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河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试
题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2) D．(1，2]
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为 ，体积为 ，若 ，则底面半径为（ ）
A． B．3cm C． D．1cm
6．已知函数 若 在 单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知函数 的定义域为 ，且 ， 为奇函数， ，则（ ）
A．2025 B． C．4050 D．
二、多选题
9．数学家棣莫弗发现，如果随机变量 服从二项分布 ，那么当 比较大时， 近似服从正态分布
，其密度函数为 .任意正态分布 ，可通过变换
转化为标准正态分布 .当 时，对任意实数 ，记 ，则
（ ）
A．
B．当 时，
C．随机变量 ，当 减小， 增大时，概率 保持不变
D．随机变量 ，当 都增大时，概率 增大
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有两个极值点
B．若 是 的唯一极值点，则
C． 有唯一极值点的充要条件是
D．若 有三个极值点 ， ， ，则 .
11．下图造型为 的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点 的距离与到点 的距离之积为
4，则（ ）
A． B．当点 在 上时，
C．点 在 上 D．当点 在 上时，
三、填空题
12．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在曲线 上， ，
， ，则 的离心率为 ．
13．已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为 ．
14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没
有重复数字的四位数.(用数字作答)
四、解答题
15．在三角形 中，已知 ， 为 的内角平分线，已知
，
(1)求角C的值；
(2)求三角形 的面积.
16．已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 作直线 交 于 两点，且 的面积为 ，求直线 的方程.
17．在四棱锥 中， 平面 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)若 底面 ，底面 为矩形， ，E为棱 的中点，F为平面 内的
动点，当 取得最小值时，求直线 与底面 所成角的正弦值．
18．已知函数 .
(1)当 对，求函数 的最小值；
(2)若 对 恒成立，求实数 取值集合；
(3)求证：对 ，都有
19．在数列 中，令 ，若对任意正整数n， 总为数列 中的项，则称数列
是“前n项之积封闭数列”，已知数列 是首项为 ，公比为q的等比数列．
(1)判断：当 ，q＝3时，数列 是否为“前n项之积封闭数列”；
(2)证明： 是数列 为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．参考答案
1．C
【详解】不等式 的解集为 ，
不等式 的解集为 ，
故 ， ，
所以 ，
故选：C.
2．C
【详解】由题意可得： .
故选：C.
3．A
【详解】因为在 中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，
所以
，
故选：A
4．B
【详解】 ，
，，
故选：B
5．A
【详解】设圆锥的底面半径为 ，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为 ，母线
长为 ，
由题意， ，即 ，解得 .
故选：A.
6．D
【详解】由 在 单调递减，可得 ，解得 .
故选:D.
7．D
【详解】
函数h（x）=f（x）﹣log x的零点个数 函数f（x）与函数y=log x的图象交点个数．
4 4
⇔
画出函数f（x）与函数y=log x的图象（如上图），其中 = 的图像可以看出来，
4
当x增加 个单位，函数值变为原来的一半，即往右移 个单位，函数值变为原来的一半；依次类推；根
据图象可得函数f（x）与函数y=log x的图象交点为5个．
4
∴函数h（x）=f（x）﹣log x的零点个数为5个．
4故选D
8．A
【详解】因为 ①，所以 ，
所以 ，所以 的周期为4，
因为 为奇函数，所以 ②
令 ，由②得 ，所以 ，
①中令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，
综上， ，
， ，
所以
，
由函数的周期性得， .
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得： ，即
，故A不正确；
对于B, 当 时， ，
故B正确；
对于C，D，根据正态分布的 准则，在正态分布中 代表标准差， 代表均值,即为图象的对称轴，根据 原则可知 数值分布在 的概率是常数，
故由 可知，C正确，D错误，
故选：BC
10．ABD
【详解】
时，由 可知 ，由函数 ， 图象，显然方程有唯一负根，即
有变号零点 ，所以 有两个变号零点，所以函数 有两个极值点，故A正确；
若 是 的唯一极值点，则 恒成立，
若 ， 为增函数， 时， 不成立，
若 ，则 恒成立，令 ，当 时， ， 在 单调递减，当
时， ， 在 上单调递增，所以当 时， ，所以 ，B正确；
，即 当 时， ，此时
由 ，由 可得 ，当 ，当
，所以函数 在 单调递减，在 单调递增，显然可得 ，
所以 ，又 ，故存在 使 ，所以函数
有两个零点3和 ， 是 的不变号零点， 是 的变号零点，所以3不是 的极值点，时， 有唯一极值点 ，C错误；
有三个极值点， ， 必有两个零点且都不为3，
不妨设 ，则 必有两个不同零点 ， ，不妨设 ，
则 单调递增，且有唯一零点，故 ，此时零点 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， 单调递增，
由 有两零点可知 ，即 ， ，
又 ，所以存在零点 ， 时， ，所以必存在 ，且
，
令 ，即 ，令 ，下面证明 ，
令 ，则
是增函数，
又∵ ， 时， ，即 .
当 时， ，即
由 可知，当 时， ， 在 单调递减，
， ， ，即 ，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【详解】对于A项，由C过坐标原点O，得 ，所以 ，由图知 在原点左侧，所以 ，故A项正确.
对于B项，设 是曲线C上任意一点，则 ，
化简得 ，由 得 ，解得 或 ，
由图可知 ，故B项正确.
对于C项， ，故C项错误.
对于D项，由 ，得关于y的方程 ，
所以 ，
设 ，则 ，又 ，所以 ，
则 ，当 时， 取得最大值为1，即 ，故D项正确.
故选：ABD
12．
【详解】因为双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， ，
由双曲线的定义，可得 ，所以 ，
又因为 ，
由余弦定理得 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率 .
故答案为： .13．
【详解】由函数 可得 ，故 ；
而 ，故所求切线方程为 ，即 ．
故答案为： .
14．1260.
【详解】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为
因此一共有 个没有重复数字的四位数.
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，由正弦定理可得 ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
（2）
设三角形 中，角 所对的边分别为 ，
由余弦定理得， ，
∴ .∵ 为 的内角平分线，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或 （舍），
∴ ，即三角形 的面积为 .
16．(1)
(2)
【详解】（1）由于椭圆 的一个顶点为 ，所以 ，
，即 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）可知右焦点 ，
依题意可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，
设 ， .
将直线 的方程 代入椭圆方程 可得：
，展开并整理得 .
所以 ， .
根据 ，可得：所以 .
的面积 ， ，则：
,
即 ，解得 .
将 代入直线 的方程 ，可得直线 的方程为 ，
即 .
17．(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）以A为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
依题意可设 ，
则 ，
所以 ，
当 且 时， 取得最小值，
此时 ．
易知平面 的一个法向量为 ，
故当 取得最小值时，直线 与底面 所成角的正弦值为
．
18．(1)0
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1） 在 上单调递增，
所以 .
（2） ，由于 ，故 ，
下证当 时， 恒成立，
此时令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
且 ，
故 对 恒成立；
当 时， ，则 ，显然不合要求，舍去
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，其中 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，不合题意，舍去；
综上：实数 取值集合为 .
（3）由（1）可知， ， ，
所以故只需证明： 即可
由（2）可知， ，
则 ，
，
令 ，则 ，
，
.
19．(1) 不是“前n项之积封闭数列”
(2)证明见解析
【详解】（1）
若 为数列 中的项，则存在 ，使得 ，即 ，
所以 ，所以 不是“前n项之积封闭数列”．
（2）（2）充分性：
因为 ，所以 ，
当 ， 时，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以令 ，所以 ，所以数列 是“前n项之积封闭数列”，所以充分性成立；
不必要性：
当 时， ，所以 ，
因为 ，令 ，所以 ，即此时数列 是“前n项之积封闭数列”，
所以 是数列 为“前n项之积封闭数列”的不必要条件．
