． 【详解】由题设， ，即 ，则 ， 所以 ，故 .故答案为： . 13． 【详解】由题意，在 中， ， ，面积为12， 则 ，解得 ． ∴ ． 故答案为 ． 14． 【详解】由题意知， ，即 构造函数 ，则 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，故 ， 故当 时 单调递减； 当 时 单调递增， 所以 ，所以 . 故答案为： 15．(1) (2) 【详解】（1） ， 由正弦定理可知： ，又 ，化简得 ， 即 ， 所以， ， 即 ，因为 ，所以 ，从而 ； （2）由题意可得： ， 且 ，即 ， 化简得 ， 而 ，解得 ，等号成立当且仅当 ， 的面积 ，等号成立当且仅当 ， 综上所述， 的面积的最小值为 . 16．(1) (2) 【详解】（1）由题意知 ， 所以 的轨迹 为椭圆的一部分，且 ，所以 . 故曲线 的方程为 （2）设两直线的方程为 与 ， 记 与曲线 在第一象限内的交点为 ，由 ，可得 ， 结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积 ， 因为 ，所以 （当且仅当 时取等号）， 故四边形面积的最大值为 . 17．(1)证明见解析； (2) . 【详解】（1）若 是 中点，连接 ，作 ，由 知： ， 因为 面ABC，则 面ABC，又 面ABC， 所以 ， ， 综上， 两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系 ，令 ， ， ，则 ， ， ， 所以 ， ， 若 是面 的一个法向量，即 ，令 ，则 ， 又 是面 的一个法向量，则 ， 所以面 面 . （2）由 面ABC， 面ABED，则面ABED 面ABC，故 到面ABED的距离，即为△ 中 上的高， 因为 ， ，则 ，故 ， 所以 上的高 . 又 面ABC，则 ，而 ，有 ， ， 所以 为直角梯形，令 ，则 ， 综上， ，故 . 由（1）知： ， ， ， ， 所以 ， ， 若 是面ABED的一个法向量，即 ，令 ，则 ， 而 ，则 ， 所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为 .18．（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） . 【详解】（1）当 时， , 令 得 ,当 时， ,当 时， , ∴函数 在 上单调递增； 上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数 , 则 ,令 ，得 , 在 内 , 单调递增； 在 上 , 单调递减； , 又 ，当 趋近于 时， 趋近于0， 所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要 条件是 ,这即是 , 所以 的取值范围是 . [方法二]：构造差函数 由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程 在区间 内有两个解．构造函数 ，求导数得 ． 当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在 内最多只有一个零点，不符合题意； 当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ； 所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ． 由于 ， 当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知 ，所以 ，即 ． 构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ． 所以，实数a的取值范围为 ． [方法三]分离法：一曲一直 曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解． 因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且 仅有两个交点． ①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意． ②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为，即 ． 当 与 为同一直线时有 得 直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点． 记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增； 在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所以当 且 时有 ． 综上所述，实数a的取值范围为 ． [方法四]：直接法 ． 因为 ，由 得 ． 当 时， 在区间 内单调递增，不满足题意； 当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得 在区间 内单调递减． 因为 ，且 ，所以 ，即 ，即 ，两边取对数，得 ，即 ．令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ． 故实数a的范围为 ．] 19．(1) (2)5 【详解】（1）因为 ，所以 ， 由 ， 得 ，则 ， ， 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 故 整理得 ， 所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ， 所以 ； （2）由（1）知 ， , 因为数列 为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以 ， ， 因为 ，所以 ，其中 ，2，3，…，m． 当 时，有 ； 当 ，3， ，m时，有 ．设 （ ），则 ， 令 ，得 ，列表如下： x 单调递增 极大值 单调递减 因为 ，所以 ． 所以 ，故 ，故 ， 令 （ ），则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，即 ， ∴ 在 上单调递减， 即 时， ，则 ， 下面求解不等式 ， 化简得 ， 令 ，则 ， 由 得 ， ，∴ 在 上单调递减， 又由于 ， ， ∴存在 使得 ，所以 ，